Trigonometry Questions in Gujarati

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના કેન્દ્ર પર $l$ લંબાઈના ચાપ દ્વારા આંતરાતા ખૂણા $\theta$ નું સૂત્ર $\theta = \frac{l}{r}$ છે,જ્યાં $\theta$ રેડિયનમાં હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે,ત્રિજ્યા $(r) = 3 \text{ m}$ અને ચાપની લંબાઈ $(l) = 1 \text{ m}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\theta = \frac{1}{3} \text{ રેડિયન}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વર્તુળાકાર તારનો પરિઘ એ તારની લંબાઈ છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r_1 = 7\,cm$.
તારની લંબાઈ $L = 2\pi r_1 = 2 \times \pi \times 7 = 14\pi\,cm$.
હવે આ તારને $r_2 = 12\,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચાપ તરીકે વાળવામાં આવે છે.
ચાપની લંબાઈ $s = L = 14\pi\,cm$.
કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાતા ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\theta = \frac{s}{r_2}$ (રેડિયનમાં) છે.
$\theta = \frac{14\pi}{12} = \frac{7\pi}{6}$ રેડિયન.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે,$\frac{180^o}{\pi}$ વડે ગુણો.
$\theta = \frac{7\pi}{6} \times \frac{180^o}{\pi} = 7 \times 30^o = 210^o$.

(B) ચાપની લંબાઈ $(l)$,ત્રિજ્યા $(r)$ અને કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણા $( heta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $l = r \theta$.
આપેલ છે:
ચાપની લંબાઈ $(l)$ = $15 \ cm$
ખૂણો $( heta)$ = $3/4 \ \text{રેડિયન}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$15 = r \times (3/4)$
$r = 15 \times (4/3)$
$r = 5 \times 4$
$r = 20 \ cm$.
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $20 \ cm$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\cos \theta = x + \frac{1}{x}$ છે.
$x$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 - x \cos \theta + 1 = 0$ મળે છે.
કારણ કે $x$ એ વાસ્તવિક કિંમત છે,તેથી આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = (-\cos \theta)^2 - 4(1)(1) \ge 0$.
$\cos^2 \theta - 4 \ge 0 \Rightarrow \cos^2 \theta \ge 4$.
જોકે,$\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\cos^2 \theta$ એ $[0, 1]$ ના વિસ્તારમાં હોવો જોઈએ.
કારણ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે $\cos^2 \theta \ge 4$ શક્ય નથી,તેથી આપેલ સમીકરણ માટે $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત શક્ય નથી.
તેથી,$\theta$ ની કોઈ કિંમત શક્ય નથી.

(B) આપણને સમીકરણ $(a + b)^2 = 4ab \sin^2 \theta$ આપેલું છે.
સાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin^2 \theta$ ની કિંમત $0 \le \sin^2 \theta \le 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
તેથી,$\sin^2 \theta = \frac{(a + b)^2}{4ab} \le 1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $(a + b)^2 \le 4ab$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(a + b)^2 - 4ab \le 0$ મળે છે.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \le 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - 2ab + b^2 \le 0$ થાય છે.
આ $(a - b)^2 \le 0$ ને સમાન છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી માત્ર એક જ શક્યતા છે કે $(a - b)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = b$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક ખૂણા $\theta$ માટે,$\cos^2 \theta \le 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\sec^2 \theta \ge 1$.
આપેલ સમીકરણ $\sec^2 \theta = \frac{4xy}{(x + y)^2}$ માટે,આપણે $\frac{4xy}{(x + y)^2} \ge 1$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $(x + y)^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી બંને બાજુ $(x + y)^2$ વડે ગુણતા આપણને $4xy \ge (x + y)^2$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$4xy \ge x^2 + 2xy + y^2$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$0 \ge x^2 - 2xy + y^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(x - y)^2 \le 0$ થાય છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી માત્ર એક જ શક્યતા છે કે $(x - y)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.

(A) વિધેય $f(x) = \tan x$ એ અંતરાલ $(0, \pi/2)$ માં સતત વધતું વિધેય છે.
$1 \text{ રેડિયન} \approx 57.3^\circ$ અને $2 \text{ રેડિયન} \approx 114.6^\circ$ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $1 \text{ રેડિયન}$ એ પ્રથમ ચરણ $(0, \pi/2)$ માં આવે છે જ્યાં $\tan x$ ધન અને વધતું વિધેય છે.
જ્યારે $2 \text{ રેડિયન}$ એ બીજા ચરણ $(\pi/2, \pi)$ માં આવે છે જ્યાં $\tan x$ ઋણ છે.
કોઈપણ ધન કિંમત એ કોઈપણ ઋણ કિંમત કરતા મોટી હોવાથી,$\tan 1 > \tan 2$ સાચું છે.

(B) સાચો સંબંધ $\sin 1 > \sin 1^\circ $ છે.
ત્રિકોણમિતિમાં,$1$ રેડિયનનું મૂલ્ય આશરે $57.3^\circ$ જેટલું હોય છે.
કારણ કે વિધેય $f(x) = \sin x$ એ અંતરાલ $[0, \pi/2]$ માં વધતું વિધેય છે,અને $57.3^\circ > 1^\circ$ હોવાથી,$\sin(57.3^\circ) > \sin(1^\circ)$ થાય.
તેથી,$\sin 1 > \sin 1^\circ$ સાચું છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$.
તેથી,$\tan 89^\circ = \tan(90^\circ - 1^\circ) = \cot 1^\circ$.
તે જ રીતે,$\tan 88^\circ = \cot 2^\circ$,અને આ રીતે આગળ વધતા.
આ પદાવલિને આ રીતે લખી શકાય: $(\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ) \cdot (\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ) \dots (\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ) \cdot \tan 45^\circ$.
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,દરેક જોડી $(\tan \theta \cdot \tan(90^\circ - \theta)) = 1$ થાય છે.
આવી કુલ $44$ જોડીઓ છે,અને $\tan 45^\circ = 1$ છે.
આમ,ગુણાકાર $1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે,$\sin \theta + \text{cosec} \theta = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,તેથી સમીકરણ $\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} = 2$ થશે.
બંને બાજુ $\sin \theta$ વડે ગુણતા,$\sin^2 \theta + 1 = 2 \sin \theta$ મળે.
તેને ગોઠવતા,$\sin^2 \theta - 2 \sin \theta + 1 = 0$ મળે,જે $(\sin \theta - 1)^2 = 0$ છે.
તેથી,$\sin \theta = 1$.
હવે આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\sin^{10} \theta + \text{cosec}^{10} \theta = (1)^{10} + \left(\frac{1}{1}\right)^{10} = 1 + 1 = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\sin \theta + \csc \theta = 2$.
સમીકરણની બંને બાજુએ વર્ગ કરતા:
$(\sin \theta + \csc \theta)^2 = 2^2$
$\sin^2 \theta + \csc^2 \theta + 2 \sin \theta \csc \theta = 4$
કારણ કે $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,તેથી $\sin \theta \csc \theta = 1$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin^2 \theta + \csc^2 \theta + 2(1) = 4$
$\sin^2 \theta + \csc^2 \theta + 2 = 4$
$\sin^2 \theta + \csc^2 \theta = 4 - 2 = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\sin \theta + \cos \theta = m$ અને $\sec \theta + \csc \theta = n$.
આપણે $n(m + 1)(m - 1)$ ની કિંમત શોધવાની છે,જે $n(m^2 - 1)$ થાય છે.
પ્રથમ,પ્રથમ સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $m^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$.
આમ,$m^2 - 1 = 2 \sin \theta \cos \theta$.
હવે,$n = \sec \theta + \csc \theta = \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{m}{\sin \theta \cos \theta}$ મૂકતા.
તેથી,$n(m^2 - 1) = \left( \frac{m}{\sin \theta \cos \theta} \right) (2 \sin \theta \cos \theta) = 2m$.

(A) આપેલ છે: $\sin \theta + \cos \theta = 1$
સમીકરણની બંને બાજુએ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1^2$
નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ છે:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$2 \sin \theta \cos \theta = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$\sin \theta \cos \theta = 0$

(C) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{24}{25}$.
$\theta$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \theta$ અને $\tan \theta$ ઋણ થશે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos^2 \theta = 1 - (\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$.
$\theta$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \theta = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7}$.
વળી,$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{25}{7}$.
તેથી,$\sec \theta + \tan \theta = -\frac{25}{7} + (-\frac{24}{7}) = -\frac{49}{7} = -7$.

(C) આપણને આપેલ છે કે $\csc A + \cot A = \frac{11}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\csc^2 A - \cot^2 A = 1$ થાય,જેને $(\csc A - \cot A)(\csc A + \cot A) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $(\csc A - \cot A) \times \frac{11}{2} = 1$.
તેથી,$\csc A - \cot A = \frac{2}{11}$.
હવે,બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\csc A + \cot A) - (\csc A - \cot A) = \frac{11}{2} - \frac{2}{11}$.
$2 \cot A = \frac{121 - 4}{22} = \frac{117}{22}$.
$\cot A = \frac{117}{44}$.
કારણ કે $\tan A = \frac{1}{\cot A}$,તેથી $\tan A = \frac{44}{117}$.

(C) આપેલ છે કે $5 \tan \theta = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{4}{5}$.
પદાવલિ $\frac{5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{5 \sin \theta + 2 \cos \theta}$ ની કિંમત શોધવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$= \frac{\frac{5 \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{3 \cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{5 \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{2 \cos \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{5 \tan \theta - 3}{5 \tan \theta + 2}$
હવે $\tan \theta = \frac{4}{5}$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{5(\frac{4}{5}) - 3}{5(\frac{4}{5}) + 2}$
$= \frac{4 - 3}{4 + 2}$
$= \frac{1}{6}$.

(C) આપેલ છે કે $\sin \theta = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\tan \theta = 1$.
$1$. $\sin \theta$ નું મૂલ્ય ઋણ છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ તૃતીય અથવા ચતુર્થ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$2$. $\tan \theta$ નું મૂલ્ય ધન છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ પ્રથમ અથવા તૃતીય ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$3$. બંને શરતો એકસાથે સંતોષાય તે માટે,$\theta$ તૃતીય ચરણમાં હોવું જોઈએ,જ્યાં $\sin \theta$ ઋણ છે અને $\tan \theta$ ધન છે.
તેથી,$\theta$ તૃતીય ચરણમાં આવેલું છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin \theta = -\frac{4}{5}$ અને $\theta$ ત્રીજા ચરણમાં $(180^\circ < \theta < 270^\circ)$ છે.
ત્રીજા ચરણમાં $\cos \theta$ ઋણ હોય છે.
$\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.
આપણે $\cos \frac{\theta}{2}$ શોધવાનું છે. અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$.
$180^\circ < \theta < 270^\circ$ હોવાથી,$2$ વડે ભાગતા $90^\circ < \frac{\theta}{2} < 135^\circ$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\theta}{2}$ બીજા ચરણમાં છે,જ્યાં કોસાઇન ઋણ હોય છે.
તેથી,$\cos \frac{\theta}{2} = -\sqrt{\frac{1 + (-3/5)}{2}} = -\sqrt{\frac{2/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) આપેલ છે કે,$\sin (\alpha - \beta ) = \frac{1}{2}$. કારણ કે $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી $\alpha - \beta = 30^\circ$ $(i)$.
તે જ રીતે,$\cos (\alpha + \beta ) = \frac{1}{2}$. કારણ કે $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી $\alpha + \beta = 60^\circ$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\alpha - \beta ) + (\alpha + \beta ) = 30^\circ + 60^\circ$
$2\alpha = 90^\circ \Rightarrow \alpha = 45^\circ$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $\alpha = 45^\circ$ મૂકતા:
$45^\circ + \beta = 60^\circ \Rightarrow \beta = 15^\circ$.
આમ,$\alpha = 45^\circ$ અને $\beta = 15^\circ$ બંને શરતોનું પાલન કરે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(m + 2)\sin \theta + (2m - 1)\cos \theta = 2m + 1$.
$\cos \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\cos \theta \neq 0$): $(m + 2)\tan \theta + (2m - 1) = (2m + 1)\sec \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $((m + 2)\tan \theta + (2m - 1))^2 = (2m + 1)^2 \sec^2 \theta$.
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને અને $t = \tan \theta$ લેતા:
$(m + 2)^2 t^2 + 2(m + 2)(2m - 1)t + (2m - 1)^2 = (2m + 1)^2 (1 + t^2)$.
વિસ્તરણ અને સાદું રૂપ આપતા:
$(m^2 + 4m + 4)t^2 + (4m^2 + 6m - 4)t + (4m^2 - 4m + 1) = (4m^2 + 4m + 1)(1 + t^2)$.
પદોને ગોઠવતા:
$(-3m^2 + 3)t^2 + (4m^2 + 6m - 4)t - 8m = 0$.
$3(1 - m^2)t^2 + (4m^2 + 6m - 4)t - 8m = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(3t - 4)((1 - m^2)t + 2m) = 0$.
આમ,$t = \frac{4}{3}$ અથવા $t = \frac{2m}{m^2 - 1}$.

(D) આપેલ છે કે $3\tan A + 4 = 0$,તેથી $\tan A = -\frac{4}{3}$ મળે.
$A$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sin A$ ધન અને $\cos A$ ઋણ હોય છે.
નિત્યસમ $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sec^2 A = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ મળે.
તેથી,$\sec A = -\frac{5}{3}$ (કારણ કે બીજા ચરણમાં $\cos A$ ઋણ હોય છે),જેનો અર્થ છે કે $\cos A = -\frac{3}{5}$.
વળી,$\sin A = \tan A \times \cos A = (-\frac{4}{3}) \times (-\frac{3}{5}) = \frac{4}{5}$.
છેલ્લે,$\cot A = \frac{1}{\tan A} = -\frac{3}{4}$.
આ કિંમતોને $2\cot A - 5\cos A + \sin A$ માં મૂકતા:
$= 2(-\frac{3}{4}) - 5(-\frac{3}{5}) + \frac{4}{5}$
$= -\frac{3}{2} + 3 + \frac{4}{5}$
$= \frac{-15 + 30 + 8}{10} = \frac{23}{10}$.

(B) આપેલ છે: $\sin x + \sin y = 3(\cos y - \cos x)$
પદોને ગોઠવતા: $\sin x + 3\cos x = 3\cos y - \sin y$ ... $(i)$
બંને બાજુને $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{10}} \sin x + \frac{3}{\sqrt{10}} \cos x = \frac{3}{\sqrt{10}} \cos y - \frac{1}{\sqrt{10}} \sin y$
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ અને $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$,તો $\tan \alpha = 3$ થાય.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha = \cos y \sin \alpha - \sin y \cos \alpha$
$\sin(x + \alpha) = \sin(\alpha - y)$
આનો અર્થ એ થાય કે $x + \alpha = n\pi + (-1)^n(\alpha - y)$.
$n=0$ માટે,$x + \alpha = \alpha - y \Rightarrow x = -y$.
હવે $x = -y$ ને $\frac{\sin 3x}{\sin 3y}$ માં મૂકતા:
$\frac{\sin 3(-y)}{\sin 3y} = \frac{-\sin 3y}{\sin 3y} = -1$.

(A) આપેલ છે કે $\sin A, \cos A, \tan A$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$G.P.$ માટેની શરત $(\cos A)^2 = \sin A \cdot \tan A$ છે.
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ મૂકતા,આપણને $\cos^2 A = \sin A \cdot \frac{\sin A}{\cos A}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\cos A$ વડે ગુણતા,આપણને $\cos^3 A = \sin^2 A$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\cos^3 A = 1 - \cos^2 A$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\cos^3 A + \cos^2 A = 1$ મળે છે.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = \sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}} + \sqrt{\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}}$ છે.
છેદ સમાન કરીને પદાવલિનું સાદુરૂપ આપતા:
$E = \frac{\sqrt{1 - \sin \theta} \cdot \sqrt{1 - \sin \theta} + \sqrt{1 + \sin \theta} \cdot \sqrt{1 + \sin \theta}}{\sqrt{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)}}$
$E = \frac{(1 - \sin \theta) + (1 + \sin \theta)}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} = \frac{2}{\sqrt{\cos^2 \theta}} = \frac{2}{|\cos \theta|}$.
કારણ કે $\theta$ બીજા ચરણમાં છે,તેથી $\cos \theta$ ઋણ છે.
તેથી,$|\cos \theta| = -\cos \theta$.
આમ,$E = \frac{2}{-\cos \theta} = -2 \sec \theta$.

(D) આપેલ પદાવલી: $\frac{{\sin \theta }}{{1 - \cot \theta }} + \frac{{\cos \theta }}{{1 - \tan \theta }}$
$\cot \theta = \frac{{\cos \theta }}{{\sin \theta }}$ અને $\tan \theta = \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}$ મૂકતા:
$= \frac{{\sin \theta }}{{1 - \frac{{\cos \theta }}{{\sin \theta }}}} + \frac{{\cos \theta }}{{1 - \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}}}$
$= \frac{{\sin \theta }}{{\frac{{\sin \theta - \cos \theta }}{{\sin \theta }}}} + \frac{{\cos \theta }}{{\frac{{\cos \theta - \sin \theta }}{{\cos \theta }}}}$
$= \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{\sin \theta - \cos \theta }} + \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{\cos \theta - \sin \theta }}$
$= \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{\sin \theta - \cos \theta }} - \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{\sin \theta - \cos \theta }}$
$= \frac{{{{\sin }^2}\theta - {{\cos }^2}\theta }}{{\sin \theta - \cos \theta }}$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{{(\sin \theta - \cos \theta )(\sin \theta + \cos \theta )}}{{\sin \theta - \cos \theta }}$
$= \sin \theta + \cos \theta $.

(B) આપણને આપેલ છે કે $\tan \theta + \sec \theta = e^x$ --- $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ થાય છે.
આને અવયવ પાડતા $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ મળે.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,$(\sec \theta - \tan \theta) e^x = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sec \theta - \tan \theta = e^{-x}$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(\tan \theta + \sec \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = e^x + e^{-x}$
$2 \sec \theta = e^x + e^{-x}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$,તેથી $\sec \theta = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ થાય.
આમ,$\cos \theta = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$ મળે.

(A) આપેલ છે: $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta$
$\cos \theta = (\sqrt{2} + 1) \sin \theta$
$\sin \theta$ ને અલગ કરવા માટે,બંને બાજુ $(\sqrt{2} - 1)$ વડે ગુણો:
$(\sqrt{2} - 1) \cos \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \sin \theta$
$(\sqrt{2} - 1) \cos \theta = (2 - 1) \sin \theta$
$\sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta = \sin \theta$
$\cos \theta + \sin \theta$ શોધવા માટે ફરીથી ગોઠવતા:
$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$

(B) આપણને આપેલ છે કે $\sec \theta + \tan \theta = p$ ........... $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ થાય,જેને અવયવ પાડતા $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ લખી શકાય.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,$(\sec \theta - \tan \theta) \cdot p = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{p}$ ........... $(ii)$
$\tan \theta$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta) = p - \frac{1}{p}$
$2 \tan \theta = \frac{p^2 - 1}{p}$
$\tan \theta = \frac{p^2 - 1}{2p}$.

(B) આપેલ છે કે $x = \sec \theta + \tan \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ થાય,જેને $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sec \theta + \tan \theta} = \sec \theta - \tan \theta$.
હવે,$x + \frac{1}{x}$ ની ગણતરી કરતા:
$x + \frac{1}{x} = (\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)$.
$x + \frac{1}{x} = 2 \sec \theta$.

(D) આપેલ છે કે $x + \frac{1}{x} = 2\cos \alpha$.
$x$ વડે ગુણતા, આપણને $x^2 - (2\cos \alpha)x + 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $x = \frac{2\cos \alpha \pm \sqrt{4\cos^2 \alpha - 4}}{2} = \cos \alpha \pm i\sin \alpha$.
ધારો કે $x = e^{i\alpha} = \cos \alpha + i\sin \alpha$. તો $\frac{1}{x} = e^{-i\alpha} = \cos \alpha - i\sin \alpha$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ, $x^n = e^{in\alpha} = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$ અને $\frac{1}{x^n} = e^{-in\alpha} = \cos n\alpha - i\sin n\alpha$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા, આપણને ${x^n} + \frac{1}{{{x^n}}} = (\cos n\alpha + i\sin n\alpha) + (\cos n\alpha - i\sin n\alpha) = 2\cos n\alpha$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{2}\left( x + \frac{1}{x} \right)$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $x + \frac{1}{x} = 2 \cos \theta$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2$ થાય.
$(x + \frac{1}{x})$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x^2 + \frac{1}{x^2} = (2 \cos \theta)^2 - 2$ મળે છે.
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 \cos^2 \theta - 2 = 2(2 \cos^2 \theta - 1)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 \cos 2\theta$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{2}\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{2} \times 2 \cos 2\theta = \cos 2\theta$.

(D) ધારો કે $S = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdot \dots \cdot \tan 89^\circ$.
ગુણધર્મ $\tan \theta \cdot \tan(90^\circ - \theta) = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોની જોડી બનાવી શકીએ છીએ:
$(\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ) \cdot (\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ) \cdot \dots \cdot (\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ) \cdot \tan 45^\circ$.
દરેક જોડી $1$ બરાબર છે અને $\tan 45^\circ = 1$ થાય છે. તેથી,$S = 1$.
આમ,પદાવલિ $e^{\log_{10}(S)} = e^{\log_{10}(1)} = e^0 = 1$ થશે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ અને $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}$.
લસાઅ લેતા: $\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}$.
નિત્યસમ $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ નો ઉપયોગ કરતા અને અંશ તથા છેદને $2$ વડે ગુણતા: $\frac{2 \cos 2x}{2 \sin x \cos x}$.
કારણ કે $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ થાય છે,તેથી પદાવલિ $\frac{2 \cos 2x}{\sin 2x} = 2 \cot 2x$ બને છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1 + \sin A - \cos A}{1 + \sin A + \cos A}$
નિત્યસમ $1 - \cos A = 2 \sin^2 \frac{A}{2}$,$1 + \cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2}$,અને $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $(1 - \cos A) + \sin A = 2 \sin^2 \frac{A}{2} + 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = 2 \sin \frac{A}{2} (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2})$
છેદ: $(1 + \cos A) + \sin A = 2 \cos^2 \frac{A}{2} + 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = 2 \cos \frac{A}{2} (\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})$
અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \sin \frac{A}{2} (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2})}{2 \cos \frac{A}{2} (\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} = \tan \frac{A}{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{2\sin \theta \tan \theta (1 - \tan \theta ) + 2\sin \theta \sec^2 \theta}{(1 + \tan \theta )^2}$
અંશમાંથી $2\sin \theta$ સામાન્ય લેતા:
$E = \frac{2\sin \theta [\tan \theta (1 - \tan \theta ) + \sec^2 \theta]}{(1 + \tan \theta )^2}$
કૌંસની અંદરના પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$E = \frac{2\sin \theta [\tan \theta - \tan^2 \theta + \sec^2 \theta]}{(1 + \tan \theta )^2}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જેનો અર્થ થાય છે કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$:
$E = \frac{2\sin \theta [\tan \theta + 1]}{(1 + \tan \theta )^2}$
સામાન્ય પદ $(1 + \tan \theta)$ ને છેદ સાથે ઉડાડતા:
$E = \frac{2\sin \theta}{1 + \tan \theta}$.

(D) ધારો કે પદાવલિ $E = 1 - \frac{\sin^2 y}{1 + \cos y} + \frac{1 + \cos y}{\sin y} - \frac{\sin y}{1 - \cos y}$ છે.
પ્રથમ,પ્રથમ બે પદોનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 - \frac{\sin^2 y}{1 + \cos y} = \frac{1 + \cos y - (1 - \cos^2 y)}{1 + \cos y} = \frac{\cos y + \cos^2 y}{1 + \cos y} = \frac{\cos y(1 + \cos y)}{1 + \cos y} = \cos y$.
હવે,છેલ્લા બે પદોનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{1 + \cos y}{\sin y} - \frac{\sin y}{1 - \cos y} = \frac{(1 + \cos y)(1 - \cos y) - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = \frac{1 - \cos^2 y - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = \frac{\sin^2 y - \sin^2 y}{\sin y(1 - \cos y)} = 0$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા,$E = \cos y + 0 = \cos y$.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$2y \cos \theta = x \sin \theta$ --- $(i)$
$2x \sec \theta - y \csc \theta = 3$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,આપણને મળે $\frac{x}{\cos \theta} = \frac{2y}{\sin \theta} = k$ (ધારો).
તેથી $x = k \cos \theta$ અને $2y = k \sin \theta$,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{k}{2} \sin \theta$.
આ કિંમતોને $(ii)$ માં મૂકતા:
$2(k \cos \theta) \frac{1}{\cos \theta} - (\frac{k}{2} \sin \theta) \frac{1}{\sin \theta} = 3$
$2k - \frac{k}{2} = 3$
$\frac{3k}{2} = 3 \implies k = 2$.
આમ,$x = 2 \cos \theta$ અને $y = \sin \theta$.
હવે,$x^2 + 4y^2 = (2 \cos \theta)^2 + 4(\sin \theta)^2$
$= 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta$
$= 4(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4(1) = 4$.

(D) આપેલ છે: $\tan A + \cot A = 4$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\tan A + \cot A)^2 = 4^2$
$\tan^2 A + \cot^2 A + 2 \tan A \cot A = 16$
કારણ કે $\tan A \cot A = 1$,તેથી:
$\tan^2 A + \cot^2 A + 2(1) = 16$
$\tan^2 A + \cot^2 A = 14$
હવે,ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\tan^2 A + \cot^2 A)^2 = 14^2$
$\tan^4 A + \cot^4 A + 2 \tan^2 A \cot^2 A = 196$
$\tan^4 A + \cot^4 A + 2(1)^2 = 196$
$\tan^4 A + \cot^4 A = 196 - 2 = 194$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = \sec \phi - \tan \phi = \frac{1 - \sin \phi}{\cos \phi}$ અને $y = \csc \phi + \cot \phi = \frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi}$.
$x = \frac{1 - \sin \phi}{\cos \phi}$ લો. તો $\frac{1}{x} = \frac{\cos \phi}{1 - \sin \phi} = \frac{\cos \phi(1 + \sin \phi)}{1 - \sin^2 \phi} = \frac{\cos \phi(1 + \sin \phi)}{\cos^2 \phi} = \frac{1 + \sin \phi}{\cos \phi}$.
તે જ રીતે,$y = \frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi}$. તો $\frac{1}{y} = \frac{\sin \phi}{1 + \cos \phi} = \frac{\sin \phi(1 - \cos \phi)}{1 - \cos^2 \phi} = \frac{\sin \phi(1 - \cos \phi)}{\sin^2 \phi} = \frac{1 - \cos \phi}{\sin \phi}$.
વૈકલ્પિક રીતે,નિત્યસમ $\sec \phi - \tan \phi = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\phi}{2})$ અને $\csc \phi + \cot \phi = \cot(\frac{\phi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ અને $y$ વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરી શકીએ છીએ.
ચાલો સંબંધ $x = \frac{y - 1}{y + 1}$ ચકાસીએ.
$y = \frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi}$ ને $\frac{y - 1}{y + 1}$ માં મૂકતા:
$\frac{\frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi} - 1}{\frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi} + 1} = \frac{1 + \cos \phi - \sin \phi}{1 + \cos \phi + \sin \phi} = \frac{2\cos^2(\phi/2) - 2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)}{2\cos^2(\phi/2) + 2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)} = \frac{\cos(\phi/2) - \sin(\phi/2)}{\cos(\phi/2) + \sin(\phi/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\phi}{2}) = x$.
આમ,$x = \frac{y - 1}{y + 1}$ સાચું છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{x \sin \phi}{1 - x \cos \phi}$.
પદ ગોઠવતા,આપણને મળે $x \sin \phi = \tan \theta - x \cos \phi \tan \theta$.
$x(\sin \phi + \cos \phi \tan \theta) = \tan \theta$.
$x \left( \sin \phi + \cos \phi \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
$x \left( \frac{\sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta}{\cos \theta} \right) = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
$x \sin(\theta + \phi) = \sin \theta \Rightarrow x = \frac{\sin \theta}{\sin(\theta + \phi)}$.
તે જ રીતે,$\tan \phi = \frac{y \sin \theta}{1 - y \cos \theta}$ માટે,આપણને મળે $y = \frac{\sin \phi}{\sin(\theta + \phi)}$.
તેથી,$\frac{x}{y} = \frac{\sin \theta / \sin(\theta + \phi)}{\sin \phi / \sin(\theta + \phi)} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi}$.

(D) આપેલ છે: $p = \frac{2 \sin \theta}{1 + \cos \theta + \sin \theta}$ અને $q = \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$.
$p + q = \frac{2 \sin \theta}{1 + \sin \theta + \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$ ધ્યાનમાં લો.
$p$ ને સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને $(1 + \sin \theta - \cos \theta)$ વડે ગુણો:
$p = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{(1 + \sin \theta)^2 - \cos^2 \theta} = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{1 + 2 \sin \theta + \sin^2 \theta - \cos^2 \theta}$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{1 + 2 \sin \theta + \sin^2 \theta - (1 - \sin^2 \theta)} = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{2 \sin \theta + 2 \sin^2 \theta} = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{2 \sin \theta (1 + \sin \theta)} = \frac{1 + \sin \theta - \cos \theta}{1 + \sin \theta} = 1 - \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$.
કારણ કે $q = \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$ છે,તેથી $p = 1 - q$ મળે.
આમ,$p + q = 1$ થાય.

(D) આપેલ છે: $m = \tan \theta + \sin \theta$ અને $n = \tan \theta - \sin \theta$.
પ્રથમ,$m^2 - n^2$ ની ગણતરી કરો:
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
$m + n = (\tan \theta + \sin \theta) + (\tan \theta - \sin \theta) = 2 \tan \theta$
$m - n = (\tan \theta + \sin \theta) - (\tan \theta - \sin \theta) = 2 \sin \theta$
તેથી,$m^2 - n^2 = (2 \tan \theta)(2 \sin \theta) = 4 \tan \theta \sin \theta$ ..... $(i)$
હવે,$4\sqrt{mn}$ ની ગણતરી કરો:
$mn = (\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta) = \tan^2 \theta - \sin^2 \theta$
$mn = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \sin^2 \theta = \sin^2 \theta \left( \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 \right) = \sin^2 \theta \left( \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right) = \sin^2 \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right) = \sin^2 \theta \tan^2 \theta$
તેથી,$4\sqrt{mn} = 4\sqrt{\sin^2 \theta \tan^2 \theta} = 4 \sin \theta \tan \theta$ ..... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn}$.

(A) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{a}{b}$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{a}{b}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\sin \theta = \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ અને $\cos \theta = \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
હવે,પદ $\frac{\sin \theta}{\cos^8 \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin^8 \theta}$ ધ્યાનમાં લો.
$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\left( \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)}{\left( \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^8} + \frac{\left( \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)}{\left( \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^8}$
$= \frac{\pm a (a^2 + b^2)^4}{b^8 \sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{\pm b (a^2 + b^2)^4}{a^8 \sqrt{a^2 + b^2}}$
$= \pm \frac{(a^2 + b^2)^4}{\sqrt{a^2 + b^2}} \left( \frac{a}{b^8} + \frac{b}{a^8} \right)$.

(C) આપેલ છે કે $a \cos \theta + b \sin \theta = m$ અને $a \sin \theta - b \cos \theta = n.$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને તેમનો સરવાળો કરતા:
${(a \cos \theta + b \sin \theta)^2} + {(a \sin \theta - b \cos \theta)^2} = {m^2} + {n^2}$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$({a^2} \cos^2 \theta + {b^2} \sin^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta) + ({a^2} \sin^2 \theta + {b^2} \cos^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta) = {m^2} + {n^2}$
પદોને ગોઠવતા:
${a^2}(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + {b^2}(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = {m^2} + {n^2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
${a^2}(1) + {b^2}(1) = {m^2} + {n^2}$
આમ,${a^2} + {b^2} = {m^2} + {n^2}.$

(C) આપેલ સમીકરણો $x = a \cos^3 \theta$ અને $y = b \sin^3 \theta$ છે.
પગલું $1$: $\cos \theta$ અને $\sin \theta$ ને $x$ અને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
$\frac{x}{a} = \cos^3 \theta \implies (\frac{x}{a})^{1/3} = \cos \theta$
$\frac{y}{b} = \sin^3 \theta \implies (\frac{y}{b})^{1/3} = \sin \theta$
પગલું $2$: ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $1$ માંથી મેળવેલ કિંમતો મૂકતા:
$((\frac{x}{a})^{1/3})^2 + ((\frac{y}{b})^{1/3})^2 = 1$
$(\frac{x}{a})^{2/3} + (\frac{y}{b})^{2/3} = 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે: $\cot \theta + \tan \theta = m$ અને $\sec \theta - \cos \theta = n$.
$1$. $\cot \theta + \tan \theta = m$ પરથી:
$\frac{1}{\tan \theta} + \tan \theta = m \implies \frac{1 + \tan^2 \theta}{\tan \theta} = m \implies \sec^2 \theta = m \tan \theta$ --- $(i)$
$2$. $\sec \theta - \cos \theta = n$ પરથી:
$\sec \theta - \frac{1}{\sec \theta} = n \implies \frac{\sec^2 \theta - 1}{\sec \theta} = n \implies \tan^2 \theta = n \sec \theta$ --- $(ii)$
$3$. $\sec^2 \theta = m \tan \theta$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$(\tan^2 \theta)^2 = n^2 \sec^2 \theta \implies \tan^4 \theta = n^2 (m \tan \theta) \implies \tan^3 \theta = n^2 m \implies \tan \theta = (n^2 m)^{1/3}$.
$4$. તેવી જ રીતે,$\sec \theta$ શોધતા:
$\sec^2 \theta = m \tan \theta = m(n^2 m)^{1/3} = (m^4 n^2)^{1/3}$,તેથી $\sec \theta = (m^2 n)^{1/3}$.
$5$. નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1
\implies m \tan \theta - n \sec \theta = 1
\implies m(n^2 m)^{1/3} - n(m^2 n)^{1/3} = 1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ છે.
ધારો કે $a = \sin^2 \theta$ અને $b = \cos^2 \theta$.
તેથી,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (1)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (1) = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = (1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\theta = 0^\circ$ મૂકતા,આપણને $\sin^6(0^\circ) + \cos^6(0^\circ) + 3 \sin^2(0^\circ) \cos^2(0^\circ) = 0 + 1 + 0 = 1$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
પ્રથમ,$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 = 1^3$ લો.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી આ $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ માં પરિણમે છે.
ત્યારબાદ,$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 = 1^2$ લો.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta + 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$ મળે છે.
આ $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ માં પરિણમે છે.
હવે,આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$2(1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 3(1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 1$
$= 2 - 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 3 + 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 1$
$= (2 - 3 + 1) + (-6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta)$
$= 0 + 0 = 0$.

(C) આપેલ છે: $\sin x + \sin^2 x = 1$
આનો અર્થ એ છે કે $\sin x = 1 - \sin^2 x$,તેથી $\sin x = \cos^2 x$.
હવે,પદાવલિને ધ્યાનમાં લો: $E = \cos^{12} x + 3\cos^{10} x + 3\cos^8 x + \cos^6 x - 2$.
$\cos^2 x = \sin x$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = (\cos^2 x)^6 + 3(\cos^2 x)^5 + 3(\cos^2 x)^4 + (\cos^2 x)^3 - 2$
$E = (\sin x)^6 + 3(\sin x)^5 + 3(\sin x)^4 + (\sin x)^3 - 2$
$E = (\sin^2 x)^3 + 3(\sin^2 x)^2(\sin x) + 3(\sin^2 x)(\sin x)^2 + (\sin x)^3 - 2$
આ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = \sin^2 x$ અને $b = \sin x$.
$E = (\sin^2 x + \sin x)^3 - 2$
કારણ કે $\sin^2 x + \sin x = 1$,તેથી:
$E = (1)^3 - 2 = 1 - 2 = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos x + \cos^2 x = 1$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\cos x = 1 - \cos^2 x$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.
તેથી,$\cos x = \sin^2 x$.
હવે,આપણે $\sin^2 x + \sin^4 x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ પદાવલિમાં $\sin^2 x = \cos x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sin^2 x + (\sin^2 x)^2 = \cos x + (\cos x)^2$.
આપણને આપેલ છે કે $\cos x + \cos^2 x = 1$,તેથી આ પદાવલિની કિંમત $1$ થશે.