Refraction by Lenses Questions in Hindi

(A) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
उत्तल लेंस के लिए,पहली सतह उत्तल $(R_1 = +40 \ cm)$ और दूसरी सतह अवतल $(R_2 = -40 \ cm)$ होती है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \right) = 0.5 \times \frac{2}{40} = 0.5 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{40}$.
अतः,$f = 40 \ cm$।

(A) मान लीजिए कि वस्तु की लेंस से दूरी $u$ है और प्रतिबिंब (पर्दे) की लेंस से दूरी $v$ है। चूंकि प्रतिबिंब पर्दे पर बनता है, इसलिए यह एक वास्तविक प्रतिबिंब है।
दिया गया है कि वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $x$ है, इसलिए $v + u = x$ है।
आवर्धन $m = |v/u| = v/u$ है, इसलिए $v = mu$ है।
$v = mu$ को दूरी के समीकरण में रखने पर: $mu + u = x$, जिससे $u(m + 1) = x$ या $u = x / (m + 1)$ प्राप्त होता है।
अतः, $v = x - u = x - x / (m + 1) = mx / (m + 1)$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $v$ धनात्मक और $u$ ऋणात्मक होता है, इसलिए $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u_0} = \frac{1+m}{mx} + \frac{1+m}{x} = \frac{(1+m)^2}{mx}$ प्राप्त होता है।
अतः, $f = \frac{mx}{(m+1)^2}$।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ उसके अपवर्तनांक और उसकी सतहों की वक्रता त्रिज्या पर निर्भर करती है। लेंस के किसी हिस्से को ढकने से ये गुण नहीं बदलते हैं,इसलिए फोकस दूरी $f$ ही रहती है।
लेंस द्वारा बने प्रतिबिंब की तीव्रता $I$ उस द्वारक (aperture) के क्षेत्रफल $A$ के सीधे आनुपातिक होती है जिससे प्रकाश गुजरता है $(I \propto A)$।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = \pi (d/2)^2 = \pi d^2/4$ है।
जब $d/2$ व्यास (त्रिज्या $d/4$) वाले केंद्रीय भाग को ढक दिया जाता है,तो ढके हुए भाग का क्षेत्रफल $A_{covered} = \pi (d/4)^2 = \pi d^2/16$ होता है।
लेंस का नया क्षेत्रफल जिससे प्रकाश गुजरता है,वह $A_2 = A_1 - A_{covered} = \frac{\pi d^2}{4} - \frac{\pi d^2}{16} = \frac{3\pi d^2}{16}$ है।
नई तीव्रता $I_2$ और प्रारंभिक तीव्रता $I_1$ का अनुपात क्षेत्रफल के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{3\pi d^2/16}{\pi d^2/4} = \frac{3}{4}$।
अतः,नई तीव्रता $I_2 = \frac{3}{4}I$ होगी और फोकस दूरी $f$ अपरिवर्तित रहेगी।

(C) समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता का सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
दिया गया है कि लेंस समतल-उत्तल है,इसलिए $R_1 = 10 \ cm$ और $R_2 = \infty$ है।
फोकस दूरी $f = 30 \ cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{\infty} \right)$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,इसलिए:
$\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} \right)$
$\frac{10}{30} = \mu - 1$
$\frac{1}{3} = \mu - 1$
$\mu = 1 + 0.333 = 1.33$.

(C) उत्तल लेंस के मामले में,यदि प्रकाश किरणें मुख्य फोकस से आ रही हैं,तो अपवर्तन के बाद निर्गत किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं।
चूंकि स्लिट $S$ और कोलिमेटिंग लेंस $L$ के बीच की दूरी लेंस की फोकस दूरी के बराबर है,इसलिए स्लिट $S$ फोकस पर रखे गए एक बिंदु स्रोत के रूप में कार्य करती है।
अतः,लेंस से बाहर निकलने वाली प्रकाश किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर होंगी,जिसे चित्र $2$ में सही ढंग से दर्शाया गया है।

(D) जब लेंस के ऊपरी आधे हिस्से को ढक दिया जाता है,तो वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें लेंस के शेष निचले आधे हिस्से से होकर गुजरती हैं।
चूंकि वस्तु का प्रत्येक बिंदु लेंस के सभी हिस्सों पर प्रकाश किरणें भेजता है,इसलिए लेंस का निचला आधा हिस्सा वस्तु का पूर्ण प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनाने के लिए पर्याप्त है।
हालाँकि,चूंकि लेंस से गुजरने वाली प्रकाश की कुल मात्रा कम हो जाती है (क्योंकि एपर्चर का आधा हिस्सा अवरुद्ध है),इसलिए प्रतिबिंब की तीव्रता कम हो जाती है।
इसलिए,पूर्ण प्रतिबिंब बनता है,लेकिन कम तीव्रता के साथ।

(B) उत्तल लेंस की विस्थापन विधि के लिए,जब वस्तु और पर्दा $D$ दूरी पर स्थिर होते हैं,तो लेंस की दो ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ पर्दे पर वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
मान लीजिए वस्तु का आकार $O$ है,और दो प्रतिबिंबों के आकार $I_1$ और $I_2$ हैं।
वस्तु के आकार और प्रतिबिंब के आकारों के बीच का संबंध सूत्र $O = \sqrt{I_1 \times I_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $I_1 = 4 \, cm$ और $I_2 = 16 \, cm$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$O = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8 \, cm$।
अतः,वस्तु की लंबाई $8 \, cm$ है।

(C) किरण आरेख एक उत्तल लेंस को दर्शाता है जिससे गुजरने के बाद आपतित समानांतर किरणें अपसरित (diverge) हो रही हैं।
यह इंगित करता है कि उत्तल लेंस एक अवतल लेंस की तरह व्यवहार कर रहा है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f$ का मान $\frac{1}{f} = (\frac{n_g}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है।
जब आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक $n_m$ (यहाँ $n_1 = n_2 = n_m$) लेंस सामग्री के अपवर्तनांक $n_g$ से अधिक होता है,तो पद $(\frac{n_g}{n_m} - 1)$ ऋणात्मक हो जाता है।
परिणामस्वरूप,फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक हो जाती है,और उत्तल लेंस एक अपसारी (अवतल) लेंस के रूप में व्यवहार करता है।
इसलिए,इस व्यवहार के लिए शर्त $n_1 = n_2$ और $n_1 > n_g$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए,माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
वायु के लिए: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{15}$.
द्रव के लिए: $\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{(\mu_g - 1)}{(\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)}$.
यहाँ $\mu_g = 1.5$,$\mu_l = 4/3$,और $f_a = 15\, cm$ दिया गया है।
$\frac{f_l}{15} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{4/3} - 1} = \frac{0.5}{1.125 - 1} = \frac{0.5}{0.125} = 4$.
अतः,$f_l = 15 \times 4 = 60\, cm$.

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f_l$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{f_l} = (_{\mu} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ $_{\mu}$ माध्यम के सापेक्ष लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
यदि लेंस एक कांच की प्लेट की तरह व्यवहार करता है,तो उसकी फोकस दूरी $f_l$ अनंत $(\infty)$ होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि लेंस की कोई अभिसारी या अपसारी क्षमता नहीं है।
$f_l = \infty$ के लिए,$(_{\mu} - 1)$ पद शून्य होना चाहिए।
इसका तात्पर्य है कि $_{\mu} = 1$.
चूंकि $_{\mu} = \frac{\mu_g}{\mu_m}$ (जहाँ $\mu_g$ कांच का अपवर्तनांक है और $\mu_m$ माध्यम का अपवर्तनांक है),इसलिए $\frac{\mu_g}{\mu_m} = 1$,जिसका अर्थ है कि $\mu_g = \mu_m$.
अतः,माध्यम का अपवर्तनांक कांच के अपवर्तनांक के बराबर होना चाहिए।

(C) उत्तल लेंस के लिए विस्थापन विधि में,लेंस की दो स्थितियों के लिए आवर्धन $m_1$ और $m_2$ इस प्रकार हैं:
$m_1 = \frac{I_1}{O} = \frac{v}{u}$
$m_2 = \frac{I_2}{O} = \frac{u}{v}$
इन दोनों समीकरणों का गुणा करने पर:
$\frac{I_1}{O} \times \frac{I_2}{O} = \frac{v}{u} \times \frac{u}{v} = 1$
$\frac{I_1 I_2}{O^2} = 1$
$O^2 = I_1 I_2$
$O = \sqrt{I_1 I_2}$
अतः,वस्तु का आकार $\sqrt{I_1 I_2}$ है।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $f$ को $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है।
उत्तल लेंस के लिए,पद $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ धनात्मक होता है।
यदि माध्यम का अपवर्तनांक $n_m$,लेंस के अपवर्तनांक $n_l$ से अधिक है,तो पद $(\frac{n_l}{n_m} - 1)$ ऋणात्मक हो जाता है।
परिणामस्वरूप,फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक हो जाती है और लेंस एक अपसारी (अवतल) लेंस की तरह व्यवहार करता है।
यहाँ $n_l = 1.525$ दिया गया है,इसलिए लेंस तब अपसारी व्यवहार करेगा यदि $n_m > 1.525$ हो।
दिए गए विकल्पों में से,कार्बन डाइसल्फाइड का अपवर्तनांक $n = 1.66$ है,जो $1.525$ से अधिक है।

(A) एक अपसारी लेंस,जिसे अवतल लेंस के रूप में भी जाना जाता है,किनारों की तुलना में केंद्र में पतला होता है।
अवतल लेंस के सामने रखी गई किसी भी वास्तविक वस्तु के लिए,प्रकाश की किरणें अपवर्तन के बाद अपसरित (diverge) हो जाती हैं।
जब इन किरणों को पीछे की ओर बढ़ाया जाता है,तो वे वस्तु की ओर ही एक बिंदु पर मिलती हुई प्रतीत होती हैं।
इसलिए,एक अवतल लेंस सभी वास्तविक वस्तुओं के लिए हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।

(A) लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$,फोकस दूरी $f = +10 \ cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1}{10} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{10} = \frac{1}{v} + \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v} = \frac{2 - 1}{20} = \frac{1}{20}$
अतः,$v = 20 \ cm$.
प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर $20 \ cm$ की दूरी पर बनेगा।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में,$\frac{1}{f_a} = (_{a}\mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
यहाँ $f_a = 20 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{20}$,जिसका अर्थ है कि $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{10}$.
पानी में,$\frac{1}{f_w} = (_{w}\mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ $_{w}\mu_{g} = \frac{_{a}\mu_{g}}{_{a}\mu_{w}} = \frac{1.5}{4/3} = \frac{1.5 \times 3}{4} = \frac{4.5}{4} = 1.125$.
अतः,$\frac{1}{f_w} = (1.125 - 1) \times \frac{1}{10} = 0.125 \times \frac{1}{10} = \frac{0.125}{10} = \frac{1}{80}$.
इसलिए,$f_w = 80 \ cm$ प्राप्त होता है।

(A) लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
दिया गया है कि वस्तु की दूरी $u = -f/2$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-f/2} = \frac{1}{v} + \frac{2}{f}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{2}{f} = -\frac{1}{f}$.
अतः,$v = -f$. ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही बनता है,जिसका अर्थ है कि यह आभासी है।
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{-f}{-f/2} = 2$.
चूंकि $m$ धनात्मक है और $1$ से बड़ा है,इसलिए प्रतिबिंब आभासी,सीधा और वस्तु के आकार से दोगुना होगा।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि लेंस द्वि-उत्तल है,इसलिए $R_1 = +20 \ cm$ और $R_2 = -20 \ cm$,तथा अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2}{20} \right) = (0.5) \left( \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{20}$.
अतः,$f = 20 \ cm$.
चूंकि लेंस की अक्ष के समानांतर आपतित प्रकाश किरणें मुख्य फोकस पर अभिसरित होती हैं,इसलिए दूरी $L$ फोकस दूरी $f$ के बराबर है,अर्थात $L = 20 \ cm$.

(C) माध्यम में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
हवा में $(\mu_m = 1)$,लेंस अभिसारी है,इसलिए $f > 0$,जिसका अर्थ है $\mu_l > 1$.
पानी में $(\mu_m = 1.33)$,लेंस अपसारी है,इसलिए $f < 0$,जिसका अर्थ है $\frac{\mu_l}{1.33} - 1 < 0$.
इससे $\frac{\mu_l}{1.33} < 1$,या $\mu_l < 1.33$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $1 < \mu_l < 1.33$ प्राप्त होता है।

(D) समतल-उत्तल लेंस के लिए, लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होता है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए, $R_1 = R = 15 \, cm$ और $R_2 = \infty$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.6 \times \frac{1}{15} = \frac{0.6}{15} = \frac{1}{25} \, cm^{-1}$।
अतः, फोकस दूरी $f = 25 \, cm = 0.25 \, m$ है।
लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f(meters)} = \frac{1}{0.25} = +4 \, D$ होगी।

(C) मान लीजिए प्रकाश के स्रोत का क्षेत्रफल $O$ है। लेंस की दो अलग-अलग स्थितियों के लिए,आवर्धन $m_1$ और $m_2$ हैं।
प्रतिबिंब का क्षेत्रफल $A = m^2 O$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $m^2 = \frac{A}{O}$।
दो स्थितियों के लिए,हमारे पास $m_1^2 = \frac{A_1}{O}$ और $m_2^2 = \frac{A_2}{O}$ है।
इनका गुणा करने पर,हमें $m_1^2 m_2^2 = \frac{A_1 A_2}{O^2}$ प्राप्त होता है।
विस्थापन विधि के लिए,आवर्धन का गुणनफल $m_1 m_2 = 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $m_1^2 m_2^2 = 1$।
इसलिए,$1 = \frac{A_1 A_2}{O^2}$,जिससे $O^2 = A_1 A_2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रकाश के स्रोत का क्षेत्रफल $O = \sqrt{A_1 A_2}$ है।

(B) जब उत्तल लेंस के मध्य भाग को काले कागज से ढक दिया जाता है,तो लेंस का प्रभावी द्वारक (aperture) कम हो जाता है।
चूंकि वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें अभी भी लेंस के शेष खुले भागों से गुजर सकती हैं,इसलिए वस्तु का पूर्ण प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनेगा।
हालाँकि,क्योंकि लेंस से गुजरने वाले प्रकाश की कुल मात्रा कम हो जाती है,इसलिए प्रतिबिंब की तीव्रता कम हो जाती है,जिससे यह कम चमकीला दिखाई देता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) प्रतिबिंब को पर्दे पर प्राप्त करना है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब वास्तविक होना चाहिए।
उत्तल दर्पण और अवतल लेंस हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनाते हैं,इसलिए वे पर्दे पर प्रतिबिंब नहीं बना सकते हैं।
अवतल दर्पण वास्तविक प्रतिबिंब बना सकता है,लेकिन वास्तविक प्रतिबिंब के छोटा (diminished) होने के लिए वस्तु को वक्रता केंद्र के पीछे $(u > 2f)$ रखा जाना चाहिए। हालाँकि,पर्दे पर प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,$1.0 \ m$ की दूरी पर वास्तविक और छोटा प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए उत्तल लेंस का उपयोग करना सबसे उपयुक्त है।
उत्तल लेंस के लिए,$D$ दूरी पर स्थित पर्दे पर वास्तविक प्रतिबिंब प्राप्त करने की शर्त $f \leq D/4$ है। यहाँ $D = 1.0 \ m$ है,इसलिए $f \leq 0.25 \ m$ होगा। अतः,$0.25 \ m$ से कम फोकस दूरी वाला उत्तल लेंस एक छोटा वास्तविक प्रतिबिंब प्रदान करेगा।

(A) उत्तल लेंस के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f + u}$ है।
चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है (क्योंकि उत्तल लेंस छोटा प्रतिबिंब बना रहा है),इसलिए आवर्धन $m = -\frac{1}{4}$ है।
फोकस दूरी $f = +30 \ cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$-\frac{1}{4} = \frac{30}{30 + u}$
$-(30 + u) = 120$
$-30 - u = 120$
$-u = 150$
$u = -150 \ cm$.
अतः,वस्तु की दूरी $150 \ cm$ है।

(C) जब लेंस के एक हिस्से को ढक दिया जाता है या काला रंग दिया जाता है,तो लेंस का शेष भाग अभी भी वस्तु का पूर्ण प्रतिबिंब बनाता है।
इसका कारण यह है कि वस्तु का प्रत्येक बिंदु लेंस के सभी भागों पर प्रकाश की किरणें भेजता है,और ये किरणें अपवर्तित होकर उसी प्रतिबिंब बिंदु पर अभिसरित होती हैं।
लेंस के आधे हिस्से को ढकने से प्रतिबिंब की तीव्रता (चमक) कम हो जाती है क्योंकि प्रतिबिंब तल तक कम प्रकाश किरणें पहुँचती हैं,लेकिन प्रतिबिंब की स्थिति और आकार अपरिवर्तित रहते हैं।

(A) यह लेंस हवा $(\mu_l = 1)$ से बना है और इसे कांच के माध्यम $(\mu_m = 1.5)$ में रखा गया है।
माध्यम में लेंस के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ $R_1 = 10 \ cm$ और $R_2 = -10 \ cm$ (द्वि-अवतल वायु लेंस के आकार के लिए):
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1}{1.5} - 1 \right) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-10} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{3} - 1 \right) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( -\frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{10} \right) = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$
$f = -15 \ cm$.
ऋणात्मक फोकस दूरी यह दर्शाती है कि लेंस एक अवतल लेंस की तरह व्यवहार करता है।

(C) दूरस्थ वस्तु के लिए,प्रतिबिंब लेंस के फोकस तल पर बनता है।
प्रतिबिंब का आकार $(h_i)$ सूत्र $h_i = f \times \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है और $\theta$ वस्तु द्वारा बनाया गया कोण रेडियन में है।
दिया गया है:
फोकस दूरी $f = 50 \ cm = 500 \ mm$.
कोण $\theta = 1 \text{ milliradian} = 1 \times 10^{-3} \text{ radians}$.
अतः,प्रतिबिंब का आकार $h_i = 500 \ mm \times (1 \times 10^{-3}) = 0.5 \ mm$।

(D) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,माध्यम में लेंस की फोकस दूरी: $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
हवा में लेंस के लिए $(f_a = 12 \ cm)$: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1)K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
द्रव में लेंस के लिए $(f_l)$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)K$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{\mu_g - 1}{\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1}$.
मान रखने पर: $\frac{f_l}{12} = \frac{\frac{3}{2} - 1}{\frac{3/2}{5/4} - 1} = \frac{1/2}{\frac{6}{5} - 1} = \frac{1/2}{1/5} = \frac{5}{2}$.
अतः,$f_l = 12 \times \frac{5}{2} = 30 \ cm$.

(A) एक्रोमैटिक डबलट के लिए,शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{f_1}{f_2}$।
विक्षेपण क्षमता का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{5}{3}$ दिया गया है।
मान लीजिए कि अवतल लेंस पहला लेंस है,इसलिए $f_1 = -15 \ cm$।
मान रखने पर: $\frac{5}{3} = -\frac{-15}{f_2}$।
$\frac{5}{3} = \frac{15}{f_2} \Rightarrow 5f_2 = 45 \Rightarrow f_2 = 9 \ cm$।
चूंकि $f_2$ धनात्मक है,इसलिए दूसरा लेंस उत्तल लेंस होना चाहिए।
अतः,दूसरा लेंस $9 \ cm$ फोकस दूरी वाला उत्तल लेंस है।

(B) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +40 \; cm$ और $R_2 = -40 \; cm$ है।
अपवर्तनांक $\mu = 1.65$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.65 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.65) \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \right)$
$\frac{1}{f} = 0.65 \times \frac{2}{40} = \frac{0.65}{20} = 0.0325$
$f = \frac{1}{0.0325} \approx 30.77 \; cm$.
निकटतम पूर्णांक में,फोकस दूरी लगभग $31 \; cm$ है।

(A) हवा में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब लेंस को $n'$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है,तो फोकस दूरी $f'$ इस प्रकार होती है: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{n}{n'} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{n - n'}{n'} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f'}{f} = \frac{(n - 1)}{\frac{n - n'}{n'}} = \frac{n'(n - 1)}{n - n'}$.
$f'$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $f' = \frac{fn'(n - 1)}{n - n'} = - \frac{fn'(n - 1)}{n' - n}$.

(B) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h_o = 1.5 \ cm$,फोकस दूरी $f = +25 \ cm$ (उत्तल लेंस के लिए),प्रतिबिंब दूरी $v = +75 \ cm$ (एकल लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब उल्टा और विपरीत दिशा में होता है)।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u} \Rightarrow \frac{1}{u} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$.
अतः,$u = -37.5 \ cm$.
आवर्धन $m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{v}{u}$.
$h_i = h_o \times \frac{v}{u} = 1.5 \times \frac{75}{-37.5} = 1.5 \times (-2) = -3 \ cm$.
प्रतिबिंब का आकार (परिमाण) $3 \ cm$ है।

(B) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
समतल-उत्तल लेंस के लिए,एक सतह समतल $(R_1 = \infty)$ है और दूसरी वक्र ($R_2 = -R = -60 \ cm$,चिह्न परिपाटी के अनुसार) है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-60} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.6) \left( 0 + \frac{1}{60} \right) = \frac{0.6}{60} = \frac{1}{100}$.
अतः,$f = 100 \ cm$.

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में अवतल लेंस के लिए,$R_1 = -R$ और $R_2 = +R$ लेने पर,$\frac{1}{f_a} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right) = 0.5 \left( -\frac{2}{R} \right) = -\frac{1}{R}$,जिसका अर्थ है $f_a = -R$।
जब इसे $1.75$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_m} = \frac{1.5}{1.75} = \frac{6}{7}$ होता है।
नई फोकस दूरी $f_l$ के लिए,$\frac{1}{f_l} = \left( \frac{6}{7} - 1 \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \left( -\frac{1}{7} \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{2}{7R}$।
अतः,$f_l = +3.5 R$।
चूंकि फोकस दूरी धनात्मक है,इसलिए लेंस एक अभिसारी (उत्तल) लेंस के रूप में व्यवहार करेगा।

(D) लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{30} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$.
$\frac{1}{30} = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right)$.
$\frac{1}{30} = \frac{1}{R}$.
अतः,$R = 30 \ cm$.
चूंकि $30 \ cm$ विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) हवा में लेंस की शक्ति उसकी सतहों की शक्तियों के योग के बराबर होती है: $P_a = P_1 + P_2 = 11 D - 6 D = 5 D$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए,माध्यम में लेंस की शक्ति और हवा में शक्ति का अनुपात: $\frac{P_l}{P_a} = \frac{_l\mu_g - 1}{_a\mu_g - 1}$.
यहाँ,$_a\mu_g = 1.5$ और $_l\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_l} = \frac{1.5}{1.6} = 0.9375$.
मान रखने पर: $\frac{P_l}{5} = \frac{0.9375 - 1}{1.5 - 1} = \frac{-0.0625}{0.5} = -0.125$.
अतः,$P_l = 5 \times (-0.125) = -0.625 D$.

(B) स्थिति $1$: जब वस्तु अनंत पर होती है,तो प्रतिबिंब मुख्य फोकस $F_2$ पर बनता है। अतः,$v_1 = f$.
स्थिति $2$: वस्तु को फोकल तल से $20 \ cm$ की दूरी पर रखा गया है। इसका अर्थ है कि वस्तु की दूरी $u = -(f + 20) \ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-(f + 20)} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f + 20} = \frac{f + 20 - f}{f(f + 20)} = \frac{20}{f(f + 20)}$.
अतः,$v_2 = \frac{f(f + 20)}{20}$.
दोनों प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $|v_2 - v_1| = 5 \ cm$ है।
$\frac{f^2 + 20f}{20} - f = 5 \Rightarrow f^2 + 20f - 20f = 100 \Rightarrow f^2 = 100 \Rightarrow f = 10 \ cm$.
वैकल्पिक रूप से,न्यूटन के लेंस समीकरण $x_1 x_2 = f^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x_1 = 20 \ cm$ और $x_2 = 5 \ cm$ है,हमें $f^2 = 20 \times 5 = 100$ प्राप्त होता है,इसलिए $f = 10 \ cm$।

(B) उत्तल लेंस की फोकस दूरी ज्ञात करने की विस्थापन विधि के अनुसार,यदि वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D$ निश्चित है और लेंस को $x$ दूरी पर स्थित दो स्थितियों में रखा जाता है,तो फोकस दूरी $f = \frac{D^2 - x^2}{4D}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $D = 100 \ cm$ और $x = 40 \ cm$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $f = \frac{(100)^2 - (40)^2}{4 \times 100} = \frac{10000 - 1600}{400} = \frac{8400}{400} = 21 \ cm$.
लेंस की शक्ति $P = \frac{100}{f(cm)} = \frac{100}{21} \approx 4.76 \ D$ होती है।
निकटतम पूर्णांक में,शक्ति लगभग $5 \ D$ है।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +5 \ cm$,वस्तु की दूरी $u = -10 \ cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{5} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-10}$.
$\frac{1}{5} = \frac{1}{v} + \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{2-1}{10} = \frac{1}{10}$.
अतः,$v = 10 \ cm$.

(D) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के अवर्णक संयोजन के लिए,शर्त इस प्रकार है:
$\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$
दिया गया है:
$f_1 = f$
$\omega_1 = \omega$
$\omega_2 = 2\omega$
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{\omega}{f} + \frac{2\omega}{f_2} = 0$
$\frac{2\omega}{f_2} = -\frac{\omega}{f}$
$\frac{2}{f_2} = -\frac{1}{f}$
$f_2 = -2f$
अतः,दूसरे लेंस की फोकस दूरी $-2f$ होगी।

(D) लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
समान वक्रता त्रिज्या वाले उभयोत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
यहाँ $f = 10 \ cm$ और $\mu = 1.6$ दिया गया है,इसलिए: $\frac{1}{10} = (1.6 - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
$\frac{1}{10} = (0.6) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1.2}{R}$.
अतः,$R = 1.2 \times 10 = 12 \ cm$ प्राप्त होता है।

(A) एक उत्तल लेंस किनारों की तुलना में केंद्र में मोटा होता है। जब प्रकाश की समानांतर किरणें उत्तल लेंस से होकर गुजरती हैं,तो वे अपवर्तित होकर मुख्य फोकस नामक एक बिंदु पर अभिसरित (converge) हो जाती हैं। इसलिए,उत्तल लेंस को अभिसारी लेंस के रूप में जाना जाता है। यह लेंस के सापेक्ष वस्तु की स्थिति के आधार पर वास्तविक और आभासी दोनों तरह के प्रतिबिंब बना सकता है। अतः,विकल्प $A$ सही कथन है।

(C) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में,फोकस दूरी $f_a = R$ है,इसलिए $\frac{1}{R} = (\mu_g - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ है।
दिया गया है $\mu_g = 1.5$,इसलिए $\frac{1}{R} = (1.5 - 1) K = 0.5 K$,जिसका अर्थ है $K = \frac{2}{R}$।
जब लेंस को पानी $(\mu_w = 1.33 \approx 4/3)$ में डुबोया जाता है,तो नई फोकस दूरी $f_w$ के लिए $\frac{1}{f_w} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1) K$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f_w} = (\frac{1.5}{4/3} - 1) \times \frac{2}{R} = (\frac{4.5}{4} - 1) \times \frac{2}{R} = (1.125 - 1) \times \frac{2}{R} = 0.125 \times \frac{2}{R} = \frac{0.25}{R} = \frac{1}{4R}$।
अतः,$f_w = 4R$।

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में लेंस के लिए ($f_a = 2 \ cm$,$\mu_g = 1.5$): $\frac{1}{2} = (1.5 - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
अतः,$K = \frac{1}{2 \times 0.5} = 1$.
जब इसे $\mu_l = 1.25$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो नई फोकस दूरी $f_l$ इस प्रकार होगी: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f_l} = (\frac{1.5}{1.25} - 1) \times 1$.
$\frac{1}{f_l} = (1.2 - 1) = 0.2$.
इसलिए,$f_l = \frac{1}{0.2} = 5 \ cm$.

(B) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
यहाँ,$\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष लेंस सामग्री का अपवर्तनांक है।
कॉची के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है,जिसे $\mu = A + \frac{B}{\lambda^2} + \dots$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $A$ और $B$ स्थिरांक हैं।
चूंकि $\mu$,$\lambda$ के साथ बदलता है,इसलिए फोकस दूरी $f$ भी प्रकाश किरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के साथ बदलती है।
आवृत्ति प्रकाश स्रोत का एक आंतरिक गुण है और यह माध्यम के साथ नहीं बदलती है,इसलिए यह अपवर्तनांक या फोकस दूरी को प्रभावित नहीं करती है।
अतः,फोकस दूरी प्रकाश किरण की तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करती है।

(B) किसी माध्यम का अपवर्तनांक लाल प्रकाश की तुलना में बैंगनी प्रकाश के लिए अधिक होता है $(n_V > n_R)$।
उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$। चूंकि $n_V > n_R$,इसलिए बैंगनी प्रकाश के लिए लेंस की शक्ति अधिक होती है,जिसका अर्थ है कि फोकस दूरी $f_V$,$f_R$ से कम होती है $(f_V < f_R)$।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी ऋणात्मक होती है। फोकस दूरी का परिमाण $|F|$ उत्तल लेंस के समान ही व्यवहार करता है,जहाँ $|F_V| < |F_R|$ होता है। चूंकि दोनों ऋणात्मक हैं,एक ऋणात्मक संख्या के लिए छोटा परिमाण एक बड़ा मान दर्शाता है: $F_V > F_R$ (उदाहरण के लिए,$-2 > -5$)।

(C) उत्तल लेंस के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f + u}$ है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है।
यह दिया गया है कि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार का $\frac{1}{n}$ गुना है,इसलिए आवर्धन $m = -\frac{1}{n}$ (वास्तविक प्रतिबिंब के लिए)।
मान रखने पर: $-\frac{1}{n} = \frac{f}{f + u}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $-(f + u) = nf$।
$-f - u = nf$।
$u = -nf - f = -(n + 1)f$।
लेंस से वस्तु की दूरी $u$ का परिमाण है,जो $(n + 1)f$ है।

(C) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu_{lens} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
हवा में,लेंस उत्तल लेंस के रूप में कार्य करता है,इसलिए $f > 0$,जिसका अर्थ है $\mu_{lens} > 1$ (क्योंकि $\mu_{air} = 1$ है)।
पानी में,लेंस अवतल लेंस के रूप में कार्य करता है,इसलिए $f < 0$ है। सूत्र इस प्रकार हो जाता है: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_{lens}}{\mu_{water}} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
$f$ का चिह्न बदलने के लिए,पद $(\frac{\mu_{lens}}{\mu_{water}} - 1)$ को ऋणात्मक होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\frac{\mu_{lens}}{\mu_{water}} < 1$,या $\mu_{lens} < \mu_{water}$।
अतः,$\mu_{air} < \mu_{lens} < \mu_{water}$,जिसका अर्थ है कि पदार्थ का अपवर्तनांक हवा से अधिक लेकिन पानी से कम है।

(B) उत्तल लेंस की विस्थापन विधि (displacement method) के लिए,यदि वस्तु और पर्दा $D$ दूरी पर स्थिर हैं,तो लेंस की दो ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ पर्दे पर वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
मान लीजिए वस्तु की ऊँचाई $O$ है और दोनों प्रतिबिंबों की ऊँचाई $I_1$ और $I_2$ है।
वस्तु की ऊँचाई और प्रतिबिंबों की ऊँचाई के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $O = \sqrt{I_1 \times I_2}$।
यहाँ $I_1 = 4 \ cm$ और $I_2 = 9 \ cm$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$O = \sqrt{4 \times 9}$
$O = \sqrt{36}$
$O = 6 \ cm$।
अतः,वस्तु की ऊँचाई $6 \ cm$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
उभयोत्तल लेंस के लिए,$R_1 = +0.2 \ m$ और $R_2 = -0.2 \ m$ होता है।
दिया गया है $\mu = 1.5$,अतः:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{0.2} - \frac{1}{-0.2} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} \right) = 0.5 \times \frac{2}{0.2} = 0.5 \times 10 = 5 \ m^{-1}$.
चूंकि शक्ति $P = \frac{1}{f}$ (मीटर में),इसलिए $P = +5 \ D$ है।

(C) लेंस की शक्ति का सूत्र $P = \frac{1}{f}$ है,जहाँ $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
यहाँ शक्ति $P = 0.5 D$ दी गई है।
चूँकि शक्ति धनात्मक है,इसलिए लेंस एक उत्तल लेंस है।
सूत्र में $P$ का मान रखने पर: $0.5 = \frac{1}{f}$।
अतः,$f = \frac{1}{0.5} = 2 m$।
इस प्रकार,यह $2 m$ फोकस दूरी वाला एक उत्तल लेंस है।