Refraction by Lenses Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कि वस्तु और वास्तविक प्रतिबिंब के बीच की दूरी $d$ है।
मान लीजिए कि लेंस से वस्तु की दूरी $u = -x$ है (चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए)।
तो लेंस से प्रतिबिंब की दूरी $v = d - x$ होगी।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{d - x} - \frac{1}{-x} = \frac{1}{d - x} + \frac{1}{x}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{x + d - x}{x(d - x)} = \frac{d}{dx - x^2}$.
द्विघात समीकरण में बदलने पर: $x^2 - dx + fd = 0$.
$x$ के वास्तविक मान के लिए,विविक्तकर (discriminant) शून्य या उससे अधिक होना चाहिए: $D = b^2 - 4ac \geq 0$.
$(-d)^2 - 4(1)(fd) \geq 0$.
$d^2 - 4fd \geq 0$.
$d(d - 4f) \geq 0$.
चूंकि $d > 0$ है,इसलिए $d \geq 4f$ होना चाहिए।
अतः,वस्तु और उसके वास्तविक प्रतिबिंब के बीच की न्यूनतम दूरी $4f$ है।

(B) विस्थापन विधि में,वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D$ स्थिर होने पर लेंस की दो ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ स्पष्ट प्रतिबिंब बनता है।
माना पहली स्थिति के लिए वस्तु दूरी $u$ और प्रतिबिंब दूरी $v$ है। अतः $m_1 = v/u$.
दूसरी स्थिति के लिए,उत्क्रमणीयता के सिद्धांत के अनुसार,वस्तु दूरी $v$ और प्रतिबिंब दूरी $u$ हो जाती है। अतः $m_2 = u/v$.
यहाँ $m_1 \times m_2 = (v/u) \times (u/v) = 1$ होता है।
दिया गया है कि लेंस का विस्थापन $x = v - u$ है।
हम जानते हैं कि $m_1 - m_2 = v/u - u/v = (v^2 - u^2) / (uv) = (v - u)(v + u) / (uv) = x(v + u) / (uv)$.
लेंस सूत्र के अनुसार,$1/f = 1/v - 1/(-u) = (u + v) / (uv)$.
इस मान को $m_1 - m_2$ के समीकरण में रखने पर,हमें $m_1 - m_2 = x \times (1/f) = x/f$ प्राप्त होता है।
अतः,लेंस की फोकस दूरी $f = x / (m_1 - m_2)$ होगी।

(A) क्षेत्रफल आवर्धन $(A_m)$,रेखीय आवर्धन $(m)$ के वर्ग के बराबर होता है।
दिया गया है: रेखीय आवर्धन $m = 4$ और वस्तु का क्षेत्रफल $A_0 = 100 \, cm^2$ है।
क्षेत्रफल आवर्धन का सूत्र $A_m = \frac{A_i}{A_0} = m^2$ है।
अतः,प्रतिबिंब का क्षेत्रफल $A_i = m^2 \times A_0$ होगा।
मान रखने पर: $A_i = (4)^2 \times 100 = 16 \times 100 = 1600 \, cm^2$।

(C) लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
एक समतल-उत्तल लेंस के लिए,पहली सतह उत्तल है $(R_1 = R)$ और दूसरी सतह समतल है $(R_2 = \infty)$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right)$.
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{1}{R} = \frac{1}{2R}$.
अतः,फोकस दूरी $f = 2R$ है।

(B) यह लेंस तीन अलग-अलग क्षैतिज खंडों से बना है,जिनमें से प्रत्येक अलग अपवर्तनांक वाले पदार्थ से बना है।
लेंस का प्रत्येक खंड अपनी स्वयं की फोकस दूरी वाले एक स्वतंत्र लेंस के रूप में कार्य करता है,जो लेंस मेकर सूत्र द्वारा निर्धारित होता है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
चूंकि तीन अलग-अलग पदार्थ हैं,इसलिए तीन अलग-अलग अपवर्तनांक $(\mu_1, \mu_2, \mu_3)$ हैं,जिसके परिणामस्वरूप तीन अलग-अलग फोकस दूरियां $(f_1, f_2, f_3)$ प्राप्त होती हैं।
जब मुख्य अक्ष पर एक बिंदुवत वस्तु रखी जाती है,तो प्रत्येक खंड लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ के अनुसार एक प्रतिबिंब बनाएगा।
चूंकि वस्तु की दूरी $u$ तीनों खंडों के लिए समान है लेकिन फोकस दूरियां $f$ अलग-अलग हैं,इसलिए प्रत्येक खंड के लिए प्रतिबिंब की दूरी $v$ अलग-अलग होगी।
अतः,लेंस के प्रत्येक खंड द्वारा एक,इस प्रकार कुल तीन अलग-अलग प्रतिबिंब बनेंगे।

(C) माना लेंस की स्थिति $x = L$ पर है। वस्तु $x_o = -40 \, cm$ पर और प्रतिबिंब $x_i = 50 \, cm$ पर है। वस्तु की दूरी $u = -(L - x_o) = -(L + 40)$ और प्रतिबिंब की दूरी $v = (x_i - L) = (50 - L)$ है।
आवर्धन $m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{-2 \, cm}{1 \, cm} = -2$ है।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,$-2 = \frac{50 - L}{-(L + 40)}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2 = \frac{50 - L}{L + 40}$ मिलता है।
$2(L + 40) = 50 - L \implies 2L + 80 = 50 - L$.
$3L = -30 \implies L = -10 \, cm$.
अतः,लेंस $x = -10 \, cm$ पर स्थित है।

(B) लेंस की शक्ति का सूत्र $P = \frac{1}{f} = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है,जहाँ $n_l$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
जब लेंस हवा में होता है,तो $n_l = \frac{n_g}{n_a} \approx n_g$ होता है। चूँकि $n_g > 1$ है,लेंस अभिसारी (converging) होता है।
जब लेंस को पानी में डुबोया जाता है,तो सापेक्ष अपवर्तनांक $n_l' = \frac{n_g}{n_w}$ हो जाता है।
चूँकि पानी का अपवर्तनांक $(n_w \approx 1.33)$ हवा के अपवर्तनांक $(n_a \approx 1.0)$ से अधिक है,इसलिए सापेक्ष अपवर्तनांक $n_l'$ कम हो जाता है $(n_l' < n_l)$।
चूँकि $P \propto (n_l - 1)$,सापेक्ष अपवर्तनांक में कमी के कारण लेंस की शक्ति $P$ घट जाती है।

(C) माना कि लेंस की वस्तु से दूरी $x$ है। तब लेंस की पर्दे से दूरी $(1.5 - x)$ होगी।
चूंकि प्रतिबिंब पर्दे पर बनता है,इसलिए यह एक वास्तविक प्रतिबिंब है। वास्तविक प्रतिबिंब के लिए आवर्धन $m = -4$ होता है।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v = (1.5 - x)$ और $u = -x$:
$-4 = \frac{1.5 - x}{-x}$
$4x = 1.5 - x$
$5x = 1.5$
$x = 0.3 \, m$.
अतः,लेंस को वस्तु से $0.3 \, m$ की दूरी पर रखा गया है।

(D) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
वायु में $(f_a = 8\, cm)$: $\frac{1}{8} = (1.5 - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
अतः,$K = \frac{1}{8 \times 0.5} = \frac{1}{4}$.
पानी में,पानी के सापेक्ष लेंस का अपवर्तनांक $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{1.5}{4/3} = 1.125$ होता है।
नई फोकस दूरी $f_w$ के लिए: $\frac{1}{f_w} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1) K$.
$\frac{1}{f_w} = (1.125 - 1) \times \frac{1}{4} = 0.125 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$.
इसलिए,$f_w = 32\, cm$.

(D) पर्दे पर स्पष्ट छवि प्राप्त करने के लिए लेंस की दो स्थितियों के बीच की दूरी $d$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$d = \sqrt{D^2 - 4fD}$
जहाँ $D$ वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी है और $f$ लेंस की फोकस दूरी है।
दिया गया है: $D = 70 \; cm$ और $f = 16 \; cm$।
मान रखने पर:
$d = \sqrt{(70)^2 - 4 \times 16 \times 70}$
$d = \sqrt{4900 - 4480}$
$d = \sqrt{420}$
$d \approx 20.49 \; cm \approx 20.5 \; cm$.

(A) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में कांच के लेंस के लिए $(\mu_g = 1.5)$: $\frac{1}{2} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \frac{1}{2} = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 1$.
जब इसे द्रव में डुबोया जाता है $(\mu_l = 1.25)$: $\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f_l} = \left( \frac{1.5}{1.25} - 1 \right) (1) = (1.2 - 1) = 0.2$.
अतः,$f_l = \frac{1}{0.2} = 5 \, cm$.

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
दिया गया है $f_a = 4 \, cm$ और $\mu_g = 1.5$,इसलिए $\frac{1}{4} = (1.5 - 1) K \Rightarrow K = \frac{1}{2} = 0.5$.
पानी में: $\frac{1}{f_w} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1) K$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f_w} = (\frac{1.5}{1.33} - 1) \times 0.5$.
चूंकि $1.33 \approx \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{1.5}{1.33} \approx 1.5 \times \frac{3}{4} = 1.125$.
$\frac{1}{f_w} = (1.125 - 1) \times 0.5 = 0.125 \times 0.5 = 0.0625$.
$f_w = \frac{1}{0.0625} = 16 \, cm$.

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,लेंस की फोकस दूरी $f$ को $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दिए गए लेंस के लिए $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ स्थिर है,इसलिए $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$।
कॉची के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार,बैंगनी प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $\mu$ लाल प्रकाश की तुलना में अधिक होता है,अर्थात $\mu_v > \mu_R$।
चूंकि $\mu_v > \mu_R$,इसलिए $(\mu_v - 1) > (\mu_R - 1)$ होगा।
अतः,$\frac{1}{f_v} > \frac{1}{f_R}$,जिसका अर्थ है $f_R > f_v$।

(C) मैग्नीफायर लेंस (उत्तल लेंस) के मामले में,प्रतिबिंब आभासी,सीधा और वस्तु की ओर ही बनता है।
दिया गया है: फोकस दूरी $f = +10 \, cm$ (उत्तल लेंस के लिए)।
चूंकि प्रतिबिंब आभासी है,इसलिए प्रतिबिंब दूरी $v = -30 \, cm$ होगी।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
मान रखने पर: $\frac{1}{-30} - \frac{1}{u} = \frac{1}{10}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $-\frac{1}{u} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30}$
$-\frac{1}{u} = \frac{3 + 1}{30} = \frac{4}{30}$
$-\frac{1}{u} = \frac{2}{15}$
$u = -7.5 \, cm$
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि वस्तु को लेंस के सामने $7.5 \, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(A) माध्यम में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f_m} = (\frac{\mu_L}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
यहाँ,$\mu_L = 1.5$ (लेंस का अपवर्तनांक) और $\mu_m = 1.33$ (पानी का अपवर्तनांक) है।
चूंकि $\mu_L > \mu_m$ है,इसलिए पद $(\frac{\mu_L}{\mu_m} - 1)$ धनात्मक है।
उत्तल लेंस के लिए,$(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ भी धनात्मक होता है।
अतः,फोकस दूरी $f_m$ धनात्मक रहती है,जिसका अर्थ है कि लेंस एक अभिसारी लेंस के रूप में कार्य करना जारी रखता है।

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$,जहाँ $\mu$ सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu = \frac{\mu_L}{\mu_M}$ है।
हवा में: $\frac{1}{f_a} = \left( \frac{3/2}{1} - 1 \right) K = \frac{1}{2} K$,जहाँ $K = \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
दिया है $f_a = 0.3 \ m$,इसलिए $\frac{1}{0.3} = \frac{1}{2} K \implies K = \frac{2}{0.3} = \frac{20}{3}$.
पानी में: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) K = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) K = \frac{1}{8} K$.
$K$ का मान रखने पर: $\frac{1}{f_w} = \frac{1}{8} \times \frac{20}{3} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$.
अतः,$f_w = \frac{6}{5} = 1.2 \ m$.

(D) कैमरा लेंस का आवर्धन $m$,प्रतिबिंब के आकार और वस्तु के आकार के अनुपात द्वारा दिया जाता है,जो प्रतिबिंब दूरी $v$ और वस्तु दूरी $u$ के अनुपात के बराबर भी होता है।
वस्तु बहुत दूर होने के कारण,प्रतिबिंब फोकस तल पर बनता है,इसलिए $v = f = 0.5\; m$.
वस्तु दूरी $u = 2000\; m$.
रैखिक आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{f}{u} = \frac{0.5\; m}{2000\; m} = \frac{1}{4000}$.
जमीन पर कवर किए गए रैखिक आयाम $L_{ground} = \frac{L_{film}}{m} = L_{film} \times 4000$ हैं।
फिल्म का आकार $18\; cm \times 18\; cm = 0.18\; m \times 0.18\; m$ दिया गया है।
इसलिए,जमीन के आयाम $(0.18 \times 4000\; m) \times (0.18 \times 4000\; m) = 720\; m \times 720\; m$ होंगे।

(D) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f = +10 \, cm$ है।
प्रथम मुख्य फोकस $(F_1)$ लेंस के प्रकाशिक केंद्र से बाईं ओर $10 \, cm$ की दूरी पर स्थित होता है।
वस्तु $F_1$ से लेंस की ओर $5 \, cm$ की दूरी पर रखी गई है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = -(10 + 5) = -15 \, cm$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{15} = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = +30 \, cm$.
इस प्रकार,प्रतिबिंब लेंस से $30 \, cm$ की दूरी पर बनता है।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ को लेंस मेकर सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
कॉशी के समीकरण के अनुसार,पदार्थ का अपवर्तनांक $n$ कम तरंग दैर्ध्य वाले प्रकाश (जैसे नीला) के लिए अधिक और अधिक तरंग दैर्ध्य वाले प्रकाश (जैसे लाल) के लिए कम होता है।
चूंकि $n_{blue} > n_{red}$ है,इसलिए $(n - 1)$ का मान नीले प्रकाश के लिए लाल प्रकाश की तुलना में अधिक होता है।
चूंकि फोकस दूरी $f$,$(n - 1)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए $(n - 1)$ का छोटा मान बड़ी फोकस दूरी प्रदान करता है।
अतः,लाल प्रकाश,जिसकी तरंग दैर्ध्य सबसे अधिक और अपवर्तनांक सबसे कम होता है,उत्तल लेंस के लिए अधिकतम फोकस दूरी प्रदान करता है।

(B) दिया गया है: $h_1 = 25 \ cm$,$f = 30 \ cm$,$h_2 = \pm 50 \ cm$.
स्थिति $1$: वास्तविक प्रतिबिंब $(h_2 = -50 \ cm)$
आवर्धन $m = \frac{h_2}{h_1} = \frac{-50}{25} = -2$.
$m = \frac{f}{f + u}$ का उपयोग करने पर,$-2 = \frac{30}{30 + u} \Rightarrow 30 + u = -15 \Rightarrow u = -45 \ cm$.
$m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,$-2 = \frac{v}{-45} \Rightarrow v = 90 \ cm$.
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $d = |v| + |u| = 90 + 45 = 135 \ cm$.
स्थिति $2$: आभासी प्रतिबिंब $(h_2 = +50 \ cm)$
आवर्धन $m = \frac{h_2}{h_1} = \frac{50}{25} = +2$.
$m = \frac{f}{f + u}$ का उपयोग करने पर,$2 = \frac{30}{30 + u} \Rightarrow 60 + 2u = 30 \Rightarrow 2u = -30 \Rightarrow u = -15 \ cm$.
$m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,$2 = \frac{v}{-15} \Rightarrow v = -30 \ cm$.
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $d = |v - u| = |-30 - (-15)| = |-15| = 15 \ cm$.
चूंकि $15 \ cm$ विकल्पों में दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $15 \ cm$ है।

(A) हवा में लेंस की शक्ति $P_a = \frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = -5 \ D$ है।
यहाँ $\mu_g = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $-5 = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$।
अतः,$\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{-5}{0.5} = -10 \ m^{-1}$।
जब लेंस को $\mu_l = 1.6$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है,तो शक्ति $P_l = (\mu_g - \mu_l) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P_l = (1.5 - 1.6) (-10) = (-0.1) (-10) = +1 \ D$।

(D) एक आवर्धक लेंस (उत्तल लेंस) के मामले में,वस्तु को प्रकाशिक केंद्र और फोकस के बीच रखा जाता है। बनने वाला प्रतिबिंब आभासी,सीधा और आवर्धित होता है।
दिया गया है: फोकस दूरी $f = +10 \, cm$,प्रतिबिंब दूरी $v = -30 \, cm$ (क्योंकि प्रतिबिंब आभासी है और वस्तु की ओर ही बनता है)।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
मान रखने पर: $\frac{1}{-30} - \frac{1}{u} = \frac{1}{10}$
$-\frac{1}{u} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{3+1}{30} = \frac{4}{30}$
$u = -\frac{30}{4} = -7.5 \, cm$
आवर्धन $m$ का सूत्र है: $m = \frac{v}{u}$
$m = \frac{-30}{-7.5} = 4$
अतः,आवर्धन $4$ है।

(C) दिया गया है: व्यास $D = 6\, cm$,इसलिए त्रिज्या $a = 3\, cm = 0.03\, m$। केंद्र पर मोटाई $t = 3\, mm = 0.003\, m$।
लेंस में प्रकाश की गति $v = 2 \times 10^{8}\, m/s$। निर्वात में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8}\, m/s$।
अपवर्तनांक $\mu = c/v = (3 \times 10^{8}) / (2 \times 10^{8}) = 1.5$।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्या $R$,त्रिज्या $a$ और मोटाई $t$ से इस प्रकार संबंधित है: $R = (a^2 + t^2) / (2t)$।
चूंकि $t$ बहुत छोटा है,$t^2$ नगण्य है,इसलिए $R \approx a^2 / (2t) = (3^2) / (2 \times 0.3) = 9 / 0.6 = 15\, cm$।
फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $1/f = (\mu - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$।
यहाँ $R_1 = R = 15\, cm$ और $R_2 = \infty$।
$1/f = (1.5 - 1)(1/15 - 0) = 0.5 / 15 = 1 / 30$।
अतः,$f = 30\, cm$।

(C) आपतित किरण पुंज अभिसारी है,इसलिए वस्तु आभासी है। लेंस से बिंदु $P$ की दूरी $u = +12 \, cm$ है।
अवतल लेंस की फोकस दूरी $f = -16 \, cm$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$
मान रखने पर: $\frac{1}{-16} = \frac{1}{v} - \frac{1}{12}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$
अतः,$v = +48 \, cm$.
इस प्रकार,किरण पुंज लेंस से $48 \, cm$ की दूरी पर अभिसरित होगी।

(D) समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
यहाँ,$f = R$,$R_1 = R$,और $R_2 = \infty$ (समतल सतह के लिए)।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{R} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right)$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{R} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} \right)$
$1 = \mu - 1$
$\mu = 2$

(D) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -10 \, cm$,प्रतिबिंब की दूरी $v = +20 \, cm$ (क्योंकि यह लेंस के पीछे बनता है)।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{20} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1+2}{20} = \frac{3}{20} \, cm^{-1}$.
लेंस की शक्ति $P$ (डायोप्टर में) $P = \frac{100}{f(cm)}$ द्वारा दी जाती है।
$P = 100 \times \frac{3}{20} = 5 \times 3 = +15 \, D$.

(B) लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
दिया गया है: $\mu = 1.5$,$R_1 = +20 \ cm$ और $R_2 = -20 \ cm$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right) = (0.5) \left( \frac{2}{20} \right) = (0.5) \left( \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{20}$.
अतः,$f = 20 \ cm$.
चूंकि आपतित किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर हैं,इसलिए वे मुख्य फोकस पर अभिसरित होती हैं। अतः,$L = f = 20 \ cm$.

(B) दिया गया है:
लैंप और दीवार के बीच की दूरी,$D = 6.0\; m$।
लैंप से लेंस की दूरी,$u = -1.2\; m$ (चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए)।
दीवार से लेंस की दूरी (जहाँ प्रतिबिंब बनता है),$v = 6.0\; m - 1.2\; m = 4.8\; m$।
आवर्धन $m$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$m = \frac{v}{u}$
मान रखने पर:
$m = \frac{4.8\; m}{-1.2\; m} = -4$
अतः,प्रतिबिंब का आवर्धन $-4$ है।

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
एक समतल-उत्तल लेंस के लिए,समतल सतह की वक्रता त्रिज्या $R_2 = \infty$ और उत्तल सतह की वक्रता त्रिज्या $R_1 = 10 \ cm$ होती है।
दी गई फोकस दूरी $f = 30 \ cm$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{10} - \frac{1}{\infty} \right]$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} \right)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$\frac{10}{30} = \mu - 1$
$\frac{1}{3} = \mu - 1$
अतः,$\mu = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

(D) विस्थापन विधि में,वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D = 70 \, cm$ है और लेंस की फोकस दूरी $f = 16 \, cm$ है।
लेंस की उन दो स्थितियों के बीच की दूरी $d$ जिसके लिए पर्दे पर स्पष्ट प्रतिबिंब बनता है,उसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$d = \sqrt{D^2 - 4fD}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \sqrt{(70)^2 - 4 \times 16 \times 70}$
$d = \sqrt{4900 - 4480}$
$d = \sqrt{420}$
$d \approx 20.4939 \, cm$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $d \approx 20.5 \, cm$ प्राप्त होता है।

(B) लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
उत्तल लेंस के लिए मानक चिह्न परिपाटी के अनुसार,वस्तु की दूरी $u$ ऋणात्मक $(-u)$ और प्रतिबिंब की दूरी $v$ धनात्मक $(+v)$ होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-u} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{u-f}{fu}$.
अतः,$v = \frac{fu}{u-f}$.
जैसे-जैसे $u$ का मान $f$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$v$ का मान $\infty$ से $f$ तक घटता है। यह प्रथम चतुर्थांश में एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जो विकल्प $B$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
कॉची के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (लगभग $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$)।
चूंकि लाल प्रकाश का तरंगदैर्ध्य $(\lambda_r)$ नीले प्रकाश के तरंगदैर्ध्य $(\lambda_b)$ से अधिक होता है,इसलिए लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $(\mu_r)$ नीले प्रकाश के अपवर्तनांक $(\mu_b)$ से कम होता है।
सूत्र से,$f \propto \frac{1}{(\mu - 1)}$.
चूंकि $\mu_r < \mu_b$,इसलिए $(\mu_r - 1)$ का मान $(\mu_b - 1)$ से कम होगा।
अतः,लाल प्रकाश के लिए फोकस दूरी $(f_r)$ नीले प्रकाश की फोकस दूरी $(f_b)$ से अधिक होगी।
इस प्रकार,फोकस दूरी बढ़ेगी।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ केवल उसकी सतहों की वक्रता त्रिज्या और पदार्थ के अपवर्तनांक पर निर्भर करती है। यह लेंस के द्वारक (व्यास) पर निर्भर नहीं करती है। इसलिए,फोकस दूरी $f$ ही रहेगी।
लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब की तीव्रता $I$,द्वारक के क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होती है,$I \propto A$.
प्रारंभ में,क्षेत्रफल $A = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
जब $\frac{d}{2}$ व्यास वाले केंद्रीय भाग को ढक दिया जाता है,तो प्रभावी क्षेत्रफल $A'$ कुल क्षेत्रफल में से ढके हुए भाग का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है:
$A' = \pi (\frac{d}{2})^2 - \pi (\frac{d/2}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4} - \frac{\pi d^2}{16} = \frac{3\pi d^2}{16}$।
नई तीव्रता $I'$ और मूल तीव्रता $I$ का अनुपात है:
$\frac{I'}{I} = \frac{A'}{A} = \frac{3\pi d^2 / 16}{\pi d^2 / 4} = \frac{3}{4}$।
अतः,नई तीव्रता $I' = \frac{3I}{4}$ होगी।

(A) हवा में लेंस की शक्ति $P_a = +5.0 \, D$ है। अतः हवा में फोकस दूरी $f_a = \frac{1}{P_a} = \frac{1}{5} \, m = 20 \, cm$ होगी।
लेंस मेकर सूत्र के अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{_a\mu_g - 1}{_l\mu_g - 1}$,जहाँ $_l\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_l} = \frac{1.5}{\mu_l}$ है।
चूँकि द्रव में लेंस अवतल लेंस की तरह कार्य करता है,इसलिए फोकस दूरी $f_l = -100 \, cm$ होगी।
मान रखने पर: $\frac{-100}{20} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{\mu_l} - 1}$.
$-5 = \frac{0.5}{\frac{1.5}{\mu_l} - 1}$.
$-5 \left( \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \right) = 0.5$.
$-\frac{7.5}{\mu_l} + 5 = 0.5$.
$4.5 = \frac{7.5}{\mu_l}$.
$\mu_l = \frac{7.5}{4.5} = \frac{5}{3}$.

(B) उभयोत्तल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्या $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होती है। यहाँ $R = 40\, cm$ और $\mu = 1.65$ दिया गया है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.65 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.65) \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \right) = 0.65 \times \frac{2}{40} = \frac{0.65}{20}$.
$f = \frac{20}{0.65} \approx 30.77\, cm$.
निकटतम पूर्णांक में,$f \approx 31\, cm$ प्राप्त होता है।

(B) लेंस की फोकस दूरी $f$ के लिए विस्थापन विधि का सूत्र $f = \frac{D^2 - x^2}{4D}$ है,जहाँ $D$ वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी है और $x$ लेंस की दो स्थितियों के बीच की दूरी है।
यहाँ $D = 100 \, cm$ और $x = 40 \, cm$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $f = \frac{100^2 - 40^2}{4 \times 100} = \frac{10000 - 1600}{400} = \frac{8400}{400} = 21 \, cm$.
डायोप्टर $(D)$ में लेंस की शक्ति $P$,$P = \frac{100}{f(cm)}$ द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{100}{21} \approx 4.76 \, D$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$P \approx 5 \, D$ प्राप्त होता है।

(C) उत्तल लेंस के लिए,जब किसी वस्तु को दो अलग-अलग स्थितियों पर रखा जाता है ताकि पर्दे पर स्पष्ट प्रतिबिंब प्राप्त हो (विस्थापन विधि),तो वस्तु की ऊँचाई $O$ दोनों प्रतिबिंबों $I_1$ और $I_2$ की ऊँचाइयों के गुणोत्तर माध्य के बराबर होती है।
$O = \sqrt{I_1 \times I_2}$
यहाँ $I_1 = 8 \, cm$ और $I_2 = 2 \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$O = \sqrt{8 \times 2} = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
अतः,वस्तु की ऊँचाई $4 \, cm$ है।

(C) माना सूर्य का व्यास $D$ है और लेंस द्वारा बने प्रतिबिंब का व्यास $d$ है।
लेंस से सूर्य की दूरी $u = 10^{11} \, m$ है।
लेंस की फोकस दूरी $f = 2 \, m$ है।
चूंकि सूर्य बहुत अधिक दूरी पर है,इसलिए प्रतिबिंब लेंस के फोकस पर बनता है।
प्रकाशिक केंद्र से गुजरने वाली किरणों की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध है:
$\tan \alpha = \frac{D}{u} = \frac{d}{f}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1.4 \times 10^9}{10^{11}} = \frac{d}{2}$
$d = \frac{2 \times 1.4 \times 10^9}{10^{11}} \, m$
$d = 2.8 \times 10^{-2} \, m$
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$d = 2.8 \times 10^{-2} \times 10^2 \, cm = 2.8 \, cm$.

(C) पृथ्वी से देखे जाने पर सूर्य का कोणीय व्यास $\alpha = \frac{\text{सूर्य का व्यास}}{\text{सूर्य की दूरी}} = \frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}} \approx 9.26 \times 10^{-3}\, \text{रेडियन}$ है।
जब सूर्य के प्रकाश को $f = 10\, cm = 0.1\, m$ फोकस दूरी वाले लेंस द्वारा केंद्रित किया जाता है,तो सूर्य का प्रतिबिंब फोकस पर बनता है।
प्रतिबिंब का व्यास $d$,$d = f \times \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $d = 0.1\, m \times (\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}})$.
$d = 0.1 \times 0.926 \times 10^{-2} = 0.0926 \times 10^{-2} = 9.26 \times 10^{-4}\, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $9.2 \times 10^{-4}\, m$ है।

(C) लेंस की फोकस दूरी उसके अपवर्तनांक और उसकी सतहों की वक्रता त्रिज्या पर निर्भर करती है,न कि उसके द्वारक (aperture) के आकार पर। इसलिए,फोकस दूरी $f$ ही रहेगी।
लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब की तीव्रता लेंस के उस क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होती है जो आपतित प्रकाश के लिए खुला रहता है।
तीव्रता $I \propto \text{क्षेत्रफल} (A)$
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{A_2}{A_1}$
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
केंद्रीय भाग में $\frac{d}{2}$ व्यास वाले हिस्से को ढकने पर,ढके हुए भाग की त्रिज्या $r = \frac{d}{4}$ होगी।
ढके हुए भाग का क्षेत्रफल $A_{covered} = \pi \left(\frac{d}{4}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{16}$.
शेष खुला क्षेत्रफल $A_2 = A_1 - A_{covered} = \frac{\pi d^2}{4} - \frac{\pi d^2}{16} = \frac{3\pi d^2}{16}$.
तीव्रता का अनुपात: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{3\pi d^2 / 16}{\pi d^2 / 4} = \frac{3}{4}$.
अतः,नई तीव्रता $I_2 = \frac{3}{4} I$ होगी।

(D) मान लीजिए कि लेंस के बिना अभिसारी पुंज का फोकस लेंस से $x$ दूरी पर है। जब लेंस मौजूद होता है,तो प्रतिबिंब $v = +15\, cm$ पर बनता है।
जब लेंस को हटा दिया जाता है,तो किरणें $5\, cm$ करीब मिलती हैं,इसलिए लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u = 15 - 5 = +10\, cm$ होगी।
चूंकि पुंज अभिसारी है,इसलिए वस्तु आभासी है,अतः $u$ धनात्मक है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{1}{f}$.
$\frac{2 - 3}{30} = \frac{1}{f}$.
$\frac{-1}{30} = \frac{1}{f}$.
अतः,$f = -30\, cm$।

(C) मान लीजिए कि लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है और वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = 20\, cm$ और $R_2 = -20\, cm$ हैं,तो लेंस निर्माता के सूत्र के अनुसार फोकस दूरी $f$:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1.5 - 1)(\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}) = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$. अतः,$f = 20\, cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -30\, cm$:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = 60\, cm$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$.
चूँकि $m = \frac{h_i}{h_o}$,इसलिए $h_i = m \times h_o = -2 \times 2\, cm = -4\, cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब उल्टा है और ऊँचाई का परिमाण $4\, cm$ है। चूँकि $v$ धनात्मक है,प्रतिबिंब वास्तविक है।

(D) किसी माध्यम में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
जहाँ $\mu_l$ लेंस का अपवर्तनांक है,$\mu_m$ आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक है,और $R_1, R_2$ वक्रता त्रिज्याएँ हैं।
यदि लेंस कांच की एक समतल शीट की तरह व्यवहार करता है,तो इसकी फोकस दूरी $f$ अनंत $(f \to \infty)$ हो जाती है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{f} = 0$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $0 = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
चूंकि लेंस उभयोत्तल है,इसलिए $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) \neq 0$.
अतः,$(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{\mu_l}{\mu_m} = 1$,या $\mu_l = \mu_m$.
इस प्रकार,द्रव का अपवर्तनांक कांच के अपवर्तनांक $(1.47)$ के बराबर होना चाहिए।

(D) न्यूटन के लेंस सूत्र के अनुसार,उत्तल लेंस के लिए,वस्तु और प्रतिबिंब की उनके संबंधित फोकस से दूरियों का गुणनफल फोकस दूरी के वर्ग के बराबर होता है,अर्थात $xx' = f^2$।
उत्तल लेंस द्वारा वास्तविक प्रतिबिंब बनने के लिए,वस्तु को फोकस के बाहर रखा जाना चाहिए $(x > 0)$।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमानता के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x$ और $x'$ के लिए,हमारे पास $\frac{x + x'}{2} \ge \sqrt{xx'}$ है।
$xx' = f^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x + x'}{2} \ge \sqrt{f^2} = f$ प्राप्त होता है।
अतः,$x + x' \ge 2f$।

(C) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$,जहाँ $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$.
$1$. हवा में,$\mu_{medium} = 1$. चूँकि यह एक अभिसारी लेंस के रूप में कार्य करता है,$f > 0$,जिसका अर्थ है $\mu_{lens} > 1$.
$2$. पानी में,$\mu_{medium} = 1.33$ (या $4/3$). चूँकि यह एक अपसारी लेंस के रूप में कार्य करता है,$f < 0$,जिसका अर्थ है $\mu_{rel} < 1$.
$3$. इसलिए,$\frac{\mu_{lens}}{\mu_{water}} < 1$,जिसका अर्थ है $\mu_{lens} < \mu_{water}$.
$4$. चूँकि $\mu_{water} = 4/3$ दिया गया है,इसलिए शर्त $1 < \mu_{lens} < 4/3$ है।

(A) माध्यम में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
द्वि-अवतल लेंस के लिए,$R_1 = -R$ और $R_2 = +R$ होता है।
दिया गया है: $\mu_l = 1.5$,$\mu_m = 1.75$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (\frac{1.5}{1.75} - 1) (\frac{1}{-R} - \frac{1}{R})$.
$\frac{1}{f} = (\frac{6}{7} - 1) (-\frac{2}{R}) = (-\frac{1}{7}) (-\frac{2}{R}) = \frac{2}{7R}$.
अतः,$f = 3.5 R$.
चूंकि फोकस दूरी $f$ धनात्मक है,इसलिए लेंस एक अभिसारी लेंस के रूप में व्यवहार करता है।

(C) मान लीजिए वस्तु की दूरी $u$ है और प्रतिबिंब की दूरी $v$ है। दिया गया है कि प्रतिबिंब वास्तविक है और वस्तु के आकार से दोगुना है,इसलिए आवर्धन $m = -v/u = -2$ है। अतः,$v = 2u$ है।
लेंस सूत्र के अनुसार,$1/f = 1/v - 1/u$ है। $v = 2u$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1/f = 1/(2u) - 1/u = -1/(2u)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $u = -2f$ और $v = 4f$ है।
वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D = |u| + v = 2f + 4f = 6f$ है।
जब वस्तु और पर्दे की स्थितियों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई वस्तु दूरी $u' = -4f$ और नई प्रतिबिंब दूरी $v' = 2f$ हो जाती है।
नया आवर्धन $m' = -v'/u' = -(2f)/(-4f) = 1/2$ है।
इसलिए,नए प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार का आधा है।

(B) माना लेंस की फोकस दूरी $f$ है। आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{v}{u}$ है।
$u_1$ दूरी पर वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m_1 = \frac{f}{f - u_1}$ होता है। चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है,$m_1$ ऋणात्मक है,इसलिए $m_1 = -\frac{f}{u_1 - f}$।
$u_2$ दूरी पर आभासी प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m_2 = \frac{f}{f - u_2}$ होता है। चूंकि प्रतिबिंब आभासी है,$m_2$ धनात्मक है,इसलिए $m_2 = \frac{f}{f - u_2}$।
यह दिया गया है कि आकार समान हैं,इसलिए $|m_1| = |m_2|$।
अतः,$|-\frac{f}{u_1 - f}| = |\frac{f}{f - u_2}|$।
चूंकि $u_1 > f$ (वास्तविक प्रतिबिंब के लिए) और $u_2 < f$ (आभासी प्रतिबिंब के लिए),हमें $\frac{f}{u_1 - f} = \frac{f}{f - u_2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $f - u_2 = u_1 - f$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2f = u_1 + u_2$,जिसका अर्थ है $f = \frac{u_1 + u_2}{2}$।

(D) दिया गया है:
कांच के लेंस का अपवर्तनांक,$n_2 = 1.5$
द्रव माध्यम का अपवर्तनांक,$n_1 = 1.75$
द्वि-अवतल लेंस के लिए वक्रता त्रिज्या: $R_1 = -R$ और $R_2 = +R$।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_2}{n_1} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5}{1.75} - 1 \right) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5 - 1.75}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{-0.25}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( -\frac{1}{7} \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{2}{7R}$
$f = 3.5 \,R$
चूंकि फोकस दूरी $f$ धनात्मक है,इसलिए लेंस $3.5 \,R$ फोकस दूरी वाले अभिसारी लेंस के रूप में व्यवहार करेगा। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +80\, cm$ (उत्तल लेंस के लिए),वस्तु की ऊँचाई $h_o = 0.5\, cm$,और वस्तु की दूरी $u = -60\, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{80} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-60} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{80} - \frac{1}{60}$.
गणना करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{3 - 4}{240} = -\frac{1}{240}$.
अतः,$v = -240\, cm$. चूँकि $v$ ऋणात्मक है,प्रतिबिंब आभासी है।
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{-240}{-60} = +4$.
प्रतिबिंब की ऊँचाई $h_i = m \times h_o = 4 \times 0.5\, cm = 2\, cm$.
चूँकि $m$ धनात्मक है,प्रतिबिंब सीधा है। अतः,प्रतिबिंब आभासी,सीधा और $2\, cm$ ऊँचा है।