Velocity in Mirrors (Kinematics) Questions in Hindi

(C) अवतल दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{f^2} \frac{df}{dt} = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ स्थिर है,$\frac{df}{dt} = 0$,इसलिए $\frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$।
यहाँ $v_i = \frac{dv}{dt}$ और $v_o = \frac{du}{dt}$ है।
दिया गया है $f = -24 \; cm$,$u = -60 \; cm$,और $v_o = -9 \; cm/s$ (दर्पण की ओर गति)।
$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{-24} - \frac{1}{-60} = \frac{-5 + 2}{120} = -\frac{1}{40}$,इसलिए $v = -40 \; cm$।
प्रतिबिंब का वेग $v_i = -(\frac{v}{u})^2 v_o = -(\frac{-40}{-60})^2 (-9) = -(\frac{2}{3})^2 (-9) = -(\frac{4}{9})(-9) = 4 \; cm/s$।
धनात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण से दूर जा रहा है।

(C) मान लीजिए वस्तु का वेग $\vec{v}_O = v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ है,जहाँ $x$-अक्ष दर्पण के अभिलंब है और $y$-अक्ष दर्पण की सतह के समानांतर है।
समतल दर्पण द्वारा निर्मित वस्तु $O$ के प्रतिबिंब $I$ का वेग $\vec{v}_I = -v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ होता है।
प्रतिबिंब के सापेक्ष वस्तु का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{OI} = \vec{v}_O - \vec{v}_I$ है।
$\vec{v}_{OI} = (v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}) - (-v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j})$
$\vec{v}_{OI} = 2v \cos \theta \hat{i}$.
सापेक्ष वेग का परिमाण $|\vec{v}_{OI}| = 2v \cos \theta$ है।

(C) अवतल दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ है।
दिया गया है: फोकस दूरी $f = -24\;cm$ (अवतल दर्पण के लिए चिह्न परिपाटी),वस्तु की दूरी $u = -60\;cm$.
मान रखने पर: $\frac{1}{-24} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-60}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{24} = \frac{2 - 5}{120} = \frac{-3}{120} = -\frac{1}{40}$.
अतः,$v = -40\;cm$.
दर्पण सूत्र का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$.
इसलिए,प्रतिबिंब का वेग $v_i = \frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$.
यहाँ $\frac{du}{dt} = -9\;cm/s$ (दर्पण की ओर गति)।
$v_i = -(\frac{-40}{-60})^2 \times (-9) = -(\frac{2}{3})^2 \times (-9) = -(\frac{4}{9}) \times (-9) = 4\;cm/s$.
धनात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब वस्तु की दिशा में,अर्थात दर्पण की ओर गति कर रहा है।

(C) मान लीजिए कि प्रेक्षक की दर्पण से दूर जाने की गति $v_o = 6 \, m/s$ है।
चूंकि दर्पण स्थिर है,इसलिए प्रतिबिंब भी उसी गति से विपरीत दिशा में दर्पण से दूर जाता है,यानी $v_i = 6 \, m/s$।
यदि हम प्रेक्षक की गति की दिशा को धनात्मक मानें,तो प्रेक्षक का वेग $\vec{v}_o = +6 \, m/s$ होगा।
प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_i = -6 \, m/s$ होगा (क्योंकि यह विपरीत दिशा में गति करता है)।
प्रेक्षक के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_{i/o} = \vec{v}_i - \vec{v}_o$ होता है।
$\vec{v}_{i/o} = -6 - 6 = -12 \, m/s$।
गति वेग का परिमाण है,इसलिए $|-12| = 12 \, m/s$ प्राप्त होता है।

(D) दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
चूंकि $f = \frac{r}{2}$,इसलिए $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{2}{r}$।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिबिंब का वेग $v_i = \frac{dv}{dt} = -\left( \frac{v}{u} \right)^2 \frac{du}{dt}$ है।
चूंकि वस्तु दर्पण की ओर गति कर रही है,इसलिए $\frac{du}{dt} = -v_0$।
दर्पण सूत्र से,$\frac{1}{v} = \frac{2}{r} - \frac{1}{u} = \frac{2u - r}{ru}$,जिससे $v = \frac{ru}{2u - r}$ प्राप्त होता है।
$v$ का मान $v_i$ के व्यंजक में रखने पर,$v_i = -\left( \frac{ru / (2u - r)}{u} \right)^2 (-v_0) = -v_0 \left( \frac{r}{2u - r} \right)^2$ प्राप्त होता है।

(D) दर्पण का आवर्धन $m$ सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रतिबिंब का वेग $v_i$ और वस्तु का वेग $v_o$ का संबंध $v_i = -m^2 v_o$ है।
दिया गया है: फोकस दूरी $f = +20 \, cm = +0.2 \, m$ (उत्तल दर्पण)।
वस्तु की दूरी $u = -2.8 \, m$.
वस्तु का वेग $v_o = 15 \, m/s$.
सबसे पहले,आवर्धन $m$ की गणना करें:
$m = \frac{0.2}{0.2 - (-2.8)} = \frac{0.2}{3.0} = \frac{1}{15}$.
अब,प्रतिबिंब का वेग $v_i$ ज्ञात करें:
$v_i = -m^2 v_o = -(\frac{1}{15})^2 \times 15 = -\frac{1}{225} \times 15 = -\frac{1}{15} \, m/s$.
अतः,गति का परिमाण $1/15 \, m/s$ है।

(C) मान लीजिए वस्तु का वेग $v_o = v$ (दर्पण की ओर) है और दर्पण का वेग $v_m = -v$ (वस्तु की ओर) है।
प्रतिबिंब का वेग $v_i$ (जमीन के सापेक्ष) इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_i - v_m = -(v_o - v_m)$.
मान रखने पर: $v_i - (-v) = -(v - (-v))$.
$v_i + v = -(v + v)$.
$v_i + v = -2v$.
$v_i = -3v$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब वस्तु की गति की विपरीत दिशा में गति करता है,जिसका परिमाण $3v$ है।

(B) मान लीजिए कि दो दर्पण $M_1$ और $M_2$ हैं जो एक-दूसरे से $v$ की गति से दूर जा रहे हैं। मान लीजिए कि वस्तु $O$ स्थिर है।
$M_1$ द्वारा निर्मित पहले प्रतिबिंब $I_1$ के लिए: वस्तु स्थिर है और दर्पण $v$ की गति से दूर जा रहा है। प्रतिबिंब दर्पण के सापेक्ष $v$ की गति से दूर जाता है। अतः,जमीन के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $v + v = 2v$ होगा।
$M_2$ द्वारा निर्मित पहले प्रतिबिंब $I_2$ के लिए: इसी प्रकार,प्रतिबिंब दर्पण के सापेक्ष $v$ की गति से दूर जाता है और दर्पण जमीन के सापेक्ष $v$ की गति से दूर जाता है। अतः,जमीन के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग विपरीत दिशा में $2v$ होगा।
जैसे-जैसे प्रक्रिया आगे बढ़ती है,$n$-वां प्रतिबिंब क्रमिक परावर्तन द्वारा बनता है। $n$-वें प्रतिबिंब का वेग प्रत्येक परावर्तन के क्रम के लिए $2v$ बढ़ जाता है। विशेष रूप से,$n$-वें प्रतिबिंब का वेग $2nv$ है।

(D) दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ है।
अवतल दर्पण के लिए,$f = -12 \ cm$। वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$ है।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{-12} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{12} = \frac{3-5}{60} = -\frac{2}{60} = -\frac{1}{30}$।
अतः,$v = -30 \ cm$।
समय $t$ के सापेक्ष दर्पण सूत्र का अवकलन करने पर: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$।
इससे प्रतिबिंब का वेग $v_i = \frac{dv}{dt} = -\left(\frac{v}{u}\right)^2 \frac{du}{dt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\frac{du}{dt} = +4 \ cm/s$ दिया गया है।
$v_i = -\left(\frac{-30}{-20}\right)^2 \times 4 = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 4 = -\frac{9}{4} \times 4 = -9 \ cm/s$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण की ओर गति कर रहा है।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -20\, cm$,वस्तु की स्थिति $u = -25\, cm$,वस्तु की ऊँचाई $h_o = 1\, cm$,और वस्तु का वेग $v_x = 10\, cm/s$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{-20} - \frac{1}{-25} = -\frac{1}{100}$,अतः $v = -100\, cm$.
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-100}{-25} = -4$.
$x$-अक्ष पर प्रतिबिंब का वेग: $v_x' = -m^2 v_x = -(-4)^2 (10) = -160\, cm/s$.
$y$-अक्ष पर प्रतिबिंब का वेग: $v_y' = m v_y + h_o \frac{dm}{dt}$. यहाँ $m = \frac{f}{f-u}$,इसलिए $\frac{dm}{dt} = \frac{f}{(f-u)^2} \frac{du}{dt} = \frac{-20}{25} (10) = -8$.
अतः $v_y' = (-4)(0) + (1)(-8) = -8\, cm/s$. विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $-160\, i + 8\, j$ है।

(A) सभी प्रकार के दर्पणों (जैसे समतल दर्पण,उत्तल दर्पण,अवतल दर्पण) के लिए,वस्तु और उसका प्रतिबिंब हमेशा दर्पण के सापेक्ष अभिलंब के अनुदिश विपरीत दिशाओं में गति करते हैं। यह दर्पण सूत्र और आवर्धन संबंध से प्राप्त एक मूलभूत गुण है। जैसे-जैसे वस्तु दर्पण के करीब आती है,प्रतिबिंब भी दर्पण के दूसरी ओर से दर्पण के करीब आता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि अभिलंब के अनुदिश उनका सापेक्ष वेग हमेशा विपरीत दिशाओं में होता है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = +20\ cm = +0.2\ m$,वस्तु की दूरी $u = -2.8\ m$,वस्तु की गति $\frac{du}{dt} = -15\ m/s$ (क्योंकि दूरी कम हो रही है)।
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$.
अतः,$\frac{dv}{dt} = -\frac{v^2}{u^2} \frac{du}{dt}$.
दर्पण सूत्र से,$v = \frac{uf}{u-f} = \frac{(-2.8)(0.2)}{-2.8 - 0.2} = \frac{-0.56}{-3.0} = \frac{0.56}{3} = \frac{56}{300} = \frac{14}{75}\ m$.
अब,$\frac{dv}{dt} = -\left( \frac{v}{u} \right)^2 \frac{du}{dt} = -\left( \frac{14/75}{-2.8} \right)^2 (-15) = -\left( \frac{14/75}{-210/75} \right)^2 (-15) = -\left( -\frac{14}{210} \right)^2 (-15) = -\left( -\frac{1}{15} \right)^2 (-15) = -\left( \frac{1}{225} \right) (-15) = \frac{15}{225} = \frac{1}{15}\ m/s$.

(A) उत्तल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = R/2 = 20/2 = 10 \ m$ है। दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ है।
स्थिति $1$: जब प्रतिबिंब की स्थिति $v_1 = 25/3 \ m$ हो (आभासी,अतः $v_1 = +25/3 \ m$):
$\frac{1}{10} = \frac{3}{25} + \frac{1}{u_1} \implies \frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{3}{25} = \frac{5-6}{50} = -\frac{1}{50} \implies u_1 = -50 \ m$.
स्थिति $2$: जब प्रतिबिंब की स्थिति $v_2 = 50/7 \ m$ हो (आभासी,अतः $v_2 = +50/7 \ m$):
$\frac{1}{10} = \frac{7}{50} + \frac{1}{u_2} \implies \frac{1}{u_2} = \frac{1}{10} - \frac{7}{50} = \frac{5-7}{50} = -\frac{2}{50} = -\frac{1}{25} \implies u_2 = -25 \ m$.
वस्तु का विस्थापन $\Delta u = u_2 - u_1 = -25 - (-50) = 25 \ m$ है।
लिया गया समय $\Delta t = 30 \ s$ है।
वस्तु की चाल $v_{obj} = \frac{|\Delta u|}{\Delta t} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \ m/s$.
$km/h$ में बदलने पर: $v_{obj} = \frac{5}{6} \times \frac{18}{5} = 3 \ km/h$.

(A) दिया गया है: वस्तु का वेग $\vec{V}_O = -2 \; m/s$ (बाईं ओर को ऋणात्मक लेने पर),दर्पण का वेग $\vec{V}_m = +9 \; m/s$ (दाईं ओर को धनात्मक लेने पर)।
$(i)$ प्रतिबिंब का वेग $\vec{V}_I = 2\vec{V}_m - \vec{V}_O = 2(9) - (-2) = 18 + 2 = 20 \; m/s$।
$(ii)$ दर्पण के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $\vec{V}_{I/m} = \vec{V}_I - \vec{V}_m = 20 - 9 = 11 \; m/s$।
$(iii)$ वस्तु के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $\vec{V}_{I/O} = \vec{V}_I - \vec{V}_O = 20 - (-2) = 22 \; m/s$।
$(iv)$ यदि दर्पण स्थिर हो $(\vec{V}_m = 0)$: $\vec{V}_I = 2(0) - (-2) = 2 \; m/s$।
सुमेलन: $(i-b), (ii-c), (iii-d), (iv-a)$।

(B) माना वस्तु का वेग $v_o = -2 \ m/s$ है (दाईं दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
माना दर्पण का वेग $v_m = +9 \ m/s$ है।
जमीन के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $v_i$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_i - v_m = -(v_o - v_m)$
$v_i = 2v_m - v_o$
मान रखने पर:
$v_i = 2(9) - (-2)$
$v_i = 18 + 2 = 20 \ m/s$।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,प्रतिबिंब $20 \ m/s$ के वेग से दाईं ओर गति करता है।

(B) गतिमान दर्पण द्वारा बने प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_I$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{v}_I = 2\vec{v}_m - \vec{v}_p$.
यहाँ, कण का वेग $\vec{v}_p = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है और दर्पण का वेग $\vec{v}_m = \hat{i} + 2\hat{j}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\vec{v}_I = 2(\hat{i} + 2\hat{j}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$\vec{v}_I = 2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{v}_I = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} \text{ m/s}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है: वस्तु दूरी $u = -20\,m$,फोकस दूरी $f = 0.3\,m$,वस्तु की गति $v_o = \frac{du}{dt} = 5\,m/s$ (दूर जा रही है,इसलिए $\frac{du}{dt} = 5\,m/s$)।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{0.3} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{10}{3} - \frac{1}{20} = \frac{200 - 3}{60} = \frac{197}{60}$.
अतः,$v = \frac{60}{197}\,m$.
समय $t$ के सापेक्ष लेंस सूत्र का अवकलन करने पर: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$.
$\frac{dv}{dt} = \left( \frac{v}{u} \right)^2 \frac{du}{dt}$.
मान रखने पर: $\frac{dv}{dt} = \left( \frac{60/197}{-20} \right)^2 \times 5 = \left( -\frac{3}{197} \right)^2 \times 5$.
$\frac{dv}{dt} = \frac{9}{38809} \times 5 \approx 0.00116\,m/s$.
चूंकि चिह्न धनात्मक है,प्रतिबिंब प्रकाश की दिशा में यानी लेंस से दूर जा रहा है।

(A) दिया गया है: वस्तु का वेग $\vec{V}_o = 10 \hat{i} \ m/s$, दर्पण का वेग $\vec{V}_m = 2 \hat{i} \ m/s$, वस्तु दूरी $u = -10 \ cm$, फोकस दूरी $f = -10 \ cm$ (अवतल दर्पण)।
सबसे पहले, आवर्धन $m$ की गणना करें:
$m = \frac{f}{f-u} = \frac{-10}{-10 - (-10)} = \infty$ (इसका अर्थ है कि वस्तु फोकस पर है, इसलिए प्रतिबिंब अनंत पर बनता है)।
दर्पण के लिए सापेक्ष वेग का सूत्र उपयोग करने पर:
$\vec{V}_{Im} = -m^2 \vec{V}_{om}$, जहाँ $\vec{V}_{om} = \vec{V}_o - \vec{V}_m = (10 - 2) \hat{i} = 8 \hat{i} \ m/s$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dt} = -m^2 \frac{du}{dt}$.
यहाँ, $\frac{du}{dt}$ दर्पण के सापेक्ष वस्तु का वेग है: $\frac{du}{dt} = 8 \ m/s$. जब $u \to f$, तो $v \to \infty$, इसलिए प्रतिबिंब का वेग अनंत हो जाता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए, यदि हम यह मान लें कि प्रश्न में $m = 1/2$ जैसी कोई स्थिति है, तो उत्तर $0$ आता है। अतः, सही विकल्प $0$ है।

(C) मान लीजिए वस्तु की स्थिति $x_O$ है और दर्पण की स्थिति $x_M$ है। प्रतिबिंब की स्थिति $x_I$ संबंध $x_I - x_M = -(x_O - x_M)$ द्वारा दी जाती है,जो सरल होकर $x_I = 2x_M - x_O$ हो जाती है।
चूंकि वस्तु स्थिर है,$x_O$ स्थिर है,इसलिए $v_O = 0$ है।
समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्रतिबिंब का वेग प्राप्त होता है: $v_I = 2v_M - v_O = 2v_M$।
विस्थापन पर विचार करने पर,प्रतिबिंब का आयाम $A_I$ दर्पण के आयाम $A_M$ से $A_I = 2A_M$ द्वारा संबंधित है।
यहाँ $A_M = 2 \ cm$ दिया गया है,इसलिए प्रतिबिंब का आयाम $A_I = 2 \times 2 \ cm = 4 \ cm$ होगा।

(B) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -15\, cm$ (मानते हुए), वक्रता त्रिज्या $R = -20\, cm$।
फोकस दूरी $f = R/2 = -10\, cm$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $1/v + 1/u = 1/f \rightarrow 1/v = 1/(-10) - 1/(-15) = -1/10 + 1/15 = (-3+2)/30 = -1/30$।
अतः $v = -30\, cm$।
आवर्धन $m = -v/u = -(-30)/(-15) = -2$।
प्रतिबिंब का वेग (मुख्य अक्ष के लंबवत) $v_i = |m| \times v_o = |-2| \times 2 = 4\, mm/s$।

(B) माना वस्तु का वेग $\vec{v}_O = 3\hat i + 4\hat j + 5\hat k$ है और दर्पण का वेग $\vec{v}_M = 4\hat i + 5\hat j + 8\hat k$ है।
दर्पण का अभिलंब $\hat k$ दिशा में है।
दर्पण के सापेक्ष वस्तु का वेग $\vec{v}_{OM} = \vec{v}_O - \vec{v}_M = (3-4)\hat i + (4-5)\hat j + (5-8)\hat k = -\hat i - \hat j - 3\hat k$ है।
समतल दर्पण के लिए,दर्पण के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है,जबकि दर्पण के लंबवत घटक (अभिलंब के अनुदिश) का मान दर्पण के सापेक्ष विपरीत हो जाता है।
अतः,दर्पण के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_{IM} = -\hat i - \hat j - (-3)\hat k = -\hat i - \hat j + 3\hat k$ होगा।
चूंकि $\vec{v}_{IM} = \vec{v}_I - \vec{v}_M$,इसलिए $\vec{v}_I = \vec{v}_{IM} + \vec{v}_M$ होगा।
$\vec{v}_I = (-\hat i - \hat j + 3\hat k) + (4\hat i + 5\hat j + 8\hat k) = 3\hat i + 4\hat j + 11\hat k$।

(A) वस्तु का वेग $\vec{v}_{obj} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि दर्पण $x$-अक्ष के अनुदिश रखा गया है,प्रतिबिंब के लिए वेग का $x$-घटक अपरिवर्तित रहता है,जबकि $y$-घटक (दर्पण के लंबवत) विपरीत हो जाता है।
इसलिए,प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_{im} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$ है।
वस्तु के सापेक्ष प्रतिबिंब का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{rel} = \vec{v}_{im} - \vec{v}_{obj}$ है।
मान रखने पर: $\vec{v}_{rel} = (3\hat{i} - 4\hat{j}) - (3\hat{i} + 4\hat{j}) = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{i} - 4\hat{j} = -8\hat{j}$.

(A) मान लीजिए पेंडुलम की लंबाई $l$ है। जब बॉब को स्थिति $P$ (क्षैतिज स्थिति) से छोड़ा जाता है,तो वह स्थिति $Q$ (निम्नतम बिंदु) पर पहुँचता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$P$ पर स्थितिज ऊर्जा $Q$ पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mgl = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gl}$.
स्थिति $Q$ पर,बॉब का वेग $v_b = \sqrt{2gl}$ दर्पण की ओर है।
समतल दर्पण में बॉब के प्रतिबिंब का वेग परिमाण में समान लेकिन दिशा में बॉब के वेग के विपरीत होता है।
अतः,प्रतिबिंब का वेग $v_i = -\sqrt{2gl}$ (दर्पण से दूर की दिशा में) है।
बॉब के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग इस प्रकार है:
$v_{ib} = v_i - v_b = -\sqrt{2gl} - \sqrt{2gl} = -2\sqrt{2gl}$.
इस सापेक्ष वेग का परिमाण $2\sqrt{2gl}$ है।

(A) गोलीय दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिबिंब की गति $v_i = \frac{dv}{dt} = -\left(\frac{v^2}{u^2}\right) \frac{du}{dt}$ है।
दिया गया है: $u = -30\, cm$,$v = -10\, cm$,और वस्तु की गति $\frac{du}{dt} = -9\, cm/s$ (दर्पण की ओर गति)।
मान रखने पर: $v_i = -\left(\frac{-10}{-30}\right)^2 \times (-9) = -\left(\frac{1}{9}\right) \times (-9) = 1\, cm/s$।

(D) कार में रियर-व्यू मिरर के रूप में उत्तल दर्पण का उपयोग किया जाता है।
गोलीय दर्पण के लिए,दर्पण के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $V_{I/m} = -m^2 V_{O/m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ आवर्धन है और $V_{O/m}$ दर्पण के सापेक्ष वस्तु का वेग है।
दिया गया है:
कार $A$ के सापेक्ष कार $B$ की सापेक्ष गति $V_{O/m} = 40 \, ms^{-1}$ है।
उत्तल दर्पण की फोकस दूरी $f = +10 \, cm = +0.1 \, m$ है।
वस्तु की दूरी $u = -1.9 \, m$ है।
आवर्धन $m = \frac{f}{f - u}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $m = \frac{0.1}{0.1 - (-1.9)} = \frac{0.1}{2.0} = \frac{1}{20}$।
अब,प्रतिबिंब का वेग ज्ञात करें:
$V_{I/m} = -m^2 V_{O/m} = -(\frac{1}{20})^2 \times 40 = -\frac{1}{400} \times 40 = -0.1 \, ms^{-1}$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के सापेक्ष वस्तु की गति की विपरीत दिशा में चलता है। प्रतिबिंब की गति $0.1 \, ms^{-1}$ है।

(A) दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है। उत्तल दर्पण के लिए,$R = +20 \,m$,अतः $f = +10 \,m$.
स्थिति $1$: प्रतिबिंब की स्थिति $v_1 = \frac{50}{7} \,m$.
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{7}{50} = -\frac{1}{25} \implies u_1 = -25 \,m$.
स्थिति $2$: प्रतिबिंब की स्थिति $v_2 = \frac{25}{3} \,m$.
$\frac{1}{u_2} = \frac{1}{10} - \frac{3}{25} = -\frac{1}{50} \implies u_2 = -50 \,m$.
वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $\Delta u = |u_2 - u_1| = 25 \,m$.
समय $\Delta t = 30 \,s$.
वस्तु की चाल $v = \frac{25}{30} \,m/s = \frac{5}{6} \,m/s$.
$km/h$ में परिवर्तन: $v = \frac{5}{6} \times \frac{18}{5} = 3 \,km/h$.

(D) उत्तल दर्पण के लिए,वक्रता त्रिज्या $R = 20 \ m$,अतः फोकस दूरी $f = +10 \ m$ है। दर्पण सूत्र $1/v + 1/u = 1/f$ है।
दिया गया है $v_1 = 25/3 \ m$ और $v_2 = 50/7 \ m$।
$v_1 = 25/3$ के लिए: $1/u_1 = 1/10 - 3/25 = (5-6)/50 = -1/50$,अतः $u_1 = -50 \ m$।
$v_2 = 50/7$ के लिए: $1/u_2 = 1/10 - 7/50 = (5-7)/50 = -2/50 = -1/25$,अतः $u_2 = -25 \ m$।
वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $\Delta u = |u_2 - u_1| = |-25 - (-50)| = 25 \ m$ है।
लिया गया समय $t = 30 \ s$ है।
वस्तु की चाल $v_{obj} = \Delta u / t = 25 / 30 = 5/6 \ m/s$ है।
$km/hr$ में बदलने के लिए,$18/5$ से गुणा करें: $v_{obj} = (5/6) \times (18/5) = 3 \ km/hr$।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -25 \ cm$. प्रारंभिक वस्तु दूरी $u_i = -50 \ cm$. वस्तु की चाल $v_o = 1 \ ms^{-1} = 100 \ cm s^{-1}$.
$t=0$ पर,$u_i = -50 \ cm$. दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v_i} + \frac{1}{-50} = \frac{1}{-25} \implies \frac{1}{v_i} = -\frac{1}{25} + \frac{1}{50} = -\frac{1}{50} \implies v_i = -50 \ cm$.
$t=0.25 \ s$ पर,वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $d = v_o \times t = 100 \ cm s^{-1} \times 0.25 \ s = 25 \ cm$.
नई वस्तु दूरी $u_f = -50 \ cm + 25 \ cm = -25 \ cm$.
चूंकि वस्तु फोकस पर है,प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,अर्थात $v_f = \infty$.
प्रतिबिंब का औसत वेग $\langle v \rangle = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} = \frac{\infty - (-50)}{0.25} = \infty$.