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Refraction Through Single Curved Surface Questions in Hindi
Class 12 Physics · Ray Optics and Optical Instruments · Refraction Through Single Curved Surface
86+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 86 questions in Hindi
1
MediumMCQ
एक बिंदु वस्तु $O$ को $30\; cm$ वक्रता त्रिज्या वाले कांच की छड़ के गोलाकार सिरे के सामने चित्र में दिखाए अनुसार रखा गया है। प्रतिबिंब कहाँ बनेगा?
A
$30\; cm$ बाईं ओर
B
$Infinity$
C
$1\; cm$ दाईं ओर
D
$18\; cm$ बाईं ओर
Solution
(A) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -15\; cm$,वक्रता त्रिज्या $R = +30\; cm$,हवा का अपवर्तनांक $\mu_1 = 1$,कांच का अपवर्तनांक $\mu_2 = 1.5$.
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
मान रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1.5 - 1}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{0.5}{30}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1 - 4}{60} = \frac{-3}{60} = -\frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times (-20) = -30\; cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब गोलाकार सतह के बाईं ओर $30\; cm$ की दूरी पर बनता है।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
मान रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1.5 - 1}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{0.5}{30}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1 - 4}{60} = \frac{-3}{60} = -\frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times (-20) = -30\; cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब गोलाकार सतह के बाईं ओर $30\; cm$ की दूरी पर बनता है।
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MediumMCQ
$6 \ cm$ त्रिज्या और $1.5$ अपवर्तनांक वाले कांच के गोले के केंद्र पर एक बिंदु वस्तु रखी गई है। गोले की सतह से आभासी प्रतिबिंब की दूरी .......$cm$ है।
A
$2$
B
$4$
C
$6$
D
$12$
Solution
(C) गोलीय सतह पर अपवर्तन का सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ है।
यहाँ,प्रकाश कांच $(\mu_1 = 1.5)$ से हवा $(\mu_2 = 1.0)$ में जा रहा है।
वस्तु केंद्र पर है,इसलिए दूरी $u = -6 \ cm$ है।
वक्रता त्रिज्या $R = -6 \ cm$ है (क्योंकि वक्रता केंद्र सतह के बाईं ओर है)।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{-6} = \frac{1.0 - 1.5}{-6}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1.5}{6} = \frac{-0.5}{-6}$.
$\frac{1}{v} + 0.25 = \frac{0.5}{6}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 3}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.
अतः,$v = -6 \ cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी है और वस्तु की ओर ही सतह से $6 \ cm$ की दूरी पर बनता है।
यहाँ,प्रकाश कांच $(\mu_1 = 1.5)$ से हवा $(\mu_2 = 1.0)$ में जा रहा है।
वस्तु केंद्र पर है,इसलिए दूरी $u = -6 \ cm$ है।
वक्रता त्रिज्या $R = -6 \ cm$ है (क्योंकि वक्रता केंद्र सतह के बाईं ओर है)।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{-6} = \frac{1.0 - 1.5}{-6}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1.5}{6} = \frac{-0.5}{-6}$.
$\frac{1}{v} + 0.25 = \frac{0.5}{6}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 3}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.
अतः,$v = -6 \ cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी है और वस्तु की ओर ही सतह से $6 \ cm$ की दूरी पर बनता है।
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DifficultMCQ
$4 \,cm$ व्यास वाले कांच के गोले में स्थित हवा का एक बुलबुला जब व्यास के अनुदिश देखा जाता है,तो आँख के सबसे निकटतम सतह से $1 \,cm$ की दूरी पर दिखाई देता है। यदि कांच का अपवर्तनांक $_a\mu_g = 1.5$ है,तो अपवर्तक सतह से बुलबुले की वास्तविक दूरी .....$cm$ है।
A
$1.2$
B
$3.2$
C
$2.8$
D
$1.6$
Solution
(A) दिया गया है: गोले का व्यास = $4 \,cm$,इसलिए त्रिज्या $R = 2 \,cm$ है।
प्रतिबिंब की दूरी $v = -1 \,cm$ (क्योंकि यह वस्तु की ओर बनने वाला एक आभासी प्रतिबिंब है)।
जिस माध्यम में वस्तु स्थित है उसका अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.5$ है।
जिस माध्यम में प्रेक्षक स्थित है उसका अपवर्तनांक $\mu_2 = 1$ है।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,प्रकाश कांच से हवा में जा रहा है और सतह वस्तु के सापेक्ष अवतल है,इसलिए $R = -2 \,cm$ है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{-1} - \frac{1.5}{u} = \frac{1 - 1.5}{-2}$
$-1 - \frac{1.5}{u} = \frac{-0.5}{-2}$
$-1 - \frac{1.5}{u} = 0.25$
$-\frac{1.5}{u} = 1.25$
$u = -\frac{1.5}{1.25} = -1.2 \,cm$.
अतः,सतह से बुलबुले की दूरी $1.2 \,cm$ है।
प्रतिबिंब की दूरी $v = -1 \,cm$ (क्योंकि यह वस्तु की ओर बनने वाला एक आभासी प्रतिबिंब है)।
जिस माध्यम में वस्तु स्थित है उसका अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.5$ है।
जिस माध्यम में प्रेक्षक स्थित है उसका अपवर्तनांक $\mu_2 = 1$ है।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,प्रकाश कांच से हवा में जा रहा है और सतह वस्तु के सापेक्ष अवतल है,इसलिए $R = -2 \,cm$ है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{-1} - \frac{1.5}{u} = \frac{1 - 1.5}{-2}$
$-1 - \frac{1.5}{u} = \frac{-0.5}{-2}$
$-1 - \frac{1.5}{u} = 0.25$
$-\frac{1.5}{u} = 1.25$
$u = -\frac{1.5}{1.25} = -1.2 \,cm$.
अतः,सतह से बुलबुले की दूरी $1.2 \,cm$ है।
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MediumMCQ
$R$ वक्रता त्रिज्या वाली एक गोलीय सतह हवा (अपवर्तनांक $1.0$) को कांच (अपवर्तनांक $1.5$) से अलग करती है। वक्रता केंद्र कांच में स्थित है। हवा में रखे एक बिंदु वस्तु $P$ का वास्तविक प्रतिबिंब $Q$ कांच में बनता है। रेखा $PQ$ सतह को बिंदु $O$ पर काटती है,और $PO = OQ$ है। दूरी $PO$ किसके बराबर है ($R$ में)?
A
$5$
B
$3$
C
$2$
D
$1.5$
Solution
(A) जब प्रकाश की किरण एक गोलीय सतह पर अपवर्तन के बाद $\mu_{1}$ से $\mu_{2}$ माध्यम में जाती है,तो सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
यहाँ वस्तु हवा में $(\mu_{1} = 1.0)$ है और प्रतिबिंब कांच में $(\mu_{2} = 1.5)$ है।
चिह्न परिपाटी के अनुसार,वस्तु की दूरी $u = -PO = -x$ और प्रतिबिंब की दूरी $v = +OQ = +x$ है (क्योंकि $PO = OQ = x$)। वक्रता त्रिज्या $R$ धनात्मक है क्योंकि वक्रता केंद्र कांच में स्थित है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1.0}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} R = 5 R$
अतः,दूरी $PO = 5 R$ है।
$\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
यहाँ वस्तु हवा में $(\mu_{1} = 1.0)$ है और प्रतिबिंब कांच में $(\mu_{2} = 1.5)$ है।
चिह्न परिपाटी के अनुसार,वस्तु की दूरी $u = -PO = -x$ और प्रतिबिंब की दूरी $v = +OQ = +x$ है (क्योंकि $PO = OQ = x$)। वक्रता त्रिज्या $R$ धनात्मक है क्योंकि वक्रता केंद्र कांच में स्थित है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1.0}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} R = 5 R$
अतः,दूरी $PO = 5 R$ है।
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DifficultMCQ
चित्र में दिखाए गए $2$ अपवर्तनांक वाले पदार्थ के स्लैब में $10 \, cm$ वक्रता त्रिज्या वाली एक वक्रीय सतह $APB$ और एक समतल सतह $CD$ है। $APB$ के बाईं ओर हवा है और $CD$ के दाईं ओर पानी है,जिनके अपवर्तनांक चित्र में दिए गए हैं। एक वस्तु $O$ को ध्रुव $P$ से $15 \, cm$ की दूरी पर रखा गया है। बाईं ओर से देखने पर,$O$ के अंतिम प्रतिबिंब की $P$ से दूरी ..... $cm$ है।
A
$20$
B
$30$
C
$40$
D
$50$
Solution
(B) गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र है:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,प्रकाश पदार्थ $(\mu_1 = 2)$ से हवा $(\mu_2 = 1)$ में जा रहा है।
ध्रुव $P$ मूल बिंदु है। वस्तु $O$ पदार्थ के अंदर $P$ से $15 \, cm$ की दूरी पर है,इसलिए $u = -15 \, cm$.
उत्तल सतह $APB$ (बाईं ओर से देखने पर) के लिए वक्रता त्रिज्या $R = -10 \, cm$ है (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
मान रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{2}{-15} = \frac{1 - 2}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{15} = \frac{-1}{-10} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{2}{15} = \frac{3 - 4}{30} = -\frac{1}{30}$
$v = -30 \, cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब $I$ आभासी है और $P$ के बाईं ओर $30 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,प्रकाश पदार्थ $(\mu_1 = 2)$ से हवा $(\mu_2 = 1)$ में जा रहा है।
ध्रुव $P$ मूल बिंदु है। वस्तु $O$ पदार्थ के अंदर $P$ से $15 \, cm$ की दूरी पर है,इसलिए $u = -15 \, cm$.
उत्तल सतह $APB$ (बाईं ओर से देखने पर) के लिए वक्रता त्रिज्या $R = -10 \, cm$ है (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
मान रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{2}{-15} = \frac{1 - 2}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{15} = \frac{-1}{-10} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{2}{15} = \frac{3 - 4}{30} = -\frac{1}{30}$
$v = -30 \, cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब $I$ आभासी है और $P$ के बाईं ओर $30 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
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DifficultMCQ
$R$ वक्रता त्रिज्या वाली एक गोलाकार सतह हवा (अपवर्तनांक $n_1 = 1.0$) को कांच (अपवर्तनांक $n_2 = 1.5$) से अलग करती है। वक्रता केंद्र कांच के अंदर है। $P$ पर स्थित एक बिंदु वस्तु का $Q$ पर वास्तविक प्रतिबिंब बनता है। रेखा $PQ$ सतह को $O$ पर काटती है और $PO = OQ$ है। तो $PO$ की दूरी क्या है?
A
$R$
B
$3\, R$
C
$2\, R$
D
$5\, R$
Solution
(D) गोलाकार सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र है: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$।
यहाँ,$n_1 = 1.0$ (हवा) और $n_2 = 1.5$ (कांच) है।
वस्तु हवा में $P$ पर स्थित है,इसलिए $u = -PO$। मान लीजिए $PO = x$,तो $u = -x$।
प्रतिबिंब वास्तविक है और कांच में $Q$ पर बनता है,इसलिए $v = +OQ$। चूँकि $PO = OQ = x$,इसलिए $v = +x$।
वक्रता केंद्र कांच के अंदर है,इसलिए वक्रता त्रिज्या $R$ धनात्मक होगी: $+R$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1.0}{-x} = \frac{1.5 - 1.0}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1.0}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} \times R = 5R$।
अतः,$PO$ की दूरी $5R$ है।
यहाँ,$n_1 = 1.0$ (हवा) और $n_2 = 1.5$ (कांच) है।
वस्तु हवा में $P$ पर स्थित है,इसलिए $u = -PO$। मान लीजिए $PO = x$,तो $u = -x$।
प्रतिबिंब वास्तविक है और कांच में $Q$ पर बनता है,इसलिए $v = +OQ$। चूँकि $PO = OQ = x$,इसलिए $v = +x$।
वक्रता केंद्र कांच के अंदर है,इसलिए वक्रता त्रिज्या $R$ धनात्मक होगी: $+R$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1.0}{-x} = \frac{1.5 - 1.0}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1.0}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} \times R = 5R$।
अतः,$PO$ की दूरी $5R$ है।
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View Solution7
DifficultMCQ
एक बिंदु वस्तु को एक कांच की छड़ के गोलाकार सिरे से $15 \, cm$ की दूरी पर रखा गया है। गोलाकार सिरे की वक्रता त्रिज्या $30 \, cm$ है। बनने वाले प्रतिबिंब की स्थिति ज्ञात कीजिए।
A
$30 \, cm$ बाईं ओर
B
अनंत पर
C
$1 \, cm$ दाईं ओर
D
$18 \, cm$ बाईं ओर
Solution
(A) गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (हवा के लिए),$\mu_2 = 1.5$ (कांच के लिए),$u = -15 \, cm$,और $R = +30 \, cm$ (क्योंकि वक्रता केंद्र ध्रुव के दाईं ओर है)।
मान रखने पर: $\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1.5 - 1}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{0.5}{30}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15} = \frac{1 - 4}{60} = -\frac{3}{60} = -\frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times (-20) = -30 \, cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब ध्रुव के बाईं ओर $30 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (हवा के लिए),$\mu_2 = 1.5$ (कांच के लिए),$u = -15 \, cm$,और $R = +30 \, cm$ (क्योंकि वक्रता केंद्र ध्रुव के दाईं ओर है)।
मान रखने पर: $\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1.5 - 1}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{0.5}{30}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15} = \frac{1 - 4}{60} = -\frac{3}{60} = -\frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times (-20) = -30 \, cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब ध्रुव के बाईं ओर $30 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
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View Solution8
MediumMCQ
एक कांच के गोले $(\mu=1.5)$ में स्थित हवा का बुलबुला $10\; cm$ व्यास वाली उत्तल सतह से $3\; cm$ की दूरी पर है। बुलबुला सतह से कितनी दूरी पर दिखाई देगा ($; cm$ में)?
A
$1.6$
B
$2$
C
$2.5$
D
$5.9$
Solution
(C) अपवर्तन एक एकल गोलीय सतह पर होता है। गोलीय सतह पर अपवर्तन का सूत्र है:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,प्रकाश कांच से हवा में जा रहा है,इसलिए $\mu_1 = 1.5$ और $\mu_2 = 1$ है।
वस्तु (बुलबुला) कांच के अंदर है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = -3\; cm$ है।
उत्तल सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ ऋणात्मक ली जाती है क्योंकि वक्रता केंद्र आपतित प्रकाश की ओर है,इसलिए $R = -5\; cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-3} = \frac{1 - 1.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = \frac{-0.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = 0.1$
$\frac{1}{v} = 0.1 - 0.5 = -0.4$
$v = -\frac{1}{0.4} = -2.5\; cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी है और वस्तु की ओर ही सतह से $2.5\; cm$ की दूरी पर बनता है।
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,प्रकाश कांच से हवा में जा रहा है,इसलिए $\mu_1 = 1.5$ और $\mu_2 = 1$ है।
वस्तु (बुलबुला) कांच के अंदर है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = -3\; cm$ है।
उत्तल सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ ऋणात्मक ली जाती है क्योंकि वक्रता केंद्र आपतित प्रकाश की ओर है,इसलिए $R = -5\; cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-3} = \frac{1 - 1.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = \frac{-0.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = 0.1$
$\frac{1}{v} = 0.1 - 0.5 = -0.4$
$v = -\frac{1}{0.4} = -2.5\; cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी है और वस्तु की ओर ही सतह से $2.5\; cm$ की दूरी पर बनता है।
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View Solution9
MediumMCQ
$R$ त्रिज्या का एक स्पष्ट पारदर्शी कांच का गोला $(\mu=1.5)$,$1.25$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डूबा हुआ है। इस पर आपतित प्रकाश की एक समानांतर किरण पुंज एक बिंदु पर अभिसरित होगी। केंद्र से इस बिंदु की दूरी होगी
A
$-3R$
B
$+3R$
C
$-R$
D
$+R$
Solution
(B) पहली सतह पर अपवर्तन के लिए:
सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ $\mu_1 = 1.25 = \frac{5}{4}$,$\mu_2 = 1.5 = \frac{3}{2}$,और $u = -\infty$ है।
$\frac{3/2}{v_1} - \frac{5/4}{-\infty} = \frac{3/2 - 5/4}{R} \implies \frac{3}{2v_1} = \frac{1/4}{R} \implies v_1 = 6R$।
यह प्रतिबिंब दूसरी सतह के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
केंद्र से इस प्रतिबिंब की दूरी $6R - R = 5R$ (केंद्र के दाईं ओर) है।
दूसरी सतह के लिए,वस्तु की दूरी $u_2 = +(6R - 2R) = +4R$ है।
सूत्र $\frac{\mu_1}{v_2} - \frac{\mu_2}{u_2} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{-R}$ का उपयोग करते हुए।
$\frac{5/4}{v_2} - \frac{3/2}{4R} = \frac{5/4 - 3/2}{-R} \implies \frac{5}{4v_2} - \frac{3}{8R} = \frac{-1/4}{-R} = \frac{1}{4R}$।
$\frac{5}{4v_2} = \frac{1}{4R} + \frac{3}{8R} = \frac{5}{8R} \implies v_2 = 2R$।
यह दूरी $v_2 = 2R$ दूसरी सतह से मापी जाती है।
अतः केंद्र से दूरी $2R + R = 3R$ होगी।
सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ $\mu_1 = 1.25 = \frac{5}{4}$,$\mu_2 = 1.5 = \frac{3}{2}$,और $u = -\infty$ है।
$\frac{3/2}{v_1} - \frac{5/4}{-\infty} = \frac{3/2 - 5/4}{R} \implies \frac{3}{2v_1} = \frac{1/4}{R} \implies v_1 = 6R$।
यह प्रतिबिंब दूसरी सतह के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
केंद्र से इस प्रतिबिंब की दूरी $6R - R = 5R$ (केंद्र के दाईं ओर) है।
दूसरी सतह के लिए,वस्तु की दूरी $u_2 = +(6R - 2R) = +4R$ है।
सूत्र $\frac{\mu_1}{v_2} - \frac{\mu_2}{u_2} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{-R}$ का उपयोग करते हुए।
$\frac{5/4}{v_2} - \frac{3/2}{4R} = \frac{5/4 - 3/2}{-R} \implies \frac{5}{4v_2} - \frac{3}{8R} = \frac{-1/4}{-R} = \frac{1}{4R}$।
$\frac{5}{4v_2} = \frac{1}{4R} + \frac{3}{8R} = \frac{5}{8R} \implies v_2 = 2R$।
यह दूरी $v_2 = 2R$ दूसरी सतह से मापी जाती है।
अतः केंद्र से दूरी $2R + R = 3R$ होगी।
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DifficultMCQ
$10 \, cm$ त्रिज्या वाले और $\mu = \frac{4}{3}$ अपवर्तनांक वाले पानी से भरे एक पतले गोलाकार फिश बाउल में,केंद्र से $4 \, cm$ की दूरी पर एक छोटी मछली है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि बिंदु $F$ से देखा जाए तो मछली का प्रतिबिंब कहाँ दिखाई देगा ($, cm$ में)?
A
$4.1$
B
$5.3$
C
$16.15$
D
$6.15$
Solution
(C) गोलाकार सतह पर अपवर्तन का सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$।
यहाँ,प्रकाश पानी से हवा में जा रहा है। अतः,$\mu_1 = \frac{4}{3}$ (पानी का अपवर्तनांक) और $\mu_2 = 1$ (हवा का अपवर्तनांक)।
प्रेक्षक बिंदु $F$ पर है। बाउल का केंद्र $C$ है। त्रिज्या $R = -10 \, cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार,ध्रुव $F$ से केंद्र की ओर मापने पर)।
वस्तु (मछली) केंद्र $C$ से दाईं ओर $4 \, cm$ की दूरी पर है। ध्रुव $F$ से मछली की दूरी $u = -(10 + 4) = -14 \, cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-14} = \frac{1 - 4/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{4}{42} = \frac{-1/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{21} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{2}{21} = \frac{7 - 20}{210} = \frac{-13}{210}$
$v = -\frac{210}{13} \approx -16.15 \, cm$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब बिंदु $F$ से $16.15 \, cm$ की दूरी पर वस्तु की ओर ही बनता है।
यहाँ,प्रकाश पानी से हवा में जा रहा है। अतः,$\mu_1 = \frac{4}{3}$ (पानी का अपवर्तनांक) और $\mu_2 = 1$ (हवा का अपवर्तनांक)।
प्रेक्षक बिंदु $F$ पर है। बाउल का केंद्र $C$ है। त्रिज्या $R = -10 \, cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार,ध्रुव $F$ से केंद्र की ओर मापने पर)।
वस्तु (मछली) केंद्र $C$ से दाईं ओर $4 \, cm$ की दूरी पर है। ध्रुव $F$ से मछली की दूरी $u = -(10 + 4) = -14 \, cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-14} = \frac{1 - 4/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{4}{42} = \frac{-1/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{21} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{2}{21} = \frac{7 - 20}{210} = \frac{-13}{210}$
$v = -\frac{210}{13} \approx -16.15 \, cm$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब बिंदु $F$ से $16.15 \, cm$ की दूरी पर वस्तु की ओर ही बनता है।
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DifficultMCQ
$10 \, cm$ त्रिज्या का एक गोलाकार पात्र $4/3$ अपवर्तनांक वाले पानी से भरा है। चित्र में दिखाए अनुसार एक मछली केंद्र से $4 \, cm$ की दूरी पर है। यदि इसे सिरे $E$ से देखा जाए,तो मछली कितनी दूरी पर दिखाई देगी ($, cm$ में)? (पात्र की मोटाई को नगण्य मानें)
A
$4.1$
B
$5.3$
C
$16.15$
D
$6.15$
Solution
(B) गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
जब सिरे $E$ से देखा जाता है,तो प्रकाश पानी से हवा में जाता है। अतः,$\mu_1 = 4/3$,$\mu_2 = 1$ है। वक्रता त्रिज्या $R = -10 \, cm$ है (क्योंकि सतह वस्तु की ओर अवतल है)। वस्तु की दूरी $u = -(10 - 4) = -6 \, cm$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-6} = \frac{1 - 4/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{4}{18} = \frac{-1/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{9} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{2}{9} = \frac{3 - 20}{90} = -\frac{17}{90}$
$v = -\frac{90}{17} \approx -5.3 \, cm$
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी है और वस्तु की ही ओर सतह $E$ से $5.3 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
जब सिरे $E$ से देखा जाता है,तो प्रकाश पानी से हवा में जाता है। अतः,$\mu_1 = 4/3$,$\mu_2 = 1$ है। वक्रता त्रिज्या $R = -10 \, cm$ है (क्योंकि सतह वस्तु की ओर अवतल है)। वस्तु की दूरी $u = -(10 - 4) = -6 \, cm$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-6} = \frac{1 - 4/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{4}{18} = \frac{-1/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{9} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{2}{9} = \frac{3 - 20}{90} = -\frac{17}{90}$
$v = -\frac{90}{17} \approx -5.3 \, cm$
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी है और वस्तु की ही ओर सतह $E$ से $5.3 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
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DifficultMCQ
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,$10 \, cm$ व्यास वाली कांच $(\mu = 1.5)$ की एक गोलाकार सतह से $3 \, cm$ की दूरी पर हवा का एक बुलबुला स्थित है। यदि सतह अवतल है,तो सतह से कितनी दूरी पर बुलबुला दिखाई देगा? ($cm$ में)
A
$1.66$
B
$2.80$
C
$2.59$
D
$5.90$
Solution
(C) गोलाकार सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,
$\mu_1 = 1.5$ (कांच का अपवर्तनांक)
$\mu_2 = 1.0$ (हवा का अपवर्तनांक)
$u = -3 \, cm$ (वस्तु की दूरी)
$R = -5 \, cm$ (वक्रता त्रिज्या,अवतल सतह के लिए)
मान रखने पर:
$\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{-3} = \frac{1.0 - 1.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = 0.1$
$\frac{1}{v} = -0.4$
$v = -2.5 \, cm$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $2.59 \, cm$ है।
यहाँ,
$\mu_1 = 1.5$ (कांच का अपवर्तनांक)
$\mu_2 = 1.0$ (हवा का अपवर्तनांक)
$u = -3 \, cm$ (वस्तु की दूरी)
$R = -5 \, cm$ (वक्रता त्रिज्या,अवतल सतह के लिए)
मान रखने पर:
$\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{-3} = \frac{1.0 - 1.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = 0.1$
$\frac{1}{v} = -0.4$
$v = -2.5 \, cm$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $2.59 \, cm$ है।
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DifficultMCQ
$1.5$ अपवर्तनांक वाले एक गोलीय पृष्ठ के सामने $P$ पर एक वस्तु रखी गई है। इसका प्रतिबिंब $Q$ पर बनता है। यदि $PO = OQ$ है,तो $PO$ की दूरी ज्ञात कीजिए। ($R$ में)
A
$5$
B
$3$
C
$2$
D
$1.5$
Solution
(A) गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन का सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (वायु),$\mu_2 = 1.5$ (माध्यम का अपवर्तनांक),$u = -OP$ और $v = +OQ$ (क्योंकि प्रतिबिंब माध्यम के अंदर बनता है)।
दिया गया है कि $PO = OQ$,मान लीजिए $OP = OQ = x$ है। अतः,$u = -x$ और $v = x$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} R = 5 R$.
अतः,$PO = 5 R$.
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (वायु),$\mu_2 = 1.5$ (माध्यम का अपवर्तनांक),$u = -OP$ और $v = +OQ$ (क्योंकि प्रतिबिंब माध्यम के अंदर बनता है)।
दिया गया है कि $PO = OQ$,मान लीजिए $OP = OQ = x$ है। अतः,$u = -x$ और $v = x$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.5 - 1}{R}$
$\frac{1.5}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{x} = \frac{0.5}{R}$
$x = \frac{2.5}{0.5} R = 5 R$.
अतः,$PO = 5 R$.
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MediumMCQ
$10 \, cm$ त्रिज्या वाले एक पतले गोलाकार फिश बाउल में,जिसका अपवर्तनांक $\mu = \frac{4}{3}$ है,एक छोटी मछली केंद्र $C$ से $4 \, cm$ की दूरी पर स्थित है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि $E$ से देखा जाए तो मछली का प्रतिबिंब कहाँ दिखाई देगा ($, cm$ में)?
A
$5.2$
B
$7.2$
C
$4.2$
D
$3.2$
Solution
(A) प्रतिबिंब की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम गोलाकार सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
यहाँ,प्रकाश पानी से हवा में जा रहा है,इसलिए $\mu_1 = \frac{4}{3}$ और $\mu_2 = 1$ है।
गोलाकार सतह की त्रिज्या $R = -10 \, cm$ है (चिह्न परिपाटी के अनुसार,क्योंकि केंद्र सतह के बाईं ओर है)।
मछली केंद्र $C$ से दाईं ओर $4 \, cm$ की दूरी पर है। चूँकि त्रिज्या $10 \, cm$ है,इसलिए सतह $E$ से मछली की दूरी $u = -(10 - 4) = -6 \, cm$ होगी।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-6} = \frac{1 - 4/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{4}{18} = \frac{-1/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{9} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{2}{9} = \frac{3 - 20}{90} = \frac{-17}{90}$
$v = -\frac{90}{17} \approx -5.29 \, cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही बनता है,जो सतह $E$ से $5.29 \, cm$ की दूरी पर है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $5.2 \, cm$ है।
यहाँ,प्रकाश पानी से हवा में जा रहा है,इसलिए $\mu_1 = \frac{4}{3}$ और $\mu_2 = 1$ है।
गोलाकार सतह की त्रिज्या $R = -10 \, cm$ है (चिह्न परिपाटी के अनुसार,क्योंकि केंद्र सतह के बाईं ओर है)।
मछली केंद्र $C$ से दाईं ओर $4 \, cm$ की दूरी पर है। चूँकि त्रिज्या $10 \, cm$ है,इसलिए सतह $E$ से मछली की दूरी $u = -(10 - 4) = -6 \, cm$ होगी।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-6} = \frac{1 - 4/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{4}{18} = \frac{-1/3}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{2}{9} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{2}{9} = \frac{3 - 20}{90} = \frac{-17}{90}$
$v = -\frac{90}{17} \approx -5.29 \, cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही बनता है,जो सतह $E$ से $5.29 \, cm$ की दूरी पर है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $5.2 \, cm$ है।
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MediumMCQ
जब प्रकाश का एक बिंदु स्रोत गोले की सतह पर स्थित होता है,तो गोले की विपरीत सतह से प्रकाश की एक समानांतर किरण पुंज निकलती है। गोले का अपवर्तनांक क्या है?
A
$\frac{3}{2}$
B
$\frac{5}{3}$
C
$2$
D
$\frac{5}{2}$
Solution
(C) माना गोले की त्रिज्या $R$ है। बिंदु स्रोत गोले की सतह पर $O$ पर स्थित है। प्रकाश की किरणें गोले से होकर गुजरती हैं और विपरीत सतह $P$ से एक समानांतर किरण पुंज के रूप में बाहर निकलती हैं।
गोलाकार सतह पर अपवर्तन का सूत्र लागू करने पर: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
यहाँ,प्रकाश गोले (अपवर्तनांक $\mu$) से हवा (अपवर्तनांक $1$) में यात्रा करता है।
अतः,$\mu_1 = \mu$,$\mu_2 = 1$.
सतह $P$ से वस्तु की दूरी $u$ गोले का व्यास है,इसलिए $u = -2R$.
प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,इसलिए $v = \infty$.
$P$ पर सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ है,लेकिन चूंकि वक्रता का केंद्र $P$ के बाईं ओर है,इसलिए त्रिज्या को $-R$ लिया जाता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{\infty} - \frac{\mu}{-2R} = \frac{1 - \mu}{-R}$.
$0 + \frac{\mu}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$.
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$.
$1 = \mu - \frac{\mu}{2} = \frac{\mu}{2}$.
$\mu = 2$.
गोलाकार सतह पर अपवर्तन का सूत्र लागू करने पर: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
यहाँ,प्रकाश गोले (अपवर्तनांक $\mu$) से हवा (अपवर्तनांक $1$) में यात्रा करता है।
अतः,$\mu_1 = \mu$,$\mu_2 = 1$.
सतह $P$ से वस्तु की दूरी $u$ गोले का व्यास है,इसलिए $u = -2R$.
प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,इसलिए $v = \infty$.
$P$ पर सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ है,लेकिन चूंकि वक्रता का केंद्र $P$ के बाईं ओर है,इसलिए त्रिज्या को $-R$ लिया जाता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{\infty} - \frac{\mu}{-2R} = \frac{1 - \mu}{-R}$.
$0 + \frac{\mu}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$.
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$.
$1 = \mu - \frac{\mu}{2} = \frac{\mu}{2}$.
$\mu = 2$.
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DifficultMCQ
$10 \ cm$ वक्रता त्रिज्या वाली एक अवतल गोलीय सतह $4/3$ और $3/2$ अपवर्तनांक वाले दो माध्यमों $X$ और $Y$ को अलग करती है। यदि वस्तु को माध्यम $X$ में मुख्य अक्ष पर रखा जाता है,तो:
A
प्रतिबिंब हमेशा वास्तविक होता है
B
यदि वस्तु की दूरी $90 \ cm$ से अधिक है तो प्रतिबिंब वास्तविक होता है
C
प्रतिबिंब हमेशा आभासी होता है
D
यदि वस्तु की दूरी $90 \ cm$ से कम है तो प्रतिबिंब आभासी होता है
Solution
(C) दिया गया है: वक्रता त्रिज्या $R = -10 \ cm$ (क्योंकि सतह माध्यम $X$ में वस्तु की ओर अवतल है),माध्यम $X$ (आपतित पक्ष) का अपवर्तनांक $n_1 = 4/3$,और माध्यम $Y$ (अपवर्तित पक्ष) का अपवर्तनांक $n_2 = 3/2$.
मान लीजिए कि वस्तु को ध्रुव से $u = -x$ की दूरी पर रखा गया है।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$.
मान रखने पर: $\frac{3/2}{v} - \frac{4/3}{-x} = \frac{3/2 - 4/3}{-10}$.
$\frac{1.5}{v} + \frac{1.333}{x} = \frac{0.1667}{-10} = -0.01667$.
$\frac{1.5}{v} = -0.01667 - \frac{1.333}{x}$.
चूंकि $x$ एक धनात्मक दूरी है,इसलिए दाईं ओर के दोनों पद ऋणात्मक हैं। अतः,$v$ ऋणात्मक होना चाहिए।
$v$ का ऋणात्मक मान यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब उसी ओर बनता है जिस ओर वस्तु है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब हमेशा आभासी होता है।
मान लीजिए कि वस्तु को ध्रुव से $u = -x$ की दूरी पर रखा गया है।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$.
मान रखने पर: $\frac{3/2}{v} - \frac{4/3}{-x} = \frac{3/2 - 4/3}{-10}$.
$\frac{1.5}{v} + \frac{1.333}{x} = \frac{0.1667}{-10} = -0.01667$.
$\frac{1.5}{v} = -0.01667 - \frac{1.333}{x}$.
चूंकि $x$ एक धनात्मक दूरी है,इसलिए दाईं ओर के दोनों पद ऋणात्मक हैं। अतः,$v$ ऋणात्मक होना चाहिए।
$v$ का ऋणात्मक मान यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब उसी ओर बनता है जिस ओर वस्तु है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब हमेशा आभासी होता है।
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AdvancedMCQ
एक मछली पानी से भरे गोलाकार $(\mu = 4/3)$ फिश बाउल के केंद्र में है। एक बच्चा हवा में बाउल के केंद्र से $2R$ ($R$ गोले की वक्रता त्रिज्या है) की दूरी पर खड़ा है। केंद्र में स्थित मछली को बच्चे की नाक केंद्र से कितनी दूरी पर दिखाई देगी ($R$ में)?
A
$4$
B
$2$
C
$3$
D
$5$
Solution
(B) गोलाकार सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_{surf}}$.
यहाँ,प्रकाश बच्चे (हवा में,$\mu_1 = 1$) से मछली (पानी में,$\mu_2 = 4/3$) की ओर जाता है।
वस्तु (बच्चे की नाक) गोलाकार सतह के ध्रुव $P$ से $u = -(2R - R) = -R$ की दूरी पर है।
सतह की वक्रता त्रिज्या $R_{surf} = -R$ है (क्योंकि इसे आपतित प्रकाश की दिशा के विपरीत मापा जाता है)।
मान रखने पर:
$\frac{4/3}{v} - \frac{1}{-R} = \frac{4/3 - 1}{-R}$
$\frac{4}{3v} + \frac{1}{R} = \frac{1/3}{-R}$
$\frac{4}{3v} = -\frac{1}{3R} - \frac{1}{R} = -\frac{4}{3R}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{R} \Rightarrow v = -R$.
यह प्रतिबिंब बाउल के अंदर ध्रुव $P$ से $R$ की दूरी पर बनता है। चूंकि मछली केंद्र में ($P$ से $R$ की दूरी पर) है,इसलिए केंद्र से प्रतिबिंब की कुल दूरी $R + R = 2R$ है।
यहाँ,प्रकाश बच्चे (हवा में,$\mu_1 = 1$) से मछली (पानी में,$\mu_2 = 4/3$) की ओर जाता है।
वस्तु (बच्चे की नाक) गोलाकार सतह के ध्रुव $P$ से $u = -(2R - R) = -R$ की दूरी पर है।
सतह की वक्रता त्रिज्या $R_{surf} = -R$ है (क्योंकि इसे आपतित प्रकाश की दिशा के विपरीत मापा जाता है)।
मान रखने पर:
$\frac{4/3}{v} - \frac{1}{-R} = \frac{4/3 - 1}{-R}$
$\frac{4}{3v} + \frac{1}{R} = \frac{1/3}{-R}$
$\frac{4}{3v} = -\frac{1}{3R} - \frac{1}{R} = -\frac{4}{3R}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{R} \Rightarrow v = -R$.
यह प्रतिबिंब बाउल के अंदर ध्रुव $P$ से $R$ की दूरी पर बनता है। चूंकि मछली केंद्र में ($P$ से $R$ की दूरी पर) है,इसलिए केंद्र से प्रतिबिंब की कुल दूरी $R + R = 2R$ है।
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DifficultMCQ
$10\,cm$ वक्रता त्रिज्या वाली एक गोलीय सतह $3/2$ और $4/3$ अपवर्तनांक वाले दो माध्यमों $X$ और $Y$ को अलग करती है। गोलीय सतह का केंद्र सघन माध्यम में स्थित है। एक वस्तु को माध्यम $X$ में रखा गया है। प्रतिबिंब के वास्तविक होने के लिए,वस्तु की दूरी कितनी होनी चाहिए?
A
$80\,cm$ से अधिक
B
$90\,cm$ से कम
C
$90\,cm$ से अधिक
D
$80\,cm$ से कम
Solution
(C) गोलीय सतह पर अपवर्तन का सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ है।
दिया गया है: $\mu_1 = 1.5$,$\mu_2 = 4/3$,$R = -10\,cm$।
माना वस्तु की दूरी $u = -x$ है।
मान रखने पर: $\frac{4/3}{v} - \frac{1.5}{-x} = \frac{4/3 - 1.5}{-10}$।
$\frac{4}{3v} + \frac{1.5}{x} = \frac{-1/6}{-10} = \frac{1}{60}$।
$\frac{4}{3v} = \frac{1}{60} - \frac{1.5}{x}$।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $v > 0$ होना चाहिए,इसलिए $\frac{1}{60} - \frac{1.5}{x} > 0$।
$\frac{1}{60} > \frac{1.5}{x} \implies x > 90\,cm$।
दिया गया है: $\mu_1 = 1.5$,$\mu_2 = 4/3$,$R = -10\,cm$।
माना वस्तु की दूरी $u = -x$ है।
मान रखने पर: $\frac{4/3}{v} - \frac{1.5}{-x} = \frac{4/3 - 1.5}{-10}$।
$\frac{4}{3v} + \frac{1.5}{x} = \frac{-1/6}{-10} = \frac{1}{60}$।
$\frac{4}{3v} = \frac{1}{60} - \frac{1.5}{x}$।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए $v > 0$ होना चाहिए,इसलिए $\frac{1}{60} - \frac{1.5}{x} > 0$।
$\frac{1}{60} > \frac{1.5}{x} \implies x > 90\,cm$।
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AdvancedMCQ
$d$ व्यास का एक किरण पुंज दिखाए गए अनुसार एक कांच के अर्धगोले पर आपतित होता है। यदि अर्धगोले की वक्रता त्रिज्या $d$ की तुलना में बहुत बड़ी है,तो अर्धगोले के आधार पर किरण पुंज का व्यास क्या होगा?
A
$3/4\, d$
B
$d$
C
$d/3$
D
$2/3\, d$
Solution
(D) गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$.
यहाँ,$\mu_{1} = 1$,$\mu_{2} = 3/2$,$u = -\infty$,और वक्रता त्रिज्या $R$ है।
मान रखने पर: $\frac{3/2}{v} - \frac{1}{-\infty} = \frac{3/2 - 1}{R} \Rightarrow \frac{3}{2v} = \frac{1/2}{R} \Rightarrow v = 3R$.
किरणें ध्रुव से $v = 3R$ की दूरी पर अभिसरित होती हैं। समरूप त्रिभुजों द्वारा,आधार पर व्यास $(d')$ और फोकल बिंदु से दूरी $(3R - R = 2R)$ का अनुपात,आपतित व्यास $(d)$ और फोकल लंबाई $(3R)$ के अनुपात के बराबर होता है:
$\frac{d'}{2R} = \frac{d}{3R} \Rightarrow d' = \frac{2}{3}d$.
यहाँ,$\mu_{1} = 1$,$\mu_{2} = 3/2$,$u = -\infty$,और वक्रता त्रिज्या $R$ है।
मान रखने पर: $\frac{3/2}{v} - \frac{1}{-\infty} = \frac{3/2 - 1}{R} \Rightarrow \frac{3}{2v} = \frac{1/2}{R} \Rightarrow v = 3R$.
किरणें ध्रुव से $v = 3R$ की दूरी पर अभिसरित होती हैं। समरूप त्रिभुजों द्वारा,आधार पर व्यास $(d')$ और फोकल बिंदु से दूरी $(3R - R = 2R)$ का अनुपात,आपतित व्यास $(d)$ और फोकल लंबाई $(3R)$ के अनुपात के बराबर होता है:
$\frac{d'}{2R} = \frac{d}{3R} \Rightarrow d' = \frac{2}{3}d$.
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AdvancedMCQ
एक अवतल गोलीय अपवर्तक सतह दो माध्यमों,कांच और हवा $(\mu_1 = 1.5, \mu_2 = 1.0)$ को अलग करती है। यदि प्रतिबिंब वास्तविक प्राप्त करना हो,तो यदि $R$ वक्रता त्रिज्या है,तो वस्तु को कांच में न्यूनतम कितनी दूरी $u$ पर रखा जाना चाहिए?
A
$u > 3R$
B
$u > 2R$
C
$u < 2R$
D
$u < R$
Solution
(A) गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$।
यहाँ,प्रकाश कांच से हवा में जा रहा है,इसलिए $\mu_1 = 1.5$ और $\mu_2 = 1.0$ है।
अवतल सतह के लिए,वक्रता केंद्र वस्तु की ओर ही होता है,इसलिए $R$ ऋणात्मक है। मान लीजिए $R = -|R|$।
समीकरण इस प्रकार बनता है: $\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{u} = \frac{1.0 - 1.5}{-|R|} = \frac{-0.5}{-|R|} = \frac{0.5}{|R|}$।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$v$ धनात्मक होना चाहिए (हवा की ओर)। हालाँकि,अवतल सतह के लिए,वास्तविक प्रतिबिंब तभी संभव है जब वस्तु को इस तरह रखा जाए कि अपवर्तन के बाद किरणें अभिसरित हों।
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{0.5}{|R|} + \frac{1.5}{u} = \frac{0.5u + 1.5|R|}{u|R|}$।
अतः,$v = \frac{u|R|}{0.5u + 1.5|R|}$।
$v > 0$ के लिए,हमें $u > 3R$ की शर्त प्राप्त होती है ताकि अपवर्तन के बाद किरणें अभिसरित हो सकें।
यहाँ,प्रकाश कांच से हवा में जा रहा है,इसलिए $\mu_1 = 1.5$ और $\mu_2 = 1.0$ है।
अवतल सतह के लिए,वक्रता केंद्र वस्तु की ओर ही होता है,इसलिए $R$ ऋणात्मक है। मान लीजिए $R = -|R|$।
समीकरण इस प्रकार बनता है: $\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{u} = \frac{1.0 - 1.5}{-|R|} = \frac{-0.5}{-|R|} = \frac{0.5}{|R|}$।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$v$ धनात्मक होना चाहिए (हवा की ओर)। हालाँकि,अवतल सतह के लिए,वास्तविक प्रतिबिंब तभी संभव है जब वस्तु को इस तरह रखा जाए कि अपवर्तन के बाद किरणें अभिसरित हों।
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{0.5}{|R|} + \frac{1.5}{u} = \frac{0.5u + 1.5|R|}{u|R|}$।
अतः,$v = \frac{u|R|}{0.5u + 1.5|R|}$।
$v > 0$ के लिए,हमें $u > 3R$ की शर्त प्राप्त होती है ताकि अपवर्तन के बाद किरणें अभिसरित हो सकें।
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चित्र में $R$ त्रिज्या और $\mu$ अपवर्तनांक वाला एक पारदर्शी गोला दर्शाया गया है। एक वस्तु $O$ को पहली सतह के ध्रुव से $x$ दूरी पर इस प्रकार रखा गया है कि उसका वास्तविक प्रतिबिंब ठीक विपरीत सतह के ध्रुव पर बनता है। यदि $x = 2R$ है,तो $\mu$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1.5$
B
$2$
C
$3$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) पहली गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$.
यहाँ,$\mu_{1} = 1$ (वायु),$\mu_{2} = \mu$ (गोला),$u = -x = -2R$,और प्रतिबिंब $I$ विपरीत सतह के ध्रुव पर बनता है,इसलिए पहले ध्रुव से प्रतिबिंब की दूरी $v = 2R$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\mu}{2R} - \frac{1}{-2R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$
दोनों पक्षों को $2R$ से गुणा करने पर:
$\mu + 1 = 2(\mu - 1)$
$\mu + 1 = 2\mu - 2$
$\mu = 3$.
यहाँ,$\mu_{1} = 1$ (वायु),$\mu_{2} = \mu$ (गोला),$u = -x = -2R$,और प्रतिबिंब $I$ विपरीत सतह के ध्रुव पर बनता है,इसलिए पहले ध्रुव से प्रतिबिंब की दूरी $v = 2R$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\mu}{2R} - \frac{1}{-2R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$
दोनों पक्षों को $2R$ से गुणा करने पर:
$\mu + 1 = 2(\mu - 1)$
$\mu + 1 = 2\mu - 2$
$\mu = 3$.
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चित्र में $R$ त्रिज्या और $\mu$ अपवर्तनांक वाला एक पारदर्शी गोला दिखाया गया है। एक वस्तु $O$ को पहली सतह के ध्रुव से $x$ दूरी पर इस प्रकार रखा गया है कि एक वास्तविक प्रतिबिंब बिल्कुल विपरीत सतह के ध्रुव पर बनता है। यदि किसी वस्तु को पहली सतह के ध्रुव से $R$ दूरी पर रखा जाता है,तो वास्तविक प्रतिबिंब दूसरी सतह के ध्रुव से $R$ दूरी पर बनता है। गोले का अपवर्तनांक $\mu$ है
A
$1.5$
B
$2$
C
$\sqrt{2}$
D
none of these
Solution
(B) प्रकाश किरण के गोले के अंदर मुख्य अक्ष के समानांतर निकलने के लिए,वस्तु को एक विशिष्ट दूरी पर होना चाहिए। जब वस्तु को पहली सतह से $R$ दूरी पर रखा जाता है,तो प्रतिबिंब दूसरी सतह से $R$ दूरी पर बनता है।
पहली सतह पर अपवर्तन सूत्र लागू करने पर:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_1}$
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (वायु),$\mu_2 = \mu$ (गोला),$u = -R$,और गोले के अंदर अपवर्तित किरण मुख्य अक्ष के समानांतर है,इसलिए $v = \infty$ है।
$\frac{\mu}{\infty} - \frac{1}{-R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$0 + \frac{1}{R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$1 = \mu - 1$
$\mu = 2$
पहली सतह पर अपवर्तन सूत्र लागू करने पर:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_1}$
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (वायु),$\mu_2 = \mu$ (गोला),$u = -R$,और गोले के अंदर अपवर्तित किरण मुख्य अक्ष के समानांतर है,इसलिए $v = \infty$ है।
$\frac{\mu}{\infty} - \frac{1}{-R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$0 + \frac{1}{R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$1 = \mu - 1$
$\mu = 2$
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आकृति $R$ त्रिज्या और $\mu$ अपवर्तनांक वाला एक पारदर्शी गोला दर्शाती है। एक वस्तु $O$ को पहली सतह के ध्रुव से $x$ दूरी पर इस प्रकार रखा गया है कि ठीक विपरीत सतह के ध्रुव पर एक वास्तविक प्रतिबिंब बनता है। यदि गोले का अपवर्तनांक $\mu$ बदल दिया जाए,तो वस्तु की स्थिति $x$ भी बदल जाएगी। सही कथन की पहचान करें।
A
यदि $\mu$ का मान बढ़ता है,तो $x$ का मान घटता है।
B
यदि $\mu$ का मान इकाई (unity) के बराबर हो जाता है,तो $x$ अनंत की ओर जाता है।
C
$\mu$ का मान $1$ से कम नहीं होना चाहिए।
D
उपरोक्त सभी।
Solution
(D) पहली सतह पर अपवर्तन के लिए (हवा से गोले में):
सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = \mu$,$u = -x$,और $v$ पहले अपवर्तन के बाद प्रतिबिंब की स्थिति है।
अंतिम प्रतिबिंब को दूसरी सतह के ध्रुव पर प्राप्त करने के लिए,पहले अपवर्तन के बाद किरणें दूसरे ध्रुव की ओर निर्देशित होनी चाहिए।
ज्यामिति का उपयोग करते हुए,पहली सतह पर अपवर्तन ऐसा होना चाहिए कि किरणें दूसरे ध्रुव पर केंद्रित हों।
सूत्र लागू करने पर: $\frac{\mu}{v} - \frac{1}{-x} = \frac{\mu - 1}{R}$.
किरणों के दूसरे ध्रुव तक पहुँचने के लिए,पहली सतह द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब पहले ध्रुव से $2R$ की दूरी पर होना चाहिए,इसलिए $v = 2R$.
$v = 2R$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu}{2R} + \frac{1}{x} = \frac{\mu - 1}{R}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{x} = \frac{\mu - 1}{R} - \frac{\mu}{2R} = \frac{2\mu - 2 - \mu}{2R} = \frac{\mu - 2}{2R}$.
अतः,$x = \frac{2R}{\mu - 2}$.
विकल्पों का विश्लेषण करने पर:
यदि $\mu$ बढ़ता है,तो हर बढ़ता है,इसलिए $x$ घटता है (विकल्प $A$ सही है)।
यदि $\mu = 1$ हो जाता है,तो $x$ अपरिभाषित/अनंत हो जाता है (विकल्प $B$ सही है)।
भौतिक पदार्थ के लिए अपवर्तनांक $\mu \ge 1$ होना चाहिए (विकल्प $C$ सही है)।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।
सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = \mu$,$u = -x$,और $v$ पहले अपवर्तन के बाद प्रतिबिंब की स्थिति है।
अंतिम प्रतिबिंब को दूसरी सतह के ध्रुव पर प्राप्त करने के लिए,पहले अपवर्तन के बाद किरणें दूसरे ध्रुव की ओर निर्देशित होनी चाहिए।
ज्यामिति का उपयोग करते हुए,पहली सतह पर अपवर्तन ऐसा होना चाहिए कि किरणें दूसरे ध्रुव पर केंद्रित हों।
सूत्र लागू करने पर: $\frac{\mu}{v} - \frac{1}{-x} = \frac{\mu - 1}{R}$.
किरणों के दूसरे ध्रुव तक पहुँचने के लिए,पहली सतह द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब पहले ध्रुव से $2R$ की दूरी पर होना चाहिए,इसलिए $v = 2R$.
$v = 2R$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu}{2R} + \frac{1}{x} = \frac{\mu - 1}{R}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{x} = \frac{\mu - 1}{R} - \frac{\mu}{2R} = \frac{2\mu - 2 - \mu}{2R} = \frac{\mu - 2}{2R}$.
अतः,$x = \frac{2R}{\mu - 2}$.
विकल्पों का विश्लेषण करने पर:
यदि $\mu$ बढ़ता है,तो हर बढ़ता है,इसलिए $x$ घटता है (विकल्प $A$ सही है)।
यदि $\mu = 1$ हो जाता है,तो $x$ अपरिभाषित/अनंत हो जाता है (विकल्प $B$ सही है)।
भौतिक पदार्थ के लिए अपवर्तनांक $\mu \ge 1$ होना चाहिए (विकल्प $C$ सही है)।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।
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दो अपवर्तक माध्यम एक गोलीय इंटरफेस द्वारा अलग किए गए हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $PP'$ मुख्य अक्ष है, $\mu_1$ और $\mu_2$ क्रमशः आपतन माध्यम और अपवर्तन माध्यम के अपवर्तनांक हैं। तो:
A
यदि $\mu_2 > \mu_1$ है, तो वास्तविक वस्तु का वास्तविक प्रतिबिंब नहीं बन सकता है।
B
यदि $\mu_2 > \mu_1$ है, तो आभासी वस्तु का वास्तविक प्रतिबिंब नहीं बन सकता है।
C
यदि $\mu_1 > \mu_2$ है, तो आभासी वस्तु का आभासी प्रतिबिंब नहीं बन सकता है।
D
$(A)$ और $(C)$ दोनों
Solution
(D) गोलीय सतह के लिए अपवर्तन का सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$।
दिए गए चित्र में, वक्रता केंद्र $C$ ध्रुव के बाईं ओर स्थित है, इसलिए $R$ ऋणात्मक है (मान लें $R = -|R|$)।
अतः, $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_1}{u} + \frac{\mu_2 - \mu_1}{-|R|}$।
स्थिति $(A)$: यदि $\mu_2 > \mu_1$ है, तो $\mu_2 - \mu_1 > 0$ होगा। वास्तविक वस्तु के लिए, $u < 0$ (मान लें $u = -|u|$)। तब $\frac{\mu_2}{v} = -\frac{\mu_1}{|u|} - \frac{\mu_2 - \mu_1}{|R|}$। चूंकि दाईं ओर के दोनों पद ऋणात्मक हैं, इसलिए $v$ ऋणात्मक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि केवल आभासी प्रतिबिंब ही बनता है।
स्थिति $(C)$: यदि $\mu_1 > \mu_2$ है, तो $\mu_2 - \mu_1 < 0$ होगा। मान लें $\mu_1 - \mu_2 = k > 0$। तब $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_1}{u} + \frac{k}{|R|}$। आभासी वस्तु के लिए, $u > 0$। यहाँ, दाईं ओर के दोनों पद धनात्मक हैं, इसलिए $v$ धनात्मक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि केवल वास्तविक प्रतिबिंब ही बनता है। अतः, आभासी प्रतिबिंब नहीं बन सकता है।
इसलिए, $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।
दिए गए चित्र में, वक्रता केंद्र $C$ ध्रुव के बाईं ओर स्थित है, इसलिए $R$ ऋणात्मक है (मान लें $R = -|R|$)।
अतः, $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_1}{u} + \frac{\mu_2 - \mu_1}{-|R|}$।
स्थिति $(A)$: यदि $\mu_2 > \mu_1$ है, तो $\mu_2 - \mu_1 > 0$ होगा। वास्तविक वस्तु के लिए, $u < 0$ (मान लें $u = -|u|$)। तब $\frac{\mu_2}{v} = -\frac{\mu_1}{|u|} - \frac{\mu_2 - \mu_1}{|R|}$। चूंकि दाईं ओर के दोनों पद ऋणात्मक हैं, इसलिए $v$ ऋणात्मक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि केवल आभासी प्रतिबिंब ही बनता है।
स्थिति $(C)$: यदि $\mu_1 > \mu_2$ है, तो $\mu_2 - \mu_1 < 0$ होगा। मान लें $\mu_1 - \mu_2 = k > 0$। तब $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_1}{u} + \frac{k}{|R|}$। आभासी वस्तु के लिए, $u > 0$। यहाँ, दाईं ओर के दोनों पद धनात्मक हैं, इसलिए $v$ धनात्मक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि केवल वास्तविक प्रतिबिंब ही बनता है। अतः, आभासी प्रतिबिंब नहीं बन सकता है।
इसलिए, $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।
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$R$ त्रिज्या वाली एक वक्र सतह दो माध्यमों को अलग करती है जिनके अपवर्तनांक $\mu_1$ और $\mu_2$ हैं,जैसा कि चित्र $A$ और $B$ में दिखाया गया है। चित्र $A$ में दिखाए अनुसार $x$ दूरी पर रखे गए वस्तु $O$ द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब से संबंधित सही कथन चुनें।
A
यदि $\mu_2 > \mu_1$ है,तो वस्तु की स्थिति की परवाह किए बिना हमेशा वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
B
वास्तविक प्रतिबिंब केवल तभी बनता है जब $x > R$ हो।
C
इंटरफ़ेस की उत्तल प्रकृति के कारण $\mu_1$ और $\mu_2$ की परवाह किए बिना वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
D
इनमें से कोई नहीं।
Solution
(D) एकल गोलीय सतह के लिए अपवर्तन का सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
चित्र $A$ के लिए,$u = -x$ और $R = +R$ है। अतः,$\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R} - \frac{\mu_1}{x} = \frac{x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1}{xR}$.
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$v$ धनात्मक होना चाहिए। यह $\mu_1, \mu_2, x,$ और $R$ के मानों पर निर्भर करता है। यह सभी स्थितियों के लिए वास्तविक होने की गारंटी नहीं है। इसलिए,दिए गए कथनों में से कोई भी सार्वभौमिक रूप से सही नहीं है।
चित्र $A$ के लिए,$u = -x$ और $R = +R$ है। अतः,$\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R} - \frac{\mu_1}{x} = \frac{x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1}{xR}$.
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$v$ धनात्मक होना चाहिए। यह $\mu_1, \mu_2, x,$ और $R$ के मानों पर निर्भर करता है। यह सभी स्थितियों के लिए वास्तविक होने की गारंटी नहीं है। इसलिए,दिए गए कथनों में से कोई भी सार्वभौमिक रूप से सही नहीं है।
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$R$ त्रिज्या वाली एक वक्र सतह दो माध्यमों को अलग करती है जिनके अपवर्तनांक $\mu_1$ और $\mu_2$ हैं,जैसा कि चित्र $A$ और $B$ में दिखाया गया है। चित्र $A$ में दिखाए अनुसार $x$ दूरी पर रखी वस्तु $O$ द्वारा निर्मित आभासी प्रतिबिंब से संबंधित सही कथन चुनिए।
A
यदि $\mu_2 < \mu_1$ है तो $O$ की किसी भी स्थिति के लिए आभासी प्रतिबिंब बनता है।
B
यदि $x > R$ और $\mu_2 < \mu_1$ है तो आभासी प्रतिबिंब बन सकता है।
C
यदि $x < R$ और $\mu_2 > \mu_1$ है तो आभासी प्रतिबिंब बनता है।
D
दोनों $(A)$ और $(B)$।
Solution
(D) गोलीय सतह के लिए अपवर्तन का सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ है।
चित्र $A$ के लिए,वस्तु दूरी $u = -x$ है और वक्रता त्रिज्या $R$ धनात्मक $(+R)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R} - \frac{\mu_1}{x} = \frac{x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1}{xR}$।
आभासी प्रतिबिंब के लिए,$v < 0$ होता है। अतः,$\frac{\mu_2}{v} < 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1}{xR} < 0$।
चूंकि $x, R > 0$,इसलिए $x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1 < 0$,या $x(\mu_2 - \mu_1) < R\mu_1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $\mu_2 < \mu_1$ है,तो $(\mu_2 - \mu_1)$ ऋणात्मक है। असमिका $x(\text{ऋणात्मक}) < R\mu_1$ किसी भी $x > 0$ के लिए हमेशा सत्य है। इस प्रकार,यदि $\mu_2 < \mu_1$ है तो हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनता है।
स्थिति $2$: यदि $\mu_2 > \mu_1$ है,तो $x < \frac{R\mu_1}{\mu_2 - \mu_1}$। यह शर्त $x$ पर निर्भर करती है।
अतः,दोनों कथन $(A)$ और $(B)$ सही हैं।
चित्र $A$ के लिए,वस्तु दूरी $u = -x$ है और वक्रता त्रिज्या $R$ धनात्मक $(+R)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R} - \frac{\mu_1}{x} = \frac{x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1}{xR}$।
आभासी प्रतिबिंब के लिए,$v < 0$ होता है। अतः,$\frac{\mu_2}{v} < 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1}{xR} < 0$।
चूंकि $x, R > 0$,इसलिए $x(\mu_2 - \mu_1) - R\mu_1 < 0$,या $x(\mu_2 - \mu_1) < R\mu_1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $\mu_2 < \mu_1$ है,तो $(\mu_2 - \mu_1)$ ऋणात्मक है। असमिका $x(\text{ऋणात्मक}) < R\mu_1$ किसी भी $x > 0$ के लिए हमेशा सत्य है। इस प्रकार,यदि $\mu_2 < \mu_1$ है तो हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनता है।
स्थिति $2$: यदि $\mu_2 > \mu_1$ है,तो $x < \frac{R\mu_1}{\mu_2 - \mu_1}$। यह शर्त $x$ पर निर्भर करती है।
अतः,दोनों कथन $(A)$ और $(B)$ सही हैं।
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AdvancedMCQ
$R$ त्रिज्या वाली एक वक्र सतह दो माध्यमों को अलग करती है जिनके अपवर्तनांक $\mu_1$ और $\mu_2$ हैं,जैसा कि चित्र $A$ और $B$ में दिखाया गया है। चित्र $B$ में दिखाए गए अवतल सतह के ध्रुव से $x$ दूरी पर रखे गए वास्तविक वस्तु $O$ के प्रतिबिंब के निर्माण से संबंधित सही कथन/कथनों की पहचान करें।
A
यदि $\mu_2 > \mu_1$ है,तो $x$ के किसी भी मान के लिए आभासी प्रतिबिंब बनता है।
B
यदि $\mu_2 < \mu_1$ है,तो यदि $x < \frac{\mu_1 R}{\mu_1 - \mu_2}$ है,तो आभासी प्रतिबिंब बनता है।
C
यदि $\mu_2 < \mu_1$ है,तो $x$ के किसी भी मान के लिए वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
D
$(A)$ और $(B)$ दोनों।
Solution
(D) गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$।
चित्र $B$ में अवतल सतह के लिए,ध्रुव मूल बिंदु पर है,प्रकाश बाएं से दाएं यात्रा करता है,इसलिए चिह्न परिपाटी के अनुसार $u = -x$ और $R = -R$ है।
समीकरण इस प्रकार बनता है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{-x} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{-R} \implies \frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R} - \frac{\mu_1}{x}$।
आभासी प्रतिबिंब के लिए,$v < 0$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $\mu_2 > \mu_1$ है,तो $\frac{\mu_2}{v} = -\frac{(\mu_2 - \mu_1)}{R} - \frac{\mu_1}{x}$। चूंकि दोनों पद ऋणात्मक हैं,$v$ हमेशा ऋणात्मक होता है,इसलिए $x$ के किसी भी मान के लिए आभासी प्रतिबिंब बनता है।
स्थिति $2$: यदि $\mu_2 < \mu_1$ है,तो मान लें $\mu_1 - \mu_2 = \Delta\mu > 0$। तब $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\Delta\mu}{R} - \frac{\mu_1}{x}$। आभासी प्रतिबिंब के लिए,$v < 0$ होने के कारण,$\frac{\Delta\mu}{R} - \frac{\mu_1}{x} < 0 \implies \frac{\Delta\mu}{R} < \frac{\mu_1}{x} \implies x < \frac{\mu_1 R}{\Delta\mu} = \frac{\mu_1 R}{\mu_1 - \mu_2}$।
अतः,कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।
चित्र $B$ में अवतल सतह के लिए,ध्रुव मूल बिंदु पर है,प्रकाश बाएं से दाएं यात्रा करता है,इसलिए चिह्न परिपाटी के अनुसार $u = -x$ और $R = -R$ है।
समीकरण इस प्रकार बनता है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{-x} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{-R} \implies \frac{\mu_2}{v} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R} - \frac{\mu_1}{x}$।
आभासी प्रतिबिंब के लिए,$v < 0$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $\mu_2 > \mu_1$ है,तो $\frac{\mu_2}{v} = -\frac{(\mu_2 - \mu_1)}{R} - \frac{\mu_1}{x}$। चूंकि दोनों पद ऋणात्मक हैं,$v$ हमेशा ऋणात्मक होता है,इसलिए $x$ के किसी भी मान के लिए आभासी प्रतिबिंब बनता है।
स्थिति $2$: यदि $\mu_2 < \mu_1$ है,तो मान लें $\mu_1 - \mu_2 = \Delta\mu > 0$। तब $\frac{\mu_2}{v} = \frac{\Delta\mu}{R} - \frac{\mu_1}{x}$। आभासी प्रतिबिंब के लिए,$v < 0$ होने के कारण,$\frac{\Delta\mu}{R} - \frac{\mu_1}{x} < 0 \implies \frac{\Delta\mu}{R} < \frac{\mu_1}{x} \implies x < \frac{\mu_1 R}{\Delta\mu} = \frac{\mu_1 R}{\mu_1 - \mu_2}$।
अतः,कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।
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DifficultMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार,क्षेत्र $BCDEF$ और $ABFG$ के अपवर्तनांक क्रमशः $2.0$ और $1.5$ हैं। एक कण $O$ को क्षेत्र $BCEF$ के मध्य बिंदु पर रखा गया है। आँख द्वारा देखी गई वस्तु का अंतिम प्रतिबिंब कितनी दूरी पर होगा?
A
बिंदु $D$ से $30 \, cm$ की दूरी पर
B
बिंदु $D$ से $22.5 \, cm$ की दूरी पर
C
बिंदु $D$ से $40 \, cm$ की दूरी पर
D
बिंदु $D$ से $20 \, cm$ की दूरी पर
Solution
(D) वस्तु $O$,क्षेत्र $BCEF$ के मध्य बिंदु पर स्थित है। दूरी $DE = 20 \, cm$ है। चूंकि $O$ मध्य बिंदु पर है,इसलिए वक्र सतह $D$ से $O$ की दूरी $u = -10 \, cm$ होगी।
अपवर्तन वक्र सतह $D$ पर होता है जिसकी वक्रता त्रिज्या $R = -10 \, cm$ है (क्योंकि वक्रता केंद्र $D$ के बाईं ओर है)।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,$\mu_1 = 2.0$ (माध्यम जहाँ वस्तु स्थित है),$\mu_2 = 1.0$ (वायु),$u = -10 \, cm$,और $R = -10 \, cm$ है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{2}{-10} = \frac{1 - 2}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{5} = \frac{-1}{-10} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1 - 2}{10} = -\frac{1}{10}$
$v = -10 \, cm$.
इसका अर्थ है कि प्रतिबिंब बिंदु $D$ के बाईं ओर $10 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
अपवर्तन वक्र सतह $D$ पर होता है जिसकी वक्रता त्रिज्या $R = -10 \, cm$ है (क्योंकि वक्रता केंद्र $D$ के बाईं ओर है)।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,$\mu_1 = 2.0$ (माध्यम जहाँ वस्तु स्थित है),$\mu_2 = 1.0$ (वायु),$u = -10 \, cm$,और $R = -10 \, cm$ है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{2}{-10} = \frac{1 - 2}{-10}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{5} = \frac{-1}{-10} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1 - 2}{10} = -\frac{1}{10}$
$v = -10 \, cm$.
इसका अर्थ है कि प्रतिबिंब बिंदु $D$ के बाईं ओर $10 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
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DifficultMCQ
$6 \, cm$ त्रिज्या और $1.5$ अपवर्तनांक वाले कांच के गोले के केंद्र पर एक बिंदु वस्तु रखी गई है। गोले की सतह से आभासी प्रतिबिंब की दूरी ..... $cm$ है।
A
$2$
B
$4$
C
$6$
D
$12$
Solution
(C) वस्तु को गोले के केंद्र $C$ पर रखा गया है।
गोलाकार सतह पर अपवर्तन के लिए,केंद्र से निकलने वाली प्रकाश किरणें सतह पर लंबवत आपतित होती हैं (आपतन कोण $i = 0^{\circ}$)।
अपवर्तन के नियमों के अनुसार,जब प्रकाश किसी सतह पर लंबवत आपतित होता है,तो वह बिना विचलित हुए सीधे निकल जाता है।
इसलिए,किरणें केंद्र से ही आती हुई प्रतीत होती हैं।
अतः,प्रतिबिंब गोले के केंद्र पर ही बनता है।
सतह से प्रतिबिंब की दूरी गोले की त्रिज्या के बराबर यानी $6 \, cm$ है।
गोलाकार सतह पर अपवर्तन के लिए,केंद्र से निकलने वाली प्रकाश किरणें सतह पर लंबवत आपतित होती हैं (आपतन कोण $i = 0^{\circ}$)।
अपवर्तन के नियमों के अनुसार,जब प्रकाश किसी सतह पर लंबवत आपतित होता है,तो वह बिना विचलित हुए सीधे निकल जाता है।
इसलिए,किरणें केंद्र से ही आती हुई प्रतीत होती हैं।
अतः,प्रतिबिंब गोले के केंद्र पर ही बनता है।
सतह से प्रतिबिंब की दूरी गोले की त्रिज्या के बराबर यानी $6 \, cm$ है।
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DifficultMCQ
$R$ त्रिज्या और $1.5$ अपवर्तनांक वाला एक चौथाई बेलन एक मेज पर रखा गया है। एक बिंदु वस्तु $P$ को उससे $mR$ की दूरी पर रखा गया है। $m$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $P$ से निकलने वाली किरण चित्र में दिखाए अनुसार मेज के समानांतर बाहर निकले।
A
$2/3$
B
$2$
C
$4/3$
D
$4$
Solution
(C) माना बेलन का अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है। किरण मेज के समानांतर बाहर निकलती है,जिसका अर्थ है कि यह वक्र सतह से क्षैतिज रूप से बाहर निकलती है।
पहली सतह (समतल ऊर्ध्वाधर सतह) के लिए,अपवर्तन का सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_{curv}}$ है।
यहाँ,$\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5$,$u = -mR$,और $R_{curv} = \infty$ है। अतः,$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-mR} = 0$,जिससे $v = -1.5mR$ प्राप्त होता है। यह समतल सतह के बाईं ओर बनने वाला एक आभासी प्रतिबिंब है।
दूसरी सतह (वक्र सतह) के लिए,प्रकाश बेलन $(\mu_1 = 1.5)$ से हवा $(\mu_2 = 1)$ में जाता है। इस सतह के लिए वस्तु,पहली सतह द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब है,जो $u' = -(v + R) = -(1.5mR + R)$ की दूरी पर स्थित है। वक्रता त्रिज्या $R_{curv} = -R$ है (क्योंकि केंद्र बाईं ओर है)।
निर्गत किरण अक्ष के समानांतर है,इसलिए प्रतिबिंब दूरी $v' = \infty$ है।
$\frac{1}{\infty} - \frac{1.5}{-(1.5mR + R)} = \frac{1 - 1.5}{-R}$ का उपयोग करने पर।
$\frac{1.5}{1.5mR + R} = \frac{-0.5}{-R} = \frac{0.5}{R}$।
$\frac{1.5}{R(1.5m + 1)} = \frac{0.5}{R} \implies 1.5 = 0.5(1.5m + 1) \implies 3 = 1.5m + 1 \implies 1.5m = 2 \implies m = 2/1.5 = 4/3$।
पहली सतह (समतल ऊर्ध्वाधर सतह) के लिए,अपवर्तन का सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_{curv}}$ है।
यहाँ,$\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5$,$u = -mR$,और $R_{curv} = \infty$ है। अतः,$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-mR} = 0$,जिससे $v = -1.5mR$ प्राप्त होता है। यह समतल सतह के बाईं ओर बनने वाला एक आभासी प्रतिबिंब है।
दूसरी सतह (वक्र सतह) के लिए,प्रकाश बेलन $(\mu_1 = 1.5)$ से हवा $(\mu_2 = 1)$ में जाता है। इस सतह के लिए वस्तु,पहली सतह द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब है,जो $u' = -(v + R) = -(1.5mR + R)$ की दूरी पर स्थित है। वक्रता त्रिज्या $R_{curv} = -R$ है (क्योंकि केंद्र बाईं ओर है)।
निर्गत किरण अक्ष के समानांतर है,इसलिए प्रतिबिंब दूरी $v' = \infty$ है।
$\frac{1}{\infty} - \frac{1.5}{-(1.5mR + R)} = \frac{1 - 1.5}{-R}$ का उपयोग करने पर।
$\frac{1.5}{1.5mR + R} = \frac{-0.5}{-R} = \frac{0.5}{R}$।
$\frac{1.5}{R(1.5m + 1)} = \frac{0.5}{R} \implies 1.5 = 0.5(1.5m + 1) \implies 3 = 1.5m + 1 \implies 1.5m = 2 \implies m = 2/1.5 = 4/3$।
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MediumMCQ
दिखाए गए चित्र में,$O$ कांच के गोले का केंद्र है। जब गोले पर स्थित बिंदु $P$ को लगभग लंबवत देखा जाता है,तो यह कैसा दिखाई देता है?
A
बिंदु $O$ पर
B
बिंदु $O$ के बाईं ओर
C
बिंदु $O$ के दाईं ओर,प्रेक्षक की ओर स्थानांतरित
D
बिंदु $O$ के दाईं ओर,प्रेक्षक से दूर स्थानांतरित
Solution
(C) जब प्रकाश सघन माध्यम (कांच) से विरल माध्यम (वायु) में जाता है,तो अपवर्तन के कारण वस्तु अपनी वास्तविक स्थिति से थोड़ी ऊपर दिखाई देती है।
गोलीय सतह के लिए,अपवर्तन का सूत्र $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ है।
यहाँ,$n_1 = \mu$ (कांच का अपवर्तनांक),$n_2 = 1$ (वायु का अपवर्तनांक),$u = -x$ (जहाँ $x$ सतह से $P$ की दूरी है),और $R = -r$ (गोले की त्रिज्या) है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{v} - \frac{\mu}{-x} = \frac{1 - \mu}{-r}$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,हम पाते हैं कि प्रतिबिंब वास्तविक वस्तु $P$ की तुलना में सतह के करीब बनता है।
चूंकि प्रेक्षक दाईं ओर है,$P$ से आने वाली प्रकाश किरणें सतह पर अपवर्तित होती हैं और ऐसा प्रतीत होता है कि वे प्रेक्षक की ओर स्थानांतरित बिंदु से आ रही हैं (अर्थात $O$ के दाईं ओर और सतह के करीब)।
इसलिए,बिंदु $P$ प्रेक्षक की ओर स्थानांतरित दिखाई देता है।
गोलीय सतह के लिए,अपवर्तन का सूत्र $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ है।
यहाँ,$n_1 = \mu$ (कांच का अपवर्तनांक),$n_2 = 1$ (वायु का अपवर्तनांक),$u = -x$ (जहाँ $x$ सतह से $P$ की दूरी है),और $R = -r$ (गोले की त्रिज्या) है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{v} - \frac{\mu}{-x} = \frac{1 - \mu}{-r}$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,हम पाते हैं कि प्रतिबिंब वास्तविक वस्तु $P$ की तुलना में सतह के करीब बनता है।
चूंकि प्रेक्षक दाईं ओर है,$P$ से आने वाली प्रकाश किरणें सतह पर अपवर्तित होती हैं और ऐसा प्रतीत होता है कि वे प्रेक्षक की ओर स्थानांतरित बिंदु से आ रही हैं (अर्थात $O$ के दाईं ओर और सतह के करीब)।
इसलिए,बिंदु $P$ प्रेक्षक की ओर स्थानांतरित दिखाई देता है।
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AdvancedMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार एक कांच की छड़ के सिरे हैं। कांच का अपवर्तनांक $\mu$ है। वस्तु $O$ बड़ी वक्रता त्रिज्या वाली सतह से $2R$ की दूरी पर है। सिरों के शीर्षों के बीच की दूरी $3R$ है। $\mu$ का वह परास जिसके लिए प्रतिबिंब वास्तविक है,है
A
$2 < \mu < 2.25$
B
$2.25 < \mu < 2.5$
C
$\mu > 1$ के किसी भी मान के लिए
D
$\mu < 2.25$ के किसी भी मान के लिए
Solution
(A) उत्तल सतह (त्रिज्या $R$) पर पहले अपवर्तन के लिए:
सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = \mu$,$u = -2R$,और $R_1 = +R$ है।
$\frac{\mu}{v_1} - \frac{1}{-2R} = \frac{\mu - 1}{R} \implies \frac{\mu}{v_1} = \frac{\mu - 1}{R} - \frac{1}{2R} = \frac{2\mu - 3}{2R} \implies v_1 = \frac{2\mu R}{2\mu - 3}$.
अवतल सतह (त्रिज्या $R/2$) पर दूसरे अपवर्तन के लिए:
वस्तु दूरी $u_2 = v_1 - 3R = \frac{2\mu R}{2\mu - 3} - 3R = \frac{2\mu R - 6\mu R + 9R}{2\mu - 3} = \frac{R(9 - 4\mu)}{2\mu - 3}$.
यहाँ $\mu_1 = \mu$,$\mu_2 = 1$,और $R_2 = +R/2$ है।
सूत्र $\frac{1}{v_f} - \frac{\mu}{u_2} = \frac{1 - \mu}{R/2} = \frac{2(1 - \mu)}{R}$ का उपयोग करते हुए।
$\frac{1}{v_f} = \frac{2(1 - \mu)}{R} + \frac{\mu(2\mu - 3)}{R(9 - 4\mu)} = \frac{10\mu^2 - 29\mu + 18}{R(9 - 4\mu)}$.
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$v_f > 0$ होना चाहिए। अतः $\frac{(10\mu - 9)(\mu - 2)}{9 - 4\mu} > 0$.
इस असमिका को हल करने पर,हमें $2 < \mu < 2.25$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = \mu$,$u = -2R$,और $R_1 = +R$ है।
$\frac{\mu}{v_1} - \frac{1}{-2R} = \frac{\mu - 1}{R} \implies \frac{\mu}{v_1} = \frac{\mu - 1}{R} - \frac{1}{2R} = \frac{2\mu - 3}{2R} \implies v_1 = \frac{2\mu R}{2\mu - 3}$.
अवतल सतह (त्रिज्या $R/2$) पर दूसरे अपवर्तन के लिए:
वस्तु दूरी $u_2 = v_1 - 3R = \frac{2\mu R}{2\mu - 3} - 3R = \frac{2\mu R - 6\mu R + 9R}{2\mu - 3} = \frac{R(9 - 4\mu)}{2\mu - 3}$.
यहाँ $\mu_1 = \mu$,$\mu_2 = 1$,और $R_2 = +R/2$ है।
सूत्र $\frac{1}{v_f} - \frac{\mu}{u_2} = \frac{1 - \mu}{R/2} = \frac{2(1 - \mu)}{R}$ का उपयोग करते हुए।
$\frac{1}{v_f} = \frac{2(1 - \mu)}{R} + \frac{\mu(2\mu - 3)}{R(9 - 4\mu)} = \frac{10\mu^2 - 29\mu + 18}{R(9 - 4\mu)}$.
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$v_f > 0$ होना चाहिए। अतः $\frac{(10\mu - 9)(\mu - 2)}{9 - 4\mu} > 0$.
इस असमिका को हल करने पर,हमें $2 < \mu < 2.25$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
दिखाए गए चित्र में,$O$ कांच के गोले का केंद्र है। गोले पर स्थित बिंदु $P$,जब लगभग लंबवत देखा जाता है,तो कहाँ दिखाई देता है?
A
बिंदु $O$ पर
B
बिंदु $O$ के बाईं ओर
C
बिंदु $O$ के दाईं ओर,प्रेक्षक की ओर स्थानांतरित,अर्थात $P$ और प्रेक्षक के बीच
D
बिंदु $O$ के दाईं ओर,प्रेक्षक से दूर स्थानांतरित,अर्थात $O$ और $P$ के बीच
Solution
(C) जब प्रकाश सघन माध्यम (कांच) से विरल माध्यम (वायु) में जाता है,तो वह अभिलंब से दूर झुक जाता है।
गोलीय सतह के लिए,अपवर्तन का सूत्र $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ है।
यहाँ,$n_1 = \mu$ (कांच का अपवर्तनांक),$n_2 = 1$ (वायु का अपवर्तनांक),$u = -x$ (जहाँ $x$ सतह से $P$ की दूरी है),और $R = -R_{sphere}$ (क्योंकि सतह वस्तु की ओर अवतल है)।
छोटे कोणों के लिए (लंबवत देखने पर),प्रतिबिंब $I$ वस्तु $P$ की तुलना में सतह के करीब बनता है।
दिए गए समाधान चित्र में जैसा कि देखा गया है,$P$ से आने वाली प्रकाश किरणें सतह पर अपवर्तित होती हैं और बिंदु $I$ से आती हुई प्रतीत होती हैं जो $P$ और गोले की सतह के बीच स्थित है।
इसलिए,बिंदु $P$ प्रेक्षक की ओर स्थानांतरित दिखाई देता है,अर्थात $P$ और प्रेक्षक के बीच।
गोलीय सतह के लिए,अपवर्तन का सूत्र $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ है।
यहाँ,$n_1 = \mu$ (कांच का अपवर्तनांक),$n_2 = 1$ (वायु का अपवर्तनांक),$u = -x$ (जहाँ $x$ सतह से $P$ की दूरी है),और $R = -R_{sphere}$ (क्योंकि सतह वस्तु की ओर अवतल है)।
छोटे कोणों के लिए (लंबवत देखने पर),प्रतिबिंब $I$ वस्तु $P$ की तुलना में सतह के करीब बनता है।
दिए गए समाधान चित्र में जैसा कि देखा गया है,$P$ से आने वाली प्रकाश किरणें सतह पर अपवर्तित होती हैं और बिंदु $I$ से आती हुई प्रतीत होती हैं जो $P$ और गोले की सतह के बीच स्थित है।
इसलिए,बिंदु $P$ प्रेक्षक की ओर स्थानांतरित दिखाई देता है,अर्थात $P$ और प्रेक्षक के बीच।
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View Solution34
MediumMCQ
दिए गए गोलीय सतह से अपवर्तन के लिए प्रतिबिंब की दूरी $cm$ में ज्ञात कीजिए।
A
$+50$
B
$-50$
C
$+10$
D
$-10$
Solution
(A) गोलीय सतह से अपवर्तन के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{n_{2}}{v} - \frac{n_{1}}{u} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}$
दिया गया है:
$n_{1} = 1$ (प्रथम माध्यम का अपवर्तनांक)
$n_{2} = 3/2$ (द्वितीय माध्यम का अपवर्तनांक)
$u = -50 \, cm$ (वस्तु की दूरी,चिह्न परिपाटी के अनुसार)
$R = +10 \, cm$ (वक्रता त्रिज्या,क्योंकि सतह आपतित प्रकाश के सापेक्ष उत्तल है)
मान रखने पर:
$\frac{3/2}{v} - \frac{1}{-50} = \frac{3/2 - 1}{10}$
$\frac{3}{2v} + \frac{1}{50} = \frac{0.5}{10} = \frac{1}{20}$
$\frac{3}{2v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{50} = \frac{5 - 2}{100} = \frac{3}{100}$
$\frac{3}{2v} = \frac{3}{100}$
$2v = 100$
$v = +50 \, cm$
$\frac{n_{2}}{v} - \frac{n_{1}}{u} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}$
दिया गया है:
$n_{1} = 1$ (प्रथम माध्यम का अपवर्तनांक)
$n_{2} = 3/2$ (द्वितीय माध्यम का अपवर्तनांक)
$u = -50 \, cm$ (वस्तु की दूरी,चिह्न परिपाटी के अनुसार)
$R = +10 \, cm$ (वक्रता त्रिज्या,क्योंकि सतह आपतित प्रकाश के सापेक्ष उत्तल है)
मान रखने पर:
$\frac{3/2}{v} - \frac{1}{-50} = \frac{3/2 - 1}{10}$
$\frac{3}{2v} + \frac{1}{50} = \frac{0.5}{10} = \frac{1}{20}$
$\frac{3}{2v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{50} = \frac{5 - 2}{100} = \frac{3}{100}$
$\frac{3}{2v} = \frac{3}{100}$
$2v = 100$
$v = +50 \, cm$
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DifficultMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार $R$ त्रिज्या वाले एक क्रिस्टल बॉल पर एक लेजर बीम गिरती है। इसका अपवर्तनांक क्या है?
A
$1$
B
$1.5$
C
$1.7$
D
$2$
Solution
(D) आपतित किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर हैं,इसलिए वस्तु की दूरी $u = -\infty$ है।
किरणें गोले की पिछली सतह पर केंद्रित होती हैं,इसलिए प्रतिबिंब की दूरी $v = 2R$ (गोले का व्यास) है।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_{surface}}$.
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (हवा),$\mu_2 = \mu$ (क्रिस्टल),$u = -\infty$,$v = 2R$,और पहली सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ है।
मान रखने पर: $\frac{\mu}{2R} - \frac{1}{-\infty} = \frac{\mu - 1}{R}$.
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\mu}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$.
दोनों पक्षों को $R$ से गुणा करने पर: $\frac{\mu}{2} = \mu - 1$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $1 = \mu - \frac{\mu}{2} = \frac{\mu}{2}$.
अतः,$\mu = 2$.
किरणें गोले की पिछली सतह पर केंद्रित होती हैं,इसलिए प्रतिबिंब की दूरी $v = 2R$ (गोले का व्यास) है।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_{surface}}$.
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (हवा),$\mu_2 = \mu$ (क्रिस्टल),$u = -\infty$,$v = 2R$,और पहली सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ है।
मान रखने पर: $\frac{\mu}{2R} - \frac{1}{-\infty} = \frac{\mu - 1}{R}$.
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\mu}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$.
दोनों पक्षों को $R$ से गुणा करने पर: $\frac{\mu}{2} = \mu - 1$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $1 = \mu - \frac{\mu}{2} = \frac{\mu}{2}$.
अतः,$\mu = 2$.
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View Solution36
MediumMCQ
हवा में स्थित एक बिंदु स्रोत से प्रकाश एक उत्तल गोलीय कांच की सतह $(\mu = 1.5, R = 20 \, cm)$ पर आपतित होता है। कांच की सतह से प्रकाश स्रोत की दूरी $100 \, cm$ है। प्रतिबिंब किस स्थिति पर बनेगा ($, cm$ में)?
A
$50$
B
$100$
C
$150$
D
$40$
Solution
(B) गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
दिया गया है: $\mu_1 = 1$ (हवा),$\mu_2 = 1.5$ (कांच),$R = +20 \, cm$ (उत्तल सतह),और $u = -100 \, cm$ (प्रकाश स्रोत सतह के सामने है)।
मान रखने पर: $\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-100} = \frac{1.5 - 1}{20}$.
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{100} = \frac{0.5}{20}$.
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{100}$.
$\frac{1.5}{v} = \frac{5 - 2}{200} = \frac{3}{200}$.
$v = \frac{1.5 \times 200}{3} = \frac{300}{3} = 100 \, cm$.
प्रतिबिंब सतह से $100 \, cm$ की दूरी पर बनेगा।
दिया गया है: $\mu_1 = 1$ (हवा),$\mu_2 = 1.5$ (कांच),$R = +20 \, cm$ (उत्तल सतह),और $u = -100 \, cm$ (प्रकाश स्रोत सतह के सामने है)।
मान रखने पर: $\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-100} = \frac{1.5 - 1}{20}$.
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{100} = \frac{0.5}{20}$.
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{100}$.
$\frac{1.5}{v} = \frac{5 - 2}{200} = \frac{3}{200}$.
$v = \frac{1.5 \times 200}{3} = \frac{300}{3} = 100 \, cm$.
प्रतिबिंब सतह से $100 \, cm$ की दूरी पर बनेगा।
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View Solution37
MediumMCQ
समांतर किरणें एक पारदर्शी गोले पर उसके एक व्यास के अनुदिश आपतित होती हैं। अपवर्तन के बाद,ये किरणें इस व्यास के दूसरे सिरे पर अभिसरित होती हैं। गोले का अपवर्तनांक क्या है?
A
$1$
B
$1.5$
C
$1.6$
D
$2$
Solution
(D) गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
यहाँ,प्रकाश हवा $(\mu_{1} = 1)$ से गोले $(\mu_{2} = \mu)$ में प्रवेश करता है।
वस्तु अनंत पर है $(u = -\infty)$,और प्रतिबिंब व्यास के दूसरे सिरे पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब दूरी $v = 2R$ है।
पहली सतह के लिए वक्रता त्रिज्या $R = +R$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\mu}{2R} - \frac{1}{-\infty} = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2R} - 0 = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$
$1 = \mu - \frac{\mu}{2}$
$1 = \frac{\mu}{2}$
$\mu = 2$
यहाँ,प्रकाश हवा $(\mu_{1} = 1)$ से गोले $(\mu_{2} = \mu)$ में प्रवेश करता है।
वस्तु अनंत पर है $(u = -\infty)$,और प्रतिबिंब व्यास के दूसरे सिरे पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब दूरी $v = 2R$ है।
पहली सतह के लिए वक्रता त्रिज्या $R = +R$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\mu}{2R} - \frac{1}{-\infty} = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2R} - 0 = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$
$1 = \mu - \frac{\mu}{2}$
$1 = \frac{\mu}{2}$
$\mu = 2$
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View Solution38
MediumMCQ
एक गोले की सतह पर स्थित प्रकाश का एक बिंदु स्रोत गोले की विपरीत सतह से प्रकाश की एक समानांतर किरण पुंज उत्पन्न करता है। गोले के पदार्थ का अपवर्तनांक है
A
$1.5$
B
$5/3$
C
$2$
D
$2.5$
Solution
(C) माना गोले की त्रिज्या $R$ है। प्रकाश स्रोत सतह पर है,इसलिए दूसरी सतह से वस्तु की दूरी $u = -2R$ (गोले का व्यास) होगी।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R'}$
यहाँ,$\mu_1 = \mu$ (गोले का अपवर्तनांक),$\mu_2 = 1$ (हवा का अपवर्तनांक),$v = \infty$ (चूंकि निर्गत किरण पुंज समानांतर है),$u = -2R$,और वक्रता त्रिज्या $R' = -R$ (क्योंकि वक्रता केंद्र दूसरी सतह के बाईं ओर है)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{\infty} - \frac{\mu}{-2R} = \frac{1 - \mu}{-R}$
$0 + \frac{\mu}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$
$\mu = 2\mu - 2$
$\mu = 2$
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R'}$
यहाँ,$\mu_1 = \mu$ (गोले का अपवर्तनांक),$\mu_2 = 1$ (हवा का अपवर्तनांक),$v = \infty$ (चूंकि निर्गत किरण पुंज समानांतर है),$u = -2R$,और वक्रता त्रिज्या $R' = -R$ (क्योंकि वक्रता केंद्र दूसरी सतह के बाईं ओर है)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{\infty} - \frac{\mu}{-2R} = \frac{1 - \mu}{-R}$
$0 + \frac{\mu}{2R} = \frac{\mu - 1}{R}$
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$
$\mu = 2\mu - 2$
$\mu = 2$
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MediumMCQ
आंख को एक एकल अपवर्तक सतह के रूप में माना जा सकता है। इस सतह की वक्रता त्रिज्या कॉर्निया $(7.8 \, mm)$ के बराबर है। यह सतह $1$ और $1.34$ अपवर्तनांक वाले दो माध्यमों को अलग करती है। अपवर्तक सतह से उस दूरी की गणना करें जिस पर प्रकाश की एक समानांतर किरण केंद्रित होगी ($cm$ में)।
A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$3.1$
Solution
(D) एकल गोलीय सतह पर अपवर्तन का सूत्र है: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$।
यहाँ,$\mu_{1} = 1$ (वायु),$\mu_{2} = 1.34$ (आंख का माध्यम),$R = 7.8 \, mm = 0.78 \, cm$,और $u = -\infty$ (समानांतर किरण)।
मान रखने पर:
$\frac{1.34}{v} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1.34 - 1}{0.78}$
$\frac{1.34}{v} - 0 = \frac{0.34}{0.78}$
$v = \frac{1.34 \times 0.78}{0.34} \approx 3.074 \, cm$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $v \approx 3.1 \, cm$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$\mu_{1} = 1$ (वायु),$\mu_{2} = 1.34$ (आंख का माध्यम),$R = 7.8 \, mm = 0.78 \, cm$,और $u = -\infty$ (समानांतर किरण)।
मान रखने पर:
$\frac{1.34}{v} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1.34 - 1}{0.78}$
$\frac{1.34}{v} - 0 = \frac{0.34}{0.78}$
$v = \frac{1.34 \times 0.78}{0.34} \approx 3.074 \, cm$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $v \approx 3.1 \, cm$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
इस वक्र सतह की फोकस दूरी $cm$ में क्या है?
A
$10$
B
$5$
C
$20$
D
$30$
Solution
(D) एकल वक्र सतह के लिए,अपवर्तन का सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
दिया गया है: $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5$,$R = +10 \, cm$ (चूंकि सतह विरल माध्यम की ओर उत्तल है),और समानांतर आपतित किरणों के लिए,$u = \infty$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{\infty} = \frac{1.5 - 1}{10}$
$\frac{1.5}{v} - 0 = \frac{0.5}{10}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times 20 = 30 \, cm$.
चूंकि फोकस दूरी $f$ समानांतर आपतित किरणों के लिए प्रतिबिंब की दूरी है,इसलिए $f = 30 \, cm$.
दिया गया है: $\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5$,$R = +10 \, cm$ (चूंकि सतह विरल माध्यम की ओर उत्तल है),और समानांतर आपतित किरणों के लिए,$u = \infty$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{\infty} = \frac{1.5 - 1}{10}$
$\frac{1.5}{v} - 0 = \frac{0.5}{10}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times 20 = 30 \, cm$.
चूंकि फोकस दूरी $f$ समानांतर आपतित किरणों के लिए प्रतिबिंब की दूरी है,इसलिए $f = 30 \, cm$.
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DifficultMCQ
यहाँ दिखाई गई आकृति में,एक बिंदु वस्तु $O$ को हवा में रखा गया है। एक गोलीय सीमा $2.0 \, m$ वक्रता त्रिज्या वाले विभिन्न माध्यमों को अलग करती है। $AB$ मुख्य अक्ष है। $AB$ के ऊपर अपवर्तनांक $1.6$ है और $AB$ के नीचे $2.0$ है। गोलीय सतह पर अपवर्तन के कारण बनने वाले प्रतिबिंबों के बीच की दूरी क्या है?
A
शून्य
B
अनंत
C
$12 \, m$
D
$10 \, m$
Solution
(B) गोलीय सतह पर अपवर्तन का सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ है।
यहाँ,वस्तु की दूरी $u = -2.0 \, m$,वक्रता त्रिज्या $R = +2.0 \, m$,और पहले माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.0$ (हवा) है।
ऊपरी भाग के लिए,$\mu_2 = 1.6$:
$\frac{1.6}{v_1} - \frac{1.0}{-2.0} = \frac{1.6 - 1.0}{2.0} \Rightarrow \frac{1.6}{v_1} + 0.5 = 0.3 \Rightarrow \frac{1.6}{v_1} = -0.2 \Rightarrow v_1 = -8.0 \, m$.
निचले भाग के लिए,$\mu_2 = 2.0$:
$\frac{2.0}{v_2} - \frac{1.0}{-2.0} = \frac{2.0 - 1.0}{2.0} \Rightarrow \frac{2.0}{v_2} + 0.5 = 0.5 \Rightarrow \frac{2.0}{v_2} = 0 \Rightarrow v_2 = \infty$.
प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $|v_2 - v_1| = |\infty - (-8.0)| = \infty$ है।
यहाँ,वस्तु की दूरी $u = -2.0 \, m$,वक्रता त्रिज्या $R = +2.0 \, m$,और पहले माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.0$ (हवा) है।
ऊपरी भाग के लिए,$\mu_2 = 1.6$:
$\frac{1.6}{v_1} - \frac{1.0}{-2.0} = \frac{1.6 - 1.0}{2.0} \Rightarrow \frac{1.6}{v_1} + 0.5 = 0.3 \Rightarrow \frac{1.6}{v_1} = -0.2 \Rightarrow v_1 = -8.0 \, m$.
निचले भाग के लिए,$\mu_2 = 2.0$:
$\frac{2.0}{v_2} - \frac{1.0}{-2.0} = \frac{2.0 - 1.0}{2.0} \Rightarrow \frac{2.0}{v_2} + 0.5 = 0.5 \Rightarrow \frac{2.0}{v_2} = 0 \Rightarrow v_2 = \infty$.
प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $|v_2 - v_1| = |\infty - (-8.0)| = \infty$ है।
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MediumMCQ
आकृति में दिखाई गई स्थिति में अपवर्तन द्वारा निर्मित प्रतिबिंब का स्थान ज्ञात कीजिए।
A
$100 \, cm$ बाईं ओर
B
अनंत
C
$1 \, cm$ दाईं ओर
D
$18 \, cm$ बाईं ओर
Solution
(A) दिया गया है: $\mu_{1} = 1.0$,$\mu_{2} = 1.5$,$R = +20 \, cm$ (क्योंकि वक्रता केंद्र $C$ ध्रुव $P$ के दाईं ओर है),और $u = -25 \, cm$ (क्योंकि वस्तु $S$ ध्रुव $P$ के बाईं ओर है)।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
मान रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1.0}{-25} = \frac{1.5 - 1.0}{20}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{25} = \frac{0.5}{20}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{25}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{5 - 8}{200} = \frac{-3}{200}$
$v = \frac{1.5 \times 200}{-3} = -100 \, cm$
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब ध्रुव $P$ के बाईं ओर $100 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$
मान रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1.0}{-25} = \frac{1.5 - 1.0}{20}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{25} = \frac{0.5}{20}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{25}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{5 - 8}{200} = \frac{-3}{200}$
$v = \frac{1.5 \times 200}{-3} = -100 \, cm$
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब ध्रुव $P$ के बाईं ओर $100 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
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MediumMCQ
दी गई आकृति में प्रकाश की एक किरण दो माध्यमों से गुजरती है,जिनके अपवर्तनांक क्रमशः $4/3$ और $3/2$ हैं। $AB$ और $BC$ दूरियों को तय करने में किरण द्वारा लिए गए समय का अनुपात ज्ञात कीजिए।
A
$56 : 27$
B
$21 : 8$
C
$7 : 3$
D
$28 : 9$
Solution
(A) अपवर्तनांक $\mu$ वाले माध्यम में प्रकाश की चाल $V = \frac{c}{\mu}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की चाल है।
प्रथम माध्यम के लिए,$\mu_1 = 4/3$,अतः चाल $V_1 = \frac{c}{4/3} = \frac{3c}{4}$ है।
दूरी $AB = 7 \text{ cm}$ है। लिया गया समय $t_1 = \frac{AB}{V_1} = \frac{7}{3c/4} = \frac{28}{3c}$ है।
दूसरे माध्यम के लिए,$\mu_2 = 3/2$,अतः चाल $V_2 = \frac{c}{3/2} = \frac{2c}{3}$ है।
दूरी $BC = 3 \text{ cm}$ है। लिया गया समय $t_2 = \frac{BC}{V_2} = \frac{3}{2c/3} = \frac{9}{2c}$ है।
समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{28/3c}{9/2c} = \frac{28}{3} \times \frac{2}{9} = \frac{56}{27}$ है।
अतः,अनुपात $56 : 27$ है।
प्रथम माध्यम के लिए,$\mu_1 = 4/3$,अतः चाल $V_1 = \frac{c}{4/3} = \frac{3c}{4}$ है।
दूरी $AB = 7 \text{ cm}$ है। लिया गया समय $t_1 = \frac{AB}{V_1} = \frac{7}{3c/4} = \frac{28}{3c}$ है।
दूसरे माध्यम के लिए,$\mu_2 = 3/2$,अतः चाल $V_2 = \frac{c}{3/2} = \frac{2c}{3}$ है।
दूरी $BC = 3 \text{ cm}$ है। लिया गया समय $t_2 = \frac{BC}{V_2} = \frac{3}{2c/3} = \frac{9}{2c}$ है।
समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{28/3c}{9/2c} = \frac{28}{3} \times \frac{2}{9} = \frac{56}{27}$ है।
अतः,अनुपात $56 : 27$ है।
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MediumMCQ
पानी में (अपवर्तनांक $\mu_1 = 4/3$) यात्रा कर रही प्रकाश की एक समानांतर किरण पुंज पानी में स्थित $R = 2 \, cm$ त्रिज्या के एक गोलाकार हवा के बुलबुले द्वारा अपवर्तित होती है। यह मानते हुए कि प्रकाश किरणें पैराक्सियल (paraxial) हैं,पहली सतह पर अपवर्तन के कारण प्रतिबिंब की स्थिति क्या होगी:
A
पहली सतह से $6 \, cm$ दूर
B
पहली सतह से $12 \, cm$ दूर
C
पहली सतह से $3 \, cm$ दूर
D
पहली सतह से $10 \, cm$ दूर
Solution
(A) गोलाकार सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र है: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$।
यहाँ,प्रकाश पानी $(\mu_1 = 4/3)$ से हवा $(\mu_2 = 1)$ में जा रहा है।
आपतित किरण पुंज समानांतर है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = \infty$ है।
पहली सतह के लिए वक्रता त्रिज्या $R = -2 \, cm$ है (चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,क्योंकि वक्रता का केंद्र सतह के बाईं ओर है)।
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{4/3}{\infty} = \frac{1 - 4/3}{-2}$।
$\frac{1}{v} - 0 = \frac{-1/3}{-2} = \frac{1}{6}$।
अतः,$v = 6 \, cm$।
प्रतिबिंब पहली सतह से प्रकाश के प्रसार की दिशा में $6 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
यहाँ,प्रकाश पानी $(\mu_1 = 4/3)$ से हवा $(\mu_2 = 1)$ में जा रहा है।
आपतित किरण पुंज समानांतर है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = \infty$ है।
पहली सतह के लिए वक्रता त्रिज्या $R = -2 \, cm$ है (चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,क्योंकि वक्रता का केंद्र सतह के बाईं ओर है)।
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{4/3}{\infty} = \frac{1 - 4/3}{-2}$।
$\frac{1}{v} - 0 = \frac{-1/3}{-2} = \frac{1}{6}$।
अतः,$v = 6 \, cm$।
प्रतिबिंब पहली सतह से प्रकाश के प्रसार की दिशा में $6 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
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MediumMCQ
$10 \, cm$ वक्रता त्रिज्या वाली एक उत्तल गोलीय अपवर्तक सतह के ध्रुव से $20 \, cm$ की दूरी पर विरल माध्यम में एक वस्तु रखी गई है। यदि विरल माध्यम का अपवर्तनांक $1$ है और सघन माध्यम का अपवर्तनांक $2$ है,तो प्रतिबिंब की स्थिति क्या होगी?
A
ध्रुव से $(40/3) \, cm$ की दूरी पर और सघन माध्यम के अंदर
B
ध्रुव से $40 \, cm$ की दूरी पर और सघन माध्यम के अंदर
C
ध्रुव से $(40/3) \, cm$ की दूरी पर और सघन माध्यम के बाहर
D
ध्रुव से $40 \, cm$ की दूरी पर और सघन माध्यम के बाहर
Solution
(B) गोलीय सतह पर अपवर्तन का सूत्र है: $\frac{n_{2}}{v} - \frac{n_{1}}{u} = \frac{n_{2} - n_{1}}{R}$
दिया गया है:
$n_{1} = 1$ (विरल माध्यम का अपवर्तनांक)
$n_{2} = 2$ (सघन माध्यम का अपवर्तनांक)
$u = -20 \, cm$ (वस्तु की दूरी,चिह्न परिपाटी के अनुसार)
$R = +10 \, cm$ (उत्तल सतह के लिए वक्रता त्रिज्या)
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{2}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{2 - 1}{10}$
$\frac{2}{v} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10}$
$\frac{2}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$\frac{2}{v} = \frac{2 - 1}{20} = \frac{1}{20}$
$v = 40 \, cm$
चूंकि $v$ धनात्मक है,इसलिए प्रतिबिंब ध्रुव से $40 \, cm$ की दूरी पर सघन माध्यम के अंदर बनता है।
दिया गया है:
$n_{1} = 1$ (विरल माध्यम का अपवर्तनांक)
$n_{2} = 2$ (सघन माध्यम का अपवर्तनांक)
$u = -20 \, cm$ (वस्तु की दूरी,चिह्न परिपाटी के अनुसार)
$R = +10 \, cm$ (उत्तल सतह के लिए वक्रता त्रिज्या)
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{2}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{2 - 1}{10}$
$\frac{2}{v} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10}$
$\frac{2}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$\frac{2}{v} = \frac{2 - 1}{20} = \frac{1}{20}$
$v = 40 \, cm$
चूंकि $v$ धनात्मक है,इसलिए प्रतिबिंब ध्रुव से $40 \, cm$ की दूरी पर सघन माध्यम के अंदर बनता है।
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DifficultMCQ
एक छोटी वस्तु $5.0\, cm$ त्रिज्या वाले कांच के गोले $(\mu = 1.5)$ में केंद्र से बाईं ओर $1.5\, cm$ की दूरी पर स्थित है। गोले के बाईं ओर खड़े प्रेक्षक द्वारा देखे जाने वाले वस्तु के प्रतिबिंब की स्थिति ज्ञात कीजिए।
A
$1\, cm$ केंद्र के बाईं ओर
B
$2\, cm$ केंद्र के बाईं ओर
C
$1\, cm$ केंद्र के दाईं ओर
D
$2\, cm$ केंद्र के दाईं ओर
Solution
(B) गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ है।
यहाँ,प्रकाश कांच से हवा में जा रहा है,इसलिए $\mu_1 = 1.5$ और $\mu_2 = 1$ है।
वस्तु केंद्र से $1.5\, cm$ बाईं ओर है। चूंकि त्रिज्या $5.0\, cm$ है,इसलिए वस्तु गोले की बाईं सतह से $5.0 - 1.5 = 3.5\, cm$ की दूरी पर है।
बाईं सतह को ध्रुव मानते हुए,$u = -3.5\, cm$ और $R = -5.0\, cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-3.5} = \frac{1 - 1.5}{-5.0}$
$\frac{1}{v} + \frac{1.5}{3.5} = \frac{-0.5}{-5.0}$
$\frac{1}{v} + \frac{3}{7} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{3}{7} = \frac{7 - 30}{70} = -\frac{23}{70}$
$v = -\frac{70}{23} \approx -3.04\, cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब ध्रुव (सतह) के बाईं ओर बनता है। केंद्र से दूरी $5.0 - 3.04 = 1.96\, cm \approx 2.0\, cm$ केंद्र के बाईं ओर है।
यहाँ,प्रकाश कांच से हवा में जा रहा है,इसलिए $\mu_1 = 1.5$ और $\mu_2 = 1$ है।
वस्तु केंद्र से $1.5\, cm$ बाईं ओर है। चूंकि त्रिज्या $5.0\, cm$ है,इसलिए वस्तु गोले की बाईं सतह से $5.0 - 1.5 = 3.5\, cm$ की दूरी पर है।
बाईं सतह को ध्रुव मानते हुए,$u = -3.5\, cm$ और $R = -5.0\, cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-3.5} = \frac{1 - 1.5}{-5.0}$
$\frac{1}{v} + \frac{1.5}{3.5} = \frac{-0.5}{-5.0}$
$\frac{1}{v} + \frac{3}{7} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{3}{7} = \frac{7 - 30}{70} = -\frac{23}{70}$
$v = -\frac{70}{23} \approx -3.04\, cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब ध्रुव (सतह) के बाईं ओर बनता है। केंद्र से दूरी $5.0 - 3.04 = 1.96\, cm \approx 2.0\, cm$ केंद्र के बाईं ओर है।
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DifficultMCQ
हवा में रखे $r$ त्रिज्या के एक ठोस पारदर्शी गोले पर प्रकाश की एक संकीर्ण समानांतर किरण पुंज पैरेक्सियल रूप से आपतित होती है। यदि किरण पुंज को गोले की दूर वाली सतह पर केंद्रित करना हो,तो अपवर्तनांक क्या होना चाहिए?
A
$1.5$
B
$2$
C
$1.3$
D
कोई नहीं
Solution
(B) गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र है: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$।
यहाँ,प्रकाश हवा $(\mu_{1} = 1)$ से गोले $(\mu_{2} = \mu)$ में प्रवेश करता है।
वस्तु अनंत पर है,इसलिए $u = -\infty$ है।
प्रतिबिंब दूर वाली सतह पर बनता है,इसलिए पहली सतह से दूरी व्यास के बराबर यानी $v = 2r$ है।
पहली सतह की वक्रता त्रिज्या $R = r$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\mu}{2r} - \frac{1}{-\infty} = \frac{\mu - 1}{r}$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\mu}{2r} = \frac{\mu - 1}{r}$
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर:
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$
$\mu = 2\mu - 2$
$\mu = 2$.
यहाँ,प्रकाश हवा $(\mu_{1} = 1)$ से गोले $(\mu_{2} = \mu)$ में प्रवेश करता है।
वस्तु अनंत पर है,इसलिए $u = -\infty$ है।
प्रतिबिंब दूर वाली सतह पर बनता है,इसलिए पहली सतह से दूरी व्यास के बराबर यानी $v = 2r$ है।
पहली सतह की वक्रता त्रिज्या $R = r$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\mu}{2r} - \frac{1}{-\infty} = \frac{\mu - 1}{r}$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\mu}{2r} = \frac{\mu - 1}{r}$
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर:
$\frac{\mu}{2} = \mu - 1$
$\mu = 2\mu - 2$
$\mu = 2$.
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MediumMCQ
$20 \, cm$ वक्रता त्रिज्या वाली एक उत्तल अपवर्तक सतह $\frac{4}{3}$ और $1.6$ अपवर्तनांक वाले दो माध्यमों को अलग करती है। एक वस्तु को पहले माध्यम $(\mu = 4/3)$ में अपवर्तक सतह से $200 \, cm$ की दूरी पर रखा गया है। बनने वाले प्रतिबिंब की स्थिति .....$cm$ है।
A
$120$
B
$240$
C
$100$
D
$60$
Solution
(B) एकल गोलीय सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र है: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$।
दी गई मान:
$\mu_{1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
$\mu_{2} = 1.6$
$u = -200 \, cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार वस्तु की दूरी ऋणात्मक ली जाती है)
$R = +20 \, cm$ (उत्तल सतह के लिए वक्रता त्रिज्या धनात्मक होती है)
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1.6}{v} - \frac{4/3}{-200} = \frac{1.6 - 4/3}{20}$
$\frac{1.6}{v} + \frac{4}{600} = \frac{1.6 - 1.333}{20}$
$\frac{1.6}{v} + \frac{1}{150} = \frac{0.2666}{20}$
$\frac{1.6}{v} + 0.00666 = 0.01333$
$\frac{1.6}{v} = 0.01333 - 0.00666 = 0.00666$
$\frac{1.6}{v} = \frac{1}{150}$
$v = 1.6 \times 150 = 240 \, cm$.
अतः,प्रतिबिंब अपवर्तक सतह से $240 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
दी गई मान:
$\mu_{1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
$\mu_{2} = 1.6$
$u = -200 \, cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार वस्तु की दूरी ऋणात्मक ली जाती है)
$R = +20 \, cm$ (उत्तल सतह के लिए वक्रता त्रिज्या धनात्मक होती है)
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1.6}{v} - \frac{4/3}{-200} = \frac{1.6 - 4/3}{20}$
$\frac{1.6}{v} + \frac{4}{600} = \frac{1.6 - 1.333}{20}$
$\frac{1.6}{v} + \frac{1}{150} = \frac{0.2666}{20}$
$\frac{1.6}{v} + 0.00666 = 0.01333$
$\frac{1.6}{v} = 0.01333 - 0.00666 = 0.00666$
$\frac{1.6}{v} = \frac{1}{150}$
$v = 1.6 \times 150 = 240 \, cm$.
अतः,प्रतिबिंब अपवर्तक सतह से $240 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
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MediumMCQ
हवा में स्थित एक बिंदु स्रोत से प्रकाश एक गोलाकार कांच की सतह ($n = 1.5$ और वक्रता त्रिज्या $= 20\; cm$) पर गिरता है। कांच की सतह से प्रकाश स्रोत की दूरी $100\; cm$ है। प्रतिबिंब किस स्थिति ($cm$ में) पर बनता है?
A
$65$
B
$100$
C
$80$
D
$120$
Solution
(B) दिया गया है: $u = -100\; cm$,$n_1 = 1$ (हवा),$n_2 = 1.5$ (कांच),$R = +20\; cm$ (उत्तल सतह)।
गोलाकार सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$
मान रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-100} = \frac{1.5 - 1}{20}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{100} = \frac{0.5}{20}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{0.5}{20} - \frac{1}{100}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{2.5 - 1}{100} = \frac{1.5}{100}$
$v = 100\; cm$.
प्रतिबिंब कांच की सतह से $100\; cm$ की दूरी पर आपतित प्रकाश की दिशा में बनता है।
गोलाकार सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$
मान रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-100} = \frac{1.5 - 1}{20}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{100} = \frac{0.5}{20}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{0.5}{20} - \frac{1}{100}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{2.5 - 1}{100} = \frac{1.5}{100}$
$v = 100\; cm$.
प्रतिबिंब कांच की सतह से $100\; cm$ की दूरी पर आपतित प्रकाश की दिशा में बनता है।
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Medium
दो पारदर्शी गोलीय वक्र पृष्ठों द्वारा अपवर्तन की व्याख्या कीजिए।
Solution
(N/A) गोलीय पृष्ठ के एक अत्यंत सूक्ष्म भाग को समतल माना जा सकता है और पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर अपवर्तन के नियमों को लागू किया जा सकता है।
आपतन बिंदु पर अभिलंब उस बिंदु पर गोलीय पृष्ठ के स्पर्शरेखा तल के लंबवत होता है और इसलिए,यह हमेशा वक्रता केंद्र से होकर गुजरता है।
जब प्रकाश ऐसे दो पृष्ठों से होकर गुजरता है (जैसा कि लेंस में होता है),तो पहले पृष्ठ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दूसरे पृष्ठ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। दोनों पृष्ठों के लिए क्रमिक रूप से अपवर्तन सूत्र $n_2/v - n_1/u = (n_2 - n_1)/R$ को लागू करके,हम लेंस मेकर सूत्र प्राप्त करते हैं।
आपतन बिंदु पर अभिलंब उस बिंदु पर गोलीय पृष्ठ के स्पर्शरेखा तल के लंबवत होता है और इसलिए,यह हमेशा वक्रता केंद्र से होकर गुजरता है।
जब प्रकाश ऐसे दो पृष्ठों से होकर गुजरता है (जैसा कि लेंस में होता है),तो पहले पृष्ठ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दूसरे पृष्ठ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। दोनों पृष्ठों के लिए क्रमिक रूप से अपवर्तन सूत्र $n_2/v - n_1/u = (n_2 - n_1)/R$ को लागू करके,हम लेंस मेकर सूत्र प्राप्त करते हैं।
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View SolutionRay Optics and Optical Instruments — Refraction Through Single Curved Surface · Frequently Asked Questions
1Are these Ray Optics and Optical Instruments questions useful for JEE and NEET?
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2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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