Combination of Lens and Mirror and Silvering of Lens, Cutting of Mirror Questions in Hindi

(D) जब किसी लेंस पर चांदी की पॉलिश की जाती है,तो वह एक दर्पण की तरह कार्य करता है। निकाय की समतुल्य शक्ति $P_{eq} = 2P_l + P_m$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P_l$ लेंस की शक्ति है और $P_m$ चांदी वाली सतह की शक्ति है।
दिया गया है,लेंस की फोकस दूरी $f_l = 20 \ cm$,इसलिए $P_l = \frac{1}{f_l} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$।
समतल सतह पर पॉलिश की गई है,इसलिए इसकी फोकस दूरी $f_m = \infty$,जिसका अर्थ है $P_m = \frac{1}{f_m} = 0$।
समतुल्य शक्ति $P_{eq} = 2 \left(\frac{1}{20}\right) + 0 = \frac{1}{10} \ cm^{-1}$ है।
चूंकि दर्पण के लिए $P_{eq} = -\frac{1}{F}$ होता है,इसलिए हमें $F = -10 \ cm$ प्राप्त होता है। फोकस दूरी का परिमाण $10 \ cm$ है।

(C) जब एक समतल-उत्तल लेंस की समतल सतह को रजतित किया जाता है,तो यह प्रणाली एक लेंस और एक दर्पण के संयोजन के रूप में कार्य करती है।
मान लीजिए कि समतल-उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ है। जब प्रकाश लेंस में प्रवेश करता है,तो यह अपवर्तन से गुजरता है,फिर रजतित सतह पर परावर्तन होता है,और अंत में लेंस से बाहर निकलते समय फिर से अपवर्तन होता है।
प्रणाली की प्रभावी शक्ति $P_{eff} = 2P_l + P_m$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P_l$ लेंस की शक्ति है और $P_m$ दर्पण की शक्ति है।
चूंकि समतल सतह रजतित है,इसलिए दर्पण एक समतल दर्पण है,जिसकी फोकस दूरी $f_m = \infty$ है,जिसका अर्थ है $P_m = 0$।
लेंस की शक्ति $P_l = 1/f$ है।
अतः,$P_{eff} = 2(1/f) + 0 = 2/f$।
प्रभावी फोकस दूरी $F = -1/P_{eff} = -f/2$ प्राप्त होती है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि यह प्रणाली $f/2$ फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण के रूप में व्यवहार करती है।

(A) उभयोत्तल लेंस के लिए, लेंस मेकर सूत्र द्वारा फोकस दूरी $f$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
चूंकि यह उभयोत्तल है, $R_1 = R$ और $R_2 = -R$, इसलिए $\frac{1}{f} = (n-1) \frac{2}{R}$ प्राप्त होता है।
जब लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है, तो प्रत्येक नया लेंस एक समतलोत्तल (plano-convex) लेंस बन जाता है, जिसकी एक सतह की त्रिज्या $R$ होती है और दूसरी सतह समतल ($\infty$ त्रिज्या) होती है।
नए लेंस के लिए, फोकस दूरी $f'$ इस प्रकार होगी: $\frac{1}{f'} = (n-1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{n-1}{R}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें $\frac{1}{f'} = \frac{1}{2f}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $f' = 2f$।
चूंकि दोनों नए लेंस समान हैं, इसलिए उनकी फोकस दूरियां बराबर $(f'_1 = f'_2 = 2f)$ होंगी।
अतः, उनकी फोकस दूरियों का अनुपात $2f : 2f = 1 : 1$ है।

(A) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दी जाती है।
एक सममित द्वि-उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f$,वक्रता त्रिज्या $R$ और अपवर्तनांक $\mu$ के साथ लेंस मेकर सूत्र द्वारा संबंधित है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है,तो नई सतह की वक्रता त्रिज्या अनंत $(R = \infty)$ हो जाती है,जबकि दूसरी सतह समान रहती है।
हालाँकि,इसे देखने का एक सरल तरीका यह है कि लेंस की शक्ति मुख्य अक्ष के साथ लेंस की मोटाई के समानुपाती होती है। जब मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की मोटाई आधी हो जाती है,इसलिए प्रत्येक भाग की फोकस दूरी $2f$ हो जाती है।
चूंकि $P = \frac{1}{f}$,नई शक्ति $P' = \frac{1}{2f} = \frac{P}{2}$ होगी।
दिया गया है $P = 4 \ D$,तो नई शक्ति $P' = \frac{4 \ D}{2} = 2 \ D$ होगी।

(B) जब एक लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत दो टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की फोकस दूरी मूल लेंस के समान ही रहती है।
हालाँकि,प्रत्येक टुकड़े का द्वारक (वह क्षेत्र जिससे प्रकाश गुजरता है) मूल लेंस के आधे हिस्से तक कम हो जाता है।
चूंकि लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब की तीव्रता द्वारक के क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए क्षेत्रफल आधा होने से प्रतिबिंब की तीव्रता मूल तीव्रता की $1/2$ गुना हो जाती है।

(D) जब एक लेंस को दर्पण के संपर्क में रखा जाता है,तो यह संयोजन एक दर्पण के रूप में कार्य करता है जिसकी समतुल्य फोकस दूरी $F$ सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$f_l$ लेंस की फोकस दूरी है और $f_m$ दर्पण की फोकस दूरी है।
अवतल लेंस के लिए,$f_l = -20 \ cm$। समतल दर्पण के लिए,$f_m = \infty$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{F} = \frac{2}{-20} + \frac{1}{\infty} = -\frac{1}{10} + 0 = -\frac{1}{10}$।
अतः,$F = -10 \ cm$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि यह संयोजन $10 \ cm$ फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण के रूप में कार्य करता है।

(B) चांदी की पॉलिश किए गए लेंस की फोकस दूरी का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ है,जहाँ $f_l$ लेंस की फोकस दूरी है और $f_m$ दर्पण की फोकस दूरी है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस की फोकस दूरी $f_l$ का मान $\frac{1}{f_l} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R_1 = 10 \; cm$ और $R_2 = \infty$ है,इसलिए $\frac{1}{f_l} = (1.5 - 1)(\frac{1}{10} - 0) = \frac{0.5}{10} = \frac{1}{20}$। अतः,$f_l = 20 \; cm$।
चांदी की पॉलिश वाली समतल सतह एक समतल दर्पण के रूप में कार्य करती है,इसलिए इसकी फोकस दूरी $f_m = \infty$ होती है।
इसलिए,$\frac{1}{F} = \frac{2}{20} + \frac{1}{\infty} = \frac{1}{10} + 0 = \frac{1}{10}$।
अतः,$F = 10 \; cm$।

(D) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\mu$ अपवर्तनांक और $R_1 = R$ तथा $R_2 = -R$ वक्रता त्रिज्या वाले एक पतले उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$
अतः,$f = \frac{R}{2(\mu - 1)}$.
जब लेंस को बिंदीदार रेखा के अनुदिश लंबवत काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग एक समतल-उत्तल लेंस बन जाता है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्या $R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ होती है।
नई फोकस दूरी $f'$ के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - 0 \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
इसलिए,$f' = \frac{R}{\mu - 1}$.
$f'$ की तुलना $f$ से करने पर,हमें $f' = 2 \times \left( \frac{R}{2(\mu - 1)} \right) = 2f$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रत्येक भाग की फोकस दूरी $2f$ होगी।

(B) जब एक समतल-उत्तल लेंस की समतल सतह को रजतित किया जाता है,तो यह एक अवतल दर्पण के रूप में कार्य करता है।
संयोजन की प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ है,जहाँ $f_l$ लेंस की फोकस दूरी है और $f_m$ दर्पण की फोकस दूरी है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,$\frac{1}{f_l} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$। यहाँ $R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ है,इसलिए $\frac{1}{f_l} = \frac{\mu - 1}{R}$।
रजतित समतल सतह एक समतल दर्पण के रूप में कार्य करती है,इसलिए $f_m = \infty$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{f_m} = 0$।
यह संयोजन $F = \frac{R}{2(\mu - 1)}$ फोकस दूरी वाले दर्पण के रूप में कार्य करता है।
दिया गया है $F = 0.2 \ m$ और $\mu = 1.5$,इसलिए $0.2 = \frac{R}{2(1.5 - 1)}$।
$0.2 = \frac{R}{2(0.5)} = \frac{R}{1}$।
अतः,$R = 0.2 \ m$।

(A) चांदी की परत चढ़ा हुआ समतल-उत्तल लेंस एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है।
चांदी की परत वाले लेंस की प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $F = \frac{R}{2\mu}$ है,जहाँ $R$ वक्रता त्रिज्या है और $\mu$ अपवर्तनांक है।
दिए गए मानों को रखने पर: $F = \frac{30 \ cm}{2 \times 1.5} = \frac{30}{3} = 10 \ cm$।
चूंकि यह प्रणाली एक अवतल दर्पण के रूप में कार्य करती है,इसलिए वस्तु के आकार के बराबर वास्तविक प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,वस्तु को वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए।
दर्पण से वक्रता केंद्र की दूरी $2F$ होती है।
अतः,वस्तु की दूरी $u = 2F = 2 \times 10 \ cm = 20 \ cm$ होगी।

(C) माना कांच की प्लेट की मोटाई $t = 6 \, cm$ है।
वस्तु सामने वाले फलक से $u = 8 \, cm$ की दूरी पर है।
सामने वाले फलक से देखने पर कलई किए गए फलक की आभासी गहराई $d_{app} = \frac{t}{\mu} = \frac{6}{\mu}$ होगी।
आभासी सतह से वस्तु की दूरी $u' = 8 + \frac{6}{\mu}$ होगी।
समतल दर्पण के गुण के अनुसार,दर्पण से वस्तु की दूरी और दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी समान होती है।
प्रतिबिंब कलई किए गए फलक के पीछे $12 \, cm$ की दूरी पर बनता है। कलई किए गए फलक से प्रतिबिंब की वास्तविक दूरी $12 \, cm$ है।
अतः,आभासी सतह से प्रतिबिंब की दूरी $v' = 12 + (6 - \frac{6}{\mu})$ होगी।
दूरियों की तुलना करने पर: $8 + \frac{6}{\mu} = 12 + 6 - \frac{6}{\mu}$.
$8 + \frac{6}{\mu} = 18 - \frac{6}{\mu}$.
$\frac{12}{\mu} = 10$.
$\mu = \frac{12}{10} = 1.2$.

(C) उत्तल लेंस के लिए,वस्तु की दूरी $u = -30 \,cm$ और फोकस दूरी $f = +20 \,cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$
अतः,$v = 60 \,cm$। इसका अर्थ है कि लेंस $60 \,cm$ की दूरी पर वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है।
अंतिम प्रतिबिंब को वस्तु के साथ संपाती होने के लिए,प्रकाश किरणों को उत्तल दर्पण पर लंबवत गिरना चाहिए ताकि वे अपने पथ को पुनः प्राप्त कर सकें। यह तब होता है जब किरणें दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित हों।
दर्पण की वक्रता त्रिज्या $R = 10 \,cm$ है। अतः,दर्पण को इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि उसका वक्रता केंद्र लेंस द्वारा बनाए गए प्रतिबिंब के साथ संपाती हो।
लेंस से दर्पण की दूरी $d = v - R = 60 \,cm - 10 \,cm = 50 \,cm$ है।

(D) चांदी की परत वाले लेंस की समतुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{2}{f} + \frac{1}{f_m}$ है,जहाँ $f$ लेंस की फोकस दूरी है और $f_m$ दर्पण की फोकस दूरी है।
स्थिति $1$: समतल सतह पर चांदी की परत। यहाँ दर्पण समतल है,इसलिए $f_m = \infty$। दिया गया है $F = -30 \ cm$ (अवतल दर्पण)।
$\frac{1}{-30} = \frac{2}{f} + \frac{1}{\infty} \Rightarrow \frac{1}{-30} = \frac{2}{f} \Rightarrow f = -60 \ cm$.
स्थिति $2$: उत्तल सतह पर चांदी की परत। यहाँ दर्पण उत्तल है जिसकी त्रिज्या $R$ है,इसलिए $f_m = \frac{R}{2}$। दिया गया है $F = -10 \ cm$।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu - 1}{R}$। अतः,$R = f(\mu - 1)$।
दर्पण सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{F} = \frac{2}{f} + \frac{2}{R} \Rightarrow \frac{1}{-10} = \frac{2}{-60} + \frac{2}{R} \Rightarrow \frac{1}{R} = \frac{1}{2}(\frac{1}{-10} + \frac{1}{30}) = \frac{1}{2}(\frac{-3+1}{30}) = -\frac{1}{30}$।
वक्रता त्रिज्या $R$ के लिए परिमाण $R = 30 \ cm$ लेते हैं।
$\frac{1}{f} = \frac{\mu - 1}{R}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{-60} = \frac{\mu - 1}{-30} \Rightarrow \frac{1}{2} = \mu - 1 \Rightarrow \mu = 1.5$।

(B) जब समांतर किरणें उत्तल लेंस पर आपतित होती हैं,तो वे लेंस से $f$ दूरी पर उसके मुख्य फोकस पर अभिसरित होती हैं।
चूंकि किरणें लेंस से $10 \, cm$ की दूरी पर रखे समतल दर्पण द्वारा परावर्तित होती हैं,इसलिए किरणें दर्पण के पीछे एक वस्तु बिंदु से आती हुई प्रतीत होती हैं।
समतल दर्पण के गुण के अनुसार,दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर होता है जितनी दूरी पर वस्तु दर्पण के सामने होती है।
यहाँ,किरणें लेंस से $f$ दूरी पर स्थित एक बिंदु की ओर अभिसरित हो रही हैं। चूंकि दर्पण $10 \, cm$ की दूरी पर है,इसलिए इस अभिसरण बिंदु की दर्पण से दूरी $(f - 10) \, cm$ है।
परावर्तन के बाद लेंस के प्रकाशिक केंद्र पर प्रतिबिंब बनाने के लिए,परावर्तित किरणों को प्रकाशिक केंद्र पर स्थित एक आभासी वस्तु से उत्पन्न होता हुआ प्रतीत होना चाहिए।
अतः,दर्पण से आभासी वस्तु की दूरी,दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए,$f - 10 = 10$,जिससे $f = 20 \, cm$ प्राप्त होता है।

(D) जब आपतित समानांतर किरण पुंज प्रणाली से समानांतर किरण पुंज के रूप में बाहर निकलती है,तो अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर होना चाहिए।
$1$. उत्तल लेंस $(f_1 = 20 \, cm)$ पर आपतित समानांतर किरण पुंज उसके फोकस बिंदु पर केंद्रित होती है,जो लेंस के पीछे $20 \, cm$ की दूरी पर है।
$2$. अवतल दर्पण को लेंस के पीछे $5 \, cm$ की दूरी पर रखा गया है। इसलिए,लेंस के फोकस बिंदु की दर्पण से दूरी $20 \, cm - 5 \, cm = 15 \, cm$ है।
$3$. दर्पण से प्रकाश के समानांतर बाहर निकलने के लिए,प्रकाश को दर्पण पर इस तरह आपतित होना चाहिए कि वह उसके फोकस बिंदु से आता हुआ प्रतीत हो। चूंकि किरणें दर्पण के सामने $15 \, cm$ की दूरी पर स्थित बिंदु की ओर अभिसरित हो रही हैं,इसलिए यह बिंदु अवतल दर्पण का फोकस बिंदु होना चाहिए।
$4$. इस प्रकार,अवतल दर्पण की फोकस दूरी $f = 15 \, cm$ है। चिह्न परिपाटी के अनुसार,अवतल दर्पण के लिए $f = -15 \, cm$ होगा।

(B) चांदी की परत वाली सतह की वक्रता त्रिज्या $R = -22 \, cm$ है (अवतल दर्पण के लिए चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए)।
दर्पण भाग की फोकस दूरी $f_M = R/2 = -22/2 = -11 \, cm$ है।
दर्पण की शक्ति $P_M = -1/f_M = -1/(-0.11) = 1/0.11 \, D$ है।
लेंस की शक्ति $P_L = 1/f_L = 1/0.20 = 5 \, D$ है।
चांदी लगे लेंस निकाय की कुल शक्ति $P = 2P_L + P_M = 2(5) + (1/0.11) = 10 + 9.09 = 19.09 \, D$ (या सटीक रूप से $10 + 100/11 = 210/11 \, D$) है।
निकाय की समतुल्य फोकस दूरी $F = -1/P = -11/210 \, m = -110/21 \, cm$ है।
दर्पण सूत्र $1/v + 1/u = 1/F$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -10 \, cm$:
$1/v + 1/(-10) = 1/(-110/21)$
$1/v - 1/10 = -21/110$
$1/v = 1/10 - 21/110 = (11 - 21)/110 = -10/110 = -1/11$.
अतः,$v = -11 \, cm$। ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब चांदी लगे लेंस के सामने $11 \, cm$ की दूरी पर बनता है।

(C) उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_1 = +30 \ cm$ है।
अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f_2 = -20 \ cm$ है।
लेंस और दर्पण के संयोजन की तुल्य फोकस दूरी का सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-20}$.
$\frac{1}{f} = \frac{2 - 3}{60} = -\frac{1}{60}$.
अतः,$f = -60 \ cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि यह निकाय एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है।

(C) यह प्रणाली एक लेंस और एक दर्पण से बनी है। जब समतल सतह पर पॉलिश की जाती है,तो प्रणाली की प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ होता है।
यहाँ,लेंस की फोकस दूरी $f_l = 15 \ cm$ है और समतल दर्पण की फोकस दूरी $f_m = \infty$ है।
अतः,$\frac{1}{F} = \frac{2}{15} + \frac{1}{\infty} = \frac{2}{15}$।
यह प्रणाली $F = 7.5 \ cm$ फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण की तरह कार्य करती है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{eff}}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f_{eff} = -F = -7.5 \ cm$ (क्योंकि यह अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है) और $u = -20 \ cm$:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-20} = \frac{1}{-7.5} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{-7.5} + \frac{1}{20} = \frac{-20 + 7.5}{150} = \frac{-12.5}{150} = -\frac{1}{12}$।
इस प्रकार,$v = -12 \ cm$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब लेंस की सतह $AB$ के बाईं ओर $12 \ cm$ की दूरी पर बनता है।

(B) $1$. सबसे पहले,उत्तल लेंस द्वारा बने प्रतिबिंब की स्थिति ज्ञात करें। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -15\;cm$ और $f = 10\;cm$ है:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = 30\;cm$ लेंस से।
$2$. लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के लिए वस्तु का कार्य करता है। लेंस और दर्पण के बीच की दूरी $30\;cm$ है। चूंकि प्रतिबिंब लेंस से $30\;cm$ पर बनता है,यह ठीक दर्पण पर गिरता है।
$3$. अंतिम प्रतिबिंब के वस्तु पर संपाती होने के लिए,किरणों को दर्पण पर लंबवत आपतित होना चाहिए (अर्थात,उन्हें दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होना चाहिए)।
$4$. इस प्रकार,दर्पण की फोकस दूरी $10\;cm$ प्राप्त होती है।

(D) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
स्थिति $(i)$: जब लेंस को $XOX'$ अक्ष (मुख्य अक्ष के लंबवत) के अनुदिश काटा जाता है,तो प्रत्येक सतह की वक्रता त्रिज्या समान रहती है $(R_1 = R, R_2 = -R)$। अतः,प्रत्येक आधे भाग की फोकस दूरी मूल लेंस के समान ही रहती है। इसलिए,$f' = f$।
स्थिति $(ii)$: जब लेंस को $YOY'$ अक्ष (मुख्य अक्ष के समानांतर) के अनुदिश काटा जाता है,तो एक सतह की वक्रता त्रिज्या अनंत हो जाती है $(R_2 = \infty)$। नई फोकस दूरी $f''$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{f''} = (n-1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{n-1}{R}$। चूंकि $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{2(n-1)}{R}$,इसलिए $\frac{1}{f''} = \frac{1}{2f}$,जिसका अर्थ है कि $f'' = 2f$।
अतः,सही संबंध $f' = f$ और $f'' = 2f$ है।

(D) यह प्रणाली एक समतल-उत्तल (plano-convex) पानी के लेंस और अवतल दर्पण के संयोजन के रूप में कार्य करती है।
मान लीजिए $R$ दर्पण की वक्रता त्रिज्या है।
दर्पण की फोकस दूरी $f_m = -R/2$ है।
पानी के समतल-उत्तल लेंस (अपवर्तनांक $\mu = 4/3$) की फोकस दूरी $1/f_l = (\mu - 1)(1/R - 1/\infty) = (1/3)(1/R) = 1/(3R)$ द्वारा दी जाती है। अतः,$f_l = 3R$ है।
जब वस्तु $C$ पर (दर्पण से $R$ दूरी पर) होती है,तो प्रकाश की किरणें पानी के लेंस से गुजरती हैं,दर्पण से परावर्तित होती हैं और फिर से पानी के लेंस से गुजरती हैं।
$1$. पानी के लेंस पर अपवर्तन: $1/v_1 - 1/u_1 = 1/f_l \implies 1/v_1 - 1/(-R) = 1/(3R) \implies 1/v_1 = 1/(3R) - 1/R = -2/(3R) \implies v_1 = -1.5R$।
$2$. दर्पण पर परावर्तन: $1/v_2 + 1/u_2 = 1/f_m \implies 1/v_2 + 1/(-1.5R) = 1/(-0.5R) \implies 1/v_2 = -2/R + 2/(3R) = -4/(3R) \implies v_2 = -0.75R$।
$3$. पानी के लेंस पर अंतिम अपवर्तन: $1/v_3 - 1/u_3 = 1/f_l \implies 1/v_3 - 1/(-0.75R) = 1/(3R) \implies 1/v_3 = 1/(3R) - 4/(3R) = -1/R \implies v_3 = -R$।
चूंकि अंतिम प्रतिबिंब दूरी ऋणात्मक है,यह एक वास्तविक प्रतिबिंब है जो $O$ और $C$ के बीच बनता है।

(D) समतल-उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_l = 20\,cm$ है। लेंस की शक्ति $P_l = \frac{1}{f_l} = \frac{1}{20} \, cm^{-1}$ है।
जब समतल सतह को रजतित किया जाता है,तो यह प्रणाली एक दर्पण के रूप में कार्य करती है जिसकी शक्ति $P_m = 2P_l + P_s$ होती है,जहाँ $P_s$ रजतित समतल सतह की शक्ति है।
चूंकि समतल सतह की वक्रता त्रिज्या $R = \infty$ है,इसलिए इसकी शक्ति $P_s = -\frac{1}{f_s} = 0$ होती है।
अतः,प्रणाली की कुल शक्ति $P = 2P_l = 2 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \, cm^{-1}$ है।
परिणामी दर्पण की फोकस दूरी $F = -\frac{1}{P} = -10\,cm$ है।
अतः,फोकस दूरी का परिमाण $10\,cm$ है।

(D) उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_1 = +f$ है।
अवतल दर्पण की फोकस दूरी $f_2 = -f$ है।
निकाय की शक्ति $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $P = 1/F$,$P_1 = 1/f_1 = 1/f$,और $P_2 = 1/f_2 = -1/f$ है।
इसलिए,$1/F = 1/f + (-1/f) = 0$।
इसका अर्थ है $F = 1/0 = \infty$।
अतः,निकाय की परिणामी फोकस दूरी $\infty$ है।

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,लेंस की फोकस दूरी $f_l = \frac{R}{\mu - 1} = \frac{12}{1.5 - 1} = 24 \ cm$ होती है।
जब समतल सतह को दर्पण बनाया जाता है,तो निकाय की प्रभावी फोकस दूरी $F = \frac{R}{2(\mu - 1)} = \frac{12}{2(0.5)} = 12 \ cm$ होती है।
चूंकि विकल्पों में $12$ उपलब्ध नहीं है,इसलिए यह माना जाता है कि प्रश्न लेंस की मूल फोकस दूरी के बारे में है,अतः सही विकल्प $24 \ cm$ है।

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
यहाँ $f = 10\; cm$,$\mu = 1.5$,और $R_1 = R, R_2 = -R$ रखने पर,$\frac{1}{10} = (0.5) \left( \frac{2}{R} \right) \Rightarrow R = 10\; cm$.
जब एक सतह पर चांदी की पॉलिश की जाती है,तो यह एक दर्पण की तरह कार्य करता है।
दर्पण की फोकस दूरी $f_m = R/2 = 5\; cm$ (अवतल दर्पण होने के कारण $f_m = -5\; cm$)।
वस्तु का प्रतिबिंब वस्तु पर ही प्राप्त करने के लिए,वस्तु को दर्पण की वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए,जो $u = 5\; cm$ की दूरी पर है।

(A) जब समतल-उत्तल लेंस की वक्र सतह पर चांदी की परत चढ़ाई जाती है,तो यह एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है। इस संयोजन की प्रभावी फोकस दूरी $F$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{F} = \frac{2\mu}{R}$
यहाँ अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ और वक्रता त्रिज्या $R = 30 \; cm$ दी गई है।
मान रखने पर:
$F = \frac{R}{2\mu} = \frac{30}{2 \times 1.5} = \frac{30}{3} = 10 \; cm$.
चूंकि यह एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है,इसलिए वस्तु के आकार के बराबर वास्तविक प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,वस्तु को समतुल्य दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए।
दर्पण से वक्रता केंद्र की दूरी $2F$ होती है।
अतः,$u = 2F = 2 \times 10 = 20 \; cm$।

(B) माना लेंस का अपवर्तनांक $\mu$ है और उत्तल सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ है। लेंस की फोकस दूरी $f$ है,जहाँ $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{1}{R}$ होता है।
स्थिति $1$: समतल सतह पर चांदी की परत चढ़ाई जाती है। यह निकाय $P = 2P_L + P_M$ शक्ति वाले दर्पण के रूप में कार्य करता है। चूँकि समतल सतह पर चांदी है,इसलिए $P_M = 0$ होगा। अतः,$\frac{1}{F_1} = \frac{2}{f} = \frac{1}{60} \ cm^{-1}$। इसलिए,$f = 120 \ cm$।
स्थिति $2$: उत्तल सतह पर चांदी की परत चढ़ाई जाती है। यह निकाय एक दर्पण के रूप में कार्य करता है जहाँ $P_M = \frac{2}{R}$ होता है। अतः,$\frac{1}{F_2} = \frac{2}{f} + \frac{2}{R} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$।
दूसरे समीकरण में $\frac{2}{f} = \frac{1}{60}$ रखने पर: $\frac{1}{60} + \frac{2}{R} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{2}{R} = \frac{1}{20} - \frac{1}{60} = \frac{3-1}{60} = \frac{2}{60}$। अतः,$R = 60 \ cm$।
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{1}{R}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{120} = (\mu - 1) \frac{1}{60} \Rightarrow \mu - 1 = \frac{60}{120} = 0.5 \Rightarrow \mu = 1.5$ प्राप्त होता है।

(C) माना कांच का अपवर्तनांक $\mu$ है। स्लैब की मोटाई $t = 6 \, cm$ है।
दिए गए चित्र और विधि के अनुसार:
$x + 8 = 12 + 6 - x$
$2x = 10$
$x = 5 \, cm$
अब,अपवर्तनांक $\mu = t/x$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\mu = 6 / 5 = 1.2$
अतः,कांच का अपवर्तनांक $1.2$ है।

(D) यह निकाय संपर्क में रखे तीन लेंसों से बना है: दो समतल-अवतल द्रव लेंस और एक उभयोत्तल कांच का लेंस।
$1$. पहले द्रव लेंस $(f_1)$ के लिए: द्रव का अपवर्तनांक $\mu_l = 1.6$ है। सतहें समतल और अवतल हैं,जिनकी त्रिज्या $R = 20\,cm$ है। लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_1} = (\mu_l - 1) (\frac{1}{\infty} - \frac{1}{20}) = (1.6 - 1) (0 - 0.05) = 0.6 \times (-0.05) = -0.03 = -\frac{3}{100}$.
$2$. उभयोत्तल कांच के लेंस $(f_2)$ के लिए: अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5$ है। सतहें उत्तल हैं,जहाँ $R_1 = 20\,cm$ और $R_2 = -20\,cm$ है। लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_2} = (\mu_g - 1) (\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}) = (1.5 - 1) (\frac{1}{20} + \frac{1}{20}) = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$.
$3$. दूसरे द्रव लेंस $(f_3)$ के लिए: पहले लेंस की तरह ही,$\frac{1}{f_3} = (1.6 - 1) (\frac{1}{-20} - \frac{1}{\infty}) = 0.6 \times (-0.05) = -\frac{3}{100}$.
$4$. निकाय की तुल्य फोकस दूरी $F$ के लिए: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{F} = -\frac{3}{100} + \frac{1}{20} - \frac{3}{100} = -\frac{6}{100} + \frac{5}{100} = -\frac{1}{100}$.
अतः,$F = -100\,cm$.

(C) उत्तल लेंस के लिए: $u = -30\,cm$,$f = +20\,cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = +60\,cm$. प्रतिबिंब लेंस के दाईं ओर $60\,cm$ की दूरी पर बनता है।
प्रतिबिंबों के संपाती होने के लिए,प्रकाश किरणों को उत्तल दर्पण पर लंबवत आपतित होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उन्हें दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होना चाहिए।
उत्तल दर्पण की वक्रता त्रिज्या $R = 10\,cm$ है। अतः,वक्रता केंद्र दर्पण के पीछे $10\,cm$ की दूरी पर है।
यदि दर्पण को लेंस से $d$ दूरी पर रखा जाता है,तो लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
किरणों के उसी पथ पर वापस लौटने के लिए,उन्हें दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होना चाहिए।
इसलिए,दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी उसकी वक्रता त्रिज्या $R = 10\,cm$ के बराबर होनी चाहिए।
लेंस से दर्पण की दूरी = (लेंस से प्रतिबिंब की दूरी) - (दर्पण की वक्रता त्रिज्या) = $60\,cm - 10\,cm = 50\,cm$.

(B) अनंत से आने वाली प्रकाश की किरणें लेंस से गुजरने और दर्पण से परावर्तित होने के बाद वापस अनंत पर लौट जाएं,इसके लिए किरणों को अवतल दर्पण पर लंबवत आपतित होना चाहिए।
यह तब होता है जब दर्पण पर आपतित किरणें उसके वक्रता केंद्र से आती हुई प्रतीत होती हैं।
उत्तल लेंस समानांतर प्रकाश पुंज को अपने फोकस बिंदु पर केंद्रित करता है,जो लेंस से $f_2$ दूरी पर होता है।
किरणों के अवतल दर्पण पर लंबवत आपतित होने के लिए,यह फोकस बिंदु अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र के साथ संपाती होना चाहिए।
अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र की दर्पण से दूरी $2f_1$ होती है।
इसलिए,लेंस और दर्पण के बीच की कुल दूरी $d$,लेंस की फोकस दूरी और दर्पण की वक्रता त्रिज्या का योग है:
$d = f_2 + 2f_1$.

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
दो समान समतल-उत्तल लेंसों ($f_1$ और $f_2$) के लिए:
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{40} \, cm^{-1}$.
इसी प्रकार,$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{40} \, cm^{-1}$.
बीच में बना तेल का लेंस एक अवतल लेंस है जिसकी वक्रता त्रिज्या $R_1 = -20 \, cm$ और $R_2 = 20 \, cm$ है।
तेल के लेंस $(f_3)$ के लिए:
$\frac{1}{f_3} = (1.7 - 1) \left( \frac{1}{-20} - \frac{1}{20} \right) = 0.7 \times \left( -\frac{2}{20} \right) = 0.7 \times \left( -\frac{1}{10} \right) = -\frac{0.7}{10} = -\frac{7}{100} \, cm^{-1}$.
संयोजन की फोकस दूरी $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{1}{f} = \frac{1}{40} + \frac{1}{40} - \frac{7}{100} = \frac{2}{40} - \frac{7}{100} = \frac{1}{20} - \frac{7}{100}$.
$\frac{1}{f} = \frac{5 - 7}{100} = -\frac{2}{100} = -\frac{1}{50}$.
अतः,$f = -50 \, cm$.

(A) जब किसी वस्तु को उत्तल लेंस के फोकस बिंदु पर रखा जाता है,तो लेंस से निकलने वाली किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं।
ये समानांतर किरणें लेंस के नीचे रखे समतल दर्पण पर $90^{\circ}$ के कोण (अभिलंबवत) पर आपतित होती हैं।
परावर्तन के नियमों के अनुसार,दर्पण इन किरणों को उसी पथ पर वापस परावर्तित कर देता है।
ये किरणें फिर से लेंस से गुजरती हैं और फोकस बिंदु पर अभिसरित होती हैं,जो वस्तु का ही स्थान है।
इसलिए,वस्तु और उसका प्रतिबिंब लेंस की फोकस दूरी पर संपाती होते हैं।
यह दिया गया है कि संपाती बिंदु $15 \, cm$ पर है,इसलिए लेंस की फोकस दूरी $f = 15 \, cm$ है।

(B) अंतिम प्रतिबिंब के वस्तु के साथ संपाती होने के लिए,लेंस से निकलने वाली प्रकाश किरणें समतल दर्पण पर लंबवत पड़नी चाहिए।
यह तभी होता है जब समतल दर्पण पर आपतित प्रकाश किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर हों।
उत्तल लेंस से गुजरने के बाद किरणों के मुख्य अक्ष के समानांतर होने के लिए,वस्तु को लेंस के फोकस पर रखा जाना चाहिए।
उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f = 30\, cm$ दी गई है।
इसलिए,लेंस से वस्तु की दूरी $u = f = 30\, cm$ है।

(A) एक सतह पर चांदी की पॉलिश वाले लेंस के लिए,समतुल्य शक्ति $P_{eq} = 2P_L + P_m$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P_L$ लेंस की शक्ति है और $P_m$ दर्पण की शक्ति है।
सबसे पहले,लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करके लेंस की फोकस दूरी $(f_L)$ की गणना करें:
$\frac{1}{f_L} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.5 \times \left( \frac{2}{40} \right) = \frac{1}{40} \implies f_L = 40 \, cm$.
लेंस की शक्ति $P_L = \frac{1}{f_L} = \frac{1}{40} \, cm^{-1}$ है।
चांदी वाली सतह $40 \, cm$ वक्रता त्रिज्या वाले अवतल दर्पण के रूप में कार्य करती है। इसकी फोकस दूरी $f_m = -\frac{R}{2} = -20 \, cm$ है। दर्पण की शक्ति $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{1}{-20} = \frac{1}{20} \, cm^{-1}$ है।
निकाय की समतुल्य शक्ति $P_{eq} = 2 \left( \frac{1}{40} \right) + \frac{1}{20} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \, cm^{-1}$ है।
समतुल्य फोकस दूरी $f_{eq} = -\frac{1}{P_{eq}} = -10 \, cm$ है (ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि यह एक अवतल दर्पण के रूप में कार्य करता है)।
ऑटो-कोलिमेशन के तहत,वस्तु को समतुल्य दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए,जो $u = 2|f_{eq}| = 2 \times 10 = 20 \, cm$ की दूरी पर है।

(B) मान लीजिए $f_l$ लेंस की फोकस दूरी है और $R$ वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या है। एक समतल-उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $\frac{1}{f_l} = (\mu - 1) \frac{1}{R}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $(i)$: जब समतल सतह पर चांदी की परत चढ़ाई जाती है,तो प्रणाली $P = 2P_l + P_m$ शक्ति वाले दर्पण के रूप में कार्य करती है। चूंकि समतल सतह अनंत फोकस दूरी वाला दर्पण है,इसलिए $P_m = 0$। प्रभावी फोकस दूरी $F_1 = -28 \ cm$ (अवतल दर्पण)।
$\frac{1}{F_1} = -(\frac{2}{f_l} + 0) \implies \frac{1}{-28} = -\frac{2}{f_l} \implies f_l = 56 \ cm$.
स्थिति $(ii)$: जब वक्र सतह पर चांदी की परत चढ़ाई जाती है,तो प्रणाली $P = 2P_l + P_m$ शक्ति वाले दर्पण के रूप में कार्य करती है। यहाँ,$P_m = \frac{1}{f_m} = \frac{2}{R}$ (चूंकि $f_m = R/2$)। प्रभावी फोकस दूरी $F_2 = -10 \ cm$ है।
$\frac{1}{F_2} = -(\frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}) \implies \frac{1}{-10} = -(\frac{2}{56} + \frac{2}{R})$.
चूंकि $\frac{1}{f_l} = (\mu - 1) \frac{1}{R} = \frac{1}{56}$,इसलिए $\frac{1}{R} = \frac{1}{56(\mu - 1)}$।
यह मान रखने पर: $\frac{1}{10} = \frac{2}{56} + \frac{2}{56(\mu - 1)} \cdot 2 = \frac{1}{28} + \frac{1}{28(\mu - 1)}$.
$\frac{1}{10} - \frac{1}{28} = \frac{1}{28(\mu - 1)} \implies \frac{18}{280} = \frac{1}{28(\mu - 1)}$.
$\frac{9}{140} = \frac{1}{28(\mu - 1)} \implies \mu - 1 = \frac{140}{9 \times 28} = \frac{5}{9}$.
$\mu = 1 + \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$.

(D) माध्यम में लेंस की शक्ति $P_L = \frac{1}{f_L} = (\frac{\mu_L}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\mu_L = \mu$,$\mu_m = 2\mu$,$R_1 = R$,और $R_2 = -R$ है।
अतः,$P_L = (\frac{\mu}{2\mu} - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (0.5 - 1)(\frac{2}{R}) = -0.5 \times \frac{2}{R} = -\frac{1}{R}$।
रजतित सतह (दर्पण) की शक्ति $P_M = -\frac{1}{f_M} = -\frac{2}{R_m}$ है। चूंकि दर्पण अवतल है,$f_M = -R/2$,इसलिए $P_M = -\frac{2}{-R/2} = \frac{4}{R}$।
निकाय की समतुल्य शक्ति $P_{eq} = 2P_L + P_M = 2(-\frac{1}{R}) + \frac{4}{R} = \frac{2}{R}$ है।
यह निकाय $f_{eq} = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{R}{2}$ फोकस दूरी वाले एक अवतल दर्पण के रूप में कार्य करता है।
चूंकि वस्तु $2\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में है,प्रतिबिंब के गुण दर्पण के सूत्र के अनुसार निर्धारित होते हैं।

(C) जब एक समतल-उत्तल लेंस की समतल सतह पर चांदी की पॉलिश की जाती है,तो यह एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है।
इस निकाय की तुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ है।
चूंकि समतल सतह पर पॉलिश है,इसलिए दर्पण की फोकस दूरी $f_m = \infty$ होगी,अतः $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l}$।
दिया गया है $f_l = 15 \, cm$,इसलिए तुल्य फोकस दूरी $F = \frac{f_l}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \, cm$ है।
यह निकाय $F = 7.5 \, cm$ फोकस दूरी वाले एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है। दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
यहाँ,$u = -20 \, cm$ और $f = -7.5 \, cm$ है।
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-20} = \frac{1}{-7.5}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{7.5} = \frac{1}{20} - \frac{2}{15} = \frac{3 - 8}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12}$।
अतः,$v = -12 \, cm$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब सतह $AB$ के बाईं ओर $12 \, cm$ की दूरी पर बनेगा।

(A) जब $f$ फोकस दूरी वाले एक उभयोत्तल लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत एक तल द्वारा दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की फोकस दूरी $2f$ हो जाती है।
जब इसे मुख्य अक्ष से गुजरने वाले एक तल द्वारा दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की फोकस दूरी $f$ ही रहती है।
दिए गए चित्र में,लेंस को चार भागों में काटा गया है (पहले मुख्य अक्ष के लंबवत एक तल द्वारा,फिर मुख्य अक्ष से गुजरने वाले एक तल द्वारा)। इस प्रकार,प्रत्येक भाग $2f$ फोकस दूरी वाला एक समतल-उत्तल लेंस है।
चित्र में दिखाए गए दो भागों को इस तरह रखा गया है कि उनकी मुख्य अक्ष विस्थापित हैं लेकिन समानांतर हैं। यह संयोजन संपर्क में रखे दो लेंसों की तरह कार्य करता है,जिनमें से प्रत्येक की फोकस दूरी $f' = 2f$ है।
निकाय की तुल्य फोकस दूरी $F$ का मान $\frac{1}{F} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{2f} + \frac{1}{2f} = \frac{2}{2f} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$F = f$।

(A) अंतिम प्रतिबिंब के वस्तु पर ही बनने के लिए,प्रकाश की किरणें लेंस से गुजरने के बाद दर्पण पर लंबवत (normal) पड़नी चाहिए।
इसका अर्थ है कि किरणें दर्पण के वक्रता केंद्र से आती हुई प्रतीत होनी चाहिए।
माना लेंस से वस्तु की दूरी $u = -60 \ cm$ है और लेंस की फोकस दूरी $f_l = +30 \ cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_l}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} - \frac{1}{-60} = \frac{1}{30}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{60} = \frac{2-1}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = +60 \ cm$.
लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब लेंस के दाईं ओर $60 \ cm$ की दूरी पर है।
लेंस और दर्पण के बीच की दूरी $30 \ cm$ है।
इसलिए,लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $60 - 30 = 30 \ cm$ की दूरी पर है।
किरणों के दर्पण पर लंबवत पड़ने के लिए,यह बिंदु दर्पण का वक्रता केंद्र $(C)$ होना चाहिए।
अतः,वक्रता त्रिज्या $R = 30 \ cm$ है।

(D) प्रतिबिंब के वस्तु के साथ संपाती होने के लिए,प्रकाश किरणों को दर्पण पर लंबवत (normal) आपतित होना चाहिए ताकि वे अपने पथ को वापस ट्रेस करते हुए लेंस के माध्यम से वस्तु की स्थिति पर लौट आएं।
इसका अर्थ है कि लेंस से निकलने वाली किरणें उत्तल दर्पण के वक्रता केंद्र $(C)$ की ओर निर्देशित होनी चाहिए।
मान लीजिए लेंस और दर्पण के बीच की दूरी $d = 5\,cm$ है।
लेंस से वस्तु की दूरी $u = -20\,cm$ और लेंस की फोकस दूरी $f = 15\,cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{15} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4-3}{60} = \frac{1}{60}$
अतः,$v = 60\,cm$.
लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। चूंकि किरणों को दर्पण पर लंबवत आपतित होना चाहिए,इसलिए लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के वक्रता केंद्र पर होना चाहिए।
लेंस से वक्रता केंद्र की दूरी $v = 60\,cm$ है।
लेंस से दर्पण की दूरी $5\,cm$ है।
इसलिए,दर्पण की वक्रता त्रिज्या $R$,दर्पण से उसके वक्रता केंद्र तक की दूरी है:
$R = v - d = 60\,cm - 5\,cm = 55\,cm$.

(B) उभयोत्तल लेंस के लिए,लेंस की शक्ति $P_L = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होती है।
यहाँ $R_1 = 20 \, cm$,$R_2 = -20 \, cm$ और $\mu = 1.5$ है:
$P_L = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \times \left( \frac{2}{20} \right) = 0.05 \, cm^{-1} = 5 \, D$.
जब एक तरफ पॉलिश की जाती है,तो यह निकाय एक दर्पण की तरह कार्य करता है,जिसकी शक्ति $P_{eq} = 2P_L + P_m$ होती है।
पॉलिश की गई सतह द्वारा निर्मित दर्पण की शक्ति $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{2}{R}$ है।
चूंकि प्रकाश पॉलिश की गई सतह के अवतल भाग से परावर्तित होता है,$R = -20 \, cm$,इसलिए $P_m = -\frac{2}{-20} = 0.1 \, cm^{-1} = 10 \, D$ है।
कुल शक्ति $P_{eq} = 2(5) + 10 = 20 \, D$ है।
समतुल्य फोकस दूरी $f_{eq} = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{1}{20} \, m = -5 \, cm$ होगी।

(D) जब एक सम-उत्तल लेंस को मुख्य अक्ष के अनुदिश काटा जाता है,तो प्रत्येक आधे भाग की फोकस दूरी $f$ और शक्ति $P$ मूल लेंस के समान ही रहती है क्योंकि अपवर्तक सतहों की वक्रता त्रिज्या $R_1$ और $R_2$ अपरिवर्तित रहती हैं।
चित्र $(c)$ में दिखाए गए विन्यास में,दो आधे भागों को इस प्रकार रखा गया है कि एक दूसरे के सापेक्ष उल्टा है।
यदि पहला आधा भाग $P$ शक्ति वाले अभिसारी लेंस के रूप में कार्य करता है,तो दूसरा आधा भाग,उल्टा होने के कारण,समान ऑप्टिकल पथ के लिए $-P$ शक्ति वाले अपसारी लेंस के रूप में कार्य करेगा।
अतः,संयोजन की कुल शक्ति $P_{net} = P_1 + P_2 = P + (-P) = 0$ होगी।

(B) माना लेंस की फोकस दूरी $f$ है और वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ है। समतल सतह की फोकस दूरी $\infty$ है।
रजतित लेंस के लिए, प्रभावी शक्ति $P = 2P_L + P_M$ है, जहाँ $P_L$ लेंस की शक्ति है और $P_M$ दर्पण की शक्ति है।
चित्र $-A$ में, समतल सतह पर परत चढ़ाई गई है। बना दर्पण एक समतल दर्पण $(R_M = \infty)$ है, इसलिए $P_M = 0$। प्रभावी फोकस दूरी $F_1 = -28 \, cm$ है (क्योंकि यह एक अवतल दर्पण के रूप में कार्य करता है)।
$\frac{1}{F_1} = -\frac{2}{f} - 0 \implies \frac{1}{-28} = -\frac{2}{f} \implies f = 56 \, cm$।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए, $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R})$।
चित्र $-B$ में, वक्र सतह पर परत चढ़ाई गई है। बना दर्पण $R$ त्रिज्या वाला एक अवतल दर्पण है, इसलिए $P_M = -\frac{1}{f_M} = -\frac{2}{R}$। प्रभावी फोकस दूरी $F_2 = -10 \, cm$ है।
$\frac{1}{F_2} = -\frac{2}{f} - \frac{2}{R} \implies \frac{1}{-10} = -\frac{2}{56} - \frac{2}{R}$।
$\frac{2}{R} = \frac{1}{10} - \frac{1}{28} = \frac{14 - 5}{140} = \frac{9}{140} \implies R = \frac{280}{9} \, cm$।
लेंस मेकर सूत्र में $f$ और $R$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{56} = (\mu - 1)(\frac{9}{280}) \implies \mu - 1 = \frac{280}{56 \times 9} = \frac{5}{9} \approx 0.555$।
अतः, $\mu = 1.555 \approx 1.55$।

(A) दिया गया है: लेंस की फोकस दूरी $f_l = 15 \, cm$,वस्तु दूरी $u = -20 \, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{1}{f_l} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4-3}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v = 60 \, cm$. प्रतिबिंब लेंस के दाईं ओर $60 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
वस्तु और प्रतिबिंब के संपाती होने के लिए,किरणों को उत्तल दर्पण पर लंबवत आपतित होना चाहिए। यह तब होता है जब किरणें उत्तल दर्पण के वक्रता केंद्र $(C)$ की ओर निर्देशित हों।
लेंस से दर्पण की दूरी $d = 5 \, cm$ है। दर्पण से वक्रता केंद्र की दूरी $R = 2f_m$ है।
लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब लेंस से $60 \, cm$ की दूरी पर है। चूंकि दर्पण लेंस से $5 \, cm$ की दूरी पर है,इसलिए दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $60 - 5 = 55 \, cm$ है।
इस प्रकार,वक्रता त्रिज्या $R = 55 \, cm$ है।
चूंकि $R = 2f_m$,उत्तल दर्पण की फोकस दूरी $f_m = \frac{R}{2} = \frac{55}{2} = 27.5 \, cm$ है।

(C) मान लीजिए कि वस्तु को लेंस से $a$ दूरी पर रखा गया है। प्रकाश किरणें पहले लेंस से गुजरती हैं,फिर दर्पण से परावर्तित होती हैं,और अंत में फिर से लेंस से गुजरती हैं।
$1$. लेंस द्वारा पहला अपवर्तन:
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -a$:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-a} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a} = \frac{a-f}{af} \implies v_1 = \frac{af}{a-f}$.
$2$. समतल दर्पण द्वारा परावर्तन:
लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। चूंकि दर्पण लेंस पर है,प्रतिबिंब $v_1$ दर्पण के पीछे $v_1$ दूरी पर बनता है। दर्पण अपने सामने समान दूरी पर प्रतिबिंब बनाता है,इसलिए दूसरे अपवर्तन के लिए नई वस्तु दूरी $u_2 = -v_1 = -\frac{af}{a-f}$ है।
$3$. लेंस द्वारा दूसरा अपवर्तन:
अंतिम प्रतिबिंब $v_2 = -a/3$ पर बनता है (संयोजन के सामने)।
पुनः लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{-a/3} - \frac{1}{-af/(a-f)} = \frac{1}{f}$
$-\frac{3}{a} + \frac{a-f}{af} = \frac{1}{f}$
$af$ से गुणा करने पर: $-3f + a - f = a$
अतः,संयोजन की प्रभावी फोकस दूरी $F = f/2$ है। $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ में $u = -a$ और $v = -a/3$ रखने पर:
$-\frac{3}{a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{f} \implies -\frac{2}{a} = \frac{2}{f} \implies a = f$.

(D) प्रकाश तीन घटनाओं से गुजरता है:
$(i)$ लेंस द्वारा अपवर्तन।
$(ii)$ दर्पण द्वारा परावर्तन।
$(iii)$ लेंस द्वारा अपवर्तन।
$1^{\text{st}}$ लेंस द्वारा अपवर्तन:
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -40\, cm$ और $f = +20\, cm$:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} \Rightarrow v = +40\, cm$.
आवर्धन $m_1 = \frac{v}{u} = \frac{40}{-40} = -1$.
$2^{\text{nd}}$ दर्पण द्वारा परावर्तन:
प्रतिबिंब $I_1$ दर्पण के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। दर्पण से $I_1$ की दूरी $60\, cm - 40\, cm = 20\, cm$ है। अतः,$u = -20\, cm$ और $f = -10\, cm$ (अवतल दर्पण के लिए)।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-20} = -\frac{1}{20} \Rightarrow v = -20\, cm$.
आवर्धन $m_2 = -\frac{v}{u} = -\frac{-20}{-20} = -1$.
$3^{\text{rd}}$ लेंस द्वारा अपवर्तन:
प्रतिबिंब $I_2$ लेंस के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस से $I_2$ की दूरी $60\, cm - 20\, cm = 40\, cm$ है। अतः,$u = -40\, cm$ और $f = +20\, cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} \Rightarrow v = +40\, cm$.
आवर्धन $m_3 = \frac{v}{u} = \frac{40}{-40} = -1$.
कुल आवर्धन $m = m_1 \times m_2 \times m_3 = (-1) \times (-1) \times (-1) = -1$.
अंतिम प्रतिबिंब अभिसारी लेंस से $40\, cm$ की दूरी पर बनता है,जो मूल वस्तु के स्थान पर ही है और इसका आकार वस्तु के समान है। दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिणाम से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) प्रतिबिंब के वस्तु पर ही बनने के लिए,किरणों को अपने पथ पर वापस लौटना चाहिए। इसका अर्थ है कि किरणें समतल दर्पण $M$ पर लंबवत आपतित होनी चाहिए।
स्थिति $1$: जब लेंस सीधे दर्पण पर होता है,तो $A$ पर स्थित वस्तु लेंस के मुख्य फोकस पर होनी चाहिए। दिया गया है $OA = f = 18\, cm$।
सममित उत्तल लेंस के लिए लेंस निर्माता के सूत्र का उपयोग करते हुए $(R_1 = R, R_2 = -R)$:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$
चूंकि $f = 18\, cm$,हमें $R = 18\, cm$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: उत्तल लेंस और दर्पण के बीच एक द्रव लेंस बनता है। यह द्रव लेंस एक समतल-अवतल लेंस है जिसकी वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या $R = 18\, cm$ और समतल सतह के लिए $\infty$ है।
द्रव लेंस की फोकस दूरी $f_l$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{f_l} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{(\mu_l - 1)}{R}$
उत्तल लेंस $(f_1 = 18\, cm)$ और द्रव लेंस $(f_l)$ का संयोजन $F = OA' = 27\, cm$ फोकस दूरी वाले एक एकल लेंस के रूप में कार्य करता है।
संयोजन सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_l}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{27} = \frac{1}{18} - \frac{(\mu_l - 1)}{18}$
$\frac{1}{27} = \frac{1 - \mu_l + 1}{18} = \frac{2 - \mu_l}{18}$
$18 = 27(2 - \mu_l)$
$2 = 3(2 - \mu_l)$
$2 = 6 - 3\mu_l$
$3\mu_l = 4$
$\mu_l = \frac{4}{3}$

(A) रजतित लेंस के लिए,समतुल्य शक्ति $P = 2P_L + P_M$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$P_L$ लेंस की शक्ति है और $P_M$ दर्पण की शक्ति है।
लेंस की शक्ति $P_L = \frac{(\mu - 1)}{R}$ है। समतल-उत्तल लेंस होने के कारण,वक्र सतह की त्रिज्या $R = 20 \, cm$ है और समतल सतह के लिए $R = \infty$ है।
दर्पण की शक्ति $P_M = \frac{1}{f_M} = \frac{1}{R/2} = \frac{2}{R}$ है।
अतः,$P = 2 \left( \frac{\mu - 1}{R} \right) + \frac{2}{R} = \frac{2\mu - 2 + 2}{R} = \frac{2\mu}{R}$।
चूंकि समतुल्य निकाय एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है,$P = -\frac{1}{f_{eq}}$।
मान रखने पर: $P = \frac{2 \times 1.5}{20} = \frac{3}{20} \, cm^{-1}$।
इसलिए,$f_{eq} = -\frac{20}{3} \, cm$।

(D) चांदी की परत चढ़े लेंस निकाय की शक्ति $P = 2P_L + P_M$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P_L$ लेंस की शक्ति है और $P_M$ दर्पण की शक्ति है। फोकस दूरी $F$ को $\frac{1}{F} = -(\frac{2}{f_L} + \frac{1}{f_M})$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
स्थिति $1$: समतल सतह पर चांदी की परत है। लेंस $f_L$ फोकस दूरी के लेंस और समतल दर्पण $(f_M = \infty)$ के रूप में कार्य करता है।
$\frac{1}{f_L} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu - 1}{R}$.
तुल्य फोकस दूरी $F_1 = -28 \, cm$ (अवतल दर्पण)।
$\frac{1}{F_1} = -(\frac{2}{f_L} + 0) = -\frac{2(\mu - 1)}{R} = -\frac{1}{28} \implies \frac{R}{\mu - 1} = 56 \quad \dots(1)$
स्थिति $2$: वक्र सतह पर चांदी की परत है। लेंस $f_L$ फोकस दूरी के लेंस और $R$ त्रिज्या के अवतल दर्पण $(f_M = -R/2)$ के रूप में कार्य करता है।
$\frac{1}{F_2} = -(\frac{2}{f_L} + \frac{1}{f_M}) = -(\frac{2(\mu - 1)}{R} - \frac{2}{R}) = -\frac{2(\mu - 2)}{R} = -\frac{1}{10} \implies \frac{R}{\mu - 2} = 20 \quad \dots(2)$
$(1)$ से,$R = 56(\mu - 1)$। इसे $(2)$ में रखने पर:
$\frac{56(\mu - 1)}{\mu - 2} = 20 \implies 56\mu - 56 = 20\mu - 40$
$36\mu = 16 \implies \mu = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.
चूंकि $\frac{4}{9}$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।