Spherical Mirror Questions in Hindi

(B) आवर्धन $m$ प्रतिबिंब की ऊंचाई $(h_i)$ और वस्तु की ऊंचाई $(h_o)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$h_i = 2 \ m$ और $h_o = 6 \ m$ है।
आवर्धन $m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
चूंकि प्रतिबिंब सीधा और छोटा $(|m| < 1)$ है,इसलिए दर्पण उत्तल दर्पण होना चाहिए। समतल दर्पण हमेशा वस्तु के आकार का ही प्रतिबिंब बनाता है,और अवतल दर्पण केवल तभी छोटा और सीधा प्रतिबिंब बनाता है जब वस्तु ध्रुव और फोकस के बीच रखी हो,लेकिन यह सामान्य अवलोकन के लिए मानक स्थिति नहीं है।

(C) उत्तल दर्पण अपने सामने रखी वस्तु की सभी स्थितियों के लिए हमेशा एक आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है। समतल दर्पण हमेशा वस्तु के आकार के बराबर ही प्रतिबिंब बनाता है। अवतल दर्पण एक आभासी प्रतिबिंब बना सकता है,लेकिन वह हमेशा आवर्धित (बड़ा) होता है। इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 5 \ cm$,वस्तु की दूरी $u = -100 \ cm$,वक्रता त्रिज्या $R = -20 \ cm$.
फोकस दूरी $f = R/2 = -10 \ cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-100} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{100} = \frac{-10+1}{100} = -\frac{9}{100}$.
अतः,$v = -\frac{100}{9} \ cm$.
आवर्धन $m = \frac{I}{O} = -\frac{v}{u}$.
$I = O \times (-\frac{v}{u}) = 5 \times (-\frac{-100/9}{-100}) = 5 \times (-\frac{1}{9}) = -\frac{5}{9} \approx -0.55 \ cm$.
प्रतिबिंब का आकार $0.55 \ cm$ है।

(A) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -50 \, cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब उल्टा और आवर्धित है,इसलिए यह एक वास्तविक प्रतिबिंब होना चाहिए।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,आवर्धन $m = -2$ होता है।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ का उपयोग करने पर:
$-2 = \frac{-50}{-50 - u}$
$-2(-50 - u) = -50$
$100 + 2u = -50$
$2u = -150$
$u = -75 \, cm$.
अतः,वस्तु को दर्पण के सामने $75 \, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(B) दिया गया है: वस्तु का आकार $O = 7.5 \ cm$,वक्रता त्रिज्या $R = 25 \ cm$,वस्तु की दूरी $u = -40 \ cm$.
उत्तल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = R/2 = 25/2 = 12.5 \ cm$.
दर्पण के लिए आवर्धन का सूत्र: $m = \frac{I}{O} = -\frac{v}{u}$.
साथ ही,दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ से,$v = \frac{uf}{f - u}$ प्राप्त होता है।
आवर्धन सूत्र में $v$ का मान रखने पर: $\frac{I}{O} = -\left(\frac{uf}{f - u}\right) \cdot \frac{1}{u} = \frac{f}{f - u}$.
मान रखने पर: $\frac{I}{7.5} = \frac{12.5}{12.5 - (-40)} = \frac{12.5}{52.5}$.
$I = 7.5 \times \frac{12.5}{52.5} = 7.5 \times \frac{1}{4.2} \approx 1.78 \ cm$.

(C) उत्तल दर्पण एक गोलीय दर्पण है जो बाहर की ओर वक्र होता है।
अपनी बाहरी वक्रता के कारण,यह आपतित प्रकाश किरणों को अपसरित (diverge) करता है।
यह अपसरण दर्पण को समान आकार के समतल या अवतल दर्पण की तुलना में बहुत व्यापक क्षेत्र से प्रकाश एकत्र करने की अनुमति देता है।
परिणामस्वरूप,उत्तल दर्पण के लिए दृष्टि क्षेत्र अधिकतम होता है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{I}{O} = \frac{f}{f - u}$ है।
यहाँ,$u$ ध्रुव से वस्तु की दूरी है। वस्तु की मुख्य फोकस से दूरी $x$ है।
चूंकि वस्तु दर्पण के सामने रखी है,इसलिए ध्रुव से दूरी $u = -(f + x)$ होगी।
इस मान को आवर्धन सूत्र में रखने पर:
$m = \frac{f}{f - (-(f + x))} = \frac{f}{f + f + x} = \frac{f}{2f + x}$।
हालाँकि,न्यूटन के दर्पण समीकरण $x_1 x_2 = f^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x_1$ और $x_2$ क्रमशः फोकस से वस्तु और प्रतिबिंब की दूरियाँ हैं।
यहाँ $x_1 = x$ है। इसलिए,$x_2 = \frac{f^2}{x}$।
आवर्धन $m = \frac{f}{x_1} = \frac{f}{x}$ (परिमाण)।
अतः,प्रतिबिंब के आकार और वस्तु के आकार का अनुपात $\frac{f}{x}$ है।

(A) उत्तल दर्पण के सामने रखी किसी भी वास्तविक वस्तु के लिए यह हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
चूंकि परावर्तित किरणें दर्पण के पीछे एक बिंदु से आती हुई प्रतीत होती हैं,इसलिए प्रतिबिंब आभासी होता है।

(B) दर्पण के लिए न्यूटन के सूत्र के अनुसार,जब दूरियाँ फोकस से मापी जाती हैं,तो संबंध $x_1 x_2 = f^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x_1$ फोकस से वस्तु की दूरी है और $x_2$ फोकस से प्रतिबिंब की दूरी है।
वैकल्पिक रूप से,दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए:
माना वस्तु की दूरी $u = -(f + x_1)$ और प्रतिबिंब की दूरी $v = -(f + x_2)$ है।
इन मानों को दर्पण सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{-(f + x_2)} + \frac{1}{-(f + x_1)} = -\frac{1}{f}$
$\frac{1}{f + x_2} + \frac{1}{f + x_1} = \frac{1}{f}$
$\frac{(f + x_1) + (f + x_2)}{(f + x_1)(f + x_2)} = \frac{1}{f}$
$f(2f + x_1 + x_2) = (f + x_1)(f + x_2)$
$2f^2 + f x_1 + f x_2 = f^2 + f x_1 + f x_2 + x_1 x_2$
$f^2 = x_1 x_2$
$f = \sqrt{x_1 x_2}$

(D) उत्तल दर्पण के सामने रखी किसी भी वास्तविक वस्तु के लिए यह हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब हमेशा दर्पण के पीछे ध्रुव $(P)$ और फोकस $(F)$ के बीच बनता है। इसलिए,यह कथन कि प्रतिबिंब वास्तविक है,गलत है।

(B) जब प्रकाश के एक बिंदु स्रोत को अवतल दर्पण के मुख्य फोकस $(F)$ पर रखा जाता है,तो स्रोत से निकलने वाली प्रकाश किरणें दर्पण पर आपतित होती हैं और मुख्य अक्ष के समानांतर परावर्तित हो जाती हैं।
इसका कारण यह है कि परावर्तन के नियमों के अनुसार,अवतल दर्पण के फोकस से गुजरने वाली कोई भी किरण परावर्तन के बाद मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती है।
इसलिए,एक अवतल दर्पण बिंदु स्रोत से प्रकाश की एक समानांतर किरण पुंज उत्पन्न कर सकता है।

(B) उत्तल दर्पण के लिए फोकस दूरी $f$ धनात्मक होती है,इसलिए $f = +30 \ cm$ है।
उत्तल दर्पण द्वारा बने आभासी और सीधे प्रतिबिंब के लिए आवर्धन $m$ धनात्मक होता है। दिया गया है कि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार का एक चौथाई है,इसलिए $m = +\frac{1}{4}$ है।
फोकस दूरी और वस्तु की दूरी $u$ के पदों में आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{4} = \frac{30}{30 - u}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर: $30 - u = 120$ प्राप्त होता है।
$u$ के लिए हल करने पर: $u = 30 - 120 = -90 \ cm$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि वस्तु दर्पण के सामने $90 \ cm$ की दूरी पर रखी गई है।

(B) आवर्धन $m$ प्रतिबिंब की ऊँचाई और वस्तु की ऊँचाई के अनुपात द्वारा दिया जाता है,जो $m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{1}{5}$ है।
चूँकि प्रतिबिंब सीधा है,आवर्धन धनात्मक है $(m = +0.2)$।
समतल दर्पण हमेशा समान आकार का प्रतिबिंब बनाता है $(m = 1)$,इसलिए यह समतल दर्पण नहीं है।
अवतल दर्पण केवल तभी सीधा प्रतिबिंब बना सकता है जब वस्तु ध्रुव और फोकस के बीच रखी हो,लेकिन उस स्थिति में प्रतिबिंब हमेशा आवर्धित $(m > 1)$ होता है।
उत्तल दर्पण वस्तु की सभी स्थितियों के लिए हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
इसलिए,दर्पण एक उत्तल दर्पण होना चाहिए।

(C) समतल दर्पण हमेशा आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनाता है,चाहे दूरी कुछ भी हो।
उत्तल दर्पण भी वस्तु की सभी स्थितियों के लिए हमेशा आभासी और सीधा प्रतिबिंब ही बनाता है।
अवतल दर्पण तब आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनाता है जब वस्तु को ध्रुव $(P)$ और मुख्य फोकस $(F)$ के बीच रखा जाता है। जैसे ही वस्तु फोकस $(F)$ से दूर जाती है,प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा हो जाता है।
चूंकि दर्पण को दूर ले जाने पर प्रतिबिंब आभासी से उल्टा हो जाता है,इसलिए वह अवतल दर्पण है।

(B) गोलीय दर्पण के लिए रैखिक आवर्धन $m = -\frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
दर्पण सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ होता है।
दोनों पक्षों को $u$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{u}{f} = \frac{u}{v} + 1$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{u}{v} = \frac{u}{f} - 1 = \frac{u - f}{f}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{v}{u} = \frac{f}{u - f}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m = -\frac{v}{u}$ है,इसलिए $m = -\frac{f}{u - f} = \frac{f}{f - u}$ होता है।
अतः,सही संबंध $m = \frac{f}{f - u}$ है।

(B) स्ट्रीट लाइटिंग के लिए, लक्ष्य प्रकाश को एक विस्तृत क्षेत्र में फैलाना होता है। $\text{उत्तल}$ दर्पण एक अपसारी (diverging) दर्पण है, जो उस पर पड़ने वाली प्रकाश की किरणों को फैला देता है। इसलिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रकाश सड़क पर एक बड़े क्षेत्र को कवर करे, स्ट्रीट लैंप में परावर्तक के रूप में इसका उपयोग किया जाता है।

(A) माना दर्पण से फूल की दूरी $u$ है। चूंकि प्रतिबिंब दीवार पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब वास्तविक है,अतः आवर्धन $m = -16$ होगा।
आवर्धन की परिभाषा के अनुसार,$m = -\frac{v}{u}$। अतः,$-\frac{v}{u} = -16$,जिससे हमें $v = 16u$ प्राप्त होता है।
वस्तु (फूल) और प्रतिबिंब (दीवार) के बीच की दूरी $120 \ cm$ दी गई है। अवतल दर्पण द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही बनता है। अतः उनके बीच की दूरी $|v - u| = 120$ होगी।
$v = 16u$ रखने पर,हमें $|16u - u| = 120$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $15u = 120$ मिलता है।
अतः,$u = \frac{120}{15} = 8 \ cm$।

(A) जब वस्तु को अवतल दर्पण के ध्रुव $(P)$ और मुख्य फोकस $(F)$ के बीच रखा जाता है,तो यह एक आभासी,सीधा और आवर्धित (वस्तु से बड़ा) प्रतिबिंब बनाता है।
इसके विपरीत,उत्तल दर्पण और अवतल लेंस हमेशा वस्तु से छोटे आभासी प्रतिबिंब बनाते हैं।
समतल दर्पण हमेशा वस्तु के आकार के बराबर आभासी प्रतिबिंब बनाता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है: अवतल दर्पण की फोकस दूरी $f = -20\;cm$। वस्तु की दूरी $u = -40\;cm$।
चूंकि वस्तु दर्पण से $40\;cm$ की दूरी पर रखी गई है और वक्रता त्रिज्या $R = 2f = 2 \times 20 = 40\;cm$ है,इसलिए वस्तु वक्रता केंद्र $(C)$ पर स्थित है।
अवतल दर्पण द्वारा प्रतिबिंब निर्माण के नियमों के अनुसार,जब कोई वस्तु वक्रता केंद्र पर रखी जाती है,तो प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनता है।
अतः बनने वाला प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और वस्तु के आकार के बराबर होता है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,वक्रता त्रिज्या $R = -36 \ cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
अतः,फोकस दूरी $f = R/2 = -18 \ cm$ होगी।
चूंकि प्रतिबिंब आभासी और तीन गुना बड़ा है,इसलिए आवर्धन $m = +3$ होगा।
फोकस दूरी और वस्तु दूरी $u$ के पदों में आवर्धन का सूत्र $m = f / (f - u)$ है।
मान रखने पर: $3 = -18 / (-18 - u)$।
दोनों पक्षों को गुणा करने पर: $3(-18 - u) = -18$।
$-54 - 3u = -18$।
$-3u = 54 - 18 = 36$।
$u = -12 \ cm$।
अतः,दर्पण से वस्तु की दूरी $12 \ cm$ है।

(D) दिया गया है: अवतल दर्पण के लिए वक्रता त्रिज्या $R = -40 \ cm$,इसलिए फोकस दूरी $f = R/2 = -20 \ cm$ है। आवर्धन $m = \pm 2$ है।
स्थिति $1$: वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -2$ है।
सूत्र $m = f / (f - u)$ का उपयोग करने पर:
$-2 = -20 / (-20 - u)$
$-2(-20 - u) = -20$
$40 + 2u = -20$
$2u = -60 \Rightarrow u = -30 \ cm$।
स्थिति $2$: आभासी प्रतिबिंब के लिए,$m = +2$ है।
सूत्र $m = f / (f - u)$ का उपयोग करने पर:
$2 = -20 / (-20 - u)$
$2(-20 - u) = -20$
$-40 - 2u = -20$
$-2u = 20 \Rightarrow u = -10 \ cm$।
चूंकि विकल्पों में $30 \ cm$ दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $30 \ cm$ है।

(D) उत्तल दर्पण के सामने रखी किसी भी वास्तविक वस्तु के लिए यह हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
इसलिए,यह कथन कि उत्तल दर्पण का उपयोग करके एक वास्तविक,उल्टा और समान आकार का प्रतिबिंब बनाया जा सकता है,गलत है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -20 \ cm$ (अवतल दर्पण के लिए),वस्तु की दूरी $u = -10 \ cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{-20} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{2-1}{20} = \frac{1}{20}$.
अतः,$v = +20 \ cm$.
$v$ का धनात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है,जिसका अर्थ है कि यह आभासी है।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{20}{-10} = +2$.
चूंकि $m$ धनात्मक है,प्रतिबिंब सीधा है। चूंकि $|m| > 1$ है,प्रतिबिंब बड़ा है।
इसलिए,प्रतिबिंब बड़ा,सीधा और आभासी है।

(C) उत्तल दर्पण के लिए,फोकस दूरी धनात्मक ली जाती है,इसलिए $f_{mirror} = +f$।
चूंकि वस्तु दर्पण के सामने रखी गई है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = -f$ है।
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f_{mirror}} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-f}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$।
अतः,प्रतिबिंब की दूरी $v = f/2$ है।

(D) अवतल दर्पण के लिए,वास्तविक प्रतिबिंब तब बनता है जब वस्तु को दर्पण से फोकस दूरी $f$ से अधिक दूरी पर रखा जाता है।
जब वस्तु को वक्रता केंद्र पर $(u = 2f)$ रखा जाता है,तो प्रतिबिंब भी वक्रता केंद्र पर ही बनता है $(v = 2f)$।
इस स्थिति में,वस्तु और प्रतिबिंब एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
अतः,वस्तु और उसके वास्तविक प्रतिबिंब के बीच की दूरी $Zero$ (शून्य) है।

(C) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -20 \, cm$,फोकस दूरी $f = +10 \, cm$ (उत्तल दर्पण के लिए)।
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{10} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-20}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} = \frac{2+1}{20} = \frac{3}{20}$.
अतः,$v = +\frac{20}{3} \, cm$.
चूंकि $v$ धनात्मक है,प्रतिबिंब आभासी है और दर्पण के पीछे $\frac{20}{3} \, cm$ की दूरी पर बनता है।

(D) गोलीय दर्पण की फोकस दूरी $(f)$ और वक्रता त्रिज्या $(R)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $f = \frac{R}{2}$।
यहाँ,उत्तल दर्पण की फोकस दूरी $f = 20\, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर: $20 = \frac{R}{2}$।
अतः,वक्रता त्रिज्या $R = 20 \times 2 = 40\, cm$ होगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -15\, cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब आभासी है,इसलिए आवर्धन $m = +2$ है।
आवर्धन सूत्र $m = -\frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,$2 = -\frac{v}{u}$,जिसका अर्थ है $v = -2u$।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-15} = \frac{1}{-2u} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{-15} = \frac{-1 + 2}{2u}$
$\frac{1}{-15} = \frac{1}{2u}$
$2u = -15$
$u = -7.5\, cm$।
अतः,वस्तु दर्पण से $7.5\, cm$ की दूरी पर स्थित है।

(D) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = +2.5 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -10 \, cm$,और वक्रता त्रिज्या $R = -30 \, cm$ (अवतल दर्पण के लिए)।
फोकस दूरी $f = R/2 = -30/2 = -15 \, cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{-15} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-10}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = +30 \, cm$.
आवर्धन $m = \frac{I}{O} = -\frac{v}{u}$.
$\frac{I}{2.5} = -\frac{30}{-10} = 3$.
$I = 3 \times 2.5 = 7.5 \, cm$.

(D) अवतल दर्पण की परावर्तक सतह अंदर की ओर धंसी होती है,जो वास्तविक वस्तुओं से आने वाली आपतित प्रकाश किरणों को परावर्तन के बाद एक बिंदु पर अभिसरित (converge) करती है।
यदि वास्तविक वस्तु को फोकस $(F)$ और ध्रुव $(P)$ के बीच न रखा जाए,तो परावर्तित किरणें मिलकर एक वास्तविक प्रतिबिंब बनाती हैं।

(A) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f$ को ऋणात्मक लिया जाता है,इसलिए $f_{mirror} = -f$। वस्तु की दूरी $u$ भी ऋणात्मक होती है,इसलिए $u = -4f$। वस्तु की ऊँचाई $h_o = 6 \ cm$ है।
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{v} + \frac{1}{-4f} = \frac{1}{-f}$।
$\frac{1}{v} = \frac{1}{4f} - \frac{1}{f} = \frac{1 - 4}{4f} = -\frac{3}{4f}$।
अतः,$v = -\frac{4f}{3}$।
आवर्धन $m$ को $m = -\frac{v}{u} = \frac{h_i}{h_o}$ द्वारा दिया जाता है।
$m = -\frac{(-4f/3)}{(-4f)} = -\frac{1}{3}$।
इसलिए,$h_i = m \times h_o = -\frac{1}{3} \times 6 \ cm = -2 \ cm$।
प्रतिबिंब की लंबाई (परिमाण) $2 \ cm$ है।

(D) दर्पण की अभिसरण क्षमता (या शक्ति) उसकी फोकस दूरी द्वारा निर्धारित होती है,जो $f = R/2$ सूत्र द्वारा दी जाती है। यह फोकस दूरी केवल दर्पण की वक्रता त्रिज्या $R$ पर निर्भर करती है। लेंस के विपरीत,दर्पण द्वारा प्रकाश का परावर्तन आसपास के माध्यम के अपवर्तनांक पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए,अवतल दर्पण को पानी या तेल जैसे किसी भी माध्यम में डुबोने से उसकी फोकस दूरी या उसकी अभिसरण क्षमता में कोई बदलाव नहीं आता है। अतः,सही उत्तर $D$ है।

(D) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $O = 2 \, mm$,वस्तु की दूरी $u = -20 \, cm$,वक्रता त्रिज्या $R = +40 \, cm$ (उत्तल दर्पण के लिए)।
फोकस दूरी $f = R/2 = 40/2 = +20 \, cm$।
दर्पण के लिए आवर्धन का सूत्र: $m = \frac{I}{O} = -\frac{v}{u}$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$।
अतः,$v = +10 \, cm$।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{10}{-20} = 0.5$।
प्रतिबिंब की ऊँचाई $I = m \times O = 0.5 \times 2 \, mm = 1 \, mm$।

(A) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -6 \, cm$ है। आवर्धन $m = \pm 3$ है।
सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ का उपयोग करने पर,$\pm 3 = \frac{-6}{-6 - u}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -3$.
$-3 = \frac{-6}{-6 - u} \implies -3(-6 - u) = -6 \implies 18 + 3u = -6 \implies 3u = -24 \implies u = -8 \, cm$.
स्थिति $2$: आभासी प्रतिबिंब के लिए,$m = +3$.
$3 = \frac{-6}{-6 - u} \implies 3(-6 - u) = -6 \implies -18 - 3u = -6 \implies -3u = 12 \implies u = -4 \, cm$.
अतः,दर्पण से वस्तु की संभावित दूरियाँ $4 \, cm$ या $8 \, cm$ हैं।

(A) गोलीय दर्पण की फोकस दूरी $f = R/2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $R$ दर्पण की वक्रता त्रिज्या है।
यह सूत्र केवल दर्पण की सतह की ज्यामिति पर निर्भर करता है।
लेंस के विपरीत, दर्पण द्वारा प्रकाश का परावर्तन आसपास के माध्यम के अपवर्तनांक पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए, जब दर्पण को पानी में डुबोया जाता है, तो उसकी फोकस दूरी अपरिवर्तित रहती है।
अतः, पानी में फोकस दूरी $f$ ही होगी।

(B) सूर्य बहुत अधिक दूरी पर स्थित है,इसलिए इसका प्रतिबिंब अवतल दर्पण के फोकस पर बनता है। दर्पण के ध्रुव से प्रतिबिंब की दूरी फोकस दूरी $f = 100 \ cm$ के बराबर होती है।
माना कि सूर्य के प्रतिबिंब का व्यास $x$ है।
सूर्य द्वारा दर्पण पर बनाया गया कोण $\theta = 30' = (30/60)^\circ = 0.5^\circ$ है।
कोण को रेडियन में बदलने पर:
$\theta = 0.5 \times (\pi / 180) \ rad = \pi / 360 \ rad$.
संबंध $\text{कोण} = \text{चाप} / \text{त्रिज्या}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ चाप व्यास $x$ है और त्रिज्या फोकस दूरी $f$ है:
$\theta = x / f$
$x = f \times \theta = 100 \times (\pi / 360) \ cm$.
$x = 100 \times 3.14159 / 360 \approx 0.872 \ cm$.
अतः,प्रतिबिंब का व्यास लगभग $0.87 \ cm$ है।

(D) दर्पण सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ .....$(i)$
समीकरण $(i)$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$0 = - \frac{1}{v^2} \frac{dv}{du} - \frac{1}{u^2}$
$\frac{dv}{du} = - \left( \frac{v}{u} \right)^2$
चूंकि वस्तु की लंबाई $l = du$ छोटी है,इसलिए प्रतिबिंब की लंबाई $dv$ इस प्रकार होगी:
$dv = - \left( \frac{v}{u} \right)^2 du$ .....$(ii)$
दर्पण सूत्र से,हम आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{u - f}{fu}$
$\frac{v}{u} = \frac{f}{u - f}$ .....$(iii)$
समीकरण $(iii)$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$dv = - \left( \frac{f}{u - f} \right)^2 l$
अतः,प्रतिबिंब के आकार का परिमाण $l' = |dv| = l \left( \frac{f}{u - f} \right)^2$ है।

(B) मान लीजिए कि छड़ अवतल दर्पण से $u = 2f - f/3 = 5f/3$ और $u = 2f$ के बीच रखी गई है। $u = 2f$ पर स्थित छड़ का सिरा $v = 2f$ पर प्रतिबिंब बनाता है।
छड़ के दूसरे सिरे के लिए जो $u = 5f/3$ पर है,हम दर्पण सूत्र $\frac{1}{f_{mirror}} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हैं।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,$f_{mirror} = -f$ और $u = -5f/3$ है।
$\frac{1}{-f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-5f/3} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{3}{5f} - \frac{1}{f} = \frac{3-5}{5f} = -\frac{2}{5f}$।
अतः,$v = -2.5f$।
प्रतिबिंब की लंबाई दोनों प्रतिबिंब स्थितियों के बीच की दूरी है: $|2.5f - 2f| = 0.5f = f/2$।

(B) $1$. दर्पण के बिना,$r$ दूरी पर स्थित बिंदु स्रोत के कारण स्क्रीन पर प्रदीप्ति $I_1 = \frac{L}{r^2}$ है,जहाँ $L$ स्रोत की दीप्तिमान तीव्रता है।
$2$. दर्पण के साथ,स्रोत को वक्रता केंद्र पर रखा गया है $(u = r)$। अवतल दर्पण के लिए,वक्रता केंद्र पर रखी वस्तु का वास्तविक प्रतिबिंब उसी स्थान पर बनता है $(v = r)$।
$3$. अब स्क्रीन तक पहुँचने वाला प्रकाश दो भागों से बना है: स्रोत से सीधा आने वाला प्रकाश और दर्पण से परावर्तित प्रकाश,जो स्रोत के स्थान पर बने प्रतिबिंब से आता हुआ प्रतीत होता है।
$4$. परावर्तित प्रकाश के कारण प्रदीप्ति भी $I_{reflected} = \frac{L}{r^2}$ है।
$5$. दर्पण के साथ स्क्रीन पर कुल प्रदीप्ति $I_2 = I_{direct} + I_{reflected} = \frac{L}{r^2} + \frac{L}{r^2} = \frac{2L}{r^2}$ है।
$6$. अतः,प्रदीप्ति का अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \frac{2L/r^2}{L/r^2} = 2:1$ है।

(C) दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
अवतल दर्पण के लिए,चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,$u$ और $v$ ऋणात्मक होते हैं। मान लीजिए उनके परिमाण $u$ और $v$ हैं। तब $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$,जिसे $v = \frac{uf}{u-f}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
जैसे $u \to f$,$v \to \infty$ होता है।
जैसे $u \to \infty$,$v \to f$ होता है।
यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है जहाँ $u$ के बढ़ने पर $v$ घटता है,जो ग्राफ $C$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(A) अवतल दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करने पर,$f = -|f|$। अतः,$\frac{1}{v} = -\frac{1}{|f|} - \frac{1}{u}$।
$1$. जब $u = 0$,तो $\frac{1}{v} = -\infty$,इसलिए $v = 0$।
$2$. जब $u = |f|$,तो $\frac{1}{v} = -\frac{1}{|f|} + \frac{1}{|f|} = 0$,इसलिए $v = \infty$।
$3$. जब $u = \infty$,तो $\frac{1}{v} = -\frac{1}{|f|}$,इसलिए $v = -|f|$।
जैसे-जैसे $u$,$0$ से $|f|$ तक बढ़ता है,$v$,$0$ से $-\infty$ तक बदलता है। जैसे-जैसे $u$,$|f|$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$v$,$+\infty$ से $-|f|$ तक बदलता है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए ग्राफों से करने पर,विकल्प $A$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) गोलीय दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
बिंदु $P$ पर,ग्राफ रेखा $v = u$ को काटता है,जिसका अर्थ है $u = v$। इसे दर्पण सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{u} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \implies \frac{2}{u} = \frac{1}{f} \implies u = 2f$। अतः,बिंदु $P$ पर,$u = v = 2f$ है।
वक्र पर $P$ के ऊपर के बिंदुओं के लिए,$v$ का मान $P$ पर $v$ के मान से अधिक है। चूँकि $v_P = 2f$,वक्र पर $P$ के ऊपर का कोई भी बिंदु $v > 2f$ के अनुरूप है।

(B) उत्तल दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
उत्तल दर्पण के लिए फोकस दूरी $f$ धनात्मक होती है,इसलिए $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ प्राप्त होता है।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,$u$ ऋणात्मक है,इसलिए मान लें $u = -x$ जहाँ $x > 0$ है। तब $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{x} = \frac{x+f}{xf}$ होता है।
इस प्रकार,$v = \frac{xf}{x+f}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $u$,$0$ से $-\infty$ तक बदलता है,$x$,$0$ से $+\infty$ तक बदलता है।
जब $x = 0$ होता है,तो $v = 0$ होता है।
जब $x \to \infty$ होता है,तो $v \to f$ होता है।
जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$v$,$0$ से $f$ तक बढ़ता है। ग्राफ में $y$-अक्ष पर $v$ और $x$-अक्ष पर $u$ (जहाँ $u$ ऋणात्मक है) दर्शाया गया है। सही निरूपण ग्राफ $B$ है।

(D) अवतल दर्पण के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,वस्तु की दूरी $u$ फोकस दूरी $f$ से अधिक होती है $(u > f)$। मान लीजिए कि $x$ फोकस से वस्तु की दूरी है,इसलिए $x = u - f$ है।
आवर्धन सूत्र में $u = f + x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$m = \frac{f}{f - (f + x)} = \frac{f}{-x} = -\frac{f}{x}$ प्राप्त होता है।
आवर्धन का परिमाण $|m| = \frac{f}{x}$ लेने पर,हम देखते हैं कि $|m| \propto \frac{1}{x}$ है।
यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जो विकल्प $D$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) दर्पणों के लिए न्यूटन के सूत्र के अनुसार, फोकस से वस्तु की दूरी $(x)$ और फोकस से प्रतिबिंब की दूरी $(y)$ के बीच का संबंध $xy = f^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f$ दर्पण की फोकस दूरी है।
चूंकि किसी दिए गए दर्पण के लिए $f$ स्थिर है, इसलिए $xy = \text{स्थिरांक}$ होगा।
यह समीकरण एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों में से, जो ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय को दर्शाता है, वह ग्राफ $B$ है।

(D) गोलीय दर्पण के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ होता है।
प्रथम स्थिति में,वस्तु की दूरी $u_1 = -25 \; cm$ है। अतः,$m_1 = \frac{f}{f - (-25)} = \frac{f}{f + 25}$।
दूसरी स्थिति में,वस्तु को $15 \; cm$ और दूर ले जाया जाता है,इसलिए नई वस्तु दूरी $u_2 = -(25 + 15) = -40 \; cm$ है। अतः,$m_2 = \frac{f}{f - (-40)} = \frac{f}{f + 40}$।
दिए गए अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = 4$ से:
$\frac{f / (f + 25)}{f / (f + 40)} = 4$
$\frac{f + 40}{f + 25} = 4$
$f + 40 = 4(f + 25)$
$f + 40 = 4f + 100$
$3f = -60$
$f = -20 \; cm$।

(A) गोलीय दर्पण की फोकस दूरी केवल उसकी वक्रता त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करती है और इसे $f = R/2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दर्पण की वक्रता त्रिज्या एक ज्यामितीय गुण है और यह आसपास के माध्यम के अपवर्तनांक पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए दर्पण को पानी में डुबोने पर उसकी फोकस दूरी अपरिवर्तित रहती है।
अतः, पानी में फोकस दूरी $f$ ही रहेगी।

(C) दिया गया है: वस्तु की ऊँचाई $h_1 = 5 \, cm$,वस्तु की दूरी $u = -100 \, cm$ $(1 \, m = 100 \, cm)$,वक्रता त्रिज्या $R = -20 \, cm$.
फोकस दूरी $f = R/2 = -20/2 = -10 \, cm$.
दर्पण के लिए आवर्धन का सूत्र: $m = \frac{h_2}{h_1} = -\frac{v}{u}$.
साथ ही,$m = \frac{f}{f - u}$.
मान रखने पर: $\frac{h_2}{5} = \frac{-10}{-10 - (-100)} = \frac{-10}{-10 + 100} = \frac{-10}{90} = -\frac{1}{9}$.
$h_2 = 5 \times (-\frac{1}{9}) = -\frac{5}{9} \approx -0.55 \, cm$.
प्रतिबिंब की ऊँचाई का परिमाण $0.55 \, cm$ है।

(C) अनुप्रस्थ आवर्धन $m = -\frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुदैर्ध्य आवर्धन $(m_L)$ को प्रतिबिंब की स्थिति में परिवर्तन और वस्तु की स्थिति में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $m_L = \frac{dv}{du}$.
दर्पण सूत्र से: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
दोनों पक्षों का $u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$0 = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{du} - \frac{1}{u^2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dv}{du} = -\frac{v^2}{u^2}$.
चूंकि $m = -\frac{v}{u}$,इसलिए $m^2 = \frac{v^2}{u^2}$ होता है।
अतः,$m_L = -m^2$। परिमाण के संदर्भ में,अनुदैर्ध्य आवर्धन $m^2$ है।

(C) दर्पण समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
प्रतिबिंब दूरी के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$।
अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक होती है $(f < 0)$।
यदि वस्तु आभासी है,तो वस्तु दूरी $u$ धनात्मक होती है $(u > 0)$। इन मानों को समीकरण में रखने पर,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ से $\frac{1}{v}$ का मान ऋणात्मक प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $v < 0$। चूंकि प्रतिबिंब दूरी ऋणात्मक है,प्रतिबिंब परावर्तित किरणों के वास्तविक प्रतिच्छेदन से बनता है,इसलिए यह एक वास्तविक प्रतिबिंब है।
यदि वस्तु वास्तविक है,तो वस्तु दूरी $u$ ऋणात्मक होती है $(u < 0)$। इस स्थिति में,वस्तु ध्रुव और फोकस के बीच स्थित है या फोकस के बाहर,इसके आधार पर प्रतिबिंब दूरी $v$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है।