Plane Mirror Questions in Hindi

(D) जब प्रकाश की एक किरण $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों से क्रमिक परावर्तन करती है,तो उत्पन्न कुल विचलन $\delta$ सूत्र $\delta = 360^\circ - 2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,दो दर्पणों के बीच झुकाव का कोण $\theta = 60^\circ$ है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$\delta = 360^\circ - 2 \times 60^\circ$
$\delta = 360^\circ - 120^\circ$
$\delta = 240^\circ$.
अतः,परिणामी विचलन $240^\circ$ है।

(B) एक समतल दर्पण आमतौर पर वास्तविक वस्तु के लिए आभासी प्रतिबिंब बनाता है। हालाँकि,यदि आपतित प्रकाश किरणें दर्पण के पीछे किसी बिंदु की ओर अभिसरित (converging) हो रही हैं (एक आभासी वस्तु),तो समतल दर्पण इन किरणों को इस तरह परावर्तित करता है कि वे वास्तव में दर्पण के सामने एक बिंदु पर मिलती हैं। इसके परिणामस्वरूप एक वास्तविक प्रतिबिंब का निर्माण होता है। इसलिए,आपतित प्रकाश किरण पुंज का अभिसारी होना आवश्यक है।

(B) जब दो समतल दर्पण $\theta$ कोण पर झुके होते हैं,तो दो परावर्तनों द्वारा उत्पन्न कुल विचलन $\delta = 360^o - 2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
आपतित किरण और अंतिम परावर्तित किरण के एक-दूसरे के समानांतर होने के लिए,कुल विचलन $\delta = 180^o$ होना चाहिए।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $180^o = 360^o - 2\theta$.
$2\theta = 360^o - 180^o = 180^o$.
$\theta = 90^o$.
अतः,दोनों दर्पणों के बीच का कोण $90^o$ होना चाहिए।

(D) जब आपतित किरण को स्थिर रखते हुए एक समतल दर्पण को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो दर्पण का अभिलंब भी $\theta$ कोण से घूम जाता है।
प्रारंभ में,आपतन कोण $i$ है। दर्पण के घूमने के बाद,नया आपतन कोण $i + \theta$ या $i - \theta$ हो जाता है।
परावर्तन कोण भी तदनुसार बदल जाता है,जिसके परिणामस्वरूप परावर्तित किरण दर्पण के घूमने की दिशा में $2\theta$ कोण से घूम जाती है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(C) मान लीजिए कि किसी क्षण वस्तु (आप) और समतल दर्पण के बीच की दूरी $x$ है।
चूंकि समतल दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर होता है जितनी दूरी पर वस्तु दर्पण के सामने होती है, इसलिए दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी भी $x$ है।
जब दर्पण वस्तु की ओर $y$ दूरी तक खिसकता है, तो वस्तु और दर्पण के बीच की नई दूरी $(x - y)$ हो जाती है।
प्रतिबिंब की नई स्थिति दर्पण के पीछे $(x - y)$ दूरी पर होगी।
वस्तु से प्रतिबिंब की प्रारंभिक दूरी $2x$ थी।
वस्तु से प्रतिबिंब की अंतिम दूरी $(x - y) + (x - y) = 2(x - y) = 2x - 2y$ है।
वस्तु से प्रतिबिंब की दूरी में परिवर्तन $2x - (2x - 2y) = 2y$ है।
चूंकि दर्पण के $y$ विस्थापन के लिए दूरी में परिवर्तन $2y$ है, इसलिए वस्तु के सापेक्ष प्रतिबिंब की गति दर्पण की गति से दोगुनी होती है।
प्रतिबिंब की गति $= 2 \times \text{दर्पण की गति} = 2 \times 10\,cm/sec = 20\,cm/sec$.

(C) जब दो समतल दर्पण $\theta$ कोण पर झुके होते हैं,तो बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ होता है,बशर्ते $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ एक सम पूर्णांक हो।
यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$ है।
चूंकि $6$ एक सम पूर्णांक है,इसलिए प्रतिबिंबों की संख्या $n = 6 - 1 = 5$ होगी।

(D) एक समतल दर्पण वस्तु का आभासी प्रतिबिंब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर बनाता है जितनी दूरी पर वस्तु दर्पण के सामने होती है।
यहाँ वस्तु दर्पण के सामने $3\;m$ की दूरी पर है,इसलिए इसका प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $3\;m$ की दूरी पर बनेगा।
कैमरा दर्पण के सामने $4.5\;m$ की दूरी पर रखा गया है।
प्रतिबिंब का फोटोग्राफ लेने के लिए,कैमरे को प्रतिबिंब की स्थिति पर फोकस करना आवश्यक है।
कैमरे से प्रतिबिंब तक की कुल दूरी,कैमरे से दर्पण तक की दूरी और दर्पण से प्रतिबिंब तक की दूरी का योग है।
कुल दूरी $= 4.5\;m + 3\;m = 7.5\;m$.
इसलिए,कैमरे को $7.5\;m$ की दूरी के लिए फोकस किया जाना चाहिए।

(B) जब प्रकाश एक मोटे समतल दर्पण पर आपतित होता है,तो प्रकाश का एक छोटा हिस्सा सामने की सतह से परावर्तित होता है,जबकि एक बहुत बड़ा हिस्सा कांच में प्रवेश करता है,पीछे की चांदी वाली सतह पर कई आंतरिक परावर्तन से गुजरता है,और फिर सामने की सतह से बाहर निकलता है।
$1$. पहला परावर्तन सामने की सतह पर होता है,जो कांच-हवा का इंटरफेस है। अपवर्तनांक में अंतर कम होने के कारण,प्रकाश का केवल एक छोटा हिस्सा (आमतौर पर $4\%$ से $10\%$) परावर्तित होता है,जो पहला प्रतिबिंब बनाता है।
$2$. कांच में प्रवेश करने वाला प्रकाश पीछे की चांदी वाली सतह द्वारा परावर्तित होता है,जो एक अत्यधिक कुशल दर्पण के रूप में कार्य करती है। यह प्रकाश फिर कांच के माध्यम से वापस यात्रा करता है और सामने की सतह से बाहर निकलता है। चूंकि यह परावर्तन चांदी वाली सतह पर होता है,इसलिए प्रकाश का एक बहुत बड़ा हिस्सा परावर्तित होता है,जिससे दूसरा प्रतिबिंब सबसे चमकीला हो जाता है।
$3$. बाद के प्रतिबिंब और अधिक आंतरिक परावर्तन द्वारा बनते हैं,लेकिन हर बार जब प्रकाश बाहर निकलता है,तो आंशिक परावर्तन और अवशोषण के कारण इसकी तीव्रता काफी कम हो जाती है।
इसलिए,दूसरा प्रतिबिंब सबसे चमकीला होता है।

(B) $H$ ऊँचाई की वस्तु का पूर्ण प्रतिबिंब समतल दर्पण में देखने के लिए,आवश्यक दर्पण की न्यूनतम लंबाई $H/2$ होती है,जो दर्पण की दूरी से स्वतंत्र है।
यहाँ,व्यक्ति की ऊँचाई $H = 180\,cm$ है।
अतः,आवश्यक दर्पण की न्यूनतम लंबाई $L = H/2 = 180/2 = 90\,cm$ है।
आँखों की स्थिति पूर्ण प्रतिबिंब देखने के लिए आवश्यक दर्पण की न्यूनतम लंबाई को प्रभावित नहीं करती है,क्योंकि सिर के शीर्ष और पैरों से आने वाली किरणें परावर्तन के बाद आँखों तक पहुँचनी चाहिए। दर्पण को आँखों और सिर के शीर्ष के बीच के मध्य-बिंदु से लेकर आँखों और पैरों के बीच के मध्य-बिंदु तक की ऊर्ध्वाधर सीमा को कवर करना चाहिए।

(C) दो आसन्न दीवारें $\theta = 90^\circ$ के कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों के रूप में कार्य करती हैं। इन दो दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1 = \frac{360^\circ}{90^\circ} - 1 = 4 - 1 = 3$ है।
ये $3$ प्रतिबिंब और मूल व्यक्ति छत के दर्पण के लिए वस्तु के रूप में कार्य करते हैं। चूंकि छत का दर्पण फर्श के समानांतर है,इसलिए यह कमरे में रखी प्रत्येक वस्तु के लिए एक प्रतिबिंब बनाता है।
दीवारों से $3$ प्रतिबिंब और $1$ मूल व्यक्ति है,इस प्रकार छत के दर्पण के लिए कुल $4$ वस्तुएं हैं। छत का दर्पण इन वस्तुओं के $4$ प्रतिबिंब बनाता है।
इसलिए,बनने वाले कुल प्रतिबिंबों की संख्या $= 3$ (दीवारों से) $+ 4$ (छत के दर्पण से) $= 7$ प्रतिबिंब है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है। मीनार के आधार से दर्पण की दूरी $d = 60 \ m$ है।
मीनार के शीर्ष और उसके प्रतिबिंब द्वारा आँख पर बनाया गया कोण $90^\circ$ है। चूँकि दर्पण क्षैतिज है,दर्पण से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $45^\circ$ है (क्योंकि कुल कोण $90^\circ$ है और प्रतिबिंब दर्पण के नीचे समान गहराई पर बनता है)।
मीनार और दर्पण द्वारा निर्मित त्रिभुज की ज्यामिति से,हमारे पास है:
$\tan 45^\circ = \frac{\text{मीनार की ऊँचाई}}{\text{मीनार से दूरी}} = \frac{h}{60}$
चूँकि $\tan 45^\circ = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$1 = \frac{h}{60}$
$h = 60 \ m$.

(D) आपतन कोण $i$ का मान $30^\circ$ दिया गया है।
जब प्रकाश की किरण एक समतल दर्पण से परावर्तित होती है,तो परावर्तन कोण $r$ आपतन कोण $i$ के बराबर होता है,इसलिए $r = 30^\circ$।
किरण द्वारा मुड़ा गया कुल कोण (विचलन $\delta$) सूत्र $\delta = 180^\circ - (i + r)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\delta = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
वैकल्पिक रूप से,समतल दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = 180^\circ - 2i = 180^\circ - 2(30^\circ) = 120^\circ$ है।

(A) जब प्रकाश की किरण समतल दर्पण पर लंबवत आपतित होती है,तो आपतन कोण $(i)$ आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण होता है। चूंकि किरण लंबवत आपतित हो रही है,यह अभिलंब के अनुदिश है,इसलिए $i = 0^\circ$ है।
परावर्तन के नियमों के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है $(i = r)$।
अतः,परावर्तन कोण $r = 0^\circ$ होगा।

(C) माना आपतित किरण को सदिश $\vec{v} = (l, m, n)$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
जब कोई किरण $x$-अक्ष के लंबवत दर्पण से परावर्तित होती है,तो वेग सदिश का $x$-घटक अपना चिह्न बदल लेता है: $(l, m, n) \rightarrow (-l, m, n)$।
तीन परस्पर लंबवत दर्पणों (क्रमशः $x, y,$ और $z$ अक्ष के लंबवत) से परावर्तन के बाद,किरण की अंतिम दिशा $(-l, -m, -n) = -\vec{v}$ हो जाती है।
आपतित किरण $\vec{v}$ और परावर्तित किरण $-\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot (-\vec{v})}{ |\vec{v}| |-\vec{v}| } = -1$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = 180^o$ है।
इसलिए,किरण आपतित किरण के प्रति-समानांतर (anti-parallel) हो जाती है।

(B) जब दो समतल दर्पण $90^{\circ}$ के कोण पर रखे जाते हैं,तो बनने वाली छवियों की संख्या $n = (360^{\circ}/\theta) - 1 = (360^{\circ}/90^{\circ}) - 1 = 3$ होती है।
मान लीजिए कि व्यक्ति दर्पणों के सापेक्ष $x$ और $y$ अक्ष पर $(x, y)$ स्थिति पर है।
तीन छवियां $(x, -y)$,$(-x, y)$,और $(-x, -y)$ स्थितियों पर बनती हैं।
$1$. $(x, -y)$ पर बनी छवि एक दर्पण में परावर्तन द्वारा बनती है; इसमें पार्श्व व्युत्क्रमण (lateral inversion) होता है,इसलिए दाहिना हाथ बायां हाथ दिखाई देता है।
$2$. $(-x, y)$ पर बनी छवि दूसरे दर्पण में परावर्तन द्वारा बनती है; इसमें भी पार्श्व व्युत्क्रमण होता है,इसलिए दाहिना हाथ बायां हाथ दिखाई देता है।
$3$. $(-x, -y)$ पर बनी छवि दो क्रमिक परावर्तनों (प्रत्येक दर्पण में एक) द्वारा बनती है। प्रत्येक परावर्तन पार्श्व व्युत्क्रमण पैदा करता है। दो पार्श्व व्युत्क्रमण एक-दूसरे के प्रभाव को रद्द कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक सीधी छवि प्राप्त होती है जहाँ दाहिना हाथ दाहिना ही दिखाई देता है।
इसलिए,केवल $1$ छवि में वह अपने दाहिने हाथ का उपयोग करते हुए दिखाई देगा।

(C) जब एक समतल दर्पण को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो परावर्तित किरण $2\theta$ कोण से घूम जाती है। हालाँकि,समतल दर्पण द्वारा बने प्रतिबिंब का आकार केवल वस्तु के आकार और दर्पण से वस्तु की दूरी पर निर्भर करता है। यह दर्पण के घूमने के कोण से स्वतंत्र होता है। इसलिए,प्रतिबिंब का आकार समान रहता है।

(B) दर्पण का आवर्धन $m$,प्रतिबिंब की ऊँचाई $(h_i)$ और वस्तु की ऊँचाई $(h_o)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $m = h_i / h_o$ द्वारा दिया जाता है।
समतल दर्पण के लिए,बना हुआ प्रतिबिंब आभासी,सीधा और वस्तु के आकार के बराबर होता है।
चूँकि प्रतिबिंब सीधा है,इसलिए आवर्धन धनात्मक होता है।
चूँकि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार के बराबर है $(h_i = h_o)$,इसलिए अनुपात $h_i / h_o = 1$ होता है।
अतः,समतल दर्पण द्वारा उत्पन्न आवर्धन $m = + 1$ है।

(C) दर्पण और क्षैतिज सतह के बीच का कोण $30^\circ$ है।
आपतित किरण ऊर्ध्वाधर है,जिसका अर्थ है कि यह क्षैतिज के साथ $90^\circ$ का कोण बनाती है।
आपतित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण और परावर्तन कोण बराबर होते हैं।
चूंकि आपतन कोण (आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण) $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ है,इसलिए परावर्तन कोण (परावर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण) भी $30^\circ$ होगा।
अतः,परावर्तित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ है।

(A) दर्पण में दिखाई देने वाला समय ज्ञात करने के लिए,दिए गए समय को $11:60$ (जो $12:00$ के बराबर है) में से घटाएं।
दिया गया समय = $3:25$।
दर्पण में समय = $11:60 - 3:25 = 8:35$।
अतः,दर्पण में दिखाई देने वाला समय $8:35$ होगा।

(C) माना प्रेक्षक (वस्तु) का वेग $v_o = -6\;m/s$ है (दर्पण से दूर जा रहा है)।
यदि दर्पण स्थिर है,तो समतल दर्पण द्वारा बने प्रतिबिंब का वेग $v_i$ वस्तु के वेग के बराबर और विपरीत दिशा में होता है। अतः,$v_i = +6\;m/s$।
प्रेक्षक के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $v_{io} = v_i - v_o$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_{io} = 6 - (-6) = 6 + 6 = 12\;m/s$।

(B) समतल दर्पण के लिए,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर बनता है जितनी दूरी पर वस्तु दर्पण के सामने होती है।
यदि वस्तु $v$ गति से दर्पण की ओर चलती है,तो प्रतिबिंब भी दर्पण के सापेक्ष उसी गति $v$ से दर्पण की ओर चलता है।
यहाँ,व्यक्ति (वस्तु) की गति $v = 15 \ m/s$ दी गई है।
अतः,दर्पण के सापेक्ष उसके प्रतिबिंब की गति $15 \ m/s$ होगी।

(C) समतल दर्पण के लिए,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर बनता है जितनी दूरी पर वस्तु दर्पण के सामने होती है।
यह दिया गया है कि वस्तु दर्पण के सामने $10\, cm$ की दूरी पर है,इसलिए प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $10\, cm$ की दूरी पर बनेगा।
आप दर्पण के सामने $30\, cm$ की दूरी पर खड़े हैं।
आपकी आँख से प्रतिबिंब तक की कुल दूरी दर्पण से आपकी दूरी और दर्पण के पीछे प्रतिबिंब की दूरी का योग है।
दूरी $= 30\, cm + 10\, cm = 40\, cm$.
इसलिए,आपकी आँख को $40\, cm$ की दूरी पर केंद्रित करना होगा।

(B) समतल दर्पण के लिए,दर्पण से वस्तु की दूरी,दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी के बराबर होती है।
दिया गया है,दर्पण से वस्तु की दूरी = $0.5 \ m$।
अतः,दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी = $0.5 \ m$।
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी,दर्पण से वस्तु की दूरी और दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी का योग होती है।
कुल दूरी = $0.5 \ m + 0.5 \ m = 1 \ m$।

(B) मान लीजिए कि व्यक्ति का वेग $v_m = +15 \, m/s$ है (दर्पण की ओर)।
चूंकि समतल दर्पण में प्रतिबिंब समान गति के साथ विपरीत दिशा में चलता है,इसलिए प्रतिबिंब का वेग $v_i = -15 \, m/s$ होगा।
व्यक्ति के सापेक्ष प्रतिबिंब का सापेक्ष वेग $v_{im} = v_i - v_m$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $v_{im} = -15 - 15 = -30 \, m/s$ प्राप्त होता है।
गति सापेक्ष वेग का परिमाण है,जो $|-30| = 30 \, m/s$ है।

(B) समतल दर्पण वास्तविक प्रतिबिंब तभी बनाता है जब आपतित किरणें अभिसारी (converging) हों।
इस स्थिति में,वह बिंदु जहाँ किरणें अभिसरित होतीं (यदि दर्पण मौजूद नहीं होता),दर्पण के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
तब परावर्तित किरणें वास्तव में दर्पण के सामने एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,जिससे एक वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
यह दी गई आकृति में दिखाया गया है जहाँ आभासी वस्तु $O$ वास्तविक प्रतिबिंब $I$ के निर्माण की ओर ले जाती है।

(C) $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ है, बशर्ते $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ एक सम पूर्णांक हो।
यहाँ $\theta = 72^{\circ}$ दिया गया है।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{360^{\circ}}{72^{\circ}} = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $5$ एक विषम पूर्णांक है, इसलिए प्रतिबिंबों की संख्या वस्तु की स्थिति पर निर्भर करती है। यदि वस्तु को सममित रूप से रखा जाए, तो प्रतिबिंबों की संख्या $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1 = 5 - 1 = 4$ होगी।
अतः, प्रतिबिंबों की संख्या $4$ है।

(C) $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र है:
$n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$
दिया गया है कि प्रतिबिंबों की संख्या $n = 3$ है, इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$3 = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$
$3 + 1 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$4 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$\theta = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$
अतः, दर्पणों को $90^\circ$ के कोण पर रखा जाना चाहिए।

(C) $h$ ऊँचाई की वस्तु का समतल दर्पण में पूर्ण प्रतिबिंब देखने के लिए,सिर के ऊपरी हिस्से और पैरों से आने वाली प्रकाश की किरणें आँखों तक पहुँचनी चाहिए।
परावर्तन के नियमों और समरूप त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके,यह सिद्ध किया जा सकता है कि दर्पण की न्यूनतम आवश्यक ऊँचाई व्यक्ति की ऊँचाई की आधी होनी चाहिए।
अतः,दर्पण की न्यूनतम ऊँचाई $\frac{h}{2}$ है।

(C) दो समतल दर्पणों द्वारा $\theta$ कोण पर झुके होने पर बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ है,बशर्ते $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ एक पूर्णांक हो।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है।
मान की गणना करने पर: $\frac{360^{\circ}}{45^{\circ}} = 8$ प्राप्त होता है।
चूँकि $8$ एक सम पूर्णांक है,इसलिए प्रतिबिंबों की संख्या $n = 8 - 1 = 7$ होगी।

(A) जब एक समतल दर्पण को उसके तल में स्थित अक्ष के परितः $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो परावर्तित किरण उसी दिशा में $2\theta$ कोण से घूम जाती है।
पेरिस्कोप में दो दर्पण होते हैं। यदि केवल एक दर्पण को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो उस दर्पण से परावर्तित किरण $2\theta$ से विचलित हो जाती है। चूंकि दूसरा दर्पण स्थिर है,इसलिए अंतिम निर्गत किरण भी अपनी मूल दिशा से $2\theta$ से विचलित हो जाएगी।

(B) फोकस दूरी $f$ और वक्रता त्रिज्या $R$ के बीच का संबंध $f = \frac{R}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
समतल दर्पण के लिए,सतह समतल होती है,जिसका अर्थ है कि इसे अनंत वक्रता त्रिज्या $(R = \infty)$ वाले गोले के एक भाग के रूप में माना जा सकता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $f = \frac{\infty}{2} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल दर्पण की फोकस दूरी अनंत होती है।

(C) माना दूसरे दर्पण से परावर्तन के बाद पहले दर्पण पर आवश्यक आपतन कोण $\theta$ है।
आकृति की ज्यामिति से:
$1$. निचले दर्पण पर पहले आपतन बिंदु $C$ पर,आपतन कोण $50^{\circ}$ है। अतः,परावर्तन कोण भी $50^{\circ}$ है। परावर्तित किरण दर्पण की सतह के साथ $90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$ का कोण बनाती है।
$2$. $\Delta ABC$ में,जहाँ $\angle A = 60^{\circ}$ और $C$ पर कोण $40^{\circ}$ है,शीर्ष $B$ पर कोण $\alpha = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 40^{\circ}) = 80^{\circ}$ है।
$3$. किरण दूसरे दर्पण से $B$ पर टकराती है। $B$ पर आपतन कोण $\beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 80^{\circ} = 10^{\circ}$ है।
$4$. किरण $B$ से परावर्तित होती है और फिर से बिंदु $D$ पर पहले दर्पण से टकराती है। $\Delta ABD$ में,$A$ पर कोण $60^{\circ}$ है। $B$ पर कोण $\angle ABD = \alpha + \beta = 80^{\circ} + 10^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
$5$. $\Delta ABD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ है। अतः,$60^{\circ} + 90^{\circ} + (90^{\circ} - \theta) = 180^{\circ}$ है।
$6$. $\theta$ के लिए हल करने पर: $240^{\circ} - \theta = 180^{\circ} \implies \theta = 70^{\circ}$।

(D) समतल दर्पण अपने सामने रखी वस्तु का एक आभासी प्रतिबिंब बनाता है। यद्यपि प्रतिबिंब आभासी होता है,लेकिन यह उन प्रकाश किरणों के परावर्तन से बनता है जो वास्तव में दर्पण की सतह से अपसरित होती हैं। जब कैमरे को दर्पण के सामने रखा जाता है,तो ये परावर्तित किरणें कैमरे के लेंस में प्रवेश करती हैं और फिल्म या सेंसर पर केंद्रित हो जाती हैं,जिससे सेंसर पर आभासी वस्तु का एक वास्तविक प्रतिबिंब बन जाता है। इस प्रकार,समतल दर्पण द्वारा निर्मित आभासी प्रतिबिंब को फोटोग्राफ किया जा सकता है। विकल्प $D$ सही है।

(D) मान लीजिए दर्पण $AB$ है जिसकी लंबाई $d$ है। प्रकाश स्रोत $S$ दर्पण से $L$ दूरी पर है। व्यक्ति दर्पण से $2L$ दूरी पर चलता है।
$1$. स्रोत $S$ का प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $L$ दूरी पर बनता है। मान लीजिए यह प्रतिबिंब $S'$ है।
$2$. स्रोत $S$ से आने वाली किरणें दर्पण के किनारों $A$ और $B$ से परावर्तित होती हैं। ये परावर्तित किरणें $S'$ से आती हुई प्रतीत होती हैं।
$3$. दृष्टि का क्षेत्र दर्पण के किनारों $A$ और $B$ से गुजरने वाली किरणों द्वारा निर्धारित होता है।
$4$. समरूप त्रिभुजों के सिद्धांत के अनुसार,दर्पण से $2L$ दूरी पर दृष्टि क्षेत्र की चौड़ाई $3d$ प्राप्त होती है।
$5$. विशेष रूप से,व्यक्ति के पथ पर अंतिम किरणों के बीच की दूरी $GJ = GH + HI + IJ$ है। चूंकि $HI = d$ और $GH = IJ = d$,इसलिए कुल दूरी $3d$ है।

(B) मान लीजिए कि दो दर्पणों के बीच की दूरी $h = 0.2 \ m$ है और दर्पणों की लंबाई $L = 2\sqrt{3} \ m$ है।
आपतन कोण $i = 30^\circ$ है।
जब किरण दो समानांतर दर्पणों के बीच परावर्तित होती है,तो दो क्रमिक परावर्तनों के बीच किरण द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = h \tan(i) = 0.2 \tan(30^\circ) = 0.2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \ m$.
बाहर निकलने से पहले किरण द्वारा तय की गई कुल क्षैतिज दूरी $L = 2\sqrt{3} \ m$ है।
परावर्तनों की संख्या $n$,कुल लंबाई और प्रति परावर्तन क्षैतिज दूरी के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$n = \frac{L}{d} = \frac{2\sqrt{3}}{0.2 / \sqrt{3}} = \frac{2 \times 3}{0.2} = \frac{6}{0.2} = 30$.
अतः,परावर्तनों की अधिकतम संख्या $30$ है।

(A) जब एक समतल दर्पण $\theta$ कोण से घूमता है,तो परावर्तित किरण $2\theta$ कोण से घूमती है।
यदि दर्पण $n$ चक्कर प्रति सेकंड की आवृत्ति से घूमता है,तो इसका कोणीय वेग $\omega_m = 2\pi n$ rad/s होता है।
परावर्तित किरण का कोणीय वेग $\omega_r = 2\omega_m = 2(2\pi n) = 4\pi n$ rad/s होता है।
$R$ त्रिज्या वाले गोलाकार पर्दे पर प्रकाश के धब्बे की रैखिक गति $v = R \omega_r$ द्वारा दी जाती है।
$\omega_r$ का मान रखने पर,हमें $v = R(4\pi n) = 4\pi nR$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि कीड़े का वेग फर्श के विकर्ण के अनुदिश $v$ है। विकर्ण आसन्न दीवारों के साथ $45^\circ$ का कोण बनाता है।
जब कोई वस्तु समतल दर्पण के साथ $\theta$ कोण पर $v$ वेग से गति करती है,तो उसके प्रतिबिंब का दर्पण के लंबवत घटक $v \sin \theta$ (दर्पण की ओर) और दर्पण के समानांतर घटक $v \cos \theta$ होता है।
यहाँ,कीड़ा दीवार के साथ $45^\circ$ के कोण पर $v$ वेग से गति करता है,इसलिए दीवार के लंबवत वेग का घटक $v \sin 45^\circ$ है। प्रतिबिंब विपरीत दिशा में समान लंबवत घटक के साथ गति करता है।
यह दिया गया है कि दीवार दर्पण पर प्रतिबिंब का वेग $10 \, cm \, s^{-1}$ है,जो दर्पण के लंबवत कीड़े के वेग के घटक को संदर्भित करता है,अर्थात $v \sin 45^\circ = 10 \, cm \, s^{-1}$।
अतः,$v \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10$,जिससे $v = 10\sqrt{2} \, cm \, s^{-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि छत का दर्पण फर्श के समानांतर है,इसलिए छत के दर्पण में कीड़े के प्रतिबिंब का वेग कीड़े के अपने वेग के बराबर होगा,जो $v = 10\sqrt{2} \, cm \, s^{-1}$ है।

(D) दीवार $CD$ एक समतल दर्पण के रूप में कार्य करती है। $A$ पर स्थित वस्तु का प्रतिबिंब दर्पण $CD$ के पीछे,$A$ से $CD$ की दूरी के बराबर दूरी पर बनेगा। चूंकि कमरा $3\,m$ भुजा वाला एक घन है,इसलिए $A$ की $CD$ से दूरी $3\,m$ है। इस प्रकार,प्रतिबिंब $I$,दीवार $CD$ के पीछे $3\,m$ की दूरी पर बनता है।
कैमरा दीवार $AB$ के मध्य बिंदु पर है। दीवार $CD$ से कैमरे की लंबवत दूरी $3\,m$ है। $A$ से गुजरने वाली और $CD$ के लंबवत रेखा से कैमरे की क्षैतिज दूरी $1.5\,m$ है।
कैमरे से प्रतिबिंब $I$ की दूरी एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है,जिसका आधार $1.5\,m$ और ऊंचाई $(3\,m + 3\,m) = 6\,m$ है।
दूरी $= \sqrt{(6)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{36 + 2.25} = \sqrt{38.25} \approx 6.18\,m$.
इसलिए,कैमरे को लगभग $6.18\,m$ की दूरी पर फोकस किया जाना चाहिए,जो $6\,m$ से अधिक है।

(D) माना व्यक्ति का वेग $v_p = u$ है और साइकिल (तथा दर्पण) का वेग $v_m = v$ है।
चूंकि व्यक्ति साइकिल की ओर गति कर रहा है,दर्पण के सापेक्ष व्यक्ति का आपेक्षिक वेग $v_{rel} = v_p - v_m = u - v$ होगा।
जब कोई वस्तु समतल दर्पण की ओर $v_{rel}$ आपेक्षिक वेग से गति करती है,तो प्रतिबिंब वस्तु की ओर $2v_{rel}$ के वेग से गति करता है।
अतः,वह चाल जिससे व्यक्ति अपने प्रतिबिंब की ओर आगे बढ़ता है,$2(u - v)$ है।

(C) मान लीजिए कि बिंदु स्रोत की दीप्ति तीव्रता (luminous intensity) $L$ है।
दर्पण के बिना,स्रोत और स्क्रीन के बीच की दूरी $r$ है। स्क्रीन पर प्रदीप्ति $I_1 = \frac{L}{r^2}$ द्वारा दी जाती है।
दर्पण के साथ,स्क्रीन को स्रोत से सीधा प्रकाश और दर्पण द्वारा बने प्रतिबिंब से प्रकाश प्राप्त होता है। स्रोत दर्पण से $r$ दूरी पर है,इसलिए इसका प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $r$ दूरी पर बनता है। प्रतिबिंब से स्क्रीन की दूरी $r + r + r = 3r$ है।
दर्पण के साथ स्क्रीन पर प्रदीप्ति $I_2$,स्रोत और प्रतिबिंब से प्राप्त प्रदीप्ति का योग है:
$I_2 = \frac{L}{r^2} + \frac{L}{(3r)^2} = \frac{L}{r^2} + \frac{L}{9r^2} = \frac{L}{r^2} \left(1 + \frac{1}{9}\right) = \frac{10}{9} \frac{L}{r^2}$.
अतः,प्रदीप्ति का अनुपात है:
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{\frac{10}{9} \frac{L}{r^2}}{\frac{L}{r^2}} = \frac{10}{9} = 10:9$.

(D) आपतन कोण $i = 30^\circ$ दिया गया है।
जब प्रकाश की किरण एक समतल दर्पण पर आपतित होती है,तो परावर्तन कोण $r$ आपतन कोण $i$ के बराबर होता है,इसलिए $r = 30^\circ$।
समतल दर्पण द्वारा उत्पन्न कुल विचलन $\delta$ का सूत्र $\delta = 180^\circ - (i + r)$ होता है।
चूंकि $i = r$,इसलिए सूत्र $\delta = 180^\circ - 2i$ हो जाता है।
$i$ का मान रखने पर:
$\delta = 180^\circ - 2(30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
अतः,दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन $120^\circ$ है।

(B) दर्पण से वस्तु की प्रारंभिक दूरी $u = 100 \; cm$ है।
चूंकि दर्पण $v = 10 \; cm/s$ की गति से वस्तु की ओर बढ़ता है,इसलिए $t = 6 \; s$ में दर्पण द्वारा तय की गई दूरी $d = v \times t = 10 \times 6 = 60 \; cm$ है।
$6 \; s$ के बाद,वस्तु और दर्पण के बीच की नई दूरी $u' = 100 - 60 = 40 \; cm$ होगी।
समतल दर्पण में,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर बनता है जितनी दूरी पर वस्तु दर्पण के सामने होती है।
अतः,दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी भी $40 \; cm$ होगी।
वस्तु और उसके प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी,वस्तु की दर्पण से दूरी और प्रतिबिंब की दर्पण से दूरी का योग है: $40 \; cm + 40 \; cm = 80 \; cm$।

(A) दर्पण प्रतिबिंब से वास्तविक समय ज्ञात करने के लिए,देखे गए समय को $11:60$ (या $12:00$) में से घटाएं।
वास्तविक समय = $11:60 - 8:20 = 3:40$.
अतः,घड़ी में वास्तविक समय $3:40$ होगा।

(D) दो समतल दर्पणों के बीच $\theta$ कोण पर बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या का सूत्र $n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$ है यदि $\frac{360^\circ}{\theta}$ एक सम पूर्णांक है,और $n = \frac{360^\circ}{\theta}$ यदि $\frac{360^\circ}{\theta}$ एक विषम पूर्णांक है।
दो समानांतर दर्पणों के लिए,उनके बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $\frac{360^\circ}{0^\circ} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,अनंत संख्या में प्रतिबिंब बनते हैं।

(B) माना व्यक्ति का वेग $\vec{v} = v \cos\theta \hat{i} + v \sin\theta \hat{j}$ है,जहाँ दर्पण $yz$-तल में है और अभिलंब $x$-अक्ष के अनुदिश है।
प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_i = -v \cos\theta \hat{i} + v \sin\theta \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यक्ति के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_{im} = \vec{v}_i - \vec{v}_m = (-v \cos\theta - v \cos\theta) \hat{i} + (v \sin\theta - v \sin\theta) \hat{j} = -2v \cos\theta \hat{i}$ है।
इस सापेक्ष वेग का परिमाण $|\vec{v}_{im}| = 2v \cos\theta$ है।

(B) जब प्रकाश की एक किरण $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों से क्रमिक रूप से परावर्तित होती है,तो उत्पन्न कुल विचलन $\delta$ का सूत्र $\delta = 360^o - 2\theta$ होता है।
यहाँ,दर्पणों के बीच का झुकाव कोण $\theta = 40^o$ है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$\delta = 360^o - 2(40^o)$
$\delta = 360^o - 80^o$
$\delta = 280^o$.
नोट: जब किरण दोनों दर्पणों से परावर्तित होती है,तो पहले दर्पण पर आपतन कोण कुल विचलन को प्रभावित नहीं करता है।

(D) वस्तु को समतल दर्पण के सामने रखा गया है। मान लीजिए कि दर्पण से वस्तु की दूरी $d$ है। चूँकि वस्तु का आकार $10\, cm$ है,हम दर्पण से उसके केंद्र की दूरी पर विचार करते हैं। प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $d$ दूरी पर बनता है।
व्यक्ति वस्तु के पीछे $30\, cm$ की दूरी पर खड़ा है,इसलिए दर्पण से व्यक्ति की कुल दूरी $d + 30\, cm$ है।
प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $d$ दूरी पर बनता है।
व्यक्ति की आँखों से प्रतिबिंब की दूरी,दर्पण से व्यक्ति की दूरी और दर्पण के पीछे प्रतिबिंब की दूरी का योग है।
दूरी $= (d + 30) + d = 2d + 30$.
यदि वस्तु को दर्पण के बहुत करीब $(d \approx 5\, cm)$ रखा गया है,तो दूरी $2(5) + 30 = 40\, cm$ होगी।
अतः,व्यक्ति को अपनी आँखों को $40\, cm$ की दूरी पर केंद्रित करना चाहिए।

(C) दो समतल दर्पणों द्वारा $\theta$ कोण पर झुके होने पर बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $n = \frac{360^{\circ}}{45^{\circ}} - 1$.
$n = 8 - 1 = 7$.
अतः,कुल $7$ प्रतिबिंब बनेंगे।

(B) जब एक समतल दर्पण को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो परावर्तित किरण $2\theta$ कोण से घूम जाती है।
यहाँ दर्पण का कोणीय वेग $\omega = 3 \; rad/s$ दिया गया है।
परावर्तित किरण का कोणीय वेग $\omega'$ संबंध $\omega' = 2\omega$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\omega' = 2 \times 3 = 6 \; rad/s$।