Refraction by Lenses Questions in Hindi

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में लेंस के लिए ($f_a = 4 \; cm$,$\mu_g = 1.4$): $\frac{1}{4} = (1.4 - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
अतः,$K = \frac{0.4}{4} = 0.1$.
जब इसे $1.6$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो नई फोकल लंबाई $f_l$ के लिए: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f_l} = (\frac{1.4}{1.6} - 1) \times 0.1$.
$\frac{1}{f_l} = (0.875 - 1) \times 0.1 = -0.125 \times 0.1 = -0.0125$.
$f_l = \frac{1}{-0.0125} = -80$ (नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार गणना करने पर $\frac{f_l}{f_a} = \frac{(\mu_g - 1)}{(\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)}$ का उपयोग करने पर $f_l = -12.8 \; cm$ प्राप्त होता है)।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
हवा में द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = 15 \ cm$ और $R_2 = -15 \ cm$ है। दिया गया है $\mu_g = 1.6$,हवा में फोकस दूरी $(f_a)$:
$\frac{1}{f_a} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{-15} \right) = 0.6 \times \frac{2}{15} = \frac{1.2}{15} = \frac{1}{12.5}$.
अतः,$f_a = 12.5 \ cm$.
जब इसे $\mu_l = 1.63$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu_{gl} = \frac{\mu_g}{\mu_l} = \frac{1.6}{1.63}$ होता है।
द्रव में फोकस दूरी $(f_l)$:
$\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{(\mu_g - 1)}{(\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)} = \frac{1.6 - 1}{\frac{1.6}{1.63} - 1} = \frac{0.6}{\frac{1.6 - 1.63}{1.63}} = \frac{0.6 \times 1.63}{-0.03} = -20 \times 1.63 = -32.6$.
$f_l = -32.6 \times 12.5 = -407.5 \ cm$.

(B) चित्र में दिखाया गया लेंस एक उत्तल लेंस है। हवा में,एक उत्तल लेंस अभिसारी (converging) होता है। हालाँकि,चित्र में दिखाया गया है कि समानांतर प्रकाश किरणें लेंस से गुजरने के बाद अपसारी (diverging) हो रही हैं।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$n_2$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में रखे $n_1$ अपवर्तनांक वाले लेंस की फोकस दूरी $f$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{f} = (\frac{n_1}{n_2} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
उत्तल लेंस के लिए,$(1/R_1 - 1/R_2) > 0$ होता है।
यदि लेंस एक अपसारी लेंस के रूप में व्यवहार करता है (किरणें फैलती हैं),तो $f < 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $(\frac{n_1}{n_2} - 1) < 0$,जिसका मतलब है कि $\frac{n_1}{n_2} < 1$,या $n_2 > n_1$।
अतः,आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक $n_2$,लेंस सामग्री के अपवर्तनांक $n_1$ से अधिक होना चाहिए।

(B) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
दिया गया है: $f = +10 \ cm$,$\mu = 1.5$,$R_1 = +7.5 \ cm$.
मान रखने पर: $\frac{1}{10} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{7.5} - \frac{1}{R_2} \right)$.
$0.1 = 0.5 \left( \frac{1}{7.5} - \frac{1}{R_2} \right)$.
$0.2 = \frac{1}{7.5} - \frac{1}{R_2}$.
$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{7.5} - 0.2$.
$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{7.5} - \frac{1}{5} = \frac{2 - 3}{15} = -\frac{1}{15}$.
अतः,$R_2 = -15 \ cm$. वक्रता त्रिज्या का परिमाण $15 \ cm$ है।

(C) आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f + u}$ है।
आभासी प्रतिबिंब के लिए,$m = +3$ और $u = -8 \ cm$। इन मानों को रखने पर: $3 = \frac{f}{f - 8} \implies 3f - 24 = f \implies 2f = 24 \implies f = 12 \ cm$.
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$m = -3$ और $u = -16 \ cm$। इन मानों को रखने पर: $-3 = \frac{f}{f - 16} \implies -3f + 48 = f \implies 4f = 48 \implies f = 12 \ cm$.
चूंकि $f = 12 \ cm$ है,इसलिए यह $8 \ cm$ और $16 \ cm$ के बीच स्थित है।

(C) एक उत्तल लेंस के लिए,जब किसी वस्तु को पर्दे पर वास्तविक प्रतिबिंब बनाने के लिए दो अलग-अलग स्थितियों में रखा जाता है,तो विस्थापन विधि का उपयोग किया जाता है।
मान लीजिए कि वस्तु की ऊँचाई $O$ है,और दोनों स्थितियों में बने प्रतिबिंबों की ऊँचाई $I_1$ और $I_2$ है।
वस्तु की ऊँचाई और प्रतिबिंबों की ऊँचाई के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $O = \sqrt{I_1 \times I_2}$।
दिया गया है: $I_1 = 8 \ cm$ और $I_2 = 2 \ cm$।
मान रखने पर: $O = \sqrt{8 \times 2} = \sqrt{16} = 4 \ cm$।
अतः,वस्तु की ऊँचाई $4 \ cm$ है।

(C) लेंस की शक्ति को उसकी फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,जब फोकस दूरी मीटर में हो।
गणितीय रूप से,$P = \frac{1}{f(m)}$.
फोकस शक्ति का $SI$ मात्रक डायोप्टर है,जिसे $D$ द्वारा दर्शाया जाता है।
एक डायोप्टर $1 \ m^{-1}$ के बराबर होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
वायु में,$\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) K = 0.5 K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
दिया गया है $f_a = 12 \ cm$,इसलिए $\frac{1}{12} = 0.5 K$,जिसका अर्थ है $K = \frac{1}{6}$.
जब पानी में डुबोया जाता है,तो पानी के सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{1.5}{4/3} = \frac{1.5 \times 3}{4} = \frac{4.5}{4} = 1.125$ होता है।
नई फोकस दूरी $f_w$ के लिए,$\frac{1}{f_w} = (\mu_{rel} - 1) K = (1.125 - 1) \times \frac{1}{6} = 0.125 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{48}$.
अतः,$f_w = 48 \ cm$.

(D) अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f = -16 \ cm$ है।
चूंकि प्रकाश किरणें लेंस के पीछे बिंदु $P$ पर अभिसरित हो रही हैं,इसलिए लेंस के लिए वस्तु एक आभासी वस्तु है।
अतः,वस्तु की दूरी $u = +12 \ cm$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$
मान रखने पर: $\frac{1}{-16} = \frac{1}{v} - \frac{1}{12}$
$v$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16}$
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर: $\frac{1}{v} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$
इस प्रकार,$v = 48 \ cm$ प्राप्त होता है।
अतः,किरण पुंज लेंस से $x = 48 \ cm$ की दूरी पर अभिसरित होती है।

(A) उत्तल लेंस के लिए, आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ होता है।
चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है, आवर्धन ऋणात्मक होता है, इसलिए $m = -|m|$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ है।
$v = mu$ को लेंस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-mu} - \frac{1}{u} = -\frac{1+m}{mu}$।
अतः, $u = -\left( \frac{m+1}{m} \right)f$। दूरी $u$ का परिमाण है, जो $\left( \frac{m+1}{m} \right)f$ है।

(C) दिया गया है: लेंस का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5$,हवा का अपवर्तनांक $\mu_a = 1$,द्रव का अपवर्तनांक $\mu_l = \frac{4}{3}$,हवा में फोकस दूरी $f_a = 0.30 \ m = 30 \ cm$.
लेंस मेकर सूत्र के अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{(_a\mu_g - 1)}{(_l\mu_g - 1)}$
जहाँ $_a\mu_g = \frac{1.5}{1} = 1.5$ और $_l\mu_g = \frac{1.5}{4/3} = 1.5 \times \frac{3}{4} = 1.125$.
मान रखने पर:
$\frac{f_l}{30} = \frac{1.5 - 1}{1.125 - 1} = \frac{0.5}{0.125} = 4$.
अतः,$f_l = 30 \times 4 = 120 \ cm$.

(A) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
जहाँ $\mu_l$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $\mu_m$ आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है कि द्रव का अपवर्तनांक लेंस के अपवर्तनांक के बराबर है,इसलिए $\mu_m = \mu_l$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0$
चूंकि $\frac{1}{f} = 0$,इसलिए फोकस दूरी $f$ अनंत $(f \to \infty)$ हो जाती है।
इस स्थिति में,लेंस एक समतल कांच की प्लेट की तरह व्यवहार करता है और प्रकाश की किरणों को अभिसरित या अपसरित नहीं करता है।

(A) अपवर्तनांक $\mu$ और वक्रता त्रिज्या $R$ वाले एक समतलोत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र के अनुसार फोकस दूरी $f$ का मान $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (\mu - 1)(\frac{2}{R})$ होता है।
स्थिति $(i)$: जब लेंस को $XOX'$ के अनुदिश काटा जाता है,तो प्रत्येक आधे भाग की वक्रता त्रिज्या $R$ और $\infty$ रहती है। प्रत्येक आधे भाग की फोकस दूरी $f'$ का मान $\frac{1}{f'} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu - 1}{R}$ होता है। मूल सूत्र के साथ तुलना करने पर,हमें $f' = 2f$ प्राप्त होता है।
स्थिति $(ii)$: जब लेंस को $YOY'$ के अनुदिश काटा जाता है,तो प्रत्येक सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ और $-R$ रहती है। प्रत्येक आधे भाग की फोकस दूरी $f''$ का मान $\frac{1}{f''} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (\mu - 1)(\frac{2}{R})$ होता है। अतः,$f'' = f$ होता है।
इस प्रकार,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) सूर्य का कोणीय व्यास $\alpha = 0.5^o$ दिया गया है।
गणना में उपयोग करने के लिए,हम कोण को रेडियन में बदलते हैं:
$\alpha = 0.5 \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$.
उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f = 50 cm = 500 mm$ है।
फोकल तल पर बनने वाले प्रतिबिंब का व्यास $d$,संबंध $d = f \times \alpha$ (छोटे कोणों के लिए) द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$d = 500 \times (0.5 \times \frac{\pi}{180})$
$d = 500 \times (0.5 \times 0.01745)$
$d = 500 \times 0.008727$
$d \approx 4.36 mm$.
अतः,प्रतिबिंब का व्यास $4.36 mm$ है।

(C) लेंस द्वारा बनने वाले प्रतिबिंब का आकार उसकी फोकस दूरी और वस्तु की दूरी पर निर्भर करता है,जो द्वारक कम करने पर अपरिवर्तित रहते हैं। इसलिए,प्रतिबिंब के आकार पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
हालाँकि,प्रतिबिंब की तीव्रता लेंस के द्वारक के क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होती है,जो द्वारक की त्रिज्या के वर्ग के आनुपातिक होती है $(I \propto A^2)$।
जब द्वारक को आधा किया जाता है,तो लेंस का क्षेत्रफल उसके मूल मान का एक-चौथाई हो जाता है,जिससे प्रतिबिंब की तीव्रता कम हो जाती है।
अतः,कथन $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(C) किसी माध्यम में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f_m} = (\frac{n_l}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
चूंकि पानी का अपवर्तनांक $(n_w \approx 1.33)$ और तेल का अपवर्तनांक $(n_o > 1.33)$ दोनों हवा के अपवर्तनांक $(n_a \approx 1.0)$ से अधिक हैं,इसलिए जब लेंस को इन तरल पदार्थों में डुबोया जाता है तो सापेक्ष अपवर्तनांक $\frac{n_l}{n_m}$ कम हो जाता है।
परिणामस्वरूप,फोकस दूरी $f_m$ बढ़ जाती है,जिसका अर्थ है कि लेंस की शक्ति $(P = \frac{1}{f})$ कम हो जाती है।
इसलिए,हवा की तुलना में पानी और तेल दोनों में उत्तल लेंस की अभिसारी प्रकृति कम होती है।

(A) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
कॉशी के समीकरण के अनुसार,कम तरंग दैर्ध्य वाले प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $n$ अधिक होता है।
चूंकि दृश्य स्पेक्ट्रम में बैंगनी रंग की तरंग दैर्ध्य सबसे कम होती है,इसलिए यह लेंस सामग्री में सबसे अधिक अपवर्तनांक $n$ का अनुभव करता है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,पद $(n - 1)$ बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि फोकस दूरी $f$ कम हो जाती है।
इसलिए,बैंगनी रंग के लिए फोकस दूरी न्यूनतम होती है,जिससे यह लेंस के सबसे निकट केंद्रित होता है।

(C) आवर्धक लेंस के लिए,बनने वाला प्रतिबिंब आभासी और सीधा होता है। अतः,आवर्धन $m = +5$ है।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,$5 = \frac{v}{u}$,जिसका अर्थ है $v = 5u$।
दी गई वस्तु दूरी $u = -1 \text{ inch}$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
इसलिए,प्रतिबिंब दूरी $v = 5 \times (-1) = -5 \text{ inch}$ होगी।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-5} - \frac{1}{-1} = -0.2 + 1 = 0.8$।
अतः,$f = \frac{1}{0.8} = 1.25 \text{ inch}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -10 \ cm$, प्रतिबिंब की दूरी $v = +20 \ cm$ (चूंकि प्रतिबिंब लेंस के पीछे है, इसलिए यह वास्तविक है)।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{20} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1+2}{20} = \frac{3}{20} \ cm^{-1}$.
अतः, फोकस दूरी $f = \frac{20}{3} \ cm$.
लेंस की शक्ति $P$ डायोप्टर में $P = \frac{100}{f (cm \text{ में})}$ द्वारा दी जाती है。
$P = \frac{100}{20/3} = \frac{100 \times 3}{20} = 5 \times 3 = +15 \ D$.

(D) अभिसारी लेंस के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{u + f}$ है।
चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है,इसलिए आवर्धन $m$ ऋणात्मक होगा,अतः $m = -2$ है।
अभिसारी लेंस की फोकस दूरी $f$ धनात्मक होती है,इसलिए $f = 20 \ cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $-2 = \frac{20}{u + 20}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $(u + 20)$ से गुणा करने पर,$-2(u + 20) = 20$ मिलता है।
$-2$ से विभाजित करने पर,$u + 20 = -10$ प्राप्त होता है।
अतः,$u = -10 - 20 = -30 \ cm$ है।
वस्तु को लेंस के सामने $30 \ cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(D) उत्तल लेंस के लिए, आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार का $1/2$ है, इसलिए आवर्धन $m = \pm 1/2$ हो सकता है।
स्थिति $1$: वास्तविक प्रतिबिंब के लिए, $m = -1/2$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ और $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $v = mu = -u/2$ है।
लेंस सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{30} = \frac{1}{-u/2} - \frac{1}{u} = -\frac{2}{u} - \frac{1}{u} = -\frac{3}{u}$।
अतः, $u = -3 \times 30 = -90 \ cm$।
दूरी $90 \ cm$ है।
स्थिति $2$: आभासी प्रतिबिंब के लिए, $m = +1/2$।
$\frac{1}{30} = \frac{1}{u/2} - \frac{1}{u} = \frac{2}{u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{u}$।
अतः, $u = 30 \ cm$।
चूंकि $90 \ cm$ विकल्प में दिया गया है, इसलिए सही उत्तर $90 \ cm$ है।

(C) लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
एक समतल-उत्तल लेंस के लिए,एक सतह समतल $(R_2 = \infty)$ और दूसरी वक्र $(R_1 = 60 \ cm)$ होती है।
दिया गया है: $\mu = 1.6$,$R_1 = 60 \ cm$,$R_2 = \infty$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{60} - \frac{1}{\infty} \right)$.
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,इसलिए:
$\frac{1}{f} = (0.6) \left( \frac{1}{60} \right) = \frac{0.6}{60} = \frac{6}{600} = \frac{1}{100}$.
अतः,$f = 100 \ cm$ प्राप्त होता है।

(D) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,समतल सतह की त्रिज्या $R_2 = \infty$ और उत्तल सतह की त्रिज्या $R_1 = 20 \ cm$ है।
दिया गया है $\mu = 1.5$.
मान रखने पर: $\frac{1}{F} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{\infty} \right)$.
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,इसलिए $\frac{1}{F} = 0.5 \times \frac{1}{20}$.
$\frac{1}{F} = \frac{0.5}{20} = \frac{1}{40}$.
अतः,$F = 40 \ cm$.

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,माध्यम में लेंस की फोकस दूरी $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होती है।
हवा में लेंस के लिए $(f_a)$,$\frac{1}{f_a} = (_a\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$,जहाँ $_a\mu_g = 1.5$ है।
जब इसे द्रव में रखा जाता है $(f_l)$,तो सापेक्ष अपवर्तनांक $_l\mu_g = \frac{\mu_g}{\mu_l} = \frac{1.5}{1.7} \approx 0.88$ हो जाता है।
अतः,$\frac{1}{f_l} = (_l\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = (0.88 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = -0.12 \left( \frac{2}{R} \right)$।
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{_a\mu_g - 1}{_l\mu_g - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{1.7} - 1} = \frac{0.5}{\frac{1.5 - 1.7}{1.7}} = \frac{0.5 \times 1.7}{-0.2} = -4.25$।
चूंकि अनुपात ऋणात्मक है,फोकस दूरी का चिह्न बदल जाता है (उत्तल से अवतल व्यवहार) और इसका परिमाण $4.25$ गुना बढ़ जाता है।

(B) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,फोकस दूरी $f$ का अपवर्तनांक $\mu$ के साथ संबंध $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$ होता है।
कॉची के विक्षेपण सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$)।
चूंकि बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे कम होती है $({\lambda_V} < {\lambda_G} < {\lambda_R})$,इसलिए बैंगनी प्रकाश के लिए अपवर्तनांक सबसे अधिक होता है $({\mu_V} > {\mu_G} > {\mu_R})$।
परिणामस्वरूप,फोकस दूरी अपवर्तनांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसका अर्थ है कि बैंगनी प्रकाश के लिए फोकस दूरी सबसे कम होती है।
अतः,सही संबंध ${f_V} < {f_G} < {f_R}$ है।

(B) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
चूंकि किसी पदार्थ का अपवर्तनांक $n$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है,इसलिए फोकस दूरी भी तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करती है।
कोशी के संबंध के अनुसार,कम तरंग दैर्ध्य (बैंगनी) के लिए अपवर्तनांक $n$ अधिक होता है और लंबी तरंग दैर्ध्य (लाल) के लिए कम होता है।
चूंकि $n_v > n_r$,इसलिए $(n - 1)$ का मान बैंगनी प्रकाश के लिए लाल प्रकाश की तुलना में अधिक होता है।
परिणामस्वरूप,फोकस दूरी $f$,$(n - 1)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसका अर्थ है कि $f_v < f_r$.
इसलिए,बैंगनी प्रकाश के लिए फोकस दूरी सबसे कम होती है।

(D) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दी जाती है। लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में,$P_a = (\mu_g - 1) K = -5 D$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
यहाँ $\mu_g = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $(1.5 - 1) K = -5$,जिसका अर्थ है $0.5 K = -5$,जिससे $K = -10$ प्राप्त होता है।
$1.6$ अपवर्तनांक वाले तरल माध्यम में,नई शक्ति $P_l = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$ होगी।
मान रखने पर: $P_l = (\frac{1.5}{1.6} - 1) \times (-10)$.
$P_l = (\frac{1.5 - 1.6}{1.6}) \times (-10) = (\frac{-0.1}{1.6}) \times (-10) = \frac{1}{1.6} = 0.625 D$.
चूंकि $0.625 D$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,फोकस दूरी $f$ को $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$।
कॉची के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\mu \propto \frac{1}{\lambda})$।
चूंकि बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_V)$ लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_R)$ से कम होती है,इसलिए बैंगनी प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $(\mu_V)$ लाल प्रकाश के अपवर्तनांक $(\mu_R)$ से अधिक होता है।
चूंकि $\mu_V > \mu_R$,इसलिए $(\mu_V - 1) > (\mu_R - 1)$ होता है।
चूंकि $f$,$(\mu - 1)$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए उच्च अपवर्तनांक का अर्थ है कम फोकस दूरी।
अतः,बैंगनी प्रकाश के लिए फोकस दूरी $(f_V)$,लाल प्रकाश की फोकस दूरी $(f_R)$ से कम होती है।

(B) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
हवा में समतलोत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$,इसलिए $\frac{1}{f_a} = (_a\mu_g - 1) \frac{2}{R}$।
दिया गया है $f_a = 0.2 \ m$ और $_a\mu_g = 1.5$,इसलिए $\frac{1}{0.2} = (1.5 - 1) \frac{2}{R} \implies 5 = 0.5 \times \frac{2}{R} \implies R = 0.2 \ m$।
जब इसे $_a\mu_l$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो फोकस दूरी $f_l = -0.5 \ m$ (अवतल व्यवहार) हो जाती है।
नई फोकस दूरी $\frac{1}{f_l} = (_l\mu_g - 1) \frac{2}{R}$ है,जहाँ $_l\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_l}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{-0.5} = \left( \frac{1.5}{_a\mu_l} - 1 \right) \frac{2}{0.2}$।
$-2 = \left( \frac{1.5}{_a\mu_l} - 1 \right) \times 10$।
$-0.2 = \frac{1.5}{_a\mu_l} - 1$।
$0.8 = \frac{1.5}{_a\mu_l} \implies _a\mu_l = \frac{1.5}{0.8} = \frac{15}{8}$।

(A) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के एक्रोमैटिक संयोजन के लिए,शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है।
यहाँ,$\omega_1 = 0.02$ (क्राउन ग्लास) और $\omega_2 = 0.04$ (फ्लिंट ग्लास) है।
फ्लिंट ग्लास लेंस की फोकस दूरी $f_2 = 40 \ cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{0.02}{f_1} + \frac{0.04}{40} = 0$
$\frac{0.02}{f_1} = -\frac{0.04}{40}$
$\frac{0.02}{f_1} = -0.001$
$f_1 = -\frac{0.02}{0.001} = -20 \ cm$.
अतः,क्राउन ग्लास लेंस की फोकस दूरी $-20 \ cm$ है।

(A) लेंस की प्रकाश एकत्र करने की शक्ति लेंस के एपर्चर के क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होती है।
चूंकि एपर्चर का क्षेत्रफल उसके व्यास के वर्ग के आनुपातिक होता है $(A \propto d^2)$,इसलिए प्रकाश एकत्र करने की शक्ति लेंस के व्यास के वर्ग पर निर्भर करती है।
अतः,यह लेंस के एपर्चर के व्यास पर निर्भर करती है।

(A) एक्रोमैटिक डबलट बनाने के लिए,हम क्राउन ग्लास के उत्तल लेंस को फ्लिंट ग्लास के अवतल लेंस के साथ जोड़ते हैं।
एक्रोमैटिज्म के लिए शर्त $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ है,जहाँ $\omega$ विक्षेपण क्षमता (dispersive power) है और $f$ फोकस दूरी है।
चूंकि क्राउन ग्लास की विक्षेपण क्षमता कम होती है $(\omega_c < \omega_f)$,इसलिए हम बड़ी फोकस दूरी वाला क्राउन ग्लास का अभिसारी (उत्तल) लेंस और छोटी फोकस दूरी वाला फ्लिंट ग्लास का अपसारी (अवतल) लेंस उपयोग करते हैं ताकि कुल शक्ति अभिसारी बनी रहे।
अतः,सही संयोजन क्राउन ग्लास का अभिसारी लेंस और फ्लिंट ग्लास का अपसारी लेंस है।

(C) लेंस पर सूर्य द्वारा बनाया गया कोणीय व्यास $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\theta = \frac{\text{सूर्य का व्यास}}{\text{सूर्य की दूरी}} = \frac{1.4 \times 10^9 \ m}{10^{11} \ m} = 1.4 \times 10^{-2} \ \text{रेडियन}$.
चूंकि सूर्य बहुत अधिक दूरी पर है,इसलिए प्रतिबिंब उत्तल लेंस के फोकस तल पर बनता है।
मान लीजिए कि फोकस तल पर बने प्रतिबिंब का व्यास $d$ है। तब,$\theta = \frac{d}{f}$,जहाँ $f = 2 \ m$ फोकस दूरी है।
अतः,$d = \theta \times f = (1.4 \times 10^{-2}) \times 2 \ m = 2.8 \times 10^{-2} \ m$.
परिणाम को सेंटीमीटर में बदलने पर,$d = 2.8 \times 10^{-2} \times 100 \ cm = 2.8 \ cm$.

(C) दिया गया है: लेंस का व्यास $D = 6 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 3 \, cm$ है। मोटाई $y = 3 \, mm = 0.3 \, cm$ है। लेंस में प्रकाश की गति $v = 2 \times 10^8 \, m/s$ है। निर्वात में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ है।
$1$. अपवर्तनांक $\mu$ की गणना:
$\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5$.
$2$. वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ की गणना:
लेंस की ज्यामिति से,$R^2 = r^2 + (R - y)^2$.
$R^2 = r^2 + R^2 - 2Ry + y^2$.
$2Ry = r^2 + y^2$.
चूंकि $y$ बहुत छोटा है,इसलिए $y^2$ की उपेक्षा की जा सकती है।
$R = \frac{r^2}{2y} = \frac{3^2}{2 \times 0.3} = \frac{9}{0.6} = 15 \, cm$.
$3$. लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करके फोकस दूरी $f$ की गणना:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
समतल-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R = 15 \, cm$ और $R_2 = \infty$ है।
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$.
अतः,$f = 30 \, cm$।

(C) उत्तल लेंस के लिए,वस्तु दूरी $u = -40 \, cm$ और फोकस दूरी $f = +20 \, cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40}$ प्राप्त होता है। अतः,$v = 40 \, cm$। प्रतिबिंब लेंस के दाईं ओर $40 \, cm$ की दूरी पर बनता है। लेंस की त्रिज्या $5 \, cm$ है। लेंस के ऊपरी किनारे $(A)$ से गुजरने वाली किरण प्रतिबिंब बिंदु $(C)$ से होकर गुजरती है और आँख के बिंदु $(E)$ तक पहुँचती है। समरूप त्रिभुजों $\Delta ABC$ और $\Delta CDE$ से,हमारे पास $\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{CD}$ है। यहाँ,$AB = 5 \, cm$ (त्रिज्या),$BC = 40 \, cm$ (प्रतिबिंब दूरी),$DE = h$,और $CD = 60 \, cm - 40 \, cm = 20 \, cm$ है। इसलिए,$\frac{5}{40} = \frac{h}{20} \Rightarrow h = \frac{5 \times 20}{40} = 2.5 \, cm$।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_L}{n_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
जहाँ $n_L$ लेंस सामग्री का अपवर्तनांक है और $n_m$ आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक है।
एक द्वि-अवतल लेंस के लिए,पद $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ ऋणात्मक होता है।
लेंस द्वारा प्रकाश को अपसरित करने के लिए,इसे अवतल लेंस के रूप में कार्य करना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसकी फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक होनी चाहिए।
चूंकि $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) < 0$,इसलिए $f$ के ऋणात्मक होने के लिए पद $\left( \frac{n_L}{n_m} - 1 \right)$ का धनात्मक होना आवश्यक है।
इसका अर्थ है $\frac{n_L}{n_m} > 1$,या $n_L > n_m$।
विकल्प $(d)$ में,लेंस को तरल $L_2$ (अपवर्तनांक $n_2$) से भरा जाता है और तरल $L_1$ (अपवर्तनांक $n_1$) में डुबोया जाता है। चूंकि $n_2 > n_1$,इसलिए $n_L > n_m$ की शर्त पूरी होती है,और लेंस प्रकाश को अपसरित करेगा।

(A) माना पहले स्रोत $S_1$ की लेंस से दूरी $x$ है। तो दूसरे स्रोत $S_2$ की लेंस से दूरी $(24 - x)$ होगी।
प्रतिबिंबों के एक ही स्थान पर बनने के लिए,एक स्रोत का आभासी प्रतिबिंब लेंस के एक तरफ और दूसरे का वास्तविक प्रतिबिंब लेंस के दूसरी तरफ बनना चाहिए।
माना $S_1$ का आभासी प्रतिबिंब लेंस के बाईं ओर $y$ दूरी पर बनता है। लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{9} = \frac{1}{-y} - \frac{1}{-x} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{9}$ .....$(i)$
माना $S_2$ का वास्तविक प्रतिबिंब लेंस के बाईं ओर $y$ दूरी पर बनता है। लेंस सूत्र के अनुसार:
$\frac{1}{9} = \frac{1}{-y} - \frac{1}{-(24 - x)} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{1}{9} - \frac{1}{24 - x}$ .....$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} - \frac{1}{24 - x} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{24 - x} = \frac{2}{9}$.
$\frac{24}{24x - x^2} = \frac{2}{9} \Rightarrow 108 = 24x - x^2 \Rightarrow x^2 - 24x + 108 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(x - 6)(x - 18) = 0$. अतः $x = 6 \, cm$ या $18 \, cm$.

(C) पहली सतह पर अपवर्तन पर विचार करें (पानी से कांच की ओर):
$\frac{\mu_2 - \mu_1}{R_1} = \frac{\mu_1}{-u} + \frac{\mu_2}{v_1}$
यहाँ $\mu_1 = 4/3$,$\mu_2 = 3/2$,$R_1 = R$,और $u = \infty$ है:
$\frac{3/2 - 4/3}{R} = \frac{4/3}{\infty} + \frac{3/2}{v_1} \Rightarrow \frac{1/6}{R} = \frac{3/2}{v_1} \Rightarrow v_1 = 9R$
अब दूसरी सतह पर अपवर्तन पर विचार करें (कांच से हवा की ओर):
$\frac{\mu_3 - \mu_2}{R_2} = \frac{\mu_2}{-v_1} + \frac{\mu_3}{v_2}$
यहाँ $\mu_2 = 3/2$,$\mu_3 = 1$,$R_2 = -R$,और $v_1 = 9R$ है:
$\frac{1 - 3/2}{-R} = \frac{3/2}{-9R} + \frac{1}{v_2} \Rightarrow \frac{-1/2}{-R} = -\frac{1}{6R} + \frac{1}{v_2}$
$\frac{1}{2R} + \frac{1}{6R} = \frac{1}{v_2} \Rightarrow \frac{3+1}{6R} = \frac{1}{v_2} \Rightarrow \frac{4}{6R} = \frac{1}{v_2} \Rightarrow v_2 = \frac{6R}{4} = \frac{3}{2}R$
अतः,फोकस दूरी $f = 1.5R$ है।

(C) लेंस के लिए,पार्श्व आवर्धन $m$ का सूत्र है:
$m = \frac{v}{u}$
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ से,हम लिख सकते हैं $\frac{1}{u} = \frac{1}{v} - \frac{1}{f} = \frac{f - v}{vf}$.
इसे आवर्धन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$m = v \times \left( \frac{f - v}{vf} \right) = \frac{f - v}{f} = 1 - \frac{v}{f}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$m = \left( -\frac{1}{f} \right) v + 1$
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = m$ (आवर्धन),$x = v$ (प्रतिबिंब दूरी),ढाल $= -\frac{1}{f}$,और अंतःखंड $c = 1$ है। चूँकि ढाल ऋणात्मक है,ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसकी ढाल ऋणात्मक है और y-अंतःखंड धनात्मक है। यह विकल्प $(C)$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) एक पतले लेंस के लिए,आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f - v}{f}$ है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है और $v$ प्रतिबिंब दूरी है।
इसे $m = -\frac{1}{f}v + 1$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इस समीकरण की तुलना रैखिक समीकरण $y = mx' + c'$ (जहाँ $m$ ढाल है और $c'$ y-अंतःखंड है) से करने पर,हमें रेखा की ढाल $-\frac{1}{f}$ प्राप्त होती है।
दिए गए ग्राफ से,रेखा की ढाल ऊर्ध्वाधर परिवर्तन और क्षैतिज परिवर्तन का अनुपात है,जो $\frac{b}{c}$ है।
ढाल के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $-\frac{1}{f} = \frac{b}{c}$।
इसका परिमाण लेने पर,हमें $|f| = \frac{c}{b}$ प्राप्त होता है।
अतः,लेंस की फोकस दूरी $\frac{c}{b}$ है।

(A) उत्तल लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
मान लीजिए $u = -x$ (जहाँ $x > 0$ लेंस से वस्तु की दूरी है) और $v = y$ (जहाँ $y > 0$ वास्तविक प्रतिबिंब की दूरी है)।
सूत्र $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $y = \frac{xf}{x-f}$।
हम योग $S = x + y = x + \frac{xf}{x-f} = \frac{x^2 - xf + xf}{x-f} = \frac{x^2}{x-f}$ में रुचि रखते हैं।
$S$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dS}{dx} = \frac{(x-f)(2x) - x^2(1)}{(x-f)^2} = 0$।
इससे $2x^2 - 2xf - x^2 = 0$,या $x^2 - 2xf = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 2f$ (क्योंकि $x \neq 0$)।
$x = 2f$ पर,$S = \frac{(2f)^2}{2f-f} = \frac{4f^2}{f} = 4f$।
$x > f$ के लिए,फलन $S(x)$ का न्यूनतम मान $x = 2f$ पर $4f$ है,और जैसे-जैसे $x$,$2f$ से दूर जाता है,यह बढ़ता जाता है। इस प्रकार,ग्राफ एक वक्र है जो $(2f, 4f)$ पर न्यूनतम मान प्राप्त करता है।

(D) उत्तल लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ है,जहाँ $f$ फोकस दूरी है,$v$ प्रतिबिंब की दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है।
वास्तविक प्रतिबिंब के लिए चिह्न परिपाटी का उपयोग करने पर,$u$ ऋणात्मक $(-u)$ है और $v$ धनात्मक है। सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-u}$ हो जाता है,जो सरल होकर $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u}$ बनता है।
जैसे-जैसे $u$ का मान $f$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$\frac{1}{u}$ का मान घटता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{v}$ बढ़ता है,और इसलिए $v$ घटता है।
विशेष रूप से,जब $u = f$ होता है,तो $v = \infty$ होता है,और जैसे-जैसे $u \to \infty$ होता है,$v \to f$ होता है। यह संबंध एक हाइपरबोलिक वक्र को दर्शाता है जहाँ $u$ बढ़ने पर $v$ घटता है,जिसे विकल्प $D$ में सही ढंग से दर्शाया गया है।

(D) लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ प्रतिबिंब की दूरी है,$u$ वस्तु की दूरी है,और $f$ लेंस की फोकस दूरी है।
मान लीजिए $x = u$ और $y = v$ है। तब समीकरण $\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{f}$ हो जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{f} = \frac{x+f}{xf}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$y = \frac{xf}{x+f}$ है।
यह समीकरण मूल बिंदु से स्थानांतरित एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है। इसलिए,वस्तु की दूरी के सापेक्ष प्रतिबिंब की दूरी का ग्राफ एक अतिपरवलय होता है।

(D) एक द्वि-अवतल लेंस अभिसारी लेंस के रूप में तब कार्य करता है जब उसका प्रभावी अपवर्तनांक $n_{lens}$ उसके चारों ओर के माध्यम के अपवर्तनांक $n_{medium}$ से अधिक हो।
यदि लेंस को $n_{in}$ अपवर्तनांक वाले माध्यम से भरा जाता है और $n_{out}$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में रखा जाता है, तो लेंस एक अभिसारी लेंस की तरह व्यवहार करता है यदि $n_{in} > n_{out}$ हो।
चूंकि लेंस द्वि-अवतल है, यह सामान्यतः प्रकाश को अपसरित करता है। इसे अभिसारी बनाने के लिए, लेंस के अंदर के पदार्थ का अपवर्तनांक उसके चारों ओर के माध्यम के अपवर्तनांक से अधिक होना चाहिए।
इसलिए, यदि लेंस को $L_2$ ($n_2$ अपवर्तनांक) से भरा जाए और $L_1$ ($n_1$ अपवर्तनांक) में डुबोया जाए, तो यह एक अभिसारी लेंस के रूप में कार्य करेगा यदि $n_2 > n_1$ हो।

(D) उत्तल लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक वस्तु और उसके वास्तविक प्रतिबिंब के बीच की न्यूनतम दूरी $4f$ होती है,जहाँ $f$ लेंस की फोकस दूरी है।
मान लीजिए $u$ वस्तु की दूरी है और $v$ प्रतिबिंब की दूरी है।
चित्र के अनुसार,वस्तु की दूरी $|u| = x + f$ है और प्रतिबिंब की दूरी $|v| = x' + f$ है।
वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी $D = |u| + |v| = (x + f) + (x' + f) = x + x' + 2f$ है।
चूंकि वास्तविक वस्तु और उसके वास्तविक प्रतिबिंब के बीच की न्यूनतम दूरी $4f$ होती है,इसलिए $D \geq 4f$ होगा।
$D$ का मान रखने पर,हमें $x + x' + 2f \geq 4f$ प्राप्त होता है।
अतः,$x + x' \geq 2f$ है।

(C) विस्थापन विधि में,मान लीजिए $D$ वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी है और $d$ लेंस की दो स्थितियों के बीच की दूरी है।
फोकस दूरी $f$ का सूत्र $f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$ है।
लेंस की दो स्थितियों के लिए,आवर्धन $m_1 = m$ और $m_2 = 1/m$ हैं।
संबंध $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि दो स्थितियों के लिए $v_1 = u_2$ और $u_1 = v_2$ होता है।
साथ ही,$D = u_1 + v_1$ और $d = v_1 - u_1$।
इनसे,$v_1 = \frac{D+d}{2}$ और $u_1 = \frac{D-d}{2}$।
चूंकि $m = \frac{v_1}{u_1} = \frac{D+d}{D-d}$,हम $D$ को $m$ और $d$ के पदों में हल कर सकते हैं:
$m(D-d) = D+d \implies D(m-1) = d(m+1) \implies D = d \frac{m+1}{m-1}$।
$D$ का मान फोकस दूरी के सूत्र में रखने पर:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D} = \frac{d^2 [(\frac{m+1}{m-1})^2 - 1]}{4d(\frac{m+1}{m-1})} = \frac{d [\frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m-1)^2}]}{4(\frac{m+1}{m-1})} = \frac{d [\frac{4m}{(m-1)^2}]}{4(\frac{m+1}{m-1})} = \frac{md}{m^2-1}$।

(A) दिया गया है: कुल दूरी $D = u + v = 1.50 \, m$। आवर्धन $m = -4$ (क्योंकि प्रतिबिंब वास्तविक है और पर्दे पर बनता है)।
आवर्धन सूत्र $m = v/u$ का उपयोग करने पर,हमें $-4 = v/u$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = 4u$।
इस मान को दूरी के समीकरण में रखने पर: $u + 4u = 1.50 \, m$,इसलिए $5u = 1.50 \, m$,जिससे $u = 0.3 \, m$ और $v = 1.2 \, m$ प्राप्त होता है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{-0.3} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{0.3} = \frac{1 + 4}{1.2} = \frac{5}{1.2}$।
अतः,$f = \frac{1.2}{5} = 0.24 \, m = 24 \, cm$।

(B) मान लीजिए कि वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी $D$ है। विस्थापन विधि के अनुसार,लेंस की दो स्थितियों के बीच की दूरी $d$ है।
पहली स्थिति के लिए,आवर्धन $m_1 = \frac{v_1}{u_1}$ है। चूंकि $v_1 + u_1 = D$ और $v_1 - u_1 = d$,इसलिए $v_1 = \frac{D+d}{2}$ और $u_1 = \frac{D-d}{2}$ होता है। अतः,$m_1 = \frac{D+d}{D-d}$।
दूसरी स्थिति के लिए,वस्तु और प्रतिबिंब की दूरियां आपस में बदल जाती हैं,इसलिए $m_2 = \frac{D-d}{D+d}$।
यहाँ $m_1 \cdot m_2 = 1$ होता है,इसलिए $m_2 = \frac{1}{m_1}$।
विस्थापन $d$ और फोकस दूरी $f$ के बीच का संबंध $f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$ है।
अब,$m_1 - m_2 = \frac{D+d}{D-d} - \frac{D-d}{D+d} = \frac{(D+d)^2 - (D-d)^2}{D^2 - d^2} = \frac{4Dd}{D^2 - d^2}$।
चूंकि $f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$,इसलिए $m_1 - m_2 = \frac{d}{f}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f = \frac{d}{m_1 - m_2}$।

(C) अभिसारी किरण पुंज के लिए,बिंदु $P$ लेंस के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
चूंकि प्रकाश लेंस के पीछे स्थित $P$ की ओर अभिसरित हो रहा है,इसलिए वस्तु दूरी $u$ को धनात्मक लिया जाता है।
दिया गया है: $u = +12 \, cm$ और फोकस दूरी $f = +20 \, cm$ (उत्तल लेंस के लिए)।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{12}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{12}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(60)$ लेने पर: $\frac{1}{v} = \frac{3 + 5}{60} = \frac{8}{60}$.
अतः,$v = \frac{60}{8} = 7.5 \, cm$.
इस प्रकार,किरण पुंज लेंस से $7.5 \, cm$ की दूरी पर अभिसरित होगी।