Mix Examples-Ray Optics Questions in Hindi

(D) एक $\text{उत्तल}$ दर्पण हमेशा किसी भी वास्तविक वस्तु के लिए आभासी, सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
एक $\text{समतल}$ दर्पण हमेशा वस्तु की स्थिति की परवाह किए बिना, वस्तु के आकार के बराबर ही आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनाता है।
एक $\text{अवतल}$ दर्पण वस्तु की स्थिति के आधार पर वास्तविक या आभासी, सीधा या उल्टा, और छोटा, समान आकार का या बड़ा प्रतिबिंब बना सकता है। विशेष रूप से, यह आभासी और सीधा प्रतिबिंब तब बनाता है जब वस्तु को दर्पण के $\text{मुख्य}$ $\text{फोकस}$ $(F)$ और $\text{ध्रुव}$ $(P)$ के बीच रखा जाता है।
चूंकि तीनों प्रकार के दर्पण आभासी प्रतिबिंब बनाने में सक्षम हैं, इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) अवतल लेंस एक अपसारी लेंस है जो अपने सामने रखी वस्तु की किसी भी स्थिति के लिए हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
इसी प्रकार,उत्तल दर्पण एक अपसारी दर्पण है जो अपने सामने रखी वस्तु की किसी भी स्थिति के लिए हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
अतः,अवतल लेंस और उत्तल दर्पण दोनों दी गई शर्त को पूरा करते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) गोलीय दर्पण के लिए आवर्धन $m = \frac{f}{f-u}$ द्वारा दिया जाता है।
$(I)$ उत्तल दर्पण के लिए,$f > 0$। वस्तु फोकस पर है,इसलिए $u = -f$। अतः,$m = \frac{f}{f - (-f)} = \frac{f}{2f} = 0.5$। इसलिए,$(I) - (B)$।
$(II)$ अवतल दर्पण के लिए,$f < 0$। वस्तु वक्रता केंद्र पर है,इसलिए $u = -2f$। अतः,$m = \frac{-f}{-f - (-2f)} = \frac{-f}{f} = -1$। इसलिए,$(II) - (D)$।
$(III)$ अवतल दर्पण के लिए,$f < 0$। वस्तु फोकस पर है,इसलिए $u = -f$। अतः,$m = \frac{-f}{-f - (-f)} = \frac{-f}{0} = -\infty$। इसलिए,$(III) - (A)$।
$(IV)$ उत्तल दर्पण के लिए,$f > 0$। वस्तु वक्रता केंद्र पर है,इसलिए $u = -2f$। अतः,$m = \frac{f}{f - (-2f)} = \frac{f}{3f} = 0.33$। इसलिए,$(IV) - (E)$।
अतः,सही मिलान $I-B, II-D, III-A, IV-E$ है।

(D) किरण प्रकाशिकी इस धारणा पर आधारित है कि प्रकाश सीधी रेखाओं में गमन करता है। यह सन्निकटन तब मान्य होता है जब बाधाओं या द्वारों की अभिलक्षणिक विमाएँ (जैसे कि स्लिट या वस्तु का आकार) प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ की तुलना में बहुत बड़ी होती हैं। यदि विमाएँ $\lambda$ के बराबर या उससे छोटी होती हैं, तो विवर्तन जैसी तरंग घटनाएँ महत्वपूर्ण हो जाती हैं और किरण प्रकाशिकी मान्य नहीं रहती है। अतः, सही शर्त यह है कि विमाएँ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से बहुत बड़ी होनी चाहिए।

(A) रैखिक आवर्धन $m_L = 4$ दिया गया है।
क्षेत्रफल के लिए,क्षेत्रीय आवर्धन $m_A$ रैखिक आवर्धन का वर्ग होता है।
$m_A = (m_L)^2 = (4)^2 = 16$.
आवर्धित छवि का क्षेत्रफल $A'$,मूल क्षेत्रफल $A_0$ और क्षेत्रीय आवर्धन $m_A$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$A' = A_0 \times m_A = 100 \; cm^2 \times 16 = 1600 \; cm^2$.

(B) द्वि-उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
यहाँ $R_1 = 10\,cm$ और $R_2 = -10\,cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार),और $\mu = 1.5$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-10} \right) = 0.5 \times \left( \frac{2}{10} \right) = 0.5 \times 0.2 = 0.1$.
अतः,लेंस की फोकस दूरी $f = \frac{1}{0.1} = 10\,cm$ है।
प्रश्न में दिया गया है कि अवतल दर्पण की फोकस दूरी लेंस की फोकस दूरी के बराबर है,इसलिए $f_{mirror} = 10\,cm$.
अवतल दर्पण की वक्रता त्रिज्या $R$ और उसकी फोकस दूरी के बीच संबंध $R = 2f$ होता है।
इसलिए,$R = 2 \times 10\,cm = 20\,cm$.

(C) पतले लेंस का अनुदैर्ध्य वर्ण विपथन उसकी विक्षेपण क्षमता $(\omega)$ और उसकी फोकस दूरी $(f)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
विक्षेपण क्षमता $(\omega)$ = $0.08$
फोकस दूरी $(f)$ = $20 \; cm$
अनुदैर्ध्य वर्ण विपथन = $\omega \times f$
$= 0.08 \times 20 \; cm$
$= 1.6 \; cm$.

(B) कोई वस्तु किसी विशेष रंग की इसलिए दिखाई देती है क्योंकि वह उस रंग के प्रकाश को परावर्तित करती है और अन्य सभी रंगों को अवशोषित कर लेती है।
जब राष्ट्रीय ध्वज को हरे प्रकाश में देखा जाता है:
$1$. केसरिया भाग हरे प्रकाश को अवशोषित कर लेता है और किसी भी प्रकाश को परावर्तित नहीं करता है,इसलिए यह काला दिखाई देता है।
$2$. हरा भाग हरे प्रकाश को परावर्तित करता है,इसलिए यह हरा दिखाई देता है।
अतः,केसरिया और हरे भाग क्रमशः काले और हरे दिखाई देंगे।

(D) कैमरे में प्रवेश करने वाले प्रकाश की मात्रा एपर्चर के आकार द्वारा निर्धारित की जाती है।
एपर्चर वह छिद्र है जिसके माध्यम से प्रकाश कैमरे में प्रवेश करता है।
यदि $N$ $f$-नंबर है,$f$ फोकस दूरी है और $D$ एपर्चर का व्यास है,तो कैमरे में प्रवेश करने वाले प्रकाश की मात्रा एपर्चर के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है।
क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{\pi D^{2}}{4} = \pi \left( \frac{f}{2N} \right)^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,क्षेत्रफल एपर्चर के व्यास $D$ पर निर्भर करता है (जो एपर्चर सेटिंग द्वारा नियंत्रित होता है),इसलिए विकल्प $D$ सही है।

(D) फोटोग्राफिक पेपर पर इल्यूमिनेशन $E$,स्रोत की तीव्रता $L$ के समानुपाती और स्रोत से दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $E \propto \frac{L}{r^2}$।
समान गुणवत्ता वाले प्रिंट के लिए,कुल एक्सपोज़र (इल्यूमिनेशन $\times$ समय) स्थिर होना चाहिए,इसलिए $E_1 t_1 = E_2 t_2$।
इसका अर्थ है $\frac{L_1}{r_1^2} t_1 = \frac{L_2}{r_2^2} t_2$।
दिया गया है: $L_1 = 60 \, cd$,$r_1 = 2 \, m$,$t_1 = 10 \, s$ और $L_2 = 120 \, cd$,$r_2 = 4 \, m$।
मान रखने पर: $\frac{60}{2^2} \times 10 = \frac{120}{4^2} \times t_2$।
$\frac{60}{4} \times 10 = \frac{120}{16} \times t_2$।
$150 = 7.5 \times t_2$।
$t_2 = \frac{150}{7.5} = 20 \, s$।

(D) फिल्म पर गिरने वाली प्रकाश की तीव्रता $I$ एपर्चर के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है,जो व्यास $d^2$ के वर्ग के समानुपाती होती है।
एक्सपोज़र के लिए आवश्यक प्रकाश ऊर्जा के लिए एक्सपोज़र समय $t$ प्रकाश की तीव्रता $I$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,$t \propto \frac{1}{I} \propto \frac{1}{d^2}$।
मान लीजिए $d$ व्यास के साथ प्रारंभिक समय $t_1$ है और $d/2$ व्यास के साथ नया समय $t_2$ है।
$\frac{t_2}{t_1} = \left( \frac{d}{d/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$।
अतः,एक्सपोज़र समय को $4$ गुना बढ़ाया जाना चाहिए।

(B) एक्सपोज़र समय $t$,$f$-नंबर के वर्ग के समानुपाती होता है,अर्थात $t \propto (f_{number})^2$.
दिया गया है कि $t_1 = 1/200 \, s$ जब $f_1 = 2.8$ हो।
हमें $f_2 = 5.6$ पर $t_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{t_2}{t_1} = \left( \frac{f_2}{f_1} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{t_2}{t_1} = \left( \frac{5.6}{2.8} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः,$t_2 = 4 \times t_1 = 4 \times \frac{1}{200} = \frac{1}{50} \, s$.
$t_2 = 0.02 \, s$.

(D) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता $M \approx -\frac{L}{f_o} \cdot \frac{D}{f_e}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है। अतः,यदि $f_o$ बढ़ता है,तो सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता घट जाती है।
खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $M = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दी जाती है। अतः,यदि $f_o$ बढ़ता है,तो दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता बढ़ जाती है।
इसलिए,सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता घटेगी लेकिन दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता बढ़ेगी।

(B) जब कोई मक्खी ऑब्जेक्टिव लेंस पर बैठती है, तो वह तस्वीर पर मक्खी की स्पष्ट छवि नहीं बनाती है क्योंकि लेंस एक दूर की वस्तु (चंद्रमा) पर केंद्रित होता है।
इसके बजाय, मक्खी एक बाधा के रूप में कार्य करती है जो टेलीस्कोप में प्रवेश करने वाले प्रकाश को आंशिक रूप से रोकती है।
यह ऑब्जेक्टिव लेंस के प्रभावी द्वारक (aperture) को कम कर देता है।
चूंकि एक ऑप्टिकल सिस्टम द्वारा बनाई गई छवि की तीव्रता द्वारक के क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होती है $(I \propto A)$, इसलिए द्वारक के क्षेत्रफल में कमी आने से अंतिम छवि की तीव्रता में कमी आती है।

(D) दीप्तिमान फ्लक्स (luminous flux) $\Phi$ को सूत्र $\Phi = 4\pi I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ दीप्तिमान तीव्रता है।
दिया गया है $I = 42 \text{ candela}$,इसलिए दीप्तिमान फ्लक्स $\Phi = 4 \times 3.14 \times 42 = 528 \text{ lumens}$ है।
लैंप की शक्ति $P$ की गणना $P = \frac{\Phi}{\text{Luminous Efficiency}}$ के रूप में की जाती है।
दी गई दीप्तिमान दक्षता $= 2 \text{ lumen/watt}$ है।
अतः,$P = \frac{528}{2} = 264 \text{ W}$।

(B) सतह पर प्रदीप्ति की तीव्रता $I$ का सूत्र है: $I = \frac{L \cos \theta}{r^2}$,जहाँ $L$ कैंडेला में स्रोत की ज्योति तीव्रता है,$r$ दूरी है,और $\theta$ अभिलंब के साथ कोण है।
दिया गया है:
$I = 5 \times 10^{-4} \ phot = 5 \times 10^{-4} \ lumen/cm^2 = 5 \times 10^{-4} \times 10^4 \ lumen/m^2 = 5 \ lumen/m^2$.
$r = 2 \ m$.
$\theta = 60^{\circ}$.
$L$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$L = \frac{I \times r^2}{\cos \theta}$.
मान रखने पर:
$L = \frac{5 \times 2^2}{\cos 60^{\circ}} = \frac{5 \times 4}{0.5} = \frac{20}{0.5} = 40 \ candela$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) स्क्रीन पर रोशनी $I$,प्रोजेक्टर और स्क्रीन के बीच की दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $I = \frac{L}{r^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $L$ प्रोजेक्टर की प्रकाश तीव्रता है।
प्राकृतिक लघुगणक लेने और अवकलन करने पर,हमें $\ln(I) = \ln(L) - 2\ln(r)$ प्राप्त होता है।
अवकलन करने पर,$\frac{dI}{I} = -2 \frac{dr}{r}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दूरी $r$ में $1\%$ की वृद्धि हुई है,इसलिए $\frac{dr}{r} = 0.01$ है।
अतः,रोशनी में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{dI}{I} \times 100 = -2 \times (\frac{dr}{r} \times 100) = -2 \times 1\% = -2\%$ है।
ऋणात्मक चिह्न कमी को दर्शाता है। इस प्रकार,रोशनी $2\%$ कम हो जाती है।

(C) फोटोग्राफिक प्रिंट का एक्सपोज़र (फॉगिंग) इल्युमिनेंस $(E)$ और समय $(t)$ के गुणनफल के समानुपाती होता है।
बिंदु स्रोत से इल्युमिनेंस $E = \frac{I}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ ल्यूमिनस तीव्रता है और $r$ दूरी है।
समान फॉगिंग के लिए,$E_1 \times t_1 = E_2 \times t_2$.
इल्युमिनेंस का सूत्र रखने पर: $\frac{I_1}{r_1^2} \times t_1 = \frac{I_2}{r_2^2} \times t_2$.
दिया गया है: $I_1 = 20 \, cd$,$r_1 = 1 \, m$,$t_1 = 10 \, s$.
दिया गया है: $I_2 = 16 \, cd$,$r_2 = 2 \, m$.
मान रखने पर: $\frac{20}{1^2} \times 10 = \frac{16}{2^2} \times t_2$.
$200 = \frac{16}{4} \times t_2$.
$200 = 4 \times t_2$.
$t_2 = \frac{200}{4} = 50 \, s$.

(D) मान लीजिए बल्ब की दीप्तिमान तीव्रता $L$ है।
किसी बिंदु पर प्रदीप्ति $I = \frac{L \cos \theta}{r^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r$ स्रोत से दूरी है और $\theta$ सतह के अभिलंब और प्रकाश किरण के बीच का कोण है।
केंद्र $B$ पर,दूरी $r_B = 1 \text{ m}$ और कोण $\theta_B = 0^\circ$ है। अतः,$\cos \theta_B = 1$ है।
$I_B = \frac{L}{1^2} = L$ ... $(i)$
किनारे $C$ पर,दूरी $r_C = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \text{ m}$ है। कोण $\theta_C$ इस प्रकार है कि $\cos \theta_C = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
$I_C = I_0 = \frac{L \cos \theta_C}{r_C^2} = \frac{L \times (1/\sqrt{5})}{(\sqrt{5})^2} = \frac{L}{5\sqrt{5}}$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,$L = 5\sqrt{5} I_0$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र पर तीव्रता $I_B = 5\sqrt{5} I_0$ होगी।

(B) इल्यूमिनेंस $I$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल में प्रकाश फ्लक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है,$I = \frac{\Phi}{A}$।
चूंकि कुल प्रकाश फ्लक्स $\Phi$ स्थिर रहता है (नगण्य अवशोषण मानते हुए),इल्यूमिनेंस प्रतिबिंब के क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है,$I \propto \frac{1}{A}$।
चूंकि क्षेत्रफल $A$ रैखिक आयामों के वर्ग के समानुपाती होता है $(A \propto L^2)$,इसलिए $I \propto \frac{1}{L^2}$।
अतः,स्लाइड पर इल्यूमिनेंस $(I_s)$ और स्क्रीन पर इल्यूमिनेंस $(I_i)$ का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_s}{I_i} = \frac{L_i^2}{L_s^2} = \left( \frac{L_i}{L_s} \right)^2$
यहाँ $L_i = 3.5 \ m = 3500 \ mm$ और $L_s = 35 \ mm$ दिया गया है:
$\frac{I_s}{I_i} = \left( \frac{3500 \ mm}{35 \ mm} \right)^2 = (100)^2 = 10000 = 10^4:1$।

(A) माना बल्ब की दीप्ति तीव्रता $L$ है।
किसी बिंदु पर प्रदीप्ति $I = \frac{L \cos \theta}{r^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r$ स्रोत से दूरी है और $\theta$ आपतन कोण है।
बिंदु $A$ (किनारे का केंद्र) के लिए:
केंद्र से क्षैतिज दूरी $2 \text{ m}$ है। ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $3 \text{ m}$ है।
दूरी $r_A = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \text{ m}$.
$\cos \theta_A = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
$I_A = \frac{L \cos \theta_A}{r_A^2} = \frac{L \times (3/\sqrt{13})}{13} = \frac{3L}{13^{3/2}}$.
बिंदु $B$ (मेज का कोना) के लिए:
केंद्र से क्षैतिज दूरी $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m}$ है। ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $3 \text{ m}$ है।
दूरी $r_B = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17} \text{ m}$.
$\cos \theta_B = \frac{3}{\sqrt{17}}$.
$I_B = \frac{L \cos \theta_B}{r_B^2} = \frac{L \times (3/\sqrt{17})}{17} = \frac{3L}{17^{3/2}}$.
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_A}{I_B} = \frac{3L / 13^{3/2}}{3L / 17^{3/2}} = \left(\frac{17}{13}\right)^{3/2}$ है।

(C) स्रोत की दीप्ति तीव्रता (luminous intensity) $I$ को प्रति इकाई घन कोण (solid angle) $\Omega$ उत्सर्जित दीप्ति फ्लक्स (luminous flux) $\phi$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक बिंदु स्रोत के लिए,एक गोले द्वारा अंतरित कुल घन कोण $4\pi \ steradians$ होता है।
संबंध $\phi = I \times \Omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $I = 1 \ cd$ और $\Omega = 4\pi \ sr$ दिया गया है।
अतः,$\phi = 1 \times 4\pi = 4\pi \ lumens$ होगा।

(C) दीप्ति तीव्रता $I$ को प्रति इकाई ठोस कोण (solid angle) दीप्ति फ्लक्स के रूप में परिभाषित किया गया है, जो $I = \frac{d\phi}{d\Omega}$ द्वारा दिया जाता है।
सभी दिशाओं में समान रूप से प्रकाश उत्सर्जित करने वाले बिंदु स्रोत के लिए, कुल ठोस कोण $4\pi \, \text{steradians}$ होता है।
एकदिशीय बल्ब के लिए, फ्लक्स एक विशिष्ट ठोस कोण में उत्सर्जित होता है। ऐसे प्रश्नों के लिए मानक व्याख्या के अनुसार, जहाँ स्रोत को पूर्ण गोले पर समदैशिक (isotropic) माना जाता है, कुल दीप्ति फ्लक्स $\phi = I \times \Omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $I = 100 \, \text{candela}$ और $\Omega = 4\pi \, \text{steradians}$ दिया गया है:
$\phi = 100 \times 4 \times 3.14159$
$\phi = 1256.6 \, \text{lumen}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1256 \, \text{lumen}$ है।

(C) मान लीजिए लैंप की दीप्ति तीव्रता $L$ है। मेज के ऊपर लैंप की ऊँचाई $h = 8 \text{ feet}$ है। मेज की त्रिज्या $r = \frac{16}{2} = 8 \text{ feet}$ है।
केंद्र $A$ पर प्रदीप्ति $I_A = \frac{L}{h^2}$ द्वारा दी जाती है।
परिधि पर स्थित बिंदु $B$ पर प्रदीप्ति $I_B = \frac{L}{d^2} \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d = \sqrt{h^2 + r^2}$ लैंप से बिंदु $B$ की दूरी है और $\cos \theta = \frac{h}{d}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I_B = \frac{L}{h^2 + r^2} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{Lh}{(h^2 + r^2)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_A}{I_B} = \frac{L}{h^2} \cdot \frac{(h^2 + r^2)^{3/2}}{Lh} = \frac{(h^2 + r^2)^{3/2}}{h^3} = \left(1 + \frac{r^2}{h^2}\right)^{3/2}$ है।
$h = 8$ और $r = 8$ रखने पर,हमें $\frac{I_A}{I_B} = \left(1 + \frac{8^2}{8^2}\right)^{3/2} = (1 + 1)^{3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $2\sqrt{2}:1$ है।

(A) प्रदीप्ति (illuminance) की इकाई $lux$ $(lx)$ है।
परिभाषा के अनुसार,$1 \text{ lux}$ को $1 \text{ square meter}$ के क्षेत्रफल पर समान रूप से वितरित $1 \text{ lumen}$ के प्रकाश प्रवाह (luminous flux) द्वारा उत्पन्न प्रदीप्ति के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,$1 \text{ lux} = 1 \text{ lumen/m}^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दीप्तिमान दक्षता $\eta$ को लैंप द्वारा खपत की गई शक्ति $P$ और दीप्तिमान फ्लक्स $\phi$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\eta = \frac{\phi}{P} \implies \phi = \eta \times P$।
दीप्तिमान तीव्रता $L$ एक बिंदु स्रोत द्वारा सभी दिशाओं में उत्सर्जित कुल दीप्तिमान फ्लक्स $\phi$ से निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित है: $L = \frac{\phi}{4\pi} \implies \phi = 4\pi L$।
$\phi$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\eta \times P = 4\pi L$।
शक्ति $P$ के लिए हल करने पर: $P = \frac{4\pi L}{\eta}$।
यहाँ $\eta = 5 \text{ lumen/watt}$ और $L = 35 \text{ candela}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$P = \frac{4 \times 3.14159 \times 35}{5} = 4 \times 3.14159 \times 7 = 28 \times 3.14159 \approx 87.96 \, W$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$P \approx 88 \, W$ प्राप्त होता है।

(A) माना लैंप की दीप्ति तीव्रता $I_0$ है और मेज से ऊँचाई $h$ है। केंद्र पर प्रदीप्ति $E_c = \frac{I_0}{h^2}$ है।
प्रथम स्थिति में,$I_1 = 100 \, cd$ और $h_1 = 2 \, m$ है। अतः,$E_{c1} = \frac{100}{2^2} = 25 \, lx$ है।
द्वितीय स्थिति में,$I_2 = 25 \, cd$ और $h_2$ नई ऊँचाई है। चूँकि $E_{c2} = E_{c1}$ है,इसलिए $\frac{25}{h_2^2} = 25$,जिससे $h_2 = 1 \, m$ प्राप्त होता है।
मेज की त्रिज्या $r = 1.5 \, m$ है।
किनारे पर प्रदीप्ति $E_e = \frac{I_0 \cos \theta}{d^2} = \frac{I_0 h}{d^3} = \frac{I_0 h}{(h^2 + r^2)^{3/2}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$E_{e1} = \frac{100 \times 2}{(2^2 + 1.5^2)^{3/2}} = \frac{200}{(6.25)^{3/2}} = 12.8 \, lx$ है।
द्वितीय स्थिति के लिए,$E_{e2} = \frac{25 \times 1}{(1^2 + 1.5^2)^{3/2}} = \frac{25}{(3.25)^{3/2}} \approx 4.267 \, lx$ है।
चूँकि $E_{e2} = X \cdot E_{e1}$ है,इसलिए $X = \frac{E_{e2}}{E_{e1}} = \frac{25}{(3.25)^{3/2}} \times \frac{(6.25)^{3/2}}{200} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{25}{13}\right)^{3/2} \approx \frac{1}{3}$।

(B) मान लीजिए कि लैंप की ऊंचाई $h = 1 \, m$ है। मेज की त्रिज्या $r = 0.5 \, m$ है (क्योंकि व्यास $1 \, m$ है)।
किसी बिंदु पर प्रदीप्ति $E = \frac{I \cos \theta}{d^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ लैंप की प्रकाश तीव्रता है,$\theta$ आपतन कोण है और $d$ लैंप से दूरी है।
केंद्र पर,$\theta = 0^\circ$,इसलिए $\cos \theta = 1$ और $d = h$. अतः,$E_{center} = \frac{I}{h^2}$.
किनारे पर,दूरी $d = \sqrt{h^2 + r^2}$ और $\cos \theta = \frac{h}{d} = \frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}}$.
अतः,$E_{edge} = \frac{I \cdot h}{d^3} = \frac{I \cdot h}{(h^2 + r^2)^{3/2}}$.
अनुपात $\frac{E_{center}}{E_{edge}} = \frac{I/h^2}{I \cdot h / (h^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{(h^2 + r^2)^{3/2}}{h^3}$.
$h = 1$ और $r = 0.5 = 1/2$ रखने पर:
$\frac{E_{center}}{E_{edge}} = \frac{(1^2 + (1/2)^2)^{3/2}}{1^3} = (1 + 1/4)^{3/2} = (5/4)^{3/2}$.

(A) प्रदीप्ति (illuminance) के लिए व्युत्क्रम वर्ग का नियम बताता है कि एक बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर प्रदीप्ति $E = \frac{I}{r^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ प्रकाश की तीव्रता है। यह नियम विशेष रूप से प्रकाश के एक बिंदु स्रोत के लिए मान्य है,जो सभी दिशाओं में समान रूप से प्रकाश उत्सर्जित करता है (आइसोट्रोपिक बिंदु स्रोत)। विस्तारित स्रोतों के लिए,यह नियम केवल बड़ी दूरियों पर एक अनुमान के रूप में कार्य करता है।

(B) $50 \,cd$ की दीप्ति तीव्रता वाले स्रोत द्वारा उत्सर्जित कुल दीप्ति फ्लक्स $\phi_{total}$ इस प्रकार है:
$\phi_{total} = 4\pi I_v = 4\pi \times 50 = 200\pi \,lumens$.
सतह पर आपतित फ्लक्स कुल फ्लक्स का $1\%$ है:
$\phi_{incident} = \frac{1}{100} \times 200\pi = 2\pi \,lumens$.
$r = 10 \,cm = 0.1 \,m$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार सतह का क्षेत्रफल:
$A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01\pi \,m^2$.
औसत प्रदीप्ति $E$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल आपतित फ्लक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$E = \frac{\phi_{incident}}{A} = \frac{2\pi}{0.01\pi} = \frac{2}{0.01} = 200 \,lux$.

(D) मान लीजिए कि दो प्रकाश स्रोत $A$ और $B$ हैं जिनकी प्रकाश तीव्रता $I$ समान है। मान लीजिए कि पर्दा स्रोत $A$ से $x$ दूरी पर रखा गया है। तो स्रोत $B$ से इसकी दूरी $(1.2 - x)$ होगी।
तीव्रता $I$ वाले स्रोत से $r$ दूरी पर प्रदीप्ति $E$ का सूत्र $E = I/r^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,एक फलक पर प्रदीप्ति दूसरे फलक पर प्रदीप्ति की चार गुना है:
$\frac{I}{x^2} = 4 \times \frac{I}{(1.2 - x)^2}$ या $\frac{I}{(1.2 - x)^2} = 4 \times \frac{I}{x^2}$.
स्थिति $1$: $\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(1.2 - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{x} = \frac{2}{1.2 - x}$
$1.2 - x = 2x \Rightarrow 3x = 1.2 \Rightarrow x = 0.4\, m$.
स्थिति $2$: $\frac{1}{(1.2 - x)^2} = \frac{4}{x^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{1.2 - x} = \frac{2}{x}$
$x = 2(1.2 - x) \Rightarrow x = 2.4 - 2x \Rightarrow 3x = 2.4 \Rightarrow x = 0.8\, m$.
इस प्रकार,पर्दे को स्रोत $A$ से $0.4\, m$ या $0.8\, m$ की दूरी पर रखा जा सकता है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) $L$ प्रकाश तीव्रता वाले स्रोत से $r$ दूरी पर प्रदीप्ति $I = \frac{L}{r^2}$ द्वारा दी जाती है।
स्क्रीन के दोनों चेहरों के समान रूप से प्रकाशित होने के लिए,दोनों स्रोतों से प्रदीप्ति समान होनी चाहिए:
$\frac{L_1}{r_1^2} = \frac{L_2}{r_2^2}$
यहाँ $L_1 = 8 \, Cd$,$L_2 = 32 \, Cd$ और कुल दूरी $d = 1.2 \, m = 120 \, cm$ दी गई है।
मान लीजिए कि स्क्रीन को $8 \, Cd$ लैंप से $x$ दूरी पर रखा गया है। तो $32 \, Cd$ लैंप से इसकी दूरी $(120 - x) \, cm$ होगी।
मान रखने पर:
$\frac{8}{x^2} = \frac{32}{(120 - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{8}}{x} = \frac{\sqrt{32}}{120 - x}$
$\frac{2\sqrt{2}}{x} = \frac{4\sqrt{2}}{120 - x}$
$\frac{1}{x} = \frac{2}{120 - x}$
$120 - x = 2x$
$3x = 120$
$x = 40 \, cm$.
अतः,स्क्रीन को $8 \, Cd$ लैंप से $40 \, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(D) मान लीजिए लैंप की तीव्रता $I_0$ है और मेज के केंद्र से लैंप की ऊंचाई $h$ है।
मेज के केंद्र पर रोशनी $E_{center} = \frac{I_0}{h^2}$ द्वारा दी जाती है।
मेज के किनारे पर रोशनी (केंद्र से $r$ दूरी पर) $E_{edge} = \frac{I_0 \cos \theta}{d^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d = \sqrt{r^2 + h^2}$ और $\cos \theta = \frac{h}{d}$ है।
अतः,$E_{edge} = \frac{I_0 h}{(r^2 + h^2)^{3/2}}$।
दिया गया है कि $E_{edge} = \frac{1}{8} E_{center}$,इसलिए:
$\frac{I_0 h}{(r^2 + h^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \frac{I_0}{h^2}$
$\frac{h}{(r^2 + h^2)^{3/2}} = \frac{1}{8h^2}$
$8h^3 = (r^2 + h^2)^{3/2}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$2h = (r^2 + h^2)^{1/2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4h^2 = r^2 + h^2$
$3h^2 = r^2$
$h = \frac{r}{\sqrt{3}}$।

(B) एक बिंदु स्रोत के कारण सतह पर प्रदीप्ति $(E)$ का सूत्र $E = \frac{I}{r^2}$ है, जहाँ $I$ प्रकाश की तीव्रता है और $r$ स्रोत से दूरी है。
दिया गया है, $I = 100\, \text{candela}$ और $r = 5\, m$.
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $E = \frac{100}{5^2} = \frac{100}{25} = 4\, \text{lux}$.
ब्लोटिंग पेपर का परावर्तन गुण सतह पर आपतित प्रदीप्ति को प्रभावित नहीं करता है。
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) मेज के केंद्र पर लैंप के ठीक नीचे प्रदीप्ति $I = \frac{L}{h^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ लैंप की दीप्ति तीव्रता है और $h$ ऊँचाई है।
प्रारंभ में,$h_1 = 40\, cm$,इसलिए $I_1 = \frac{L}{40^2} = \frac{L}{1600}$।
ऊँचाई में $10\, cm$ की वृद्धि के बाद,नई ऊँचाई $h_2 = 40 + 10 = 50\, cm$ है।
अतः,$I_2 = \frac{L}{50^2} = \frac{L}{2500}$।
प्रदीप्ति में प्रतिशत कमी $\frac{I_1 - I_2}{I_1} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\left( 1 - \frac{I_2}{I_1} \right) \times 100 = \left( 1 - \frac{1600}{2500} \right) \times 100$.
$= \left( 1 - 0.64 \right) \times 100 = 0.36 \times 100 = 36\%$.

(B) दीप्ति प्रभावकारिता (Luminous efficacy) यह मापती है कि प्रकाश स्रोत कितनी अच्छी तरह दृश्य प्रकाश उत्पन्न करता है। इसे दीप्ति फ्लक्स और शक्ति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे $SI$ इकाइयों में लुमेन प्रति वाट $(lm/W)$ में मापा जाता है।
दीप्ति दक्षता (Luminous efficiency) वास्तविक दीप्ति प्रभावकारिता और अधिकतम संभव दीप्ति प्रभावकारिता ($555 \ nm$ तरंग दैर्ध्य पर) का अनुपात है।
$40 \ W$ की समान बिजली खपत के लिए,एक फ्लोरोसेंट ट्यूब तापदीप्त बल्ब (incandescent bulb) की तुलना में विद्युत ऊर्जा के एक बड़े हिस्से को दृश्य प्रकाश में परिवर्तित करती है,जबकि बल्ब अधिकांश ऊर्जा को गर्मी के रूप में खो देता है। इसलिए,$40 \ W$ की फ्लोरोसेंट ट्यूब की दीप्ति दक्षता अधिक होती है।

(D) माना गोलाकार सुरंग की त्रिज्या $r$ है। लैंप सुरंग के शीर्ष पर स्थित है। लैंप से बिंदु $A$ की दूरी $2r$ है।
$A$ पर तीव्रता $I_A = \frac{L}{(2r)^2} = \frac{L}{4r^2}$ है,जहाँ $L$ लैंप की दीप्ति तीव्रता है।
बिंदु $B$ के लिए,लैंप से दूरी $d = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ है। $B$ पर अभिलंब और प्रकाश किरण के बीच का कोण $\theta = 45^\circ$ है।
$B$ पर तीव्रता $I_B = \frac{L}{d^2} \cos \theta = \frac{L}{(r\sqrt{2})^2} \cos 45^\circ = \frac{L}{2r^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{L}{2\sqrt{2}r^2}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{I_A}{I_B} = \frac{L/4r^2}{L/2\sqrt{2}r^2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(A) $I$ ज्योति तीव्रता वाले स्रोत से $r$ दूरी पर प्रदीप्ति घनत्व $E$ का सूत्र है: $E = \frac{I}{r^2}$।
दिया गया है:
प्रदीप्ति घनत्व $E = 1.57 \times 10^5 \; lm/m^2$।
दूरी $r = 1.5 \times 10^8 \; km = 1.5 \times 10^{11} \; m$।
ज्योति तीव्रता $I$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $I = E \times r^2$।
मान रखने पर:
$I = (1.57 \times 10^5) \times (1.5 \times 10^{11})^2$
$I = (1.57 \times 10^5) \times (2.25 \times 10^{22})$
$I = 3.5325 \times 10^{27} \; cd$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $I = 3.53 \times 10^{27} \; cd$ प्राप्त होता है।

(D) ल्यूमिनस फ्लक्स $\Phi$ के स्रोत से $r$ दूरी पर इल्युमिनेंस $E$ का सूत्र $E = \frac{\Phi}{4\pi r^2}$ है।
दिया गया है:
$E = 1.57 \times 10^5 \; lm/m^2$
$r = 1.5 \times 10^8 \; km = 1.5 \times 10^{11} \; m$
$\Phi$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Phi = E \times 4\pi r^2$
$\Phi = (1.57 \times 10^5) \times 4 \times 3.14 \times (1.5 \times 10^{11})^2$
$\Phi = (1.57 \times 10^5) \times 12.56 \times (2.25 \times 10^{22})$
$\Phi = 19.7176 \times 2.25 \times 10^{27}$
$\Phi \approx 4.43 \times 10^{28} \; lm$.

(C) मान लीजिए कि मेज के ऊपर स्रोत की ऊँचाई $h$ है। मान लीजिए कि स्रोत मेज पर उसके ठीक नीचे स्थित बिंदु से $x$ क्षैतिज दूरी पर है। स्रोत से उस बिंदु तक की दूरी $r = \sqrt{x^2 + h^2}$ है। किसी सतह पर एक बिंदु पर प्रदीप्ति $E = \frac{I \cos \theta}{r^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ स्रोत की दीप्ति तीव्रता है और $\theta$ सतह के अभिलंब और प्रकाश की दिशा के बीच का कोण है। यहाँ,$\cos \theta = \frac{h}{r}$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{I h}{r^3}$ प्राप्त होता है। चूँकि $I$ और $h$ स्थिरांक हैं,इसलिए $E \propto \frac{1}{r^3}$ है।

(D) किसी स्रोत के कारण किसी बिंदु पर प्रदीप्ति $E$, $E = \frac{I \cos \theta}{r^2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I$ प्रकाश की तीव्रता है, $r$ स्रोत से दूरी है, और $\theta$ सतह के अभिलंब और प्रकाश किरणों की दिशा के बीच का कोण है।
बिंदु $A$ ट्यूब के केंद्र के ठीक नीचे स्थित है, जो इसे स्रोत के सबसे निकट का बिंदु बनाता है। अतः, दूरी $r_A$ न्यूनतम है।
बिंदु $B$ और $C$ ट्यूब के केंद्र से समान दूरी पर सममित रूप से स्थित हैं, इसलिए $r_B = r_C > r_A$ है।
चूँकि प्रदीप्ति दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए $A$ पर प्रदीप्ति $B$ और $C$ पर प्रदीप्ति से अधिक है।
अतः, $E_A > E_B = E_C$, जिसे $B = C < A$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) $r$ दूरी पर $I$ दीप्तिमान तीव्रता वाले स्रोत द्वारा उत्पन्न प्रदीप्ति $E$ का सूत्र $E = \frac{I}{r^2}$ है।
मान लीजिए सूर्य की दीप्तिमान तीव्रता $L$ है और पृथ्वी से सूर्य की दूरी $r_s = 1.5 \times 10^{11} \, m$ है।
सूर्य द्वारा प्रदीप्ति: $E_s = \frac{L}{(1.5 \times 10^{11})^2}$.
मान लीजिए बल्ब की तीव्रता $I_b = 10000 \, cd$ है और इसकी दूरी $r_b = 0.3 \, m$ है।
बल्ब द्वारा प्रदीप्ति: $E_b = \frac{10000}{(0.3)^2}$.
चूंकि प्रदीप्ति समान है,$E_s = E_b$:
$\frac{L}{(1.5 \times 10^{11})^2} = \frac{10000}{(0.3)^2}$
$L = \frac{10000 \times (1.5 \times 10^{11})^2}{(0.3)^2}$
$L = \frac{10^4 \times 2.25 \times 10^{22}}{0.09}$
$L = \frac{2.25 \times 10^{26}}{0.09} = 25 \times 10^{26} \, cd$.

(C) प्रकाश स्रोत की तीव्रता $L$ से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर प्रदीप्ति $E$ का सूत्र $E = \frac{L}{r^2}$ है।
प्रारंभ में,ऊँचाई $r_1 = 4\,m$ है,इसलिए $E_1 = \frac{L}{4^2} = \frac{L}{16}$।
लैंप को $1\,m$ नीचे करने के बाद,नई ऊँचाई $r_2 = 4\,m - 1\,m = 3\,m$ है,इसलिए $E_2 = \frac{L}{3^2} = \frac{L}{9}$।
प्रदीप्ति में प्रतिशत वृद्धि $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\left( \frac{L/9 - L/16}{L/16} \right) \times 100 = \left( \frac{16}{9} - 1 \right) \times 100$.
$= \left( \frac{16 - 9}{9} \right) \times 100 = \frac{7}{9} \times 100 \approx 77.77\% \approx 78\%$।

(B) जब प्रकाश की किरण गोलाकार कांच के पेपरवेट पर बिंदु $A$ पर आपतित होती है,तो यह $\beta$ कोण पर अपवर्तित होती है। इस बिंदु पर विचलन का कोण $\delta_1 = (\alpha - \beta)$ है।
निर्गमन बिंदु $B$ पर,किरण सतह से $\beta$ कोण पर टकराती है (त्रिज्याओं द्वारा निर्मित समद्विबाहु त्रिभुज की समरूपता के कारण) और $\alpha$ कोण पर बाहर निकलती है। इस बिंदु पर विचलन का कोण $\delta_2 = (\alpha - \beta)$ है।
कुल विचलन कोण $\delta$ दोनों सतहों पर हुए विचलनों का योग है:
$\delta = \delta_1 + \delta_2 = (\alpha - \beta) + (\alpha - \beta) = 2(\alpha - \beta)$.

(B) सूर्य अनंत पर है,इसलिए $u = \infty$। दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ से,
अवतल दर्पण के लिए $v = -32 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{f} = \frac{1}{-32} + 0$,अर्थात फोकस दूरी $f = -32 \, cm$ है।
जब टैंक को $h = 20 \, cm$ की ऊँचाई तक पानी से भर दिया जाता है,तो दर्पण $F$ बिंदु पर प्रतिबिंब बनाएगा (दर्पण से $32 \, cm$ दूर)। चूंकि जल स्तर $20 \, cm$ पर है,इसलिए इस बिंदु $F$ की जल की सतह से दूरी $d = 32 - 20 = 12 \, cm$ होगी।
यह बिंदु $F$ जल-वायु इंटरफ़ेस के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। जल की सतह पर अपवर्तन के कारण,आभासी गहराई $d'$ का मान $d' = \frac{d}{\mu}$ होता है।
यहाँ,$\mu = \frac{4}{3}$ है,इसलिए $d' = \frac{12}{4/3} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \, cm$।
चूंकि $d'$ धनात्मक है,इसलिए प्रतिबिंब जल की सतह से $9 \, cm$ ऊपर बनेगा।

(D) इस निकाय को संपर्क में रखे गए तीन लेंसों के संयोजन के रूप में माना जा सकता है: दो तरल लेंस ($f_1$ और $f_3$) और एक कांच का लेंस $(f_2)$।
दिया गया है:
हवा में कांच के लेंस की फोकस दूरी,$f_a = +20\,cm$।
लेंस का अपवर्तनांक,$\mu_g = 1.50$।
तरल का अपवर्तनांक,$\mu_l = 1.60$।
दिए गए समाधान के अनुसार:
$\frac{1}{f_1} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{20} \right) = -\frac{0.6}{20} = -\frac{3}{100}$...$(i)$
$\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = \frac{1}{20}$...$(ii)$
$\frac{1}{f_3} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{-20} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{3}{100}$...$(iii)$
$\Rightarrow \frac{1}{F} = -\frac{3}{100} + \frac{1}{20} - \frac{3}{100} = -\frac{6}{100} + \frac{5}{100} = -\frac{1}{100}$
अतः,$F = -100\,cm$।

(D) लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{v} = \frac{1}{u} + \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है। यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $y = \frac{1}{v}$ और $x = \frac{1}{u}$ है। अतः,$\frac{1}{v}$ बनाम $\frac{1}{u}$ एक रैखिक संबंध है।
साथ ही,आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है। लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{u} = \frac{1}{v} - \frac{1}{f} = \frac{f-v}{fv}$।
इसे $m = \frac{v}{u}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m = v \cdot \left( \frac{f-v}{fv} \right) = \frac{f-v}{f} = 1 - \frac{v}{f}$ प्राप्त होता है।
यह भी $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $y = m$ और $x = v$ है। अतः,$m$ बनाम $v$ एक रैखिक संबंध है।
इसलिए,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(C) एक गोलीय सतह द्वारा उत्पन्न विक्षेपण उसकी वक्रता त्रिज्या पर निर्भर करता है।
एक लेंस के लिए,कुल विक्षेपण उसकी दो सतहों द्वारा उत्पन्न विक्षेपण का योग होता है।
एक लेंस विक्षेपण प्रदर्शित नहीं करेगा यदि एक सतह द्वारा उत्पन्न विक्षेपण दूसरी सतह द्वारा पूरी तरह से रद्द कर दिया जाए।
यह तब होता है जब दोनों सतहों की वक्रता त्रिज्या समान हो,जिसमें एक उत्तल और दूसरी अवतल हो,ताकि लेंस उससे गुजरने वाले प्रकाश के लिए एक समानांतर-पक्षीय प्लेट के रूप में कार्य करे।
दिए गए विकल्पों में,विकल्प $C$ में दिखाए गए मेनिस्कस लेंस की दोनों सतहों की वक्रता त्रिज्या $R$ समान है,जिसमें एक उत्तल और दूसरी अवतल है। अतः,यह विक्षेपण प्रदर्शित नहीं करता है।

(B) मान लीजिए कि प्रकाश स्रोत की ऊंचाई $h$ है और मेज की त्रिज्या $R$ है। मेज के किनारे पर प्रकाश की तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{L \cos \theta}{d^2}$ है,जहाँ $L$ स्रोत की दीप्ति तीव्रता है,$d$ स्रोत से किनारे तक की दूरी है,और $\theta$ अभिलंब और प्रकाश किरण के बीच का कोण है।
यहाँ,$d^2 = h^2 + R^2$ और $\cos \theta = \frac{h}{d} = \frac{h}{\sqrt{h^2 + R^2}}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{Lh}{(h^2 + R^2)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम तीव्रता के लिए ऊंचाई $h$ ज्ञात करने हेतु,हम $I$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dI}{dh} = L \left[ \frac{(h^2 + R^2)^{3/2} - h \cdot \frac{3}{2}(h^2 + R^2)^{1/2} \cdot 2h}{(h^2 + R^2)^3} \right] = 0$.
इसे सरल करने पर $(h^2 + R^2) - 3h^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $R^2 = 2h^2$ मिलता है।
अतः,$h = R/\sqrt{2}$।