Refraction by Lenses Questions in Gujarati

(D) જ્યારે લેન્સનો ઉપયોગ પ્રતિબિંબ રચવા માટે થાય છે,ત્યારે લેન્સનો દરેક બિંદુ સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબની રચનામાં ફાળો આપે છે.
જો લેન્સનો ઉપરનો અડધો ભાગ કાળો કરવામાં આવે,તો તે ભાગમાંથી પસાર થતા પ્રકાશના કિરણો અવરોધાય છે.
જોકે,લેન્સનો બાકીનો નીચેનો અડધો ભાગ હજુ પણ વસ્તુના તમામ ભાગોમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણોને પસાર થવા દે છે અને તે જ કેન્દ્રબિંદુ પર કેન્દ્રિત કરે છે.
પરિણામે,સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ હજુ પણ પડદા પર તે જ સ્થાને રચાય છે.
કારણ કે પડદા સુધી પહોંચતા પ્રકાશનું પ્રમાણ ઘટી જાય છે (કારણ કે અડધું છિદ્ર અવરોધાયેલું છે),તેથી પ્રતિબિંબની તીવ્રતા અથવા તેજસ્વીતા ઘટે છે.

(D) ધારો કે બે કિસ્સાઓમાં લેન્સથી મીણબત્તીનું અંતર $u_1$ અને $u_2$ છે. લેન્સથી દીવાલનું અંતર $v_1 = 10 \,cm$ અને $v_2 = 30 \,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $1$: $\frac{1}{10} - \frac{1}{-u_1} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{10} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f}$
કિસ્સો $2$: $\frac{1}{30} - \frac{1}{-u_2} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{30} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f}$
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{10} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{30} + \frac{1}{u_2} \implies \frac{1}{u_1} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{30} - \frac{1}{10} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$.
વળી,મીણબત્તી અને દીવાલ વચ્ચેનું અંતર $D = u_1 + 10 = u_2 + 30$ છે,તેથી $u_2 = u_1 - 20$.
$u_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{u_1} - \frac{1}{u_1 - 20} = -\frac{1}{15} \implies \frac{u_1 - 20 - u_1}{u_1(u_1 - 20)} = -\frac{1}{15} \implies \frac{-20}{u_1^2 - 20u_1} = -\frac{1}{15} \implies u_1^2 - 20u_1 - 300 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(u_1 - 30)(u_1 + 10) = 0$. $u_1 > 0$ હોવાથી,$u_1 = 30 \,cm$.
તેથી $f = \frac{1}{\frac{1}{10} + \frac{1}{30}} = \frac{30}{4} = 7.5 \,cm$.
એકમ મોટવણી $(m = -1)$ માટે,વસ્તુ અંતર $2f$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $2f$ હોવું જોઈએ. આમ,$u = 15 \,cm$ અને $v = 15 \,cm$. મીણબત્તી અને દીવાલ વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = u + v = 30 \,cm$ છે.
શરૂઆતમાં,મીણબત્તી લેન્સથી $u_1 = 30 \,cm$ પર હતી,અને લેન્સ દીવાલથી $10 \,cm$ દૂર હતો,તેથી મીણબત્તી દીવાલથી $40 \,cm$ દૂર હતી.
અંતર $30 \,cm$ કરવા માટે,મીણબત્તીને $10 \,cm$ દીવાલ તરફ ખસેડવી પડે.

(B) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કોશીના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે $\mu = a + \frac{b}{\lambda^2}$ તરીકે સંબંધિત છે.
સફેદ પ્રકાશ માટે,તરંગલંબાઈનો ક્રમ $\lambda_V < \lambda_R$ છે,જ્યાં $V$ એટલે જાંબલી અને $R$ એટલે લાલ.
ચૂક $\mu$ એ $\lambda^2$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણને $\mu_V > \mu_R$ મળે છે.
આને લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,કારણ કે $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$,આપણને $f_V < f_R$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જાંબલી પ્રકાશની કેન્દ્રલંબાઈ લાલ પ્રકાશની કેન્દ્રલંબાઈ કરતા ઓછી છે.
તેથી,જાંબલી પ્રકાશ લાલ પ્રકાશ કરતા લેન્સની નજીક કેન્દ્રિત થાય છે,જે આપેલ છબીઓના વિકલ્પ $(B)$ માં દર્શાવેલ વર્તણૂકને અનુરૂપ છે.

(C) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,સમતલ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = \infty$ અને બહિર્ગોળ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_2 = -10 \,cm$ છે (ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા).
આપેલ કેન્દ્રલંબાઈ $f = 30 \,cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-10} \right)$.
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,આપણને મળે છે: $\frac{1}{30} = (\mu - 1) \left( 0 + \frac{1}{10} \right)$.
$\frac{1}{30} = \frac{\mu - 1}{10}$.
$\mu - 1 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
$\mu = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$.

(C) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f_m} = (_{\text{medium}}\mu_{\text{lens}} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,પદ $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ ઋણ હોય છે.
હવામાં,લેન્સ અપસારી $(f < 0)$ તરીકે વર્તે છે,જે $_{\text{air}}\mu_{\text{glass}} > 1$ સાથે સુસંગત છે.
લેન્સ પ્રવાહીમાં અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે તે માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_m$ ધન હોવી જોઈએ.
કારણ કે $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ ઋણ છે,તેથી $f_m$ ધન બને તે માટે $(_{\text{liquid}}\mu_{\text{glass}} - 1)$ પણ ઋણ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $_{\text{liquid}}\mu_{\text{glass}} < 1$.
કારણ કે $_{\text{liquid}}\mu_{\text{glass}} = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_l}$,તેથી $\frac{_a\mu_g}{_a\mu_l} < 1$,જેનો અર્થ છે કે $_a\mu_g < _a\mu_l$.

(C) $1$. લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ શોધો:
$\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8 \, m/s}{2 \times 10^8 \, m/s} = 1.5$.
$2$. વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $(R)$ શોધો:
ધારો કે એપર્ચરની ત્રિજ્યા $a$ છે,તેથી $a = 3 \, cm = 30 \, mm$. મહત્તમ જાડાઈ $t = 3 \, mm$ છે.
લેન્સના ભૌમિતિક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $a^2 = t(2R - t)$.
$(30)^2 = 3(2R - 3)$
$900 = 6R - 9$
$909 = 6R$
$R = 151.5 \, mm = 15.15 \, cm$.
$3$. લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ શોધો:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R = 15.15 \, cm$ અને $R_2 = \infty$.
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{15.15} - 0 \right) = 0.5 \times \frac{1}{15.15} = \frac{1}{30.3}$.
આમ,$f \approx 30 \, cm$.

(C) લેન્સ માટે મોટવણી $m = \frac{f}{f + u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી ઋણ હોય છે,તેથી $m_1 = -m = \frac{f}{f - u_1}$.
આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી ધન હોય છે,તેથી $m_2 = +m = \frac{f}{f - u_2}$.
મોટવણીના મૂલ્યો સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{f}{f - u_1} = -\frac{f}{f - u_2}$.
બંને બાજુથી $f$ દૂર કરતા,$\frac{1}{f - u_1} = -\frac{1}{f - u_2}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $f - u_2 = -(f - u_1) = -f + u_1$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$2f = u_1 + u_2$,જેનો અર્થ છે કે $f = \frac{u_1 + u_2}{2}$.

(A) અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f+u}$ છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે (અંતર્ગોળ લેન્સ માટે ઋણ લેવામાં આવે છે) અને $u$ એ વસ્તુનું અંતર છે (જે પણ ઋણ લેવામાં આવે છે).
આપેલ છે કે પ્રતિબિંબનું કદ વસ્તુના કદના $(1/x)$ ગણું છે,તેથી મોટવણી $m = +\frac{1}{x}$ (કારણ કે અંતર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું હોય છે).
લેન્સના સૂત્ર $m = \frac{f}{f+u}$ માં $f = -f$ અને $m = \frac{1}{x}$ મૂકતા:
$\frac{1}{x} = \frac{-f}{-f+u}$
$-f + u = -xf$
$u = f - xf$
$u = -f(x-1)$
અંતરનું મૂલ્ય લેતા,લેન્સથી વસ્તુનું અંતર $(x-1)f$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5$, પાવર $P = 5 \,D$.
પ્રથમ, લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હવામાં બહિર્ગોળ લેન્સની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ શોધો:
$P = \frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 0.5 \times \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$.
$P = 5 \,D$ હોવાથી, $\frac{1}{R} = 5 \implies R = 0.2 \,m = 20 \,cm$.
જ્યારે $\mu_l$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે, ત્યારે લેન્સ $f_l = -100 \,cm = -1 \,m$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે:
$\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{2}{R} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$-\frac{1}{1} = \left( \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{2}{0.2} \right) = \left( \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \right) (10)$.
$-0.1 = \frac{1.5}{\mu_l} - 1$.
$0.9 = \frac{1.5}{\mu_l} \implies \mu_l = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.

(A) સ્થાનાંતર પદ્ધતિમાં,નિશ્ચિત વસ્તુ અને પડદા વચ્ચે લેન્સને ખસેડવામાં આવે છે જેથી બે અલગ-અલગ સ્થાનો પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ મેળવી શકાય.
ધારો કે વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D$ છે અને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે.
લેન્સના પ્રથમ સ્થાન માટે,મોટવણી $m_1 = \frac{v_1}{u_1}$ છે.
લેન્સના બીજા સ્થાન માટે,વસ્તુ અંતર અને પ્રતિબિંબ અંતર અદલાબદલી થાય છે,તેથી $u_2 = v_1$ અને $v_2 = u_1$ થાય છે.
બીજા સ્થાન માટે મોટવણી $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{u_1}{v_1}$ છે.
બંને મોટવણીનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $m_1 \times m_2 = \left(\frac{v_1}{u_1}\right) \times \left(\frac{u_1}{v_1}\right) = 1$ મળે છે.

(C) લેન્સની બંને બાજુએ અલગ-અલગ માધ્યમો હોય ત્યારે તેની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_3}{f} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_1} + \frac{\mu_3 - \mu_2}{R_2}$
આપેલ છે:
$\mu_1 = 1$ (હવા),
$\mu_2 = 1.5$ (લેન્સનું દ્રવ્ય),
$\mu_3 = 4/3$ (પાણી),
$R_1 = +20 \, cm$,
$R_2 = -20 \, cm$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{4/3}{f} = \frac{1.5 - 1}{20} + \frac{4/3 - 1.5}{-20}$
$\frac{4}{3f} = \frac{0.5}{20} + \frac{(4/3 - 9/6)}{-20} = \frac{0.5}{20} + \frac{-1/6}{-20} = \frac{0.5}{20} + \frac{1}{120}$
$\frac{4}{3f} = \frac{3}{120} + \frac{1}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$
$\frac{4}{3f} = \frac{1}{30} \implies 3f = 120 \implies f = 40 \, cm$.

(D) સ્થળાંતરની રીતમાં,વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર નિશ્ચિત હોય ત્યારે લેન્સના બે એવા સ્થાન મળે છે જ્યાં વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાય છે.
ધારો કે વસ્તુની ઊંચાઈ $h$ છે,પ્રથમ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_1$ છે અને બીજા પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_2$ છે.
બંને સ્થાન માટે મોટવણી $m_1 = \frac{h_1}{h}$ અને $m_2 = \frac{h_2}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થળાંતરની રીતના ગુણધર્મો મુજબ,મોટવણીનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = 1$ થાય છે.
મોટવણીના સૂત્રો મૂકતા: $\left(\frac{h_1}{h}\right) \times \left(\frac{h_2}{h}\right) = 1$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $h^2 = h_1 \times h_2$ અથવા $h = \sqrt{h_1 h_2}$ મળે છે.
અહીં $h_1 = 24 \,cm$ અને $h_2 = 6 \,cm$ આપેલ છે,તેથી $h = \sqrt{24 \times 6} = \sqrt{144} = 12 \,cm$.
આમ,વસ્તુની ઊંચાઈ $12 \,cm$ છે.

(C) લેન્સ માટે મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f+u}$ છે.
મોટવણીનું આંકડાકીય મૂલ્ય સમાન રહેતું હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $|m_1| = |m_2|$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે $m$ ઋણ હોય છે અને આભાસી પ્રતિબિંબ માટે $m$ ધન હોય છે. જો મોટવણી આંકડાકીય રીતે સમાન રહે,તો આપણે $\frac{f}{f+u_1} = -\frac{f}{f+u_2}$ લખી શકીએ.
અહીં $u_1 = -40 \,cm$ અને $u_2 = -30 \,cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{f}{f-40} = -\frac{f}{f-30}$.
$f \neq 0$ હોવાથી,$f$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{f-40} = -\frac{1}{f-30}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $f - 30 = -(f - 40)$.
$f - 30 = -f + 40$.
$2f = 70$.
$f = 35 \,cm$.

(C) સ્થળાંતરની રીતમાં,પડદા પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચવા માટે,વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ કરતા ઓછામાં ઓછું ચાર ગણું હોવું જોઈએ.
આ શરત $D \geq 4f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $D = 60 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $60 \geq 4f$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $f \leq 15 \, cm$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $12 \, cm$ એ $f \leq 15 \, cm$ ની શરતનું પાલન કરે છે.

(C) દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = +15 \, cm$ અને $R_2 = -15 \, cm$ છે.
લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{-15} \right)$.
$\frac{1}{f} = 0.5 \left( \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{15} \right)$.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{15}$.
તેથી,$f = +15 \, cm$.

(A) અભિસારી લેન્સ દ્વારા વાસ્તવિક પદાર્થનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચવા માટે,પદાર્થ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $D = 4f$ હોય છે,જ્યાં $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
ગાણિતિક રીતે,આ સંબંધ $D \geq 4f$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ અંતર $D = 56 \,cm$ છે,તેથી:
$56 \geq 4f$
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા:
$f \leq \frac{56}{4}$
$f \leq 14 \,cm$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $14 \,cm$ અથવા તેનાથી ઓછી હોવી જોઈએ.

(D) સ્થળાંતરની રીત પ્રકાશના પ્રતિવર્તીપણાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું કુલ અંતર $D$ અચળ છે.
અહીં,પ્રથમ સ્થાન $u_1 = -40 \, cm$ અને બીજું સ્થાન $u_2 = -80 \, cm$ આપેલ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ કિસ્સામાં,$u = -40 \, cm$ અને $v = 80 \, cm$ લેતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{80} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{80} + \frac{1}{40} = \frac{1+2}{80} = \frac{3}{80}$.
તેથી,$f = \frac{80}{3} \, cm$.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં,$\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
આપેલ છે કે $f_a = 18 \, cm$,તેથી $\frac{1}{18} = \frac{1}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $R = 18 \, cm$.
જ્યારે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે ત્યારે,$\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{2}{R} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{2}{18} \right) = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \left( \frac{1}{9} \right) = (1.125 - 1) \left( \frac{1}{9} \right) = 0.125 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{72}$.
આમ,$f_w = 72 \, cm$.
કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta f = f_w - f_a = 72 - 18 = 54 \, cm$ છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,હવામાં લેન્સનો પાવર $P = (n_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = 20 \ cm$ અને $R_2 = -20 \ cm$ છે. તેથી,$P = (1.8 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.8 \times \frac{2}{20} = 0.8 \times 0.1 = 0.08 \ cm^{-1}$.
જ્યારે $n_l = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે પાવર $P' = \left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ થાય.
$P' = \left( \frac{1.8}{1.5} - 1 \right) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right) = (1.2 - 1) \times 0.1 = 0.2 \times 0.1 = 0.02 \ cm^{-1}$.
હવામાં પાવર અને પ્રવાહીમાં પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P}{P'} = \frac{0.08}{0.02} = 4$ છે.
તેથી,$x = 4$.

(B) આપેલ છે: લેન્સનો વક્રીભવનાંક $\mu_l = 1.5$, પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu_m = 1.6$, હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $f_a = 20 \,cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ, હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
પ્રવાહી માટે, કેન્દ્રલંબાઈ $f_m$ એ $\frac{1}{f_m} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા મળે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f_m}{f_a} = \frac{(\mu_l - 1)}{\left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right)} = \frac{(\mu_l - 1) \mu_m}{(\mu_l - \mu_m)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f_m}{20} = \frac{(1.5 - 1) \times 1.6}{(1.5 - 1.6)} = \frac{0.5 \times 1.6}{-0.1} = \frac{0.8}{-0.1} = -8$.
તેથી, $f_m = 20 \times (-8) = -160 \,cm$.

(A) વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી $m = -2$ છે.
$m = \frac{v}{u}$ હોવાથી,$\frac{v}{u} = -2$,જેનો અર્થ છે કે $v = -2u$.
પદાર્થ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $45 \,cm$ આપેલ છે,અને બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,પદાર્થ અને પ્રતિબિંબ વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય છે,તેથી અંતર $|v| + |u| = 45$ થાય.
$v = -2u$ (જ્યાં $u$ ઋણ છે) મૂકતા,આપણને $|-2u| + |u| = 45$ મળે છે,તેથી $3|u| = 45$,જે $|u| = 15 \,cm$ આપે છે.
આમ,$u = -15 \,cm$ અને $v = +30 \,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{30} + \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
તેથી,$f = 10 \,cm$.

(D) ન્યૂટનના લેન્સના સમીકરણ મુજબ,જ્યારે અંતર $x$ અને $y$ મુખ્ય કેન્દ્રથી માપવામાં આવે છે,ત્યારે સંબંધ $xy = f^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે વક્ર પર એક બિંદુ જોઈ શકીએ છીએ જ્યાં $x = 20 \ cm$ અને $y = 20 \ cm$ છે.
આ મૂલ્યોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$20 \times 20 = f^2$
$f^2 = 400$
$f = 20 \ cm$.
વૈકલ્પિક રીતે,આલેખ દર્શાવે છે કે જ્યારે $x = 10 \ cm$ હોય ત્યારે $y = 40 \ cm$ (y-અક્ષ પરના અંતઃખંડ પરથી),અને જ્યારે $x = 40 \ cm$ હોય ત્યારે $y = 10 \ cm$ (x-અક્ષ પરના અંતઃખંડ પરથી).
$xy = f^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $10 \times 40 = f^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f^2 = 400$,તેથી $f = 20 \ cm$.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતા આભાસી પ્રતિબિંબ માટે, મોટવણી $m = +3$ છે.
$m = \frac{v}{u}$ હોવાથી, આપણને $v = 3u$ મળે છે.
વસ્તુ અને આભાસી પ્રતિબિંબ બંને લેન્સની એક જ બાજુએ છે. ધારો કે વસ્તુ અંતર $u$ છે (જ્યાં $u$ ઋણ છે, તેથી $u = -x$) અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ છે (જ્યાં $v = -3x$).
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|v - u| = 20 \,cm$ છે.
$|-3x - (-x)| = 20 \,cm$
$|-2x| = 20 \,cm \implies 2x = 20 \,cm \implies x = 10 \,cm$.
આમ, $u = -10 \,cm$ અને $v = -30 \,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-30} - \frac{1}{-10} = \frac{-1 + 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
તેથી, $f = 15 \,cm$.

(B) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે,જેને $f^{-1} = v^{-1} - u^{-1}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$-f^{-2} df = -v^{-2} dv - u^{-2} du$.
$-1$ વડે ગુણતા:
$\frac{df}{f^2} = \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$.
ત્રુટિઓ $du$ અને $dv$ માટે લઘુત્તમ માપક્રમ $\Delta u$ અને $\Delta v$ મૂકતા,કેન્દ્રલંબાઈમાં થતી ત્રુટિ $\Delta f$:
$\Delta f = f^2 \left[ \frac{\Delta u}{u^2} + \frac{\Delta v}{v^2} \right]$.

(C) લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
આપેલ છે: $f = +20 \,cm$, $R_1 = +15 \,cm$, $R_2 = -30 \,cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{-30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{15} + \frac{1}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{2+1}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{3}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} \right)$
$\mu - 1 = \frac{10}{20} = 0.5$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$

(A) વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે અંતર્ગોળ લેન્સ એ અપસારી લેન્સ છે. તે લેન્સની બીજી બાજુએ વક્રતા કેન્દ્ર પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચી શકતું નથી. અંતર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું હોય છે,અને તે વસ્તુની બાજુએ જ પ્રકાશીય કેન્દ્ર અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે રચાય છે.
વિધાન $(II)$ સાચું છે કારણ કે અંતર્ગોળ લેન્સ હંમેશા પ્રકાશના કિરણોને અપસારી કરે છે,જેના પરિણામે લેન્સની સામે વસ્તુના કોઈપણ સ્થાન માટે આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચાય છે.
તેથી,વિધાન $(I)$ ખોટું છે અને વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(C) પાતળા લેન્સ માટે, મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f+u}$ છે, જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $u$ એ વસ્તુનું અંતર છે (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ, $u$ ઋણ લેવામાં આવે છે).
અહીં $f = +20 \,cm$ આપેલ છે। $u_1 = -25 \,cm$ માટે, $m_{25} = \frac{20}{20 - 25} = \frac{20}{-5} = -4$.
$u_2 = -50 \,cm$ માટે, $m_{50} = \frac{20}{20 - 50} = \frac{20}{-30} = -\frac{2}{3}$.
ગુણોત્તર $\frac{m_{25}}{m_{50}} = \frac{-4}{-2/3} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.

(A) લેન્સમાંથી પસાર થતા કિરણનું વર્તન લેન્સના દ્રવ્ય $(\mu_2)$ અને આસપાસના માધ્યમો ($\mu_1$ અને $\mu_3$) ના સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે.
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$: લેન્સ જમણી બાજુના માધ્યમ કરતા ઘટ્ટ છે. બહિર્ગોળ લેન્સ $(p)$ માટે,કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબ તરફ અને બીજી સપાટી પર લંબથી દૂર વળે છે,પરિણામે તે અભિસારી બને છે. અંતર્ગોળ લેન્સ $(r)$ માટે,તે અપસારી બને છે.
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$: લેન્સ જમણી બાજુના માધ્યમ કરતા પાતળો છે. બહિર્ગોળ લેન્સ અપસારી લેન્સ $(q)$ તરીકે અને અંતર્ગોળ લેન્સ અભિસારી લેન્સ (s,t) તરીકે વર્તે છે.
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$: લેન્સનું દ્રવ્ય અને ડાબી બાજુનું માધ્યમ સમાન વક્રીભવનાંક ધરાવે છે. કિરણ બીજી સપાટી પરથી વળ્યા વગર પસાર થાય છે.
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$: લેન્સ ડાબી બાજુના માધ્યમ કરતા ઘટ્ટ છે. કિરણ બીજી સપાટી પર લંબ તરફ વળે છે.
શરતોને જોડતા:
$(A)$ $\mu_1 < \mu_2$ એ (p,r) સાથે જોડાય છે.
$(B)$ $\mu_1 > \mu_2$ એ (q,s,t) સાથે જોડાય છે.
$(C)$ $\mu_2 = \mu_3$ એ (p,r,t) સાથે જોડાય છે.
$(D)$ $\mu_2 > \mu_3$ એ (q,s) સાથે જોડાય છે.

(B) આપેલ છે: આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0 = 1.3 \text{ kW m}^{-2}$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \text{ cm}$.
ધારો કે લેન્સના એપર્ચરની ત્રિજ્યા $R$ છે અને લેન્સથી $d = 22 \text{ cm}$ અંતરે પ્રકાશના કિરણપુંજની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આ સમતલનું મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ થી અંતર $x = d - f = 22 \text{ cm} - 20 \text{ cm} = 2 \text{ cm}$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણો $\Delta ABF$ અને $\Delta PQF$ પરથી (જ્યાં $AB$ એ લેન્સનો વ્યાસ છે અને $PQ$ એ આપેલ સમતલ પર કિરણપુંજનો વ્યાસ છે):
$\frac{r}{R} = \frac{x}{f} = \frac{2 \text{ cm}}{20 \text{ cm}} = \frac{1}{10}$.
લેન્સનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે અને આપેલ સમતલ પર કિરણપુંજનું ક્ષેત્રફળ $a = \pi r^2$ છે.
તેથી,$\frac{a}{A} = \left(\frac{r}{R}\right)^2 = \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{1}{100}$.
લેન્સ પર આપાત થતો કુલ પાવર $P$ સંરક્ષિત રહે છે અને તે $a$ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આ સમતલ પરની તીવ્રતા $I$ એ $I \times a = I_0 \times A$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$I = I_0 \times \left(\frac{A}{a}\right) = 1.3 \times 100 = 130 \text{ kW m}^{-2}$.

(D) જ્યારે $n_1 = n_2 = n$ હોય,ત્યારે લેન્સ લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ $f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા એકલ બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે:
$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (n - 1) \frac{2}{R} \implies f = \frac{R}{2(n - 1)}$.
બીજા કિસ્સામાં,લેન્સ સંપર્કમાં રહેલા બે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સનો બનેલો છે. તેમની કેન્દ્રલંબાઈઓ:
$\frac{1}{f_1} = \frac{n - 1}{R}$ અને $\frac{1}{f_2} = \frac{(n + \Delta n) - 1}{R}$ છે.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f' = f + \Delta f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f + \Delta f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{n - 1 + n + \Delta n - 1}{R} = \frac{2n + \Delta n - 2}{R} = \frac{2(n - 1) + \Delta n}{R}$.
$f = \frac{R}{2(n - 1)}$ હોવાથી,$\frac{1}{f} = \frac{2(n - 1)}{R}$ થાય.
$\frac{1}{f + \Delta f} = \frac{1}{f} + \frac{\Delta n}{R} = \frac{1}{f} \left( 1 + \frac{\Delta n}{R} \cdot f \right) = \frac{1}{f} \left( 1 + \frac{\Delta n}{R} \cdot \frac{R}{2(n - 1)} \right) = \frac{1}{f} \left( 1 + \frac{\Delta n}{2(n - 1)} \right)$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f + \Delta f} \approx \frac{1}{f} \left( 1 - \frac{\Delta n}{2(n - 1)} \right) \implies f + \Delta f \approx f \left( 1 - \frac{\Delta n}{2(n - 1)} \right) = f - f \frac{\Delta n}{2(n - 1)}$.
આમ,$\frac{\Delta f}{f} = -\frac{\Delta n}{2(n - 1)}$.
$(1)$ સંબંધ $\frac{\Delta f}{f} = -\frac{\Delta n}{2(n - 1)}$ એ $R$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી તે અંતર્ગોળ સપાટીઓ માટે પણ સાચું છે. સાચું.
$(2)$ $1 < n < 2$ હોવાથી,$n - 1 < 1$,તેથી $2(n - 1) < 2$. આમ,$\left| \frac{\Delta f}{f} \right| = \frac{1}{2(n - 1)} \left| \frac{\Delta n}{n} \right| \cdot n = \frac{n}{2(n - 1)} \left| \frac{\Delta n}{n} \right|$. $n < 2$ માટે $\frac{n}{2(n - 1)} > 1$ હોવાથી,$\left| \frac{\Delta f}{f} \right| > \left| \frac{\Delta n}{n} \right|$. ખોટું.
$(3)$ $|\Delta f| = f \cdot \frac{\Delta n}{2(n - 1)} = 20 \cdot \frac{10^{-3}}{2(1.5 - 1)} = 20 \cdot \frac{10^{-3}}{1} = 0.02 \text{ cm}$. વિધાનમાં $0.04 \text{ cm}$ આપેલ છે. ખોટું.
$(4)$ જો $\frac{\Delta n}{n} < 0$ હોય,તો $\Delta n < 0$ થાય. $\frac{\Delta f}{f} = -\frac{\Delta n}{2(n - 1)}$ પરથી,જો $\Delta n < 0$ હોય,તો $\frac{\Delta f}{f} > 0$ થાય. સાચું.

(B) $1$. બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_1)$:
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_1} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{20} - \left( \frac{1}{-20} \right) \right] = 0.5 \times \left( \frac{2}{20} \right) = \frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_1 = +20 \ cm$
$2$. અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_2)$:
$\frac{1}{f_2} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left[ -\frac{1}{20} - \frac{1}{20} \right] = 0.5 \times \left( -\frac{2}{20} \right) = -\frac{1}{20}$
$\Rightarrow f_2 = -20 \ cm$
$3$. લેન્સ $L_1$ માટે:
વસ્તુ અંતર $u_1 = -10 \ cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +20 \ cm$.
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1} \Rightarrow \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = -\frac{1}{20} \Rightarrow v_1 = -20 \ cm$
મોટવણી $m_1 = \frac{v_1}{u_1} = \frac{-20}{-10} = 2$
$4$. લેન્સ $L_2$ માટે:
$L_1$ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ $L_2$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $10 \ cm$ છે.
વસ્તુ અંતર $u_2 = -(20 + 10) = -30 \ cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -20 \ cm$.
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v_2} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{-3 - 2}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12} \Rightarrow v_2 = -12 \ cm$
મોટવણી $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{-12}{-30} = \frac{2}{5} = 0.4$
$5$. કુલ મોટવણી:
$m = m_1 \times m_2 = 2 \times 0.4 = 0.8$

(C) આપેલ છે,પ્રતિબિંબ અંતર $v = 8 \ m$ (લેન્સની પાછળ રચાતું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ).
મોટવણી $m = -\frac{1}{3}$.
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\frac{1}{3} = \frac{8}{u}$,જેનો અર્થ છે કે $u = -24 \ m$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f} = \frac{1}{8} - \frac{1}{-24} = \frac{3+1}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$. તેથી,$f = 6 \ m$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઇ અને માધ્યમમાં તરંગલંબાઇના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda} = \frac{1}{2/3} = 1.5 = \frac{3}{2}$.
પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અહીં,$R_1 = R$ અને $R_2 = -\infty$ (અથવા તેનાથી ઉલટું),તેથી $\frac{1}{6} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} \right) = 0.5 \times \frac{1}{R} = \frac{1}{2R}$.
તેથી,$2R = 6$,જે $R = 3 \ m$ આપે છે.

(B) સળિયો મુખ્ય અક્ષ સાથે $\frac{2 \pi}{3} \text{ rad}$ $(120^{\circ})$ નો ખૂણો બનાવે છે. ઋણ x-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. સળિયાનો આડો ઘટક $L_x = 2 \cos(60^{\circ}) = 1 \text{ cm}$ અને ઊભો ઘટક $L_y = 2 \sin(60^{\circ}) = \sqrt{3} \text{ cm}$ છે.
લેન્સથી વસ્તુનું અંતર $u = -\frac{40}{3} \text{ cm}$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{3}{40} = \frac{4-3}{40} = \frac{1}{40}$,તેથી $v = 40 \text{ cm}$ મળે.
લેટરલ મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{40}{-40/3} = -3$ છે.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i = |m| \cdot L_y = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ cm}$ છે.
લોન્ગીટ્યુડિનલ મોટવણી $m_L = -\frac{v^2}{u^2} = -(\frac{40}{-40/3})^2 = -9$ છે.
મુખ્ય અક્ષ પર પ્રતિબિંબની લંબાઈ $L'_x = |m_L| \cdot L_x = 9 \cdot 1 = 9 \text{ cm}$ છે.
પ્રતિબિંબ દ્વારા મુખ્ય અક્ષ સાથે બનાવવામાં આવેલ ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \frac{h_i}{L'_x} = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$\alpha = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$.
તેથી,$n = 6$.

(D) પાતળા લેન્સનો પાવર લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સંમિત બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$, તેથી $P = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 4 \text{D}$.
જ્યારે લેન્સને $AB$ સમતલ (મુખ્ય અક્ષને લંબ) દ્વારા કાપવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક અડધા ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ બમણી થાય છે, જેનો અર્થ છે કે દરેક અડધા ભાગનો પાવર $P' = P/2 = 2 \text{D}$ થાય છે.
જ્યારે આ અડધા ભાગને $CD$ સમતલ (મુખ્ય અક્ષને સમાંતર) દ્વારા વધુ કાપવામાં આવે છે, ત્યારે વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન રહે છે, પરંતુ અસરકારક છિદ્ર (એપર્ચર) અડધું થઈ જાય છે। જો કે, લેન્સનો પાવર વક્રતા ત્રિજ્યા અને વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે, એપર્ચર પર નહીં। તેથી, ચાર ભાગોમાંથી દરેકનો પાવર અડધા લેન્સના પાવર જેટલો જ રહે છે, જે $P'' = 2 \text{D}$ છે।

(A) શરૂઆતનો ઓપ્ટિકલ પાવર $P = 2.5 \ D$ છે. શરૂઆતની કેન્દ્રલંબાઈ $F = \frac{1}{P} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \ m$ છે.
જ્યારે પાવરમાં $0.1 \ D$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવો પાવર $P' = 2.5 + 0.1 = 2.6 \ D$ થાય છે.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $F' = \frac{1}{P'} = \frac{1}{2.6} \ m$ છે.
કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો સાપેક્ષ ઘટાડો $\frac{F - F'}{F} = 1 - \frac{F'}{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $1 - \frac{1/2.6}{1/2.5} = 1 - \frac{2.5}{2.6} = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$ મળે છે.
આ કિંમતની ગણતરી કરતા,$\frac{1}{26} \approx 0.03846$,જે આશરે $0.04$ થાય છે.

(B) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે. સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ થાય.
હવામાં પ્રથમ લેન્સ માટે $(\mu_a = 1)$:
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$
$f_1 = 4 \ cm$.
પ્રવાહીમાં બીજા લેન્સ માટે $(\mu_l = 1.2)$:
$\frac{1}{f_2} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - 0 \right) = \left( \frac{1.5}{1.2} - 1 \right) \left( \frac{1}{3} \right)$
$\frac{1}{f_2} = (1.25 - 1) \times \frac{1}{3} = 0.25 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$
$f_2 = 12 \ cm$.
તેથી,$f_1 : f_2 = 4 : 12 = 1 : 3$.

(A) આપેલ છે:
ડ્રોનની ઊંચાઈ,$H = 18 \ \text{km} = 18 \times 10^3 \ \text{m}$.
લેન્ડસ્કેપનું ક્ષેત્રફળ,$A_{\text{landscape}} = 400 \ \text{km}^2 = (20 \ \text{km}) \times (20 \ \text{km})$.
તેથી,લેન્ડસ્કેપની બાજુની લંબાઈ $x = 20 \ \text{km} = 20 \times 10^3 \ \text{m}$ છે.
કેમેરા ફિલ્મનું કદ $2 \ \text{cm} \times 2 \ \text{cm}$ છે,તેથી પ્રતિબિંબની બાજુની લંબાઈ $y = 2 \ \text{cm} = 2 \times 10^{-2} \ \text{m}$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,વસ્તુની બાજુની લંબાઈ અને પ્રતિબિંબની બાજુની લંબાઈનો ગુણોત્તર એ વસ્તુના અંતર અને કેન્દ્રલંબાઈના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે (કારણ કે દૂરની વસ્તુ માટે પ્રતિબિંબ કેન્દ્રલંબાઈના સમતલ પર રચાય છે):
$\frac{x}{y} = \frac{H}{f}$
$\frac{20 \ \text{km}}{2 \ \text{cm}} = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$\frac{20 \times 10^3 \ \text{m}}{2 \times 10^{-2} \ \text{m}} = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$10^6 = \frac{18 \ \text{km}}{f}$
$f = \frac{18 \ \text{km}}{10^6} = 18 \times 10^{-6} \ \text{km} = 18 \times 10^{-6} \times 10^5 \ \text{cm} = 1.8 \ \text{cm}$.
તેથી,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $1.8 \ \text{cm}$ છે।

(B) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
વસ્તુ અંતર $u$ (જ્યાં $u$ ઋણ છે) અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ (જ્યાં $v$ ધન છે) માટે સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,આપણે $u = -|u|$ અને $v = |v|$ મૂકીએ છીએ.
સૂત્ર $\frac{1}{|v|} - \frac{1}{-|u|} = \frac{1}{f}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{|v|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$ થાય છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $\frac{1}{|v|} = \frac{1}{f} - \frac{1}{|u|} = \frac{|u|-f}{f|u|}$ મળે છે,તેથી $|v| = \frac{f|u|}{|u|-f}$.
આને $|v| - f = \frac{f|u|}{|u|-f} - f = \frac{f|u| - f(|u|-f)}{|u|-f} = \frac{f^2}{|u|-f}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,$(|v|-f)(|u|-f) = f^2$. આ એક લંબચોરસ હાઇપરબોલાનું સમીકરણ છે જેના અનંતસ્પર્શકો $|u|=f$ અને $|v|=f$ પર છે. ઉકેલની છબીમાં દર્શાવેલ આલેખ આ સંબંધને રજૂ કરે છે.

(D) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,ધારો કે $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$. તેથી,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{2}{R}$.
હવામાં: $\frac{1}{24} = (1.5 - 1) \frac{2}{R} = 0.5 \times \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$. તેથી,$R = 24 \ cm$.
પાણીમાં: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{1.5}{1.33} - 1 \right) \frac{2}{24}$.
$\mu_w = 1.33 \approx \frac{4}{3}$ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{f'} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \frac{1}{12} = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \frac{1}{12} = (1.125 - 1) \frac{1}{12} = 0.125 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{96}$.
તેથી,$f' = 96 \ cm$.

(B) બિંદુ $A$ માટે,વસ્તુ અંતર $u = -30 \ cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20 \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
આમ,$v = 60 \ cm$. મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$ છે.
નાની વસ્તુ માટે,રેખીય મોટવણી $m_L = \frac{dv}{du} = m^2 = (-2)^2 = 4$ છે. પ્રતિબિંબના સ્થાનમાં ફેરફાર $dv = m^2 du = 4 \times 1 \ cm = 4 \ cm$ છે.
અનુપ્રસ્થ મોટવણી $m = \frac{h_i}{h_o} = -2$ છે,તેથી પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i = m \times h_o = -2 \times 2 \ cm = -4 \ cm$ છે.
પ્રતિબિંબ ઉલટું અને વાસ્તવિક છે. પ્રતિબિંબ દ્વારા મુખ્ય અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{|h_i|}{|dv|} = \frac{4}{4} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રતિબિંબ ઉલટું હોવાથી,ખૂણો $-45^{\circ}$ છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \frac{2}{R}$.
અહીં $R = 1/6 \ cm$ આપેલ છે,તેથી પાવર $\frac{2}{R} = 2 \times 6 = 12 \ cm^{-1}$ ના પ્રમાણમાં છે.
નવા લેન્સ માટે,આપણે $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 12$ થવું જોઈએ.
વિકલ્પ $B$ તપાસતા: $R_1 = 1/5 \ cm$ અને $R_2 = 1/7 \ cm$,તેથી $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 5 + 7 = 12$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +10 \ cm$ અને $R_2 = -15 \ cm$ છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = +12 \ cm$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-15} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{3 + 2}{30} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{5}{30} \right)$.
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{6} \right)$.
$\mu - 1 = \frac{6}{12} = 0.5$.
$\mu = 1.5$.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_L}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
હવા માટે,$\mu_m = 1$ અને $f = 12 \ cm$:
$\frac{1}{12} = (1.6 - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
$\frac{1}{12} = 0.6(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
$(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = \frac{1}{12 \times 0.6} = \frac{1}{7.2} \ cm^{-1}$.
પાણી માટે,$\mu_m = 1.28$:
$\frac{1}{f_w} = (\frac{1.6}{1.28} - 1)(\frac{1}{7.2})$
$\frac{1}{f_w} = (1.25 - 1)(\frac{1}{7.2}) = 0.25 \times \frac{1}{7.2} = \frac{1}{4 \times 7.2} = \frac{1}{28.8} \ cm^{-1}$.
આમ,$f_w = 28.8 \ cm = 288 \ mm$.

(D) આ તંત્રમાં એક પ્રવાહી લેન્સ (સમતલ-અંતર્ગોળ) અને એક કાચનો લેન્સ (અંતર્ગોળ-બહિર્ગોળ) છે.
પ્રવાહી લેન્સ માટે: $\mu_l = 1.3$,$R_1 = \infty$,$R_2 = -30 \ cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_l} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.3 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-30} \right) = 0.3 \times \frac{1}{30} = \frac{0.3}{30} = \frac{1}{100} \ cm^{-1}$.
કાચના લેન્સ માટે: $\mu_g = 1.5$,$R_1 = -30 \ cm$,$R_2 = -20 \ cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_g} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-30} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \left( \frac{-2 + 3}{60} \right) = 0.5 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{120} \ cm^{-1}$.
કુલ કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટે: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_l} + \frac{1}{f_g} = \frac{1}{100} + \frac{1}{120} = \frac{6 + 5}{600} = \frac{11}{600} \ cm^{-1}$.
તેથી,$f = \frac{600}{11} \ cm$.

(B) સૂર્યનો કોણીય વ્યાસ $\theta = 0.5^{\circ}$ આપેલ છે.
આ ખૂણાને રેડિયનમાં ફેરવતા:
$\theta = 0.5^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \ \text{રેડિયન}$.
જ્યારે સૂર્ય જેવી દૂરની વસ્તુનું પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે, ત્યારે પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $d$, કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને કોણીય વ્યાસ $\theta$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\theta = \frac{d}{f}$
અહીં $f = 50 \ \text{cm} = 0.5 \ \text{m}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = f \times \theta = 0.5 \ \text{m} \times 0.5^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}$
$d = 0.5 \times 0.5 \times \frac{3.14159}{180} \ \text{m}$
$d \approx 0.004363 \ \text{m}$
$d \approx 4.36 \ \text{mm}$.

(D) લેન્સનો પાવર $P = 2 \ D$ આપેલ છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ મીટરમાં $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{2} = 0.5 \ m = 50 \ cm$ થાય.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
સમાન વક્રતા ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$ મળે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = 2f(\mu - 1)$ મળે.
આપેલ કિંમતો $f = 50 \ cm$ અને $\mu = 1.25$ મૂકતા:
$R = 2 \times 50 \times (1.25 - 1) = 100 \times 0.25 = 25 \ cm$.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,બહિર્ગોળ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = +15 \ cm$ અને સમતલ સપાટી માટે $R_2 = \infty$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = 1.6$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{\infty} \right)$.
$\frac{1}{f} = 0.6 \times \frac{1}{15} = \frac{0.6}{15} = \frac{6}{150} = \frac{1}{25} \ cm^{-1}$.
લેન્સનો પાવર $P$ ડાયોપ્ટર $(D)$ માં $P = \frac{100}{f(cm)}$ દ્વારા મળે છે.
$P = \frac{100}{25} = +4 \ D$.

(D) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવા માટે: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) K = 0.5 K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
આપેલ છે કે $f_a = 8 \ cm$,તેથી $\frac{1}{8} = 0.5 K \Rightarrow K = \frac{1}{4}$.
પાણી માટે: $\frac{1}{f_w} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1) K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_w} = (\frac{1.5}{4/3} - 1) \times \frac{1}{4} = (\frac{4.5}{4} - 1) \times \frac{1}{4} = (1.125 - 1) \times \frac{1}{4} = 0.125 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$.
તેથી,$f_w = 32 \ cm$.

(C) લેન્સ માટે મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{f+u}$ છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $u$ એ વસ્તુનું અંતર છે (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,$u$ ઋણ લેવામાં આવે છે).
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$f = +20 \ cm$.
જ્યારે $u_1 = -25 \ cm$ હોય,ત્યારે $m_{25} = \frac{20}{20 + (-25)} = \frac{20}{-5} = -4$.
જ્યારે $u_2 = -50 \ cm$ હોય,ત્યારે $m_{50} = \frac{20}{20 + (-50)} = \frac{20}{-30} = -\frac{2}{3}$.
ગુણોત્તર $\frac{m_{25}}{m_{50}} = \frac{-4}{-2/3} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.

(A) બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર: $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$ છે.
અહીં $n = 1.5$,$R_{1} = 20 \ cm$,અને $R_{2} = -20 \ cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{20} \right) = 0.5 \times 0.1 = 0.05$.
તેથી,$f = \frac{1}{0.05} = 20 \ cm$.
અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ જેટલી છે,તેથી $f_{mirror} = 20 \ cm$.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે,તેથી $f = -20 \ cm$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = 2f$ છે,તેથી $R = 2(-20 \ cm) = -40 \ cm$.