Dispersion of Light Questions in Gujarati

(B) કોશીના વિક્ષેપના સૂત્ર મુજબ,પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\mu \approx A + \frac{B}{\lambda^2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_v)$ સૌથી ઓછી હોય છે અને લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_r)$ સૌથી વધુ હોય છે $(\lambda_v < \lambda_r)$,તેથી વક્રીભવનાંક તરંગલંબાઇ સાથે વ્યસ્ત સંબંધ ધરાવે છે.
આથી,સૌથી ઓછી તરંગલંબાઇ ધરાવતા પ્રકાશ એટલે કે જાંબલી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક સૌથી વધુ હોય છે.

(B) લેન્સનો વિભાજન પાવર $\omega$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\omega = \frac{f_R - f_V}{f_y}$, જ્યાં $f_R$ એ લાલ પ્રકાશ માટેની કેન્દ્રલંબાઈ છે, $f_V$ એ વાદળી પ્રકાશ માટેની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_y$ એ સરેરાશ કેન્દ્રલંબાઈ છે。
પાતળા લેન્સ માટે, સરેરાશ કેન્દ્રલંબાઈ આશરે $f_y = \sqrt{f_R f_V}$ લેવામાં આવે છે。
આપેલ છે: $f_R = 100 \text{ cm}$, $f_V = 96.8 \text{ cm}$.
સૌ પ્રથમ, સરેરાશ કેન્દ્રલંબાઈ શોધો: $f_y = \sqrt{100 \times 96.8} = \sqrt{9680} \approx 98.387 \text{ cm}$.
હવે, વિભાજન પાવરની ગણતરી કરો: $\omega = \frac{100 - 96.8}{98.387} = \frac{3.2}{98.387} \approx 0.0325$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે。

(B) કોઈપણ દ્રવ્યની વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ અંતિમ રંગો (જાંબલી અને લાલ) માટેના કોણીય વિભાજન અને પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા સરેરાશ વિચલનનો ગુણોત્તર છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y}$
પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{(\mu_v - 1)A - (\mu_r - 1)A}{(\mu_y - 1)A}$
$A$ ને દૂર કરીને પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\omega = \frac{\mu_v - 1 - \mu_r + 1}{\mu_y - 1}$
$\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $\omega$ એ પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu - 1}$,જ્યાં $\mu_v$ અને $\mu_r$ એ જાંબલી અને લાલ પ્રકાશ માટેના વક્રીભવનાંક છે,અને $\mu$ એ સરેરાશ વક્રીભવનાંક છે.
જેમ કે $\mu_v, \mu_r,$ અને $\mu$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યના ગુણધર્મો છે,તેથી વિભાજન શક્તિ $\omega$ માત્ર પ્રિઝમના દ્રવ્યની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે અને તે પ્રિઝમના ખૂણા કે આકારથી સ્વતંત્ર છે.

(A) કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu = a + \frac{b}{\lambda^2}$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે.
વિભાજન $D$ એ તરંગલંબાઈની સાપેક્ષમાં વક્રીભવનાંકના ફેરફારના દરનું મૂલ્ય છે: $D = |\frac{d\mu}{d\lambda}|$.
વિકલન કરતા: $\frac{d\mu}{d\lambda} = \frac{d}{d\lambda}(a + b\lambda^{-2}) = -2b\lambda^{-3}$.
આમ,$D = | -\frac{2b}{\lambda^3} | = \frac{2b}{\lambda^3}$.
આ દર્શાવે છે કે $D \propto \frac{1}{\lambda^3}$.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = 2\lambda$ માટે,નવું વિભાજન $D'$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{D'}{D} = (\frac{\lambda}{\lambda'})^3 = (\frac{\lambda}{2\lambda})^3 = \frac{1}{8}$.
તેથી,$D' = \frac{D}{8}$.

(A) પદાર્થની વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનનો ગુણોત્તર છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_v$ અને $\mu_r$ એ જાંબલી અને લાલ પ્રકાશ માટેના વક્રીભવનાંક છે,અને $\mu$ એ સરેરાશ વક્રીભવનાંક છે.
ક્રાઉન ગ્લાસની સરખામણીમાં ફ્લિન્ટ ગ્લાસનો વક્રીભવનાંક વધારે હોય છે અને અંતિમ રંગોના વક્રીભવનાંક વચ્ચેનો તફાવત પણ વધુ હોય છે.
તેથી,ફ્લિન્ટ ગ્લાસની વિભાજન શક્તિ ક્રાઉન ગ્લાસ કરતા વધારે હોય છે.

(A) વિભાજન શક્તિ $\omega$ શોધવાનું સૂત્ર $\omega = \frac{n_v - n_r}{n_y - 1}$ છે,જ્યાં $n_v, n_r$ અને $n_y$ અનુક્રમે જાંબલી,લાલ અને પીળા રંગના વક્રીભવનાંક છે.
ક્રાઉન ગ્લાસ માટે:
$\omega_{\text{crown}} = \frac{1.5318 - 1.5140}{1.5170 - 1} = \frac{0.0178}{0.5170} \approx 0.034$
ફ્લિન્ટ ગ્લાસ માટે:
$\omega_{\text{flint}} = \frac{1.6852 - 1.6434}{1.6499 - 1} = \frac{0.0418}{0.6499} \approx 0.064$
આમ,વિભાજન શક્તિ અનુક્રમે $0.034$ અને $0.064$ છે.

(B) વિચલન વગરનું વિભાજન બે પ્રિઝમ (સામાન્ય રીતે ક્રાઉન અને ફ્લિન્ટ ગ્લાસ) ના સંયોજનનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે,જેથી સરેરાશ રંગ માટે ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય થાય.
દ્રશ્ય વર્ણપટમાં,સરેરાશ રંગ તરીકે પીળા રંગને લેવામાં આવે છે.
તેથી,પીળા કિરણ માટે કુલ વિચલન શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે નિર્ગમન પામતું પીળું કિરણ આપાત કિરણને સમાંતર હોય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કોણીય વિભાજન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta = (\mu_v - \mu_r)A$.
આપેલ છે:
જાંબલી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_v = 1.54$.
લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_r = 1.52$.
પ્રિઝમનો ખૂણો,$A = 10^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta = (1.54 - 1.52) \times 10^{\circ}$.
$\theta = 0.02 \times 10^{\circ}$.
$\theta = 0.2^{\circ}$.
તેથી,કોણીય વિભાજન $0.2^{\circ}$ છે.

(C) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $\omega$ એ અંતિમ રંગો (જાંબલી અને લાલ) વચ્ચેના કોણીય વિભાજન અને પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા સરેરાશ વિચલનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\omega = \frac{\mu_V - \mu_R}{\mu_Y - 1}$,જ્યાં $\mu_V$,$\mu_R$,અને $\mu_Y$ એ અનુક્રમે જાંબલી,લાલ અને પીળા રંગ માટેના વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે: $\mu_R = 1.61$,$\mu_Y = 1.63$,અને $\mu_V = 1.65$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{1.65 - 1.61}{1.63 - 1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પદાર્થની વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ અંતિમ રંગો માટેના કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનનો ગુણોત્તર છે.
તેનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$
આપેલ છે:
જાંબલી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_v = 1.64$
લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_r = 1.52$
પીળા પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_y = 1.60$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1.64 - 1.52}{1.60 - 1}$
$\omega = \frac{0.12}{0.60}$
$\omega = 0.2$
આમ,પદાર્થની વિભાજન શક્તિ $0.2$ છે.

(A) વિક્ષેપન (Dispersion) ત્યારે થાય છે કારણ કે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
વક્રીભવનાંક $n$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ સાથે $n = c/v$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે. તેથી,જુદી જુદી તરંગલંબાઈ માટે વક્રીભવનાંકમાં ફેરફારનો અર્થ એ છે કે જુદી જુદી તરંગલંબાઈ ધરાવતો પ્રકાશ માધ્યમમાં અલગ-અલગ ઝડપે પ્રસરણ પામે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,કાચમાં લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક જાંબલી પ્રકાશ કરતા ઓછો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે લાલ પ્રકાશ જાંબલી પ્રકાશ કરતા વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
તેથી,માધ્યમ વિક્ષેપક હોવા માટેની સાચી શરત એ છે કે જુદી જુદી તરંગલંબાઈ ધરાવતો પ્રકાશ અલગ-અલગ ઝડપે પ્રસરણ પામે છે.

(A) પદાર્થની વિભાજન શક્તિ $\omega$ એ અંતિમ રંગો વચ્ચેના કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\omega = \frac{\mu_F - \mu_C}{\mu_D - 1}$
આપેલ છે:
વાદળી $F$ રેખા માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_F = 1.6333$
લાલ $C$ રેખા માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_C = 1.6161$
પીળી $D$ રેખા માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_D = 1.622$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1.6333 - 1.6161}{1.622 - 1}$
$\omega = \frac{0.0172}{0.622}$
$\omega = 0.02765... \approx 0.0276$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) જ્યારે સફેદ પ્રકાશ કાચના પ્રિઝમમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજિત થાય છે. આ ઘટનાને વિક્ષેપન (Dispersion) કહેવામાં આવે છે. વિક્ષેપન એટલા માટે થાય છે કારણ કે કાચના પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ પર આધાર રાખે છે. વિવિધ રંગોની તરંગલંબાઇ અલગ-અલગ હોવાથી,તેઓનું વક્રીભવન પણ અલગ-અલગ પ્રમાણમાં થાય છે,જેના કારણે તેઓ છૂટા પડે છે. તેથી,સફેદ પ્રકાશનું વિભાજન મુખ્યત્વે વક્રીભવનને કારણે થાય છે.

(C) માધ્યમની વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનનો ગુણોત્તર છે.
તેનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\omega = \frac{\mu_v - \mu_R}{\mu_y - 1}$
આપેલ કિંમતો:
જાંબલી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_v = 1.62$
લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_R = 1.52$
પીળા પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_y = 1.55$
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1.62 - 1.52}{1.55 - 1}$
$\omega = \frac{0.10}{0.55}$
$\omega = \frac{10}{55} = \frac{2}{11} \approx 0.1818$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\omega = 0.18$ મળે છે.

(A) માધ્યમની વિભાજન શક્તિ $\omega$ એ કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\omega = \frac{\mu_V - \mu_R}{\mu_Y - 1}$
આપેલ છે:
જાંબલી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_V = 1.62$
લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_R = 1.42$
પીળા પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_Y = 1.50$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{1.62 - 1.42}{1.50 - 1}$
$\omega = \frac{0.20}{0.50}$
$\omega = 0.4$
આમ,માધ્યમની વિભાજન શક્તિ $0.4$ છે.

(B) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનનો ગુણોત્તર છે.
તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$
જ્યાં:
$\mu_v = 1.69$ (જાંબલી રંગ માટે વક્રીભવનાંક)
$\mu_r = 1.65$ (લાલ રંગ માટે વક્રીભવનાંક)
$\mu_y = 1.66$ (સરેરાશ રંગ માટે વક્રીભવનાંક)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1.69 - 1.65}{1.66 - 1}$
$\omega = \frac{0.04}{0.66}$
$\omega = \frac{4}{66} = \frac{2}{33} \approx 0.0606$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\omega = 0.06$ મળે છે.

(A) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ અંતિમ રંગો (જાંબલી અને લાલ) વચ્ચેના કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલન (પીળો રંગ) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $\omega = \frac{\delta_V - \delta_R}{\delta_Y}$
આપેલ છે:
$\delta_V = 3.72^\circ$
$\delta_R = 2.84^\circ$
$\delta_Y = 3.28^\circ$
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{3.72 - 2.84}{3.28}$
$\omega = \frac{0.88}{3.28}$
$\omega = 0.268$
આમ,પ્રિઝમના દ્રવ્યની વિભાજન શક્તિ $0.268$ છે.

(A) પ્રકાશનું વિભાજન એ એવી ઘટના છે જેમાં શ્વેત પ્રકાશ પ્રિઝમમાંથી પસાર થાય ત્યારે તે તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજિત થાય છે.
આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
કોશીના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $n$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે $n(\lambda) = A + B/\lambda^2 + C/\lambda^4 + \dots$ સંબંધ ધરાવે છે.
જુદા જુદા રંગોની તરંગલંબાઈ અલગ-અલગ હોવાથી,તેઓ માધ્યમમાં અલગ-અલગ ઝડપે ગતિ કરે છે અને તેમનું વિચલન પણ અલગ-અલગ થાય છે,જેના પરિણામે વિભાજન જોવા મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) શ્વેત પ્રકાશનું તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજન થવાની ઘટનાને વિભાજન (dispersion) કહેવામાં આવે છે. પ્રિઝમની સામગ્રીનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,જે કોશીના સમીકરણ $\mu(\lambda) = A + B/\lambda^2 + ...$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. વિવિધ રંગોની તરંગલંબાઇ અલગ-અલગ હોવાથી,તેઓ પ્રિઝમની અંદર અલગ-અલગ વક્રીભવનાંક $\mu$ અનુભવે છે. પરિણામે,પ્રિઝમના સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ મુજબ દરેક રંગ અલગ-અલગ વિચલન કોણ અનુભવે છે. તેથી,સાચું કારણ એ છે કે $\mu$ એ અલગ-અલગ $\lambda$ માટે અલગ-અલગ હોય છે.

(A) કોશીનું વિક્ષેપન સૂત્ર પારદર્શક માધ્યમના વક્રીભવનાંક $n$ અને તેમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
તે પ્રાયોગિક રીતે આ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \dots$
જ્યાં $A$,$B$,અને $C$ એ પદાર્થ માટેના અચળાંકો છે.
આમ,સાચું સૂત્ર $n = A + B\lambda^{-2} + C\lambda^{-4}$ છે.

(D) વિભાજન શક્તિ એ ઓપ્ટિકલ ઘટકના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે. તે માત્ર પ્રકાશની વિવિધ તરંગલંબાઇઓ (ખાસ કરીને જાંબલી,લાલ અને પીળા પ્રકાશ માટે) માટે દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે. આપેલ તમામ વસ્તુઓ (બહિર્ગોળ લેન્સ,કાચનો સ્લેબ,કાચનો પ્રિઝમ અને નક્કર ગોળો) એક જ કાચમાંથી બનેલી હોવાથી,તે બધામાં સમાન વિભાજન શક્તિ હોય છે. તેથી,વિભાજનનો ગુણધર્મ ચારેય વસ્તુઓમાં જોવા મળે છે.

(C) લેન્સની વિભાજન શક્તિ $\omega$ એ લાલ અને વાદળી પ્રકાશ માટેની કેન્દ્રલંબાઈના તફાવત અને સરેરાશ કેન્દ્રલંબાઈ (પીળો પ્રકાશ) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વાદળી પ્રકાશ માટે કેન્દ્રલંબાઈ,$f_v = 0.20 \ m$
પીળા પ્રકાશ માટે કેન્દ્રલંબાઈ,$f_y = 0.205 \ m$
લાલ પ્રકાશ માટે કેન્દ્રલંબાઈ,$f_r = 0.214 \ m$
વિભાજન શક્તિનું સૂત્ર $\omega = \frac{f_r - f_v}{f_y}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{0.214 - 0.200}{0.205} = \frac{0.014}{0.205} = \frac{14}{205}$.

(A) દ્રવ્યની વિભાજન શક્તિ $\omega$ એ કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$
આપેલ કિંમતો:
વાદળી પ્રકાશ (જાંબલી છેડો) માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_v = 1.67$
લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_r = 1.63$
પીળા પ્રકાશ (સરેરાશ) માટે વક્રીભવનાંક,$\mu_y = 1.65$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{1.67 - 1.63}{1.65 - 1}$
$\omega = \frac{0.04}{0.65}$
$\omega = \frac{4}{65} \approx 0.0615$
આમ,દ્રવ્યની વિભાજન શક્તિ $0.0615$ છે.

(C) વિક્ષેપન ક્ષમતાનું સૂત્ર $\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સરેરાશ વક્રીભવનાંક $\mu_y$ ની ગણતરી $\mu_y = \frac{\mu_v + \mu_r}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરીશું.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\mu_y = \frac{1.52 + 1.51}{2} = \frac{3.03}{2} = 1.515$.
હવે,$\mu_y$,$\mu_v$,અને $\mu_r$ ની કિંમતો વિક્ષેપન ક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{1.52 - 1.51}{1.515 - 1} = \frac{0.01}{0.515} \approx 0.0194$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $0.019$ છે.

(C) પાતળા લેન્સ માટે રેખીય વર્ણ વિપથન $(LCA)$ એ તેના વિભેદન પાવર $(\omega)$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$LCA = \omega \times f$
આપેલ છે:
વિભેદન પાવર $(\omega) = 0.08$
કેન્દ્રલંબાઈ $(f) = 20 \ cm$
તેથી, $LCA = 0.08 \times 20 \ cm = 1.6 \ cm$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પાતળા લેન્સ માટે રેખીય વર્ણ વિપથન $(LCA)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$LCA = \omega \times f$
જ્યાં $\omega$ એ વિભેદન પાવર છે અને $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે:
કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ = $20 \ cm$
વિભેદન પાવર $(\omega)$ = $0.08$
કિંમતો મૂકતા:
$LCA = 0.08 \times 20 \ cm$
$LCA = 1.6 \ cm$
આમ,રેખીય વર્ણ વિપથન $1.6 \ cm$ થશે.

(A) પ્રિઝમનો વિભેદન પાવર $\omega$ શોધવાનું સૂત્ર: $\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$,જ્યાં $\mu_v, \mu_r, \mu_y$ એ અનુક્રમે જાંબલી,લાલ અને પીળા રંગના વક્રીભવનાંક છે.
પ્રથમ પ્રિઝમ માટે:
$\omega_1 = \frac{1.5318 - 1.5140}{1.5170 - 1} = \frac{0.0178}{0.5170} \approx 0.034$.
બીજા પ્રિઝમ માટે:
$\omega_2 = \frac{1.6852 - 1.6434}{1.6499 - 1} = \frac{0.0418}{0.6499} \approx 0.064$.
આમ,વિભેદન પાવર અનુક્રમે $0.034$ અને $0.064$ છે.

(B) કોણીય વિભાજન એ બે તરંગલંબાઈઓ માટે વિચલન કોણનો તફાવત છે,જે $(\theta + d\theta) - \theta = d\theta$ થાય છે.
તરંગલંબાઈમાં ફેરફાર $d\lambda$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
માધ્યમ અથવા પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $\omega$ ને બે તરંગલંબાઈઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ કિરણના વિચલનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\omega = \frac{\text{Angular dispersion}}{\text{Deviation in mean ray}} = \frac{d\theta}{d\lambda}$.

(D) કોઈપણ દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $(n)$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ પર આધાર રાખે છે, જેને વિભાજન (dispersion) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે। કોશીના સમીકરણ મુજબ, $n(\lambda) = A + B/\lambda^2 + C/\lambda^4 + ...$, જ્યાં $A, B, C$ અચળાંકો છે.
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$. આથી, $f$ પણ તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે કારણ કે $n$ એ $\lambda$ પર આધારિત છે.
લેન્સનો પાવર $(P)$ એ $P = \frac{1}{f}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. કારણ કે $f$ એ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે, તેથી પાવર $P$ પણ તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી, આપેલી તમામ રાશિઓ (વક્રીભવનાંક, કેન્દ્રલંબાઈ અને પાવર) આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે।

(B) વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
ગાણિતિક રીતે, $\omega = \frac{\delta_2 - \delta_1}{\delta_{avg}}$, જ્યાં $\delta_2$ અને $\delta_1$ એ અંતિમ તરંગલંબાઇઓના વિચલન છે અને $\delta_{avg}$ એ સરેરાશ તરંગલંબાઇનું વિચલન છે।
દ્રશ્ય રીતે, વિભાજન શક્તિ એ સરેરાશ કિરણ $(\lambda_{avg})$ ના વિચલનની સાપેક્ષમાં અંતિમ કિરણો ($\lambda_1$ અને $\lambda_2$) વચ્ચેના કોણીય ફેલાવા (angular spread) ના પ્રમાણમાં હોય છે।
આકૃતિ $B$ માં, $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ ને અનુરૂપ કિરણો વચ્ચેનું કોણીય અંતર એ સરેરાશ કિરણ $\lambda_{avg}$ ના વિચલનની સાપેક્ષમાં સૌથી વધુ છે।
તેથી, આકૃતિ $B$ મહત્તમ વિભાજન શક્તિ ધરાવતો કિસ્સો દર્શાવે છે।

(B) વિભાજન શક્તિ $\omega$ નું સૂત્ર: $\omega = \frac{\mu_{v} - \mu_{R}}{\mu_{y} - 1}$ છે.
અહીં,$\mu_{v} = 1.52$ અને $\mu_{R} = 1.51$ છે.
સરેરાશ વક્રીભવનાંક $\mu_{y}$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\mu_{y} = \frac{\mu_{v} + \mu_{R}}{2} = \frac{1.52 + 1.51}{2} = 1.515$.
હવે,આ કિંમતોને વિભાજન શક્તિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{1.52 - 1.51}{1.515 - 1} = \frac{0.01}{0.515}$.
$\omega \approx 0.0194$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\omega = 0.019$ મળે છે.

(A) વિભાજન શક્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{\mu_V - \mu_R}{\mu_y - 1}$ છે.
આપેલ છે: $\mu_V = 1.6333$ (વાદળી) અને $\mu_R = 1.6161$ (લાલ).
સરેરાશ વક્રીભવનાંક $\mu_y = \frac{\mu_V + \mu_R}{2} = \frac{1.6333 + 1.6161}{2} = 1.6247$.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{1.6333 - 1.6161}{1.6247 - 1} = \frac{0.0172}{0.6247} \approx 0.02753$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$\omega = 0.0276$ મળે છે.

(C) વક્રીભવનાંક $\mu$ અને પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ કોશીના વિક્ષેપન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે આશરે $\mu = A + \frac{B}{\lambda^2}$ છે,જ્યાં $A$ અને $B$ અચળાંકો છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે જેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ વધે છે,તેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ ઘટે છે.
આલેખની દ્રષ્ટિએ,આ એક એવો વક્ર દર્શાવે છે જે નાની $\lambda$ માટે $\mu$ ના ઊંચા મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને જેમ $\lambda$ વધે છે તેમ ઘટે છે,અને જેમ $\lambda \rightarrow \infty$ થાય તેમ તે અચળ મૂલ્ય $A$ ની નજીક પહોંચે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલો વક્ર આ વ્યસ્ત સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સૌથી યોગ્ય છે.

(C) વિભાજન શક્તિ $\omega$ એ કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનનો ગુણોત્તર છે.
તેનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$,જ્યાં $\mu_y \approx \frac{\mu_v + \mu_r}{2}$.
આપેલ છે: $\mu_v = 1.5230$ અને $\mu_r = 1.5145$.
સૌ પ્રથમ,સરેરાશ વક્રીભવનાંકની ગણતરી કરો: $\mu_y = \frac{1.5230 + 1.5145}{2} = \frac{3.0375}{2} = 1.51875$.
હવે,કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો: $\omega = \frac{1.5230 - 1.5145}{1.51875 - 1} = \frac{0.0085}{0.51875}$.
અંતિમ કિંમતની ગણતરી કરતા: $\omega \approx 0.016385$,જે આશરે $0.0164$ થાય છે.

(N/A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ,એટલે કે આશરે $3 \times 10^{8} \ m/s$,એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે. તે ઉદગમ,અવલોકનકાર અથવા બંનેની ગતિથી પ્રભાવિત થતું નથી. તેથી,આપેલા પરિબળોમાંથી કોઈ પણ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપને અસર કરતું નથી.
$(b)$ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ તે માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે (વિક્ષેપન એટલે કે dispersion ની ઘટનાને કારણે).

લાંબા સમયથી જાણીતું છે કે જ્યારે સૂર્યપ્રકાશનું એક સાંકડું કિરણ,જેને સામાન્ય રીતે શ્વેત પ્રકાશ કહેવામાં આવે છે,તે કાચના પ્રિઝમ પર આપાત થાય છે,ત્યારે બહાર આવતો પ્રકાશ ઘણા રંગોનો બનેલો જોવા મળે છે.
વાસ્તવમાં રંગોમાં સતત વિવિધતા હોય છે,પરંતુ વ્યાપકપણે,ક્રમમાં દેખાતા વિવિધ ઘટક રંગો આ મુજબ છે: જાંબલી,નીલો,વાદળી,લીલો,પીળો,નારંગી અને લાલ (જેને $VIBGYOR$ સંજ્ઞા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે).
લાલ પ્રકાશ સૌથી ઓછો વળે છે જ્યારે જાંબલી પ્રકાશ સૌથી વધુ વળે છે.
પ્રકાશનું તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજન થવાની ઘટનાને વિભાજન (dispersion) કહેવામાં આવે છે.
પ્રકાશના રંગીન ઘટકોની ભાતને પ્રકાશનું વર્ણપટ (spectrum) કહેવામાં આવે છે.

(N/A) દરેક રંગ પ્રકાશની ચોક્કસ તરંગલંબાઇ સાથે સંકળાયેલ છે.
દ્રશ્ય વર્ણપટમાં, લાલ પ્રકાશ લાંબી તરંગલંબાઇના છેડે $(\sim 700 \, nm)$ હોય છે, જ્યારે જાંબલી પ્રકાશ ટૂંકી તરંગલંબાઇના છેડે $(\sim 400 \, nm)$ હોય છે.
વિક્ષેપન (Dispersion) એટલા માટે થાય છે કારણ કે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક વિવિધ તરંગલંબાઇઓ (રંગો) માટે અલગ-અલગ હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સફેદ પ્રકાશના લાલ ઘટકનું વિચલન સૌથી ઓછું હોય છે, જ્યારે જાંબલી ઘટક માટે તે સૌથી વધુ હોય છે.
તેના સમકક્ષ, કાચના પ્રિઝમમાં લાલ પ્રકાશ જાંબલી પ્રકાશ કરતા વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
નીચેનું કોષ્ટક ક્રાઉન ગ્લાસ અને ફ્લિન્ટ ગ્લાસ માટે વિવિધ તરંગલંબાઇઓ પર વક્રીભવનાંક આપે છે:

રંગ	તરંગલંબાઇ $(nm)$	ક્રાઉન ગ્લાસ	ફ્લિન્ટ ગ્લાસ
જાંબલી	$396.9$	$1.533$	$1.663$
વાદળી	$486.1$	$1.523$	$1.639$
પીળો	$589.3$	$1.517$	$1.627$
લાલ	$656.3$	$1.515$	$1.622$

(N/A) જો માધ્યમનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખતો હોય,તો તે માધ્યમને $dispersive$ (વિભાજક) માધ્યમ કહેવામાં આવે છે. આવા માધ્યમમાં,અલગ-અલગ રંગો (તરંગલંબાઈઓ) અલગ-અલગ ઝડપે ગતિ કરે છે,જેના કારણે પ્રકાશ તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજિત થાય છે.
જો માધ્યમનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઈથી સ્વતંત્ર હોય,તો તે માધ્યમને $non-dispersive$ (અવિભાજક) માધ્યમ કહેવામાં આવે છે. આવા માધ્યમમાં,બધા જ રંગો સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે.
$1$. $Non-dispersive$ માધ્યમ: શૂન્યાવકાશ (અથવા આશરે હવા) એ $non-dispersive$ માધ્યમ છે. આથી જ સૂર્યપ્રકાશ આપણી પાસે સફેદ પ્રકાશ તરીકે પહોંચે છે,અલગ પડેલા રંગો તરીકે નહીં.
$2$. $Dispersive$ માધ્યમ: કાચ અથવા પાણી એ $dispersive$ માધ્યમોના ઉદાહરણો છે,કારણ કે તે સફેદ પ્રકાશનું તેના વર્ણપટમાં વિભાજન કરે છે.

(C) શ્વેત પ્રકાશ સાત અલગ-અલગ રંગોનો બનેલો છે,જેને સામૂહિક રીતે વર્ણપટ (spectrum) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ રંગો તેમની વધતી જતી આવૃત્તિ અને ઘટતી જતી તરંગલંબાઇના ક્રમમાં ગોઠવાયેલા હોય છે,જેને સામાન્ય રીતે $VIBGYOR$ સંક્ષિપ્ત નામ દ્વારા યાદ રાખવામાં આવે છે.
તેના ઘટક રંગો નીચે મુજબ છે:
$1$. જાંબલી (Violet)
$2$. જામુની (Indigo)
$3$. વાદળી (Blue)
$4$. લીલો (Green)
$5$. પીળો (Yellow)
$6$. નારંગી (Orange)
$7$. લાલ (Red)
તેથી,શ્વેત પ્રકાશમાં રંગોનો સાચો ક્રમ જાંબલી,જામુની,વાદળી,લીલો,પીળો,નારંગી અને લાલ છે.

(B) પ્રકાશનું વિભાજન એ એક એવી ઘટના છે જેમાં શ્વેત પ્રકાશ જ્યારે કાચના પ્રિઝમ જેવા વક્રીભવનકારક માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તે તેના ઘટક રંગો (વર્ણપટ) માં વિભાજિત થાય છે.
આ ઘટના એટલા માટે થાય છે કારણ કે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઇ પર આધાર રાખે છે.
પરિણામે,જુદા જુદા રંગો માધ્યમની અંદર અલગ-અલગ ઝડપે ગતિ કરે છે અને અલગ-અલગ ખૂણે વળે છે,જેના કારણે તેઓ છૂટા પડે છે.

(N/A) વિક્ષેપકારક માધ્યમ એવું માધ્યમ છે જેમાં તરંગનો કળા વેગ (phase velocity) તેની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે. પ્રકાશશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં,વિક્ષેપકારક માધ્યમ એ છે જેમાં વક્રીભવનાંક $n$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે બદલાય છે. પરિણામે,પ્રકાશના વિવિધ રંગો (તરંગલંબાઈઓ) માધ્યમમાંથી અલગ-અલગ ઝડપે ગતિ કરે છે,જેના કારણે તેઓ અલગ-અલગ ખૂણે વક્રીભવન પામે છે. વિક્ષેપકારક માધ્યમનું ઉત્તમ ઉદાહરણ કાચ અથવા પાણી છે,જે પ્રિઝમમાંથી પસાર થતી વખતે શ્વેત પ્રકાશને તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજિત કરે છે (વિક્ષેપન).

(C) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $\omega$ ને $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\delta_v$ અને $\delta_r$ એ વાદળી અને લાલ કિરણોના વિચલન છે,અને $\delta_y$ એ સરેરાશ વિચલન છે,જે $\delta_y = \frac{\delta_v + \delta_r}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ પ્રિઝમ માટે: $\delta_v = 10^{\circ}$,$\delta_r = 6^{\circ}$.
$\delta_{y1} = \frac{10^{\circ} + 6^{\circ}}{2} = 8^{\circ}$.
$\omega_1 = \frac{10^{\circ} - 6^{\circ}}{8^{\circ}} = \frac{4}{8} = 0.5$.
બીજા પ્રિઝમ માટે: $\delta_v = 8^{\circ}$,$\delta_r = 4.5^{\circ}$.
$\delta_{y2} = \frac{8^{\circ} + 4.5^{\circ}}{2} = 6.25^{\circ}$.
$\omega_2 = \frac{8^{\circ} - 4.5^{\circ}}{6.25^{\circ}} = \frac{3.5}{6.25} = 0.56$.
વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{0.5}{0.56} \approx 0.89$ છે.

(B) જ્યારે પ્રકાશ જાડા લેન્સમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે પ્રિઝમની જેમ વર્તે છે.
પ્રકાશની વિવિધ તરંગલંબાઇઓ (રંગો) લેન્સના દ્રવ્યમાં અલગ-અલગ ઝડપે ગતિ કરે છે,જેના કારણે દરેક રંગ માટે વક્રીભવનાંક અલગ-અલગ હોય છે.
આ ઘટના,જેમાં તરંગલંબાઇ સાથે વક્રીભવનાંકમાં ફેરફાર થવાને કારણે શ્વેત પ્રકાશ તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજિત થાય છે,તેને વિક્ષેપન (Dispersion) કહેવામાં આવે છે.
પરિણામે,લેન્સ વિવિધ રંગોને સહેજ અલગ બિંદુઓ પર કેન્દ્રિત કરે છે,જેના પરિણામે રંગીન કિનારીઓ અથવા અસ્પષ્ટ છબીઓ બને છે,જેને વર્ણવિપથન (Chromatic aberration) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,જાડા લેન્સને કારણે રંગીન છબીઓ બનવાની ઘટના વિક્ષેપનના ગુણધર્મ દ્વારા સમજાવી શકાય છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં,તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો,તેમની આવૃત્તિ કે તરંગલંબાઇને ધ્યાનમાં લીધા વિના,સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે,જે $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
તેથી,શૂન્યાવકાશમાં લાલ પ્રકાશ અન્ય રંગો કરતા ઝડપથી ગતિ કરે છે તે વિધાન ખોટું છે,કારણ કે શૂન્યાવકાશમાં સફેદ પ્રકાશના તમામ રંગો સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછી હોય છે અને તેનું વિચલન સૌથી વધુ થાય છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે કોઈપણ ભૌતિક માધ્યમમાં લાલ પ્રકાશનો વક્રીભવનાંક જાંબલી પ્રકાશ કરતા ઓછો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $v = c/n$ મુજબ લાલ પ્રકાશ માટે ઝડપ વધારે હોય છે.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે કારણ કે ફ્લિન્ટ ગ્લાસની વિભાજન શક્તિ અને વક્રીભવનાંક સામાન્ય રીતે ક્રાઉન ગ્લાસ કરતા વધારે હોય છે.

(A) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ કોણીય વિભાજન $(\delta_v - \delta_r)$ અને સરેરાશ વિચલન $(\delta_y)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે, $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y} = \frac{(\mu_v - 1)A - (\mu_r - 1)A}{(\mu_y - 1)A} = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિભાજન શક્તિ માત્ર પ્રિઝમના દ્રવ્યના વિવિધ રંગો માટેના વક્રીભવનાંક $(\mu_v, \mu_r, \mu_y)$ પર આધાર રાખે છે.
તે પ્રિઝમના ખૂણા $(A)$, આકાર કે કદ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.