Velocity in Mirrors (Kinematics) Questions in Gujarati

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{f^2} \frac{df}{dt} = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt}$ મળે છે.
અહીં $f$ અચળ હોવાથી,$\frac{df}{dt} = 0$,તેથી $\frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$.
અહીં $v_i = \frac{dv}{dt}$ અને $v_o = \frac{du}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે $f = -24 \; cm$,$u = -60 \; cm$,અને $v_o = -9 \; cm/s$ (અરીસા તરફ ગતિ).
$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} = \frac{1}{-24} - \frac{1}{-60} = \frac{-5 + 2}{120} = -\frac{1}{40}$,તેથી $v = -40 \; cm$.
પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i = -(\frac{v}{u})^2 v_o = -(\frac{-40}{-60})^2 (-9) = -(\frac{2}{3})^2 (-9) = -(\frac{4}{9})(-9) = 4 \; cm/s$.
ધન નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ અરીસાથી દૂર ગતિ કરે છે.

(C) ધારો કે પદાર્થનો વેગ $\vec{v}_O = v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ છે,જ્યાં $x$-અક્ષ અરીસાને લંબ છે અને $y$-અક્ષ અરીસાની સપાટીને સમાંતર છે.
સમતલ અરીસા દ્વારા બનતા પદાર્થ $O$ ના પ્રતિબિંબ $I$ નો વેગ $\vec{v}_I = -v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ થાય છે.
પ્રતિબિંબની સાપેક્ષમાં પદાર્થનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{OI} = \vec{v}_O - \vec{v}_I$ છે.
$\vec{v}_{OI} = (v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}) - (-v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j})$
$\vec{v}_{OI} = 2v \cos \theta \hat{i}$.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{OI}| = 2v \cos \theta$ છે.

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ છે.
આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -24\;cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ),વસ્તુ અંતર $u = -60\;cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-24} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-60}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{24} = \frac{2 - 5}{120} = \frac{-3}{120} = -\frac{1}{40}$.
તેથી,$v = -40\;cm$.
અરીસાના સૂત્રનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$.
તેથી,પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i = \frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$.
અહીં $\frac{du}{dt} = -9\;cm/s$ (અરીસા તરફ ગતિ કરે છે).
$v_i = -(\frac{-40}{-60})^2 \times (-9) = -(\frac{2}{3})^2 \times (-9) = -(\frac{4}{9}) \times (-9) = 4\;cm/s$.
ધન નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ વસ્તુની દિશામાં એટલે કે અરીસા તરફ ગતિ કરે છે.

(C) ધારો કે અવલોકનકારની અરીસાથી દૂર જવાની ઝડપ $v_o = 6 \, m/s$ છે.
અરીસો સ્થિર હોવાથી,પ્રતિબિંબ પણ તેટલી જ ઝડપથી વિરુદ્ધ દિશામાં અરીસાથી દૂર જાય છે,એટલે કે $v_i = 6 \, m/s$.
અવલોકનકારની ગતિની દિશાને ધન લઈએ,તો અવલોકનકારનો વેગ $\vec{v}_o = +6 \, m/s$ થાય.
પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_i = -6 \, m/s$ થશે (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
અવલોકનકારની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_{i/o} = \vec{v}_i - \vec{v}_o$ થાય.
$\vec{v}_{i/o} = -6 - 6 = -12 \, m/s$.
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે,તેથી $|-12| = 12 \, m/s$ મળે.

(D) અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
$f = \frac{r}{2}$ હોવાથી,$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{2}{r}$ મળે.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ મળે.
તેથી,પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i = \frac{dv}{dt} = -\left( \frac{v}{u} \right)^2 \frac{du}{dt}$.
પદાર્થ અરીસા તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,$\frac{du}{dt} = -v_0$.
અરીસાના સૂત્ર પરથી,$\frac{1}{v} = \frac{2}{r} - \frac{1}{u} = \frac{2u - r}{ru}$,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{ru}{2u - r}$.
$v$ ની કિંમત $v_i$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$v_i = -\left( \frac{ru / (2u - r)}{u} \right)^2 (-v_0) = -v_0 \left( \frac{r}{2u - r} \right)^2$ મળે.

(D) અરીસાની મોટવણી $m$ એ $m = \frac{f}{f - u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i$ અને વસ્તુનો વેગ $v_o$ વચ્ચેનો સંબંધ $v_i = -m^2 v_o$ છે.
આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20 \, cm = +0.2 \, m$ (બહિર્ગોળ અરીસો).
વસ્તુનું અંતર $u = -2.8 \, m$.
વસ્તુનો વેગ $v_o = 15 \, m/s$.
સૌ પ્રથમ,મોટવણી $m$ શોધો:
$m = \frac{0.2}{0.2 - (-2.8)} = \frac{0.2}{3.0} = \frac{1}{15}$.
હવે,પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i$ શોધો:
$v_i = -m^2 v_o = -(\frac{1}{15})^2 \times 15 = -\frac{1}{225} \times 15 = -\frac{1}{15} \, m/s$.
તેથી,ઝડપનું મૂલ્ય $1/15 \, m/s$ છે.

(C) ધારો કે વસ્તુનો વેગ $v_o = v$ (અરીસા તરફ) છે અને અરીસાનો વેગ $v_m = -v$ (વસ્તુ તરફ) છે.
પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i$ (જમીનની સાપેક્ષમાં) નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $v_i - v_m = -(v_o - v_m)$.
કિંમતો મૂકતા: $v_i - (-v) = -(v - (-v))$.
$v_i + v = -(v + v)$.
$v_i + v = -2v$.
$v_i = -3v$.
અહીં ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ વસ્તુની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,જેનું મૂલ્ય $3v$ છે.

(B) ધારો કે બે અરીસાઓ $M_1$ અને $M_2$ છે જે એકબીજાથી $v$ ઝડપે દૂર જઈ રહ્યા છે. ધારો કે પદાર્થ $O$ સ્થિર છે.
$M_1$ દ્વારા બનતા પ્રથમ પ્રતિબિંબ $I_1$ માટે: પદાર્થ સ્થિર છે અને અરીસો $v$ ઝડપે દૂર જાય છે. પ્રતિબિંબ અરીસાની સાપેક્ષમાં $v$ ઝડપે દૂર જાય છે. તેથી,જમીનની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબનો વેગ $v + v = 2v$ થશે.
$M_2$ દ્વારા બનતા પ્રથમ પ્રતિબિંબ $I_2$ માટે: તેવી જ રીતે,પ્રતિબિંબ અરીસાની સાપેક્ષમાં $v$ ઝડપે દૂર જાય છે અને અરીસો જમીનની સાપેક્ષમાં $v$ ઝડપે દૂર જાય છે. તેથી,જમીનની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબનો વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં $2v$ થશે.
જેમ જેમ આ પ્રક્રિયા આગળ વધે છે,તેમ $n$-મું પ્રતિબિંબ ક્રમિક પરાવર્તન દ્વારા રચાય છે. $n$-મા પ્રતિબિંબનો વેગ દરેક પરાવર્તનના ક્રમ માટે $2v$ જેટલો વધે છે. ખાસ કરીને,$n$-મા પ્રતિબિંબનો વેગ $2nv$ છે.

(D) અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ છે.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f = -12 \ cm$. વસ્તુનું અંતર $u = -20 \ cm$ છે.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{-12} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{12} = \frac{3-5}{60} = -\frac{2}{60} = -\frac{1}{30}$.
તેથી,$v = -30 \ cm$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અરીસાના સૂત્રનું વિકલન કરતા: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$.
આનાથી પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i = \frac{dv}{dt} = -\left(\frac{v}{u}\right)^2 \frac{du}{dt}$ મળે છે.
અહીં $\frac{du}{dt} = +4 \ cm/s$ આપેલ છે.
$v_i = -\left(\frac{-30}{-20}\right)^2 \times 4 = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 4 = -\frac{9}{4} \times 4 = -9 \ cm/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ અરીસા તરફ ગતિ કરે છે.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -20\, cm$,વસ્તુનું સ્થાન $u = -25\, cm$,વસ્તુની ઊંચાઈ $h_o = 1\, cm$,અને વસ્તુનો વેગ $v_x = 10\, cm/s$.
અરીસાના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{-20} - \frac{1}{-25} = -\frac{1}{100}$,તેથી $v = -100\, cm$.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-100}{-25} = -4$.
$x$-અક્ષ પર પ્રતિબિંબનો વેગ: $v_x' = -m^2 v_x = -(-4)^2 (10) = -160\, cm/s$.
$y$-અક્ષ પર પ્રતિબિંબનો વેગ: $v_y' = m v_y + h_o \frac{dm}{dt}$. અહીં $m = \frac{f}{f-u}$,તેથી $\frac{dm}{dt} = \frac{f}{(f-u)^2} \frac{du}{dt} = \frac{-20}{25} (10) = -8$.
તેથી $v_y' = (-4)(0) + (1)(-8) = -8\, cm/s$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $-160\, i + 8\, j$ છે.

(A) બધા પ્રકારના અરીસાઓ (જેમ કે સમતલ અરીસો,બહિર્ગોળ અરીસો,અંતર્ગોળ અરીસો) માટે,પદાર્થ અને તેનું પ્રતિબિંબ હંમેશા અરીસાની સાપેક્ષમાં લંબ દિશામાં વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. આ અરીસાના સૂત્ર અને મોટવણીના સંબંધ પરથી તારવેલો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે. જેમ પદાર્થ અરીસાની નજીક આવે છે,તેમ પ્રતિબિંબ પણ અરીસાની બીજી બાજુથી અરીસાની નજીક આવે છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે લંબ દિશામાં તેમનો સાપેક્ષ વેગ હંમેશા વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20\ cm = +0.2\ m$,વસ્તુનું અંતર $u = -2.8\ m$,વસ્તુની ઝડપ $\frac{du}{dt} = -15\ m/s$ (કારણ કે અંતર ઘટી રહ્યું છે).
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$.
તેથી,$\frac{dv}{dt} = -\frac{v^2}{u^2} \frac{du}{dt}$.
અરીસાના સૂત્ર પરથી,$v = \frac{uf}{u-f} = \frac{(-2.8)(0.2)}{-2.8 - 0.2} = \frac{-0.56}{-3.0} = \frac{0.56}{3} = \frac{56}{300} = \frac{14}{75}\ m$.
હવે,$\frac{dv}{dt} = -\left( \frac{v}{u} \right)^2 \frac{du}{dt} = -\left( \frac{14/75}{-2.8} \right)^2 (-15) = -\left( \frac{14/75}{-210/75} \right)^2 (-15) = -\left( -\frac{14}{210} \right)^2 (-15) = -\left( -\frac{1}{15} \right)^2 (-15) = -\left( \frac{1}{225} \right) (-15) = \frac{15}{225} = \frac{1}{15}\ m/s$.

(A) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = 20/2 = 10 \ m$ છે. અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_1 = 25/3 \ m$ હોય (આભાસી,તેથી $v_1 = +25/3 \ m$):
$\frac{1}{10} = \frac{3}{25} + \frac{1}{u_1} \implies \frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{3}{25} = \frac{5-6}{50} = -\frac{1}{50} \implies u_1 = -50 \ m$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_2 = 50/7 \ m$ હોય (આભાસી,તેથી $v_2 = +50/7 \ m$):
$\frac{1}{10} = \frac{7}{50} + \frac{1}{u_2} \implies \frac{1}{u_2} = \frac{1}{10} - \frac{7}{50} = \frac{5-7}{50} = -\frac{2}{50} = -\frac{1}{25} \implies u_2 = -25 \ m$.
વસ્તુનું સ્થાનાંતર $\Delta u = u_2 - u_1 = -25 - (-50) = 25 \ m$ છે.
લાગતો સમય $\Delta t = 30 \ s$ છે.
વસ્તુની ઝડપ $v_{obj} = \frac{|\Delta u|}{\Delta t} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \ m/s$.
$km/h$ માં રૂપાંતર કરતા: $v_{obj} = \frac{5}{6} \times \frac{18}{5} = 3 \ km/h$.

(A) આપેલ છે: વસ્તુનો વેગ $\vec{V}_O = -2 \; m/s$ (ડાબી બાજુને ઋણ લેતા),અરીસાનો વેગ $\vec{V}_m = +9 \; m/s$ (જમણી બાજુને ધન લેતા).
$(i)$ પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{V}_I = 2\vec{V}_m - \vec{V}_O = 2(9) - (-2) = 18 + 2 = 20 \; m/s$.
$(ii)$ અરીસાની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{V}_{I/m} = \vec{V}_I - \vec{V}_m = 20 - 9 = 11 \; m/s$.
$(iii)$ વસ્તુની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{V}_{I/O} = \vec{V}_I - \vec{V}_O = 20 - (-2) = 22 \; m/s$.
$(iv)$ જો અરીસો સ્થિર હોય $(\vec{V}_m = 0)$: $\vec{V}_I = 2(0) - (-2) = 2 \; m/s$.
જોડકાં: $(i-b), (ii-c), (iii-d), (iv-a)$.

(B) ધારો કે પદાર્થનો વેગ $v_o = -2 \ m/s$ છે (જમણી દિશાને ધન લેતા).
ધારો કે અરીસાનો વેગ $v_m = +9 \ m/s$ છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_i - v_m = -(v_o - v_m)$
$v_i = 2v_m - v_o$
કિંમતો મૂકતા:
$v_i = 2(9) - (-2)$
$v_i = 18 + 2 = 20 \ m/s$.
પરિણામ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ $20 \ m/s$ ના વેગથી જમણી તરફ ગતિ કરે છે.

(B) ગતિશીલ અરીસા દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{v}_I = 2\vec{v}_m - \vec{v}_p$.
અહીં, કણનો વેગ $\vec{v}_p = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે અને અરીસાનો વેગ $\vec{v}_m = \hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{v}_I = 2(\hat{i} + 2\hat{j}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$\vec{v}_I = 2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{v}_I = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} \text{ m/s}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -20\,m$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 0.3\,m$,વસ્તુની ઝડપ $v_o = \frac{du}{dt} = 5\,m/s$ (દૂર જાય છે,તેથી $\frac{du}{dt} = 5\,m/s$).
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{0.3} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{10}{3} - \frac{1}{20} = \frac{200 - 3}{60} = \frac{197}{60}$.
તેથી,$v = \frac{60}{197}\,m$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં લેન્સના સૂત્રનું વિકલન કરતા: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$.
$\frac{dv}{dt} = \left( \frac{v}{u} \right)^2 \frac{du}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dv}{dt} = \left( \frac{60/197}{-20} \right)^2 \times 5 = \left( -\frac{3}{197} \right)^2 \times 5$.
$\frac{dv}{dt} = \frac{9}{38809} \times 5 \approx 0.00116\,m/s$.
ચિહ્ન ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ પ્રકાશની દિશામાં એટલે કે લેન્સથી દૂર જાય છે.

(A) આપેલ છે: વસ્તુનો વેગ $\vec{V}_o = 10 \hat{i} \ m/s$, અરીસાનો વેગ $\vec{V}_m = 2 \hat{i} \ m/s$, વસ્તુ અંતર $u = -10 \ cm$, કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \ cm$ (અંતર્ગોળ અરીસો).
પ્રથમ, મોટવણી $m$ ની ગણતરી કરીએ:
$m = \frac{f}{f-u} = \frac{-10}{-10 - (-10)} = \infty$ (આનો અર્થ એ છે કે વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર પર છે, તેથી પ્રતિબિંબ અનંત પર રચાય છે).
અરીસા માટે સાપેક્ષ વેગનું સૂત્ર વાપરતા:
$\vec{V}_{Im} = -m^2 \vec{V}_{om}$, જ્યાં $\vec{V}_{om} = \vec{V}_o - \vec{V}_m = (10 - 2) \hat{i} = 8 \hat{i} \ m/s$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dt} = -m^2 \frac{du}{dt}$.
અહીં, $\frac{du}{dt}$ એ અરીસાની સાપેક્ષે વસ્તુનો વેગ છે: $\frac{du}{dt} = 8 \ m/s$. જ્યારે $u \to f$, ત્યારે $v \to \infty$, તેથી પ્રતિબિંબનો વેગ અનંત થાય છે. આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા, જો આપણે માની લઈએ કે પ્રશ્નમાં $m = 1/2$ જેવી કોઈ સ્થિતિ છે, તો જવાબ $0$ આવે છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ $0$ છે.

(C) ધારો કે પદાર્થનું સ્થાન $x_O$ છે અને અરીસાનું સ્થાન $x_M$ છે. પ્રતિબિંબનું સ્થાન $x_I$ એ સંબંધ $x_I - x_M = -(x_O - x_M)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું સાદું રૂપ $x_I = 2x_M - x_O$ થાય છે.
પદાર્થ સ્થિર હોવાથી,$x_O$ અચળ છે,તેથી $v_O = 0$.
સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને પ્રતિબિંબનો વેગ મળે છે: $v_I = 2v_M - v_O = 2v_M$.
સ્થાનાંતરને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રતિબિંબનો કંપવિસ્તાર $A_I$ એ અરીસાના કંપવિસ્તાર $A_M$ સાથે $A_I = 2A_M$ સંબંધ ધરાવે છે.
અહીં $A_M = 2 \ cm$ આપેલ છે,તેથી પ્રતિબિંબનો કંપવિસ્તાર $A_I = 2 \times 2 \ cm = 4 \ cm$ થશે.

(B) આપેલ છે: પદાર્થનું અંતર $u = -15\, cm$ (ધારી લેતા), વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -20\, cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = -10\, cm$.
અરીસાના સૂત્ર મુજબ: $1/v + 1/u = 1/f \rightarrow 1/v = 1/(-10) - 1/(-15) = -1/10 + 1/15 = (-3+2)/30 = -1/30$.
તેથી $v = -30\, cm$.
મોટવણી $m = -v/u = -(-30)/(-15) = -2$.
પ્રતિબિંબનો વેગ (મુખ્ય અક્ષને લંબ) $v_i = |m| \times v_o = |-2| \times 2 = 4\, mm/s$.

(B) ધારો કે પદાર્થનો વેગ $\vec{v}_O = 3\hat i + 4\hat j + 5\hat k$ છે અને અરીસાનો વેગ $\vec{v}_M = 4\hat i + 5\hat j + 8\hat k$ છે.
અરીસાનો લંબ $\hat k$ દિશામાં છે.
અરીસાની સાપેક્ષ પદાર્થનો વેગ $\vec{v}_{OM} = \vec{v}_O - \vec{v}_M = (3-4)\hat i + (4-5)\hat j + (5-8)\hat k = -\hat i - \hat j - 3\hat k$ થાય.
સમતલ અરીસા માટે,અરીસાને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી,જ્યારે અરીસાને લંબ ઘટક (લંબની દિશામાં) અરીસાની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં થઈ જાય છે.
તેથી,અરીસાની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_{IM} = -\hat i - \hat j - (-3)\hat k = -\hat i - \hat j + 3\hat k$ થાય.
આમ,$\vec{v}_{IM} = \vec{v}_I - \vec{v}_M$ હોવાથી,$\vec{v}_I = \vec{v}_{IM} + \vec{v}_M$ મળે.
$\vec{v}_I = (-\hat i - \hat j + 3\hat k) + (4\hat i + 5\hat j + 8\hat k) = 3\hat i + 4\hat j + 11\hat k$.

(A) પદાર્થનો વેગ $\vec{v}_{obj} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અરીસો $x$-અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,પ્રતિબિંબ માટે વેગનો $x$-ઘટક બદલાતો નથી,જ્યારે $y$-ઘટક (અરીસાને લંબ) ઉલટાઈ જાય છે.
તેથી,પ્રતિબિંબનો વેગ $\vec{v}_{im} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$ થાય છે.
પદાર્થની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rel} = \vec{v}_{im} - \vec{v}_{obj}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{v}_{rel} = (3\hat{i} - 4\hat{j}) - (3\hat{i} + 4\hat{j}) = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{i} - 4\hat{j} = -8\hat{j}$.

(A) ધારો કે લોલકની લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે ગોળાને સ્થિતિ $P$ (સમક્ષિતિજ સ્થિતિ) થી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્થિતિ $Q$ (સૌથી નીચું બિંદુ) પર પહોંચે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$P$ પરની સ્થિતિ ઉર્જા $Q$ પર ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgl = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gl}$.
સ્થિતિ $Q$ પર,ગોળાનો વેગ $v_b = \sqrt{2gl}$ અરીસા તરફ છે.
સમતલ અરીસામાં ગોળાના પ્રતિબિંબનો વેગ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં ગોળાના વેગથી વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i = -\sqrt{2gl}$ (અરીસાથી દૂરની દિશામાં) છે.
ગોળાની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબનો વેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_{ib} = v_i - v_b = -\sqrt{2gl} - \sqrt{2gl} = -2\sqrt{2gl}$.
આ સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $2\sqrt{2gl}$ છે.

(A) ગોળીય અરીસા માટે,અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ મળે છે.
આમ,પ્રતિબિંબની ઝડપ $v_i = \frac{dv}{dt} = -\left(\frac{v^2}{u^2}\right) \frac{du}{dt}$ છે.
આપેલ છે: $u = -30\, cm$,$v = -10\, cm$,અને વસ્તુની ઝડપ $\frac{du}{dt} = -9\, cm/s$ (અરીસા તરફ ગતિ કરે છે).
કિંમતો મૂકતા: $v_i = -\left(\frac{-10}{-30}\right)^2 \times (-9) = -\left(\frac{1}{9}\right) \times (-9) = 1\, cm/s$.

(D) કારમાં રિયર-વ્યુ મિરર તરીકે બહિર્ગોળ અરીસાનો ઉપયોગ થાય છે.
ગોલીય અરીસા માટે,અરીસાની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબનો વેગ $V_{I/m} = -m^2 V_{O/m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ મોટવણી છે અને $V_{O/m}$ એ અરીસાની સાપેક્ષ વસ્તુનો વેગ છે.
આપેલ છે:
કાર $A$ ની સાપેક્ષ કાર $B$ ની સાપેક્ષ ઝડપ $V_{O/m} = 40 \, ms^{-1}$ છે.
બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = +10 \, cm = +0.1 \, m$.
વસ્તુ અંતર $u = -1.9 \, m$.
મોટવણી $m = \frac{f}{f - u}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{0.1}{0.1 - (-1.9)} = \frac{0.1}{2.0} = \frac{1}{20}$.
હવે,પ્રતિબિંબનો વેગ ગણો:
$V_{I/m} = -m^2 V_{O/m} = -(\frac{1}{20})^2 \times 40 = -\frac{1}{400} \times 40 = -0.1 \, ms^{-1}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ અરીસાની સાપેક્ષ વસ્તુની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. પ્રતિબિંબની ઝડપ $0.1 \, ms^{-1}$ છે.

(A) અરીસાનું સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે. બહિર્ગોળ અરીસા માટે,$R = +20 \,m$,તેથી $f = +10 \,m$.
કિસ્સો $1$: પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_1 = \frac{50}{7} \,m$.
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{7}{50} = -\frac{1}{25} \implies u_1 = -25 \,m$.
કિસ્સો $2$: પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_2 = \frac{25}{3} \,m$.
$\frac{1}{u_2} = \frac{1}{10} - \frac{3}{25} = -\frac{1}{50} \implies u_2 = -50 \,m$.
વસ્તુ દ્વારા કપાયેલ અંતર $\Delta u = |u_2 - u_1| = 25 \,m$.
સમય $\Delta t = 30 \,s$.
વસ્તુની ઝડપ $v = \frac{25}{30} \,m/s = \frac{5}{6} \,m/s$.
$km/h$ માં રૂપાંતર: $v = \frac{5}{6} \times \frac{18}{5} = 3 \,km/h$.

(D) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 20 \ m$,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $f = +10 \ m$. અરીસાનું સૂત્ર $1/v + 1/u = 1/f$ છે.
આપેલ છે $v_1 = 25/3 \ m$ અને $v_2 = 50/7 \ m$.
$v_1 = 25/3$ માટે: $1/u_1 = 1/10 - 3/25 = (5-6)/50 = -1/50$,તેથી $u_1 = -50 \ m$.
$v_2 = 50/7$ માટે: $1/u_2 = 1/10 - 7/50 = (5-7)/50 = -2/50 = -1/25$,તેથી $u_2 = -25 \ m$.
પદાર્થે કાપેલું અંતર $\Delta u = |u_2 - u_1| = |-25 - (-50)| = 25 \ m$ છે.
લીધેલ સમય $t = 30 \ s$ છે.
પદાર્થની ઝડપ $v_{obj} = \Delta u / t = 25 / 30 = 5/6 \ m/s$.
$km/hr$ માં ફેરવવા માટે,$18/5$ વડે ગુણો: $v_{obj} = (5/6) \times (18/5) = 3 \ km/hr$.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -25 \ cm$. પ્રારંભિક વસ્તુ અંતર $u_i = -50 \ cm$. વસ્તુની ઝડપ $v_o = 1 \ ms^{-1} = 100 \ cm s^{-1}$.
$t=0$ સમયે,$u_i = -50 \ cm$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_i} + \frac{1}{-50} = \frac{1}{-25} \implies \frac{1}{v_i} = -\frac{1}{25} + \frac{1}{50} = -\frac{1}{50} \implies v_i = -50 \ cm$.
$t=0.25 \ s$ સમયે,પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $d = v_o \times t = 100 \ cm s^{-1} \times 0.25 \ s = 25 \ cm$.
નવું વસ્તુ અંતર $u_f = -50 \ cm + 25 \ cm = -25 \ cm$.
કારણ કે વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર પર છે,પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાય છે,એટલે કે $v_f = \infty$.
પ્રતિબિંબનો સરેરાશ વેગ $\langle v \rangle = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} = \frac{\infty - (-50)}{0.25} = \infty$.