Refraction by Lenses Questions in Gujarati

(A) વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D = 90 \; cm$ છે.
લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર $d = 20 \; cm$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટે સ્થાનાંતરની રીતનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{(90)^2 - (20)^2}{4 \times 90}$
$f = \frac{8100 - 400}{360}$
$f = \frac{7700}{360}$
$f = \frac{770}{36} \approx 21.39 \; cm$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,કેન્દ્રલંબાઈ $21.4 \; cm$ મળે છે.

(N/A) પેરેક્સિયલ કિરણો એવા પ્રકાશના કિરણો છે જે ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમ (જેમ કે ગોળીય અરીસો અથવા લેન્સ) ની મુખ્ય અક્ષની ખૂબ નજીકથી પસાર થાય છે અને તેની સાથે ખૂબ જ નાનો ખૂણો બનાવે છે.
આ કિરણો અક્ષની નજીક હોવાથી,આપાતકોણ $\theta$ નાનો હોય છે,જેના કારણે $\sin \theta \approx \theta$ અને $\tan \theta \approx \theta$ જેવું અનુમાન કરી શકાય છે.
આ અનુમાન અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ અને લેન્સના સૂત્રને તારવવા માટે પાયારૂપ છે.

(N/A) બેવડા બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા પ્રતિબિંબની રચનાને બે તબક્કામાં સમજી શકાય છે:
$1$. પ્રથમ વક્રીભવનકારક સપાટી (ત્રિજ્યા $R_1$ સાથે) વસ્તુ $O$ નું પ્રતિબિંબ $I_1$ રચે છે. આ સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર છે: $\frac{n_1}{OB} + \frac{n_2}{BI_1} = \frac{n_2 - n_1}{R_1}$.
$2$. પ્રતિબિંબ $I_1$ એ બીજી વક્રીભવનકારક સપાટી (ત્રિજ્યા $R_2$ સાથે) માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. આ સપાટી અંતિમ પ્રતિબિંબ $I$ પર રચે છે. આ સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર છે: $\frac{n_2}{DI_1} + \frac{n_1}{DI} = \frac{n_1 - n_2}{R_2}$.
$3$. લેન્સ પાતળો હોવાથી,$B$ અને $D$ ઓપ્ટિકલ સેન્ટર $P$ ની ખૂબ નજીક છે. તેથી,$BI_1 \approx DI_1$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{n_1}{OB} + \frac{n_1}{DI} = (n_2 - n_1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
$4$. સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,$OB = -u$ અને $DI = v$. આ કિંમતો મૂકતા:
$n_1 \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \right) = (n_2 - n_1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
$5$. $n_1$ વડે ભાગતા અને $n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$ લેતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = (n_{21} - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
કારણ કે $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$,આપણને લેન્સ મેકરનું સૂત્ર મળે છે: $\frac{1}{f} = (n_{21} - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.

(N/A) લેન્સની બે ગોલીય સપાટીઓ પર વક્રીભવન માટે,સામાન્ય સમીકરણ:
$\frac{n_{1}}{-u} + \frac{n_{1}}{v} = (n_{2} - n_{1}) \left[ \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right]$
બંને બાજુને $n_{1}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{-u} + \frac{1}{v} = \left( \frac{n_{2}}{n_{1}} - 1 \right) \left[ \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right]$
કારણ કે $n_{21} = \frac{n_{2}}{n_{1}}$,તેથી:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = (n_{21} - 1) \left[ \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right] \quad \dots (1)$
લેન્સ મેકરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = (n_{21} - 1) \left[ \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right] \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને પાતળા લેન્સનું સમીકરણ મળે છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$
અહીં,અંતરો સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ માપવામાં આવે છે,અને આ સમીકરણ બહિર્ગોળ અને અંતર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતા વાસ્તવિક અને આભાસી બંને પ્રતિબિંબો માટે સાચું છે.

(N/A) બહિર્ગોળ લેન્સ:
$(i)$ વસ્તુનું સ્થાન: અનંત અંતરે $(u = \infty)$
પ્રતિબિંબનું સ્થાન: મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ પર
પ્રતિબિંબનો પ્રકાર: વાસ્તવિક અને ઉલટું
પ્રતિબિંબનું કદ: અત્યંત નાનું (બિંદુવત)
મોટવણી: $m \approx 0$ (ઋણ)
(ii) વસ્તુનું સ્થાન: $2F$ થી દૂર $(u > 2F)$
પ્રતિબિંબનું સ્થાન: $F$ અને $2F$ ની વચ્ચે
પ્રતિબિંબનો પ્રકાર: વાસ્તવિક અને ઉલટું
પ્રતિબિંબનું કદ: નાનું
મોટવણી: $-1 < m < 0$
(iii) વસ્તુનું સ્થાન: $2F$ પર $(u = 2F)$
પ્રતિબિંબનું સ્થાન: $2F$ પર
પ્રતિબિંબનો પ્રકાર: વાસ્તવિક અને ઉલટું
પ્રતિબિંબનું કદ: વસ્તુના કદ જેવડું જ
મોટવણી: $m = -1$

(N/A) $(i)$ પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર: મુખ્ય અક્ષ પરનું એવું બિંદુ કે જ્યાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો લેન્સમાંથી વક્રીભવન પામ્યા બાદ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે. તેને $F_{1}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$(ii)$ દ્વિતીય મુખ્ય કેન્દ્ર: જ્યારે પ્રકાશના કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર આપાત થાય ત્યારે લેન્સ દ્વારા મુખ્ય અક્ષ પર રચાતા બિંદુવત પ્રતિબિંબના સ્થાનને દ્વિતીય મુખ્ય કેન્દ્ર કહે છે. તેને $F_{2}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) લેન્સ દ્વારા વસ્તુનું પ્રતિબિંબ શોધવા માટે,આપણે સિદ્ધાંતમાં,વસ્તુ પરના કોઈ બિંદુમાંથી નીકળતા કોઈપણ બે કિરણો લઈ શકીએ છીએ; વક્રીભવનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને તેમના માર્ગને અનુસરી શકીએ છીએ અને તે બિંદુ શોધી શકીએ છીએ જ્યાં વક્રીભૂત કિરણો મળે છે (અથવા મળતા જણાય છે). જો કે,વ્યવહારમાં નીચેનામાંથી કોઈપણ બે કિરણો પસંદ કરવા અનુકૂળ છે:
$(i)$ લેન્સની મુખ્ય અક્ષને સમાંતર વસ્તુમાંથી નીકળતું કિરણ વક્રીભવન પછી બીજા મુખ્ય કેન્દ્ર $F^{\prime}$ (બહિર્ગોળ લેન્સમાં) માંથી પસાર થાય છે અથવા પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ (અંતર્ગોળ લેન્સમાં) માંથી અપસૃત થતું જણાય છે.
$(ii)$ લેન્સના પ્રકાશીય કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું પ્રકાશનું કિરણ વક્રીભવન પછી કોઈપણ વિચલન વગર બહાર આવે છે.
$(iii)$ પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે) અથવા તેના પર મળતું જણાતું (અંતર્ગોળ લેન્સ માટે) પ્રકાશનું કિરણ વક્રીભવન પછી મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બહાર આવે છે.
એ યાદ રાખવું જોઈએ કે વસ્તુ પરનું દરેક બિંદુ અનંત સંખ્યામાં કિરણો ઉત્સર્જિત કરે છે. આ તમામ કિરણો લેન્સ પર વક્રીભવન પછી સમાન પ્રતિબિંબ બિંદુમાંથી પસાર થશે.

(N/A) લેન્સ દ્વારા મળતા પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ અને વસ્તુની ઊંચાઈના ગુણોત્તરને રેખીય મોટવણી $(m)$ કહે છે.
આકૃતિ $(a)$ અને $(b)$ માં અનુક્રમે બહિર્ગોળ અને અંતર્ગોળ લેન્સ દર્શાવેલ છે.
ધારો કે વસ્તુની ઊંચાઈ $AB = h$ અને પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $A'B' = h'$ છે.
ધારો કે વસ્તુ અંતર $BP = u$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $B'P = v$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABP$ અને $\triangle A'B'P$ સમરૂપ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'P}{BP}$.
સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા: $AB = h$,$A'B' = -h'$ (વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે),$BP = -u$,$B'P = v$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{-h'}{h} = \frac{v}{-u}$.
તેથી,$\frac{h'}{h} = \frac{v}{u}$.
આમ,મોટવણી $m = \frac{h'}{h} = \frac{v}{u}$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે મોટવણી ઋણ અને આભાસી પ્રતિબિંબ માટે ધન હોય છે.

(N/A) લેન્સનો પાવર એ લેન્સ પર પડતા પ્રકાશમાં તે લેન્સ દ્વારા દાખલ કરવામાં આવતા અભિસરણ (convergence) અથવા અપસરણ (divergence) નું માપ છે.
સ્પષ્ટ છે કે,ટૂંકી કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો લેન્સ આપાત પ્રકાશને વધુ વાંકો વાળે છે,બહિર્ગોળ લેન્સના કિસ્સામાં તેને અભિસારી કરે છે અને અંતર્ગોળ લેન્સના કિસ્સામાં તેને અપસારી કરે છે.
લેન્સનો પાવર $P$ એ ખૂણાના ટેન્જન્ટ (tangent) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેના દ્વારા તે ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી એકમ અંતરે પડતા પ્રકાશના કિરણને અભિસારી અથવા અપસારી કરે છે.
આકૃતિ પરથી,
$\tan \delta = \frac{h}{f}$. જો $h = 1$ હોય,તો $\tan \delta = \frac{1}{f}$.
$\delta$ ના નાના મૂલ્ય માટે,$\tan \delta \approx \delta$.
તેથી,$\delta = \frac{1}{f}$. આમ,પાવર $P = \frac{1}{f}$.
લેન્સના પાવરનો $SI$ એકમ ડાયોપ્ટર $(D)$ છે.
$1 \ D = 1 \ m^{-1}$.
$1 \ m$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા લેન્સનો પાવર એક ડાયોપ્ટર છે.
અભિસારી લેન્સ માટે લેન્સનો પાવર ધન અને અપસારી લેન્સ માટે ઋણ હોય છે.

(A) લેન્સ એ બે સપાટીઓ દ્વારા બંધાયેલ એક પારદર્શક પ્રકાશીય માધ્યમ છે,જેમાંની ઓછામાં ઓછી એક સપાટી ગોળાકાર હોવી આવશ્યક છે.
લેન્સનો ઉપયોગ પ્રકાશના કિરણોનું વક્રીભવન કરીને પ્રતિબિંબ રચવા માટે થાય છે,જે પ્રકાશના કિરણોને કેન્દ્રિત અથવા વિકેન્દ્રિત કરે છે.
તેમને મુખ્યત્વે બે પ્રકારમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે: બહિર્ગોળ (અભિસારી) લેન્સ અને અંતર્ગોળ (અપસારી) લેન્સ.

(N/A) પાતળા લેન્સ માટેનું લેન્સનું સૂત્ર વસ્તુનું અંતર $(u)$,પ્રતિબિંબનું અંતર $(v)$ અને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
તે નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$
જ્યાં:
$f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
$v$ એ લેન્સના પ્રકાશીય કેન્દ્રથી પ્રતિબિંબનું અંતર છે.
$u$ એ લેન્સના પ્રકાશીય કેન્દ્રથી વસ્તુનું અંતર છે.

(N/A) લેન્સ મેકરનું સમીકરણ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$,લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $(n_2)$,આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $(n_1)$ અને લેન્સની બે સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યાઓ ($R_1$ અને $R_2$) વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
આ સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_2}{n_1} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
જ્યાં:
- $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
- $n_2$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
- $n_1$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
- $R_1$ અને $R_2$ એ લેન્સની બે સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યાઓ છે.

(N/A) ગાઉસિયન લેન્સ સમીકરણ,જેને લેન્સના સૂત્ર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે લેન્સના વસ્તુ અંતર $(u)$,પ્રતિબિંબ અંતર $(v)$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. તે નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
જ્યાં:
$v$ એ લેન્સના પ્રકાશીય કેન્દ્રથી પ્રતિબિંબનું અંતર છે.
$u$ એ લેન્સના પ્રકાશીય કેન્દ્રથી વસ્તુનું અંતર છે.
$f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.

(N/A) $1$. પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર $(F_1)$: લેન્સની મુખ્ય અક્ષ પરનું એક એવું નિશ્ચિત બિંદુ છે કે જ્યાંથી નીકળતા પ્રકાશના કિરણો (બહિર્ગોળ લેન્સમાં) અથવા જે બિંદુ તરફ કેન્દ્રિત થતા જણાતા કિરણો (અંતર્ગોળ લેન્સમાં),લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન પામ્યા પછી મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે.
$2$. દ્વિતીય મુખ્ય કેન્દ્ર $(F_2)$: લેન્સની મુખ્ય અક્ષ પરનું એક એવું નિશ્ચિત બિંદુ છે કે જ્યાં મુખ્ય અક્ષને સમાંતર આવતા પ્રકાશના કિરણો લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન પામ્યા પછી ખરેખર કેન્દ્રિત થાય છે (બહિર્ગોળ લેન્સમાં) અથવા તે બિંદુએથી અપસરણ પામતા હોય તેવું લાગે છે (અંતર્ગોળ લેન્સમાં).
- બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે: પ્રથમ કેન્દ્ર ડાબી બાજુએ અને દ્વિતીય કેન્દ્ર જમણી બાજુએ હોય છે.
- બાયકોન્કેવ લેન્સ માટે: પ્રથમ કેન્દ્ર જમણી બાજુએ અને દ્વિતીય કેન્દ્ર ડાબી બાજુએ હોય છે.

(N/A) લેન્સ માટે લેટરલ મેગ્નિફિકેશન $(m)$ એટલે પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $(h')$ અને વસ્તુની ઊંચાઈ $(h)$ નો ગુણોત્તર.
ગાણિતિક રીતે,તેને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$m = \frac{h'}{h}$
પાતળા લેન્સ માટે,આને પ્રતિબિંબ અંતર $(v)$ અને વસ્તુ અંતર $(u)$ ના સંદર્ભમાં પણ દર્શાવી શકાય છે:
$m = \frac{v}{u}$
જ્યાં:
$h'$ = પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ
$h$ = વસ્તુની ઊંચાઈ
$v$ = ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી પ્રતિબિંબનું અંતર
$u$ = ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી વસ્તુનું અંતર

(N/A) લેન્સનો પાવર એટલે તેની મીટરમાં માપવામાં આવતી કેન્દ્રલંબાઈનો વ્યસ્ત. તે લેન્સ પર આપાત થતા પ્રકાશના કિરણોના અભિસરણ અથવા અપસરણની માત્રાનું માપ છે.
ગાણિતિક રીતે,$P = \frac{1}{f(m)}$,જ્યાં $P$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $f$ એ મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ છે.
લેન્સના પાવરનો $SI$ એકમ ડાયોપ્ટર $(D)$ છે,જ્યાં $1 \ D = 1 \ m^{-1}$ થાય છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P$ એ તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ (મીટરમાં) ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $P = \frac{1}{f(m)}$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ને સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ ઋણ લેવામાં આવે છે કારણ કે પ્રકાશના કિરણો વસ્તુની બાજુએ આવેલા બિંદુમાંથી અપસૃત થતા હોય તેવું લાગે છે.
જેથી $f < 0$ હોવાથી,પાવર $P = \frac{1}{f}$ પણ ઋણ થશે.
તેથી,અંતર્ગોળ લેન્સનો પાવર હંમેશા ઋણ હોય છે.

(C) લેન્સની કેન્દ્રિત કરવાની ક્ષમતા તેના પાવર $P$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે લેન્સ મેકર્સના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અહીં,$n$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષમાં લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે,અને $R_1$ તથા $R_2$ એ લેન્સની બે સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યાઓ છે.
પાવર $P$ એ વક્રીભવનાંક $n$ અને વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1$ તથા $R_2$ બંને પર આધાર રાખતું હોવાથી,કેન્દ્રિત કરવાની ક્ષમતા પણ આ બંને પરિબળો પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
આપેલ લેન્સ માટે પદ $\left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ અચળ હોવાથી,$\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$.
કોશીના વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ ટૂંકી તરંગલંબાઈ (વાદળી) માટે વધારે અને લાંબી તરંગલંબાઈ (લાલ) માટે ઓછો હોય છે.
આમ,$\mu_b > \mu_r$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $(\mu - 1)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ઊંચો વક્રીભવનાંક નાની કેન્દ્રલંબાઈ આપે છે.
તેથી,$f_r > f_b$. લાલ પ્રકાશ માટેની કેન્દ્રલંબાઈ વાદળી પ્રકાશ કરતા વધારે હોય છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
લેન્સના સૂત્ર પરથી,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
જ્યારે લેન્સને ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1' = -R_2$ અને $R_2' = -R_1$ બને છે. આ કિંમતોને લેન્સ મેકરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f'} = (n - 1) \left( \frac{1}{-R_2} - \frac{1}{-R_1} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{f}$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ બદલાતી નથી અને વસ્તુ અંતર $u$ અચળ હોવાથી,લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} = \frac{1}{u} + \frac{1}{f}$ મુજબ પ્રતિબિંબ અંતર $v$ પણ બદલાશે નહીં.
તેથી,પ્રતિબિંબનું સ્થાન બદલાશે નહીં.

(N/A) ધારો કે વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D$ છે. ધારો કે વસ્તુથી લેન્સનું અંતર $u$ અને પડદાથી અંતર $v$ છે. તેથી $v + |u| = D$. $u$ ઋણ હોવાથી,$v - u = D$,અથવા $v = D + u$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $v = D + u$ મૂકીએ છીએ:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{D+u} - \frac{1}{u} = \frac{u - (D+u)}{u(D+u)} = \frac{-D}{uD + u^2}$.
પુનઃગોઠવણ કરતા દ્વિઘાત સમીકરણ $u^2 + Du + fD = 0$ મળે છે.
તેના ઉકેલ $u = \frac{-D \pm \sqrt{D^2 - 4fD}}{2}$ છે.
વાસ્તવિક ઉકેલો માટે,$D^2 - 4fD \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $D \ge 4f$. આમ,લેન્સ માટે બે સ્થિતિઓ શક્ય છે.
ધારો કે બે સ્થિતિઓ $u_1$ અને $u_2$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = |u_1 - u_2| = \sqrt{D^2 - 4fD}$ છે.
મોટવણી $m = \frac{v}{u}$. બે સ્થિતિઓ માટે,$m_1 = \frac{v_1}{u_1}$ અને $m_2 = \frac{v_2}{u_2}$. $v_1 = |u_2|$ અને $v_2 = |u_1|$ હોવાથી,આપણને $m_1 = \frac{|u_2|}{u_1}$ અને $m_2 = \frac{|u_1|}{u_2}$ મળે છે. તેમનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = 1$ થાય છે,તેથી પ્રતિબિંબના કદનો ગુણોત્તર $m_1^2$ અથવા $m_2^2$ છે.

(N/A) $(i)$ ધારો કે $n$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે। અક્ષથી $b$ અંતરે આવેલા બિંદુમાંથી $S$ થી $O$ સુધી પ્રકાશને પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T = \frac{SP_1}{c} + \frac{(n-1)w(b)}{c} + \frac{P_1O}{c}$ છે।
પેરાક્સિયલ અંદાજનો ઉપયોગ કરતા: $SP_1 \approx u + \frac{b^2}{2u}$ અને $P_1O \approx v + \frac{b^2}{2v}$.
$T = \frac{1}{c} \left[ u + \frac{b^2}{2u} + (n-1)(w_0 - \alpha b^2) + v + \frac{b^2}{2v} \right]$.
$T$ અત્યંત હોવા માટે, $\frac{dT}{db} = 0 \implies \frac{b}{u} + \frac{b}{v} - 2(n-1)\alpha b = 0$.
આ તમામ $b$ માટે સાચું હોવું જોઈએ, તેથી $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = 2(n-1)\alpha$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ સાથે સરખાવતા, કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{1}{2(n-1)\alpha}$ મળે છે।
$(ii)$ ગુરુત્વાકર્ષણીય લેન્સ માટે, ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $L = \sqrt{u^2+b^2} + \sqrt{v^2+b^2} + (n-1)W(b)$ છે।
પેરાક્સિયલ અંદાજનો ઉપયોગ કરતા: $L \approx u + v + \frac{b^2}{2u} + \frac{b^2}{2v} + (n-1)K_1 \log \left( \frac{K_2}{b} \right)$.
અત્યંત શરત $\frac{dL}{db} = 0 \implies \frac{b}{u} + \frac{b}{v} + (n-1)K_1 \left( -\frac{1}{b} \right) = 0$.
$b^2 \left( \frac{u+v}{uv} \right) = (n-1)K_1 \implies b = \sqrt{\frac{(n-1)K_1 uv}{u+v}}$.
કોણીય ત્રિજ્યા $\beta \approx \frac{b}{v} = \sqrt{\frac{(n-1)K_1 u}{v(u+v)}}$ છે।

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે સ્થાનાંતરની રીતનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
જ્યાં $D$ એ વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $D = 100\, cm$ અને $d = 40\, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{100^2 - 40^2}{4 \times 100} = \frac{10000 - 1600}{400} = \frac{8400}{400} = 21\, cm$.
લેન્સનો પાવર $P$ ડાયોપ્ટર $(D)$ માં $P = \frac{100}{f(cm)}$ દ્વારા મળે છે:
$P = \frac{100}{21} D$.
આપણને $P = \left(\frac{N}{100}\right) D$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{N}{100} = \frac{100}{21} \approx 4.7619$.
$N = \frac{10000}{21} \approx 476.19$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$N = 476$.

(D) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ હોય છે,તેથી ધારો કે $f = -|f|$.
આમ,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = -\frac{1}{|f|}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{v} = \frac{1}{u} - \frac{1}{|f|} = \frac{|f|-u}{u|f|}$ થાય છે.
તેથી,$v = \frac{u|f|}{|f|-u}$.
જ્યારે $u \to 0$,ત્યારે $v \to 0$.
જ્યારે $u \to |f|$,ત્યારે $v \to \infty$.
જ્યારે $u \to \infty$,ત્યારે $v \to -|f|$.
પ્રશ્નમાં આલેખ માટે $u$ અને $v$ ના મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હોવાથી,આપણે અંતર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતા આભાસી પ્રતિબિંબને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જ્યાં $v$ હંમેશા $0$ અને $f$ ની વચ્ચે હોય છે. પ્રતિબિંબ અંતર $v$ ના મૂલ્ય અને વસ્તુ અંતર $u$ ના મૂલ્ય માટેનો સાચો આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે. લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, પાવર $P$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right) \quad ...(i)$
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1' = R'$ અને $R_2' = \infty$ છે. પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P' = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R'} - \frac{1}{\infty} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R'} \right) \quad ...(ii)$
આપેલ છે કે $P' = 1.5P = \frac{3}{2}P$, તેથી સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની કિંમતો મુકતા:
$(\mu - 1) \left( \frac{1}{R'} \right) = \frac{3}{2} \left[ (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right) \right]$
$\frac{1}{R'} = \frac{3}{R}$
તેથી, $R' = \frac{R}{3} \approx 0.33R$.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
આપેલ પાવર $P = 10 \; D$ હોવાથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{10} \; m = 0.1 \; m = 10 \; cm$ થાય.
બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે,$R_1 = +10 \; cm$ અને $R_2 = -10 \; cm$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{10} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-10} \right)$
$\frac{1}{10} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10} \right)$
$\frac{1}{10} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{10} \right)$
$1 = 2(\mu - 1)$
$0.5 = \mu - 1$
$\mu = 1.5 = \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ આકૃતિ પરથી,વસ્તુ અંતર $u = -20 \; cm$ અને બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = +25 \; cm$ છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{25}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{20} = \frac{1}{25}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{25} - \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v} = \frac{4 - 5}{100}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{100}$
$v = -100 \; cm$
મોટવણી $m$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m = \frac{v}{u}$
$m = \frac{-100}{-20}$
$m = 5$

(A) આપેલ આકૃતિ પરથી,વસ્તુ અંતર $u = -20 \ cm$ છે.
મોટવણી $m = -0.5 = -1/2$ છે.
લેન્સ માટે,મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{u+f}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$-1/2 = \frac{f}{-20 + f}$
$-(-20 + f) = 2f$
$20 - f = 2f$
$3f = 20$
$f = \frac{20}{3} \approx 6.66 \ cm$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $6.66 \ cm$ છે.

(D) આપેલ છે: જાડાઈ $t = 3 \, mm = 0.3 \, cm$,વ્યાસ $D = 6 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$. લેન્સમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = 2 \times 10^{8} \, m/s$. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^{8}}{2 \times 10^{8}} = 1.5$.
લેન્સની ભૂમિતિ પરથી,$R^{2} = r^{2} + (R - t)^{2}$,જ્યાં $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
$R^{2} = r^{2} + R^{2} + t^{2} - 2Rt$.
$t$ ખૂબ નાનું હોવાથી $t^{2}$ ને અવગણતા,આપણને મળે $2Rt = r^{2}$,તેથી $R = \frac{r^{2}}{2t}$.
$R = \frac{3^{2}}{2 \times 0.3} = \frac{9}{0.6} = 15 \, cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
$f = \frac{R}{\mu - 1} = \frac{15}{1.5 - 1} = \frac{15}{0.5} = 30 \, cm$.

(B) લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલા મુજબ:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_{L}}{\mu_{S}} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$
જ્યાં $\mu_{L}$ એ લેન્સનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_{S}$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે લેન્સને સમાન વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે,તેથી $\mu_{L} = \mu_{S}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_{L}}{\mu_{L}} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$
$\frac{1}{f} = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$
$\frac{1}{f} = 0 \times \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) = 0$
તેથી,$\frac{1}{f} = 0$ હોવાથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અનંત $(f = \infty)$ થશે.
આમ,લેન્સ એક સમતલ કાચની પ્લેટ તરીકે વર્તે છે.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f}{u+f}$ છે.
જ્યારે વસ્તુને $u_1 = -10\, cm$ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું મળે છે (મોટવણી $-m$).
$-m = \frac{f}{-10+f} \quad (1)$
જ્યારે વસ્તુને $u_2 = -20\, cm$ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું મળે છે (મોટવણી $+m$).
$+m = \frac{f}{-20+f} \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$-1 = \frac{-20+f}{-10+f}$
$10 - f = -20 + f$
$2f = 30$
$f = 15\, cm$.

(C) અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે,તેથી $f_{lens} = -f$ થાય.
વસ્તુને મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવી છે,તેથી વસ્તુ અંતર $u = -f$ થાય.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{lens}}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-f} = \frac{1}{-f}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{f}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} - \frac{1}{f} = -\frac{2}{f}$
$v = -\frac{f}{2}$
લેન્સના ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી પ્રતિબિંબનું અંતર $|v| = \frac{f}{2}$ થાય.
મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ છે.
$m = \frac{-f/2}{-f} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_{1} = +20 \ cm = +0.2 \ m$ અને $R_{2} = -20 \ cm = -0.2 \ m$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ).
વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5 = \frac{3}{2}$.
લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{0.2} - \frac{1}{-0.2} \right)$.
$P = (0.5) \left( \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} \right) = (0.5) \left( \frac{2}{0.2} \right)$.
$P = (0.5) \times 10 = +5 \ D$.

(A) જ્યારે લેન્સને તેના મુખ્ય અક્ષને સમાંતર કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધા ભાગનો પાવર મૂળ લેન્સ જેટલો જ રહે છે,એટલે કે $P' = P$.
જો કે,જો લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ રૂપે કાપવામાં આવે,તો દરેક ટુકડાનો પાવર મૂળ પાવર કરતા અડધો થઈ જાય છે,એટલે કે $P'' = \frac{P}{2}$.
આપેલ આકૃતિમાં,લેન્સને પહેલા મુખ્ય અક્ષને સમાંતર કાપવામાં આવે છે,જેના પરિણામે બે અડધા ભાગ મળે છે,જે દરેકનો પાવર $P$ હોય છે.
ત્યારબાદ,આમાંથી એક અડધા ભાગને મુખ્ય અક્ષને લંબ રૂપે કાપવામાં આવે છે,જેનાથી બે ટુકડા $L_{2}$ અને $L_{3}$ મળે છે,જે દરેકનો પાવર $\frac{P}{2}$ હોય છે.
બીજો અડધો ભાગ,$L_{1}$,બદલાતો નથી અને તેથી તેનો પાવર $P$ જ રહે છે.
તેથી,ખોટો વિકલ્પ એ છે કે $L_{1}$ નો પાવર $\frac{P}{2}$ છે.

(B) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે લેન્સનું સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
અહીં $v = 12\,cm = 0.12\,m$ અને $u = -2.4\,m$ છે:
$\frac{1}{0.12} - \frac{1}{-2.4} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{100}{12} + \frac{1}{2.4} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{25}{3} + \frac{1}{2.4} = \frac{20+1}{2.4} = \frac{21}{2.4} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = \frac{2.4}{21} = \frac{0.8}{7}\,m$.
$2$. જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ $\Delta x = t(1 - \frac{1}{\mu})$ જેટલું ખસે છે.
$\Delta x = 1\,cm \times (1 - \frac{1}{1.5}) = 1\,cm \times (1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3}\,cm$.
$3$. પડદા પર પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v' = 12\,cm - \frac{1}{3}\,cm = \frac{35}{3}\,cm = \frac{35}{300}\,m = \frac{7}{60}\,m$ થશે.
$4$. નવા વસ્તુ અંતર $u'$ માટે ફરીથી લેન્સનું સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f}$
$\frac{60}{7} - \frac{1}{u'} = \frac{210}{24} = \frac{35}{4}$
$\frac{1}{u'} = \frac{60}{7} - \frac{35}{4} = \frac{240 - 245}{28} = -\frac{5}{28}$
$u' = -\frac{28}{5} = -5.6\,m$.
$5$. વસ્તુના સ્થાનમાં ફેરફાર $|u' - u| = |-5.6 - (-2.4)| = |-3.2| = 3.2\,m$ છે.

(B) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,બિંદુ $A$ પર,$\frac{1}{u} = 0$ અને $\frac{1}{v} = 0.10 \, cm^{-1}$. આ કિંમતોને લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $0.10 - 0 = \frac{1}{f} \Rightarrow f = 10 \, cm$.
બિંદુ $B$ પર,$\frac{1}{u} = -0.10 \, cm^{-1}$ અને $\frac{1}{v} = 0$. આ કિંમતોને લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $0 - (-0.10) = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{f} = 0.10 \Rightarrow f = 10 \, cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$.
તેથી,$\frac{1}{10} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
આમ,$R = 10 \, cm$.

(B) માધ્યમમાં લેન્સના પાવર $P$ માટેનું લેન્સ મેકર સૂત્ર:
$P = \frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_1}{\mu_2} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં,$\mu_1 = 1.5$ (લેન્સનો વક્રીભવનાંક),$R_1 = 0.2\,m$,$R_2 = -0.4\,m$ (બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે),અને $P = 1.25\,m^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$1.25 = \left( \frac{1.5}{\mu_2} - 1 \right) \left( \frac{1}{0.2} - \frac{1}{-0.4} \right)$
$1.25 = \left( \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2} \right) \left( 5 + 2.5 \right)$
$1.25 = \left( \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2} \right) (7.5)$
$\frac{1.25}{7.5} = \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2}$
$\frac{1}{6} = \frac{1.5 - \mu_2}{\mu_2}$
$\mu_2 = 9 - 6\mu_2$
$7\mu_2 = 9$
$\mu_2 = \frac{9}{7}$

(B) ન્યૂટનના લેન્સના સૂત્ર મુજબ,જ્યારે અંતરો મુખ્ય કેન્દ્રથી માપવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ અંતર $(v')$ અને વસ્તુ અંતર $(u')$ વચ્ચેનો સંબંધ $v' u' = f^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ વક્રનું સમીકરણ $v' u' = 225$ છે.
આને $v' u' = f^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f^2 = 225$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$f = \sqrt{225} = 15 \, cm$.
તેથી,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $15 \, cm$ છે.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ પ્રકાશના કિરણોના વાસ્તવિક છેદન દ્વારા રચાય છે અને તેને પડદા પર મેળવી શકાય છે.
વિધાન $II$ સાચું છે: અભિસારી લેન્સ માટે,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વસ્તુની વિરુદ્ધ બાજુએ રચાય છે,પરંતુ પ્રકાશના કિરણો પ્રતિબિંબ બિંદુથી ફેલાય છે,જે પ્રતિબિંબની બાજુના નિરીક્ષકને તેને જોવાની મંજૂરી આપે છે,અથવા જો પડદા પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે,તો તે વસ્તુની બાજુથી દૃશ્યમાન થાય છે.
વિધાન $III$ સાચું છે: અભિસારી લેન્સ દ્વારા રચાયેલા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વસ્તુની સાપેક્ષમાં પાર્શ્વ (laterally) અને રેખીય (longitudinally) બંને રીતે ઉલટા હોય છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,એક પણ વિધાન ખોટું નથી.

(D) નળાકાર લેન્સમાં માત્ર એક જ દિશામાં (તેની અક્ષને લંબ) વક્રતા હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ પ્લેનો-સિલિન્ડ્રિકલ લેન્સ પર આપાત થાય છે,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો માત્ર નળાકારની અક્ષને લંબ સમતલમાં જ વક્રીભવન પામે છે.
આ કિરણો લેન્સની કેન્દ્રીય રેખા પર કેન્દ્રિત થાય છે.
લેન્સ એવી રીતે ગોઠવાયેલ છે કે તેની અક્ષ $Y$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી કેન્દ્રીય સમતલ પર $Y$-અક્ષને સમાંતર રેખા પર કેન્દ્રિત થાય છે.
તેથી,પડદા પર $Y$-અક્ષને સમાંતર એક તેજસ્વી રેખા જોવા મળશે.

(B) લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$u$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $\frac{u}{v} - 1 = \frac{u}{f}$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ હોવાથી,$\frac{1}{m} - 1 = \frac{u}{f}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{m} = \frac{u}{f} + 1$.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આલેખનો ઢાળ $\frac{1}{f}$ મળે છે.
આલેખ પરથી,ઢાળની ગણતરી $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-250)}{0 - (-1)} = \frac{250}{1} = 250$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{1}{f} = 250$,જે આપે છે $f = \frac{1}{250} = 0.004 \, m$.

(C) ધારો કે ઉપગ્રહની ઊંચાઈ $h = 500 \, km = 500 \times 10^3 \, m = 5 \times 10^5 \, m$ છે.
કેમેરા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 50 \, cm = 0.5 \, m$ છે.
ધારો કે $d_1$ એ કેમેરા સ્ક્રીનનો વ્યાસ છે અને $d_2$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર અવલોકન કરેલ વિસ્તારનો વ્યાસ છે.
લેન્સની ભૂમિતિ પરથી,સ્ક્રીન અને પાર્થિવ વિસ્તાર બંને માટે કોણીય દ્રષ્ટિકોણ સમાન છે,તેથી $\theta_1 = \theta_2$.
સમરૂપ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{d_1}{f} = \frac{d_2}{h}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d_2}{d_1} = \frac{h}{f}$.
પાર્થિવ ક્ષેત્રફળ $A_0$ અને સ્ક્રીન ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણોત્તર તેમના રેખીય પરિમાણોના ગુણોત્તરના વર્ગ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{A_0}{A} = \frac{(\pi d_2^2 / 4)}{(\pi d_1^2 / 4)} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^2 = \left( \frac{h}{f} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{A_0}{A} = \left( \frac{500 \times 10^3 \, m}{50 \times 10^{-2} \, m} \right)^2 = \left( \frac{5 \times 10^5}{5 \times 10^{-1}} \right)^2 = (10^6)^2 = 10^{12}$.
આમ,અવલોકન કરેલ પાર્થિવ ક્ષેત્રફળ $10^{12} A$ છે.

(D) પાણીથી ભરેલો નળાકાર ગ્લાસ નળાકાર લેન્સ તરીકે કામ કરે છે.
નળાકાર લેન્સમાં માત્ર એક જ દિશામાં (આડી) વક્રતા હોય છે.
તેથી,તે છબીનું પાર્શ્વ ઉલટન (lateral inversion) કરે છે પરંતુ છબીને ઉભી ઉલટાવતું નથી.
પરિણામે,અક્ષરો $A$ અને $C$ (જે ઉભા ગોઠવાયેલા છે) તેમની મૂળ ઉભી સ્થિતિમાં રહે છે,જ્યારે અક્ષરો $B$ અને $D$ (જે આડા ગોઠવાયેલા છે) આડા બદલાઈ જાય છે.
આમ,સાચો દેખાવ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવ્યા મુજબનો છે.

(D) પ્રથમ પ્રતિબિંબ $KVPY$ શબ્દને ચત્તું દર્શાવે છે,જે અપસારી (અંતર્ગોળ) લેન્સની લાક્ષણિકતા છે. સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ પ્રકાશ સમતલ બાજુથી આવે કે અંતર્ગોળ બાજુથી,તે હંમેશા અપસારી લેન્સ તરીકે જ વર્તે છે. તેથી,પ્રથમ પ્રતિબિંબ સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સની કોઈપણ બાજુથી જોઈને મેળવી શકાય છે.
બીજું પ્રતિબિંબ $KVPY$ શબ્દને ઉલટું દર્શાવે છે,જે અભિસારી (બહિર્ગોળ) લેન્સની લાક્ષણિકતા છે જ્યારે વસ્તુ કેન્દ્રલંબાઈની બહાર મૂકવામાં આવે. સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ પ્રકાશ સમતલ બાજુથી આવે કે બહિર્ગોળ બાજુથી,તે હંમેશા અભિસારી લેન્સ તરીકે જ વર્તે છે. તેથી,બીજું પ્રતિબિંબ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની કોઈપણ બાજુથી જોઈને મેળવી શકાય છે.
આમ,સમતલ-અંતર્ગોળ અને સમતલ-બહિર્ગોળ બંને લેન્સ વસ્તુ કઈ બાજુ છે તેનાથી નિરપેક્ષ રીતે સમાન પ્રકારના પ્રતિબિંબ (અંતર્ગોળ માટે ચત્તું,બહિર્ગોળ માટે ઉલટું) ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી વર્ણવેલ તમામ પરિસ્થિતિઓ $(I, II, III, IV)$ ભૌતિક રીતે શક્ય છે.
તેથી,બધા જ વિધાનો સાચા છે.

(D) પ્રથમ પ્રતિબિંબ $KVPY$ શબ્દને સીધો દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે આભાસી પ્રતિબિંબ છે. પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ એ અપસારી (diverging) લેન્સ છે,જે કોઈપણ વાસ્તવિક વસ્તુના સ્થાન માટે હંમેશા સીધું,આભાસી અને નાનું પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
બીજું પ્રતિબિંબ $KVPY$ શબ્દને ઉલટું દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ છે. પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ એ અભિસારી (converging) લેન્સ છે,જે જ્યારે વસ્તુને કેન્દ્રલંબાઈ કરતા વધુ અંતરે $(u > f)$ રાખવામાં આવે ત્યારે વાસ્તવિક અને ઉલટું પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$(I)$ પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ એ અભિસારી લેન્સ છે. જો $u > f$ હોય તો કોઈપણ બાજુ (સમતલ કે બહિર્ગોળ) થી જોતા ઉલટું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મળશે. તેથી,પ્રથમ પ્રતિબિંબ (જે સીધું છે) પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ દ્વારા બની શકે નહીં. વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
$(II)$ પ્રથમ પ્રતિબિંબ સીધું છે (પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ દ્વારા બનેલું) અને બીજું પ્રતિબિંબ ઉલટું છે (પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ દ્વારા બનેલું). આ સાચું છે.
$(III)$ પ્રથમ પ્રતિબિંબ સીધું છે (પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ દ્વારા બનેલું) અને બીજું પ્રતિબિંબ ઉલટું છે (પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ દ્વારા બનેલું). આ સાચું છે.
$(IV)$ પ્રથમ પ્રતિબિંબ સીધું છે (પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ દ્વારા બનેલું) અને બીજું પ્રતિબિંબ ઉલટું છે (પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ દ્વારા બનેલું). આ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(II), (III),$ અને $(IV)$ સાચા છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) લેન્સ માટે મોટવણી $m$ એ પ્રતિબિંબ અંતર $v$ અને વસ્તુ અંતર $u$ ના ગુણોત્તર તરીકે આપવામાં આવે છે,જે $m = \frac{v}{u}$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{u} = \frac{1}{v} - \frac{1}{f} = \frac{f-v}{vf}$.
આ કિંમતને મોટવણીના સૂત્રમાં મૂકતા: $m = v \times \frac{f-v}{vf} = \frac{f-v}{f} = 1 - \frac{v}{f}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{v}{f} = 1 - m$,જેનો અર્થ છે કે $v = f(1 - m)$.
પાવર $P = \frac{1}{f}$ (મીટરમાં) હોવાથી,આપણે $f = \frac{1}{P}$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ.
તેથી,$v = \frac{1-m}{P}$.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
દ્વિ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$ છે,તેથી $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = -\frac{2}{R}$ થાય.
આમ,$\frac{1}{f} = -\frac{2}{R}(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)$.
લેન્સ અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે તે માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) > 0$,અથવા $\mu_l > \mu_m$.
વિકલ્પ $(d)$ માં,લેન્સને $CS_2$ $(\mu_l = 1.6)$ વડે ભરવામાં આવે છે અને પાણી $(\mu_m = 1.33)$ માં ડૂબાડવામાં આવે છે.
કારણ કે $1.6 > 1.33$,શરત $\mu_l > \mu_m$ સંતોષાય છે,અને લેન્સ અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(B) લેન્સના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \quad \dots(i)$
અહીં,$f = +10 \,cm$ અને $u = -15 \,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v = +30 \,cm$.
સમીકરણ $(i)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$
$\frac{dv}{dt} = \left( \frac{v^2}{u^2} \right) \frac{du}{dt}$
અહીં સ્ત્રોત લેન્સ તરફ ગતિ કરે છે,તેથી $\frac{du}{dt} = -2 \,cm \,s^{-1}$ (કારણ કે $u$ નું મૂલ્ય ઘટી રહ્યું છે).
$\frac{dv}{dt} = \left( \frac{30}{-15} \right)^2 \times (-2 \,cm \,s^{-1}) = (2)^2 \times (-2 \,cm \,s^{-1}) = 4 \times (-2) = -8 \,cm \,s^{-1}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ લેન્સ તરફ ગતિ કરે છે. તેથી,પ્રતિબિંબ $8 \,cm \,s^{-1}$ ના વેગથી લેન્સ તરફ ગતિ કરે છે.

(A) લેન્સના સમીકરણ પરથી,આપણી પાસે $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
આ સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dv}{dt} = \frac{v^2}{u^2} \left( \frac{du}{dt} \right) = m^2 \left( \frac{du}{dt} \right)$ મળે છે,જ્યાં $m = \frac{v}{u}$ એ મોટવણી છે.
નાના દોલનો માટે,પ્રતિબિંબનો કંપવિસ્તાર $\Delta v$ એ પદાર્થના કંપવિસ્તાર $\Delta u$ સાથે $\Delta v = m^2 \Delta u$ સંબંધ ધરાવે છે.
અહીં $u = -20 \,cm$ અને $f = 5 \,cm$ આપેલ છે,તેથી મોટવણી $m = \frac{f}{f+u} = \frac{5}{5-20} = \frac{5}{-15} = -\frac{1}{3}$ થાય.
લેન્સ $A$ જેટલા કંપવિસ્તાર સાથે પદાર્થની સાપેક્ષમાં દોલન કરે છે,તેથી $\Delta u = A$. આમ,પ્રતિબિંબનો કંપવિસ્તાર $\Delta v = m^2 A = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 A = \frac{A}{9}$ થાય.
જ્યારે લેન્સ પદાર્થ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે પદાર્થનું અંતર $u$ ઘટે છે. વાસ્તવિક પદાર્થ માટે જે $u = -20 \,cm$ પર મૂકેલ છે,પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુએ રચાય છે. જો લેન્સ પદાર્થ તરફ ગતિ કરે,તો પદાર્થ અને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર ઘટતા પ્રતિબિંબ લેન્સથી દૂર જાય છે. તેથી,પ્રતિબિંબના દોલનો લેન્સના દોલનો સાથે વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે.

(D) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{n_l}{n_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
આપેલ છે:
લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક,$n_l = 1.6$
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક,$n_m = 2.0$
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = -0.2 \, m$ અને $R_2 = +0.2 \, m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.6}{2.0} - 1 \right) \left( \frac{1}{-0.2} - \frac{1}{0.2} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.8 - 1) \left( -5 - 5 \right)$
$\frac{1}{f} = (-0.2) \times (-10)$
$\frac{1}{f} = 2$
$f = 0.5 \, m$
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોવાથી,લેન્સ $0.5 \, m$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.