Refraction by Lenses Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +\frac{1}{3} \ m$. મોટવણી $m = -2$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું છે).
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $-2 = \frac{v}{u}$,જેનો અર્થ છે $v = -2u$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{1/3} = \frac{1}{-2u} - \frac{1}{u}$
$3 = \frac{-1 - 2}{2u}$
$3 = \frac{-3}{2u}$
$2u = -1$
$u = -0.5 \ m$.
લેન્સથી વસ્તુનું અંતર એ $u$ નું મૂલ્ય છે,જે $0.5 \ m$ છે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,પાતળા લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સને એકબીજાના સંપર્કમાં અક્ષીય રીતે રાખવામાં આવે,ત્યારે તેમનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq}$ એ વ્યક્તિગત પાવરનો સરવાળો હોય છે: $P_{eq} = P_1 + P_2$.
દરેક પાવર $P_i$ એ $\left( \frac{1}{R_{i,1}} - \frac{1}{R_{i,2}} \right)$ પદના પ્રમાણમાં હોય છે.
લેન્સ પાવરના સામાન્ય સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લેતા,તે વક્રતા ત્રિજ્યાના વ્યસ્તના સરવાળાના પ્રમાણમાં હોય છે,જે વક્રતાના સરવાળાના ગુણધર્મને ધ્યાનમાં લેતા $\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}$ સ્વરૂપમાં પરિણમે છે.
તેથી,પાવર $\frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$ લેવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (\frac{1.5}{1.75} - 1) (\frac{1}{-R} - \frac{1}{R})$.
$\frac{1}{f} = (\frac{6}{7} - 1) (-\frac{2}{R}) = (-\frac{1}{7}) (-\frac{2}{R}) = \frac{2}{7R}$.
તેથી,$f = 3.5 R$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોવાથી,લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તશે.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ લેન્સનો પાવર: $P = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં $n_l$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
હવામાં લેન્સ માટે $(n_a = 1)$: $P_a = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 3D$.
જ્યારે લેન્સને $n_m = 2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે,ત્યારે નવો પાવર $P_m = \left( \frac{n_l}{n_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ થાય.
બંને પાવરનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_m}{P_a} = \frac{(\frac{n_l}{n_m} - 1)}{(n_l - 1)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_m}{3} = \frac{(\frac{1.5}{2} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{(0.75 - 1)}{0.5} = \frac{-0.25}{0.5} = -0.5$.
તેથી,$P_m = 3 \times (-0.5) = -1.5D$. નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં ચિહ્નની ભૂલ હોઈ શકે છે; લેન્સ અપસારી (diverging) બને છે અને પાવરનું મૂલ્ય $-1.5D$ થાય છે.

(C) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f} = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +40 \ cm$ અને $R_2 = -40 \ cm$ છે.
હવામાં $(n_a = 1)$: $P_{air} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.5 \times \frac{2}{40} = \frac{0.5}{20} = \frac{1}{40} \ cm^{-1}$.
પ્રવાહીમાં $(n_l = 1.25)$: સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $n_{rel} = \frac{n_g}{n_l} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$ થાય.
$P_{liquid} = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.2 \times \frac{2}{40} = \frac{0.4}{40} = \frac{1}{100} \ cm^{-1}$.
પ્રવાહીમાં પાવર અને હવામાં પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_{liquid}}{P_{air}} = \frac{1/100}{1/40} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ થાય.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +1/3 \ m$. મોટવણી $m = -2$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું છે).
લેન્સ માટે મોટવણીનું સૂત્ર $m = v/u$ વાપરતા,$-2 = v/u$,જેનો અર્થ છે કે $v = -2u$.
લેન્સનું સૂત્ર $1/f = 1/v - 1/u$ વાપરતા,કિંમતો મૂકતા:
$1/(1/3) = 1/(-2u) - 1/u$
$3 = (-1 - 2)/(2u)$
$3 = -3/(2u)$
$2u = -1$
$u = -0.5 \ m$.
લેન્સથી વસ્તુનું અંતર એ $u$ નું મૂલ્ય છે,જે $|-0.5 \ m| = 0.5 \ m$ થાય.

(D) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $= f$,મોટવણી $m = -2$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું છે).
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v = -2u$ મળે છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-2u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{-1 - 2}{2u} = \frac{1}{f}$
$\frac{-3}{2u} = \frac{1}{f}$
$2u = -3f$
$u = -1.5f$.
વસ્તુના અંતરનું મૂલ્ય $1.5f$ છે.

(D) આપેલ છે કે મોટવણી $m = -n$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે).
મોટવણીની વ્યાખ્યા મુજબ,$m = \frac{v}{u} = -n$,જે સૂચવે છે કે $v = -nu$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-nu} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{f} = \frac{-1 - n}{nu} = -\frac{n+1}{nu}$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $f$ ધન હોવાથી,આપણે વસ્તુના અંતર $u$ નું મૂલ્ય ધ્યાનમાં લઈએ છીએ (જ્યાં $u$ ઋણ છે,તેથી ધારો કે $u = -x$):
$\frac{1}{f} = \frac{n+1}{nx} \implies x = f(\frac{n+1}{n}) = f(1 + \frac{1}{n})$.
આમ,લેન્સથી વસ્તુનું અંતર $f(1 + \frac{1}{n})$ છે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, હવામાં લેન્સનો પાવર $P$ નીચે મુજબ છે:
$P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 2.5 \ D$
જ્યારે લેન્સને $\mu_l$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહીની સાપેક્ષમાં લેન્સનો અસરકારક વક્રીભવનાંક $\mu' = \frac{\mu}{\mu_l}$ થાય છે.
નવો પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P' = (\mu' - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P'}{P} = \frac{\mu' - 1}{\mu - 1}$
અહીં $\mu = 1.5$ અને $\mu_l = 2$ આપેલ છે, તેથી $\mu' = \frac{1.5}{2} = 0.75$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P'}{2.5} = \frac{0.75 - 1}{1.5 - 1} = \frac{-0.25}{0.5} = -0.5$
$P' = -0.5 \times 2.5 = -1.25 \ D$

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રતિબિંબ અંતર અને $u$ એ વસ્તુ અંતર છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$m$ ઋણ હોય છે. ધારો કે મોટવણીનું મૂલ્ય $M = |m|$ છે. તેથી $v = M u$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$.
$u = \frac{v}{M}$ મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{M}{v} = \frac{1}{F}$.
$\frac{1-M}{v} = \frac{1}{F} \implies v = F(1-M)$.
જોકે,પ્રમાણિત સંજ્ઞાપ્રણાલી મુજબ જ્યાં $m$ એ પ્રતિબિંબના કદ અને વસ્તુના કદનો ગુણોત્તર છે,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે $v = F(1+m)$ એ $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ પરથી મળતું પ્રમાણિત પરિણામ છે (જ્યાં $u$ ઋણ લેવામાં આવે છે).
આમ,$v = F(1+m)$.

(A) લેન્સ અથવા અરીસાની પ્રકાશના કિરણોને કેન્દ્રિત અથવા વિકેન્દ્રિત કરવાની ક્ષમતાને તેનો પાવર કહેવામાં આવે છે.
લેન્સ માટે,પાવર $P$ એ તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ (મીટરમાં) ના વ્યસ્ત જેટલો હોય છે,એટલે કે $P = 1/f$.
તેથી,આ ક્ષમતા માટેનો સાચો શબ્દ ફૉકલ પાવર (અથવા માત્ર પાવર) છે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
આમ,$\frac{1}{f} = \frac{2(\mu - 1)}{R}$.
જ્યારે એક સપાટીને ઘસીને સમતલ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યાઓ $R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ થાય છે.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ માટે,$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$\frac{1}{f'} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{f} \right)$,જેનો અર્થ છે કે $f' = 2f$.
લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ હોવાથી,નવો પાવર $P' = \frac{1}{f'} = \frac{1}{2f} = \frac{P}{2}$.
તેથી,નવી કેન્દ્રલંબાઈ $2f$ અને નવો પાવર $\frac{P}{2}$ થશે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં, $f = 20 \,cm$, $\mu = 1.55$, $R_1 = R$, અને $R_2 = -R$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{20} = (1.55 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \left( \frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{20} = \frac{1.1}{R}$
$R = 1.1 \times 20 = 22 \,cm$
આમ, જરૂરી વક્રતા ત્રિજ્યા $22 \,cm$ છે.

(D) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ પ્રથમ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ ધન $(+20 \,cm)$ અને બીજી સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_2$ ઋણ $(-20 \,cm)$ લેવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\mu = 1.5$, $R_1 = 20 \,cm$, $R_2 = -20 \,cm$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right)$
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{2}{20} = 0.5 \times 0.1 = 0.05$
$f = \frac{1}{0.05} = 20 \,cm$.
આપાત કિરણો અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેઓ મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થશે, જે ધ્રુવથી $L = f = 20 \,cm$ અંતરે આવેલું છે.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_l$ એ લેન્સનો વક્રીભવનાંક છે અને $n_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક લેન્સના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક જેટલો છે,તેથી $n_l = n_m$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_l} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1 - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = 0$.
જેથી $\frac{1}{f} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અનંત થશે.
આનો અર્થ એ છે કે લેન્સ એક સમતલ કાચની પ્લેટ જેવું વર્તન કરશે.

(D) ધારો કે પદાર્થનું અંતર $u$ $(u < 0)$ છે અને પ્રતિબિંબનું અંતર $v$ $(v > 0)$ છે. લેન્સનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
ધારો કે પદાર્થ અને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $L$ છે. પદાર્થ ડાબી બાજુ $(u < 0)$ અને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ જમણી બાજુ $(v > 0)$ હોવાથી,અંતર $L$ નીચે મુજબ મળે:
$L = v + |u| = v - u$
લેન્સના સૂત્ર પરથી,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{u+f}{uf}$,તેથી $v = \frac{uf}{u+f}$.
આ કિંમત $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L = \frac{uf}{u+f} - u = \frac{uf - u(u+f)}{u+f} = \frac{-u^2}{u+f}$
$u$ ઋણ હોવાથી,ધારો કે $u = -x$ જ્યાં $x > 0$. તેથી $L = \frac{-(-x)^2}{-x+f} = \frac{x^2}{x-f}$.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,$L$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$\frac{dL}{dx} = \frac{(x-f)(2x) - x^2(1)}{(x-f)^2} = 0$
$2x^2 - 2xf - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 - 2xf = 0$
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણને $x = 2f$ મળે છે.
$x = 2f$ ની કિંમત $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L_{\text{min}} = \frac{(2f)^2}{2f-f} = \frac{4f^2}{f} = 4f$.

(D) હવામાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = (n_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(1)$
જ્યાં $n_g = \frac{3}{2}$ અને $f = 15 \,cm$ છે.
$n_l$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં તે જ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f'} = \left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$\frac{f'}{f} = \frac{(n_g - 1)}{\left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right)}$
આપેલ કિંમતો $n_g = \frac{3}{2}$ અને $n_l = \frac{9}{5}$ મૂકતા:
$\frac{f'}{15} = \frac{(\frac{3}{2} - 1)}{(\frac{3/2}{9/5} - 1)} = \frac{1/2}{(\frac{3}{2} \times \frac{5}{9} - 1)} = \frac{1/2}{(\frac{5}{6} - 1)} = \frac{1/2}{-1/6} = -3$
તેથી, $f' = -3 \times 15 = -45 \,cm$.

(B) મોટવણી,$m = -\frac{1}{4}$ (પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું હોવાથી,મોટવણી ઋણ લેવામાં આવે છે).
મોટવણીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m = \frac{v}{u} = -\frac{1}{4}$,જે આપણને $v = -\frac{u}{4}$ આપે છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{-u/4} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$-\frac{4}{u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$-\frac{5}{u} = \frac{1}{f}$.
તેથી,$u = -5f$.
વસ્તુના અંતરનું મૂલ્ય $5f$ છે.

(A) પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને તેથી ઉલટું છે.
તેથી,મોટવણી $m = \frac{v}{u} = -n$,જેનો અર્થ છે કે $u = -\frac{v}{n}$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$u$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{v} - (-\frac{n}{v}) = \frac{1}{f}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1+n}{v} = \frac{1}{f}$ મળે છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ અંતર $v = f(n+1)$ થાય.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = 8 \,cm$. કણનું સરેરાશ સ્થાન $u_0 = -14 \,cm$ છે. કણનો કંપવિસ્તાર $A_p = 1 \,cm$ છે.
પ્રથમ, જ્યારે કણ સરેરાશ સ્થાન પર હોય ત્યારે પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_0$ શોધો:
$\frac{1}{v_0} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u_0} = \frac{1}{8} - \frac{1}{14} = \frac{7-4}{56} = \frac{3}{56}$
$v_0 = \frac{56}{3} \approx 18.67 \,cm$.
ત્યારબાદ, જ્યારે કણ અંતિમ સ્થાન $u_1 = -14 - 1 = -15 \,cm$ પર હોય ત્યારે પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_1$ શોધો:
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{15} = \frac{15-8}{120} = \frac{7}{120}$
$v_1 = \frac{120}{7} \approx 17.14 \,cm$.
દોલિત પ્રતિબિંબનો કંપવિસ્તાર એ પ્રતિબિંબના સ્થાનો વચ્ચેનો તફાવત છે:
$A_i = |v_0 - v_1| = |18.67 - 17.14| = 1.53 \,cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, કંપવિસ્તાર આશરે $2 \,cm$ છે.

(C) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{liquid}}$.
અહીં આપેલ છે કે પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક લેન્સના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક જેટલો જ છે,તેથી $\mu_{lens} = \mu_{liquid}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_{rel} = 1$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0$.
તેથી,$\frac{1}{f} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f = \infty$ (કેન્દ્રલંબાઈ અનંત થઈ જશે).

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વસ્તુના કદ જેટલું જ પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,મોટવણી $m = -1$ હોવી જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે વસ્તુ લેન્સથી $2f$ અંતરે મૂકવામાં આવે અને પ્રતિબિંબ બીજી બાજુ $2f$ અંતરે રચાય.
અહીં પ્રતિબિંબ લેન્સથી $d$ અંતરે આવેલી દીવાલ પર રચાય છે,તેથી પ્રતિબિંબ અંતર $v = d$ છે.
પ્રતિબિંબનું કદ વસ્તુના કદ જેટલું હોવાથી,વસ્તુ અંતર $u$ પણ $d$ હોવું જોઈએ.
આમ,બે દીવાલો વચ્ચેનું કુલ અંતર $u + v = d + d = 2d$ થાય.
સમાન કદના વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર ઓછામાં ઓછું $4f$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$4f = 2d$,જે આપણને $f = \frac{d}{2}$ આપે છે.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $P = 1/f = (\mu - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$ છે.
સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા,
$P = (\mu - 1)(1/R + 1/R) = (\mu - 1)(2/R)$.
જ્યારે એક સપાટીને સમતલ બનાવવામાં આવે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યાઓ $R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ થાય છે.
નવો પાવર $P' = (\mu - 1)(1/R - 1/\infty) = (\mu - 1)/R$.
$P'$ ની $P$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $P' = P/2$ મળે છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f' = 1/P'$ હોવાથી,$f' = 1/(P/2) = 2/P = 2f$.
તેથી,નવી કેન્દ્રલંબાઈ $2f$ અને નવો પાવર $P/2$ છે.

(B) પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = 1.33$ છે અને હવાનો વક્રીભવનાંક $\mu_a = 1.0$ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_l$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
દ્વિ-બહિર્ગોળ હવાના પરપોટા માટે,$R_1 > 0$ અને $R_2 < 0$ હોવાથી,$(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) > 0$ થાય છે.
અહીં,$\mu_l = \mu_a = 1.0$ અને $\mu_m = \mu_w = 1.33$ છે.
જેহেতু $\frac{\mu_a}{\mu_w} = \frac{1.0}{1.33} < 1$ છે,તેથી $(\frac{\mu_a}{\mu_w} - 1)$ પદ ઋણ બને છે.
આથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે હવાનો પરપોટો અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(A) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ પાવર $P = -4.0 \text{ D}$ છે.
પાવર ઋણ હોવાથી,લેન્સ અંતર્ગોળ લેન્સ છે.
સૂત્ર $f = \frac{1}{P}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f = \frac{1}{-4.0} \text{ m} = -0.25 \text{ m}$.
મીટરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $f = -0.25 \times 100 \text{ cm} = -25.0 \text{ cm}$.
તેથી,તે $-25.0 \text{ cm}$ ની કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો અંતર્ગોળ લેન્સ છે.

(C) આપેલ છે:
કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20 \ cm$
વક્રીભવનાંક $n = 1.55$
સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +R$ અને $R_2 = -R$ થાય.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{20} = (1.55 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \left( \frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{20} = \frac{1.1}{R}$
$R = 20 \times 1.1 = 22 \ cm$
આમ,જરૂરી વક્રતા ત્રિજ્યા $22 \ cm$ છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
આપેલ છે:
$f = 12 \ cm$,$R_1 = 10 \ cm$,$R_2 = -15 \ cm$ (દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ બીજી સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા ઋણ લેવામાં આવે છે).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-15} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \left( \frac{3 + 2}{30} \right)$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \times \frac{5}{30}$
$\frac{1}{12} = (\mu - 1) \times \frac{1}{6}$
$\frac{6}{12} = \mu - 1$
$0.5 = \mu - 1$
$\mu = 1.5$
આમ,લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $1.5$ છે.

(D) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (n_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે,જ્યાં $n_{rel} = \frac{n_{lens}}{n_{medium}}$.
હવામાં $(n_a = 1)$: $\frac{1}{15} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
તેથી,$\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{15 \times 0.5} = \frac{1}{7.5} \ cm^{-1}$.
પ્રવાહીમાં $(n_w = \frac{4}{3})$: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
$\frac{1}{f_w} = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \left( \frac{1}{7.5} \right) = \left( \frac{0.5}{4} \right) \left( \frac{1}{7.5} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{7.5} = \frac{1}{60}$.
આમ,$f_w = 60 \ cm$.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,એક સપાટી સમતલ $(R_1 = \infty)$ છે અને બીજી સપાટી બહિર્ગોળ ($R_2 = -60 \ cm$,સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ) છે.
આપેલ છે $n = 1.5$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-60} \right)$
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \left( 0 + \frac{1}{60} \right)$
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{60} = \frac{1}{120}$
તેથી,$f = 120 \ cm$.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂચવે છે કે $f \propto \frac{1}{n - 1}$,જ્યાં $n$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
કોશીના વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક ટૂંકી તરંગલંબાઈ (જાંબલી) માટે વધારે અને લાંબી તરંગલંબાઈ (લાલ) માટે ઓછો હોય છે.
તેથી,$n_{V} > n_{R}$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $(n - 1)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ઊંચો વક્રીભવનાંક ટૂંકી કેન્દ્રલંબાઈ આપે છે.
આમ,$f_{V} < f_{R}$ અથવા $f_{R} > f_{V}$.

(C) જ્યારે સમતલ તરંગ અગ્ર બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે,ત્યારે લેન્સ પ્રકાશના કિરણોને કેન્દ્રબિંદુ પર કેન્દ્રિત કરે છે.
તરંગ અગ્ર હંમેશા પ્રકાશના પ્રસરણની દિશા (કિરણો) ને લંબ હોવાથી,કેન્દ્રિત થતા કિરણોને કારણે મળતું તરંગ અગ્ર ગોલીય હોય છે જે કેન્દ્રબિંદુ તરફ સંકોચાય છે.
તેથી,બહાર આવતું તરંગ અગ્ર ગોલીય હોય છે.

(D) આકૃતિ પરથી,લેન્સને બે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય.
ડાબા અડધા ભાગ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{0.5}{R}$
જમણા અડધા ભાગ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{0.2}{R}$
લેન્સનો સંયુક્ત પાવર $P = P_1 + P_2$ છે,તેથી $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{R} + \frac{0.2}{R} = \frac{0.7}{14} = 0.05 \ cm^{-1}$.
આમ,$f = \frac{1}{0.05} = 20 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -40 \ cm$ અને $f = 20 \ cm$:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-40}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2-1}{40} = \frac{1}{40}$
તેથી,$v = 40 \ cm$.

(C) આ લેન્સ $3$ અલગ-અલગ દ્રવ્યોનો બનેલો છે,જે દરેકનો વક્રીભવનાંક અલગ-અલગ છે.
લેન્સ $3$ અલગ ભાગોનો બનેલો હોવાથી,દરેક ભાગ પોતાની કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા સ્વતંત્ર લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે મુખ્ય અક્ષ પર એક બિંદુવત વસ્તુ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે $3$ અલગ-અલગ વિભાગોમાંથી પસાર થતા પ્રકાશના કિરણોનું વક્રીભવન અલગ-અલગ રીતે થશે.
પરિણામે,દરેક વિભાગ તેની ચોક્કસ કેન્દ્રલંબાઈ દ્વારા નિર્ધારિત સ્થાન પર વસ્તુનું પ્રતિબિંબ રચશે.
તેથી,કુલ $3$ અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો રચાશે,જે લેન્સના દરેક વિભાગ દ્વારા એક-એક હશે.

(D) આપેલ છે,${ }^a \mu_g = \frac{3}{2}$,$f_{\text{air}} = f$.
પાણીનો વક્રીભવનાંક,${ }^a \mu_w = \frac{4}{3}$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યારે લેન્સ હવામાં હોય:
$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(i)$
જ્યારે લેન્સને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રલંબાઈ $f_w$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{f_w}{f} = \frac{1/2}{1/8} = 4 \implies f_w = 4f$.
કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર:
$\frac{f_w - f}{f} \times 100 = \frac{4f - f}{f} \times 100 = 300 \%$ વધારો.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = 10 \,cm$, પદાર્થની ઝડપ $v_o = |du/dt| = 1 \,ms^{-1}$, પ્રતિબિંબની ઝડપ $v_i = |dv/dt| = 1 \,ms^{-1}$.
લેન્સના સૂત્ર મુજબ: $1/f = 1/v - 1/u$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $0 = -1/v^2 (dv/dt) + 1/u^2 (du/dt)$.
આથી: $dv/dt = (v^2/u^2) (du/dt)$.
પ્રતિબિંબની ઝડપ અને પદાર્થની ઝડપ સમાન હોવાથી, $|dv/dt| = |du/dt|$, તેથી $v^2/u^2 = 1$, જેનો અર્થ છે કે $|v| = |u|$.
બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે, મોટવણી $m = v/u = -1$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ ઉલટું અને વાસ્તવિક છે).
લેન્સના સૂત્ર $1/f = 1/v - 1/u$ માં $v = -u$ મૂકતા:
$1/f = 1/(-u) - 1/u = -2/u$.
$u = -2f = -2(10) = -20 \,cm$.
ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી અંતર $20 \,cm$ છે.

(D) સમાન-અંતર્ગોળ લેન્સનો પાવર,$P = -4.5 \ D$.
વક્રીભવનાંક,$\mu = 1.6$.
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-4.5} \ m = -\frac{100}{4.5} \ cm = -\frac{200}{9} \ cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમાન-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = -R$ અને $R_2 = R$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{-200/9} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right)$
$-\frac{9}{200} = 0.6 \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{9}{200} = \frac{1.2}{R}$
$R = \frac{1.2 \times 200}{9} = \frac{240}{9} \approx 26.67 \ cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની વક્રતા ત્રિજ્યા માટે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,તેનું મૂલ્ય $-26.6 \ cm$ મળે છે.

(D) ધારો કે વસ્તુનું લેન્સથી અંતર $u$ છે અને પ્રતિબિંબનું લેન્સથી અંતર $v$ છે. વસ્તુ અને પડદો $x$ અંતરે સ્થિર હોવાથી, $v + u = x$ (માત્ર મૂલ્ય લેતા)।
મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ છે, તેથી $v = mu$.
$v = mu$ ને અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: $mu + u = x$, જે આપે છે $u(m + 1) = x$, તેથી $u = \frac{x}{m+1}$.
ત્યારબાદ $v = x - u = x - \frac{x}{m+1} = \frac{mx}{m+1}$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ $u$ ઋણ છે $(u = -\frac{x}{m+1})$:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{(\frac{mx}{m+1})} - \frac{1}{(-\frac{x}{m+1})}$
$\frac{1}{f} = \frac{m+1}{mx} + \frac{m+1}{x} = \frac{m+1}{x} (\frac{1}{m} + 1) = \frac{m+1}{x} (\frac{1+m}{m}) = \frac{(m+1)^2}{mx}$.
તેથી, $f = \frac{mx}{(m+1)^2}$.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
જ્યાં $\mu$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$.
કોશીના વિક્ષેપના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\mu \propto \frac{1}{\lambda})$.
જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધે છે,તેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ ઘટે છે.
કારણ કે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$,$\mu$ માં ઘટાડો થવાથી કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માં વધારો થાય છે.
આપેલા રંગોમાં,લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હોય છે $(\lambda_{red} > \lambda_{yellow} > \lambda_{green} > \lambda_{blue})$.
તેથી,લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક $\mu$ ન્યૂનતમ હોય છે,જેના પરિણામે લાલ પ્રકાશ માટે કેન્દ્રલંબાઈ મહત્તમ મળે છે.

(D) આપેલ છે,હવા સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક,${ }_{a} \mu_{g} = \frac{3}{2}$.
હવા સાપેક્ષ પાણીનો વક્રીભવનાંક,${ }_{a} \mu_{w} = \frac{4}{3}$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_a} = ({ }_{a} \mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
પાણીમાં લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_w} = ({ }_{w} \mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં ${ }_{w} \mu_{g} = \frac{{ }_{a} \mu_{g}}{{ }_{a} \mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$.
ગુણોત્તર $\frac{f_w}{f_a}$ લેતા:
$\frac{f_w}{f_a} = \frac{{ }_{a} \mu_{g} - 1}{{ }_{w} \mu_{g} - 1} = \frac{3/2 - 1}{9/8 - 1} = \frac{1/2}{1/8} = \frac{1}{2} \times 8 = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(C) લેન્સના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $0 = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt}$.
ગોઠવણી કરતા,પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i = \frac{dv}{dt} = \left(\frac{v^2}{u^2}\right) \frac{du}{dt} = m^2 v_o$,જ્યાં $m = \frac{v}{u}$ એ મોટવણી છે અને $v_o$ એ વસ્તુની ઝડપ છે.
જેમ જેમ વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર $(u \to -f)$ તરફ જાય છે,તેમ મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ બદલાય છે.
પ્રવેગ $a_i = \frac{dv_i}{dt} = \frac{d}{dt}(m^2 v_o) = 2m v_o \frac{dm}{dt}$ મેળવવા માટે વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા.
જેમ વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર તરફ જાય છે,$m$ અરેખીય રીતે બદલાય છે,જેનાથી $\frac{dm}{dt}$ ચલિત બને છે. તેથી,પ્રતિબિંબ અસમાન પ્રવેગ સાથે લેન્સથી દૂર જાય છે.

(D) પ્રકાશના કિરણો બિંદુ $P$ પર કેન્દ્રિત થતા હોવાથી,તે અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. લેન્સના સ્થાનથી બિંદુ $P$ નું અંતર $u = +12 \,cm$ છે (કારણ કે તે આપાત પ્રકાશની દિશામાં છે).
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = -16 \,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{12} = \frac{1}{-16}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16}$
$\frac{1}{v} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$
તેથી,$v = 48 \,cm$.
કિરણો લેન્સથી $x$ અંતરે કેન્દ્રિત થતા હોવાથી,$x = 48 \,cm$.

(A) લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -25 \ cm$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ) અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = +75 \ cm$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ લેન્સની બીજી બાજુએ પડદા પર રચાય છે).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{75} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{75} + \frac{1}{25}$.
$\frac{1}{f} = \frac{1 + 3}{75} = \frac{4}{75}$.
$f = \frac{75}{4} = +18.75 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોવાથી,લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સ છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,ચત્તું અને મોટું પ્રતિબિંબ ત્યારે જ મળે છે જ્યારે વસ્તુને લેન્સના પ્રકાશીય કેન્દ્ર અને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે.
અહીં કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \ cm$ આપેલી છે,તેથી વસ્તુનું અંતર $u$ એવું હોવું જોઈએ કે જેથી $0 < |u| < 20 \ cm$ થાય.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$15 \ cm$ એ એકમાત્ર મૂલ્ય છે જે $u < f$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,સાચું અંતર $15 \ cm$ છે.

(D) આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{1}{2}$, કેન્દ્રલંબાઈ $f = 6 \,cm$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$.
ધારો કે $R_{1} = R$ અને $R_{2} = 2R$.
અભિસારી લેન્સ માટે, લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} \right)$.
$\frac{1}{6} = 0.5 \left( \frac{2 + 1}{2R} \right) = 0.5 \left( \frac{3}{2R} \right) = \frac{1.5}{2R} = \frac{3}{4R}$.
$R$ માટે ઉકેલતા: $4R = 18$, તેથી $R = 4.5 \,cm$.
તેથી, $R_{1} = 4.5 \,cm$ અને $R_{2} = 2 \times 4.5 = 9 \,cm$.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, એક સપાટી વક્ર $(R_1 = 60 \,cm)$ છે અને બીજી સપાટી સમતલ $(R_2 = \infty)$ છે।
આપેલ વક્રીભવનાંક $\mu = 1.6$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = 60 \,cm$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left[ \frac{1}{60} - \frac{1}{\infty} \right]$
$\frac{1}{f} = 0.6 \times \left[ \frac{1}{60} - 0 \right]$
$\frac{1}{f} = \frac{0.6}{60} = \frac{6}{600} = \frac{1}{100}$
તેથી, લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 100 \,cm$ થાય.

(D) આપેલ છે: હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $f_{a} = 0.15 \,m$, કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_{g} = \frac{3}{2}$, પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_{w} = \frac{4}{3}$.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$, જ્યાં $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$.
હવા માટે: $\frac{1}{f_{a}} = \left( \frac{\mu_{g}}{\mu_{a}} - 1 \right) C$, જ્યાં $C = \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$.
$\frac{1}{0.15} = \left( \frac{3/2}{1} - 1 \right) C = \frac{1}{2} C \implies C = \frac{2}{0.15} = \frac{40}{3}$.
પાણી માટે: $\frac{1}{f_{w}} = \left( \frac{\mu_{g}}{\mu_{w}} - 1 \right) C$.
$\frac{1}{f_{w}} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) C = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) C = \frac{1}{8} C$.
$C = \frac{40}{3}$ કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{f_{w}} = \frac{1}{8} \times \frac{40}{3} = \frac{5}{3}$.
તેથી, $f_{w} = \frac{3}{5} = 0.6 \,m$.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે,ત્યારે તે લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે.
જેમ જેમ આપણે મુખ્ય અક્ષ પર લેન્સથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ કિરણપુંજ પહેલા મુખ્ય કેન્દ્ર તરફ કેન્દ્રિત થાય છે,જેના કારણે કિરણપુંજનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે,જે પ્રકાશની તીવ્રતામાં વધારો કરે છે.
મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થયા પછી,કિરણપુંજ અપસારી થવા લાગે છે,જેના કારણે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ વધે છે,જે પ્રકાશની તીવ્રતામાં ઘટાડો કરે છે.
તેથી,પ્રકાશની તીવ્રતા પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.

(B) આપેલ છે કે મોટવણી $m = 2$ અને પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,પદાર્થ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $D = |u| + |v| = 0.72 \ m$ છે.
કારણ કે $m = \frac{|v|}{|u|} = 2$,તેથી $|v| = 2|u|$.
આ કિંમત અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: $|u| + 2|u| = 0.72 \ m \Rightarrow 3|u| = 0.72 \ m \Rightarrow |u| = 0.24 \ m$ અને $|v| = 0.48 \ m$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0.48 \ m$ અને $u = -0.24 \ m$ છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{0.48} - \frac{1}{-0.24} = \frac{1 + 2}{0.48} = \frac{3}{0.48} \Rightarrow f = 0.16 \ m$.
જ્યારે પદાર્થને લેન્સ તરફ $0.04 \ m$ ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું પદાર્થ અંતર $u' = -(0.24 - 0.04) = -0.20 \ m$ થાય છે.
ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-0.20} = \frac{1}{0.16} \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{0.16} - \frac{1}{0.20} = \frac{5 - 4}{0.80} = \frac{1}{0.80} \Rightarrow v' = 0.80 \ m$.
નવી મોટવણી $m' = \frac{v'}{u'} = \frac{0.80}{-(-0.20)} = 4$ થશે.