Refraction by Lenses Questions in Gujarati

(D) કિસ્સો $1$: વક્ર સપાટી ટેબલના સંપર્કમાં છે.
લેન્સની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $t = 6 \,cm$ છે. આભાસી ઊંડાઈ $d' = 4 \,cm$ છે.
વક્રીભવનાંક $n = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}} = \frac{6}{4} = 1.5$.
કિસ્સો $2$: સમતલ સપાટી ટેબલના સંપર્કમાં છે.
ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવનનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$.
અહીં, પ્રકાશ લેન્સ $(n = 1.5)$ માંથી હવા $(n = 1)$ માં જાય છે.
વાસ્તવિક ઊંડાઈ $u = 6 \,cm$, આભાસી ઊંડાઈ $v = -\frac{17}{4} \,cm$ (આભાસી પ્રતિબિંબ).
સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1.5}{u} = \frac{1 - 1.5}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-17/4} - \frac{1.5}{6} = \frac{-0.5}{R}$
$-\frac{4}{17} - 0.25 = -\frac{0.5}{R}$
$-\frac{4}{17} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2R}$
$-\frac{16 + 17}{68} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{33}{68} = \frac{1}{2R} \implies R = 34 \,cm$.

(B) આપેલ છે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
લેન્સનો પાવર $P$ એ મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$P = \frac{1}{f(m)} = \frac{1}{0.1 \ m} = 10 \ D$.
આમ,લેન્સનો પાવર $10 \ D$ છે.

(D) ધારો કે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. લેન્સ દ્વારા મળતી મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ વસ્તુનું અંતર છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,જો પ્રતિબિંબનું કદ સમાન હોય,તો મોટવણી $m = 1$ (આભાસી પ્રતિબિંબ) અથવા $m = -1$ (વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ) હોવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$m = -1$. સૂત્ર $m = \frac{f}{f+u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$-1 = \frac{f}{f+u_1}$,જેનો અર્થ છે $f+u_1 = -f$,તેથી $u_1 = -2f$. આપેલ છે $u_1 = -20 \ cm$,તેથી $2f = 20 \ cm$,એટલે કે $f = 10 \ cm$.
કિસ્સો $2$: જો બે અલગ-અલગ સ્થાનો માટે પ્રતિબિંબનું કદ સમાન હોય,તો એક પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને એક આભાસી હોવું જોઈએ. બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ છે. પ્રતિબિંબનું કદ સમાન હોવાથી,$|m_1| = |m_2|$.
વસ્તુના અંતર $u_1 = -20 \ cm$ અને $u_2 = -10 \ cm$ છે. મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ છે.
$u_1 = -20$ માટે,$m_1 = \frac{f}{f-20}$. $u_2 = -10$ માટે,$m_2 = \frac{f}{f-10}$.
પ્રતિબિંબના કદ સમાન હોવાથી,$|m_1| = |m_2|$. તેથી,$\left| \frac{f}{f-20} \right| = \left| \frac{f}{f-10} \right|$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{f}{20-f} = \frac{f}{f-10}$ (કારણ કે એક પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને એક આભાસી છે,એક મોટવણી ઋણ છે).
$20-f = f-10 \implies 2f = 30 \implies f = 15 \ cm$.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવામાં લેન્સ માટે $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પ્રવાહીમાં લેન્સ માટે $(\mu_{liq})$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_l}{\mu_{liq}} - 1) K$.
આપેલ છે કે $\frac{f_a}{f_l} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{f_l}{f_a} = 2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f_a}{f_l} = \frac{(\frac{\mu_l}{\mu_{liq}} - 1)}{(\mu_l - 1)} = \frac{1}{2}$.
$\mu_l = 1.5$ મૂકતા: $\frac{(\frac{1.5}{\mu_{liq}} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1.5}{\mu_{liq}} - 1 = 0.5 \times 0.5 = 0.25$.
$\frac{1.5}{\mu_{liq}} = 1.25$.
$\mu_{liq} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$.

(A) હવામાં,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે. આપેલ છે કે $f_a = 20 \ cm = 0.2 \ m$ અને $\mu_g = 1.5$,તેથી $\frac{1}{0.2} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \Rightarrow 5 = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \Rightarrow \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 10 \ m^{-1}$.
જ્યારે $\mu_l$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ માટે $\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ થાય.
પાવર $P = -1 \ D$ આપેલ હોવાથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = \frac{1}{P} = -1 \ m = -100 \ cm$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-1} = \left( \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \right) (10)$.
$-0.1 = \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \Rightarrow \frac{1.5}{\mu_l} = 0.9$.
$\mu_l = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.

(B) ધારો કે લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu_l$ છે અને પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu_m$ છે. આપેલ છે કે $\mu_m = 0.8 \mu_l = \frac{4}{5} \mu_l$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_l = 1.25 \mu_m = \frac{5}{4} \mu_m$.
હવામાં લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(f_a)$:
$\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પ્રવાહી માધ્યમમાં લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(f_m)$:
$\frac{1}{f_m} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) K$.
આપેલ છે કે કેન્દ્રલંબાઈમાં $100 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $f_m = f_a + 100 \% f_a = 2 f_a$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{f_m}{f_a} = \frac{\mu_l - 1}{\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1} = 2$.
$\mu_l = \frac{5}{4} \mu_m$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{4} \mu_m - 1}{\frac{5}{4} - 1} = 2$.
$\frac{\frac{5}{4} \mu_m - 1}{0.25} = 2 \Rightarrow \frac{5}{4} \mu_m - 1 = 0.5$.
$\frac{5}{4} \mu_m = 1.5 \Rightarrow \mu_m = 1.5 \times 0.8 = 1.2$.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_l$ એ લેન્સનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_m$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
ધારો કે લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu_l$ છે અને $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પ્રથમ પ્રવાહી માટે,જેનો વક્રીભવનાંક $\mu_{m1} = 1.25$ છે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ માટે: $\frac{1}{f_1} = (\frac{\mu_l}{1.25} - 1)K$.
બીજા પ્રવાહી માટે,જેનો વક્રીભવનાંક $\mu_{m2} = 1.5$ છે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ માટે: $\frac{1}{f_2} = (\frac{\mu_l}{1.5} - 1)K$.
કેન્દ્રલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{5}{16}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{f_1}{f_2} = \frac{(\frac{\mu_l}{1.5} - 1)}{(\frac{\mu_l}{1.25} - 1)} = \frac{5}{16}$.
$\frac{\mu_l - 1.5}{1.5} \times \frac{1.25}{\mu_l - 1.25} = \frac{5}{16}$.
$\frac{\mu_l - 1.5}{\mu_l - 1.25} = \frac{5}{16} \times \frac{1.5}{1.25} = \frac{5}{16} \times 1.2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
$8(\mu_l - 1.5) = 3(\mu_l - 1.25)$.
$8\mu_l - 12 = 3\mu_l - 3.75$.
$5\mu_l = 8.25$.
$\mu_l = 1.65$.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,પ્રથમ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ ધન $(+40 \,cm)$ અને બીજી સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_2$ ઋણ $(-40 \,cm)$ હોય છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં $\mu = 1.5$,$R_1 = 40 \,cm$,અને $R_2 = -40 \,cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2}{40} \right) = 0.5 \times 0.05 = 0.025$
$\frac{1}{f} = \frac{1}{40}$
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 40 \,cm$ થાય.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +4 \ cm$ અને $R_2 = -8 \ cm$ લેવામાં આવે છે.
વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{-8} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \right)$.
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2+1}{8} \right) = (0.5) \left( \frac{3}{8} \right) = \frac{1.5}{8} = \frac{3}{16}$.
તેથી,$f = \frac{16}{3} \approx 5.33 \ cm$ થાય.

(B) આપેલ છે કે, પડદા અને વસ્તુ વચ્ચેનું અંતર, $d = 100 \,cm$.
બહિર્ગોળ લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર, $x = 20 \,cm$.
ડિસ્પ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર $f = \frac{d^2 - x^2}{4d}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{(100)^2 - (20)^2}{4 \times 100}$
$f = \frac{10000 - 400}{400}$
$f = \frac{9600}{400}$
$f = 24 \,cm$.
તેથી, લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $24 \,cm$ છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P$ (ડાયોપ્ટરમાં) અને તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ (મીટરમાં) વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $P = \frac{1}{f(m)}$.
જો કેન્દ્રલંબાઈ સેન્ટિમીટરમાં $(cm)$ હોય, તો સૂત્ર આ મુજબ થાય: $P = \frac{100}{f(cm)}$.
અહીં આપેલ પાવર $P = +2.0 \,D$ છે, તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$2.0 = \frac{100}{f(cm)}$
$f(cm) = \frac{100}{2.0} = 50 \,cm$.
આમ, જરૂરી બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $50 \,cm$ છે.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $\lambda$ ઘટે તેમ $\mu$ વધે છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ લાલ પ્રકાશ કરતા ઓછી હોવાથી,વાદળી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક લાલ પ્રકાશ કરતા વધારે હોય છે $(\mu_{blue} > \mu_{red})$.
પરિણામે,જ્યારે લાલ પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ દ્વારા બદલવામાં આવે ત્યારે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઘટે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે અને કારણ $(R)$ પણ ખોટું છે.

(C) આપેલ છે,લેન્સનો વક્રીભવનાંક,$\mu = 1.5$.
વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા,$R_1 = 12 \,cm$.
સમતલ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા,$R_2 = \infty$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{12} - \frac{1}{\infty} \right]$
કારણ કે $\frac{1}{\infty} = 0$,તેથી:
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{1}{12}$
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{12} = \frac{1}{24}$
તેથી,$f = 24 \,cm$.
આમ,આપેલ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $24 \,cm$ છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ આપેલ છે.
વસ્તુને પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્રથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે.
પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર એ ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી $f$ અંતરે હોવાથી,ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી વસ્તુનું કુલ અંતર $u = -(f + x)$ થશે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$u = -(f + x)$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{v} - \frac{1}{-(f + x)} = \frac{1}{f}$ મળે છે.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f + x} = \frac{f + x - f}{f(f + x)} = \frac{x}{f(f + x)}$.
તેથી,$v = \frac{f(f + x)}{x}$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = \frac{\frac{f(f + x)}{x}}{-(f + x)} = -\frac{f}{x}$.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબની સાઈઝ અને વસ્તુની સાઈઝનો ગુણોત્તર એ મોટવણીનું મૂલ્ય છે,જે $|m| = \frac{f}{x}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: લેન્સનો વક્રીભવનાંક,$\mu_g = 1.5$.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક,$\mu_m = 1.6$.
હવામાં લેન્સનો પાવર,$P = -5 \ D$.
હવાનો વક્રીભવનાંક,$\mu_a = 1$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ (હવામાં).
માધ્યમ માટે,પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P' = \frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
$P'$ ને $P$ વડે ભાગતા:
$\frac{P'}{P} = \frac{(\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1)}{(\mu_g - 1)} = \frac{(\frac{1.5}{1.6} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{(\frac{1.5 - 1.6}{1.6})}{0.5} = \frac{-0.1}{1.6 \times 0.5} = \frac{-0.1}{0.8} = -\frac{1}{8}$.
તેથી,$P' = P \times (-\frac{1}{8}) = -5 \times (-0.125) = 0.625 \ D$.

(A) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$ છે.
આપેલ છે: $n_l = 1.5$,$n_m = 1.75$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (\frac{1.5}{1.75} - 1) (\frac{1}{-R} - \frac{1}{R})$.
$\frac{1}{f} = (\frac{6}{7} - 1) (-\frac{2}{R}) = (-\frac{1}{7}) (-\frac{2}{R}) = \frac{2}{7R}$.
તેથી,$f = +3.5 R$.
કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોવાથી,લેન્સ અભિસારી (બહિર્ગોળ) લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(D) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = 25 \,cm$. પ્રારંભિક પ્રતિબિંબ અંતર $v_1 = 75 \,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રારંભિક વસ્તુ અંતર $u_1$ શોધીએ છીએ:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u_1} \Rightarrow \frac{1}{u_1} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$.
તેથી, $u_1 = -37.5 \,cm$ (વસ્તુ લેન્સની સામે $37.5 \,cm$ અંતરે છે).
હવે, પડદાને લેન્સની નજીક $25 \,cm$ ખસેડવામાં આવે છે, તેથી નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v_2 = 75 - 25 = 50 \,cm$ થાય છે.
નવું પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ મળે તે માટે, આપણે નવું વસ્તુ અંતર $u_2$ શોધીએ છીએ:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{50} - \frac{1}{u_2} \Rightarrow \frac{1}{u_2} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$.
તેથી, $u_2 = -50 \,cm$ (વસ્તુ લેન્સની સામે $50 \,cm$ અંતરે છે).
વસ્તુના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર $|u_2| - |u_1| = 50 \,cm - 37.5 \,cm = 12.5 \,cm$ છે.
વસ્તુનું લેન્સથી અંતર $37.5 \,cm$ થી વધીને $50 \,cm$ થવું જોઈએ, તેથી વસ્તુને લેન્સથી $12.5 \,cm$ દૂર ખસેડવી જોઈએ.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે અને મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ છે.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$u = -u_1$ અને $v = v_1$. મોટવણી $m = \frac{v_1}{u_1}$ છે,તેથી $v_1 = m u_1$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{m u_1} - \frac{1}{-u_1} = \frac{1}{u_1} (\frac{1}{m} + 1) = \frac{1}{u_1} (\frac{1+m}{m})$.
આમ,$\frac{u_1}{f} = \frac{1+m}{m} \dots (1)$.
આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,$u = -u_2$ અને $v = -v_2$. આભાસી પ્રતિબિંબનું કદ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ કરતા $2$ ગણું છે,તેથી $v_2 = 2 v_1 = 2 m u_1$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-2 m u_1} - \frac{1}{-u_2} = \frac{1}{u_2} - \frac{1}{2 m u_1}$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $\frac{u_1-u_2}{f} = \frac{3}{2m}$,જેનો અર્થ છે કે $f = \frac{2 m (u_1-u_2)}{3}$.

(B) ધારો કે પદાર્થનું અંતર '$u$' છે અને પ્રતિબિંબનું અંતર '$v$' છે. પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોવાથી,'$v$' અને '$u$' લેન્સની વિરુદ્ધ બાજુએ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર '$D = |v| + |u|$' છે.
મોટવણી '$m = |v/u|$',તેથી '$|v| = m|u|$'.
આ કિંમત અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: '$D = m|u| + |u| = |u|(m+1)$'.
આમ,'$|u| = D/(m+1)$' અને '$|v| = mD/(m+1)$'.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: '$1/f = 1/v - 1/u$'.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,'$v$' ધન છે અને '$u$' ઋણ છે,તેથી '$1/f = 1/|v| + 1/|u|$'.
'$1/f = (m+1)/(mD) + (m+1)/D = (m+1)/D * (1/m + 1) = (m+1)/D * ((1+m)/m) = (m+1)^2 / (mD)$'.
તેથી,'$f = mD / (m+1)^2$'.

(C) ધારો કે લેન્સનું $S_1$ થી અંતર $x$ છે. તો $S_2$ થી અંતર $(24 - x)$ થશે.
પ્રતિબિંબ એક જ જગ્યાએ રચાય તે માટે,એક ઉદગમનું આભાસી પ્રતિબિંબ અને બીજાનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચાવું જોઈએ.
ધારો કે $S_1$ એ $u_1 = -x$ અંતરે છે અને $S_2$ એ $u_2 = +(24 - x)$ અંતરે છે.
$S_1$ માટે,પ્રતિબિંબ $v$ આભાસી છે,તેથી $v = -v_0$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-v_0} - \frac{1}{-x} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{1}{v_0} = \frac{1}{x} - \frac{1}{9} \quad (i)$
$S_2$ માટે,પ્રતિબિંબ $v$ વાસ્તવિક છે,તેથી $v = +v_0$. લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_0} - \frac{1}{24-x} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{1}{v_0} = \frac{1}{9} + \frac{1}{24-x} \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} + \frac{1}{24-x}$
$\frac{1}{x} - \frac{1}{24-x} = \frac{2}{9}$
$\frac{24-x-x}{x(24-x)} = \frac{2}{9} \Rightarrow \frac{24-2x}{24x-x^2} = \frac{2}{9}$
$9(12-x) = 24x - x^2 \Rightarrow 108 - 9x = 24x - x^2$
$x^2 - 33x + 108 = 0$
$(x - 27)(x - 6) = 0$
$x < 24$ હોવાથી,આપણને $x = 6 \ cm$ મળે છે.

(A) વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેના નિશ્ચિત અંતર $D$ માટે,જો $D > 4f$ હોય તો $f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો બહિર્ગોળ લેન્સ બે સ્થાનો પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ રચે છે.
ધારો કે $D = 90 \ cm$ અને લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર $d = 20 \ cm$ છે.
સ્થાનાંતરની રીત (displacement method) ના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f$:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{90^2 - 20^2}{4 \times 90}$
$f = \frac{8100 - 400}{360}$
$f = \frac{7700}{360}$
$f = \frac{770}{36} \approx 21.38 \ cm$.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
અહીં,$\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{liquid}} = \frac{1.5}{1.3} = \frac{15}{13}$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +6 \ cm$ અને $R_2 = -12 \ cm$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{15}{13} - 1 \right) \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{-12} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{2+1}{12} \right) = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{3}{12} \right) = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.
તેથી,$f = 26 \ cm$.

(C) પાતળા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$P = +4 \ D$,$\mu_{\ell} = \frac{3}{2}$,$\mu_m = \frac{5}{3}$.
$P = \frac{1}{f_a}$ હોવાથી,$f_a = \frac{1}{4} \ m = 25 \ cm$ મળે.
હવામાં,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f_a} = (\mu_{\ell} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ ... $(i)$ છે.
પ્રવાહી માધ્યમમાં,કેન્દ્રલંબાઈ $f_m$ માટે $\frac{1}{f_m} = \left(\frac{\mu_{\ell}}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ ... (ii) છે.
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ વડે ભાગતા,$\frac{f_a}{f_m} = \frac{(\mu_{\ell} - 1)}{(\frac{\mu_{\ell}}{\mu_m} - 1)}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f_a}{f_m} = \frac{(\frac{3}{2} - 1)}{(\frac{3/2}{5/3} - 1)} = \frac{1/2}{(9/10 - 1)} = \frac{1/2}{-1/10} = -5$.
તેથી,$f_m = -5 \times f_a = -5 \times 25 \ cm = -125 \ cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે લેન્સ $125 \ cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(C) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R$,છિદ્રની ત્રિજ્યા $r$ અને જાડાઈ $t$ વચ્ચેનો સંબંધ ભૂમિતિ પરથી મળે છે: $R^2 = r^2 + (R-t)^2$. કારણ કે $t$ ખૂબ નાનું છે,$R^2 = r^2 + R^2 - 2Rt + t^2 \approx r^2 + R^2 - 2Rt$,જેનું સાદું રૂપ $R = \frac{r^2}{2t}$ થાય છે.
લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (n-1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$. સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$,તેથી $\frac{1}{f} = (n-1) \frac{1}{R}$,જે આપે છે $R = f(n-1)$.
$R$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $f(n-1) = \frac{r^2}{2t}$.
અહીં $f = 73.5 \ cm$,$n = \frac{5}{3}$,અને વ્યાસ $d = 8.4 \ cm$ હોવાથી $r = \frac{d}{2} = 4.2 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $73.5 \times \left(\frac{5}{3} - 1\right) = \frac{(4.2)^2}{2t}$.
$73.5 \times \frac{2}{3} = \frac{17.64}{2t} \Rightarrow 49 = \frac{8.82}{t}$.
$t = \frac{8.82}{49} \ cm = 0.18 \ cm = 1.8 \ mm$.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,સ્થાનાંતરની રીત મુજબ,જ્યારે વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર નિશ્ચિત હોય,ત્યારે લેન્સના બે એવા સ્થાન મળે છે જ્યાં પડદા પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ રચાય છે.
ધારો કે $h_0$ એ વસ્તુની ઊંચાઈ છે,$h_1$ એ પ્રથમ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ છે અને $h_2$ એ બીજા પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ છે.
આ ઊંચાઈઓ વચ્ચેનો સંબંધ $h_0 = \sqrt{h_1 \times h_2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $h_0 = 12 \ cm$ અને $h_1 = 18 \ cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$12 = \sqrt{18 \times h_2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$144 = 18 \times h_2$
$h_2 = \frac{144}{18} = 8 \ cm$.
તેથી,બીજા પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $8 \ cm$ છે.

(C) જ્યારે લેન્સનો ઉપરનો અડધો ભાગ ઢાંકી દેવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સનો બાકી રહેલો નીચેનો અડધો ભાગ હજુ પણ પદાર્થનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ તે જ સ્થાને રચે છે. આનું કારણ એ છે કે લેન્સ પરનો દરેક બિંદુ પ્રતિબિંબ રચવામાં ફાળો આપે છે. જો કે,લેન્સમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો કુલ જથ્થો ઘટી જતો હોવાથી,પ્રતિબિંબની તીવ્રતા ઘટે છે.

(A) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$,વસ્તુ અંતર $u = -60 \ cm$,પ્રતિબિંબ અંતર $v = +120 \ cm$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,ધારો કે બહિર્ગોળ સપાટીની ત્રિજ્યા $R_1 = -R$ (કારણ કે તે વસ્તુની સામે છે) અને સપાટ સપાટીની ત્રિજ્યા $R_2 = \infty$ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \left( -\frac{1}{R} \right) = -\frac{1}{2R}$
તેથી,$f = -2R$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{120} - \frac{1}{-60} = \frac{1}{-2R}$
$\frac{1}{120} + \frac{1}{60} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{1 + 2}{120} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{3}{120} = -\frac{1}{2R} \Rightarrow \frac{1}{40} = -\frac{1}{2R}$
$2R = -40 \ cm$. ત્રિજ્યાનું મૂલ્ય ધન લેતા,$R = 20 \ cm$ મળે છે.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
આપેલ છે: $f = \frac{20}{3} \ cm$,$R_1 = 5 \ cm$,$R_2 = -10 \ cm$ (દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{-10} \right)$
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{2 + 1}{10} \right)$
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{3}{10} \right)$
$\mu - 1 = \frac{3}{20} \times \frac{10}{3}$
$\mu - 1 = \frac{1}{2}$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$

(C) હવામાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 25^{-1} \ cm^{-1}$.
જ્યારે તેને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_w$ આ મુજબ મળે છે: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{2}{R} \right)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{f_w}{f_a} = \frac{\mu_g - 1}{\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{4/3} - 1} = \frac{0.5}{1.125 - 1} = \frac{0.5}{0.125} = 4$.
આમ,$f_w = 4 \times f_a = 4 \times 25 \ cm = 100 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો નિરપેક્ષ ફેરફાર $|f_w - f_a| = |100 \ cm - 25 \ cm| = 75 \ cm$ થાય.

(B) બાયકોન્વેક્સ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લો.
હવામાં કાચનો વક્રીભવનાંક ${}_a\mu_g = 3/2$ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (\frac{3}{2} - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\frac{1}{2}) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
તેથી,$f = R$.
જ્યારે લેન્સને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક ${}_w\mu_g = \frac{{}_a\mu_g}{{}_a\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય છે.
પાણીમાં લેન્સ માટે લેન્સ મેકરનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{1}{f_w} = ({}_w\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\frac{9}{8} - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$.
$\frac{1}{f_w} = (\frac{1}{8}) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{4R}$.
કારણ કે $R = f$,તેથી $\frac{1}{f_w} = \frac{1}{4f}$,જેનો અર્થ છે કે $f_w = 4f$.

(A) લેન્સ માટે, મોટવણી $m = \frac{v}{u}$.
અહીં $m = \pm 4$ અને $f = 20 \,cm$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ $(m = -4)$.
$m = \frac{v}{u} = -4 \Rightarrow v = -4u$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-4u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{-1-4}{4u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{-5}{4u} = \frac{1}{20}$.
$4u = -100 \Rightarrow u = -25 \,cm$.
આમ, જ્યારે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોય ત્યારે વસ્તુ $25 \,cm$ ના અંતરે છે.
કિસ્સો $2$: આભાસી પ્રતિબિંબ $(m = +4)$.
$m = \frac{v}{u} = 4 \Rightarrow v = 4u$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{4u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1-4}{4u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{-3}{4u} = \frac{1}{20}$.
$4u = -60 \Rightarrow u = -15 \,cm$.
આમ, જ્યારે પ્રતિબિંબ આભાસી હોય ત્યારે વસ્તુ $15 \,cm$ ના અંતરે છે.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુએ મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે,તેથી પ્રતિબિંબ અંતર $v = +f$ થાય.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = +f$ હોય છે.
આ કિંમતોને લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f} = 0$
$u = \infty$
તેથી,પ્રતિબિંબ મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય તે માટે વસ્તુને અનંત અંતરે મૂકવી પડે.

(D) આપેલ છે, $m_1 = 4$ અને $m_2 = 3$.
વસ્તુના બે સ્થાન વચ્ચેનું અંતર $|u_2 - u_1| = 2 \,cm$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે, મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે $u$ ઋણ હોય છે, તેથી ધારો કે $u = -x$. તો $m = \frac{f}{f-x}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $f-x = \frac{f}{m}$, અથવા $x = f(1 - \frac{1}{m}) = f(\frac{m-1}{m})$ મળે.
$m_1 = 4$ માટે, $u_1 = f(\frac{4-1}{4}) = \frac{3f}{4}$.
$m_2 = 3$ માટે, $u_2 = f(\frac{3-1}{3}) = \frac{2f}{3}$.
બંને વચ્ચેનું અંતર $u_1 - u_2 = 2 \,cm$ છે.
$\frac{3f}{4} - \frac{2f}{3} = 2$.
$\frac{9f - 8f}{12} = 2$.
$\frac{f}{12} = 2 \Rightarrow f = 24 \,cm$.

(B) લેન્સ માટે મોટવણી $M$ નું સૂત્ર $M = \frac{f}{u + f}$ છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $u$ એ વસ્તુનું અંતર છે.
આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +8 \ cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે) અને મોટવણી $M = -4$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$-4 = \frac{8}{u + 8}$
બંને બાજુ $(u + 8)$ વડે ગુણતા:
$-4(u + 8) = 8$
$-4u - 32 = 8$
$-4u = 8 + 32$
$-4u = 40$
$u = -10 \ cm$.
આમ,વસ્તુને લેન્સની સામે $10 \ cm$ ના અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(A) ધારો કે લેન્સથી વસ્તુનું અંતર $u$ છે અને લેન્સથી વાસ્તવિક પ્રતિબિંબનું અંતર $v$ છે. પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોવાથી,$u$ અને $v$ ના મૂલ્યો ધન છે. વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = u + v$ છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-u} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
તેથી,$v = \frac{uf}{u-f}$.
કુલ અંતર $D = u + \frac{uf}{u-f}$ થાય.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $D$ નું $u$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dD}{du} = 1 + \frac{f(u-f) - uf}{(u-f)^2} = 1 - \frac{f^2}{(u-f)^2} = 0$.
આનાથી $(u-f)^2 = f^2$ મળે છે,તેથી $u-f = f$ ($u > f$ હોવાથી),જેનો અર્થ છે કે $u = 2F$.
$u = 2F$ પર,અંતર $D = 2F + 2F = 4F$ થાય છે,જે ન્યૂનતમ અંતર છે.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \ cm$ છે.
વસ્તુ $P$ માટે જે $10 \ cm$ અંતરે છે,અહીં $u_P < f$ હોવાથી,વસ્તુ લેન્સના પ્રકાશીય કેન્દ્ર અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે છે. તેથી,મળતું પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું હોય છે.
વસ્તુ $Q$ માટે જે $30 \ cm$ અંતરે છે,અહીં $f < u_Q < 2f$ $(20 \ cm < 30 \ cm < 40 \ cm)$ હોવાથી,વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર અને વક્રતા કેન્દ્રની વચ્ચે છે. તેથી,મળતું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું હોય છે.

(B) લેન્સની રેખીય મોટવણી $m$ એ કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને વસ્તુ અંતર $u$ ના સંદર્ભમાં $m = \frac{f}{f+u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ લેન્સ માટે,$m_1 = \frac{f_1}{f_1+u}$,જેનો અર્થ છે કે $f_1 + u = \frac{f_1}{m_1}$,તેથી $u = f_1(\frac{1}{m_1} - 1) = f_1(\frac{1-m_1}{m_1})$.
બીજા લેન્સ માટે,$m_2 = \frac{f_2}{f_2+u}$,જેનો અર્થ છે કે $u = f_2(\frac{1-m_2}{m_2})$.
વસ્તુ અંતર $u$ બંને લેન્સ માટે સમાન હોવાથી,આપણને $f_1(\frac{1-m_1}{m_1}) = f_2(\frac{1-m_2}{m_2})$ મળે છે.
$f_1/f_2$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{f_1}{f_2} = \frac{m_1(1-m_2)}{m_2(1-m_1)}$ મળે છે.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_c}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$\frac{1}{f} = (\mu_c - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે તેને $\mu_l > \mu_c$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પદ $\left( \frac{\mu_c}{\mu_l} - 1 \right)$ ઋણ બને છે કારણ કે $\frac{\mu_c}{\mu_l} < 1$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે પદ $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ ધન હોવાથી,નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ ઋણ મળે છે.
ઋણ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો લેન્સ અંતર્ગોળ અથવા અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(A) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$.
હવામાં,કેન્દ્રલંબાઈ $f_a$ છે: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
અહીં $\mu_g = 1.45$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{f_a} = (1.45 - 1) K = 0.45 K$.
પ્રવાહીમાં,કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ છે: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) K$.
અહીં $\mu_l = 1.3$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{f_l} = (\frac{1.45}{1.3} - 1) K = (\frac{1.45 - 1.3}{1.3}) K = (\frac{0.15}{1.3}) K$.
હવે,$f_l / f_a$ નો ગુણોત્તર શોધતા:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.45 K}{(\frac{0.15}{1.3}) K} = \frac{0.45 \times 1.3}{0.15} = 3 \times 1.3 = 3.9$.

(C) પ્રથમ શરત મુજબ,બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે.
અહીં $f = 25 \,cm$ અને $v = 75 \,cm$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$
$u = -37.5 \,cm$.
આમ,વસ્તુ લેન્સથી $37.5 \,cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવી છે.
બીજી શરત મુજબ,પડદાને લેન્સની નજીક $25 \,cm$ ખસેડવામાં આવે છે,તેથી નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v_1 = 75 \,cm - 25 \,cm = 50 \,cm$ થશે.
લેન્સના સૂત્રનો ફરીથી ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{50} - \frac{1}{u_1}$
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$
$u_1 = -50 \,cm$.
આમ,નવું વસ્તુ અંતર $50 \,cm$ છે.
વસ્તુને જે અંતરે ખસેડવી પડે તે $\Delta u = |u_1| - |u| = 50 \,cm - 37.5 \,cm = 12.5 \,cm$ છે.

(C) સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right] = (\mu - 1) \left[ \frac{2}{R} \right]$
આમ,$R = 2f(\mu - 1)$.
જ્યારે લેન્સને ઊભી રીતે બે સમાન સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક નવા લેન્સની એક સપાટીની ત્રિજ્યા $R$ હોય છે અને બીજી સપાટી સમતલ (ત્રિજ્યા $\infty$) હોય છે.
નવા લેન્સ માટે કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ શોધવા માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right]$
$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} \right]$
$f' = \frac{R}{\mu - 1}$
$R = 2f(\mu - 1)$ ની કિંમત મૂકતા:
$f' = \frac{2f(\mu - 1)}{\mu - 1} = 2f$.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં કાચના લેન્સનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5$ અને આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_m = 1.75$ છે.
બહિર્ગોળ-અંતર્ગોળ (દ્વિ-અંતર્ગોળ) લેન્સ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5}{1.75} - 1 \right) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{1.5 - 1.75}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{-0.25}{1.75} \right) \left( -\frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( -\frac{1}{7} \right) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{2}{7R}$
$f = +3.5 R$
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોવાથી,લેન્સ અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(A) પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ માટે, એક સપાટી સમતલ $(R_1 = \infty)$ છે અને બીજી સપાટી અંતર્ગોળ $(R_2 = 0.3 \,m)$ છે। સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ, અંતર્ગોળ સપાટી માટે $R_2 = -0.3 \,m$ લેવાય છે।
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં $\mu = 5/3$, $R_1 = \infty$, અને $R_2 = -0.3 \,m$ છે:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{5}{3} - 1 \right) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-0.3} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{3} \right) \left( 0 + \frac{1}{0.3} \right)$
$\frac{1}{f} = \frac{2}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{9}$
$f = \frac{9}{20} = 0.45 \,m$
અંતર્ગોળ લેન્સ હોવાથી, સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ લેવી પડે, તેથી $f = -0.45 \,m$।

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = 1.5$ અને $f = 5 \,cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{5} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{5} = 0.5 \times \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{5} = 0.5 \times \frac{2}{R}$
$\frac{1}{5} = \frac{1}{R}$
તેથી, $R = 5 \,cm$.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
સમાન-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$ મળે.
આમ,$f = \frac{R}{2(\mu - 1)}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$f > R$ છે.
તેથી,$\frac{R}{2(\mu - 1)} > R$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{2(\mu - 1)} > 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2(\mu - 1) < 1$ અથવા $\mu - 1 < 0.5$ મળે.
તેથી,$\mu < 1.5$.
લેન્સ હવામાં હોય ત્યારે તે લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે તે માટે તેનો વક્રીભવનાંક $1$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,તેથી વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $1$ કરતા વધારે અને $1.5$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.