Refraction by Lenses Questions in Gujarati

(B) સૂર્યનો કોણીય વ્યાસ $\theta = (1/2)^o$ આપેલ છે.
આને સૂત્રમાં વાપરવા માટે,આપણે તેને રેડિયનમાં ફેરવીએ:
$\theta = (1/2) \times (\pi / 180) \, \text{રેડિયન} = \pi / 360 \, \text{રેડિયન}$.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 100 \, cm = 1 \, m$ છે.
કેન્દ્રલંબાઈના સમતલ પર રચાતા પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $d_I$ નીચેના સંબંધ દ્વારા મળે છે:
$d_I = f \times \theta$
$d_I = 100 \, cm \times (1/2) \times (\pi / 180) \, \text{રેડિયન}$
$d_I = 100 \times (1/2) \times (3.14159 / 180) \, cm$
$d_I \approx 0.8726 \, cm$
મિલીમીટરમાં ફેરવતા:
$d_I \approx 8.726 \, mm \approx 9 \, mm$.
આમ,રચાતા પ્રતિબિંબનો વ્યાસ આશરે $9 \, mm$ છે.

(D) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર: $\frac{1}{f_m} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $(f_a = 20 \ cm)$ હોવાથી,$\frac{1}{f_a} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,તેથી માધ્યમમાં કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = f_a \frac{(\mu - 1)}{(\frac{\mu}{\mu_m} - 1)}$ લખી શકાય.
ઉપરના અડધા ભાગ માટે,$\mu_m = \mu_1 = 1.2$:
$f_1 = 20 \times \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{1.2} - 1} = 20 \times \frac{0.5}{1.25 - 1} = 20 \times \frac{0.5}{0.25} = 40 \ cm$.
નીચેના અડધા ભાગ માટે,$\mu_m = \mu_2 = 2.5$:
$f_2 = 20 \times \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{2.5} - 1} = 20 \times \frac{0.5}{0.6 - 1} = 20 \times \frac{0.5}{-0.4} = -25 \ cm$.
વસ્તુ અનંત અંતરે હોવાથી,પ્રતિબિંબો તેમના સંબંધિત મુખ્ય કેન્દ્રો પર રચાશે.
બે પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર $|f_1| + |f_2| = |40| + |-25| = 65 \ cm$ થશે.

(B) આપેલ છે: $f = +10 \text{ cm}$,$u = -30 \text{ cm}$,$V_O = +4 \text{ cm/sec}$,$V_L = +2 \text{ cm/sec}$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$,જ્યાં $\frac{dv}{dt} = V_{I/L}$ અને $\frac{du}{dt} = V_{O/L}$.
$V_{I/L} = \left(\frac{v}{u}\right)^2 V_{O/L} = m^2 V_{O/L}$.
પ્રથમ,$v$ શોધો: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \implies v = +15 \text{ cm}$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{15}{-30} = -0.5$.
સાપેક્ષ વેગ: $V_{O/L} = V_O - V_L = 4 - 2 = +2 \text{ cm/sec}$.
$V_{I/L} = m^2 V_{O/L} = (-0.5)^2 \times 2 = 0.25 \times 2 = 0.5 \text{ cm/sec}$.
કારણ કે $V_{I/L} = V_I - V_L$,તેથી $V_I = V_{I/L} + V_L = 0.5 + 2 = 2.5 \text{ cm/sec}$.

(A) ધારો કે લેન્સથી વસ્તુનું અંતર $u = -x \, cm$ છે.
લેન્સથી પડદાનું અંતર $v = +(90 - x) \, cm$ છે.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે મોટવણી $m = \frac{v}{u} = -2$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{90 - x}{-x} = -2$.
$90 - x = 2x \Rightarrow 3x = 90 \Rightarrow x = 30 \, cm$.
આમ,$u = -30 \, cm$ અને $v = 90 - 30 = 60 \, cm$ મળે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
તેથી,$f = 20 \, cm$ મળે.

(D) આકૃતિ પરથી,વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = 10 \ cm$ અને $R_2 = 20 \ cm$ છે. બંને વક્રતા કેન્દ્રો લેન્સની જમણી બાજુએ આવેલા છે,તેથી સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,$R_1$ અને $R_2$ બંને ધન છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\mu = 1.5$,$R_1 = 10 \ cm$,$R_2 = 20 \ cm$.
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{20} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{2 - 1}{20} \right)$
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{1}{20} = \frac{0.5}{20} = \frac{1}{40}$
તેથી,$f = 40 \ cm$.

(A) કોશીના વિક્ષેપના સૂત્ર મુજબ, દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે। લાલ પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનાંક $(\mu_{R})$ એ વાદળી પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $(\mu_{B})$ કરતા ઓછો હોય છે, એટલે કે $\mu_{R} < \mu_{B}$.
લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\mu_{R} < \mu_{B}$, પદ $(\mu_{R} - 1)$ એ $(\mu_{B} - 1)$ કરતા નાનું છે.
પરિણામે, $\frac{1}{f_{R}} < \frac{1}{f_{B}}$, જેનો અર્થ છે કે $f_{R} > f_{B}$.
તેથી, જ્યારે વાદળી પ્રકાશને બદલે લાલ પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ વધશે.

(D) આપેલ છે: લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર,$d = 10\, cm$.
બે સ્થાનોમાં પ્રતિબિંબના કદનો ગુણોત્તર,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{3}{2}$.
ધારો કે વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D$ છે.
પાતળા લેન્સ માટે ડિસ્પ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,પ્રતિબિંબના કદનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{(D+d)^2}{(D-d)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{2} = \frac{(D+10)^2}{(D-10)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{D+10}{D-10}$.
આનાથી મળે છે: $\sqrt{3}(D-10) = \sqrt{2}(D+10)$.
$D(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 10(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
$D = 10 \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 10 \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 10 \times (3 + 2 + 2\sqrt{6}) = 10(5 + 2\sqrt{6}) \approx 10(5 + 4.899) = 98.99\, cm \approx 99\, cm$.

(A) $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા લેન્સને $\mu_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે ત્યારે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu}{\mu_1} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
હવામાં રહેલા અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે કારણ કે $\mu > 1$ (જ્યાં હવા માટે $\mu_1 = 1$),જેનાથી પદ $(\frac{\mu}{\mu_1} - 1)$ ધન બને છે અને કૌંસ $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ ઋણ બને છે.
જ્યારે લેન્સને એવા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે કે જેથી $\mu_1 > \mu$ થાય,ત્યારે પદ $(\frac{\mu}{\mu_1} - 1)$ ઋણ બને છે.
ભૌમિતિક અવયવ $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે ઋણ રહેતો હોવાથી,બે ઋણ પદોનો ગુણાકાર ધન બને છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન બને છે.
ધન કેન્દ્રલંબાઈ સૂચવે છે કે લેન્સ હવે બહિર્ગોળ લેન્સ (અભિસારી લેન્સ) તરીકે વર્તે છે. તેથી,લેન્સ પર આપાત થતું સમાંતર કિરણપુંજ તેમાંથી પસાર થયા પછી અભિસારી બનશે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) ધારો કે વસ્તુ ચોરસની બાજુ $\ell$ છે અને પ્રતિબિંબ ચોરસની બાજુ $\ell^{\prime}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ વસ્તુના ક્ષેત્રફળ કરતાં $9$ ગણું છે,તેથી $\frac{\ell^{\prime 2}}{\ell^2} = 9$.
વર્ગમૂળ લેતા,રેખીય મોટવણી $m = \frac{\ell^{\prime}}{\ell} = 3$.
પ્રતિબિંબ પડદા પર મેળવવામાં આવે છે,તેથી તે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ છે,એટલે કે $m = -3$.
વસ્તુ અંતર $u = -40\,cm$.
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = m \times u = (-3) \times (-40) = 120\,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{120} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{120} + \frac{1}{40} = \frac{1+3}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 30\,cm$ છે.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$ છે.
જ્યારે લેન્સને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_{air} \approx 1$ થી વધીને $\mu_{water} \approx 1.33$ થાય છે. પરિણામે,સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_{rel}$ ઘટે છે,જેના કારણે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ વધે છે.
કેન્દ્રલંબાઈ વધતી હોવાથી,પ્રતિબિંબનું સ્થાન લેન્સથી દૂર ખસે છે. વસ્તુ અને પડદાના સ્થાન નિશ્ચિત હોવાથી,પ્રતિબિંબ હવે પડદા પર રચાશે નહીં. તેથી,પડદા પરથી પ્રતિબિંબ અદૃશ્ય થઈ જશે.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ છે.
અહીં $f = 20 \ cm$ અને $|m| = 2$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$m = -2$.
$-2 = \frac{20}{20 + x_1} \implies -40 - 2x_1 = 20 \implies -2x_1 = 60 \implies x_1 = 30 \ cm$.
કિસ્સો $2$: આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,$m = +2$.
$2 = \frac{20}{20 + x_2} \implies 40 + 2x_2 = 20 \implies 2x_2 = -20 \implies x_2 = 10 \ cm$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{x_1}{x_2} = \frac{30}{10} = 3:1$ થાય.

(D) પાતળા લેન્સ માટે,મોટવણી $m$ એ $m = \frac{v}{f} - 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ પ્રતિબિંબ અંતર છે અને $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું એક સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $\frac{1}{f}$ છે.
આલેખ પરથી,ઢાળ એ મોટવણીમાં થતો ફેરફાર ભાગ્યા પ્રતિબિંબ અંતરમાં થતો ફેરફાર છે:
ઢાળ $= \frac{\Delta m}{\Delta v} = \frac{c}{b}$.
કારણ કે ઢાળ એ $\frac{1}{f}$ ની બરાબર પણ છે,તેથી આપણી પાસે $\frac{1}{f} = \frac{c}{b}$ છે.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{b}{c}$ છે.

(C) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,પદ $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ ઋણ હોય છે.
લેન્સ અભિસારી (બહિર્ગોળ) લેન્સ તરીકે વર્તે તે માટે,તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે પદ $(\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)$ ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\mu_g}{\mu_l} < 1$,અથવા $\mu_g < \mu_l$.
અહીં,$\mu_g$ એ પ્રવાહીના સાપેક્ષમાં કાચનો વક્રીભવનાંક છે,જે $\frac{^a\mu_g}{^a\mu_l}$ છે.
તેથી,$\frac{^a\mu_g}{^a\mu_l} < 1$,જે આપે છે $^a\mu_g < ^a\mu_l$.

(C) ધારો કે બે સમાંતર દીવાલો વચ્ચેનું અંતર $D$ છે. બલ્બ પ્રથમ દીવાલ પર છે અને પ્રતિબિંબ બીજી દીવાલ પર રચાય છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા સમાન કદનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ (મોટવણી $m = -1$) મેળવવા માટે,વસ્તુ અંતર $u$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ એ $u = v = 2f$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = u + v = 2f + 2f = 4f$ થાય છે.
આ પ્રશ્નમાં,લેન્સને બીજી દીવાલથી $d$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રતિબિંબ અંતર $v = d$ છે.
પ્રતિબિંબ સમાન કદનું હોવાથી,વસ્તુ અંતર $u$ પણ $d$ જેટલું જ હોવું જોઈએ (કારણ કે $m = -1$ માટે $u = v$).
તેથી,દીવાલો વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = u + v = d + d = 2d$ થાય.
સંબંધ $D = 4f$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2d = 4f$ મળે છે.
$f$ માટે ઉકેલતા,આપણને $f = 2d / 4 = d / 2$ મળે છે.

(D) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
લેન્સના ઉપરના અડધા ભાગ માટે,આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2$ છે. કારણ કે $\mu_2 > \mu_1$,તેથી પદ $(\frac{\mu_1}{\mu_2} - 1)$ ઋણ બને છે. આમ,ઉપરનો અડધો ભાગ અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
લેન્સના નીચેના અડધા ભાગ માટે,આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_3$ છે. કારણ કે $\mu_1 > \mu_3$,તેથી પદ $(\frac{\mu_1}{\mu_3} - 1)$ ધન છે. આમ,નીચેનો અડધો ભાગ અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,લેન્સ નીચેના અડધા ભાગમાંથી અભિસારી કિરણપુંજ અને ઉપરના અડધા ભાગમાંથી અપસારી કિરણપુંજ ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ શોધવા માટેની સ્થાનાંતર પદ્ધતિમાં,વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેના અંતરને $D$ અને લેન્સના બે સંયુગ્મી સ્થાનો વચ્ચેના અંતરને $d$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$D = 100 \, cm$
$d = 40 \, cm$
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{100^2 - 40^2}{4 \times 100}$
$f = \frac{10000 - 1600}{400}$
$f = \frac{8400}{400}$
$f = 21 \, cm$
તેથી,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $21 \, cm$ છે.

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +10 \ cm$,વસ્તુ અંતર $u = -30 \ cm$,વસ્તુનો વેગ $\vec{V}_O = +4 \hat{i} \ cm/sec$,લેન્સનો વેગ $\vec{V}_L = +2 \hat{i} \ cm/sec$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
તેથી,$v = +15 \ cm$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{15}{-30} = -0.5$.
લેન્સની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબના વેગનું સૂત્ર $\vec{V}_{I/L} = m^2 \vec{V}_{O/L}$ છે.
$\vec{V}_I - \vec{V}_L = m^2 (\vec{V}_O - \vec{V}_L)$.
$\vec{V}_I - 2 \hat{i} = (-0.5)^2 (4 \hat{i} - 2 \hat{i}) = 0.25 (2 \hat{i}) = 0.5 \hat{i}$.
$\vec{V}_I = 2 \hat{i} + 0.5 \hat{i} = 2.5 \hat{i} \ cm/sec$.

(C) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકર્સના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
લેન્સ જ્યારે પાણીમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે તેનો સ્વભાવ (અભિસારીમાંથી અપસારી) બદલાય તે માટે કેન્દ્રલંબાઈની નિશાની બદલાવી જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu_l$ એ હવા $(\mu_a \approx 1)$ અને પાણી $(\mu_w \approx 1.33)$ ના વક્રીભવનાંકની વચ્ચે હોય.
આમ,શરત $1 < \mu_l < 1.33$ છે.

(A) લેન્સ બે અલગ-અલગ દ્રવ્યોનો બનેલો છે જેના વક્રીભવનાંક $\mu_1$ અને $\mu_2$ છે.
આકૃતિ પરથી,લેન્સના ઉપરના ભાગમાંથી પસાર થતું કિરણ બિંદુ $I_1$ પર કેન્દ્રિત થાય છે,જ્યારે નીચેના ભાગમાંથી પસાર થતું કિરણ બિંદુ $I_2$ પર કેન્દ્રિત થાય છે.
લેન્સનું કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
લેન્સની ભૂમિતિ બંને ભાગો માટે સમાન હોવાથી,કેન્દ્રલંબાઈ વક્રીભવનાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$.
આકૃતિમાં,પ્રતિબિંબ $I_1$ એ $I_2$ કરતા લેન્સની નજીક રચાય છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ એ $f_2$ કરતા ઓછી છે $(f_1 < f_2)$.
$f \propto \frac{1}{\mu - 1}$ હોવાથી,નાની કેન્દ્રલંબાઈ મોટા વક્રીભવનાંકને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\mu_1 > \mu_2$.

(B) કેન્દ્રિત કિરણપુંજ માટે,બિંદુ $P$ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
કિરણપુંજ $P$ તરફ કેન્દ્રિત થતું હોવાથી,વસ્તુ અંતર $u$ ધન લેવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $u = +12 \, cm$ અને $f = +20 \, cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે).
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{12}$.
$v$ માટે ગોઠવતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{12}$.
સરવાળો કરતા: $\frac{1}{v} = \frac{3 + 5}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$.
તેથી,$v = \frac{15}{2} = 7.5 \, cm$.
આમ,કિરણપુંજ લેન્સથી $7.5 \, cm$ ના અંતરે કેન્દ્રિત થશે.

(B) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \, cm$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,મોટવણી $m_1 = +2$.
સૂત્ર $m = \frac{f}{f+u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 = \frac{20}{20+u_1}$.
$40 + 2u_1 = 20 \Rightarrow 2u_1 = -20 \Rightarrow u_1 = -10 \, cm$.
બીજા કિસ્સા માટે,મોટવણી $m_2 = -2$.
તે જ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$-2 = \frac{20}{20+u_2}$.
$-40 - 2u_2 = 20 \Rightarrow 2u_2 = -60 \Rightarrow u_2 = -30 \, cm$.
વસ્તુને ખસેડવાનું અંતર $\Delta u = |u_2 - u_1| = |-30 - (-10)| = |-20| = 20 \, cm$ થાય.

(B) હવામાં લેન્સનો પાવર લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f_{air}} = P_{air} = (\mu_g - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
આપેલ છે કે $P_{air} = -5\,D$ અને $\mu_g = 1.5$,તેથી: $-5 = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right] = 0.5 \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
આમ,$\left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right] = \frac{-5}{0.5} = -10$.
હવે,$1.6$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં તે જ લેન્સનો પાવર: $P_{liquid} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
કિંમતો મૂકતા: $P_{liquid} = \left( \frac{1.5}{1.6} - 1 \right) (-10)$.
$P_{liquid} = \left( \frac{1.5 - 1.6}{1.6} \right) (-10) = \left( \frac{-0.1}{1.6} \right) (-10) = \left( \frac{-1}{16} \right) (-10) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\,D$.

(A) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -15 \, cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20 \, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$v$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} - \frac{1}{15}$.
લસાઅ $(60)$ લેતા: $\frac{1}{v} = \frac{3 - 4}{60} = -\frac{1}{60}$.
આમ,$v = -60 \, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે આભાસી પ્રતિબિંબ છે.

(C) કેન્દ્રિત કિરણપુંજ માટે,વસ્તુ આભાસી છે,તેથી વસ્તુ અંતર $u = +12 \, cm$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -16 \, cm$ છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-16} = \frac{1}{v} - \frac{1}{12}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16}$.
$\frac{1}{v} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$.
તેથી,$v = 48 \, cm$.
આમ,કિરણપુંજ લેન્સથી $48 \, cm$ ના અંતરે કેન્દ્રિત થાય છે.

(B) ધારો કે વસ્તુ (બલ્બ) અને પડદા (સામેની દીવાલ) વચ્ચેનું અંતર $D = 3\, m$ છે. ધારો કે લેન્સનું વસ્તુથી અંતર $u$ અને પડદાથી અંતર $v$ છે. તેથી $u + v = D = 3\, m$.
લેન્સના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$. સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા,$u$ ઋણ લેવામાં આવે છે,તેથી $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{u+v}{uv}$.
$u+v = D$ મૂકતા,આપણને $f = \frac{uv}{D}$ મળે છે.
$v = D - u$ હોવાથી,$f = \frac{u(D-u)}{D} = \frac{Du - u^2}{D}$.
પડદા પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,$D \geq 4f$ ની શરત સંતોષાવી જોઈએ.
તેથી,$f \leq \frac{D}{4}$.
$D = 3\, m$ મૂકતા,આપણને $f_{\max} = \frac{3}{4} = 0.75\, m$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -9 \, cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 10 \, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{10} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-9} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{9} = \frac{9-10}{90} = -\frac{1}{90}$.
આમ,પ્રતિબિંબ અંતર $v = -90 \, cm$ મળે છે.
મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ છે.
$m = \frac{-90}{-9} = 10$.
તેથી,લેન્સ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી મોટવણી $10$ છે.

(B) આ લેન્સ ત્રણ અલગ-અલગ આડા વિભાગોનો બનેલો છે,જે દરેક અલગ વક્રીભવનાંક $(n_1, n_2, n_3)$ ધરાવતા અલગ દ્રવ્યમાંથી બનેલા છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર $1/f = (n - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$ મુજબ,દરેક વિભાગની કેન્દ્રલંબાઈ અલગ હશે કારણ કે દરેક ભાગ માટે વક્રીભવનાંક $n$ અલગ છે.
જ્યારે મુખ્ય અક્ષ પર બિંદુવત પદાર્થ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ત્રણેય વિભાગોમાંથી પસાર થતા પ્રકાશના કિરણોનું વક્રીભવન અલગ-અલગ રીતે થશે.
પરિણામે,દરેક વિભાગ એક સ્વતંત્ર લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે અને અક્ષ પર અલગ-અલગ સ્થાને પોતાનું પ્રતિબિંબ રચે છે.
તેથી,કુલ $3$ અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો રચાશે.

(C) જ્યારે એક સમતલ તરંગ બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે,ત્યારે તરંગાગ્રહનો મધ્ય ભાગ કિનારીઓની તુલનામાં લેન્સની વધુ જાડાઈમાંથી પસાર થાય છે. હવાની સાપેક્ષે કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ ઓછી હોવાથી,મધ્ય ભાગ કિનારીઓ કરતા વધુ વિલંબિત થાય છે. પરિણામે,તરંગાગ્રહ અંદરની તરફ વળે છે અને એક અભિસારી ગોલીય તરંગાગ્રહ બનાવે છે જે લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે.

(D) લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલા મુજબ,પાતળા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે લેન્સને ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે $R_1$ અને $R_2$ ના મૂલ્યો અદલાબદલી થાય છે અને તેમની સંજ્ઞાઓ પણ બદલાય છે,પરંતુ $\frac{1}{f}$ નું એકંદર મૂલ્ય બદલાતું નથી કારણ કે આ સૂત્ર લેન્સના અભિવિન્યાસની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ સમાન રહેતી હોવાથી અને વસ્તુ અંતર $u$ અચળ રાખવામાં આવ્યું હોવાથી,લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ દ્વારા મળતું પ્રતિબિંબ અંતર $v$ પણ બંને કિસ્સાઓમાં સમાન રહેશે.
તેથી,બંને કિસ્સાઓમાં પ્રતિબિંબના સ્થાન વચ્ચેનો તફાવત $0$ છે.

(D) અપસારી (અંતર્ગોળ) લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ હોય છે,તેથી આપણે કેન્દ્રલંબાઈ $-f$ લઈશું.
આપેલ છે કે વસ્તુ અંતર $u = -mf$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-mf} = \frac{1}{-f}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{mf} = -\frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} - \frac{1}{mf} = -\left(\frac{m+1}{mf}\right)$.
તેથી,$v = -\frac{mf}{m+1}$.
મોટવણી $M$ એ $M = \frac{v}{u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M = \frac{-mf/(m+1)}{-mf} = \frac{1}{m+1}$.
આમ,પ્રતિબિંબનું કદ વસ્તુના કદ કરતાં $\frac{1}{m+1}$ ગણું હશે.

(A) આપેલ છે: વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D = 80 \, cm$. લેન્સના બે સ્થાન વચ્ચેનું અંતર $x = 20 \, cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ માટે સ્થાનાંતરની રીતનું સૂત્ર વાપરતા:
$f = \frac{D^2 - x^2}{4D}$
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{80^2 - 20^2}{4 \times 80}$
$f = \frac{6400 - 400}{320}$
$f = \frac{6000}{320}$
$f = 18.75 \, cm$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $18.75 \, cm$ છે.

(C) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
લેન્સ પોલો હોવાથી અને તેમાં હવા ભરેલી હોવાથી,લેન્સની અંદરના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $(\mu_l)$ એ બહારના માધ્યમના વક્રીભવનાંક $(\mu_m)$ જેટલો જ થાય છે (જો લેન્સ હવામાં હોય).
તેથી,$\frac{\mu_l}{\mu_m} = 1$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1 - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $f = \infty$.
અનંત કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો લેન્સ એક સાદા કાચના પ્લેટ જેવું વર્તન કરે છે,કારણ કે તે પ્રકાશના કિરણોનું અભિસરણ કે અપસરણ કરતું નથી.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે।
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
આપેલ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{2}{3}R$, તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{(2/3)R} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
$\frac{3}{2R} = (\mu - 1) \frac{2}{R}$.
બંને બાજુ $R$ વડે ગુણતા: $\frac{3}{2} = 2(\mu - 1)$.
$0.75 = \mu - 1$.
$\mu = 1.75$.

(A) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -9\, cm$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 10\, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-9} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v} + \frac{1}{9} = \frac{1}{10}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{9} = \frac{9 - 10}{90} = -\frac{1}{90}$.
આમ,$v = -90\, cm$.
રેખીય મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{-90}{-9} = 10$.
ક્ષેત્રફળની મોટવણી $m^2 = (10)^2 = 100$.
કાર્ડનું મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_0 = (1\, mm)^2 = 1\, mm^2 = 0.01\, cm^2$.
આભાસી ક્ષેત્રફળ $A_i = m^2 \times A_0 = 100 \times 0.01\, cm^2 = 1\, cm^2$.

(C) અભિસારી લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dv}{dt} = (\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{f}{f+u}$ હોવાથી,પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i = m^2 v_o$ થાય,જ્યાં $v_o$ એ પદાર્થનો વેગ છે.
જેમ જેમ પદાર્થ મુખ્ય કેન્દ્ર $(u \to -f)$ ની નજીક આવે છે,તેમ મોટવણી $m$ અનંત તરફ વધે છે.
$v_i = m^2 v_o$ હોવાથી,જેમ પદાર્થ મુખ્ય કેન્દ્રની નજીક આવે છે તેમ પ્રતિબિંબનો વેગ $v_i$ ઝડપથી વધે છે.
પ્રતિબિંબનો વેગ સમય સાથે બદલાતો હોવાથી,પ્રતિબિંબ અસમાન પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.

(D) વ્યક્તિનું દૂરબિંદુ $6.0 \, m$ છે,તેથી કોન્ટેક્ટ લેન્સ દૂરની વસ્તુનું આભાસી પ્રતિબિંબ $v = -6.0 \, m$ પર રચશે જ્યારે $u = \infty$ હોય. આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = -6.0 \, m$ છે.
હવે,$u = -18.0 \, m$ અંતરે અને $h = 2.0 \, m$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઝાડ માટે,લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-6} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-18}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{6} - \frac{1}{18} = \frac{-3-1}{18} = -\frac{4}{18}$
$v = -\frac{18}{4} = -4.5 \, m$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{-4.5}{-18} = 0.25$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h' = m \times h = 0.25 \times 2.0 = 0.50 \, m$ થાય.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવામાં લેન્સ માટે $(\mu_a = 1)$:
$\frac{1}{f_a} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે $(\mu_l = 1.25)$,ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_{rel} = \frac{\mu_g}{\mu_l} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2 = \frac{6}{5}$ થાય છે.
પ્રવાહીમાં લેન્સ માટે:
$\frac{1}{f_l} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0.2 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5$.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $2.5$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ છે.
હવામાં $(\mu_a = 1)$: $P_a = \frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -5\,D$.
તેથી,$(1.5 - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -5$,જે આપે છે $0.5 \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -5$,અથવા $\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -10$.
પ્રવાહીમાં $(\mu_m = 1.6)$: $P_m = \frac{\mu_m}{f_m} = \mu_m \left(\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$.
$P_m = 1.6 \left(\frac{1.5}{1.6} - 1\right) (-10)$.
$P_m = 1.6 \left(\frac{1.5 - 1.6}{1.6}\right) (-10)$.
$P_m = 1.6 \left(\frac{-0.1}{1.6}\right) (-10) = (-0.1) \times (-10) = 1\,D$.

(C) કોશીના સમીકરણ મુજબ,દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $\mu$ એ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ જાંબલી પ્રકાશ કરતા વધારે હોવાથી $(\lambda_R > \lambda_V)$,લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક જાંબલી પ્રકાશ કરતા ઓછો હોય છે $(\mu_R < \mu_V)$.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\frac{1}{f} \propto (\mu - 1)$.
જેથી $\mu_V > \mu_R$ હોવાથી,$(\mu_V - 1) > (\mu_R - 1)$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{f_V} > \frac{1}{f_R}$,જેનો અર્થ છે કે $f_V < f_R$.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે,જેને $\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l - \mu_m}{\mu_m} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ તરીકે લખી શકાય છે. તેથી,કારણ સાચું છે.
હવામાં લેન્સ માટે $(\mu_m = 1)$:
$\frac{1}{10} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \frac{1}{10} = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{5} \dots (i)$
પાણીમાં લેન્સ માટે $(\mu_m = 4/3)$:
$\frac{1}{f'} = \left( \frac{1.5 - 4/3}{4/3} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f'} = \left( \frac{4.5/3 - 4/3}{4/3} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \left( \frac{0.5/3}{4/3} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \left( \frac{0.5}{4} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{40}$
તેથી,$f' = 40 \, cm$. વિધાન પણ સાચું છે અને કારણ તેની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે.
જ્યારે વસ્તુ અંતર $u$ અનંત $(\infty)$ તરફ જાય છે,ત્યારે પદ $\frac{1}{u}$ એ $0$ તરફ જાય છે.
આ કિંમત લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{f}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = f$.
આમ,જ્યારે વસ્તુ અનંત અંતરે હોય ત્યારે પ્રતિબિંબનું સ્થાન મુખ્ય કેન્દ્રની નજીક આવે છે.
આ લેન્સનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે,અને આપેલ કારણ યોગ્ય રીતે સમજાવે છે કે મુખ્ય અક્ષને સમાંતર કિરણો (જે અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુમાંથી આવે છે) વક્રીભવન પછી મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ગોગલ્સ સૂર્યના હાનિકારક $UV$ કિરણો અને ધૂળથી આંખોનું રક્ષણ કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે, દ્રષ્ટિની ખામીઓને સુધારવા માટે નહીં. તેથી, તે સમતલ કાચના બનેલા હોય છે, જેનો પાવર શૂન્ય હોય છે.
કારણમાં જણાવેલ છે કે લેન્સની બંને બાજુઓની વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન છે. જોકે આ વાત સાચી છે, પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે પાવર શૂન્ય કેમ છે. લેન્સનો પાવર લેન્સ મેકરના સૂત્ર $P = (n-1)(1/R_1 - 1/R_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. લેન્સનો પાવર શૂન્ય હોવા માટે કેન્દ્રલંબાઈ અનંત હોવી જોઈએ, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સપાટીઓ સમતલ હોય $(R_1 = R_2 = \infty)$. ત્રિજ્યાઓ સમાન હોવાનો અર્થ એ નથી કે તે અનંત છે. આમ, કારણ એ સાચું વિધાન છે પરંતુ તે વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
આપેલ છે: $f = 25\; cm$,$\mu = 1.5$. દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -2R$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{25} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-2R} \right)$.
$\frac{1}{25} = 0.5 \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} \right) = 0.5 \left( \frac{3}{2R} \right) = \frac{1.5}{2R} = \frac{3}{4R}$.
$4R = 25 \times 3 = 75$.
$R = \frac{75}{4} = 18.75\; cm$.
તેથી,વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = 18.75\; cm$ અને $R_2 = 2R = 37.5\; cm$ મળે છે.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$.
હવામાં લેન્સ માટે $(\mu_{a} = 1)$:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) \dots (1)$
પ્રવાહીમાં લેન્સ માટે $(\mu_{l} = 1.42)$:
$\frac{1}{f_{l}} = \left( \frac{1.5}{1.42} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) = \left( \frac{1.5 - 1.42}{1.42} \right) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) = \frac{0.08}{1.42} \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{f_{l}}{f} = \frac{0.5 \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)}{\frac{0.08}{1.42} \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)} = \frac{0.5 \times 1.42}{0.08} = \frac{0.71}{0.08} = 8.875$.
મૂલ્ય $8.875$ એ પૂર્ણાંક $9$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) લેન્સ-મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = 30 \; cm$ છે અને સમતલ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા અનંત છે,તેથી $R_2 = \infty$.
લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{30} - \frac{1}{\infty} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{30} - 0 \right)$
$\frac{1}{f} = \frac{0.5}{30} = \frac{1}{60}$
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 60 \; cm$ મળે છે.

(N/A) $(i)$ લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f(m)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $f = 0.5 \,m$ મૂકતા,$P = \frac{1}{0.5} = +2 \,D$ મળે છે.
$(ii)$ આપેલ છે $f = +12 \,cm$,$R_1 = +10 \,cm$,અને $R_2 = -15 \,cm$. લેન્સ મેકરના સૂત્ર $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{12} = (n - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-15} \right) = (n - 1) \left( \frac{3+2}{30} \right) = (n - 1) \left( \frac{5}{30} \right) = (n - 1) \frac{1}{6}$.
આમ,$n - 1 = \frac{6}{12} = 0.5$,જે દર્શાવે છે કે $n = 1.5$.
$(iii)$ હવામાં: $\frac{1}{f_a} = (n_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \frac{1}{20} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \frac{1}{20} = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \implies \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{10}$.
પાણીમાં: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{n_g}{n_w} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{1.5}{1.33} - 1 \right) \left( \frac{1}{10} \right) = (1.1278 - 1) \times 0.1 = 0.1278 \times 0.1 = 0.01278$.
$f_w = \frac{1}{0.01278} \approx 78.2 \,cm$.

(D) કાચનો વક્રીભવનાંક,$\mu = 1.55$.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f = 20\; cm$.
સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,ધારો કે $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{20} = (1.55 - 1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right]$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \left[ \frac{2}{R} \right]$
$\frac{1}{20} = \frac{1.1}{R}$
$R = 1.1 \times 20 = 22\; cm$.
આમ,જરૂરી વક્રતા ત્રિજ્યા $22\; cm$ છે.

(N/A) આપેલ પરિસ્થિતિમાં,વસ્તુ આભાસી છે અને રચાતું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે.
વસ્તુ અંતર,$u = +12 \, cm$.
$(a)$ બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f = +20 \, cm$.
લેન્સના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{12} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} + \frac{1}{12} = \frac{3 + 5}{60} = \frac{8}{60}$.
$\therefore v = \frac{60}{8} = 7.5 \, cm$.
આમ,કિરણપુંજ લેન્સની જમણી બાજુએ $7.5 \, cm$ અંતરે કેન્દ્રિત થાય છે.
$(b)$ અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f = -16 \, cm$.
લેન્સના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{12} = -\frac{1}{16} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$.
$\therefore v = 48 \, cm$.
આમ,કિરણપુંજ લેન્સની જમણી બાજુએ $48 \, cm$ અંતરે કેન્દ્રિત થાય છે.

(N/A) વસ્તુનું કદ,$h_1 = 3.0 \, cm$.
વસ્તુનું અંતર,$u = -14 \, cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f = -21 \, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{-21} + \frac{1}{-14} = \frac{-2 - 3}{42} = \frac{-5}{42}$.
આમ,$v = -8.4 \, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું છે,જે લેન્સની સામે $8.4 \, cm$ અંતરે રચાય છે.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{-8.4}{-14} = 0.6$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_2 = m \times h_1 = 0.6 \times 3.0 = 1.8 \, cm$.
જો વસ્તુને લેન્સથી વધુ દૂર લઈ જવામાં આવે,તો આભાસી પ્રતિબિંબ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર તરફ ખસશે અને પ્રતિબિંબનું કદ ઘટશે.

(D) વસ્તુ (એક દીવાલ પરનો બલ્બ) અને પ્રતિબિંબ (સામેની દીવાલ પર) વચ્ચેનું અંતર $d = 3\;m$ આપેલું છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા નિશ્ચિત અંતર $d$ પર વસ્તુનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવા માટેની શરત $d \ge 4f$ છે,જ્યાં $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
મહત્તમ શક્ય કેન્દ્રલંબાઈ શોધવા માટે,આપણે $d = 4f$ લઈએ છીએ.
તેથી,$f_{\max} = \frac{d}{4}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $f_{\max} = \frac{3}{4} = 0.75\;m$.
આમ,જરૂરી લેન્સની મહત્તમ શક્ય કેન્દ્રલંબાઈ $0.75\;m$ છે.