Mix Examples-Ray Optics Questions in Gujarati

(D) $\text{બહિર્ગોળ}$ અરીસો હંમેશા કોઈપણ વાસ્તવિક વસ્તુ માટે આભાસી, ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ ઉત્પન્ન કરે છે.
$\text{સમતલ}$ અરીસો હંમેશા વસ્તુના સ્થાનને ધ્યાનમાં લીધા વિના, વસ્તુના કદ જેટલું જ આભાસી અને ચત્તું પ્રતિબિંબ ઉત્પન્ન કરે છે.
$\text{અંતર્ગોળ}$ અરીસો વસ્તુના સ્થાનના આધારે વાસ્તવિક અથવા આભાસી, ચત્તું અથવા ઉલટું અને નાનું, સમાન કદનું અથવા મોટું પ્રતિબિંબ ઉત્પન્ન કરી શકે છે. ખાસ કરીને, જ્યારે વસ્તુને અરીસાના $\text{મુખ્ય કેન્દ્ર}$ $(F)$ અને $\text{ધ્રુવ}$ $(P)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે ત્યારે તે આભાસી અને ચત્તું પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
આમ, ત્રણેય પ્રકારના અરીસાઓ આભાસી પ્રતિબિંબ રચવા માટે સક્ષમ હોવાથી, સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) અંતર્ગોળ લેન્સ એ અપસારી લેન્સ છે જે તેની સામે મૂકેલી વસ્તુના કોઈપણ સ્થાન માટે હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે.
તે જ રીતે,બહિર્ગોળ અરીસો એ અપસારી અરીસો છે જે તેની સામે મૂકેલી વસ્તુના કોઈપણ સ્થાન માટે હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે.
તેથી,અંતર્ગોળ લેન્સ અને બહિર્ગોળ અરીસો બંને આપેલી શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) ગોલીય અરીસા માટે મોટવણી $m = \frac{f}{f-u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(I)$ બહિર્ગોળ અરીસા માટે,$f > 0$. વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવાથી $u = -f$. તેથી,$m = \frac{f}{f - (-f)} = \frac{f}{2f} = 0.5$. એટલે કે,$(I) - (B)$.
$(II)$ અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f < 0$. વસ્તુ વક્રતા કેન્દ્ર પર હોવાથી $u = -2f$. તેથી,$m = \frac{-f}{-f - (-2f)} = \frac{-f}{f} = -1$. એટલે કે,$(II) - (D)$.
$(III)$ અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f < 0$. વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવાથી $u = -f$. તેથી,$m = \frac{-f}{-f - (-f)} = \frac{-f}{0} = -\infty$. એટલે કે,$(III) - (A)$.
$(IV)$ બહિર્ગોળ અરીસા માટે,$f > 0$. વસ્તુ વક્રતા કેન્દ્ર પર હોવાથી $u = -2f$. તેથી,$m = \frac{f}{f - (-2f)} = \frac{f}{3f} = 0.33$. એટલે કે,$(IV) - (E)$.
તેથી,સાચી જોડ $I-B, II-D, III-A, IV-E$ છે.

(D) કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એ ધારણા પર આધારિત છે કે પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. આ અંદાજ ત્યારે સાચો ઠરે છે જ્યારે અવરોધો અથવા છિદ્રોના લાક્ષણિક પરિમાણો (જેમ કે સ્લિટ અથવા વસ્તુનું કદ) પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ કરતા ઘણા મોટા હોય. જો પરિમાણો $\lambda$ ની સરખામણીમાં હોય અથવા તેના કરતા નાના હોય, તો વિવર્તન જેવી તરંગ અસરો નોંધપાત્ર બને છે અને કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર માન્ય રહેતું નથી. તેથી, સાચી શરત એ છે કે પરિમાણો પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતા ઘણા મોટા હોવા જોઈએ.

(A) રેખીય મોટવણી $m_L = 4$ આપેલ છે.
ક્ષેત્રફળ માટે,ક્ષેત્રીય મોટવણી $m_A$ એ રેખીય મોટવણીનો વર્ગ છે.
$m_A = (m_L)^2 = (4)^2 = 16$.
મોટી થયેલી છબીનું ક્ષેત્રફળ $A'$ એ મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_0$ અને ક્ષેત્રીય મોટવણી $m_A$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$A' = A_0 \times m_A = 100 \; cm^2 \times 16 = 1600 \; cm^2$.

(B) દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અહીં $R_1 = 10\,cm$ અને $R_2 = -10\,cm$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ),અને $\mu = 1.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-10} \right) = 0.5 \times \left( \frac{2}{10} \right) = 0.5 \times 0.2 = 0.1$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{1}{0.1} = 10\,cm$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ જેટલી છે,તેથી $f_{mirror} = 10\,cm$.
અંતર્ગોળ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ અને તેની કેન્દ્રલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $R = 2f$ છે.
તેથી,$R = 2 \times 10\,cm = 20\,cm$.

(C) પાતળા લેન્સનું રેખીય વર્ણવિપથન તેના વિભાજન પાવર $(\omega)$ અને તેની કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વિભાજન પાવર $(\omega)$ = $0.08$
કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ = $20 \; cm$
રેખીય વર્ણવિપથન = $\omega \times f$
$= 0.08 \times 20 \; cm$
$= 1.6 \; cm$.

(B) કોઈપણ વસ્તુ ચોક્કસ રંગની દેખાય છે કારણ કે તે તે રંગના પ્રકાશનું પરાવર્તન કરે છે અને અન્ય તમામ રંગોનું શોષણ કરે છે.
જ્યારે રાષ્ટ્રધ્વજને લીલા પ્રકાશમાં જોવામાં આવે છે:
$1$. કેસરી ભાગ લીલા પ્રકાશનું શોષણ કરે છે અને કોઈ પ્રકાશનું પરાવર્તન કરતું નથી,તેથી તે કાળો દેખાય છે.
$2$. લીલો ભાગ લીલા પ્રકાશનું પરાવર્તન કરે છે,તેથી તે લીલો દેખાય છે.
તેથી,કેસરી અને લીલા ભાગો અનુક્રમે કાળા અને લીલા દેખાશે.

(D) કેમેરામાં પ્રવેશતા પ્રકાશનું પ્રમાણ એપર્ચરના કદ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
એપર્ચર એ એક છિદ્ર છે જેના દ્વારા પ્રકાશ કેમેરામાં પ્રવેશે છે.
જો $N$ એ $f$-નંબર હોય,$f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ હોય અને $D$ એ એપર્ચરનો વ્યાસ હોય,તો કેમેરામાં પ્રવેશતા પ્રકાશનું પ્રમાણ એપર્ચરના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{\pi D^{2}}{4} = \pi \left( \frac{f}{2N} \right)^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ એપર્ચરના વ્યાસ $D$ પર આધાર રાખે છે (જે એપર્ચર સેટિંગ દ્વારા નિયંત્રિત થાય છે),તેથી વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) ફોટોગ્રાફિક પેપર પરનું ઇલ્યુમિનેશન $E$ એ સ્ત્રોતની તીવ્રતા $L$ ના સમપ્રમાણમાં અને સ્ત્રોતથી અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto \frac{L}{r^2}$.
સમાન ગુણવત્તાની પ્રિન્ટ માટે,કુલ એક્સપોઝર (ઇલ્યુમિનેશન $\times$ સમય) અચળ હોવું જોઈએ,તેથી $E_1 t_1 = E_2 t_2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{L_1}{r_1^2} t_1 = \frac{L_2}{r_2^2} t_2$.
આપેલ છે: $L_1 = 60 \, cd$,$r_1 = 2 \, m$,$t_1 = 10 \, s$ અને $L_2 = 120 \, cd$,$r_2 = 4 \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{60}{2^2} \times 10 = \frac{120}{4^2} \times t_2$.
$\frac{60}{4} \times 10 = \frac{120}{16} \times t_2$.
$150 = 7.5 \times t_2$.
$t_2 = \frac{150}{7.5} = 20 \, s$.

(D) ફિલ્મ પર પડતી પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ એપર્ચરના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે વ્યાસ $d^2$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
એક્સપોઝર માટે જરૂરી પ્રકાશ ઉર્જા માટે એક્સપોઝર સમય $t$ એ પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$t \propto \frac{1}{I} \propto \frac{1}{d^2}$.
ધારો કે $d$ વ્યાસ સાથેનો પ્રારંભિક સમય $t_1$ છે અને $d/2$ વ્યાસ સાથેનો નવો સમય $t_2$ છે.
$\frac{t_2}{t_1} = \left( \frac{d}{d/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,એક્સપોઝર સમય $4$ ગણો વધારવો જોઈએ.

(B) એક્સપોઝર સમય $t$ એ $f$-નંબરના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $t \propto (f_{number})^2$.
આપેલ છે કે $t_1 = 1/200 \, s$ જ્યારે $f_1 = 2.8$ હોય.
આપણે $f_2 = 5.6$ માટે $t_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{t_2}{t_1} = \left( \frac{f_2}{f_1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{t_2}{t_1} = \left( \frac{5.6}{2.8} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,$t_2 = 4 \times t_1 = 4 \times \frac{1}{200} = \frac{1}{50} \, s$.
$t_2 = 0.02 \, s$.

(D) સંયુક્ત માઈક્રોસ્કોપની મોટવણી $M \approx -\frac{L}{f_o} \cdot \frac{D}{f_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે. તેથી,જો $f_o$ વધે,તો માઈક્રોસ્કોપની મોટવણી ઘટે છે.
ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી $M = \frac{f_o}{f_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,જો $f_o$ વધે,તો ટેલિસ્કોપની મોટવણી વધે છે.
આમ,માઈક્રોસ્કોપની મોટવણી ઘટશે પરંતુ ટેલિસ્કોપની મોટવણી વધશે.

(B) જ્યારે ટેલિસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ પર માખી બેસે છે, ત્યારે તે ફોટોગ્રાફ પર માખીનું સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ બનાવતી નથી કારણ કે લેન્સ દૂરની વસ્તુ (ચંદ્ર) પર કેન્દ્રિત હોય છે.
તેના બદલે, માખી એક અવરોધ તરીકે કાર્ય કરે છે જે ટેલિસ્કોપમાં પ્રવેશતા પ્રકાશને આંશિક રીતે અવરોધે છે.
આનાથી ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનું અસરકારક છિદ્ર (aperture) ઘટે છે.
ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબની તીવ્રતા છિદ્રના ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A)$, છિદ્રના ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો થવાથી અંતિમ પ્રતિબિંબની તીવ્રતામાં ઘટાડો થાય છે.

(D) લ્યુમિનસ ફ્લક્સ $\Phi$ એ સૂત્ર $\Phi = 4\pi I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ લ્યુમિનસ તીવ્રતા છે.
આપેલ છે કે $I = 42 \text{ candela}$,તેથી લ્યુમિનસ ફ્લક્સ $\Phi = 4 \times 3.14 \times 42 = 528 \text{ lumens}$ થાય છે.
લેમ્પનો પાવર $P$ એ $P = \frac{\Phi}{\text{Luminous Efficiency}}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
આપેલ લ્યુમિનસ કાર્યક્ષમતા $= 2 \text{ lumen/watt}$.
તેથી,$P = \frac{528}{2} = 264 \text{ W}$.

(B) સપાટી પર પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ માટેનું સૂત્ર: $I = \frac{L \cos \theta}{r^2}$,જ્યાં $L$ એ કેન્ડેલામાં સ્ત્રોતની પ્રકાશિત તીવ્રતા છે,$r$ એ અંતર છે,અને $\theta$ એ લંબ સાથેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
$I = 5 \times 10^{-4} \ phot = 5 \times 10^{-4} \ lumen/cm^2 = 5 \times 10^{-4} \times 10^4 \ lumen/m^2 = 5 \ lumen/m^2$.
$r = 2 \ m$.
$\theta = 60^{\circ}$.
$L$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$L = \frac{I \times r^2}{\cos \theta}$.
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{5 \times 2^2}{\cos 60^{\circ}} = \frac{5 \times 4}{0.5} = \frac{20}{0.5} = 40 \ candela$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સ્ક્રીન પરનું ઇલ્યુમિનેશન $I$ એ પ્રોજેક્ટર અને સ્ક્રીન વચ્ચેના અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $I = \frac{L}{r^2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ પ્રોજેક્ટરની પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા અને વિકલન કરતા,આપણને $\ln(I) = \ln(L) - 2\ln(r)$ મળે છે.
વિકલન કરતા,$\frac{dI}{I} = -2 \frac{dr}{r}$ મળે છે.
અહીં અંતર $r$ માં $1\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{dr}{r} = 0.01$.
તેથી,ઇલ્યુમિનેશનમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{dI}{I} \times 100 = -2 \times (\frac{dr}{r} \times 100) = -2 \times 1\% = -2\%$ છે.
ઋણ નિશાની ઘટાડો સૂચવે છે. આમ,ઇલ્યુમિનેશન $2\%$ જેટલું ઘટશે.

(C) ફોટોગ્રાફિક પ્રિન્ટનું એક્સપોઝર (ફોગિંગ) એ ઇલ્યુમિનન્સ $(E)$ અને સમય $(t)$ ના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
બિંદુવત ઉદગમથી મળતું ઇલ્યુમિનન્સ $E = \frac{I}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ લ્યુમિનસ ઇન્ટેન્સિટી છે અને $r$ એ અંતર છે.
સમાન ફોગિંગ માટે,$E_1 \times t_1 = E_2 \times t_2$.
ઇલ્યુમિનન્સનું સૂત્ર મૂકતા: $\frac{I_1}{r_1^2} \times t_1 = \frac{I_2}{r_2^2} \times t_2$.
આપેલ છે: $I_1 = 20 \, cd$,$r_1 = 1 \, m$,$t_1 = 10 \, s$.
આપેલ છે: $I_2 = 16 \, cd$,$r_2 = 2 \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{20}{1^2} \times 10 = \frac{16}{2^2} \times t_2$.
$200 = \frac{16}{4} \times t_2$.
$200 = 4 \times t_2$.
$t_2 = \frac{200}{4} = 50 \, s$.

(D) ધારો કે બલ્બની પ્રકાશિત તીવ્રતા $L$ છે.
કોઈ બિંદુએ પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{L \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ઉદગમથી અંતર છે અને $\theta$ એ સપાટીના લંબ અને પ્રકાશના કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કેન્દ્ર $B$ પર,અંતર $r_B = 1 \text{ m}$ અને ખૂણો $\theta_B = 0^\circ$ છે. તેથી,$\cos \theta_B = 1$.
$I_B = \frac{L}{1^2} = L$ ... $(i)$
ધાર $C$ પર,અંતર $r_C = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \text{ m}$ છે. ખૂણો $\theta_C$ એવો છે કે $\cos \theta_C = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$I_C = I_0 = \frac{L \cos \theta_C}{r_C^2} = \frac{L \times (1/\sqrt{5})}{(\sqrt{5})^2} = \frac{L}{5\sqrt{5}}$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$L = 5\sqrt{5} I_0$.
તેથી,કેન્દ્ર પર તીવ્રતા $I_B = 5\sqrt{5} I_0$ થશે.

(B) ઇલ્યુમિનન્સ $I$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પ્રકાશના ફ્લક્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = \frac{\Phi}{A}$.
કુલ પ્રકાશ ફ્લક્સ $\Phi$ અચળ રહેતું હોવાથી (શોષણ નહિવત ધારતા),ઇલ્યુમિનન્સ એ પ્રતિબિંબના ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto \frac{1}{A}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ રેખીય પરિમાણોના વર્ગના પ્રમાણમાં હોવાથી $(A \propto L^2)$,આપણને $I \propto \frac{1}{L^2}$ મળે છે.
તેથી,સ્લાઇડ પરની ઇલ્યુમિનન્સ $(I_s)$ અને સ્ક્રીન પરની ઇલ્યુમિનન્સ $(I_i)$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_s}{I_i} = \frac{L_i^2}{L_s^2} = \left( \frac{L_i}{L_s} \right)^2$
અહીં $L_i = 3.5 \ m = 3500 \ mm$ અને $L_s = 35 \ mm$ આપેલ છે:
$\frac{I_s}{I_i} = \left( \frac{3500 \ mm}{35 \ mm} \right)^2 = (100)^2 = 10000 = 10^4:1$.

(A) ધારો કે બલ્બની પ્રકાશિત તીવ્રતા $L$ છે.
કોઈ બિંદુએ પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{L \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ સ્ત્રોતથી અંતર છે અને $\theta$ એ આપાતકોણ છે.
બિંદુ $A$ (ધારનું કેન્દ્ર) માટે:
કેન્દ્રથી આડું અંતર $2 \text{ m}$ છે. ઊભી ઊંચાઈ $3 \text{ m}$ છે.
અંતર $r_A = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \text{ m}$.
$\cos \theta_A = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
$I_A = \frac{L \cos \theta_A}{r_A^2} = \frac{L \times (3/\sqrt{13})}{13} = \frac{3L}{13^{3/2}}$.
બિંદુ $B$ (ટેબલનો ખૂણો) માટે:
કેન્દ્રથી આડું અંતર $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m}$ છે. ઊભી ઊંચાઈ $3 \text{ m}$ છે.
અંતર $r_B = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17} \text{ m}$.
$\cos \theta_B = \frac{3}{\sqrt{17}}$.
$I_B = \frac{L \cos \theta_B}{r_B^2} = \frac{L \times (3/\sqrt{17})}{17} = \frac{3L}{17^{3/2}}$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_A}{I_B} = \frac{3L / 13^{3/2}}{3L / 17^{3/2}} = \left(\frac{17}{13}\right)^{3/2}$ થાય.

(C) સ્ત્રોતની લ્યુમિનસ તીવ્રતા $I$ ને એકમ ઘનકોણ $\Omega$ દીઠ ઉત્સર્જિત લ્યુમિનસ ફ્લક્સ $\phi$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બિંદુવત સ્ત્રોત માટે,ગોળા દ્વારા આંતરાતો કુલ ઘનકોણ $4\pi \ steradians$ છે.
સંબંધ $\phi = I \times \Omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I = 1 \ cd$ અને $\Omega = 4\pi \ sr$ આપેલ છે.
તેથી,$\phi = 1 \times 4\pi = 4\pi \ lumens$ થાય.

(C) પ્રકાશિત તીવ્રતા $I$ એ એકમ ઘનકોણ દીઠ પ્રકાશિત ફ્લક્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે $I = \frac{d\phi}{d\Omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરતા બિંદુવત સ્ત્રોત માટે, કુલ ઘનકોણ $4\pi \, \text{steradians}$ છે.
એકદિશીય બલ્બ માટે, ફ્લક્સ ચોક્કસ ઘનકોણમાં ઉત્સર્જિત થાય છે. આવા પ્રશ્નો માટે પ્રમાણભૂત અર્થઘટન મુજબ, જ્યાં સ્ત્રોતને સંપૂર્ણ ગોળા પર આઇસોટ્રોપિક માનવામાં આવે છે, કુલ પ્રકાશિત ફ્લક્સ $\phi = I \times \Omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I = 100 \, \text{candela}$ અને $\Omega = 4\pi \, \text{steradians}$ આપેલ છે:
$\phi = 100 \times 4 \times 3.14159$
$\phi = 1256.6 \, \text{lumen}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1256 \, \text{lumen}$ છે.

(C) ધારો કે લેમ્પની પ્રકાશિત તીવ્રતા $L$ છે. ટેબલની ઉપર લેમ્પની ઊંચાઈ $h = 8 \text{ feet}$ છે. ટેબલની ત્રિજ્યા $r = \frac{16}{2} = 8 \text{ feet}$ છે.
કેન્દ્ર $A$ પર પ્રકાશની તીવ્રતા $I_A = \frac{L}{h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિઘ પરના બિંદુ $B$ પર પ્રકાશની તીવ્રતા $I_B = \frac{L}{d^2} \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = \sqrt{h^2 + r^2}$ એ લેમ્પથી બિંદુ $B$ સુધીનું અંતર છે અને $\cos \theta = \frac{h}{d}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$I_B = \frac{L}{h^2 + r^2} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{Lh}{(h^2 + r^2)^{3/2}}$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_A}{I_B} = \frac{L}{h^2} \cdot \frac{(h^2 + r^2)^{3/2}}{Lh} = \frac{(h^2 + r^2)^{3/2}}{h^3} = \left(1 + \frac{r^2}{h^2}\right)^{3/2}$ છે.
$h = 8$ અને $r = 8$ મૂકતા,આપણને $\frac{I_A}{I_B} = \left(1 + \frac{8^2}{8^2}\right)^{3/2} = (1 + 1)^{3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2}:1$ છે.

(A) પ્રકાશની તીવ્રતા (illuminance) નો એકમ $lux$ $(lx)$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$1 \text{ lux}$ એટલે $1 \text{ square meter}$ ના ક્ષેત્રફળ પર સમાન રીતે પથરાયેલા $1 \text{ lumen}$ ના પ્રકાશ ફ્લક્સ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી પ્રકાશની તીવ્રતા.
તેથી,$1 \text{ lux} = 1 \text{ lumen/m}^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પ્રકાશિત કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ લેમ્પ દ્વારા વપરાતા પાવર $P$ અને પ્રકાશિત ફ્લક્સ $\phi$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\eta = \frac{\phi}{P} \implies \phi = \eta \times P$.
પ્રકાશિત તીવ્રતા $L$ એ બિંદુ સ્ત્રોત દ્વારા બધી દિશાઓમાં ઉત્સર્જિત કુલ પ્રકાશિત ફ્લક્સ $\phi$ સાથે નીચેના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે: $L = \frac{\phi}{4\pi} \implies \phi = 4\pi L$.
$\phi$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\eta \times P = 4\pi L$.
પાવર $P$ માટે ઉકેલતા: $P = \frac{4\pi L}{\eta}$.
અહીં $\eta = 5 \text{ lumen/watt}$ અને $L = 35 \text{ candela}$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{4 \times 3.14159 \times 35}{5} = 4 \times 3.14159 \times 7 = 28 \times 3.14159 \approx 87.96 \, W$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$P \approx 88 \, W$ મળે છે.

(A) ધારો કે લેમ્પની લ્યુમિનસ તીવ્રતા $I_0$ છે અને ટેબલથી ઊંચાઈ $h$ છે. કેન્દ્ર પર ઇલ્યુમિનેશન $E_c = \frac{I_0}{h^2}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$I_1 = 100 \, cd$ અને $h_1 = 2 \, m$. તેથી,$E_{c1} = \frac{100}{2^2} = 25 \, lx$.
બીજા કિસ્સામાં,$I_2 = 25 \, cd$ અને $h_2$ નવી ઊંચાઈ છે. $E_{c2} = E_{c1}$ હોવાથી,$\frac{25}{h_2^2} = 25$,જે $h_2 = 1 \, m$ આપે છે.
ટેબલની ત્રિજ્યા $r = 1.5 \, m$ છે.
ધાર પર ઇલ્યુમિનેશન $E_e = \frac{I_0 \cos \theta}{d^2} = \frac{I_0 h}{d^3} = \frac{I_0 h}{(h^2 + r^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_{e1} = \frac{100 \times 2}{(2^2 + 1.5^2)^{3/2}} = \frac{200}{(6.25)^{3/2}} = 12.8 \, lx$.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_{e2} = \frac{25 \times 1}{(1^2 + 1.5^2)^{3/2}} = \frac{25}{(3.25)^{3/2}} \approx 4.267 \, lx$.
$E_{e2} = X \cdot E_{e1}$ આપેલ હોવાથી,$X = \frac{E_{e2}}{E_{e1}} = \frac{25}{(3.25)^{3/2}} \times \frac{(6.25)^{3/2}}{200} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{25}{13}\right)^{3/2} \approx \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે લેમ્પની ઊંચાઈ $h = 1 \, m$ છે. ટેબલની ત્રિજ્યા $r = 0.5 \, m$ છે (કારણ કે વ્યાસ $1 \, m$ છે).
કોઈ બિંદુ પર પ્રકાશની તીવ્રતા $E = \frac{I \cos \theta}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ લેમ્પની પ્રકાશની તીવ્રતા છે,$\theta$ એ આપાતકોણ છે અને $d$ એ લેમ્પથી અંતર છે.
કેન્દ્ર પર,$\theta = 0^\circ$,તેથી $\cos \theta = 1$ અને $d = h$. આમ,$E_{center} = \frac{I}{h^2}$.
કિનારી પર,અંતર $d = \sqrt{h^2 + r^2}$ અને $\cos \theta = \frac{h}{d} = \frac{h}{\sqrt{h^2 + r^2}}$.
તેથી,$E_{edge} = \frac{I \cdot h}{d^3} = \frac{I \cdot h}{(h^2 + r^2)^{3/2}}$.
ગુણોત્તર $\frac{E_{center}}{E_{edge}} = \frac{I/h^2}{I \cdot h / (h^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{(h^2 + r^2)^{3/2}}{h^3}$.
$h = 1$ અને $r = 0.5 = 1/2$ મૂકતા:
$\frac{E_{center}}{E_{edge}} = \frac{(1^2 + (1/2)^2)^{3/2}}{1^3} = (1 + 1/4)^{3/2} = (5/4)^{3/2}$.

(A) પ્રકાશની તીવ્રતા (illuminance) માટે વ્યસ્ત વર્ગનો નિયમ જણાવે છે કે બિંદુવત ઉદ્ગમથી $r$ અંતરે તીવ્રતા $E = \frac{I}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રકાશની તીવ્રતા છે. આ નિયમ ખાસ કરીને બિંદુવત પ્રકાશના ઉદ્ગમ માટે માન્ય છે,જે બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે પ્રકાશ ફેલાવે છે (આઈસોટ્રોપિક બિંદુવત ઉદ્ગમ). વિસ્તૃત ઉદ્ગમો માટે,આ નિયમ માત્ર મોટા અંતરે એક અંદાજ તરીકે કામ કરે છે.

(B) $50 \,cd$ ની પ્રકાશિત તીવ્રતા ધરાવતા સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પ્રકાશિત ફ્લક્સ $\phi_{total}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\phi_{total} = 4\pi I_v = 4\pi \times 50 = 200\pi \,lumens$.
સપાટી પર આપાત થતો ફ્લક્સ કુલ ફ્લક્સના $1\%$ છે:
$\phi_{incident} = \frac{1}{100} \times 200\pi = 2\pi \,lumens$.
$r = 10 \,cm = 0.1 \,m$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ:
$A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01\pi \,m^2$.
સરેરાશ પ્રકાશિતતા $E$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ આપાત ફ્લક્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$E = \frac{\phi_{incident}}{A} = \frac{2\pi}{0.01\pi} = \frac{2}{0.01} = 200 \,lux$.

(D) ધારો કે બે પ્રકાશ સ્ત્રોતો $A$ અને $B$ છે જેમની પ્રકાશ તીવ્રતા $I$ સમાન છે. ધારો કે પડદો સ્ત્રોત $A$ થી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. તો સ્ત્રોત $B$ થી તેનું અંતર $(1.2 - x)$ થશે.
સ્ત્રોતની તીવ્રતા $I$ થી $r$ અંતરે પ્રકાશિતતા $E$ નું સૂત્ર $E = I/r^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,એક મુખ પરની પ્રકાશિતતા બીજા મુખ પરની પ્રકાશિતતા કરતા ચાર ગણી છે:
$\frac{I}{x^2} = 4 \times \frac{I}{(1.2 - x)^2}$ અથવા $\frac{I}{(1.2 - x)^2} = 4 \times \frac{I}{x^2}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(1.2 - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{x} = \frac{2}{1.2 - x}$
$1.2 - x = 2x \Rightarrow 3x = 1.2 \Rightarrow x = 0.4\, m$.
કિસ્સો $2$: $\frac{1}{(1.2 - x)^2} = \frac{4}{x^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{1.2 - x} = \frac{2}{x}$
$x = 2(1.2 - x) \Rightarrow x = 2.4 - 2x \Rightarrow 3x = 2.4 \Rightarrow x = 0.8\, m$.
આમ,પડદો સ્ત્રોત $A$ થી $0.4\, m$ અથવા $0.8\, m$ અંતરે મૂકી શકાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) $L$ પ્રકાશ તીવ્રતા ધરાવતા સ્ત્રોતથી $r$ અંતરે પ્રકાશિતતા $I = \frac{L}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ક્રીનના બંને મુખ સમાન રીતે પ્રકાશિત થાય તે માટે,બંને સ્ત્રોતોમાંથી મળતી પ્રકાશિતતા સમાન હોવી જોઈએ:
$\frac{L_1}{r_1^2} = \frac{L_2}{r_2^2}$
અહીં $L_1 = 8 \, Cd$,$L_2 = 32 \, Cd$ અને કુલ અંતર $d = 1.2 \, m = 120 \, cm$ આપેલ છે.
ધારો કે સ્ક્રીનને $8 \, Cd$ લેમ્પથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. તો $32 \, Cd$ લેમ્પથી તેનું અંતર $(120 - x) \, cm$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{8}{x^2} = \frac{32}{(120 - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{8}}{x} = \frac{\sqrt{32}}{120 - x}$
$\frac{2\sqrt{2}}{x} = \frac{4\sqrt{2}}{120 - x}$
$\frac{1}{x} = \frac{2}{120 - x}$
$120 - x = 2x$
$3x = 120$
$x = 40 \, cm$.
આમ,સ્ક્રીનને $8 \, Cd$ લેમ્પથી $40 \, cm$ ના અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(D) ધારો કે લેમ્પની તીવ્રતા $I_0$ છે અને ટેબલના કેન્દ્રથી લેમ્પની ઊંચાઈ $h$ છે.
ટેબલના કેન્દ્ર પરનું ઇલ્યુમિનન્સ $E_{center} = \frac{I_0}{h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટેબલની કિનારી પરનું ઇલ્યુમિનન્સ (કેન્દ્રથી $r$ અંતરે) $E_{edge} = \frac{I_0 \cos \theta}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = \sqrt{r^2 + h^2}$ અને $\cos \theta = \frac{h}{d}$ છે.
આમ,$E_{edge} = \frac{I_0 h}{(r^2 + h^2)^{3/2}}$.
આપેલ છે કે $E_{edge} = \frac{1}{8} E_{center}$,તેથી:
$\frac{I_0 h}{(r^2 + h^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \frac{I_0}{h^2}$
$\frac{h}{(r^2 + h^2)^{3/2}} = \frac{1}{8h^2}$
$8h^3 = (r^2 + h^2)^{3/2}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$2h = (r^2 + h^2)^{1/2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4h^2 = r^2 + h^2$
$3h^2 = r^2$
$h = \frac{r}{\sqrt{3}}$.

(B) બિંદુવત ઉદગમને કારણે સપાટી પરની પ્રકાશિતતા $(E)$ સૂત્ર $E = \frac{I}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ પ્રકાશની તીવ્રતા છે અને $r$ એ ઉદગમથી અંતર છે。
આપેલ છે કે, $I = 100\, \text{candela}$ અને $r = 5\, m$.
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $E = \frac{100}{5^2} = \frac{100}{25} = 4\, \text{lux}$.
બ્લોટિંગ પેપરનો પરાવર્તન ગુણધર્મ સપાટી પર પડતા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાને અસર કરતું નથી。
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે。

(D) ટેબલના કેન્દ્ર પર લેમ્પની નીચે પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{L}{h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ લેમ્પની પ્રકાશિત તીવ્રતા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
શરૂઆતમાં,$h_1 = 40\, cm$,તેથી $I_1 = \frac{L}{40^2} = \frac{L}{1600}$.
ઊંચાઈમાં $10\, cm$ નો વધારો કર્યા પછી,નવી ઊંચાઈ $h_2 = 40 + 10 = 50\, cm$ થાય છે.
આમ,$I_2 = \frac{L}{50^2} = \frac{L}{2500}$.
પ્રકાશની તીવ્રતામાં ટકાવારી ઘટાડો $\frac{I_1 - I_2}{I_1} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left( 1 - \frac{I_2}{I_1} \right) \times 100 = \left( 1 - \frac{1600}{2500} \right) \times 100$.
$= \left( 1 - 0.64 \right) \times 100 = 0.36 \times 100 = 36\%$.

(B) પ્રકાશિત કાર્યક્ષમતા (Luminous efficacy) એ માપદંડ છે કે પ્રકાશનો સ્ત્રોત કેટલી સારી રીતે દ્રશ્ય પ્રકાશ ઉત્પન્ન કરે છે. તે લ્યુમિનસ ફ્લક્સ અને પાવરનો ગુણોત્તર છે,જે $SI$ એકમમાં લ્યુમેન પ્રતિ વોટ $(lm/W)$ માં માપવામાં આવે છે.
પ્રકાશિત કાર્યક્ષમતા (Luminous efficiency) એ વાસ્તવિક લ્યુમિનસ ઇફિકસી અને મહત્તમ શક્ય લ્યુમિનસ ઇફિકસી ($555 \ nm$ તરંગલંબાઇ પર) નો ગુણોત્તર છે.
$40 \ W$ ના સમાન પાવર વપરાશ માટે,ફ્લોરોસન્ટ ટ્યુબ ઇન્કેન્ડેસન્ટ બલ્બની તુલનામાં વિદ્યુત ઉર્જાનો ઘણો મોટો ભાગ દ્રશ્ય પ્રકાશમાં રૂપાંતરિત કરે છે,જ્યારે બલ્બ મોટાભાગની ઉર્જા ગરમી તરીકે ગુમાવે છે. તેથી,$40 \ W$ ની ફ્લોરોસન્ટ ટ્યુબની પ્રકાશિત કાર્યક્ષમતા વધુ હોય છે.

(D) ધારો કે ગોળાકાર ટનલની ત્રિજ્યા $r$ છે. લેમ્પ ટનલની ટોચ પર છે. લેમ્પથી બિંદુ $A$ નું અંતર $2r$ છે.
$A$ પરની તીવ્રતા $I_A = \frac{L}{(2r)^2} = \frac{L}{4r^2}$ છે,જ્યાં $L$ એ લેમ્પની પ્રકાશિત તીવ્રતા છે.
બિંદુ $B$ માટે,લેમ્પથી અંતર $d = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ છે. $B$ પરના લંબ અને પ્રકાશના કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે.
$B$ પરની તીવ્રતા $I_B = \frac{L}{d^2} \cos \theta = \frac{L}{(r\sqrt{2})^2} \cos 45^\circ = \frac{L}{2r^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{L}{2\sqrt{2}r^2}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_A}{I_B} = \frac{L/4r^2}{L/2\sqrt{2}r^2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) $I$ પ્રકાશિત તીવ્રતા ધરાવતા સ્ત્રોતથી $r$ અંતરે મળતી પ્રકાશિત ઘનતા $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{I}{r^2}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રકાશિત ઘનતા $E = 1.57 \times 10^5 \; lm/m^2$.
અંતર $r = 1.5 \times 10^8 \; km = 1.5 \times 10^{11} \; m$.
પ્રકાશિત તીવ્રતા $I$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $I = E \times r^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$I = (1.57 \times 10^5) \times (1.5 \times 10^{11})^2$
$I = (1.57 \times 10^5) \times (2.25 \times 10^{22})$
$I = 3.5325 \times 10^{27} \; cd$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $I = 3.53 \times 10^{27} \; cd$ મળે છે.

(D) પ્રકાશિત ફ્લક્સ $\Phi$ ધરાવતા સ્ત્રોતથી $r$ અંતરે ઇલ્યુમિનન્સ $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{\Phi}{4\pi r^2}$ છે.
આપેલ છે:
$E = 1.57 \times 10^5 \; lm/m^2$
$r = 1.5 \times 10^8 \; km = 1.5 \times 10^{11} \; m$
$\Phi$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\Phi = E \times 4\pi r^2$
$\Phi = (1.57 \times 10^5) \times 4 \times 3.14 \times (1.5 \times 10^{11})^2$
$\Phi = (1.57 \times 10^5) \times 12.56 \times (2.25 \times 10^{22})$
$\Phi = 19.7176 \times 2.25 \times 10^{27}$
$\Phi \approx 4.43 \times 10^{28} \; lm$.

(C) ધારો કે ટેબલની ઉપર સ્ત્રોતની ઊંચાઈ $h$ છે. ધારો કે સ્ત્રોત તેની બરાબર નીચે આવેલા ટેબલના બિંદુથી $x$ જેટલા આડા અંતરે છે. સ્ત્રોતથી તે બિંદુ સુધીનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + h^2}$ છે. સપાટી પરના કોઈ બિંદુએ પ્રકાશની તીવ્રતા $E = \frac{I \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ સ્ત્રોતની પ્રકાશિત તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ સપાટીના લંબ અને પ્રકાશની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે. અહીં,$\cos \theta = \frac{h}{r}$ છે. આ કિંમત મૂકતા,આપણને $E = \frac{I h}{r^3}$ મળે છે. $I$ અને $h$ અચળ હોવાથી,$E \propto \frac{1}{r^3}$ થાય છે.

(D) સ્ત્રોતને કારણે કોઈ બિંદુ પર પ્રકાશની તીવ્રતા $E$ એ $E = \frac{I \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ પ્રકાશની તીવ્રતા છે, $r$ એ સ્ત્રોતથી અંતર છે, અને $\theta$ એ સપાટીના લંબ અને પ્રકાશના કિરણોની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે।
બિંદુ $A$ એ ટ્યુબના કેન્દ્રની બરાબર નીચે છે, જે તેને સ્ત્રોતથી સૌથી નજીકનું બિંદુ બનાવે છે. તેથી, અંતર $r_A$ ન્યૂનતમ છે।
બિંદુઓ $B$ અને $C$ ટ્યુબના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે સમપ્રમાણ રીતે આવેલા છે, તેથી $r_B = r_C > r_A$.
પ્રકાશની તીવ્રતા એ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી, $A$ પરની તીવ્રતા $B$ અને $C$ પરની તીવ્રતા કરતા વધારે છે।
તેથી, $E_A > E_B = E_C$, જેને $B = C < A$ તરીકે લખી શકાય છે।

(C) $r$ અંતરે $I$ પ્રકાશિત તીવ્રતા ધરાવતા સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્પન્ન થતી પ્રકાશિતતા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{I}{r^2}$ છે.
ધારો કે સૂર્યની પ્રકાશિત તીવ્રતા $L$ છે અને પૃથ્વીથી સૂર્યનું અંતર $r_s = 1.5 \times 10^{11} \, m$ છે.
સૂર્ય દ્વારા પ્રકાશિતતા: $E_s = \frac{L}{(1.5 \times 10^{11})^2}$.
ધારો કે બલ્બની તીવ્રતા $I_b = 10000 \, cd$ છે અને તેનું અંતર $r_b = 0.3 \, m$ છે.
બલ્બ દ્વારા પ્રકાશિતતા: $E_b = \frac{10000}{(0.3)^2}$.
પ્રકાશિતતા સમાન હોવાથી,$E_s = E_b$:
$\frac{L}{(1.5 \times 10^{11})^2} = \frac{10000}{(0.3)^2}$
$L = \frac{10000 \times (1.5 \times 10^{11})^2}{(0.3)^2}$
$L = \frac{10^4 \times 2.25 \times 10^{22}}{0.09}$
$L = \frac{2.25 \times 10^{26}}{0.09} = 25 \times 10^{26} \, cd$.

(C) પ્રકાશના સ્ત્રોતની તીવ્રતા $L$ થી $r$ અંતરે નીચે આવેલા બિંદુ પર પ્રકાશની તીવ્રતા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{L}{r^2}$ છે.
શરૂઆતમાં,ઊંચાઈ $r_1 = 4\,m$ છે,તેથી $E_1 = \frac{L}{4^2} = \frac{L}{16}$.
લેમ્પને $1\,m$ નીચે કર્યા પછી,નવી ઊંચાઈ $r_2 = 4\,m - 1\,m = 3\,m$ થાય છે,તેથી $E_2 = \frac{L}{3^2} = \frac{L}{9}$.
પ્રકાશની તીવ્રતામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{L/9 - L/16}{L/16} \right) \times 100 = \left( \frac{16}{9} - 1 \right) \times 100$.
$= \left( \frac{16 - 9}{9} \right) \times 100 = \frac{7}{9} \times 100 \approx 77.77\% \approx 78\%$.

(B) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ગોળાકાર કાચના પેપરવેઇટ પર બિંદુ $A$ આગળ આપાત થાય છે,ત્યારે તે $\beta$ ખૂણે વક્રીભવન પામે છે. આ બિંદુએ વિચલનનો ખૂણો $\delta_1 = (\alpha - \beta)$ છે.
નિર્ગમન બિંદુ $B$ આગળ,કિરણ સપાટી પર $\beta$ ખૂણે અથડાય છે (ત્રિજ્યાઓ દ્વારા બનતા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સમાનતાને કારણે) અને $\alpha$ ખૂણે બહાર નીકળે છે. આ બિંદુએ વિચલનનો ખૂણો $\delta_2 = (\alpha - \beta)$ છે.
કુલ વિચલન કોણ $\delta$ એ બંને સપાટીઓ પરના વિચલનોનો સરવાળો છે:
$\delta = \delta_1 + \delta_2 = (\alpha - \beta) + (\alpha - \beta) = 2(\alpha - \beta)$.

(B) સૂર્ય અનંત અંતરે છે,તેથી $u = \infty$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ મુજબ,
અંતર્ગોળ અરીસા માટે $v = -32 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{f} = \frac{1}{-32} + 0$,એટલે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f = -32 \, cm$.
જ્યારે ટાંકીને $h = 20 \, cm$ ની ઊંચાઈ સુધી પાણીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે અરીસો $F$ બિંદુએ પ્રતિબિંબ બનાવશે (અરીસાથી $32 \, cm$ દૂર). પાણીની સપાટી $20 \, cm$ પર હોવાથી,આ બિંદુ $F$ નું પાણીની સપાટીથી અંતર $d = 32 - 20 = 12 \, cm$ થશે.
આ બિંદુ $F$ પાણી-હવાના અંતરાય માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. પાણીની સપાટી પર વક્રીભવનને કારણે,આભાસી ઊંડાઈ $d'$ એ $d' = \frac{d}{\mu}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\mu = \frac{4}{3}$ છે,તેથી $d' = \frac{12}{4/3} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \, cm$.
$d'$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ પાણીની સપાટીથી $9 \, cm$ ઉપર રચાશે.

(D) આ તંત્રને સંપર્કમાં રહેલા ત્રણ લેન્સના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય: બે પ્રવાહી લેન્સ ($f_1$ અને $f_3$) અને એક કાચનો લેન્સ $(f_2)$.
આપેલ છે:
હવામાં કાચના લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_a = +20\,cm$.
લેન્સનો વક્રીભવનાંક,$\mu_g = 1.50$.
પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક,$\mu_l = 1.60$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ:
$\frac{1}{f_1} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{20} \right) = -\frac{0.6}{20} = -\frac{3}{100}$...$(i)$
$\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = \frac{1}{20}$...$(ii)$
$\frac{1}{f_3} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{-20} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{3}{100}$...$(iii)$
$\Rightarrow \frac{1}{F} = -\frac{3}{100} + \frac{1}{20} - \frac{3}{100} = -\frac{6}{100} + \frac{5}{100} = -\frac{1}{100}$
તેથી,$F = -100\,cm$.

(D) લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{u} + \frac{1}{f}$ મળે છે. આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું રેખીય સમીકરણ છે,જ્યાં $y = \frac{1}{v}$ અને $x = \frac{1}{u}$ છે. આમ,$\frac{1}{v}$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{u}$ એ રેખીય સંબંધ છે.
વળી,મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{u} = \frac{1}{v} - \frac{1}{f} = \frac{f-v}{fv}$.
આને $m = \frac{v}{u}$ માં મૂકતા,આપણને $m = v \cdot \left( \frac{f-v}{fv} \right) = \frac{f-v}{f} = 1 - \frac{v}{f}$ મળે છે.
આ પણ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું રેખીય સમીકરણ છે,જ્યાં $y = m$ અને $x = v$ છે. આમ,$m$ વિરુદ્ધ $v$ એ રેખીય સંબંધ છે.
તેથી,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(C) ગોલીય સપાટી દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિભાજન તેની વક્રતા ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે.
લેન્સ માટે,કુલ વિભાજન તેની બે સપાટીઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિભાજનનો સરવાળો છે.
જો એક સપાટી દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિભાજન બીજી સપાટી દ્વારા સંપૂર્ણપણે નાબૂદ થઈ જાય,તો લેન્સ વિભાજન દર્શાવતો નથી.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે બે સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન હોય,જેમાં એક બહિર્ગોળ અને બીજી અંતર્ગોળ હોય,જેથી લેન્સ તેમાંથી પસાર થતા પ્રકાશ માટે સમાંતર બાજુવાળી પ્લેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ મેનિસ્કસ લેન્સની બંને સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે,જેમાં એક બહિર્ગોળ અને બીજી અંતર્ગોળ છે. તેથી,તે વિભાજન દર્શાવતું નથી.

(B) ધારો કે પ્રકાશના સ્ત્રોતની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટેબલની ત્રિજ્યા $R$ છે. ટેબલની ધાર પર પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{L \cos \theta}{d^2}$ છે,જ્યાં $L$ એ સ્ત્રોતની પ્રકાશિત તીવ્રતા છે,$d$ એ સ્ત્રોતથી ધાર સુધીનું અંતર છે,અને $\theta$ એ લંબ અને પ્રકાશના કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં,$d^2 = h^2 + R^2$ અને $\cos \theta = \frac{h}{d} = \frac{h}{\sqrt{h^2 + R^2}}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{Lh}{(h^2 + R^2)^{3/2}}$ મળે છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે,આપણે $I$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dI}{dh} = L \left[ \frac{(h^2 + R^2)^{3/2} - h \cdot \frac{3}{2}(h^2 + R^2)^{1/2} \cdot 2h}{(h^2 + R^2)^3} \right] = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(h^2 + R^2) - 3h^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R^2 = 2h^2$.
તેથી,$h = R/\sqrt{2}$.