Combination of Lens and Mirror and Silvering of Lens, Cutting of Mirror Questions in Gujarati

(D) જ્યારે લેન્સ પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે અરીસા તરીકે વર્તે છે. તંત્રનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = 2P_l + P_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_l$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_m$ એ ચાંદી લગાવેલી સપાટીનો પાવર છે.
આપેલ છે કે,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 20 \ cm$,તેથી $P_l = \frac{1}{f_l} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$.
સમતલ સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલ છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \infty$,જેનો અર્થ છે કે $P_m = \frac{1}{f_m} = 0$.
સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = 2 \left(\frac{1}{20}\right) + 0 = \frac{1}{10} \ cm^{-1}$ છે.
અરીસા માટે $P_{eq} = -\frac{1}{F}$ હોવાથી,આપણને $F = -10 \ cm$ મળે છે. કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $10 \ cm$ છે.

(C) જ્યારે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની સમતલ સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે છે,ત્યારે આ તંત્ર લેન્સ અને અરીસાના સંયોજન તરીકે કાર્ય કરે છે.
ધારો કે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. જ્યારે પ્રકાશ લેન્સમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેનું વક્રીભવન થાય છે,ત્યારબાદ ચાંદીવાળી સપાટી પર પરાવર્તન થાય છે,અને અંતે લેન્સમાંથી બહાર નીકળતી વખતે ફરીથી વક્રીભવન થાય છે.
તંત્રનો અસરકારક પાવર $P_{eff} = 2P_l + P_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_l$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_m$ એ અરીસાનો પાવર છે.
સમતલ સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ હોવાથી,તે સમતલ અરીસો બને છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \infty$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P_m = 0$.
લેન્સનો પાવર $P_l = 1/f$ છે.
આમ,$P_{eff} = 2(1/f) + 0 = 2/f$.
અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = -1/P_{eff} = -f/2$ મળે છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે આ તંત્ર $f/2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
લેન્સ સમાન બહિર્ગોળ હોવાથી, $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા, $\frac{1}{f} = (n-1) \frac{2}{R}$ મળે.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ કાપવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક નવો લેન્સ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ બને છે, જેમાં એક સપાટીની ત્રિજ્યા $R$ અને બીજી સપાટી સમતલ ($\infty$ ત્રિજ્યા) હોય છે.
નવા લેન્સ માટે, કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{f'} = (n-1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{n-1}{R}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, $\frac{1}{f'} = \frac{1}{2f}$ મળે, એટલે કે $f' = 2f$.
બંને નવા લેન્સ સમાન હોવાથી, તેમની કેન્દ્રલંબાઈ સમાન $(f'_1 = f'_2 = 2f)$ હશે.
તેથી, તેમની કેન્દ્રલંબાઈનો ગુણોત્તર $2f : 2f = 1 : 1$ થાય.

(A) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંમિત દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ સાથે લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ રૂપે કાપવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા અનંત $(R = \infty)$ થઈ જાય છે,જ્યારે બીજી સપાટી સમાન રહે છે.
જો કે,આને જોવાની એક સરળ રીત એ છે કે લેન્સનો પાવર મુખ્ય અક્ષ પર લેન્સની જાડાઈના પ્રમાણસર હોય છે. જ્યારે મુખ્ય અક્ષને લંબ રૂપે કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની જાડાઈ અડધી થઈ જાય છે,તેથી દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $2f$ થઈ જાય છે.
કારણ કે $P = \frac{1}{f}$,નવો પાવર $P' = \frac{1}{2f} = \frac{P}{2}$ થશે.
આપેલ છે કે $P = 4 \ D$,તેથી નવો પાવર $P' = \frac{4 \ D}{2} = 2 \ D$ થશે.

(B) જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ બે ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ મૂળ લેન્સ જેટલી જ રહે છે.
જોકે,દરેક ટુકડાનું છિદ્ર (જે વિસ્તારમાંથી પ્રકાશ પસાર થાય છે) મૂળ લેન્સના અડધા ભાગમાં ઘટી જાય છે.
લેન્સ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબની તીવ્રતા એ છિદ્રના ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,ક્ષેત્રફળ અડધું થવાથી પ્રતિબિંબની તીવ્રતા મૂળ તીવ્રતાના $1/2$ ગણી થઈ જાય છે.

(D) જ્યારે લેન્સને અરીસાના સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંયોજન એક અરીસા તરીકે વર્તે છે જેની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$.
અહીં,$f_l$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_m$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_l = -20 \ cm$. સમતલ અરીસા માટે,$f_m = \infty$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{F} = \frac{2}{-20} + \frac{1}{\infty} = -\frac{1}{10} + 0 = -\frac{1}{10}$.
આમ,$F = -10 \ cm$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે આ સંયોજન $10 \ cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે.

(B) ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ છે,જ્યાં $f_l$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_m$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ એ $\frac{1}{f_l} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$R_1 = 10 \; cm$ અને $R_2 = \infty$ છે,તેથી $\frac{1}{f_l} = (1.5 - 1)(\frac{1}{10} - 0) = \frac{0.5}{10} = \frac{1}{20}$. આમ,$f_l = 20 \; cm$.
ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલી સમતલ સપાટી સમતલ અરીસા તરીકે વર્તે છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \infty$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{F} = \frac{2}{20} + \frac{1}{\infty} = \frac{1}{10} + 0 = \frac{1}{10}$.
આમ,$F = 10 \; cm$.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\mu$ વક્રીભવનાંક અને $R_1 = R$ તથા $R_2 = -R$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$
તેથી,$f = \frac{R}{2(\mu - 1)}$.
જ્યારે લેન્સને તૂટક રેખા સાથે ઊભો કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ બની જાય છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ છે.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ માટે લેન્સ મેકરનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - 0 \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
તેથી,$f' = \frac{R}{\mu - 1}$.
$f'$ ની સરખામણી $f$ સાથે કરતા,આપણને $f' = 2 \times \left( \frac{R}{2(\mu - 1)} \right) = 2f$ મળે છે.
આમ,દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $2f$ થશે.

(B) જ્યારે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની સમતલ સપાટીને રજતિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે.
આ સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ છે,જ્યાં $f_l$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_m$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$\frac{1}{f_l} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$. અહીં $R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ હોવાથી,$\frac{1}{f_l} = \frac{\mu - 1}{R}$.
રજતિત કરેલી સમતલ સપાટી સમતલ અરીસા તરીકે વર્તે છે,તેથી $f_m = \infty$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{f_m} = 0$.
આ સંયોજન $F = \frac{R}{2(\mu - 1)}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અરીસા તરીકે વર્તે છે.
આપેલ છે કે $F = 0.2 \ m$ અને $\mu = 1.5$,તેથી $0.2 = \frac{R}{2(1.5 - 1)}$.
$0.2 = \frac{R}{2(0.5)} = \frac{R}{1}$.
તેથી,$R = 0.2 \ m$.

(A) ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે.
ચાંદીના ઢોળવાળા લેન્સની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર $F = \frac{R}{2\mu}$ છે,જ્યાં $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{30 \ cm}{2 \times 1.5} = \frac{30}{3} = 10 \ cm$.
આ સિસ્ટમ અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તતી હોવાથી,વસ્તુના કદ જેવડું જ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,વસ્તુને વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી આવશ્યક છે.
અરીસાથી વક્રતા કેન્દ્રનું અંતર $2F$ છે.
તેથી,વસ્તુનું અંતર $u = 2F = 2 \times 10 \ cm = 20 \ cm$ થાય.

(C) ધારો કે કાચની પ્લેટની જાડાઈ $t = 6 \, cm$ છે.
વસ્તુ પ્રથમ સપાટીથી $u = 8 \, cm$ અંતરે છે.
આગળની સપાટીથી જોતા ચાંદીવાળી સપાટીની આભાસી ઊંડાઈ $d_{app} = \frac{t}{\mu} = \frac{6}{\mu}$ થશે.
આભાસી સપાટીથી વસ્તુનું અંતર $u' = 8 + \frac{6}{\mu}$ થશે.
સમતલ અરીસાના ગુણધર્મ મુજબ,વસ્તુનું અરીસાથી અંતર અને પ્રતિબિંબનું અરીસાથી અંતર સમાન હોય છે.
પ્રતિબિંબ ચાંદીવાળી સપાટીની પાછળ $12 \, cm$ અંતરે રચાય છે. ચાંદીવાળી સપાટીથી પ્રતિબિંબનું વાસ્તવિક અંતર $12 \, cm$ છે.
તેથી,આભાસી સપાટીથી પ્રતિબિંબનું અંતર $v' = 12 + (6 - \frac{6}{\mu})$ થશે.
અંતરોને સરખાવતા: $8 + \frac{6}{\mu} = 12 + 6 - \frac{6}{\mu}$.
$8 + \frac{6}{\mu} = 18 - \frac{6}{\mu}$.
$\frac{12}{\mu} = 10$.
$\mu = \frac{12}{10} = 1.2$.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વસ્તુ અંતર $u = -30 \,cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = +20 \,cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$
તેથી,$v = 60 \,cm$. આનો અર્થ એ છે કે લેન્સ $60 \,cm$ અંતરે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ બનાવે છે.
અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુ સાથે સંપાત થાય તે માટે,પ્રકાશના કિરણો બહિર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે પડવા જોઈએ જેથી તેઓ તેમનો માર્ગ પાછો ખેંચે. આ ત્યારે થાય છે જો કિરણો અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોય.
અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 10 \,cm$ છે. આમ,અરીસાને એવી રીતે મૂકવો જોઈએ કે તેનું વક્રતા કેન્દ્ર લેન્સ દ્વારા રચાયેલા પ્રતિબિંબ સાથે સંપાત થાય.
લેન્સથી અરીસાનું અંતર $d = v - R = 60 \,cm - 10 \,cm = 50 \,cm$ છે.

(D) ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલા લેન્સની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{2}{f} + \frac{1}{f_m}$ છે,જ્યાં $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_m$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
કિસ્સો $1$: સમતલ બાજુ પર ચાંદીનો ઢોળ. અહીં અરીસો સમતલ છે,તેથી $f_m = \infty$. આપેલ છે $F = -30 \ cm$ (અંતર્ગોળ અરીસો).
$\frac{1}{-30} = \frac{2}{f} + \frac{1}{\infty} \Rightarrow \frac{1}{-30} = \frac{2}{f} \Rightarrow f = -60 \ cm$.
કિસ્સો $2$: બહિર્ગોળ બાજુ પર ચાંદીનો ઢોળ. અહીં અરીસો બહિર્ગોળ છે જેની ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી $f_m = \frac{R}{2}$. આપેલ છે $F = -10 \ cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu - 1}{R}$. તેથી,$R = f(\mu - 1)$.
અરીસાના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{F} = \frac{2}{f} + \frac{2}{R} \Rightarrow \frac{1}{-10} = \frac{2}{-60} + \frac{2}{R} \Rightarrow \frac{1}{R} = \frac{1}{2}(\frac{1}{-10} + \frac{1}{30}) = \frac{1}{2}(\frac{-3+1}{30}) = -\frac{1}{30}$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ માટે મૂલ્ય $R = 30 \ cm$ લેતા.
$\frac{1}{f} = \frac{\mu - 1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{-60} = \frac{\mu - 1}{-30} \Rightarrow \frac{1}{2} = \mu - 1 \Rightarrow \mu = 1.5$.

(B) જ્યારે સમાંતર કિરણો બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે,ત્યારે તેઓ લેન્સથી $f$ અંતરે તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે.
લેન્સથી $10 \, cm$ અંતરે મૂકવામાં આવેલા સમતલ અરીસા દ્વારા કિરણો પરાવર્તિત થતા હોવાથી,કિરણો અરીસાની પાછળના કોઈ બિંદુમાંથી આવતા હોય તેવું લાગે છે.
સમતલ અરીસાના ગુણધર્મ મુજબ,અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ તેટલા જ અંતરે હોય છે જેટલા અંતરે વસ્તુ અરીસાની આગળ હોય છે.
અહીં,કિરણો લેન્સથી $f$ અંતરે આવેલા બિંદુ તરફ કેન્દ્રિત થઈ રહ્યા છે. અરીસો $10 \, cm$ અંતરે હોવાથી,આ કેન્દ્રિત બિંદુનું અરીસાથી અંતર $(f - 10) \, cm$ થાય.
પરાવર્તન પછી લેન્સના ઓપ્ટિકલ સેન્ટર પર પ્રતિબિંબ બનાવવા માટે,પરાવર્તિત કિરણો ઓપ્ટિકલ સેન્ટર પર સ્થિત આભાસી વસ્તુમાંથી ઉદ્ભવતા હોય તેવું લાગવું જોઈએ.
આમ,અરીસાથી આભાસી વસ્તુનું અંતર એ અરીસાથી પ્રતિબિંબના અંતર જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$f - 10 = 10$,જે આપણને $f = 20 \, cm$ આપે છે.

(D) જ્યારે આપાત સમાંતર પુંજ તંત્રમાંથી સમાંતર પુંજ તરીકે બહાર નીકળે,ત્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે હોવું જોઈએ.
$1$. બહિર્ગોળ લેન્સ $(f_1 = 20 \, cm)$ પર આપાત થતું સમાંતર પુંજ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે,જે લેન્સની પાછળ $20 \, cm$ અંતરે છે.
$2$. અંતર્ગોળ અરીસો લેન્સની પાછળ $5 \, cm$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. તેથી,લેન્સના કેન્દ્રબિંદુનું અરીસાથી અંતર $20 \, cm - 5 \, cm = 15 \, cm$ થાય.
$3$. અરીસામાંથી પ્રકાશ સમાંતર બહાર નીકળે તે માટે,પ્રકાશ અરીસા પર એવી રીતે આપાત થવો જોઈએ કે જાણે તે તેના મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી આવતો હોય. અહીં કિરણો અરીસાની સામે $15 \, cm$ અંતરે આવેલા બિંદુ તરફ કેન્દ્રિત થાય છે,તેથી આ બિંદુ અંતર્ગોળ અરીસાનું મુખ્ય કેન્દ્ર હોવું જોઈએ.
$4$. આમ,અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 15 \, cm$ છે. સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ,અંતર્ગોળ અરીસા માટે $f = -15 \, cm$ થાય.

(B) ચાંદી લગાડેલી સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -22 \, cm$ છે (અંતર્ગોળ અરીસાની સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ).
અરીસાના ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $f_M = R/2 = -22/2 = -11 \, cm$ છે.
અરીસાનો પાવર $P_M = -1/f_M = -1/(-0.11) = 1/0.11 \, D$ છે.
લેન્સનો પાવર $P_L = 1/f_L = 1/0.20 = 5 \, D$ છે.
ચાંદી લગાડેલા લેન્સ સિસ્ટમનો કુલ પાવર $P = 2P_L + P_M = 2(5) + (1/0.11) = 10 + 9.09 = 19.09 \, D$ (અથવા ચોક્કસ રીતે $10 + 100/11 = 210/11 \, D$) છે.
સિસ્ટમની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F = -1/P = -11/210 \, m = -110/21 \, cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $1/v + 1/u = 1/F$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -10 \, cm$:
$1/v + 1/(-10) = 1/(-110/21)$
$1/v - 1/10 = -21/110$
$1/v = 1/10 - 21/110 = (11 - 21)/110 = -10/110 = -1/11$.
આમ,$v = -11 \, cm$. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ ચાંદી લગાડેલા લેન્સની સામે $11 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +30 \ cm$ છે.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -20 \ cm$ છે.
લેન્સ અને અરીસાના સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-20}$.
$\frac{1}{f} = \frac{2 - 3}{60} = -\frac{1}{60}$.
તેથી,$f = -60 \ cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે આ તંત્ર અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે.

(C) આ તંત્ર એક લેન્સ અને અરીસાનું બનેલું છે. જ્યારે સમતલ સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચઢાવવામાં આવે,ત્યારે તંત્રની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$.
અહીં,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 15 \ cm$ અને સમતલ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \infty$ છે.
તેથી,$\frac{1}{F} = \frac{2}{15} + \frac{1}{\infty} = \frac{2}{15}$.
આ તંત્ર $F = 7.5 \ cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{eff}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f_{eff} = -F = -7.5 \ cm$ (કારણ કે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે) અને $u = -20 \ cm$:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-20} = \frac{1}{-7.5} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{-7.5} + \frac{1}{20} = \frac{-20 + 7.5}{150} = \frac{-12.5}{150} = -\frac{1}{12}$.
આમ,$v = -12 \ cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ લેન્સની સપાટી $AB$ ની ડાબી બાજુએ $12 \ cm$ અંતરે રચાય છે.

(B) $1$. પ્રથમ,બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબનું સ્થાન શોધો. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -15\;cm$ અને $f = 10\;cm$ છે:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v = 30\;cm$ લેન્સથી.
$2$. લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અરીસા માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર $30\;cm$ છે. પ્રતિબિંબ લેન્સથી $30\;cm$ પર બનતું હોવાથી,તે બરાબર અરીસા પર પડે છે.
$3$. અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર સંપાત થાય તે માટે,કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ (એટલે કે,તેઓ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોવા જોઈએ).
$4$. આમ,અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $10\;cm$ મળે છે.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કિસ્સો $(i)$: જ્યારે લેન્સને $XOX'$ અક્ષ પર (મુખ્ય અક્ષને લંબ) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન રહે છે $(R_1 = R, R_2 = -R)$. આમ,દરેક અર્ધ ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ મૂળ લેન્સ જેટલી જ રહે છે. તેથી,$f' = f$.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે લેન્સને $YOY'$ અક્ષ પર (મુખ્ય અક્ષને સમાંતર) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે એક સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા અનંત બને છે $(R_2 = \infty)$. નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f''$ આ રીતે મળે છે: $\frac{1}{f''} = (n-1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{n-1}{R}$. કારણ કે $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{2(n-1)}{R}$,તેથી $\frac{1}{f''} = \frac{1}{2f}$,જેનો અર્થ છે કે $f'' = 2f$.
તેથી,સાચો સંબંધ $f' = f$ અને $f'' = 2f$ છે.

(D) આ તંત્ર પ્લેનો-કોન્વેક્સ પાણીના લેન્સ અને અંતર્ગોળ અરીસાના સંયોજન તરીકે કાર્ય કરે છે.
ધારો કે $R$ એ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = -R/2$ છે.
પાણીના પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ (વક્રીભવનાંક $\mu = 4/3$) ની કેન્દ્રલંબાઈ $1/f_l = (\mu - 1)(1/R - 1/\infty) = (1/3)(1/R) = 1/(3R)$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$f_l = 3R$.
જ્યારે પદાર્થ $C$ પર (અરીસાથી $R$ અંતરે) હોય,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો પાણીના લેન્સમાંથી પસાર થાય છે,અરીસા પરથી પરાવર્તિત થાય છે અને ફરીથી પાણીના લેન્સમાંથી પસાર થાય છે.
$1$. પાણીના લેન્સ પર વક્રીભવન: $1/v_1 - 1/u_1 = 1/f_l \implies 1/v_1 - 1/(-R) = 1/(3R) \implies 1/v_1 = 1/(3R) - 1/R = -2/(3R) \implies v_1 = -1.5R$.
$2$. અરીસા પર પરાવર્તન: $1/v_2 + 1/u_2 = 1/f_m \implies 1/v_2 + 1/(-1.5R) = 1/(-0.5R) \implies 1/v_2 = -2/R + 2/(3R) = -4/(3R) \implies v_2 = -0.75R$.
$3$. પાણીના લેન્સ પર અંતિમ વક્રીભવન: $1/v_3 - 1/u_3 = 1/f_l \implies 1/v_3 - 1/(-0.75R) = 1/(3R) \implies 1/v_3 = 1/(3R) - 4/(3R) = -1/R \implies v_3 = -R$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ અંતર ઋણ હોવાથી,તે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ છે જે $O$ અને $C$ ની વચ્ચે રચાય છે.

(D) સમતલીય બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 20\,cm$ છે. લેન્સના પાવરનું સૂત્ર $P_l = \frac{1}{f_l} = \frac{1}{20} \, cm^{-1}$ છે.
જ્યારે સમતલ સપાટી પર સિલ્વર લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે આ તંત્ર અરીસા તરીકે વર્તે છે જેનો પાવર $P_m = 2P_l + P_s$ થાય છે,જ્યાં $P_s$ એ સિલ્વર કરેલી સમતલ સપાટીનો પાવર છે.
સમતલ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = \infty$ હોવાથી,તેનો પાવર $P_s = -\frac{1}{f_s} = 0$ થાય છે.
આમ,તંત્રનો કુલ પાવર $P = 2P_l = 2 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \, cm^{-1}$ મળે છે.
પરિણામી અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $F = -\frac{1}{P} = -10\,cm$ થાય છે.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $10\,cm$ છે.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +f$ છે.
અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -f$ છે.
તંત્રનો પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $P = 1/F$,$P_1 = 1/f_1 = 1/f$,અને $P_2 = 1/f_2 = -1/f$.
તેથી,$1/F = 1/f + (-1/f) = 0$.
આ સૂચવે છે કે $F = 1/0 = \infty$.
આમ,તંત્રની પરિણામી કેન્દ્રલંબાઈ $\infty$ છે.

(A) લેન્સ મેકર્સના સૂત્ર મુજબ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = \frac{R}{\mu - 1} = \frac{12}{1.5 - 1} = 24 \ cm$ મળે છે.
જ્યારે સમતલ સપાટીને અરીસો બનાવવામાં આવે,ત્યારે તંત્રની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = \frac{R}{2(\mu - 1)} = \frac{12}{2(0.5)} = 12 \ cm$ થાય.
પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાં $12$ ઉપલબ્ધ નથી,તેથી પ્રશ્ન લેન્સની પોતાની કેન્દ્રલંબાઈ વિશે પૂછે છે તેમ માનીને સાચો વિકલ્પ $24 \ cm$ છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
અહીં $f = 10\; cm$,$\mu = 1.5$,અને $R_1 = R, R_2 = -R$ લેતા,$\frac{1}{10} = (0.5) \left( \frac{2}{R} \right) \Rightarrow R = 10\; cm$.
જ્યારે એક સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે,ત્યારે તે અરીસા તરીકે વર્તે છે.
અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = R/2 = 5\; cm$ (અંતર્ગોળ અરીસો હોવાથી $f_m = -5\; cm$).
વસ્તુનું પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ મળે તે માટે વસ્તુને અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી પડે,જેનું અંતર $u = 5\; cm$ થાય છે.

(A) જ્યારે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની વક્ર સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે. આ સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{2\mu}{R}$
અહીં વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 30 \; cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{R}{2\mu} = \frac{30}{2 \times 1.5} = \frac{30}{3} = 10 \; cm$.
તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તતું હોવાથી,વસ્તુના કદ જેટલું જ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,વસ્તુને સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી આવશ્યક છે.
અરીસાથી વક્રતા કેન્દ્રનું અંતર $2F$ છે.
તેથી,$u = 2F = 2 \times 10 = 20 \; cm$.

(B) ધારો કે લેન્સનો વક્રીભવનાંક $\mu$ છે અને બહિર્ગોળ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે. લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે,જ્યાં $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{1}{R}$ થાય.
કિસ્સો $1$: સમતલ સપાટી પર સિલ્વર લગાડતા,આ તંત્ર $P = 2P_L + P_M$ પાવર ધરાવતા અરીસા તરીકે વર્તે છે. સમતલ સપાટી સિલ્વર કરેલી હોવાથી $P_M = 0$ થાય. તેથી,$\frac{1}{F_1} = \frac{2}{f} = \frac{1}{60} \ cm^{-1}$. આથી,$f = 120 \ cm$.
કિસ્સો $2$: બહિર્ગોળ સપાટી પર સિલ્વર લગાડતા,આ તંત્ર અરીસા તરીકે વર્તે છે જ્યાં $P_M = \frac{2}{R}$ થાય. તેથી,$\frac{1}{F_2} = \frac{2}{f} + \frac{2}{R} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$.
બીજા સમીકરણમાં $\frac{2}{f} = \frac{1}{60}$ મૂકતા: $\frac{1}{60} + \frac{2}{R} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{2}{R} = \frac{1}{20} - \frac{1}{60} = \frac{3-1}{60} = \frac{2}{60}$. તેથી,$R = 60 \ cm$.
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{120} = (\mu - 1) \frac{1}{60} \Rightarrow \mu - 1 = \frac{60}{120} = 0.5 \Rightarrow \mu = 1.5$ મળે છે.

(C) ધારો કે કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu$ છે. સ્લેબની જાડાઈ $t = 6 \, cm$ છે.
આપેલ આકૃતિ અને પદ્ધતિ મુજબ:
$x + 8 = 12 + 6 - x$
$2x = 10$
$x = 5 \, cm$
હવે,વક્રીભવનાંક $\mu = t/x$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = 6 / 5 = 1.2$
આમ,કાચનો વક્રીભવનાંક $1.2$ છે.

(D) આ તંત્રમાં સંપર્કમાં રહેલા ત્રણ લેન્સ છે: બે સમતલ-અંતર્ગોળ પ્રવાહી લેન્સ અને એક બહિર્ગોળ કાચનો લેન્સ.
$1$. પ્રથમ પ્રવાહી લેન્સ $(f_1)$ માટે: પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu_l = 1.6$ છે. સપાટીઓ સમતલ અને અંતર્ગોળ છે,જેની ત્રિજ્યા $R = 20\,cm$ છે. લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_1} = (\mu_l - 1) (\frac{1}{\infty} - \frac{1}{20}) = (1.6 - 1) (0 - 0.05) = 0.6 \times (-0.05) = -0.03 = -\frac{3}{100}$.
$2$. બહિર્ગોળ કાચના લેન્સ $(f_2)$ માટે: વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5$ છે. સપાટીઓ બહિર્ગોળ છે,જ્યાં $R_1 = 20\,cm$ અને $R_2 = -20\,cm$ છે. લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_2} = (\mu_g - 1) (\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}) = (1.5 - 1) (\frac{1}{20} + \frac{1}{20}) = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$.
$3$. બીજા પ્રવાહી લેન્સ $(f_3)$ માટે: પ્રથમ લેન્સની જેમ જ,$\frac{1}{f_3} = (1.6 - 1) (\frac{1}{-20} - \frac{1}{\infty}) = 0.6 \times (-0.05) = -\frac{3}{100}$.
$4$. તંત્રની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઇ $F$ માટે: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{F} = -\frac{3}{100} + \frac{1}{20} - \frac{3}{100} = -\frac{6}{100} + \frac{5}{100} = -\frac{1}{100}$.
તેથી,$F = -100\,cm$.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: $u = -30\,cm$,$f = +20\,cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$v = +60\,cm$. પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુ $60\,cm$ અંતરે રચાય છે.
પ્રતિબિંબો સંપાત થાય તે માટે,પ્રકાશના કિરણો બહિર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેઓ અરીસાના વક્રતાકેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોવા જોઈએ.
બહિર્ગોળ અરીસાની વક્રતાત્રિજ્યા $R = 10\,cm$ છે. આમ,વક્રતાકેન્દ્ર અરીસાની પાછળ $10\,cm$ અંતરે છે.
જો અરીસો લેન્સથી $d$ અંતરે મૂકવામાં આવે,તો લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે.
કિરણો તે જ માર્ગે પાછા ફરે તે માટે,તેઓ અરીસાના વક્રતાકેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોવા જોઈએ.
તેથી,અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર તેની વક્રતાત્રિજ્યા $R = 10\,cm$ જેટલું હોવું જોઈએ.
લેન્સથી અરીસાનું અંતર = (લેન્સથી પ્રતિબિંબનું અંતર) - (અરીસાની વક્રતાત્રિજ્યા) = $60\,cm - 10\,cm = 50\,cm$.

(B) અનંત અંતરેથી આવતા પ્રકાશના કિરણો લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી અને અરીસા પરથી પરાવર્તિત થયા પછી ફરી અનંત અંતરે જાય તે માટે,કિરણોએ અંતર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો અરીસા પર આપાત થતા કિરણો તેના વક્રતા કેન્દ્રમાંથી આવતા હોય તેવું લાગે.
બહિર્ગોળ લેન્સ સમાંતર કિરણપુંજને તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત કરે છે,જે લેન્સથી $f_2$ અંતરે હોય છે.
કિરણો અંતર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય તે માટે,આ મુખ્ય કેન્દ્ર બિંદુ અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર સાથે સંપાત થવું જોઈએ.
અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્રનું અરીસાથી અંતર $2f_1$ છે.
તેથી,લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું કુલ અંતર $d$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ અને અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે:
$d = f_2 + 2f_1$.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
બે સમાન સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ ($f_1$ અને $f_2$) માટે:
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{40} \, cm^{-1}$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{40} \, cm^{-1}$.
વચ્ચે બનેલો તેલનો લેન્સ એ અંતર્ગોળ લેન્સ છે જેની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = -20 \, cm$ અને $R_2 = 20 \, cm$ છે.
તેલના લેન્સ $(f_3)$ માટે:
$\frac{1}{f_3} = (1.7 - 1) \left( \frac{1}{-20} - \frac{1}{20} \right) = 0.7 \times \left( -\frac{2}{20} \right) = 0.7 \times \left( -\frac{1}{10} \right) = -\frac{0.7}{10} = -\frac{7}{100} \, cm^{-1}$.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{40} + \frac{1}{40} - \frac{7}{100} = \frac{2}{40} - \frac{7}{100} = \frac{1}{20} - \frac{7}{100}$.
$\frac{1}{f} = \frac{5 - 7}{100} = -\frac{2}{100} = -\frac{1}{50}$.
તેથી,$f = -50 \, cm$.

(A) જ્યારે કોઈ વસ્તુને બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સમાંથી બહાર આવતા કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે.
આ સમાંતર કિરણો લેન્સની નીચે મૂકેલા સમતલ અરીસા પર $90^{\circ}$ ના ખૂણે (લંબરૂપે) આપાત થાય છે.
પરાવર્તનના નિયમો અનુસાર,અરીસો આ કિરણોને તે જ માર્ગે પાછા પરાવર્તિત કરે છે.
ત્યારબાદ આ કિરણો ફરીથી લેન્સમાંથી પસાર થાય છે અને મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે,જે વસ્તુનું સ્થાન જ છે.
તેથી,વસ્તુ અને તેનું પ્રતિબિંબ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ પર સંપાત થાય છે.
આપેલ છે કે સંપાત બિંદુ $15 \, cm$ પર છે,તેથી લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 15 \, cm$ થાય.

(B) અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ સંપાત થાય તે માટે,લેન્સમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશના કિરણો સમતલ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો સમતલ અરીસા પર આપાત થતા પ્રકાશના કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોય.
બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને તે માટે,વસ્તુને લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવી આવશ્યક છે.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 30\, cm$ આપેલી છે.
તેથી,લેન્સથી વસ્તુનું અંતર $u = f = 30\, cm$ થાય.

(A) એક સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલ લેન્સ માટે,સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = 2P_L + P_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_L$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_m$ એ અરીસાનો પાવર છે.
પ્રથમ,લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_L)$ શોધો:
$\frac{1}{f_L} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.5 \times \left( \frac{2}{40} \right) = \frac{1}{40} \implies f_L = 40 \, cm$.
લેન્સનો પાવર $P_L = \frac{1}{f_L} = \frac{1}{40} \, cm^{-1}$ છે.
ચાંદીવાળી સપાટી $40 \, cm$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે કાર્ય કરે છે. તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = -\frac{R}{2} = -20 \, cm$ છે. અરીસાનો પાવર $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{1}{-20} = \frac{1}{20} \, cm^{-1}$ છે.
સિસ્ટમનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = 2 \left( \frac{1}{40} \right) + \frac{1}{20} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \, cm^{-1}$ છે.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq} = -\frac{1}{P_{eq}} = -10 \, cm$ છે (ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે કાર્ય કરે છે).
ઓટો-કોલિમેશન હેઠળ,વસ્તુને સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી આવશ્યક છે,જે $u = 2|f_{eq}| = 2 \times 10 = 20 \, cm$ અંતરે છે.

(B) ધારો કે $f_l$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $R$ એ વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા છે. સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f_l} = (\mu - 1) \frac{1}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $(i)$: જ્યારે સમતલ સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે,ત્યારે તંત્ર $P = 2P_l + P_m$ પાવર ધરાવતા અરીસા તરીકે વર્તે છે. સમતલ સપાટી અનંત કેન્દ્રલંબાઈનો અરીસો હોવાથી,$P_m = 0$. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F_1 = -28 \ cm$ (અંતર્ગોળ અરીસો).
$\frac{1}{F_1} = -(\frac{2}{f_l} + 0) \implies \frac{1}{-28} = -\frac{2}{f_l} \implies f_l = 56 \ cm$.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે વક્ર સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે,ત્યારે તંત્ર $P = 2P_l + P_m$ પાવર ધરાવતા અરીસા તરીકે વર્તે છે. અહીં,$P_m = \frac{1}{f_m} = \frac{2}{R}$ (કારણ કે $f_m = R/2$). અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F_2 = -10 \ cm$.
$\frac{1}{F_2} = -(\frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}) \implies \frac{1}{-10} = -(\frac{2}{56} + \frac{2}{R})$.
કારણ કે $\frac{1}{f_l} = (\mu - 1) \frac{1}{R} = \frac{1}{56}$,તેથી $\frac{1}{R} = \frac{1}{56(\mu - 1)}$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{10} = \frac{2}{56} + \frac{2}{56(\mu - 1)} \cdot 2 = \frac{1}{28} + \frac{1}{28(\mu - 1)}$.
$\frac{1}{10} - \frac{1}{28} = \frac{1}{28(\mu - 1)} \implies \frac{18}{280} = \frac{1}{28(\mu - 1)}$.
$\frac{9}{140} = \frac{1}{28(\mu - 1)} \implies \mu - 1 = \frac{140}{9 \times 28} = \frac{5}{9}$.
$\mu = 1 + \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$.

(D) માધ્યમમાં લેન્સનો પાવર $P_L = \frac{1}{f_L} = (\frac{\mu_L}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\mu_L = \mu$,$\mu_m = 2\mu$,$R_1 = R$,અને $R_2 = -R$ છે.
તેથી,$P_L = (\frac{\mu}{2\mu} - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (0.5 - 1)(\frac{2}{R}) = -0.5 \times \frac{2}{R} = -\frac{1}{R}$.
સિલ્વર કરેલ સપાટી (અરીસા) નો પાવર $P_M = -\frac{1}{f_M} = -\frac{2}{R_m}$ છે. અરીસો અંતર્ગોળ હોવાથી,$f_M = -R/2$,તેથી $P_M = -\frac{2}{-R/2} = \frac{4}{R}$.
સિસ્ટમનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = 2P_L + P_M = 2(-\frac{1}{R}) + \frac{4}{R} = \frac{2}{R}$ છે.
આ સિસ્ટમ $f_{eq} = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{R}{2}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે કાર્ય કરે છે.
વસ્તુ $2\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં હોવાથી,પ્રતિબિંબના ગુણધર્મો અરીસાના સૂત્ર મુજબ નક્કી થાય છે.

(C) જ્યારે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની સમતલ સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે,ત્યારે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે.
આ તંત્રની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ છે.
અહીં સમતલ સપાટી પર ઢોળ હોવાથી,અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \infty$ થાય,તેથી $\frac{1}{F} = \frac{2}{f_l}$.
આપેલ છે કે $f_l = 15 \, cm$,તેથી સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F = \frac{f_l}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \, cm$ થાય.
આ તંત્ર $F = 7.5 \, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$u = -20 \, cm$ અને $f = -7.5 \, cm$ છે.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-20} = \frac{1}{-7.5}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{7.5} = \frac{1}{20} - \frac{2}{15} = \frac{3 - 8}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12}$.
આમ,$v = -12 \, cm$ મળે છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ સપાટી $AB$ ની ડાબી બાજુ $12 \, cm$ અંતરે રચાશે.

(A) જ્યારે $f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ સમતલ દ્વારા બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $2f$ થાય છે.
જ્યારે તેને મુખ્ય અક્ષમાંથી પસાર થતા સમતલ દ્વારા બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ જ રહે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,લેન્સને ચાર ભાગોમાં કાપવામાં આવ્યો છે (પહેલા મુખ્ય અક્ષને લંબ સમતલ દ્વારા,પછી મુખ્ય અક્ષમાંથી પસાર થતા સમતલ દ્વારા). આમ,દરેક ભાગ $2f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ બે ભાગો એવી રીતે ગોઠવવામાં આવ્યા છે કે તેમની મુખ્ય અક્ષો સ્થાનાંતરિત છે પરંતુ સમાંતર છે. આ સંયોજન બે લેન્સના સંપર્ક તરીકે કાર્ય કરે છે,જેમાંથી દરેકની કેન્દ્રલંબાઈ $f' = 2f$ છે.
તંત્રની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{2f} + \frac{1}{2f} = \frac{2}{2f} = \frac{1}{f}$ છે.
તેથી,$F = f$.

(A) અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ રચાય તે માટે,લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે કિરણો અરીસાના વક્રતા કેન્દ્રમાંથી આવતા હોય તેવું લાગવું જોઈએ.
ધારો કે લેન્સથી વસ્તુનું અંતર $u = -60 \ cm$ છે અને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = +30 \ cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_l}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{-60} = \frac{1}{30}$ મળે.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{60} = \frac{2-1}{60} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$v = +60 \ cm$.
લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુએ $60 \ cm$ અંતરે છે.
લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર $30 \ cm$ છે.
તેથી,લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $60 - 30 = 30 \ cm$ અંતરે છે.
કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય તે માટે,આ બિંદુ અરીસાનું વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ હોવું જોઈએ.
આમ,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 30 \ cm$ છે.

(D) પ્રતિબિંબ વસ્તુ સાથે સંપાત થાય તે માટે,પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ જેથી તેઓ તેમનો માર્ગ પાછો ખેંચીને લેન્સ દ્વારા વસ્તુના સ્થાન પર પાછા ફરે.
આનો અર્થ એ છે કે લેન્સમાંથી બહાર આવતા કિરણો બહિર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ તરફ નિર્દેશિત હોવા જોઈએ.
ધારો કે લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર $d = 5\,cm$ છે.
લેન્સથી વસ્તુનું અંતર $u = -20\,cm$ અને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 15\,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{15} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4-3}{60} = \frac{1}{60}$
તેથી,$v = 60\,cm$.
લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અરીસા માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ,તેથી લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર હોવું જોઈએ.
લેન્સથી વક્રતા કેન્દ્રનું અંતર $v = 60\,cm$ છે.
લેન્સથી અરીસાનું અંતર $5\,cm$ છે.
તેથી,અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ એ અરીસાથી તેના વક્રતા કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે:
$R = v - d = 60\,cm - 5\,cm = 55\,cm$.

(B) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનો પાવર $P_L = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R_1 = 20 \, cm$,$R_2 = -20 \, cm$ અને $\mu = 1.5$ છે:
$P_L = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \times \left( \frac{2}{20} \right) = 0.05 \, cm^{-1} = 5 \, D$.
જ્યારે એક બાજુ પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે,ત્યારે આ તંત્ર અરીસા તરીકે વર્તે છે,જેનો પાવર $P_{eq} = 2P_L + P_m$ છે.
ચાંદીના ઢોળવાળી સપાટી દ્વારા બનતા અરીસાનો પાવર $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{2}{R}$ છે.
પ્રકાશ ચાંદીવાળી સપાટીના અંતર્ગોળ ભાગ પરથી પરાવર્તિત થાય છે,તેથી $R = -20 \, cm$,એટલે કે $P_m = -\frac{2}{-20} = 0.1 \, cm^{-1} = 10 \, D$.
કુલ પાવર $P_{eq} = 2(5) + 10 = 20 \, D$ છે.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq} = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{1}{20} \, m = -5 \, cm$ થાય.

(D) જ્યારે ઇક્વિકોન્વેક્સ લેન્સને મુખ્ય અક્ષની દિશામાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધા ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને પાવર $P$ મૂળ લેન્સ જેટલો જ રહે છે,કારણ કે વક્રીભવનકારક સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ અને $R_2$ બદલાતી નથી.
આકૃતિ $(c)$ માં દર્શાવેલ ગોઠવણીમાં,બે અડધા ભાગોને એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે એક ભાગ બીજાની સાપેક્ષમાં ઉલટો હોય.
જો પ્રથમ અડધો ભાગ $P$ પાવર ધરાવતા અભિસારી લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે,તો બીજો અડધો ભાગ,ઉલટો હોવાને કારણે,સમાન ઓપ્ટિકલ પાથ માટે $-P$ પાવર ધરાવતા અપસારી લેન્સ તરીકે કાર્ય કરશે.
તેથી,સંયોજનનો કુલ પાવર $P_{net} = P_1 + P_2 = P + (-P) = 0$ થશે.

(B) ધારો કે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે અને વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે. સમતલ સપાટીની કેન્દ્રલંબાઈ $\infty$ છે।
ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલા લેન્સ માટે, અસરકારક પાવર $P = 2P_L + P_M$ છે, જ્યાં $P_L$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_M$ એ અરીસાનો પાવર છે।
આકૃતિ $-A$ માં, સમતલ સપાટી પર ઢોળ ચડાવેલ છે। બનેલો અરીસો સમતલ અરીસો $(R_M = \infty)$ છે, તેથી $P_M = 0$. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F_1 = -28 \, cm$ છે (કારણ કે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે)।
$\frac{1}{F_1} = -\frac{2}{f} - 0 \implies \frac{1}{-28} = -\frac{2}{f} \implies f = 56 \, cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R})$.
આકૃતિ $-B$ માં, વક્ર સપાટી પર ઢોળ ચડાવેલ છે। બનેલો અરીસો $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો અંતર્ગોળ અરીસો છે, તેથી $P_M = -\frac{1}{f_M} = -\frac{2}{R}$. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F_2 = -10 \, cm$ છે।
$\frac{1}{F_2} = -\frac{2}{f} - \frac{2}{R} \implies \frac{1}{-10} = -\frac{2}{56} - \frac{2}{R}$.
$\frac{2}{R} = \frac{1}{10} - \frac{1}{28} = \frac{14 - 5}{140} = \frac{9}{140} \implies R = \frac{280}{9} \, cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રમાં $f$ અને $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{56} = (\mu - 1)(\frac{9}{280}) \implies \mu - 1 = \frac{280}{56 \times 9} = \frac{5}{9} \approx 0.555$.
આમ, $\mu = 1.555 \approx 1.55$.

(A) આપેલ છે: લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 15 \, cm$,વસ્તુ અંતર $u = -20 \, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f_l} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4-3}{60} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$v = 60 \, cm$. પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુએ $60 \, cm$ અંતરે રચાય છે.
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ સંપાત થાય તે માટે,કિરણોએ બહિર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો કિરણો બહિર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ તરફ નિર્દેશિત હોય.
લેન્સથી અરીસાનું અંતર $d = 5 \, cm$ છે. અરીસાથી વક્રતા કેન્દ્રનું અંતર $R = 2f_m$ છે.
લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ લેન્સથી $60 \, cm$ અંતરે છે. અરીસો લેન્સથી $5 \, cm$ દૂર હોવાથી,અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $60 - 5 = 55 \, cm$ થાય.
આમ,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 55 \, cm$ છે.
$R = 2f_m$ હોવાથી,બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2} = \frac{55}{2} = 27.5 \, cm$ મળે.

(C) ધારો કે વસ્તુને લેન્સથી $a$ અંતરે રાખવામાં આવે છે. પ્રકાશના કિરણો પહેલા લેન્સમાંથી પસાર થાય છે,પછી અરીસા પરથી પરાવર્તિત થાય છે અને અંતે ફરીથી લેન્સમાંથી પસાર થાય છે.
$1$. લેન્સ દ્વારા પ્રથમ વક્રીભવન:
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -a$:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-a} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a} = \frac{a-f}{af} \implies v_1 = \frac{af}{a-f}$.
$2$. સમતલ અરીસા દ્વારા પરાવર્તન:
લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અરીસો લેન્સ પર હોવાથી,પ્રતિબિંબ $v_1$ અરીસાની પાછળ $v_1$ અંતરે રચાય છે. અરીસો તેની સામે સમાન અંતરે પ્રતિબિંબ રચે છે,તેથી બીજા વક્રીભવન માટે નવી વસ્તુનું અંતર $u_2 = -v_1 = -\frac{af}{a-f}$ છે.
$3$. લેન્સ દ્વારા બીજું વક્રીભવન:
અંતિમ પ્રતિબિંબ $v_2 = -a/3$ પર રચાય છે (સંયોજનની સામે).
ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{-a/3} - \frac{1}{-af/(a-f)} = \frac{1}{f}$
$-\frac{3}{a} + \frac{a-f}{af} = \frac{1}{f}$
$af$ વડે ગુણતા: $-3f + a - f = a$
આમ,સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = f/2$ છે. $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ માં $u = -a$ અને $v = -a/3$ મૂકતા:
$-\frac{3}{a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{f} \implies -\frac{2}{a} = \frac{2}{f} \implies a = f$.

(D) પ્રકાશ ત્રણ ઘટનાઓમાંથી પસાર થાય છે:
$(i)$ લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન.
$(ii)$ અરીસા દ્વારા પરાવર્તન.
$(iii)$ લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન.
$1^{\text{st}}$ લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન:
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -40\, cm$ અને $f = +20\, cm$:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} \Rightarrow v = +40\, cm$.
મોટવણી $m_1 = \frac{v}{u} = \frac{40}{-40} = -1$.
$2^{\text{nd}}$ અરીસા દ્વારા પરાવર્તન:
પ્રતિબિંબ $I_1$ અરીસા માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અરીસાથી $I_1$ નું અંતર $60\, cm - 40\, cm = 20\, cm$ છે. તેથી,$u = -20\, cm$ અને $f = -10\, cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે).
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-20} = -\frac{1}{20} \Rightarrow v = -20\, cm$.
મોટવણી $m_2 = -\frac{v}{u} = -\frac{-20}{-20} = -1$.
$3^{\text{rd}}$ લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન:
પ્રતિબિંબ $I_2$ લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સથી $I_2$ નું અંતર $60\, cm - 20\, cm = 40\, cm$ છે. તેથી,$u = -40\, cm$ અને $f = +20\, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} \Rightarrow v = +40\, cm$.
મોટવણી $m_3 = \frac{v}{u} = \frac{40}{-40} = -1$.
કુલ મોટવણી $m = m_1 \times m_2 \times m_3 = (-1) \times (-1) \times (-1) = -1$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ અભિસારી લેન્સથી $40\, cm$ ના અંતરે રચાય છે,જે મૂળ વસ્તુના સ્થાન પર જ છે અને તેનું કદ વસ્તુ જેવડું જ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ રચાય તે માટે,કિરણોએ તેમના માર્ગ પર પાછા ફરવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે કિરણો સમતલ અરીસા $M$ પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જ્યારે લેન્સ સીધો અરીસા પર હોય,ત્યારે $A$ પરની વસ્તુ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવી જોઈએ. આપેલ છે $OA = f = 18\, cm$.
સપ્રમાણ બહિર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(R_1 = R, R_2 = -R)$:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$
$f = 18\, cm$ હોવાથી,આપણને $R = 18\, cm$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: બહિર્ગોળ લેન્સ અને અરીસાની વચ્ચે પ્રવાહીનો લેન્સ બને છે. આ પ્રવાહી લેન્સ એ સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ છે જેની વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 18\, cm$ અને સપાટ સપાટી માટે $\infty$ છે.
પ્રવાહી લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f_l} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{(\mu_l - 1)}{R}$
બહિર્ગોળ લેન્સ $(f_1 = 18\, cm)$ અને પ્રવાહી લેન્સ $(f_l)$ નું સંયોજન $F = OA' = 27\, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા એક લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સંયોજનના સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_l}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{27} = \frac{1}{18} - \frac{(\mu_l - 1)}{18}$
$\frac{1}{27} = \frac{1 - \mu_l + 1}{18} = \frac{2 - \mu_l}{18}$
$18 = 27(2 - \mu_l)$
$2 = 3(2 - \mu_l)$
$2 = 6 - 3\mu_l$
$3\mu_l = 4$
$\mu_l = \frac{4}{3}$

(A) ચાંદીનો ઢોળ ચઢાવેલા લેન્સ માટે,સમતુલ્ય પાવર $P = 2P_L + P_M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P_L$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_M$ એ અરીસાનો પાવર છે.
લેન્સનો પાવર $P_L = \frac{(\mu - 1)}{R}$ છે. સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ હોવાથી,વક્ર સપાટીની ત્રિજ્યા $R = 20 \, cm$ છે અને સમતલ સપાટી માટે $R = \infty$ છે.
અરીસાનો પાવર $P_M = \frac{1}{f_M} = \frac{1}{R/2} = \frac{2}{R}$ છે.
આમ,$P = 2 \left( \frac{\mu - 1}{R} \right) + \frac{2}{R} = \frac{2\mu - 2 + 2}{R} = \frac{2\mu}{R}$.
સમતુલ્ય તંત્ર અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે,તેથી $P = -\frac{1}{f_{eq}}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{2 \times 1.5}{20} = \frac{3}{20} \, cm^{-1}$.
તેથી,$f_{eq} = -\frac{20}{3} \, cm$.

(D) ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલા લેન્સની સિસ્ટમનો પાવર $P = 2P_L + P_M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_L$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_M$ એ અરીસાનો પાવર છે. કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $\frac{1}{F} = -(\frac{2}{f_L} + \frac{1}{f_M})$ દ્વારા મળે છે.
કિસ્સો $1$: સમતલ સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ છે. લેન્સ $f_L$ કેન્દ્રલંબાઈના લેન્સ તરીકે અને સમતલ અરીસા $(f_M = \infty)$ તરીકે વર્તે છે.
$\frac{1}{f_L} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu - 1}{R}$.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F_1 = -28 \, cm$ (અંતર્ગોળ અરીસો).
$\frac{1}{F_1} = -(\frac{2}{f_L} + 0) = -\frac{2(\mu - 1)}{R} = -\frac{1}{28} \implies \frac{R}{\mu - 1} = 56 \quad \dots(1)$
કિસ્સો $2$: વક્ર સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ છે. લેન્સ $f_L$ કેન્દ્રલંબાઈના લેન્સ તરીકે અને $R$ ત્રિજ્યાના અંતર્ગોળ અરીસા $(f_M = -R/2)$ તરીકે વર્તે છે.
$\frac{1}{F_2} = -(\frac{2}{f_L} + \frac{1}{f_M}) = -(\frac{2(\mu - 1)}{R} - \frac{2}{R}) = -\frac{2(\mu - 2)}{R} = -\frac{1}{10} \implies \frac{R}{\mu - 2} = 20 \quad \dots(2)$
$(1)$ પરથી,$R = 56(\mu - 1)$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{56(\mu - 1)}{\mu - 2} = 20 \implies 56\mu - 56 = 20\mu - 40$
$36\mu = 16 \implies \mu = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.
આમ,$\frac{4}{9}$ વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.