Sharing of Charge in Capacitor Circuit Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 900\,\mu F = 900 \times 10^{-6}\,F$,વોલ્ટેજ $V = 100\,V$.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વીજભાર: $Q = CV = 900 \times 10^{-6} \times 100 = 9 \times 10^{-2}\,C = 90\,mC$.
સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times (900 \times 10^{-6}) \times (100)^2 = 4.5\,J$.
જ્યારે તેને સમાંતરમાં સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વીજભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે. કેપેસિટરો સમાન હોવાથી,દરેક પરનો અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{90\,mC}{900\,\mu F + 900\,\mu F} = 50\,V$ થશે.
સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા: $U_f = 2 \times \left( \frac{1}{2} C V_f^2 \right) = 900 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 900 \times 10^{-6} \times 2500 = 2.25\,J$.
ઉર્જાનો વ્યય: $\Delta U = U_i - U_f = 4.5\,J - 2.25\,J = 2.25\,J$.
આપેલ છે કે $\Delta U = x \times 10^{-2}\,J$,તેથી $2.25 = x \times 10^{-2} \implies x = 225$.

(A) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $Q = CV = 600 \times 10^{-12} \, F \times 200 \, V = 12 \times 10^{-8} \, C$.
સંગ્રહિત પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times 600 \times 10^{-12} \times (200)^2 = 12 \times 10^{-6} \, J = 12 \, \mu J$.
જ્યારે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં છે અને સમાન કેપેસિટન્સ ધરાવે છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર: $Q' = \frac{Q}{2} = 6 \times 10^{-8} \, C$.
તંત્રમાં સંગ્રહિત અંતિમ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા: $U_f = 2 \times \left( \frac{Q'^2}{2C} \right) = \frac{Q'^2}{C} = \frac{(6 \times 10^{-8})^2}{600 \times 10^{-12}} = \frac{36 \times 10^{-16}}{600 \times 10^{-12}} = 6 \times 10^{-6} \, J = 6 \, \mu J$.
આ પ્રક્રિયામાં ગુમાવેલી ઉર્જા: $\Delta U = U_i - U_f = 12 \, \mu J - 6 \, \mu J = 6 \, \mu J$.

(C) પ્રથમ કેપેસીટરની પ્રારંભિક ઊર્જા: $E_1 = \frac{1}{2} C V^2 = E$.
બીજા કેપેસીટરની પ્રારંભિક ઊર્જા: $E_2 = \frac{1}{2} (2C) (2V)^2 = \frac{1}{2} (2C) (4V^2) = 4 C V^2 = 8E$.
કુલ પ્રારંભિક ઊર્જા: $E_i = E_1 + E_2 = E + 8E = 9E$.
કુલ વિદ્યુતભાર: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = CV + (2C)(2V) = CV + 4CV = 5CV$.
કુલ કેપેસીટન્સ: $C_{eq} = C + 2C = 3C$.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ: $V_{common} = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{5CV}{3C} = \frac{5}{3} V$.
અંતિમ ઊર્જા: $E_f = \frac{1}{2} C_{eq} V_{common}^2 = \frac{1}{2} (3C) (\frac{5}{3} V)^2 = \frac{1}{2} (3C) (\frac{25}{9} V^2) = \frac{25}{6} C V^2 = \frac{25}{3} E$.
ઊર્જાનો વ્યય: $\Delta E = E_i - E_f = 9E - \frac{25}{3} E = \frac{27E - 25E}{3} = \frac{2}{3} E$.
$\frac{x}{3} E$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(A) સિસ્ટમની પ્રારંભિક ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}C(2V)^2 = \frac{1}{2}CV^2 + 2CV^2 = \frac{5}{2}CV^2$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V_c = \frac{q_1 + q_2}{C_1 + C_2} = \frac{CV + 2CV}{C + C} = \frac{3CV}{2C} = \frac{3V}{2}$ મળે છે.
સિસ્ટમની અંતિમ ઊર્જા $U_f = \frac{1}{2}(C + C)V_c^2 = C \left(\frac{3V}{2}\right)^2 = C \left(\frac{9V^2}{4}\right) = \frac{9}{4}CV^2$ છે.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_i - U_f = \frac{5}{2}CV^2 - \frac{9}{4}CV^2 = \frac{10}{4}CV^2 - \frac{9}{4}CV^2 = \frac{1}{4}CV^2$ છે.

(D) $2 \ \mu F$ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{-6} \times V^2 = 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ છે.
જ્યારે સ્વિચને સ્થિતિ $2$ પર ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V = 2 \times 10^{-6} V$ એ સમાંતર જોડાણમાં રહેલા $2 \ \mu F$ અને $8 \ \mu F$ કેપેસિટર્સ વચ્ચે વહેંચાય છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 10^{-6} V}{2 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6}} = \frac{2V}{10} = 0.2V$ મળે છે.
તંત્રમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V_f^2 = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-6}) \times (0.2V)^2 = 5 \times 10^{-6} \times 0.04 V^2 = 0.2 \times 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ છે.
વ્યય થયેલી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 10^{-6} V^2 - 0.2 \times 10^{-6} V^2 = 0.8 \times 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ છે.
વ્યય થયેલી ઉર્જાની ટકાવારી $\frac{\Delta U}{U_i} \times 100 = \frac{0.8 \times 10^{-6} V^2}{10^{-6} V^2} \times 100 = 80 \%$ થાય.

(A) $1$. શરૂઆતમાં, $S_1$ બંધ છે। કેપેસીટર $C_1$ તેની ઉપરની પ્લેટ પર $Q_1 = C(2V_0) = 2CV_0$ જેટલો ચાર્જ મેળવે છે। ત્યારબાદ $S_1$ ખોલવામાં આવે છે।
$2$. આગળ, $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે। $C_1$ પરનો $2CV_0$ ચાર્જ $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચે વહેંચાય છે। બંનેનું કેપેસીટન્સ $C$ હોવાથી, બંને વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{2CV_0}{2C} = V_0$ થાય છે। આમ, $C_1$ ની ઉપરની પ્લેટ પરનો ચાર્જ $CV_0$ થાય છે અને $C_2$ ની ઉપરની પ્લેટ પરનો ચાર્જ $CV_0$ થાય છે। ત્યારબાદ $S_2$ ખોલવામાં આવે છે।
$3$. અંતે, $S_3$ બંધ કરવામાં આવે છે। કેપેસીટર $C_2$ ને $V_0$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે, જેમાં પોઝિટિવ ટર્મિનલ નીચેની પ્લેટ સાથે જોડાયેલ છે। આમ, $C_2$ ની ઉપરની પ્લેટનું પોટેન્શિયલ નીચેની પ્લેટની સાપેક્ષમાં $-V_0$ થાય છે। $C_2$ ની ઉપરની પ્લેટ પરનો ચાર્જ $Q_2 = C(-V_0) = -CV_0$ થાય છે। $C_1$ અલગ હોવાથી તેના પરનો ચાર્જ $CV_0$ જ રહે છે।
$4$. તેથી, $C_1$ ની ઉપરની પ્લેટ પરનો ચાર્જ $CV_0$ (વિધાન $B$) છે અને $C_2$ ની ઉપરની પ્લેટ પરનો ચાર્જ $-CV_0$ (વિધાન $D$) છે।

(B) પ્રથમ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વીજભાર,$Q = C_1 V_1 = 100 \ pF \times 60 \ V = 6000 \ pC$.
જ્યારે બીજું કેપેસિટર $C_2$ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વીજભાર $Q$ સંરક્ષિત રહે છે અને બંને કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે.
અંતિમ સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V_f$ નું સૂત્ર $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2}$ છે.
આપેલ છે કે $V_f = 20 \ V$,તેથી $20 = \frac{6000}{100 + C_2}$.
$20(100 + C_2) = 6000$.
$2000 + 20C_2 = 6000$.
$20C_2 = 4000$.
$C_2 = 200 \ pF$.

(D) તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = q + (-2q) = -q$ છે.
જ્યારે બે વાહક ગોળાઓને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે.
ધારો કે અંતિમ વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $Q_1$ અને $Q_2$ છે.
ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $V_1 = V_2$ હોવાથી,$\frac{kQ_1}{R} = \frac{kQ_2}{2R}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{1}{2}$,અથવા $Q_2 = 2Q_1$.
કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$Q_1 + Q_2 = -q$.
$Q_2 = 2Q_1$ મૂકતા,$Q_1 + 2Q_1 = -q$,તેથી $3Q_1 = -q$,જે આપણને $Q_1 = -\frac{q}{3}$ આપે છે.
પ્રથમ ગોળા પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q$ હતો. અંતિમ વિદ્યુતભાર $-\frac{q}{3}$ છે.
પ્રથમ ગોળામાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q_{initial} - q_{final} = q - (-\frac{q}{3}) = \frac{4q}{3}$ છે.

(C) ધારો કે બંને કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_1 = C_2 = C$ છે.
શરૂઆતમાં,$C_1$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2} CV^2$ છે,જ્યાં $V$ એ $C_1$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારિત ન હોય તેવું કેપેસિટર $C_2$ ને $C_1$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q = CV$ બંને કેપેસિટર વચ્ચે વહેંચાય છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V'$ પ્રાપ્ત ન કરે.
સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{CV}{C+C} = \frac{V}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટર $C_2$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા $E_{C_2} = \frac{1}{2} C_2 (V')^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$E_{C_2} = \frac{1}{2} C \left(\frac{V}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} C \frac{V^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} CV^2\right)$.
કારણ કે $E = \frac{1}{2} CV^2$,તેથી આપણને $E_{C_2} = \frac{E}{4}$ મળે છે.

(D) $C_1$ કેપેસિટર પર સંગ્રહિત પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V_1$ છે.
જ્યારે અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર $C_2$ ને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બંને કેપેસિટર પર પુનઃવિતરિત થાય છે.
સમાંતર જોડાણનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ થાય છે.
વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,નવું પોટેન્શિયલ $V_2 = \frac{Q}{C_{eq}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $V_2 = \frac{C_1 V_1}{C_1 + C_2}$ મળે છે.

(D) તંત્રની પ્રારંભિક ઊર્જા,$U_i = \frac{1}{2} CV_1^2 + \frac{1}{2} CV_2^2 = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2)$.
જ્યારે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{CV_1 + CV_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ થાય છે.
તંત્રની અંતિમ ઊર્જા,$U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
ઊર્જામાં ઘટાડો,$\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2) - \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C(V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2) = \frac{1}{4} C(V_1 - V_2)^2$.

(A) તંત્રની પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V_1^2 + \frac{1}{2} C V_2^2$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Q_1 + Q_2 = C V_1 + C V_2$ નું પુનઃવિતરણ થાય છે.
તંત્રનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + C = 2C$ છે.
જોડાણ પછી સામાન્ય સ્થિતિમાન $V = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{C(V_1 + V_2)}{2C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ મળે છે.
તંત્રની અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (2C) V^2 = C \left( \frac{V_1 + V_2}{2} \right)^2 = \frac{C}{4} (V_1 + V_2)^2$ છે.
ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2} C (V_1^2 + V_2^2) - \frac{1}{4} C (V_1 + V_2)^2$ છે.
$\Delta U = \frac{C}{4} [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C (V_1 - V_2)^2$.

(D) જ્યારે બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total}$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોનો સરવાળો છે અને કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસીટન્સનો સરવાળો છે.
આપેલ છે: $C_1 = 100 \mu F$,$V_1 = 20 \text{ V}$,$C_2 = 50 \mu F$,$V_2 = 40 \text{ V}$.
પ્રથમ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર: $Q_1 = C_1 V_1 = 100 \mu F \times 20 \text{ V} = 2000 \mu C$.
બીજા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર: $Q_2 = C_2 V_2 = 50 \mu F \times 40 \text{ V} = 2000 \mu C$.
કુલ વિદ્યુતભાર: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 2000 \mu C + 2000 \mu C = 4000 \mu C$.
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ: $C_{eq} = C_1 + C_2 = 100 \mu F + 50 \mu F = 150 \mu F$.
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ $V = \frac{Q_{total}}{C_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \frac{4000 \mu C}{150 \mu F} = \frac{400}{15} \text{ V} = \frac{80}{3} \text{ V}$.

(D) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટરનું સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2}$
$Q = CV$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$
આપેલ છે:
$C_1 = 2 \mu F, V_1 = 50 \ V$
$C_2 = 3 \mu F, V_2 = 100 \ V$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{(2 \times 10^{-6} \times 50) + (3 \times 10^{-6} \times 100)}{2 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-6}}$
$V = \frac{(100 + 300) \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-6}}$
$V = \frac{400}{5} = 80 \ V$

(C) કેપેસિટરની પ્રારંભિક ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે અને $2C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બીજા અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ નું પુનઃવિતરણ એવી રીતે થાય છે કે જેથી બંને કેપેસિટરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ સમાન રહે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,$V' = \frac{Q_1}{C} = \frac{Q_2}{2C}$.
આનો અર્થ એ છે કે $Q_2 = 2Q_1$.
કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$Q = Q_1 + Q_2 = Q_1 + 2Q_1 = 3Q_1$.
તેથી,$Q_1 = \frac{Q}{3}$ અને $Q_2 = \frac{2Q}{3}$.
પ્રથમ કેપેસિટરની નવી ઉર્જા $U_1 = \frac{Q_1^2}{2C} = \frac{(Q/3)^2}{2C} = \frac{1}{9} \left(\frac{Q^2}{2C}\right) = \frac{1}{9} U$.
બીજા કેપેસિટરની નવી ઉર્જા $U_2 = \frac{Q_2^2}{2(2C)} = \frac{(2Q/3)^2}{4C} = \frac{4Q^2/9}{4C} = \frac{1}{9} \left(\frac{Q^2}{C}\right) = \frac{2}{9} \left(\frac{Q^2}{2C}\right) = \frac{2}{9} U$.
આમ,ઉર્જા અનુક્રમે $\frac{1}{9} U$ અને $\frac{2}{9} U$ છે.

(D) ધારો કે કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q$ છે અને તેની કેપેસિટન્સ $C$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે બેટરીને દૂર કરવામાં આવે છે અને સમાંતરમાં બીજું સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બંને કેપેસિટર્સ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેઓ સમાન છે.
આમ,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = \frac{Q}{2}$ થાય છે.
દરેક કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{(Q')^2}{2C} = \frac{(Q/2)^2}{2C} = \frac{Q^2}{8C} = \frac{1}{4} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = \frac{U}{4}$ છે.
સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા એ બંને કેપેસિટર્સની ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$U_{total} = U' + U' = \frac{U}{4} + \frac{U}{4} = \frac{U}{2}$.

(B) જ્યારે કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં હોય છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે $C_1$ અને $C_2$ સમાંતર છે,તેથી બંને પરનું સ્થિતિમાન $V$ સમાન છે,એટલે કે $V_1 = V_2 = V$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = CV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1 V$ અને $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_2 = C_2 V$ થશે.
$C_1$ પરના વિદ્યુતભાર અને $C_2$ પરના વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \frac{C_1 V}{C_2 V} = \frac{C_1}{C_2}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $Q$ એ પ્રારંભિક ચાર્જ છે અને $C$ એ કેપેસીટન્સ છે.
જ્યારે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને બેટરીથી દૂર કરવામાં આવે છે અને સમાંતરમાં અન્ય બે સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર્સ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ચાર્જ $Q$ ત્રણેય કેપેસિટર્સ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેઓ સમાન છે.
તેથી,દરેક કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q' = \frac{Q}{3}$ થાય છે.
દરેક કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત નવી ઉર્જા $U'$ એ $U' = \frac{(Q')^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણમાં $Q' = \frac{Q}{3}$ મૂકતા:
$U' = \frac{(\frac{Q}{3})^2}{2C} = \frac{Q^2}{9 \times 2C} = \frac{1}{9} \times \frac{Q^2}{2C}$.
કારણ કે $U = \frac{Q^2}{2C}$,તેથી આપણને $U' = \frac{U}{9}$ મળે છે.

(A) જ્યારે બે કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન સ્થિતિમાન $V_c$ પ્રાપ્ત કરે છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q + 0 = Q$ થાય.
કુલ કેપેસિટન્સ $C_{total} = C + 2C = 3C$ થાય.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V_c = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{Q}{3C}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_1 = C \cdot V_c = C \cdot \frac{Q}{3C} = \frac{Q}{3}$ થાય.
બીજા કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_2 = 2C \cdot V_c = 2C \cdot \frac{Q}{3C} = \frac{2Q}{3}$ થાય.
આમ,અંતિમ વિદ્યુતભારો $\frac{Q}{3}$ અને $\frac{2Q}{3}$ છે.

(D) જ્યારે બે કેપેસીટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે ત્યારે ઉર્જામાં થતો ઘટાડો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2$.
આપેલ છે: $C_1 = C_2 = 5 \mu F = 5 \times 10^{-6} \ F$,$V_1 = 2 \ kV = 2000 \ V$,અને $V_2 = 1 \ kV = 1000 \ V$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{(5 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6})}{5 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6}} \times (2000 - 1000)^2$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{25 \times 10^{-12}}{10 \times 10^{-6}} \times (1000)^2$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 10^{-6} \times 10^6$
$\Delta U = 1.25 \ J$.

(C) જ્યારે બે ધાતુના ગોળાઓને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ઊંચા સ્થિતિમાનવાળા ગોળાથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા ગોળા તરફ વહે છે જ્યાં સુધી બંને સમાન સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે.
ધારો કે અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_1'$ અને $q_2'$ છે. સ્થિતિમાન $V$ સમાન હોવાથી,$V_1 = V_2$.
$\frac{k q_1'}{r_1} = \frac{k q_2'}{r_2} \implies \frac{q_1'}{q_2'} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{0.01}{0.02} = \frac{1}{2}$.
કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે: $q_1' + q_2' = 15 \ mC + 45 \ mC = 60 \ mC$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા,$q_1' = \left( \frac{1}{1+2} \right) \times 60 \ mC = \frac{1}{3} \times 60 \ mC = 20 \ mC$.
$20 \ mC = 20 \times 10^{-3} \ C$ હોવાથી,પ્રથમ ગોળા પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $20 \times 10^{-3} \ C$ છે.

(A) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટરનો સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V$ શોધવાનું સૂત્ર: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ છે.
આપેલ છે: $C_1 = 10 \ pF$,$V_1 = 200 \ V$,$C_2 = 20 \ pF$,$V_2 = 100 \ V$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{(10 \times 10^{-12} \times 200) + (20 \times 10^{-12} \times 100)}{10 \times 10^{-12} + 20 \times 10^{-12}}$
$V = \frac{2000 \times 10^{-12} + 2000 \times 10^{-12}}{30 \times 10^{-12}}$
$V = \frac{4000 \times 10^{-12}}{30 \times 10^{-12}} = \frac{400}{3} \approx 133.33 \ V$.
આમ,કેપેસિટરનો સામાન્ય પોટેન્શિયલ $133.33 \ V$ છે.

(A) આપેલ છે:
$C_1 = 10 \mu F = 10^{-5} \text{ F}$
$V_1 = 9 \text{ V}$
કેપેસીટર $C_1$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$q_1 = C_1 V_1 = 10^{-5} \times 9 = 9 \times 10^{-5} \text{ C}$
જ્યારે અનચાર્જ્ડ કેપેસીટર $C_2 = 20 \mu F = 2 \times 10^{-5} \text{ F}$ ને ચાર્જ્ડ કેપેસીટર $C_1$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને કેપેસીટર સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે ત્યાં સુધી $C_1$ માંથી $C_2$ માં વિદ્યુતભાર વહે છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \frac{\text{કુલ વિદ્યુતભાર}}{\text{કુલ કેપેસીટન્સ}} = \frac{q_1}{C_1 + C_2}$
$V = \frac{9 \times 10^{-5}}{10^{-5} + 2 \times 10^{-5}} = \frac{9 \times 10^{-5}}{3 \times 10^{-5}} = 3 \text{ V}$
સંતુલન સ્થિતિમાં કેપેસીટર $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર:
$q_2 = C_2 V = (2 \times 10^{-5} \text{ F}) \times (3 \text{ V}) = 6 \times 10^{-5} \text{ C}$

(C) પ્રથમ કેપેસીટર $C_1 = 20 \mu F$ પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_0 = C_1 V = 20 \mu F \times 24.3 \ V = 486 \mu C$ છે.
જ્યારે $C_1$ ને અનચાર્જ્ડ કેપેસીટર $C_2 = 10 \mu F$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જનું પુનઃવિતરણ થાય છે. સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V'$ એ $V' = \frac{Q_{total}}{C_1 + C_2} = \frac{Q}{C_1 + C_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_1$ પરનો નવો ચાર્જ $Q' = C_1 V' = Q \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right)$ થાય છે.
અહીં,ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_1 + C_2} = \frac{20}{20 + 10} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ છે.
દરેક પ્રક્રિયા પછી,$C_1$ પરનો ચાર્જ $\frac{2}{3}$ ના ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર થાય છે.
$n$ પ્રક્રિયાઓ પછી,ચાર્જ $Q_n = Q_0 \left( \frac{2}{3} \right)^n$ થાય છે.
પાંચમી પ્રક્રિયા માટે,$n = 5$,તેથી $Q_5 = 486 \times \left( \frac{2}{3} \right)^5$.
$Q_5 = 486 \times \frac{32}{243} = 2 \times 32 = 64 \mu C$.

(C) તંત્રની પ્રારંભિક ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2 + \frac{1}{2}CV_2^2 = \frac{1}{2}C(V_1^2 + V_2^2)$ છે.
જ્યારે સમાન પ્લેટોને એકસાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2} = \frac{CV_1 + CV_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ થાય છે.
તંત્રની અંતિમ ઊર્જા $U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$ છે.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2}C(V_1^2 + V_2^2) - \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$ છે.
$\Delta U = \frac{C}{4} [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)] = \frac{C}{4}(V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2) = \frac{C}{4}(V_1 - V_2)^2$.

(A) પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2$
$U_i = \frac{1}{2} \times 500 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 2.5 \ \mu J$
જ્યારે કેપેસિટરોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી સ્થિતિમાન સમાન ન થાય.
સમાન સ્થિતિમાન $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{500 \times 10^{-12} \times 100 + 0}{500 \times 10^{-12} + 500 \times 10^{-12}} = 50 \ V$
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2$
$U_f = \frac{1}{2} \times (1000 \times 10^{-12}) \times (50)^2 = 1.25 \ \mu J$
ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 2.5 \ \mu J - 1.25 \ \mu J = 1.25 \ \mu J$

(C) $1$. $2 \mu F$ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V_1 = 2 \mu F \times 60 \ V = 120 \mu C$ છે.
$2$. જ્યારે બેટરીને દૂર કરવામાં આવે છે અને કેપેસિટરને $1 \mu F$ ના અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ સંરક્ષિત રહે છે અને બંને કેપેસિટર વચ્ચે વહેંચાય છે.
$3$. સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 1 \mu F = 3 \mu F$ થાય છે.
$4$. કેપેસિટર પરનો સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{120 \mu C}{3 \mu F} = 40 \ V$ મળે છે.
$5$. કેપેસિટર સમાંતર હોવાથી,$2 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ $40 \ V$ રહેશે.

(A) શરૂઆતમાં,જ્યારે $C_1$ ને $9 \ V$ ની બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પરનો વિદ્યુતભાર $q_0 = C_1 V = 1 \ \mu F \times 9 \ V = 9 \ \mu C$ થાય છે.
જ્યારે $C_1$ ને $C_2$ અને $C_3$ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $q_0$ ત્રણેય કેપેસીટર વચ્ચે એવી રીતે વહેંચાય છે કે જેથી તેઓ સમાન સ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ ધરાવે.
વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$q_1 + q_2 + q_3 = q_0 = 9 \ \mu C$.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,$V' = \frac{q_1}{C_1} = \frac{q_2}{C_2} = \frac{q_3}{C_3}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{q_1}{1} = \frac{q_2}{2} = \frac{q_3}{3} = V'$.
આમ,$q_1 = V'$,$q_2 = 2V'$,અને $q_3 = 3V'$.
આને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $V' + 2V' + 3V' = 9 \ \mu C$.
$6V' = 9 \ \mu C \Rightarrow V' = 1.5 \ V$.
$C_3$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_3 = C_3 V' = 3 \ \mu F \times 1.5 \ V = 4.5 \ \mu C = 4.5 \times 10^{-6} \ C$ થાય.

(A) સિસ્ટમની પ્રારંભિક ઊર્જા, $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 J$.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V'$ નીચે મુજબ મળે છે: $V' = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 5 + 30 \times 0}{20 + 30} = \frac{100}{50} = 2 V$.
સિસ્ટમની અંતિમ ઊર્જા, $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (20 + 30) \times 2^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 4 = 100 J$.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો, $\Delta U = U_i - U_f = 250 - 100 = 150 J$.

(B) શરૂઆતનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = 80 \mu\text{C}$ અને $Q_2 = 40 \mu\text{C}$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 4 \text{ cm}$ અને $r_2 = 6 \text{ cm}$ છે.
જ્યારે તેમને તાર વડે જોડવામાં આવે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી બંને ગોળાઓ સમાન સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે.
ગોળા $A$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_1^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Q_1^{\prime} = \left( \frac{r_1}{r_1 + r_2} \right) (Q_1 + Q_2) = \left( \frac{4}{4 + 6} \right) (80 + 40) = \left( \frac{4}{10} \right) (120) = 48 \mu\text{C}$.
ગોળા $A$ માંથી ગોળા $B$ માં વહેતો વિદ્યુતભાર:
$\Delta Q = Q_1 - Q_1^{\prime} = 80 \mu\text{C} - 48 \mu\text{C} = 32 \mu\text{C}$.
પરિણામ ધન હોવાથી,વિદ્યુતભાર $A$ થી $B$ તરફ વહે છે.

(D) પ્રથમ કેપેસિટરની પ્રારંભિક ઉર્જા,$U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.05 J$.
જ્યારે તેને અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{10 \times 100 + 30 \times 0}{10 + 30} = 25 V$ મળે છે.
તંત્રની અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-6}) \times (25)^2 = 0.0125 J$ છે.
ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 0.05 - 0.0125 = 0.0375 J = 3.75 \times 10^{-2} J$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: $C_1=5 \mu F$,$C_2=C_3=10 \mu F$ અને $\varepsilon=20 \text{ V}$.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ને બિંદુ $A$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C_1$ એ $\varepsilon=20 \text{ V}$ ની બેટરી દ્વારા ચાર્જ થાય છે.
$C_1$ માં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર:
$Q = C_1 \varepsilon = 5 \mu F \times 20 \text{ V} = 100 \mu C$.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ને બિંદુ $B$ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટર $C_1$ ને અનચાર્જ કેપેસિટર્સ $C_2$ અને $C_3$ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે.
તેઓ સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ ત્રણેય કેપેસિટર્સ વચ્ચે સમાન સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી વહેંચાય છે.
કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે:
$Q = (C_1 + C_2 + C_3) V$
$100 \mu C = (5 \mu F + 10 \mu F + 10 \mu F) V$
$100 \mu C = 25 \mu F \times V$
$V = \frac{100}{25} \text{ V} = 4 \text{ V}$.
કેપેસિટર $C_3$ પરનો વિદ્યુતભાર:
$q_3 = C_3 V = 10 \mu F \times 4 \text{ V} = 40 \mu C$.

(A) આપેલ છે: $C_1 = 4 \, \mu F$, $V_1 = 80 \, V$, $C_2 = 6 \, \mu F$, $V_2 = 30 \, V$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_{i} = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (80)^2 = 12.8 \, mJ$.
તંત્રની કુલ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} \times 10^{-6} \times (50)^2 = 3.0 \, mJ$.
$4 \, \mu F$ કેપેસિટર દ્વારા ગુમાવેલી ઉર્જા $= 12.8 \, mJ - 3.0 \, mJ = 9.8 \, mJ$.

(A) પ્રથમ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times (220)^2 = 5 \times 10^{-6} \times 48400 = 0.242 \text{ J} = 242 \text{ mJ}$.
જ્યારે તેને બીજા કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જ $Q = C_1 V = 10 \times 10^{-6} \times 220 = 2.2 \times 10^{-3} \text{ C}$ નું પુનઃવિતરણ થાય છે.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V'$ આ મુજબ મળે: $V' = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{2.2 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6} + 12 \times 10^{-6}} = \frac{2.2 \times 10^{-3}}{22 \times 10^{-6}} = 100 \text{ V}$.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા: $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 11 \times 10^{-6} \times 10000 = 0.11 \text{ J} = 110 \text{ mJ}$.
ઉર્જાનો વ્યય: $\Delta U = U_i - U_f = 242 \text{ mJ} - 110 \text{ mJ} = 132 \text{ mJ}$.

(B) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $q = C_1 V_1 = 4 \times 10^{-6} \times 200 = 800 \times 10^{-6} \ C$.
પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (200)^2 = 8 \times 10^{-2} \ J$.
જ્યારે તેને અનચાર્જ્ડ $2 \mu F$ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ આ મુજબ મળે: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{800 \times 10^{-6} + 0}{4 \times 10^{-6} + 2 \times 10^{-6}} = \frac{800}{6} \ V$.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા: $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (\frac{800}{6})^2 = 3 \times 10^{-6} \times \frac{640000}{36} = \frac{64}{12} \times 10^{-2} \approx 5.33 \times 10^{-2} \ J$.
ઉર્જામાં વ્યય: $\Delta U = U_i - U_f = 8 \times 10^{-2} - 5.33 \times 10^{-2} = 2.67 \times 10^{-2} \ J$.

(D) $1$. શરૂઆતમાં,કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = \frac{C \cdot 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ છે.
$2$. જ્યારે સંપૂર્ણ ચાર્જ થાય ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = C_{eq}E = \frac{2CE}{3}$ છે.
$3$. જ્યારે સેલ દૂર કરવામાં આવે છે અને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતાની પ્લેટો જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ચાર્જ $Q_{net} = Q_B - Q_A = \frac{2CE}{3} - \frac{2CE}{3} = 0$ થાય છે. કુલ ચાર્જ શૂન્ય હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો અંતિમ ચાર્જ શૂન્ય હશે.
$4$. વિધાન $(a)$ અને $(b)$ ખોટા છે કારણ કે અંતિમ ચાર્જ શૂન્ય છે.
$5$. પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_{eq} E^2 = \frac{1}{2} (\frac{2C}{3}) E^2 = \frac{CE^2}{3}$ છે.
$6$. અંતિમ ઉર્જા $U_f = 0$ (કારણ કે $Q=0$ છે).
$7$. ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - U_f = \frac{CE^2}{3}$ છે. આમ,વિધાન $(c)$ સાચું છે.

(B) સિસ્ટમની પ્રારંભિક ઊર્જા,$U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 \text{ J}$.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V'$ નીચે મુજબ મળે: $V' = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 5 + 30 \times 0}{20 + 30} = \frac{100}{50} = 2 \text{ V}$.
સિસ્ટમની અંતિમ ઊર્જા,$U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (20 + 30) \times 2^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 4 = 100 \text{ J}$.
ઊર્જામાં ઘટાડો,$\Delta U = U_i - U_f = 250 \text{ J} - 100 \text{ J} = 150 \text{ J}$.

(A) શરૂઆતમાં,પ્રથમ કેપેસીટર $C_1 = 4 \mu F$ ને $V = 6 \ V$ સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V = 4 \mu F \times 6 \ V = 24 \mu C$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને બીજું કેપેસીટર $C_2 = 8 \mu F$ (જે શરૂઆતમાં અનચાર્જ્ડ છે) ને પ્રથમ કેપેસીટર સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 24 \mu C$ બંને વચ્ચે પુનઃવિતરિત થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં,બંને કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ સમાન હોય છે.
કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 4 \mu F + 8 \mu F = 12 \mu F$ થાય છે.
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{24 \mu C}{12 \mu F} = 2 \ V$ મળે છે.

(A) જ્યારે બે વાહક ગોળાઓને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી તેમના વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન ન થાય. ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ પરના અંતિમ વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે.
વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $q_1 + q_2 = 10$.
સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી: $\frac{k q_1}{r_1} = \frac{k q_2}{r_2} \Rightarrow \frac{q_1}{3} = \frac{q_2}{2} \Rightarrow q_1 = 1.5 q_2$.
આ કિંમતને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $1.5 q_2 + q_2 = 10 \Rightarrow 2.5 q_2 = 10 \Rightarrow q_2 = 4 \text{ units}$.
તેથી,$q_1 = 6 \text{ units}$.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V$,જે $S_1$ ના કેન્દ્રથી $d_1 = 4 \text{ cm}$ અને $S_2$ ના કેન્દ્રથી $d_2 = 3 \text{ cm}$ દૂર છે,તે બંને ગોળાઓને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{k q_1}{d_1} + \frac{k q_2}{d_2} = k \left( \frac{6}{4} + \frac{4}{3} \right) = k \left( \frac{3}{2} + \frac{4}{3} \right) = k \left( \frac{9 + 8}{6} \right) = k \frac{17}{6}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{17}{6}$ મળે છે.

(D) શરૂઆતમાં,$C_{0}$ કેપેસિટર $V_{0}$ પોટેન્શિયલ સુધી ચાર્જ થયેલું છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{0}V_{0}$ છે.
જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર $C_{0}$ અને $C$ સમાંતર જોડાણમાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ હવે બંને કેપેસિટર પર વહેંચાઈ જાય છે અને તેઓ સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V$ પ્રાપ્ત કરે છે.
વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે:
$Q = (C_{0} + C)V$
$Q = C_{0}V_{0}$ મૂકતા:
$C_{0}V_{0} = (C_{0} + C)V$
$C_{0}V_{0} = C_{0}V + CV$
$CV = C_{0}V_{0} - C_{0}V$
$CV = C_{0}(V_{0} - V)$
$C = \frac{C_{0}(V_{0} - V)}{V}$

(D) કેપેસિટર $P$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V_1 = (10 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (6.0 \text{ V}) = 60 \times 10^{-6} \text{ C} = 6 \times 10^{-5} \text{ C}$ છે.
જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ છે.
અહીં $C_1 = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$,$V_1 = 6.0 \text{ V}$,$C_2 = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$,અને $V_2 = 0 \text{ V}$ છે.
$V = \frac{(10 \times 10^{-6} \times 6) + (20 \times 10^{-6} \times 0)}{10 \times 10^{-6} + 20 \times 10^{-6}} = \frac{60 \times 10^{-6}}{30 \times 10^{-6}} = 2 \text{ V}$.
સંતુલન સમયે કેપેસિટર $Q$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 V = (20 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (2 \text{ V}) = 40 \times 10^{-6} \text{ C} = 4 \times 10^{-5} \text{ C}$ છે.
આને $\alpha \times 10^{-5} \text{ C}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4$ મળે છે.

(B) પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 0.5 \times 10^{-6} \text{ J}$.
સંપર્ક પછી,ગોળાઓ સમાન હોવાથી $(C_1 = C_2 = 100 \text{ pF})$ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V' = \frac{C_1 V + C_2(0)}{C_1 + C_2} = \frac{V}{2} = 50 \text{ V}$.
કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 200 \text{ pF}$.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} C_{eq} (V')^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-12} \times (50)^2 = 0.25 \times 10^{-6} \text{ J}$.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - U_f = 0.5 \times 10^{-6} - 0.25 \times 10^{-6} = 0.25 \times 10^{-6} \text{ J} = 2.5 \times 10^{-7} \text{ J}$.
$\alpha \times 10^{-7} \text{ J}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2.5 = \frac{5}{2}$ મળે છે.

(C) પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2$.
અહીં $C = 200 \text{ pF} = 200 \times 10^{-12} \text{ F}$ અને $V = 100 \text{ V}$ આપેલ છે.
$U_i = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 100 \times 10^{-12} \times 10^4 = 10^{-6} \text{ J}$.
જ્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને સમાન વિદ્યુતભારિત ન હોય તેવા કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી સ્થિતિમાન સમાન ન થાય.
સમાન સ્થિતિમાન $V' = \frac{CV + 0}{C+C} = \frac{V}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ V}$.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C+C) (V')^2 = C (\frac{V}{2})^2 = \frac{1}{4} CV^2 = \frac{U_i}{2}$.
$U_f = \frac{10^{-6}}{2} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ J}$.
ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 10^{-6} - 0.5 \times 10^{-6} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ J}$ થાય.