Sharing of Charge in Capacitor Circuit Questions in Gujarati

(B) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ છે.
શરૂઆતમાં,કેપેસીટર $100 \ V$ ની બેટરી દ્વારા ચાર્જ થાય છે. કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV = 900 \times 10^{-12} \ F \times 100 \ V = 9 \times 10^{-8} \ C$ છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = 4.5 \times 10^{-6} \ J$ છે.
જ્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસીટરને સમાંતર જોડાણમાં બીજા સમાન $900 \ pF$ ના અનચાર્જ્ડ કેપેસીટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ તેમની વચ્ચે પુનઃવિતરિત થાય છે.
તંત્રનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C' = C + C = 2C = 1800 \ pF$ થાય છે.
વિદ્યુતભાર $Q$ નું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,તંત્રની અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C'} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2} U_i$ થશે.
તેથી,$U_f = \frac{4.5 \times 10^{-6} \ J}{2} = 2.25 \times 10^{-6} \ J$.

(C) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_1 = 0.2 \, \mu F$ અને પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_1 = 600 \, V$ છે.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V_1 = 0.2 \, \mu F \times 600 \, V = 120 \, \mu C$ થાય.
જ્યારે આ કેપેસિટરને $1.0 \, \mu F$ ના વિદ્યુતભારરહિત કેપેસિટર $C_2$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 0.2 \, \mu F + 1.0 \, \mu F = 1.2 \, \mu F$ થાય.
અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f$ નું સૂત્ર $V_f = \frac{Q}{C_{eq}}$ છે.
તેથી,$V_f = \frac{120 \, \mu C}{1.2 \, \mu F} = 100 \, V$.

(D) કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Q_1 + Q_2 = 80 \ \mu C + 40 \ \mu C = 120 \ \mu C$.
જ્યારે તેમને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને ગોળાઓ સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત કરે છે.
$r_1 = 4 \ cm$ અને $r_2 = 6 \ cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાઓ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_1'$ અને $Q_2'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Q_1' = Q \left( \frac{r_1}{r_1 + r_2} \right) = 120 \left( \frac{4}{4 + 6} \right) = 120 \times 0.4 = 48 \ \mu C$.
$4 \ cm$ ત્રિજ્યાવાળા ગોળા પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $80 \ \mu C$ હતો.
તેથી,$4 \ cm$ ના ગોળા પરથી $6 \ cm$ ના ગોળા પર વહન પામતો વિદ્યુતભાર $\Delta Q = Q_1 - Q_1' = 80 \ \mu C - 48 \ \mu C = 32 \ \mu C$ થાય.

(C) આપેલ છે: $C_1 = 2\ \mu F = 2 \times 10^{-6}\ F$, $V_1 = 300\ V$, $C_2 = 3\ \mu F = 3 \times 10^{-6}\ F$, $V_2 = 500\ V$.
બે કેપેસિટરને સમાંતરમાં જોડતી વખતે ગુમાવેલી ઊર્જાનું સૂત્ર:
$\Delta U = \frac{C_1 C_2}{2(C_1 + C_2)} (V_1 - V_2)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{(2 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^{-6})}{2(2 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-6})} (300 - 500)^2$
$\Delta U = \frac{6 \times 10^{-12}}{10 \times 10^{-6}} (40000) = 0.024\ J$.

(B) જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે અને સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$V = \frac{C_1V_1 + C_2V_2}{C_1 + C_2}$
આપેલ છે:
$C_1 = 20\,\mu F, V_1 = 500\,V$
$C_2 = 10\,\mu F, V_2 = 200\,V$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{(20 \times 500) + (10 \times 200)}{20 + 10}$
$V = \frac{10000 + 2000}{30}$
$V = \frac{12000}{30} = 400\,V$
આમ,સામાન્ય સ્થિતિમાન $400\,V$ છે.

(B) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$Q_1 = C_1 V = 1\,\mu F \times 1200\,V = 1200\,\mu C$
$Q_2 = C_2 V = 2\,\mu F \times 1200\,V = 2400\,\mu C$
જ્યારે વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે પુનઃવિતરણ માટે ઉપલબ્ધ કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |2400 - 1200| = 1200\,\mu C$ થાય.
પુનઃવિતરણ પછી સામાન્ય સ્થિતિમાન $V'$ નીચે મુજબ મળે:
$V' = \frac{Q_{net}}{C_1 + C_2} = \frac{1200\,\mu C}{1\,\mu F + 2\,\mu F} = \frac{1200}{3} = 400\,V$.
કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર:
$Q_1' = C_1 V' = 1\,\mu F \times 400\,V = 400\,\mu C$
$Q_2' = C_2 V' = 2\,\mu F \times 400\,V = 800\,\mu C$.

(C) જ્યારે બે ધાતુના ગોળાઓને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી બંને ગોળાઓ સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = q_1 + q_2 = -1 \times 10^{-2} + 5 \times 10^{-2} = 4 \times 10^{-2} \, C$.
કુલ કેપેસિટન્સ $C_{total} = C_1 + C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1 + 4 \pi \varepsilon_0 R_2 = 4 \pi \varepsilon_0 (R_1 + R_2)$.
સમાન સ્થિતિમાન $V = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{4 \times 10^{-2}}{4 \pi \varepsilon_0 (1 \times 10^{-2} + 3 \times 10^{-2})} = \frac{4 \times 10^{-2}}{4 \pi \varepsilon_0 (4 \times 10^{-2})} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$.
મોટા ગોળા $(R_2 = 3 \, cm)$ પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_2' = C_2 V = (4 \pi \varepsilon_0 R_2) \times V$.
$q_2' = (4 \pi \varepsilon_0 \times 3 \times 10^{-2}) \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 3 \times 10^{-2} \, C$.

(C) શરૂઆતમાં,$2\,\mu F$ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા:
$U_{i} = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} (2 \times 10^{-6}) V^{2} = V^{2} \times 10^{-6} \, J$
શરૂઆતમાં,$2\,\mu F$ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર:
$Q_{i} = C V = (2 \times 10^{-6}) V = 2V \times 10^{-6} \, C$
જ્યારે સ્વિચ $S$ ને સ્થિતિ $2$ પર ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર વહે છે અને બંને કેપેસિટર સમાન સ્થિતિમાન $V_{c}$ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભાર વહેંચે છે.
$V_{c} = \frac{\text{કુલ વિદ્યુતભાર}}{\text{કુલ કેપેસિટન્સ}} = \frac{2V \times 10^{-6}}{(2 + 8) \times 10^{-6}} = \frac{V}{5} \, V$
અંતે,બંને કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા:
$U_{f} = \frac{1}{2} (C_{1} + C_{2}) V_{c}^{2} = \frac{1}{2} (10 \times 10^{-6}) \left(\frac{V}{5}\right)^{2} = 5 \times 10^{-6} \times \frac{V^{2}}{25} = \frac{V^{2}}{5} \times 10^{-6} \, J$
ઉર્જાનો ટકાવારી વ્યય:
$\Delta U \% = \frac{U_{i} - U_{f}}{U_{i}} \times 100 \%$
$\Delta U \% = \frac{V^{2} \times 10^{-6} - \frac{V^{2}}{5} \times 10^{-6}}{V^{2} \times 10^{-6}} \times 100 \% = \left(1 - \frac{1}{5}\right) \times 100 \% = \frac{4}{5} \times 100 \% = 80 \%$

(B) ધારો કે પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C$ છે અને બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q = CV$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતું બીજું સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $q$ બંને કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે. કેપેસિટરો સમાન હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q' = q/2 = CV/2$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણ પરનો સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c = \frac{q}{C_{eq}} = \frac{CV}{C + C} = \frac{V}{2}$ છે.
તંત્રની અંતિમ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા એ બંને કેપેસિટરોમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$U_f = \frac{1}{2} C V_c^2 + \frac{1}{2} C V_c^2 = C V_c^2$.
$V_c = V/2$ મૂકતા:
$U_f = C \left(\frac{V}{2}\right)^2 = C \left(\frac{V^2}{4}\right) = \frac{1}{4} CV^2$.
અંતિમ ઉર્જાની પ્રારંભિક ઉર્જા સાથે સરખામણી કરતા:
$U_f = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} CV^2\right) = \frac{1}{2} U_i$.
આમ,પરિણામી તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $2$ ના ગુણાંકમાં ઘટે છે.

(A) જ્યારે પદાર્થ $1$ (વિદ્યુતભાર $Q$,કેપેસિટન્સ $C$) ને પદાર્થ $2$ (વિદ્યુતભાર $0$,કેપેસિટન્સ $2C$) સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ તેમની કેપેસિટન્સના ગુણોત્તરમાં વહેંચાય છે. પદાર્થ $1$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_1' = Q \times \frac{C}{C + 2C} = \frac{Q}{3}$ થાય છે.
પદાર્થ $2$ ને પદાર્થ $3$ (કેપેસિટન્સ $C_3 \rightarrow \infty$) સાથે સ્પર્શ કરાવ્યા પછી,પદાર્થ $2$ વિદ્યુતભાર રહિત થઈ જાય છે કારણ કે તેનો તમામ વિદ્યુતભાર પદાર્થ $3$ ના અનંત સંગ્રહસ્થાનમાં વહી જાય છે.
આમ,એક સંપૂર્ણ પ્રક્રિયા પછી,પદાર્થ $1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = \frac{Q}{3}$ થાય છે.
બીજી પ્રક્રિયા પછી,પદાર્થ $1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = \frac{Q_1}{3} = \frac{Q}{3^2}$ થાય છે.
આ પ્રક્રિયા $N$ વખત પુનરાવર્તિત કરતા,$N$ પ્રક્રિયાઓ પછી પદાર્થ $1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_N = \frac{Q}{3^N}$ હશે.

(B) કેપેસિટરો પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$q_1 = C \times V = CV$
$q_2 = 2C \times 2V = 4CV$
જ્યારે વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે તંત્ર પરનો કુલ વિદ્યુતભાર:
$Q_{net} = |q_2 - q_1| = |4CV - CV| = 3CV$
સમાંતર જોડાણમાં કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_{eq} = C + 2C = 3C$
જોડાણ પરનું સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V'$:
$V' = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$
આ ગોઠવણીમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} (V')^2 = \frac{1}{2} (3C) (V)^2 = \frac{3}{2} CV^2$

(B) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$Q_1 = C_1 V_1 = 2 \mu F \times 10 \ V = 20 \mu C$
$Q_2 = C_2 V_2 = 4 \mu F \times 20 \ V = 80 \mu C$
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા:
$U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 + \frac{1}{2} C_2 V_2^2 = \frac{1}{2} (2 \times 10^{-6}) (10)^2 + \frac{1}{2} (4 \times 10^{-6}) (20)^2 = 100 \mu J + 800 \mu J = 900 \mu J$
પ્લેટો વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલી હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર:
$Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |80 \mu C - 20 \mu C| = 60 \mu C$
જોડાણ પછીનું સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$:
$V = \frac{Q_{net}}{C_1 + C_2} = \frac{60 \mu C}{2 \mu F + 4 \mu F} = \frac{60}{6} V = 10 \ V$
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા:
$U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} (6 \mu F) (10 \ V)^2 = 300 \mu J$
પરિપથમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ ઉર્જાનો વ્યય છે:
$H = U_i - U_f = 900 \mu J - 300 \mu J = 600 \mu J$

(C) જ્યારે બે કેપેસિટરને એવી રીતે જોડવામાં આવે કે તેમની વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા ધરાવતી પ્લેટો એકબીજા સાથે જોડાય,ત્યારે અંતિમ પોટેન્શિયલ શૂન્ય થવા માટે જોડાયેલી પ્લેટો પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1 V_1 = 120 C_1$ અને $q_2 = C_2 V_2 = 200 C_2$ છે.
અંતિમ પોટેન્શિયલ શૂન્ય થવા માટે,ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતભારના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$120 C_1 = 200 C_2$
બંને બાજુ $40$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$3 C_1 = 5 C_2$

(A) શરૂઆતમાં,$AB$ ની આજુબાજુ જોડાયેલ કેપેસિટર $C$ એ $Q$ જેટલો ચાર્જ ધરાવે છે. સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે સ્વીચને $2$ નંબરની સ્થિતિ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ એ અન્ય બે કેપેસિટર (દરેકનું કેપેસિટન્સ $C$) સાથે સમાંતર જોડાણમાં આવે છે. પરિપથનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C + C = 3C$ થાય છે.
હવે $Q$ જેટલો ચાર્જ આ ત્રણ કેપેસિટર વચ્ચે પુનઃવિતરિત થાય છે. તેઓ સમાંતર હોવાથી,દરેકની આજુબાજુનો અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન રહે છે. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C_{eq}} = \frac{Q^2}{2(3C)} = \frac{Q^2}{6C}$ છે.
મુક્ત થતી ઉષ્મા એ પ્રારંભિક અને અંતિમ ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $\text{Heat} = U_i - U_f = \frac{Q^2}{2C} - \frac{Q^2}{6C} = \frac{3Q^2 - Q^2}{6C} = \frac{2Q^2}{6C} = \frac{Q^2}{3C}$.

(B) વાહકનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ સૂત્ર $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $C$ એ કેપેસીટન્સ છે.
વાહક $A$ માટે:
$V_A = \frac{Q_A}{C_A} = \frac{30 \, \mu\text{C}}{10 \, \mu\text{F}} = 3 \, \text{V}$
વાહક $B$ માટે:
$V_B = \frac{Q_B}{C_B} = \frac{20 \, \mu\text{C}}{5 \, \mu\text{F}} = 4 \, \text{V}$
કારણ કે ધન વિદ્યુતભાર હંમેશા ઊંચા સ્થિતિમાન ધરાવતા પદાર્થથી નીચા સ્થિતિમાન ધરાવતા પદાર્થ તરફ વહે છે,અને અહીં $V_B > V_A$ $(4 \, \text{V} > 3 \, \text{V})$ હોવાથી,ધન વિદ્યુતભાર $B$ થી $A$ તરફ વહેશે.

(C) જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતરમાં એવી રીતે જોડવામાં આવે કે તેમની સમાન રીતે ચાર્જ થયેલી પ્લેટો એકસાથે જોડાય,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે અને કેપેસિટર સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V$ પ્રાપ્ત કરે છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = C_1 V_1 + C_2 V_2$.
કુલ કેપેસિટન્સ $C_{total} = C_1 + C_2$.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$
અહીં $C_1 = 20 \, \mu F$,$V_1 = 30 \, V$,$C_2 = 30 \, \mu F$,$V_2 = 20 \, V$ આપેલ છે.
$V = \frac{(20 \times 30) + (30 \times 20)}{20 + 30} \, V$
$V = \frac{600 + 600}{50} \, V$
$V = \frac{1200}{50} \, V = 24 \, V$.

(B) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$Q_1 = C_1 V_1 = 2\,\mu F \times 10\,V = 20\,\mu C$
$Q_2 = C_2 V_2 = 4\,\mu F \times 20\,V = 80\,\mu C$
જ્યારે એકની પોઝિટિવ પ્લેટ બીજાની નેગેટિવ પ્લેટ સાથે જોડાય છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |80 - 20| = 60\,\mu C$ થાય.
જોડાણ પછીનું સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{Q_{net}}{C_1 + C_2} = \frac{60\,\mu C}{2\,\mu F + 4\,\mu F} = \frac{60}{6} = 10\,V$ મળે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 + \frac{1}{2} C_2 V_2^2 = \frac{1}{2}(2)(10)^2 + \frac{1}{2}(4)(20)^2 = 100 + 800 = 900\,\mu J$.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2}(2 + 4)(10)^2 = \frac{1}{2}(6)(100) = 300\,\mu J$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = U_i - U_f = 900\,\mu J - 300\,\mu J = 600\,\mu J$.

(B) પ્રથમ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C \times V = CV$ છે.
બીજા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = 2C \times 2V = 4CV$ છે.
તેમને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડવામાં આવ્યા હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |4CV - CV| = 3CV$ છે.
કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 2C = 3C$ છે.
સમાંતર જોડાણ પછી,સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$ છે.
ગોઠવણીની અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} C_{eq} (V')^2 = \frac{1}{2} (3C) V^2 = \frac{3}{2} CV^2$ છે.

(C) કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરને શરૂઆતમાં $V_0$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV_0$ છે.
જ્યારે આ કેપેસિટરને $C_x$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ સંરક્ષિત રહે છે અને બંને કેપેસિટર વચ્ચે વહેંચાય છે.
તેઓ સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ પ્રાપ્ત કરશે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = (C + C_x)V$ રહે છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વિદ્યુતભારને સરખાવતા: $CV_0 = (C + C_x)V$.
$C_x$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $C + C_x = \frac{CV_0}{V}$.
તેથી,$C_x = C\left( \frac{V_0}{V} - 1 \right)$.

(B) જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે બે કેપેસિટર $C$ (જેને $A$ અને $B$ તરીકે દર્શાવેલ છે) બેટરી $E$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ છે.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવેલ પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_{eq}E = \frac{CE}{2}$ છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $B$ શોર્ટ-સર્કિટ થઈ જાય છે. માત્ર કેપેસિટર $A$ જ બેટરી $E$ સાથે જોડાયેલ રહે છે.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવેલ અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_2 = CE$ છે.
બેટરીમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર એ વિદ્યુતભારમાં થયેલો ફેરફાર છે: $\Delta Q = Q_2 - Q_1 = CE - \frac{CE}{2} = \frac{CE}{2}$.

(D) વાહક ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બે ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે.
તંત્રની પ્રારંભિક ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2} \frac{Q_1^2}{C_1} + \frac{1}{2} \frac{Q_2^2}{C_2}$ છે,જ્યાં $C_1 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1$ અને $C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 R_2$.
તંત્રની અંતિમ ઊર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2$ છે,જ્યાં $V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2}$.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_i - U_f = \frac{C_1 C_2}{2(C_1 + C_2)} (V_1 - V_2)^2$ છે.
કારણ કે $(V_1 - V_2)^2$ હંમેશા ધન હોય છે,તેથી જો $V_1 \neq V_2$ હોય તો $\Delta U > 0$ થાય.
$V_1 = V_2$ નો અર્થ છે $\frac{Q_1}{R_1} = \frac{Q_2}{R_2}$,જેનો અર્થ થાય છે $Q_1 R_2 = Q_2 R_1$.
તેથી,જો $Q_1 R_2 \neq Q_2 R_1$ હોય,તો તંત્રની ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.

(C) જ્યારે $C_1$ અને $C_2$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા બે કેપેસીટરોને $V_1$ અને $V_2$ સ્થિતિમાન પર જોડીએ ત્યારે ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2 (V_1 - V_2)^2}{C_1 + C_2}$
આપેલ છે: $C_1 = 3\,\mu F = 3 \times 10^{-6}\,F$,$V_1 = 300\,V$,$C_2 = 5\,\mu F = 5 \times 10^{-6}\,F$,$V_2 = 500\,V$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{(3 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6}) \times (500 - 300)^2}{(3 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6})}$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{15 \times 10^{-12} \times (200)^2}{8 \times 10^{-6}}$
$\Delta U = \frac{15 \times 10^{-12} \times 40000}{16 \times 10^{-6}}$
$\Delta U = \frac{600000 \times 10^{-12}}{16 \times 10^{-6}}$
$\Delta U = \frac{6 \times 10^5 \times 10^{-12}}{16 \times 10^{-6}} = \frac{6}{16} \times 10^{-1} = 0.375 \times 10^{-1} = 0.0375\,J$.

(C) વીજભાર હંમેશા ઊંચા પોટેન્શિયલથી નીચા પોટેન્શિયલ તરફ વહે છે. કેપેસિટરનું પોટેન્શિયલ $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સર્કિટ $(a)$ માટે:
ડાબા કેપેસિટરનું પોટેન્શિયલ $V_L = \frac{2Q}{3C} = \frac{2}{3} \frac{Q}{C}$.
જમણા કેપેસિટરનું પોટેન્શિયલ $V_R = \frac{Q}{C}$.
અહીં $V_R > V_L$ હોવાથી, વીજભાર $R$ થી $L$ તરફ વહેશે.
સર્કિટ $(b)$ માટે:
ડાબા કેપેસિટરનું પોટેન્શિયલ $V_L = \frac{2Q}{2C} = \frac{Q}{C}$.
જમણા કેપેસિટરનું પોટેન્શિયલ $V_R = \frac{Q}{2C} = 0.5 \frac{Q}{C}$.
અહીં $V_L > V_R$ હોવાથી, વીજભાર $L$ થી $R$ તરફ વહેશે.

(C) જ્યારે $S_1$ બંધ હોય ત્યારે $C_1$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$q = C_1 V = 6\,\mu F \times 20\,V = 120\,\mu C$.
જ્યારે $S_1$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે $q = 120\,\mu C$ વિદ્યુતભાર $C_1$ પર સંગ્રહિત રહે છે.
જ્યારે $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર સમાંતર જોડાણમાં રહેલા $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચે વહેંચાય છે. ધારો કે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V'$ છે.
કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે: $q = (C_1 + C_2) V'$.
$120\,\mu C = (6\,\mu F + 3\,\mu F) V' = 9\,\mu F \times V'$.
$V' = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}\,V$.
$C_2$ પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર:
$q_2 = C_2 V' = 3\,\mu F \times \frac{40}{3}\,V = 40\,\mu C$.

(B) શરૂઆતમાં,$C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતું કેપેસિટર બેટરી દ્વારા $V$ પોટેન્શિયલ સુધી ચાર્જ થાય છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $Q$ એ પ્રારંભિક ચાર્જ છે.
જ્યારે બેટરીને ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે અને સમાન કેપેસીટન્સ $C$ ધરાવતું બીજું કેપેસિટર સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ચાર્જ $Q$ બંને કેપેસિટરો વચ્ચે પુનઃવિતરિત થાય છે.
કેપેસિટરો સમાંતરમાં હોવાથી,તેઓ ચાર્જને સમાન રીતે વહેંચશે,તેથી દરેક કેપેસિટર પર હવે $Q' = \frac{Q}{2}$ ચાર્જ હશે.
દરેક કેપેસિટર પર નવો પોટેન્શિયલ તફાવત $V' = \frac{Q'}{C} = \frac{Q}{2C} = \frac{V}{2}$ છે.
દરેક કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{1}{2} C(V')^2 = \frac{1}{2} C \left(\frac{V}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} C \frac{V^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} CV^2\right) = \frac{U}{4}$ છે.

(A) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V_1 = 0.2 \, F \times 600 \, V = 120 \, C$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને કેપેસિટરને $C_2 = 1 \, F$ ના બીજા કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે અને બંને કેપેસિટર પર વહેંચાઈ જાય છે.
નવો સ્થિતિમાન $V'$ નું સૂત્ર $V' = \frac{Q}{C_1 + C_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V' = \frac{120 \, C}{0.2 \, F + 1 \, F} = \frac{120}{1.2} \, V$.
$V' = 100 \, V$.

(C) $10\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q = C_1 V_1 = 10\,\mu F \times 1000\, V = 10000\,\mu C$ છે.
જ્યારે બે કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $q$ તેમની વચ્ચે પુનઃવિતરિત થાય છે.
સિસ્ટમનું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 10\,\mu F + 6\,\mu F = 16\,\mu F$ છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = q / C_{eq}$ દ્વારા મળે છે.
$V' = 10000\,\mu C / 16\,\mu F = 625\, V$.

(D) ધારો કે હવા-કોરવાળા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. તો $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક ધરાવતા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_K = KC$ થશે.
જ્યારે તેમને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C \times V + KC \times 0 = CV$ થાય છે.
સિસ્ટમનું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{total} = C + KC = C(1 + K)$ છે.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V'$ એ $V' = \frac{Q}{C_{total}} = \frac{CV}{C(1 + K)} = \frac{V}{1 + K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $1 + K = \frac{V}{V'}$.
તેથી,$K = \frac{V}{V'} - 1 = \frac{V - V'}{V'}$.

(D) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $C_1$ પર વિદ્યુતભાર $Q$ છે અને $C_2$ વિદ્યુતભાર રહિત છે. જ્યારે સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે ત્યાં સુધી વિદ્યુતભાર વહે છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને કેપેસિટર વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$V = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2}$
આપેલ છે કે $C_2 = 2C_1$,તેથી:
$\frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{2C_1} \implies Q_2 = 2Q_1$
વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે:
$Q_1 + Q_2 = Q$
સમીકરણમાં $Q_2 = 2Q_1$ મૂકતા:
$Q_1 + 2Q_1 = Q \implies 3Q_1 = Q \implies Q_1 = \frac{Q}{3}$
તેથી,$Q_2 = 2Q_1 = \frac{2Q}{3}$
આમ,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $\frac{Q}{3}$ અને $\frac{2Q}{3}$ છે.

(A) કેપેસિટર $C_1$ માં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા:
$U_1 = \frac{1}{2} C_1 V_0^2$
જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જ $Q = C_1 V_0$ બંને કેપેસિટર વચ્ચે સમાન પોટેન્શિયલ $V$ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી વહેંચાય છે. ચાર્જ સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$C_1 V_0 = (C_1 + C_2) V$
$V = \frac{C_1 V_0}{C_1 + C_2}$
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા:
$U_2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) \left( \frac{C_1 V_0}{C_1 + C_2} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{C_1^2 V_0^2}{C_1 + C_2}$
જોડાણ પહેલા અને પછીની ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{1}{2} C_1 V_0^2}{\frac{1}{2} \frac{C_1^2 V_0^2}{C_1 + C_2}} = \frac{C_1 (C_1 + C_2)}{C_1^2} = \frac{C_1 + C_2}{C_1}$

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times (400 \times 10^{-12} \, F) \times (100 \, V)^2 = 2 \times 10^{-6} \, J$.
જ્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને પર સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V' = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{400 \times 100 + 400 \times 0}{400 + 400} = 50 \, V$ છે.
તંત્રમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (800 \times 10^{-12} \, F) \times (50 \, V)^2 = 1 \times 10^{-6} \, J$ છે.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - U_f = 2 \times 10^{-6} \, J - 1 \times 10^{-6} \, J = 1 \times 10^{-6} \, J$ થાય છે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે,જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
જ્યારે સમાન કેપેસિટન્સ $C$ ધરાવતું એક અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = CV$ બંને કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાઈ જાય છે.
કેપેસિટરો સમાંતરમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{CV}{C + C} = \frac{V}{2}$ થશે.
દરેક કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત નવી ઉર્જા $U' = \frac{1}{2}C(V')^2$ છે.
$V' = \frac{V}{2}$ મૂકતા,આપણને $U' = \frac{1}{2}C(\frac{V}{2})^2 = \frac{1}{2}C(\frac{V^2}{4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}CV^2) = \frac{U}{4}$ મળે છે.

(C) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $C_{1}$ ને બેટરી દ્વારા $V$ સ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. $C_{1}$ માં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_{i} = \frac{1}{2} C V^{2}$ છે.
જ્યારે બેટરીને ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે અને $C_{1}$ ને અપ્રભારિત કેપેસિટર $C_{2}$ (જ્યાં $C_{1} = C_{2} = C$) સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે.
જોડાણ પછીનું સામાન્ય સ્થિતિમાન $V'$ એ $V' = \frac{C_{1}V + C_{2}(0)}{C_{1} + C_{2}} = \frac{CV}{2C} = \frac{V}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_{f} = \frac{1}{2} (C_{1} + C_{2}) (V')^{2} = \frac{1}{2} (2C) (\frac{V}{2})^{2} = C \cdot \frac{V^{2}}{4} = \frac{1}{4} C V^{2}$ છે.
ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_{i} - U_{f} = \frac{1}{2} C V^{2} - \frac{1}{4} C V^{2} = \frac{1}{4} C V^{2}$ છે.
ઉર્જામાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{\Delta U}{U_{i}} \times 100 = \frac{\frac{1}{4} C V^{2}}{\frac{1}{2} C V^{2}} \times 100 = 50 \%$ છે.

(B) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ: $Q = CV = 60 \times 10^{-12} \; F \times 20 \; V = 1200 \times 10^{-12} \; C = 1.2 \times 10^{-9} \; C$.
સંગ્રહિત પ્રારંભિક સ્થિર વિદ્યુત ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times 60 \times 10^{-12} \times (20)^2 = 30 \times 10^{-12} \times 400 = 12000 \times 10^{-12} \; J = 12 \; nJ$.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + C = 2C = 120 \; pF$ થાય છે. કુલ ચાર્જ $Q$ સંરક્ષિત રહે છે અને દરેક કેપેસિટર પર $Q/2$ તરીકે સમાન રીતે વહેંચાય છે.
અંતિમ સંગ્રહિત સ્થિર વિદ્યુત ઉર્જા: $U_f = \frac{(Q/2)^2}{2C} + \frac{(Q/2)^2}{2C} = 2 \times \frac{Q^2/4}{2C} = \frac{Q^2}{4C} = \frac{1}{2} \times \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2} U_i = \frac{1}{2} \times 12 \; nJ = 6 \; nJ$.
ગુમાવેલી ઉર્જા: $\Delta U = U_i - U_f = 12 \; nJ - 6 \; nJ = 6 \; nJ$.

(A) શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C_1 = 600\; pF = 600 \times 10^{-12}\; F$ અને પોટેન્શિયલ $V_1 = 200\; V$ છે.
શરૂઆતની ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 600 \times 10^{-12} \times (200)^2 = 1.2 \times 10^{-5}\; J$ છે.
જ્યારે તેને સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર $C_2 = 600\; pF$ સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V_1 = 600 \times 10^{-12} \times 200 = 1.2 \times 10^{-7}\; C$ વહેંચાય છે.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V'$ એ $V' = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{1.2 \times 10^{-7}}{1200 \times 10^{-12}} = 100\; V$ દ્વારા મળે છે.
અંતિમ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times 1200 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 0.6 \times 10^{-5}\; J$ છે.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta E = E_i - E_f = 1.2 \times 10^{-5} - 0.6 \times 10^{-5} = 0.6 \times 10^{-5}\; J = 6 \times 10^{-6}\; J$ થાય છે.

(A) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_1 = 4 \;\mu F = 4 \times 10^{-6} \;F$ અને સપ્લાય વોલ્ટેજ $V_1 = 200 \;V$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (200)^2 = 8 \times 10^{-2} \;J$ છે.
જ્યારે તેને બીજા અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર $C_2 = 2 \;\mu F$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{C_1 V_1}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 200}{4 + 2} = \frac{800}{6} = \frac{400}{3} \;V$ મળે છે.
અંતિમ ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (\frac{400}{3})^2 = 3 \times 10^{-6} \times \frac{160000}{9} = \frac{16}{3} \times 10^{-2} \approx 5.33 \times 10^{-2} \;J$ છે.
ગુમાવાયેલી ઉર્જા $\Delta E = E_1 - E_2 = 8 \times 10^{-2} - 5.33 \times 10^{-2} = 2.67 \times 10^{-2} \;J$ છે.

(N/A) કિસ્સો $1$: $K_1$ બંધ છે અને $K_2$ ખુલ્લી છે.
કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ બેટરી $E = 9 \, V$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(6C)(3C)}{6C + 3C} = \frac{18C^2}{9C} = 2C = 2 \,\mu F$ છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} E = 2 \,\mu F \times 9 \, V = 18 \,\mu C$ છે.
આમ,$Q_1 = 18 \,\mu C$,$Q_2 = 18 \,\mu C$,અને $Q_3 = 0 \,\mu C$.
કિસ્સો $2$: $K_1$ ને ખોલવામાં આવે છે અને $K_2$ ને બંધ કરવામાં આવે છે.
હવે,$C_1$ બેટરીથી અલગ થઈ જાય છે. કેપેસિટર $C_2$ ($18 \,\mu C$ જેટલો ચાર્જ થયેલ) એ $C_3$ (શરૂઆતમાં વિદ્યુતભાર રહિત) સાથે સમાંતરમાં જોડાય છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = 18 \,\mu C$ એ $C_2$ અને $C_3$ વચ્ચે વહેંચાય છે.
$C_2 = 3C$ અને $C_3 = 3C$ હોવાથી,વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
$Q_2' = Q_3' = \frac{Q_{total}}{2} = \frac{18 \,\mu C}{2} = 9 \,\mu C$.
$K_1$ ખુલ્લી હોવાથી,$C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $18 \,\mu C$ જળવાઈ રહેશે.
અંતિમ વિદ્યુતભાર: $Q_1 = 18 \,\mu C$,$Q_2 = 9 \,\mu C$,$Q_3 = 9 \,\mu C$.

(B) શરૂઆતમાં, $10\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વીજભાર:
$Q = C_1 V_1 = (10\,\mu F)(50\, V) = 500\,\mu C$
જ્યારે આ કેપેસિટરને $C_2$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ વીજભારનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 20\, V$ છે.
કુલ વીજભાર $Q$ બંને કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે:
$Q = (C_1 + C_2)V$
$500\,\mu C = (10\,\mu F + C_2)(20\, V)$
બંને બાજુ $20\, V$ વડે ભાગતા:
$25\,\mu F = 10\,\mu F + C_2$
$C_2 = 25\,\mu F - 10\,\mu F = 15\,\mu F$

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-6}) \times (220)^2 = 0.121 \, J$.
જ્યારે તેને અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર $C_2 = 2.5 \, \mu F$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જ $Q = C_1 V = 5 \times 10^{-6} \times 220 = 1.1 \times 10^{-3} \, C$ નું પુનઃવિતરણ થાય છે.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V'$ નીચે મુજબ મળે છે: $V' = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{1.1 \times 10^{-3}}{(5 + 2.5) \times 10^{-6}} = \frac{1100}{7.5} = \frac{440}{3} \, V$.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા: $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (7.5 \times 10^{-6}) \times (\frac{440}{3})^2 = 0.08066 \, J$.
ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = 0.08066 - 0.121 = -0.04033 \, J$.
આપેલ છે કે $\Delta U = -\frac{X}{100} \, J$ (ઉર્જામાં ઘટાડાનું મૂલ્ય લેતા),તેથી $\frac{X}{100} = 0.04033$,એટલે કે $X \approx 4$.

(A) જ્યારે બે વાહક ગોળાઓને તાર દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના પોટેન્શિયલ સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભાર વહે છે.
ધારો કે અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_{1}'$ અને $Q_{2}'$ છે.
વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે:
$Q_{1}' + Q_{2}' = Q_{1} + Q_{2} = 12\, \mu C - 3\, \mu C = 9\, \mu C$.
પોટેન્શિયલ સમાન હોવાથી $(V_{1} = V_{2})$,આપણને મળે છે:
$\frac{K Q_{1}'}{R_{1}} = \frac{K Q_{2}'}{R_{2}} \Rightarrow \frac{Q_{1}'}{2R/3} = \frac{Q_{2}'}{R/3}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $Q_{1}' = 2 Q_{2}'$ મળે છે.
આ કિંમતને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 Q_{2}' + Q_{2}' = 9\, \mu C \Rightarrow 3 Q_{2}' = 9\, \mu C \Rightarrow Q_{2}' = 3\, \mu C$.
તેથી,$Q_{1}' = 2 \times 3\, \mu C = 6\, \mu C$.
આમ,અંતિમ વિદ્યુતભાર $6\, \mu C$ અને $3\, \mu C$ છે.

(A) કેપેસિટર $C$ પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q = CV_{0}$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_{i} = \frac{1}{2}CV_{0}^{2}$ છે.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{CV_{0}}{C + C/2} = \frac{CV_{0}}{3C/2} = \frac{2}{3}V_{0}$ મળે છે.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_{f} = \frac{1}{2}(C + C/2)V^{2} = \frac{1}{2}(\frac{3C}{2})(\frac{2}{3}V_{0})^{2} = \frac{1}{2}(\frac{3C}{2})(\frac{4}{9}V_{0}^{2}) = \frac{1}{3}CV_{0}^{2}$ છે.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_{i} - U_{f} = \frac{1}{2}CV_{0}^{2} - \frac{1}{3}CV_{0}^{2} = \frac{1}{6}CV_{0}^{2}$ છે.
કારણ કે $\frac{1}{6} \approx 0.166$,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$Q_1 = C \times V = CV$
$Q_2 = 2C \times 2V = 4CV$
તેમને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા (ધન થી ઋણ) સાથે જોડવામાં આવ્યા હોવાથી,કુલ ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર:
$Q_{net} = Q_2 - Q_1 = 4CV - CV = 3CV$
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_{eq} = C + 2C = 3C$
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_c$:
$V_c = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$
આ ગોઠવણીમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f$:
$U_f = \frac{1}{2} C_{eq} V_c^2 = \frac{1}{2} \times (3C) \times V^2 = 1.5 CV^2$

(D) $1$. કેપેસિટર $C_{1}$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_{1}V = 2\, \mu F \times 10\, V = 20\, \mu C$ છે.
$2$. જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને $C_{1}$ ને અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર $C_{2}$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ સંરક્ષિત રહે છે અને બંને કેપેસિટર વચ્ચે વહેંચાય છે.
$3$. જોડાણ પછીનું સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V'$ નીચે મુજબ મળે છે: $V' = \frac{Q}{C_{1} + C_{2}} = \frac{20\, \mu C}{2\, \mu F + 8\, \mu F} = \frac{20}{10} = 2\, V$.
$4$. સંતુલન સ્થિતિમાં કેપેસિટર $C_{2}$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{2} = C_{2}V' = 8\, \mu F \times 2\, V = 16\, \mu C$ થાય છે.

(A) શરૂઆતમાં,પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતભાર કેપેસિટર $C_{1}$ માં સંગ્રહિત થાય છે.
$Q_{\text{total}} = C_{1} V$
જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $C_{1}$ અને $C_{2}$ વચ્ચે સમાન સ્થિતિમાન $V'$ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી પુનઃવિતરિત થાય છે.
કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,સામાન્ય સ્થિતિમાન નીચે મુજબ મળે છે:
$V' = \frac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{eq}}} = \frac{C_{1} V}{C_{1} + C_{2}}$
સંતુલન સ્થિતિમાં કેપેસિટર $C_{2}$ પરનો વિદ્યુતભાર:
$Q_{2} = C_{2} V' = C_{2} \left( \frac{C_{1} V}{C_{1} + C_{2}} \right) = \frac{C_{1} C_{2} V}{C_{1} + C_{2}}$

(D) પ્રથમ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 250 \times 10^{-9} \; J = 250 \; nJ$ છે.
જ્યારે તેને સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર વચ્ચેનો સ્થિતિમાન $V' = \frac{V}{2} = 50 \; V$ ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે.
તંત્રમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f = 2 \times (\frac{1}{2} C V'^2) = C \times (\frac{V}{2})^2 = 50 \times 10^{-12} \times 2500 = 125 \times 10^{-9} \; J = 125 \; nJ$ છે.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - U_f = 250 \; nJ - 125 \; nJ = 125 \; nJ$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ઉર્જા વ્યયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2 = \frac{1}{2} \frac{50 \times 50}{50 + 50} \times 10^{-12} \times (100 - 0)^2 = 125 \times 10^{-9} \; J = 125 \; nJ$.

(A) સ્વીચ બંધ કરતા પહેલા,કેપેસિટર $C_{1}$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ નીચે મુજબ છે:
$Q = C_{1} V_{0} = 5\,\mu F \times 30\,V = 150\,\mu C$
સ્વીચ બંધ કર્યા પછી,વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી બંને કેપેસિટર સમાન પોટેન્શિયલ $V$ પ્રાપ્ત ન કરે. કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી:
$V = \frac{Q}{C_{1} + C_{2}} = \frac{150\,\mu C}{5\,\mu F + 10\,\mu F} = \frac{150}{15}\,V = 10\,V$
હવે,સંતુલન સ્થિતિમાં કેપેસિટર $C_{2}$ પરનો વિદ્યુતભાર:
$Q_{2} = C_{2} V = 10\,\mu F \times 10\,V = 100\,\mu C$

(D) ધારો કે એર-કોર્ડ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. ડાયઇલેક્ટ્રિક $K$ ધરાવતા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $K C$ છે.
શરૂઆતમાં,એર-કોર્ડ કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = C V$ છે અને અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $0$ છે.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ચાર્જનું સંરક્ષણ થાય છે અને કેપેસિટર સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V^{\prime}$ પ્રાપ્ત કરે છે.
કુલ ચાર્જ $Q_{total} = C V + 0 = C V$.
કુલ કેપેસિટન્સ $C_{total} = C + K C = C(1 + K)$.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V^{\prime} = \frac{Q_{total}}{C_{total}}$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$V^{\prime} = \frac{C V}{C(1 + K)} = \frac{V}{1 + K}$.
$K$ માટે ગોઠવતા:
$1 + K = \frac{V}{V^{\prime}}$
$K = \frac{V}{V^{\prime}} - 1 = \frac{V - V^{\prime}}{V^{\prime}}$.

(B) બે કેપેસિટરોમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા:
$U_i = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} C V^2 = C V^2$
જ્યારે કેપેસિટરોને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સિસ્ટમ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર:
$Q_{net} = (+CV) + (-CV) = 0$
કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાથી,કેપેસિટરો વચ્ચેનો અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય થાય છે,અને તેથી અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા:
$U_f = 0$
ઉર્જાનો વ્યય નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta U = U_i - U_f = C V^2 - 0 = C V^2$

(D) ધારો કે હવા ધરાવતા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. તેનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ છે.
કેપેસિટર સમાન હોવાથી,ડાયઇલેક્ટ્રિક ધરાવતા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થશે.
જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total}$ અચળ રહે છે.
$Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 0 + CV = CV$.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + KC = C(1+K)$ થાય છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V'$ માટેનું સૂત્ર $V' = \frac{Q_{total}}{C_{eq}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $V' = \frac{CV}{C(1+K)}$ મળે છે.
તેથી,$V' = \frac{V}{1+K}$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે અને બંને કેપેસિટર સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. ધારો કે $C_1$ અને $C_2$ પરના નવા વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $Q_1$ અને $Q_2$ છે.
તેઓ સમાંતર હોવાથી,તેમના વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોવા જોઈએ:
$V_1 = V_2 \implies \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2}$
આપેલ છે કે $C_2 = 2C_1$,તેથી:
$\frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{2C_1} \implies Q_2 = 2Q_1$
વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે:
$Q_1 + Q_2 = Q$
સંરક્ષણના સમીકરણમાં $Q_2 = 2Q_1$ મૂકતા:
$Q_1 + 2Q_1 = Q \implies 3Q_1 = Q \implies Q_1 = \frac{Q}{3}$
તેથી,$Q_2 = 2Q_1 = \frac{2Q}{3}$
આમ,કેપેસિટર પરના વિદ્યુતભારો $\frac{Q}{3}$ અને $\frac{2Q}{3}$ હશે.