Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि आवेश $x=0$,$x=\frac{l}{2}$ और $x=l$ स्थितियों पर रखे गए हैं।
आवेश $q$,$x=0$ पर है,$Q$,$x=\frac{l}{2}$ पर है और $4q$,$x=l$ पर है।
आवेश $q$ पर नेट बल $Q$ और $4q$ द्वारा लगाए गए स्थिर-वैद्युत बलों का योग है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच बल $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ होता है,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ है।
$q$ पर नेट बल शून्य होने के लिए:
$F_{net} = F_{Qq} + F_{4qq} = 0$
$k \frac{Qq}{(\frac{l}{2})^2} + k \frac{(4q)q}{l^2} = 0$
$k \frac{Qq}{\frac{l^2}{4}} + k \frac{4q^2}{l^2} = 0$
$4k \frac{Qq}{l^2} + 4k \frac{q^2}{l^2} = 0$
$\frac{4k}{l^2}$ से विभाजित करने पर ($l \neq 0$ मानते हुए):
$Qq + q^2 = 0$
$Qq = -q^2$
$Q = -q$

(D) ब्रह्मांडीय स्तर पर गुरुत्वाकर्षण बल प्रभावी बल है क्योंकि यह हमेशा आकर्षक होता है और विशाल पिंडों के बीच लंबी दूरी तक कार्य करता है,जबकि कूलम्ब बल (स्थिर-वैद्युत बल) पदार्थ में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों आवेशों की उपस्थिति के कारण अक्सर उदासीन हो जाता है।
अतः,कथन गलत है।
इसके अलावा,सूक्ष्म स्तर पर (जैसे दो इलेक्ट्रॉनों के बीच) गुरुत्वाकर्षण बल कूलम्ब बल की तुलना में काफी कमजोर होता है,लेकिन कारण में कहा गया है कि कूलम्ब बल गुरुत्वाकर्षण बल से कमजोर है,जो कि गलत है।
इस प्रकार,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(B) प्रारंभ में,आवेश $q_A = Q$ और $q_B = -Q$ हैं। $r$ दूरी पर उनके बीच कार्य करने वाला बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k Q (-Q)}{r^2} = -\frac{k Q^2}{r^2}$
जब $A$ से $25 \%$ आवेश $B$ में स्थानांतरित किया जाता है,तो स्थानांतरित मात्रा $\Delta q = 0.25 Q = \frac{Q}{4}$ है।
नए आवेश हैं:
$q_A' = Q - \frac{Q}{4} = \frac{3Q}{4}$
$q_B' = -Q + \frac{Q}{4} = -\frac{3Q}{4}$
आवेशों के बीच नया बल $F'$ है:
$F' = \frac{k q_A' q_B'}{r^2} = \frac{k (\frac{3Q}{4})(-\frac{3Q}{4})}{r^2}$
$F' = -\frac{9}{16} \frac{k Q^2}{r^2}$
चूंकि $F = -\frac{k Q^2}{r^2}$,इसलिए $F'$ के व्यंजक में इसका मान रखने पर:
$F' = \frac{9}{16} F$

(N/A) $(a) (i)$ $r$ दूरी पर स्थित एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन के बीच विद्युत बल $F_{e} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$ है। गुरुत्वाकर्षण बल $F_{G} = G \frac{m_{p} m_{e}}{r^{2}}$ है। अनुपात $\left| \frac{F_{e}}{F_{G}} \right| = \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} G m_{p} m_{e}} \approx 2.4 \times 10^{39}$ है।
$(ii)$ दो प्रोटॉन के लिए,अनुपात $\left| \frac{F_{e}}{F_{G}} \right| = \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} G m_{p}^{2}} \approx 1.3 \times 10^{36}$ है।
$(b)$ विद्युत बल का परिमाण $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}} = (8.99 \times 10^{9}) \frac{(1.6 \times 10^{-19})^{2}}{(10^{-10})^{2}} \approx 2.3 \times 10^{-8} \, N$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण: $a_{e} = \frac{F}{m_{e}} = \frac{2.3 \times 10^{-8}}{9.11 \times 10^{-31}} \approx 2.5 \times 10^{22} \, m/s^{2}$।
प्रोटॉन का त्वरण: $a_{p} = \frac{F}{m_{p}} = \frac{2.3 \times 10^{-8}}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 1.4 \times 10^{19} \, m/s^{2}$।

(A) मान लीजिए गोले $A$ पर मूल आवेश $q$ है और $B$ पर $q^{\prime}$ है। उनके केंद्रों के बीच $r = 10 \, cm$ की दूरी पर,कूलम्ब के नियम के अनुसार प्रत्येक पर लगने वाला स्थिर वैद्युत बल है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q q^{\prime}}{r^{2}}$
जब एक समान लेकिन अनावेशित गोला $C$,$A$ को स्पर्श करता है,तो आवेश $A$ और $C$ पर पुनर्वितरित हो जाते हैं। समरूपता के कारण,प्रत्येक गोले पर $q/2$ आवेश आ जाता है।
इसी प्रकार,$D$ के $B$ को स्पर्श करने के बाद,प्रत्येक पर पुनर्वितरित आवेश $q^{\prime}/2$ होता है।
अब,$A$ और $B$ के केंद्रों के बीच की नई दूरी $r^{\prime} = 5.0 \, cm = r/2$ है।
प्रत्येक पर लगने वाला नया स्थिर वैद्युत बल है:
$F^{\prime} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(q/2)(q^{\prime}/2)}{(r/2)^{2}}$
$F^{\prime} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q q^{\prime} / 4}{r^{2} / 4}$
$F^{\prime} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q q^{\prime}}{r^{2}} = F$
अतः,$B$ के कारण $A$ पर लगने वाला स्थिर वैद्युत बल अपरिवर्तित रहता है।

(D) $l$ लंबाई की भुजा वाले दिए गए समबाहु त्रिभुज $ABC$ में,मान लीजिए $O$ केंद्रक है।
प्रत्येक शीर्ष से केंद्रक $O$ की दूरी $r = \frac{l}{\sqrt{3}}$ है।
कूलॉम के नियम के अनुसार,शीर्षों पर स्थित प्रत्येक आवेश $q$ के कारण $O$ पर स्थित आवेश $Q$ पर लगने वाला बल: $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{(l/\sqrt{3})^{2}} = \frac{3}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{l^{2}}$ है।
मान लीजिए कि $A, B,$ और $C$ पर स्थित आवेशों के कारण बल क्रमशः $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2},$ और $\vec{F}_{3}$ हैं। ये बल शीर्षों से दूर माध्यिकाओं की दिशा में कार्य करते हैं।
सममिति के कारण,किन्हीं दो बल सदिशों के बीच का कोण $120^{\circ}$ है।
$\vec{F}_{2}$ और $\vec{F}_{3}$ का परिणामी बल परिमाण में $F_{1}$ के बराबर है लेकिन इसकी दिशा विपरीत ($OA$ की दिशा में) है।
अतः,कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$ है।

(N/A) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B$ और $C$ हैं जिन पर क्रमशः $q_1 = q, q_2 = q$ और $q_3 = -q$ आवेश हैं। भुजा की लंबाई $l$ है।
$A$ पर स्थित आवेश $q$ पर बल $(F_1)$,$B$ से प्रतिकर्षण बल $(F_{12})$ और $C$ से आकर्षण बल $(F_{13})$ का सदिश योग है। दोनों का परिमाण $F = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 l^2}$ है। उनके बीच का कोण $120^\circ$ है। समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हुए,परिणामी परिमाण $F_1 = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos(120^\circ)} = F$ है। दिशा $BC$ के समानांतर रेखा के अनुदिश है।
इसी प्रकार,$B$ पर स्थित आवेश $q$ पर बल $(F_2)$,$F_{21}$ और $F_{23}$ का सदिश योग है। समरूपता से,इसका परिमाण $F_2 = F$ है,जो $AC$ के समानांतर रेखा के अनुदिश है।
$C$ पर स्थित आवेश $-q$ पर बल $(F_3)$,$F_{31}$ और $F_{32}$ का सदिश योग है। दोनों का परिमाण $F$ है और उनके बीच का कोण $60^\circ$ है। परिणामी परिमाण $F_3 = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos(60^\circ)} = \sqrt{3}F$ है। दिशा $\angle BCA$ के कोण समद्विभाजक के अनुदिश है।
बलों का योग $F_1 + F_2 + F_3 = 0$ है,जो न्यूटन के तीसरे नियम के अनुरूप है।

(B) दो बिंदु आवेशों के बीच का बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$.
दिया गया है:
आवेश $q_{1} = 2 \times 10^{-7} \;C$
आवेश $q_{2} = 3 \times 10^{-7} \;C$
दूरी $r = 30 \;cm = 0.3 \;m$
स्थिरांक $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \;N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$
मान रखने पर:
$F = \frac{9 \times 10^{9} \times (2 \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^{-7})}{(0.3)^{2}}$
$F = \frac{9 \times 10^{9} \times 6 \times 10^{-14}}{0.09}$
$F = \frac{54 \times 10^{-5}}{0.09} = 600 \times 10^{-5} = 6 \times 10^{-3} \;N$.
चूंकि दोनों आवेश धनात्मक हैं,इसलिए बल प्रतिकर्षण का होगा।

(A) पहले गोले पर स्थिर वैद्युत बल,$F = 0.2 \; N$.
पहले गोले पर आवेश,$q_{1} = 0.4 \; \mu C = 0.4 \times 10^{-6} \; C$.
दूसरे गोले पर आवेश,$q_{2} = -0.8 \; \mu C = -0.8 \times 10^{-6} \; C$.
कूलम्ब के नियम के अनुसार गोलों के बीच स्थिर वैद्युत बल: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$.
यहाँ,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$.
$r^{2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$r^{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{1} q_{2}|}{F}$.
$r^{2} = \frac{9 \times 10^{9} \times (0.4 \times 10^{-6}) \times (0.8 \times 10^{-6})}{0.2} = \frac{2.88 \times 10^{-3}}{0.2} = 144 \times 10^{-4} \; m^{2}$.
$r = \sqrt{144 \times 10^{-4}} = 12 \times 10^{-2} = 0.12 \; m$.
दोनों गोलों के बीच की दूरी $0.12 \; m$ है.
$(b)$ न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,पहले गोले द्वारा दूसरे गोले पर लगाया गया बल,दूसरे गोले द्वारा पहले गोले पर लगाए गए बल के परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होता है। इसलिए,पहले गोले के कारण दूसरे गोले पर लगने वाला बल $0.2 \; N$ है।

(A) दी गई आकृति $10\; cm$ भुजा वाला एक वर्ग दर्शाती है जिसके कोनों पर चार आवेश रखे गए हैं। $O$ वर्ग का केंद्र है।
(भुजाएँ) $AB = BC = CD = AD = 10\; cm$.
(विकर्ण) $AC = BD = 10\sqrt{2}\; cm$.
$AO = OC = DO = OB = 5\sqrt{2}\; cm$.
बिंदु $O$ पर $1\; \mu C$ का आवेश रखा गया है।
कोने $A$ और केंद्र $O$ पर रखे आवेशों के बीच प्रतिकर्षण बल का परिमाण,कोने $C$ और केंद्र $O$ पर रखे आवेशों के बीच प्रतिकर्षण बल के परिमाण के बराबर है लेकिन दिशा में विपरीत है। अतः,वे एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे।
इसी प्रकार,कोने $B$ और केंद्र $O$ पर रखे आवेशों के बीच आकर्षण बल का परिमाण,कोने $D$ और केंद्र $O$ पर रखे आवेशों के बीच आकर्षण बल के परिमाण के बराबर है लेकिन दिशा में विपरीत है। अतः,वे भी एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे।
इसलिए,वर्ग के कोनों पर रखे चार आवेशों द्वारा केंद्र $O$ पर स्थित $1\; \mu C$ के आवेश पर लगने वाला कुल बल $0\; N$ है।

(A) गोले $A$ पर आवेश,$q_{A} = 6.5 \times 10^{-7} \; C$
गोले $B$ पर आवेश,$q_{B} = 6.5 \times 10^{-7} \; C$
गोलों के बीच की दूरी,$r = 50 \; cm = 0.5 \; m$
कूलम्ब के नियम के अनुसार दो गोलों के बीच प्रतिकर्षण बल:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q_{A} q_{B}}{r^{2}}$
जहाँ,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$
$F = \frac{9 \times 10^{9} \times (6.5 \times 10^{-7})^{2}}{(0.5)^{2}} = \frac{9 \times 10^{9} \times 42.25 \times 10^{-14}}{0.25} = 1.521 \times 10^{-2} \; N$
$(b)$ प्रत्येक गोले पर नया आवेश,$q'_{A} = q'_{B} = 2 \times 6.5 \times 10^{-7} = 1.3 \times 10^{-6} \; C$
गोलों के बीच की नई दूरी,$r' = \frac{0.5}{2} = 0.25 \; m$
नया प्रतिकर्षण बल,$F' = \frac{9 \times 10^{9} \times (1.3 \times 10^{-6})^{2}}{(0.25)^{2}} = \frac{9 \times 10^{9} \times 1.69 \times 10^{-12}}{0.0625} = 0.24336 \; N \approx 0.243 \; N$

(B) गोलों $A$ और $B$ के बीच की दूरी,$r = 0.5 \; m$ है।
प्रारंभ में,प्रत्येक गोले पर आवेश,$q = 6.5 \times 10^{-7} \; C$ है।
जब गोले $A$ को अनावेशित गोले $C$ के साथ स्पर्श कराया जाता है,तो आवेश $q$ समान रूप से विभाजित हो जाता है। अतः,गोले $A$ और $C$ पर आवेश $q_A = q/2$ हो जाता है।
जब गोले $C$ (अब $q/2$ आवेश के साथ) को गोले $B$ ($q$ आवेश के साथ) के संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है। प्रत्येक पर नया आवेश $(q + q/2) / 2 = 3q/4$ होता है। अतः,$q_B = 3q/4$ है।
$A$ और $B$ के बीच नया प्रतिकर्षण बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_A q_B}{r^2} = (9 \times 10^9) \cdot \frac{(q/2) \cdot (3q/4)}{r^2} = (9 \times 10^9) \cdot \frac{3q^2}{8r^2}$.
मान रखने पर: $F = (9 \times 10^9) \cdot \frac{3 \times (6.5 \times 10^{-7})^2}{8 \times (0.5)^2} = 5.703 \times 10^{-3} \; N$.

(B) तेल की बूंद को स्थिर रखने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_e = W$
$qE = mg$
$n = 12$ अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन दिए गए हैं,इसलिए कुल आवेश $q = ne = 12 \times 1.60 \times 10^{-19} \; C = 1.92 \times 10^{-18} \; C$ है।
बूंद का द्रव्यमान $m = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है।
इन मानों को संतुलन समीकरण में रखने पर:
$neE = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$
$r^3 = \frac{3neE}{4 \pi \rho g}$
यहाँ $\rho = 1.26 \; g \, cm^{-3} = 1260 \; kg \, m^{-3}$,$E = 2.55 \times 10^4 \; N \, C^{-1}$,और $g = 9.81 \; m \, s^{-2}$ है:
$r^3 = \frac{3 \times (1.92 \times 10^{-18}) \times (2.55 \times 10^4)}{4 \times 3.14159 \times 1260 \times 9.81}$
$r^3 = \frac{1.4688 \times 10^{-13}}{155167.6} \approx 9.466 \times 10^{-19} \; m^3$
$r = (9.466 \times 10^{-19})^{1/3} \approx 9.82 \times 10^{-7} \; m$
$mm$ में बदलने पर: $r = 9.82 \times 10^{-7} \times 10^3 \; mm = 9.82 \times 10^{-4} \; mm$.

(N/A) कूलम्ब का नियम बताता है कि दो स्थिर बिंदु आवेशों के बीच लगने वाला स्थिर वैद्युत बल आवेशों के परिमाणों के गुणनफल के सीधे आनुपातिक और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह बल दोनों आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
यदि दो बिंदु आवेश $q_{1}$ और $q_{2}$ निर्वात में $r$ दूरी पर स्थित हैं,तो स्थिर वैद्युत बल $F$ का परिमाण इस प्रकार है:
$F \propto \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$
$F = k \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$
जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है,$k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \approx 8.9875 \times 10^{9} \text{ N m}^{2} \text{ C}^{-2}$.
यहाँ,$\epsilon_{0}$ निर्वात की विद्युतशीलता (permittivity) है,$\epsilon_{0} \approx 8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^{2} \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}$.
यदि आवेशों को $\epsilon$ विद्युतशीलता वाले माध्यम में रखा जाता है,तो बल $F_{m}$ होगा:
$F_{m} = \frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$
सापेक्ष विद्युतशीलता (या परावैद्युतांक) को $K = \epsilon_{r} = \frac{\epsilon}{\epsilon_{0}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$\epsilon = K \epsilon_{0}$.
इसे $F_{m}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F_{m} = \frac{1}{4 \pi K \epsilon_{0}} \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}} = \frac{F}{K}$
इस प्रकार,माध्यम में बल निर्वात में लगने वाले बल का $1/K$ गुना होता है।

(N/A) कूलाम्ब ने माना कि एक धात्विक गोले पर आवेश $q$ है। यदि इस गोले को एक समान अनावेशित गोले के संपर्क में रखा जाता है,तो आवेश दोनों गोलों पर समान रूप से वितरित हो जाएगा। सममिति के आधार पर,प्रत्येक गोले पर आवेश $\frac{q}{2}$ होगा।
इस प्रक्रिया को दोहराकर,हम $\frac{q}{2}, \frac{q}{4}, \frac{q}{8}, \dots$ जैसे आवेश प्राप्त कर सकते हैं।
कूलाम्ब ने आवेशों के एक निश्चित युग्म के लिए दूरी $r$ को बदलकर विभिन्न दूरियों पर बल $F$ को मापा। उन्होंने निम्नलिखित संबंध देखा:
$F \propto \frac{1}{r^{2}} \quad (1)$
इसके बाद,उन्होंने दूरी को स्थिर रखते हुए आवेशों $q_{1}$ और $q_{2}$ को बदला। आवेशों के विभिन्न युग्मों के लिए बलों की तुलना करके,उन्होंने यह संबंध स्थापित किया:
$F \propto q_{1} q_{2} \quad (2)$
इन दोनों को मिलाने पर,दो बिंदु आवेशों के बीच विद्युत बल इस प्रकार प्राप्त होता है:
$F \propto \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$
अतः,$F = k \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$,जहाँ $k$ कूलाम्ब नियतांक है।

(N/A) $(1)$ कूलम्ब का नियम केवल बिंदु आवेशों के लिए मान्य है।
$(2)$ यह केवल तब लागू होता है जब आवेश स्थिर अवस्था में हों।
$(3)$ यह नाभिकीय आकार से अधिक दूरी के लिए मान्य है, अर्थात $r > 10^{-15} \,m$।
$(4)$ यह बहुत अधिक दूरी के लिए लागू नहीं होता है जहाँ अन्य बल प्रभावी हो सकते हैं या बिंदु आवेश की धारणा विफल हो जाती है।

(N/A) $SI$ मात्रक प्रणाली में,आवेश का मात्रक कूलम्ब $(C)$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच बल $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ है।
यदि हम $q_1 = q_2 = 1 \ C$ और $r = 1 \ m$ रखें,तो बल $F = (9 \times 10^9) \times \frac{1 \times 1}{1^2} = 9 \times 10^9 \ N$ प्राप्त होता है।
परिभाषा: $1 \ C$ उस आवेश की मात्रा है जो निर्वात में $1 \ m$ की दूरी पर स्थित समान परिमाण के दूसरे आवेश पर $9 \times 10^9 \ N$ का प्रतिकर्षण बल आरोपित करता है।

(N/A) चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार $q_{1}$ और $q_{2}$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{r}_{1}$ और $\vec{r}_{2}$ हैं।
मान लीजिए $q_{2}$ द्वारा $q_{1}$ पर लगने वाला बल $\vec{F}_{12}$ है और $q_{1}$ द्वारा $q_{2}$ पर लगने वाला बल $\vec{F}_{21}$ है।
$q_{1}$ से $q_{2}$ का विस्थापन सदिश $\vec{r}_{21} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}$ है,और $q_{2}$ से $q_{1}$ का विस्थापन सदिश $\vec{r}_{12} = \vec{r}_{1} - \vec{r}_{2} = -\vec{r}_{21}$ है।
इकाई सदिश $\hat{r}_{21} = \frac{\vec{r}_{21}}{|\vec{r}_{21}|}$ और $\hat{r}_{12} = \frac{\vec{r}_{12}}{|\vec{r}_{12}|}$ हैं।
सदिश रूप में कूलम्ब के नियम के अनुसार:
$q_{1}$ द्वारा $q_{2}$ पर लगने वाला बल $\vec{F}_{21} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r_{21}^{2}} \hat{r}_{21}$ है।
$q_{2}$ द्वारा $q_{1}$ पर लगने वाला बल $\vec{F}_{12} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}^{2}} \hat{r}_{12}$ है।
चूंकि $\hat{r}_{12} = -\hat{r}_{21}$ और $r_{12} = r_{21}$,इसलिए $\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$ प्राप्त होता है।
महत्व और महत्वपूर्ण बिंदु:
$1$. यह दर्शाता है कि स्थिर-वैद्युत बल न्यूटन के गति के तीसरे नियम का पालन करता है।
$2$. यह इंगित करता है कि बल दोनों आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है (केंद्रीय बल)।
$3$. यह बल के परिमाण और दिशा दोनों को ध्यान में रखता है।

(N/A) कूलम्ब के नियम का सदिश रूप $\overrightarrow{F_{21}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{1} q_{2}}{r_{21}^{2}} \cdot \hat{r}_{21}$ द्वारा दिया जाता है।
यह समीकरण $q_{1}$ और $q_{2}$ के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों के लिए सत्य है।
यदि $q_{1}$ और $q_{2}$ समान चिह्न के हैं (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक),तो $\overrightarrow{F_{21}}$ की दिशा $\hat{r}_{21}$ के अनुदिश होती है,जो प्रतिकर्षण को दर्शाता है।
यदि $q_{1}$ और $q_{2}$ विपरीत चिह्न के हैं,तो $\overrightarrow{F_{21}}$ की दिशा $-\hat{r}_{21}$ (या $\hat{r}_{12}$) के अनुदिश होती है,जो आकर्षण को दर्शाता है।
$1$ और $2$ को आपस में बदलने पर,हमें $\overrightarrow{F_{12}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}^{2}} \hat{r}_{12} = -\overrightarrow{F_{21}}$ प्राप्त होता है,जो यह दर्शाता है कि कूलम्ब का नियम न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुरूप है।
यदि आवेशों को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो बल $K$ गुना कम हो जाता है।
कूलम्ब बल केंद्रीय बल होते हैं,जिसका अर्थ है कि वे दो आवेशों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करते हैं। यह व्युत्क्रम वर्ग का नियम है।
विद्युत बल दो प्रकार के होते हैं: आकर्षण और प्रतिकर्षण।
तीसरे आवेश की उपस्थिति दो आवेशों के बीच के बल को प्रभावित नहीं करती है,इसलिए कूलम्ब बल को द्वि-पिंड बल (two-body force) कहा जाता है।

(N/A) कूलम्ब नियतांक $k$ को $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है।
इसका मान लगभग $8.98755 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ होता है।
अधिकांश भौतिकी के प्रश्नों में,इसे $k \approx 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ के रूप में लिया जाता है।

(N/A) कूलम्ब के नियम की सीमाएँ निम्नलिखित हैं:
$1$. यह केवल बिंदु आवेशों के लिए लागू होता है। बिंदु आवेश को ऐसे आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका आकार उनके बीच की दूरी की तुलना में नगण्य हो।
$2$. यह केवल तभी मान्य है जब आवेश स्थिर हों। यदि आवेश गति में हैं,तो अतिरिक्त चुंबकीय बल कार्य करने लगते हैं।
$3$. यह केवल नाभिकीय सीमा $(r > 10^{-15} \ m)$ से अधिक दूरी के लिए लागू होता है। इससे कम दूरी पर,स्थिर वैद्युत बलों की तुलना में प्रबल नाभिकीय बल प्रभावी हो जाते हैं।
$4$. यह एक मौलिक नियम है जो परमाणु के आकार से लेकर स्थूल दूरियों तक के लिए सत्य है।

(N/A) माध्यम में $\epsilon$ विद्युतशीलता (permittivity) वाले $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच कार्य करने वाला कूलम्ब बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
जहाँ $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ (या $\epsilon = \epsilon_0 K$),$\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,और $\epsilon_r$ (या $K$) माध्यम की सापेक्ष विद्युतशीलता या परावैद्युतांक (dielectric constant) है।
अतः,इस व्यंजक को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{r^2}$

(N/A) कूलम्ब बल को दो-पिंड बल इसलिए कहा जाता है क्योंकि दो बिंदु आवेशों के बीच लगने वाला स्थिर-वैद्युत बल केवल उन दो आवेशों के परिमाण और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है।
यह आसपास मौजूद किसी अन्य तीसरे आवेश की उपस्थिति या अनुपस्थिति से स्वतंत्र होता है।
गणितीय रूप से,कूलम्ब के नियम के अनुसार,$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$,जहाँ $q_1$ और $q_2$ दो परस्पर क्रिया करने वाले आवेश हैं।
चूंकि बल पूरी तरह से इन दो विशिष्ट पिंडों के बीच की परस्पर क्रिया द्वारा निर्धारित होता है,इसलिए इसे दो-पिंड बल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(B) कूलम्ब का नियम बताता है कि $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच स्थिर-वैद्युत बल $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के $3^{rd}$ नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया की समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
जब आवेश $q_1$,आवेश $q_2$ पर बल $F_{12}$ लगाता है,तो आवेश $q_2$,आवेश $q_1$ पर विपरीत दिशा में उतना ही बल $F_{21}$ लगाता है।
गणितीय रूप से,इसे $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
चूंकि दो आवेशों के बीच स्थिर-वैद्युत बल हमेशा परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए कूलम्ब का नियम न्यूटन के गति के $3^{rd}$ नियम के अनुरूप है।

(N/A) अध्यारोपण का सिद्धांत बताता है कि जब एक से अधिक बिंदु आवेश उपस्थित होते हैं,तो किसी दिए गए आवेश पर लगने वाला कुल स्थिर विद्युत बल अन्य सभी आवेशों द्वारा उस पर लगाए गए व्यक्तिगत बलों के सदिश योग के बराबर होता है। किन्हीं दो आवेशों के बीच का बल अन्य आवेशों की उपस्थिति से प्रभावित नहीं होता है।
मान लीजिए कि $n$ बिंदु आवेश $q_1, q_2, ..., q_n$ हैं,जिनके मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ हैं।
आवेश $q_2$ के कारण $q_1$ पर लगने वाला बल:
$\vec{F}_{12} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r_{21}^2} \hat{r}_{21}$
इसी प्रकार,आवेश $q_n$ के कारण $q_1$ पर लगने वाला बल:
$\vec{F}_{1n} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_n}{r_{n1}^2} \hat{r}_{n1}$
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,आवेश $q_1$ पर लगने वाला कुल बल $\vec{F}_1$ इन व्यक्तिगत बलों का सदिश योग है:
$\vec{F}_1 = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + ... + \vec{F}_{1n} = \sum_{i=2}^{n} \vec{F}_{1i}$
प्रत्येक बल के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{F}_1 = \frac{q_1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=2}^{n} \frac{q_i}{r_{i1}^2} \hat{r}_{i1}$
जहाँ $\vec{r}_{i1} = \vec{r}_1 - \vec{r}_i$ आवेश $q_i$ से $q_1$ की दिशा में सदिश है,और $r_{i1}$ इस सदिश का परिमाण है।

(N/A) अध्यारोपण का सिद्धांत यह बताता है कि कई अन्य आवेशों के कारण किसी दिए गए आवेश पर लगने वाला कुल बल,प्रत्येक अन्य आवेश द्वारा उस आवेश पर लगाए गए व्यक्तिगत बलों के सदिश योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,यदि कोई आवेश $q_0$,$q_1, q_2, ..., q_n$ आवेशों की उपस्थिति में है,तो $q_0$ पर कुल बल $\vec{F}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... + \vec{F}_n$
जहाँ $\vec{F}_i$,कूलम्ब के नियम के अनुसार $i$-वें आवेश $q_i$ द्वारा $q_0$ पर लगाया गया बल है,जो अन्य आवेशों की उपस्थिति से स्वतंत्र है।

अध्यारोपण के सिद्धांत (principle of superposition) के अनुसार,$n$ बिंदु आवेशों के निकाय के कारण आवेश ${q_1}$ पर लगने वाला कुल बल प्रत्येक आवेश द्वारा ${q_1}$ पर लगाए गए व्यक्तिगत बलों का सदिश योग होता है।
मान लीजिए कि आवेश ${q_1}$ का स्थिति सदिश $\vec{r_1}$ है और $i$-वें आवेश ${q_i}$ का स्थिति सदिश $\vec{r_i}$ है।
आवेश ${q_i}$ द्वारा ${q_1}$ पर लगाया गया बल कूलम्ब के नियम के अनुसार है:
$\vec{F_{1i}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_i}{|\vec{r_1} - \vec{r_i}|^3} (\vec{r_1} - \vec{r_i})$
आवेश ${q_1}$ पर कुल बल $\vec{F_1}$,$i = 2$ से $n$ तक के इन बलों का योग है:
$\vec{F_1} = \sum_{i=2}^{n} \vec{F_{1i}} = \frac{q_1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=2}^{n} \frac{q_i}{|\vec{r_1} - \vec{r_i}|^3} (\vec{r_1} - \vec{r_i})$

(A) संपूर्ण स्थिर-वैद्युतिकी का क्षेत्र मौलिक रूप से कूलम्ब के नियम पर आधारित है।
कूलम्ब का नियम दो स्थिर बिंदु आवेशों के बीच बल का वर्णन करता है,जो विद्युत क्षेत्र और विद्युत विभव को परिभाषित करने के लिए आधार के रूप में कार्य करता है।
यद्यपि गॉस का नियम कूलम्ब के नियम से व्युत्पन्न एक शक्तिशाली उपकरण है,लेकिन कूलम्ब का नियम स्वयं वह प्राथमिक परिणाम है जो स्थिर-वैद्युत अंतःक्रियाओं को नियंत्रित करता है।

(N/A) दिया गया है: आवेश $q = 34.8\,kC = 3.48 \times 10^4\,C$. कूलम्ब नियतांक $k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$.
दो बिंदु आवेशों के बीच बल $F = \frac{k|q|^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$(i)$ $r_1 = 1\,cm = 10^{-2}\,m$ के लिए:
$F_1 = \frac{9 \times 10^9 \times (3.48 \times 10^4)^2}{(10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 12.11 \times 10^8}{10^{-4}} = 1.09 \times 10^{23}\,N$.
$(ii)$ $r_2 = 100\,m$ के लिए:
$F_2 = \frac{9 \times 10^9 \times (3.48 \times 10^4)^2}{(100)^2} = \frac{109 \times 10^{21}}{10^4} = 1.09 \times 10^{15}\,N$.
$(iii)$ $r_3 = 10^6\,m$ के लिए:
$F_3 = \frac{9 \times 10^9 \times (3.48 \times 10^4)^2}{(10^6)^2} = \frac{109 \times 10^{21}}{10^{12}} = 1.09 \times 10^7\,N$.
निष्कर्ष: गणना किए गए बल अत्यधिक बड़े हैं। यह दर्शाता है कि किसी तटस्थ वस्तु में धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों को अलग करना लगभग असंभव है,जो यह स्पष्ट करता है कि पदार्थ सामान्यतः विद्युत रूप से तटस्थ क्यों होते हैं।

(N/A) मान लीजिए कि तीसरा आवेश $2q$,आवेश $q$ से $x$ दूरी पर,$-3q$ से दूर वाली दिशा में रखा गया है।
$q$ के कारण $2q$ पर लगने वाला प्रतिकर्षण बल:
$F_q = \frac{k(q)(2q)}{x^2} = \frac{2kq^2}{x^2}$
$-3q$ के कारण $2q$ पर लगने वाला आकर्षण बल:
$F_{-3q} = \frac{k(3q)(2q)}{(x+d)^2} = \frac{6kq^2}{(x+d)^2}$
परिणामी बल शून्य होने के लिए,इन बलों का परिमाण समान होना चाहिए:
$F_q = F_{-3q}$
$\frac{2kq^2}{x^2} = \frac{6kq^2}{(x+d)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{3}{(x+d)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{x+d}$
$x+d = \sqrt{3}x$
$d = x(\sqrt{3}-1)$
$x = \frac{d}{\sqrt{3}-1} = \frac{d(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{d(\sqrt{3}+1)}{2}$
अतः,आवेश $2q$ को आवेश $q$ से $\frac{d(\sqrt{3}+1)}{2}$ दूरी पर $-3q$ से दूर वाली दिशा में रखा जाना चाहिए।

(N/A) तीन आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = k \left( \frac{q_1 q_2}{r} + \frac{q_2 q_3}{r} + \frac{q_3 q_1}{r} \right)$ द्वारा दी जाती है।
न्यूट्रॉन के लिए,आवेश $q_1 = \frac{2}{3}e$,$q_2 = -\frac{1}{3}e$,और $q_3 = -\frac{1}{3}e$ हैं।
$U = \frac{k}{r} \left[ (\frac{2}{3}e)(-\frac{1}{3}e) + (-\frac{1}{3}e)(-\frac{1}{3}e) + (-\frac{1}{3}e)(\frac{2}{3}e) \right] = \frac{k}{r} \left[ -\frac{2}{9}e^2 + \frac{1}{9}e^2 - \frac{2}{9}e^2 \right] = \frac{k}{r} \left( -\frac{3}{9}e^2 \right) = -\frac{k e^2}{3r}$.
$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $r = 10^{-15} \ m$ रखने पर:
$U = -\frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{3 \times 10^{-15}} = -7.68 \times 10^{-14} \ J$.
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $U = \frac{-7.68 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = -4.8 \times 10^5 \ eV = -0.48 \ MeV$.
$(b)$ प्रोटॉन के लिए,आवेश $q_1 = \frac{2}{3}e$,$q_2 = \frac{2}{3}e$,और $q_3 = -\frac{1}{3}e$ हैं।
$U = \frac{k}{r} \left[ (\frac{2}{3}e)(\frac{2}{3}e) + (\frac{2}{3}e)(-\frac{1}{3}e) + (-\frac{1}{3}e)(\frac{2}{3}e) \right] = \frac{k}{r} \left[ \frac{4}{9}e^2 - \frac{2}{9}e^2 - \frac{2}{9}e^2 \right] = 0 \ J$.

(A) दिया गया है:
आवेश $q_1 = 2 \times 10^{-7} C$
आवेश $q_2 = 3 \times 10^{-7} C$
दूरी $r = 30 cm = 0.3 m$
कूलम्ब का नियतांक $k = 9 \times 10^9 N \cdot m^2/C^2$
कूलम्ब के नियम के अनुसार, बल $F$ इस प्रकार है:
$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$
मान रखने पर:
$F = (9 \times 10^9) \times \frac{(2 \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^{-7})}{(0.3)^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 6 \times 10^{-14}}{0.09}$
$F = \frac{54 \times 10^{-5}}{0.09}$
$F = 600 \times 10^{-5} N = 6 \times 10^{-3} N$
अतः, सही विकल्प $A$ है.

(D) एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन के बीच स्थिर-विद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a_{e} = \frac{F}{m_{e}}$ है।
बल का सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $a_{e} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{m_{e} r^{2}}$.
यहाँ $r = 1.6 \; \mathring{A} = 1.6 \times 10^{-10} \; m$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m_{e} = 9 \times 10^{-31} \; kg$,और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; Nm^{2} C^{-2}$ है।
$a_{e} = \frac{9 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}}{9 \times 10^{-31} \times (1.6 \times 10^{-10})^{2}}$.
$a_{e} = \frac{9 \times 10^{9} \times 2.56 \times 10^{-38}}{9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{-20}}$.
$a_{e} = \frac{10^{9} \times 10^{-38}}{10^{-31} \times 10^{-20}} = \frac{10^{-29}}{10^{-51}} = 10^{22} \; m/s^{2}$.

(C) दो बिंदु आवेशों के बीच का बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$.
यहाँ,मूल बिंदु पर $q_{1} = 1 \,C$ और विभिन्न स्थितियों $y$ पर $q_{2} = 1 \,\mu C = 10^{-6} \,C$ है।
कुल बल $F$ सभी आवेशों द्वारा लगाए गए बलों का योग है:
$F = \sum \frac{k q_{1} q_{2}}{y^{2}} = k q_{1} q_{2} \left( \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{8^{2}} + \ldots \right)$
$F = (9 \times 10^{9}) \times (1) \times (10^{-6}) \times \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \ldots \right)$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
$F = 9 \times 10^{3} \times \frac{4}{3} = 12 \times 10^{3} \,N$.
$x \times 10^{3} \,N$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 12$ प्राप्त होता है।

(D) माना $m = 10 \, mg = 10 \times 10^{-6} \, kg$,$L = 0.5 \, m$,$r = 0.2 \, m$,और $g = 10 \, ms^{-2}$ है।
साम्यावस्था में,प्रत्येक गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $mg$,और स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{kq^2}{r^2}$ हैं।
ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{r/2}{L} = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$। अतः,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - 0.04} = \sqrt{0.96}$।
बलों को वियोजित करने पर: $T \cos \theta = mg$ और $T \sin \theta = F_e$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{r^2 mg}$।
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{0.2}{\sqrt{0.96}} = \frac{0.2}{0.9798} \approx 0.204$।
$q^2 = \frac{r^2 mg \tan \theta}{k} = \frac{(0.2)^2 \times (10^{-5}) \times (0.204)}{9 \times 10^9} = \frac{0.04 \times 10^{-5} \times 0.204}{9 \times 10^9} \approx 9.06 \times 10^{-17} \, C^2$।
$q \approx 9.52 \times 10^{-9} \, C = 0.952 \times 10^{-8} \, C$।
दिया गया है $q = \frac{a}{21} \times 10^{-8} \, C$,इसलिए $\frac{a}{21} = 0.952 \implies a = 0.952 \times 21 \approx 20$।

(C) जब दो समान चालक गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है।
कुल आवेश $Q = 2.1 \, nC + (-0.1 \, nC) = 2.0 \, nC$.
संपर्क के बाद प्रत्येक गोले पर आवेश $q = \frac{Q}{2} = \frac{2.0 \, nC}{2} = 1.0 \, nC = 1.0 \times 10^{-9} \, C$.
गोलों के बीच की दूरी $r = 0.5 \, m$ है।
स्थिर वैद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}$.
मान रखने पर: $F = (9 \times 10^{9}) \times \frac{(1.0 \times 10^{-9}) \times (1.0 \times 10^{-9})}{(0.5)^{2}}$.
$F = \frac{9 \times 10^{9} \times 10^{-18}}{0.25} = \frac{9 \times 10^{-9}}{0.25} = 36 \times 10^{-9} \, N$.
अतः,बल $36 \times 10^{-9} \, N$ है।

(A) मान लीजिए कि दो आवेश $q$ और $(Q-q)$ एक-दूसरे से $r$ दूरी पर स्थित हैं। उनके बीच स्थिर-वैद्युत बल $F$ कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k q(Q-q)}{r^2}$
अधिकतम बल की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम $F$ का $q$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF}{dq} = \frac{k}{r^2} \frac{d}{dq} (Qq - q^2) = 0$
$\frac{k}{r^2} (Q - 2q) = 0$
चूंकि $k$ और $r$ स्थिरांक हैं और शून्य नहीं हैं,इसलिए:
$Q - 2q = 0$
$Q = 2q$
अतः,अधिकतम प्रतिकर्षण के लिए आवेश $Q$ को दो समान भागों में विभाजित किया जाना चाहिए।

(B) माना कि दो स्थिर आवेशों के बीच की दूरी $2d = 2 \, m$ है,इसलिए $d = 1 \, m$। कण का द्रव्यमान $m = 1 \, mg = 10^{-6} \, kg$ है।
जब मुक्त आवेशित कण को $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो उस पर लगने वाला कुल बल:
$F = \frac{kq^{2}}{(d-x)^{2}} - \frac{kq^{2}}{(d+x)^{2}}$
$F = kq^{2} \left[ \frac{(d+x)^{2} - (d-x)^{2}}{(d^{2}-x^{2})^{2}} \right] = kq^{2} \left[ \frac{4dx}{(d^{2}-x^{2})^{2}} \right]$
चूंकि $x \ll d$,हम $(d^{2}-x^{2})^{2} \approx d^{4}$ मान सकते हैं:
$F \approx \frac{4kq^{2}dx}{d^{4}} = \frac{4kq^{2}}{d^{3}} x$
चूंकि बल संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित है,$F = -m\omega^{2}x$। अतः:
$m\omega^{2} = \frac{4kq^{2}}{d^{3}}$
$\omega = \sqrt{\frac{4kq^{2}}{md^{3}}}$
मान $k = 9 \times 10^{9} \, N \cdot m^{2}/C^{2}$,$q^{2} = 10 \, C^{2}$,$m = 10^{-6} \, kg$,और $d = 1 \, m$ रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{4 \times 9 \times 10^{9} \times 10}{10^{-6} \times 1^{3}}} = \sqrt{36 \times 10^{16}} = 6 \times 10^{8} \, rad/s$.
अतः,कोणीय आवृत्ति $6 \times 10^{8} \, rad/s$ है।

(C) मान लीजिए कि धागे में तनाव $T$ है और गेंदों के बीच की दूरी $x$ है।
संतुलन की स्थिति में,प्रत्येक गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं: तनाव $T$,भार $mg$,और स्थिर वैद्युत बल $F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$।
बलों को वियोजित करने पर:
$T \cos \theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर घटक)
$T \sin \theta = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$ (क्षैतिज घटक)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 x^2 mg}$।
छोटे कोणों के लिए,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{l} = \frac{x}{2l}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{x}{2l} = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 x^2 mg}$।
$x^3$ के लिए हल करने पर: $x^3 = \frac{q^2 l}{2 \pi \varepsilon_0 mg}$।
अतः,$x = \left(\frac{q^2 l}{2 \pi \varepsilon_0 mg}\right)^{1/3}$।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक गेंद पर आवेश $q = 2 \, C$ है और किन्हीं दो गेंदों के बीच की दूरी $r = 1 \, m$ है।
किन्हीं दो आवेशित गेंदों के बीच स्थिर-विद्युत बल $F$,कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k q^2}{r^2} = \frac{k (2)^2}{(1)^2} = 4k$
किसी एक आवेशित गेंद पर विचार करें। यह अन्य दो गेंदों से दो स्थिर-विद्युत बल अनुभव करती है। चूंकि गेंदें एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए इन दो बलों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
अन्य दो गेंदों के कारण एक गेंद पर लगने वाला कुल स्थिर-विद्युत बल $F_{\text{net}}$ इन दो बलों का सदिश योग है:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{2F^2 + 2F^2 (0.5)} = \sqrt{3F^2} = F \sqrt{3}$
अतः,कुल स्थिर-विद्युत बल और किन्हीं दो आवेशित गेंदों के बीच के बल का अनुपात है:
$\frac{F_{\text{net}}}{F} = \frac{F \sqrt{3}}{F} = \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{1}$
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(D) मान लीजिए कि दो आवेश $Q$ बिंदुओं $A$ और $B$ पर $d$ दूरी पर रखे गए हैं। मध्य-बिंदु $O$ है। आवेश $q$ लंब समद्विभाजक पर बिंदु $P$ पर $O$ से $x$ दूरी पर है।
प्रत्येक आवेश $Q$ और $q$ के बीच की दूरी $r = \sqrt{x^2 + (d/2)^2}$ है।
प्रत्येक आवेश $Q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया कूलॉम बल $F = \frac{kQq}{x^2 + d^2/4}$ है।
बलों के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,और परिणामी बल $F_{\text{net}}$ लंब समद्विभाजक की दिशा में होता है:
$F_{\text{net}} = 2F \cos \theta = 2 \left( \frac{kQq}{x^2 + d^2/4} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + d^2/4}} \right) = \frac{2kQqx}{(x^2 + d^2/4)^{3/2}}$.
अधिकतम बल ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dF_{\text{net}}}{dx} = 0$ रखते हैं:
$\frac{d}{dx} \left[ 2kQqx (x^2 + d^2/4)^{-3/2} \right] = 0$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $2kQq \left[ (x^2 + d^2/4)^{-3/2} + x(-3/2)(x^2 + d^2/4)^{-5/2}(2x) \right] = 0$.
$(x^2 + d^2/4)^{-3/2} - 3x^2(x^2 + d^2/4)^{-5/2} = 0$.
$(x^2 + d^2/4) - 3x^2 = 0 \implies d^2/4 = 2x^2 \implies x^2 = d^2/8$.
अतः,$x = \frac{d}{2\sqrt{2}}$।

(C) दिए गए आवेश: $q_A = 5 \, \mu C$,$q_B = 0.16 \, \mu C$,$q_C = 0.3 \, \mu C$.
दूरियाँ: $r_{AB} = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$,$r_{AC} = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$.
कूलम्ब का नियम: $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
$C$ के कारण $A$ पर बल $(F_1)$: $F_1 = \frac{9 \times 10^9 \times (5 \times 10^{-6}) \times (0.3 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1.5 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10 = 15 \, N$.
$B$ के कारण $A$ पर बल $(F_2)$: $F_2 = \frac{9 \times 10^9 \times (5 \times 10^{-6}) \times (0.16 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 0.8 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-4}} = 0.8 \times 10 = 8 \, N$.
चूँकि $A$ समकोण वाला कोना है,$F_1$ और $F_2$ परस्पर लंबवत हैं।
परिणामी बल $F_{net} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \, N$.

(B) माना कुल आवेश $Q = 4\,\mu C$ को दो भागों $q$ और $(Q - q)$ में विभाजित किया गया है।
$d$ दूरी पर स्थित इन दो आवेशों के बीच स्थिरवैद्युत बल $F$ कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{K q (Q - q)}{d^2}$
अधिकतम बल की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम $F$ का $q$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF}{dq} = \frac{K}{d^2} \frac{d}{dq} (Qq - q^2) = 0$
$\frac{K}{d^2} (Q - 2q) = 0$
चूंकि $K$ और $d$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$Q - 2q = 0 \implies q = \frac{Q}{2}$
$Q = 4\,\mu C$ दिया गया है,अतः $q = \frac{4\,\mu C}{2} = 2\,\mu C$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,दो आवेश $2\,\mu C$ और $2\,\mu C$ होंगे।

(A) इस स्थिति में एक प्रोटॉन और एक एंटी-प्रोटॉन एक-दूसरे के करीब आते हैं। चूंकि उनके पास विपरीत आवेश हैं,वे एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।
मान लीजिए कि $r = 10 \, cm = 0.1 \, m$ की दूरी पर प्रत्येक कण का वेग $v$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अनंत पर कुल ऊर्जा (जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य है और यह मानते हुए कि वे स्थिर अवस्था से शुरू होते हैं) $r$ दूरी पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$(PE)_{i} + (KE)_{i} = (PE)_{f} + (KE)_{f}$
$0 + 0 = -\frac{K e^2}{r} + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2$
नोट: स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक है क्योंकि आवेश विपरीत हैं।
$\frac{K e^2}{r} = m v^2$
$v = \sqrt{\frac{K e^2}{m r}}$
मान रखने पर: $K = 9 \times 10^9 \, N m^2/C^2$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$,$r = 0.1 \, m$.
$v = \sqrt{\frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{1.67 \times 10^{-27} \times 0.1}} = 1.17 \, m/s$.

(D) प्रत्येक गेंद तीन बलों के प्रभाव में संतुलन में है:
$(i)$ स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण बल $F_e$,जो दोनों गेंदों पर समान परिमाण का है और उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
$(ii)$ गुरुत्वाकर्षण बल (भार) $m_1 g$ और $m_2 g$,जो प्रत्येक गेंद के केंद्र से नीचे की ओर कार्य करता है।
$(iii)$ तनाव बल $T_1$ और $T_2$,जो डोरियों के अनुदिश कार्य करते हैं।
माना $\theta_1 = 30^{\circ}$ और $\theta_2 = 60^{\circ}$ ऊर्ध्वाधर के साथ बने कोण हैं। संतुलन की स्थिति में:
$T \sin \theta = F_e$
$T \cos \theta = mg$
इन दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$
गेंद $1$ के लिए:
$\tan 30^{\circ} = \frac{F_e}{m_1 g} \implies m_1 g = \frac{F_e}{\tan 30^{\circ}}$
गेंद $2$ के लिए:
$\tan 60^{\circ} = \frac{F_e}{m_2 g} \implies m_2 g = \frac{F_e}{\tan 60^{\circ}}$
अनुपात $m_1 / m_2$ लेने पर:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\tan 60^{\circ}}{\tan 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि हम $\sin \theta_2 / \sin \theta_1$ का उपयोग करते हैं,तो $\sin 60^{\circ} / \sin 30^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1.73$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $1.7$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $e$ आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित गोलाकार कोश की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $E = \frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 R}$ द्वारा दी जाती है।
आइंस्टीन की द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता के अनुसार,$E = m_e c^2$ है।
ऊर्जा के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 R} = m_e c^2$.
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 m_e c^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m_e c^2} \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2 \times 9 \times 10^9}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^8)^2}$.
$R = \frac{2.56 \times 10^{-38} \times 9 \times 10^9}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16}} = \frac{2.56 \times 10^{-29}}{18.2 \times 10^{-15}} \approx 0.14 \times 10^{-14} \, m = 1.4 \times 10^{-15} \, m$.

(B) मान लीजिए $a$ समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई है और $r$ मूल बिंदु से प्रत्येक आवेश की दूरी (परित्रिज्या) है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$,इसलिए $a = \sqrt{3} r$.
अन्य दो आवेशों के कारण एक आवेश पर लगने वाला बल दो कूलम्ब बलों का सदिश योग है। प्रत्येक बल का परिमाण $F_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2}$ है।
इन दो बलों के बीच का कोण $60^\circ$ है। परिणामी बल $F_{\text{net}}$ मूल बिंदु की ओर निर्देशित है:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F_C^2 + F_C^2 + 2 F_C^2 \cos 60^\circ} = \sqrt{3} F_C = \sqrt{3} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \right)$.
$a^2 = 3 r^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$F_{\text{net}} = \sqrt{3} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{3 r^2} \right) = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{3} r^2}$.
यह बल प्रत्यानयन बल $F(r) = k r$ द्वारा संतुलित होता है:
$k r = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{3} r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{3} k} = \frac{\sqrt{3} q^2}{12 \pi \varepsilon_0 k}$.
अतः,$r = \left[ \frac{\sqrt{3}}{12 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{k} \right]^{1/3}$.

(B) निकटतम दूरी पर,कणों का सापेक्ष वेग शून्य हो जाता है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,निकटतम दूरी $r$ पर कुल स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2$ है।
$r$ दूरी पर स्थितिज ऊर्जा $PE_f = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r}$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $m v^2 = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 m v^2}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रारंभिक स्थिति: दो गोले $A$ और $B$ प्रत्येक पर आवेश $q$ है और वे $r$ दूरी पर स्थित हैं। प्रारंभिक बल $F = \frac{k q^2}{r^2}$ है।
चरण $1$: जब अनावेशित गोले $C$ को गोले $A$ से स्पर्श कराया जाता है,तो कुल आवेश $q + 0 = q$ उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है क्योंकि वे समान हैं। इस प्रकार,$A$ पर आवेश $q_A = \frac{q}{2}$ हो जाता है और $C$ पर आवेश $q_C = \frac{q}{2}$ हो जाता है।
चरण $2$: अब,गोले $C$ (जिस पर आवेश $\frac{q}{2}$ है) को गोले $B$ (जिस पर आवेश $q$ है) से स्पर्श कराया जाता है। कुल आवेश $q + \frac{q}{2} = \frac{3q}{2}$ है। चूंकि गोले समान हैं,यह आवेश $B$ और $C$ के बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है। इसलिए,$B$ पर नया आवेश $q_B = \frac{1}{2} \times \frac{3q}{2} = \frac{3q}{4}$ है।
चरण $3$: गोले $A$ (आवेश $\frac{q}{2}$) और गोले $B$ (आवेश $\frac{3q}{4}$) के बीच समान दूरी $r$ पर अंतिम बल $F^{\prime}$ है:
$F^{\prime} = \frac{k q_A q_B}{r^2} = \frac{k (q/2) (3q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \frac{k q^2}{r^2}$.
चूंकि $F = \frac{k q^2}{r^2}$,इसलिए $F^{\prime} = \frac{3}{8} F$.

(C) दिया गया है:
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = 6.7 \times 10^{-11} \, Nm^2/kg^2$
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
कूलम्ब नियतांक $k = 9 \times 10^9 \, Nm^2/C^2$
$r$ दूरी पर स्थित दो इलेक्ट्रॉनों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल:
$F_G = \frac{G m_e^2}{r^2} = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{r^2}$
दो इलेक्ट्रॉनों के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल:
$F_E = \frac{k e^2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r^2}$
गुरुत्वाकर्षण बल और स्थिर-वैद्युत बल का अनुपात:
$\frac{F_G}{F_E} = \frac{G m_e^2}{k e^2} = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$
गणना करने पर:
$\frac{F_G}{F_E} \approx \frac{6.7 \times 82.81 \times 10^{-73}}{9 \times 2.56 \times 10^{-29}} \approx 24 \times 10^{-44}$
अतः,अनुपात लगभग $24 \times 10^{-44}$ है।