Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Hindi

(A) प्रारंभिक आवेश $q_1 = 3 \mu C$ और $q_2 = 8 \mu C$ हैं। कूलम्ब के नियम के अनुसार उनके बीच का बल: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 40 \ N$ है।
जब प्रत्येक में $-5 \mu C$ का आवेश जोड़ा जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$q_1' = 3 \mu C - 5 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 8 \mu C - 5 \mu C = 3 \mu C$
नया बल $F'$ है:
$F' = k \frac{q_1' q_2'}{r^2} = k \frac{(-2)(3)}{r^2} = -6k \frac{1}{r^2}$
नए बल को प्रारंभिक बल से विभाजित करने पर:
$\frac{F'}{40} = \frac{k \frac{(-2)(3)}{r^2}}{k \frac{(3)(8)}{r^2}} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$
$F' = 40 \times (-\frac{1}{4}) = -10 \ N$.

(D) मान लीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर $q$ परिमाण के तीन आवेश स्थित हैं।
किसी एक शीर्ष पर स्थित आवेश पर विचार करें। यह अन्य दो आवेशों के कारण दो प्रतिकर्षण बल अनुभव करता है, जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $F$ है।
इन दो बलों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है (समबाहु त्रिभुज का आंतरिक कोण)।
परिणामी बल $R$ सदिश योग के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \theta}$
यहाँ $F_1 = F$, $F_2 = F$, और $\theta = 60^{\circ}$ रखने पर:
$R = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 60^{\circ}}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$ है, इसलिए:
$R = \sqrt{2 F^2 + 2 F^2 (0.5)} = \sqrt{2 F^2 + F^2} = \sqrt{3 F^2} = \sqrt{3} F$.

(D) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ नेट विद्युत क्षेत्र शून्य है,मूल बिंदु $(x=0)$ से $x$ दूरी पर है।
चूंकि आवेश विपरीत चिह्नों के हैं,इसलिए शून्य बिंदु आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर,विशेष रूप से छोटे परिमाण वाले आवेश $(-2 q)$ की ओर स्थित होगा।
मान लीजिए कि बिंदु $x > L$ पर है। $+8 q$ से इसकी दूरी $x$ है और $-2 q$ से इसकी दूरी $(x - L)$ है।
नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए:
$E_1 = E_2$
$\frac{K(8 q)}{x^2} = \frac{K(2 q)}{(x - L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{2}{x} = \frac{1}{x - L}$
$2(x - L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2 L$
अतः,वह बिंदु मूल बिंदु से $2 L$ की दूरी पर है।

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,निर्वात या हवा में दो आवेशों के बीच लगने वाला बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ होता है।
जब गोलों को $k$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो बल $F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 k} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ हो जाता है।
अतः,नए बल $F'$ और मूल बल $F$ के बीच संबंध $F' = \frac{F}{k}$ है।
चूंकि परावैद्युतांक $k = 5$ दिया गया है,इसलिए नया बल $F' = \frac{F}{5}$ होगा।

(B) दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच की दूरी को $r_1$ से $r_2$ तक बदलने के लिए किया गया कार्य $W$,स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$.
दिया गया है: $q_1 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 4 \times 10^{-6} \ C$,$r_1 = 10 \times 10^{-2} \ m$,$r_2 = (10 - 2) \times 10^{-2} = 8 \times 10^{-2} \ m$.
मान रखने पर:
$W = (9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{8 \times 10^{-2}} - \frac{1}{10 \times 10^{-2}} \right)$.
$W = 360 \times 10^{-3} \times \left( \frac{100}{8} - \frac{100}{10} \right) \times 10^{-2} = 0.36 \times (12.5 - 10) = 0.36 \times 2.5 = 0.9 \ J$.

(C) $1$. गुरुत्वाकर्षण बल स्थिर-वैद्युत बल की तुलना में बहुत कमजोर होता है। अतः,विकल्प $A$ गलत है।
$2$. गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा आकर्षक होता है,लेकिन स्थिर-वैद्युत बल आवेशों के आधार पर आकर्षक या प्रतिकर्षी हो सकता है। अतः,विकल्प $B$ गलत है।
$3$. गुरुत्वाकर्षण बल (न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम) और स्थिर-वैद्युत बल (कूलम्ब का नियम) दोनों केंद्रीय बल हैं,जिसका अर्थ है कि वे दोनों वस्तुओं के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करते हैं। अतः,विकल्प $C$ सही है।
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल और स्थिर-वैद्युत बल दोनों व्युत्क्रम वर्ग नियम $(F \propto \frac{1}{r^2})$ का पालन करते हैं। अतः,विकल्प $D$ गलत है।

(A) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई $r$ है। शीर्षों $1, 2,$ और $3$ पर आवेश समान हैं,इसलिए $q_1 = q_2 = q_3 = q$ है।
आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच की दूरी वर्ग की भुजा है,$r_{12} = r$।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,बल $F_{12}$ है:
$F_{12} = \frac{k q_1 q_2}{r_{12}^2} = \frac{k q^2}{r^2} \quad \dots (1)$
आवेशों $q_1$ और $q_3$ के बीच की दूरी वर्ग का विकर्ण है,$r_{13} = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,बल $F_{13}$ है:
$F_{13} = \frac{k q_1 q_3}{r_{13}^2} = \frac{k q^2}{(r\sqrt{2})^2} = \frac{k q^2}{2r^2} \quad \dots (2)$
समीकरण $(2)$ का समीकरण $(1)$ से अनुपात लेने पर:
$\frac{F_{13}}{F_{12}} = \frac{\frac{k q^2}{2r^2}}{\frac{k q^2}{r^2}} = \frac{1}{2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच बल $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $k = \frac{F r^2}{q_1 q_2}$ प्राप्त होता है।
$k$ का $SI$ मात्रक $\frac{N \cdot m^2}{C^2}$ है।
चूंकि $1 \ C = 1 \ A \cdot s$,इसलिए मात्रक को $\frac{N \cdot m^2}{A^2 \cdot s^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
विमाएं इस प्रकार हैं: बल $[F] = M^1 L^1 T^{-2}$,दूरी $[r] = L^1$,धारा $[I] = I^1$,और समय $[t] = T^1$।
$k$ के सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[k] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}] [L^2]}{[I^2] [T^2]} = \frac{M^1 L^3 T^{-2}}{I^2 T^2} = M^1 L^3 T^{-4} I^{-2}$।

(D) दिया गया है कि स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल कण के भार के बराबर है:
$F_e = F_g$
$\frac{k q^2}{r^2} = mg$
$r^2$ के लिए सूत्र व्यवस्थित करने पर:
$r^2 = \frac{k q^2}{mg}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r^2 = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{1.66 \times 10^{-27} \times 10}$
$r^2 = \frac{9 \times 2.56 \times 10^{9} \times 10^{-38}}{1.66 \times 10^{-26}}$
$r^2 = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{1.66 \times 10^{-26}}$
$r^2 = 13.8795 \times 10^{-3} = 1.38795 \times 10^{-2}$
वर्गमूल लेने पर:
$r = \sqrt{1.38795} \times 10^{-1} \ m$
$r \approx 1.178 \times 10^{-1} \ m$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $r \approx 1.18 \times 10^{-1} \ m$ प्राप्त होता है।

(B) माना $l = 10 \ cm = 0.1 \ m$ डोरी की लंबाई है। डोरियों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
संतुलन में,प्रत्येक गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,और स्थिर वैद्युत बल $F_e = \frac{kq^2}{x^2}$ हैं,जहाँ $x$ गोलों के केंद्रों के बीच की दूरी है।
ज्यामिति से,$x = 2l \sin \theta = 2(0.1) \sin 30^{\circ} = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m$.
बलों का वियोजन करने पर:
$T \sin \theta = F_e$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{x^2 mg}$.
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र: $m = \frac{kq^2}{x^2 g \tan \theta}$.
मान रखने पर:
$m = \frac{(9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-6})^2}{(0.1)^2 \times 10 \times \tan 30^{\circ}}$
$m = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{0.01 \times 10 \times (1/\sqrt{3})}$
$m = \frac{36 \times 10^{-3}}{0.1 \times (1/\sqrt{3})} = 36 \times 10^{-2} \times \sqrt{3} \approx 0.36 \times 1.732 = 0.6235 \ kg$.

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो प्रोटॉन (जिनका आवेश $q = e$ है) के बीच लगने वाला कूलम्ब बल है:
$F = \frac{k e^2}{r^2}$
एक अल्फा कण ($\alpha$-particle) में $2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन होते हैं, इसलिए इसका आवेश $q_{\alpha} = 2e$ होता है।
$2r$ दूरी पर स्थित दो अल्फा कणों के बीच लगने वाला बल $F^{\prime}$ इस प्रकार होगा:
$F^{\prime} = \frac{k (2e)(2e)}{(2r)^2}$
$F^{\prime} = \frac{4 k e^2}{4 r^2}$
$F^{\prime} = \frac{k e^2}{r^2}$
अतः, मूल बल से तुलना करने पर, हमें $F^{\prime} = F$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि दो बिंदु आवेश $q_1$ और $q_2$ हैं,जो $r$ दूरी पर स्थित हैं। कूलॉम के नियम के अनुसार प्रारंभिक बल: $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = 200 \ N$ है।
जब आवेश $q_1$ में $10 \ \%$ की वृद्धि होती है,तो नया आवेश $q_1' = q_1 + 0.1 q_1 = 1.1 q_1$ हो जाता है।
जब आवेश $q_2$ में $10 \ \%$ की कमी होती है,तो नया आवेश $q_2' = q_2 - 0.1 q_2 = 0.9 q_2$ हो जाता है।
समान दूरी $r$ पर नया विद्युत बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k (1.1 q_1) (0.9 q_2)}{r^2}$।
प्रारंभिक बल का मान रखने पर: $F' = (1.1 \times 0.9) \times \frac{k q_1 q_2}{r^2} = 0.99 \times F$।
अतः,$F' = 0.99 \times 200 \ N = 198 \ N$।

(B) हवा में '$d$' दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच का बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F_{\text{air}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
जब माध्यम को $K$ स्थिरांक (जिसे सापेक्ष विद्युतशीलता $\epsilon_r$ भी कहा जाता है) वाले परावैद्युत से बदल दिया जाता है,तो माध्यम की विद्युतशीलता $\epsilon = K\epsilon_0$ हो जाती है।
माध्यम में बल इस प्रकार है: $F_{\text{medium}} = \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{q_1 q_2}{d^2} = \frac{1}{4\pi(K\epsilon_0)} \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
इसलिए,$F_{\text{medium}} = \frac{1}{K} \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} \right) = \frac{F_{\text{air}}}{K}$.
अतः,बल $K$ गुना घट जाता है।

(A) मान लीजिए कि वर्ग के शीर्ष $A, B, C$ और $D$ हैं। $A, B, C$ पर स्थित आवेश $D$ पर स्थित आवेश पर बल लगाते हैं।
$1$. $A$ पर स्थित आवेश के कारण बल $(F_{DA})$: यह बल $DA$ की दिशा में (ऊपर की ओर) कार्य करता है,जिसका परिमाण $F_{DA} = \frac{k q^2}{a^2}$ है।
$2$. $C$ पर स्थित आवेश के कारण बल $(F_{DC})$: यह बल $DC$ की दिशा में (बाईं ओर) कार्य करता है,जिसका परिमाण $F_{DC} = \frac{k q^2}{a^2}$ है।
$3$. $B$ पर स्थित आवेश के कारण बल $(F_{DB})$: $B$ और $D$ के बीच की दूरी वर्ग का विकर्ण है,जो $\sqrt{2}a$ है। यह बल विकर्ण $BD$ की दिशा में (बाहर की ओर) कार्य करता है,जिसका परिमाण $F_{DB} = \frac{k q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{k q^2}{2a^2}$ है।
$F_{DA}$ और $F_{DC}$ का परिणामी बल $F_{AC} = \sqrt{F_{DA}^2 + F_{DC}^2} = \sqrt{\left(\frac{k q^2}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{k q^2}{a^2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2} k q^2}{a^2}$ है। यह परिणामी बल विकर्ण $BD$ की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि $F_{AC}$ और $F_{DB}$ एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल बल $F_{net} = F_{AC} + F_{DB} = \frac{\sqrt{2} k q^2}{a^2} + \frac{k q^2}{2a^2} = \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) \frac{k q^2}{a^2}$ होगा।

(B) दो गोलों के बीच प्रारंभिक कूलम्ब बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k(q)(-q)}{d^2} = -\frac{kq^2}{d^2}$
जब गोले $B$ (आवेश $-q$) से गोले $A$ (आवेश $+q$) पर $50\%$ आवेश स्थानांतरित किया जाता है,तो स्थानांतरित आवेश की मात्रा $\frac{q}{2}$ है।
गोलों पर नए आवेश हैं:
$q_A = q - \frac{q}{2} = \frac{q}{2}$
$q_B = -q + \frac{q}{2} = -\frac{q}{2}$
नया कूलम्ब बल $F^{\prime}$ है:
$F^{\prime} = \frac{k(q_A)(q_B)}{d^2} = \frac{k(\frac{q}{2})(-\frac{q}{2})}{d^2}$
$F^{\prime} = -\frac{kq^2}{4d^2}$
चूंकि $F = -\frac{kq^2}{d^2}$,इसलिए $F^{\prime}$ के लिए:
$F^{\prime} = \frac{F}{4}$

(C) $\alpha$-कण का विद्युत आवेश $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 3.2 \times 10^{-19} \ C$ होता है।
दी गई दूरी $r = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$ है।
कूलम्बियन प्रतिकर्षण बल का सूत्र $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ है।
चूंकि $q_1 = q_2 = q$,इसलिए $F = \frac{k q^2}{r^2}$ होगा।
मान रखने पर:
$F = \frac{9 \times 10^9 \times (3.2 \times 10^{-19})^2}{(3 \times 10^{-2})^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 10.24 \times 10^{-38}}{9 \times 10^{-4}}$
$F = 10.24 \times 10^{9 - 38 + 4}$
$F = 10.24 \times 10^{-25} \ N = 1.024 \times 10^{-24} \ N$.

(B) कूलम्ब के नियम और न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,एक बिंदु आवेश द्वारा दूसरे पर लगाया गया स्थिर वैद्युत बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है।
मान लीजिए $\vec{F}_{AB}$,$B$ के कारण $A$ पर लगने वाला बल $(F_1)$ है और $\vec{F}_{BA}$,$A$ के कारण $B$ पर लगने वाला बल $(F_2)$ है।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ होता है।
अतः,$F_1 = -F_2$।

(A) माना कुल आवेश $2Q$ है। दो भाग $q_{1}$ और $q_{2}$ हैं,इस प्रकार कि $q_{1} + q_{2} = 2Q$। अतः,$q_{2} = 2Q - q_{1}$।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों के बीच बल $F = k \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$q_{2}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$F = \frac{k}{r^2} (q_{1})(2Q - q_{1}) = \frac{k}{r^2} (2Qq_{1} - q_{1}^2)$।
बल $F$ के अधिकतम होने के लिए,$q_{1}$ के सापेक्ष $F$ का अवकलन शून्य होना चाहिए: $\frac{dF}{dq_{1}} = 0$।
$\frac{d}{dq_{1}} [\frac{k}{r^2} (2Qq_{1} - q_{1}^2)] = \frac{k}{r^2} (2Q - 2q_{1}) = 0$।
इसका अर्थ है $2Q - 2q_{1} = 0$,इसलिए $q_{1} = Q$।
अतः,अनुपात $\frac{Q}{q_{1}} = \frac{Q}{Q} = 1$ है।

(B) गोले $1$ के लिए,संतुलन में:
$T_{1} \cos \theta_{1} = M_{1} g$
$T_{1} \sin \theta_{1} = F$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta_{1} = \frac{F}{M_{1} g}$
इसी प्रकार,गोले $2$ के लिए,संतुलन में:
$T_{2} \cos \theta_{2} = M_{2} g$
$T_{2} \sin \theta_{2} = F$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta_{2} = \frac{F}{M_{2} g}$
यहाँ,$F$ दोनों गोलों के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल है,जो न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार दोनों गोलों के लिए समान है।
यदि $\theta_{1} = \theta_{2}$ है,तो $\tan \theta_{1} = \tan \theta_{2}$ होगा।
अतः,$\frac{F}{M_{1} g} = \frac{F}{M_{2} g}$,जिसका अर्थ है कि $M_{1} = M_{2}$।

(D) दो आवेशों के बीच प्रतिकर्षण बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$.
दिया गया है: $F = 10 \text{ mg wt} = 10 \times 10^{-3} \text{ kg} \times 10 \text{ ms}^{-2} = 0.1 \text{ N}$.
दूरी $r = 0.6 \text{ m}$.
चूंकि आवेश समान हैं,मान लीजिए $q_{1} = q_{2} = q$.
मान रखने पर: $0.1 = (9 \times 10^{9}) \times \frac{q^{2}}{(0.6)^{2}}$.
$q^{2} = \frac{0.1 \times 0.36}{9 \times 10^{9}} = \frac{0.036}{9 \times 10^{9}} = 0.004 \times 10^{-9} = 4 \times 10^{-12} \text{ C}^{2}$.
वर्गमूल लेने पर: $q = \sqrt{4 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{-6} \text{ C} = 2 \mu\text{C}$.

(C) दो आवेशों के बीच प्रारंभिक बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
प्रारंभिक मान रखने पर: $F = k \frac{(6 \mu C)(9 \mu C)}{d^2} = k \frac{54 \mu C^2}{d^2} \dots (1)$.
जब दोनों गोलों में $-3 \mu C$ का आवेश जोड़ा जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$q_1' = 6 \mu C - 3 \mu C = 3 \mu C$
$q_2' = 9 \mu C - 3 \mu C = 6 \mu C$.
नया बल $F'$ है: $F' = k \frac{q_1' q_2'}{d^2} = k \frac{(3 \mu C)(6 \mu C)}{d^2} = k \frac{18 \mu C^2}{d^2} \dots (2)$.
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{F'}{F} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$.
अतः,नया बल $F' = F/3$ होगा।

(A) माना कि दो आवेश $q_1$ और $q_2$ हैं। दिया गया है कि $q_1 + q_2 = 25 \times 10^{-6} \ C$ और दूरी $r = 1.5 \ m$ है। स्थिर-वैद्युत बल का सूत्र $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ है। मान रखने पर: $0.6 = \frac{9 \times 10^9 \times q_1 q_2}{(1.5)^2}$। $q_1 q_2$ के लिए हल करने पर: $q_1 q_2 = \frac{0.6 \times 2.25}{9 \times 10^9} = 0.15 \times 10^{-9} = 150 \times 10^{-12} \ C^2$। हम जानते हैं कि $(q_1 - q_2)^2 = (q_1 + q_2)^2 - 4 q_1 q_2$। मान रखने पर: $(q_1 - q_2)^2 = (25 \times 10^{-6})^2 - 4(150 \times 10^{-12}) = 625 \times 10^{-12} - 600 \times 10^{-12} = 25 \times 10^{-12} \ C^2$। वर्गमूल लेने पर,$q_1 - q_2 = 5 \times 10^{-6} \ C = 5 \mu C$।

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच स्थिरवैद्युत बल $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ होता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ है।
दिया गया है:
$q_1 = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$q_2 = 3.2 \times 10^{-19} \ C$
$r = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$
मान रखने पर:
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3.2 \times 10^{-19})}{(3 \times 10^{-2})^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 5.12 \times 10^{-38}}{9 \times 10^{-4}}$
$F = 5.12 \times 10^{9-38+4} \ N$
$F = 5.12 \times 10^{-25} \ N$.

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो आवेशों के बीच का बल $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ होता है।
यहाँ $q_1 = 6 \mu C$,$q_2 = 10 \mu C$ और $F = 30 \ N$ है।
अतः,$30 = \frac{k(6)(10)}{r^2} \Rightarrow \frac{k}{r^2} = \frac{30}{60} = 0.5$ है।
अब,यदि प्रत्येक पर $-8 \mu C$ का अतिरिक्त आवेश जोड़ा जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$q_1' = 6 \mu C - 8 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 10 \mu C - 8 \mu C = 2 \mu C$
नया बल $F' = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k}{r^2} \times (-2) \times (2)$ होगा।
$\frac{k}{r^2} = 0.5$ का मान रखने पर,$F' = 0.5 \times (-4) = -2 \ N$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न आकर्षण बल को दर्शाता है। अतः,वे $2 \ N$ के बल से आकर्षित होते हैं।

(A) कणों द्वारा कोई नेट बल अनुभव न करने के लिए,स्थिर-विद्युत प्रतिकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
$F_e = F_g$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2} = \frac{G m^2}{r^2}$
दोनों पक्षों से $r^2$ को हटाने पर:
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q^2 = G m^2$
$\frac{q}{m}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q^2}{m^2} = 4 \pi \epsilon_0 G$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{q}{m} = \sqrt{4 \pi \epsilon_0 G}$

(D) मान लीजिए $+q$ और $+2q$ के बीच की दूरी $r$ है,और $+2q$ और $+4q$ के बीच की दूरी भी $r$ है। अतः,$+q$ और $+4q$ के बीच की कुल दूरी $2r$ है।
आवेश $+q$ पर लगने वाला कुल स्थिर-विद्युत बल $F_1$,$+2q$ और $+4q$ के कारण लगने वाले बलों का योग है:
$F_1 = \frac{k(q)(2q)}{r^2} + \frac{k(q)(4q)}{(2r)^2} = \frac{2kq^2}{r^2} + \frac{4kq^2}{4r^2} = \frac{2kq^2}{r^2} + \frac{kq^2}{r^2} = \frac{3kq^2}{r^2}$.
आवेश $+4q$ पर लगने वाला कुल स्थिर-विद्युत बल $F_2$,$+2q$ और $+q$ के कारण लगने वाले बलों का योग है:
$F_2 = \frac{k(4q)(2q)}{r^2} + \frac{k(4q)(q)}{(2r)^2} = \frac{8kq^2}{r^2} + \frac{4kq^2}{4r^2} = \frac{8kq^2}{r^2} + \frac{kq^2}{r^2} = \frac{9kq^2}{r^2}$.
आवेशों $+q$ और $+4q$ पर लगने वाले कुल स्थिर-विद्युत बल का अनुपात है:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{3kq^2/r^2}{9kq^2/r^2} = \frac{3}{9} = 1:3$.

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच लगने वाला स्थिर-वैद्युत बल सदिश रूप में इस प्रकार दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = \frac{K q_1 q_2}{r^3} \overrightarrow{r}$.
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q_1 = -e$ है और हाइड्रोजन नाभिक (प्रोटॉन) का आवेश $q_2 = +e$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{F} = \frac{K (-e)(e)}{r^3} \overrightarrow{r} = -\frac{K e^2}{r^3} \overrightarrow{r}$.
अतः,बल नाभिक की दिशा में (आकर्षण बल) कार्य करता है।

(D) निर्वात में $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ होता है।
जब आवेशों के बीच $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली स्लैब रखी जाती है,तो प्रभावी दूरी $r_{eff} = (r - t) + t\sqrt{K}$ हो जाती है।
यहाँ $t = \frac{r}{5}$ और $K = 9$ है।
अतः,$r_{eff} = (r - \frac{r}{5}) + \frac{r}{5}\sqrt{9} = \frac{4r}{5} + \frac{3r}{5} = \frac{7r}{5}$.
नया बल $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r_{eff})^2} = \frac{25}{49} F$ होगा। दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए कि एक वस्तु पर आवेश $q$ है,तो दूसरी वस्तु पर आवेश $(Q - q)$ होगा।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,उनके बीच का स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{K q(Q - q)}{r^2}$ है,जहाँ $r$ उनके बीच की दूरी है।
अधिकतम बल की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम $F_e$ का $q$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF_e}{dq} = \frac{K}{r^2} \frac{d}{dq}(qQ - q^2) = 0$.
इसका अर्थ है कि $\frac{d}{dq}(qQ - q^2) = 0$.
$Q - 2q = 0$,जिससे $q = Q/2$ प्राप्त होता है।
दूसरी वस्तु पर आवेश $(Q - q) = Q - Q/2 = Q/2$ होगा।
अतः,जब आवेश $Q/2$ और $Q/2$ के रूप में समान रूप से विभाजित होते हैं,तो स्थिर-वैद्युत बल अधिकतम होता है।

(A) मान लीजिए कि आवेशों की स्थिति $+5q$ के लिए $x_1 = 0$,$Q$ के लिए $x_2 = 2r/3$ और $-2q$ के लिए $x_3 = r$ है। $+5q$ और $-2q$ के बीच की दूरी $r$ है,और $Q$ तथा $-2q$ के बीच की दूरी $r/3$ है।
आवेश $-2q$ पर नेट बल शून्य होने के लिए,$+5q$ और $Q$ द्वारा $-2q$ पर लगाए गए बलों का परिमाण समान और दिशा विपरीत होनी चाहिए।
मान लीजिए $+5q$ द्वारा $-2q$ पर लगाया गया बल $F_1$ है और $Q$ द्वारा $-2q$ पर लगाया गया बल $F_2$ है।
$F_1 = \frac{k |5q| |-2q|}{r^2} = \frac{10kq^2}{r^2}$ (आकर्षक,बाईं ओर)।
नेट बल शून्य होने के लिए,$F_2$ को प्रतिकर्षी (दाईं ओर) होना चाहिए,इसलिए $Q$ धनात्मक होना चाहिए।
$F_2 = \frac{k |Q| |-2q|}{(r/3)^2} = \frac{k |Q| 2q}{r^2/9} = \frac{18k|Q|q}{r^2}$।
परिमाणों की तुलना करने पर: $\frac{10kq^2}{r^2} = \frac{18kQq}{r^2}$।
$10q = 18Q \Rightarrow Q = \frac{10}{18}q = \frac{5}{9}q$।

(A) दिया गया है:
प्रत्येक गोले पर आवेश, $q = 6 \times 10^{-7} \,C$.
केंद्रों के बीच की दूरी, $r = 60 \,cm = 0.6 \,m$.
कूलम्ब के नियम के अनुसार, स्थिर-वैद्युत बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
चूंकि $q_1 = q_2 = q = 6 \times 10^{-7} \,C$ और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ है:
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (6 \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^{-7})}{(0.6)^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 36 \times 10^{-14}}{0.36}$
$F = \frac{324 \times 10^{-5}}{0.36}$
$F = 900 \times 10^{-5} \,N = 9 \times 10^{-3} \,N$.

(A) दिया गया है,$Q_1 = +80 \mu C$,$Q_2 = +20 \mu C$। मान लीजिए $Q_1$ और $Q_2$ के बीच की दूरी $r$ है। आवेश $q$ को केंद्र पर रखा गया है,इसलिए $Q_1$ से $q$ की दूरी $r/2$ है और $q$ से $Q_2$ की दूरी $r/2$ है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए। आइए $Q_2$ आवेश के संतुलन पर विचार करें:
$F_{net, Q_2} = \frac{k Q_2 q}{(r/2)^2} + \frac{k Q_1 Q_2}{r^2} = 0$
$\frac{4 k Q_2 q}{r^2} + \frac{k Q_1 Q_2}{r^2} = 0$
$4 q + Q_1 = 0$
$4 q = -Q_1$
$q = -Q_1 / 4$
$Q_1 = +80 \mu C$ रखने पर:
$q = -80 \mu C / 4 = -20 \mu C$।

(A) आवेशों को $A(0)$,$B(l/2)$ और $C(l)$ स्थितियों पर रखा गया है।
स्थिति $A$ पर स्थित $4q$ आवेश के कारण स्थिति $C$ पर स्थित $q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_{AC} = \frac{K(4q)(q)}{l^2}$ है।
स्थिति $B$ पर स्थित $Q$ आवेश के कारण स्थिति $C$ पर स्थित $q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_{BC} = \frac{K(Q)(q)}{(l/2)^2}$ है।
चूंकि $q$ पर परिणामी बल शून्य है,इसलिए इन बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$F_{AC} + F_{BC} = 0$
$\frac{K(4q)(q)}{l^2} + \frac{K(Q)(q)}{(l/2)^2} = 0$
$Kq$ से विभाजित करने और सरल करने पर:
$\frac{4q}{l^2} + \frac{Q}{l^2/4} = 0$
$\frac{4q}{l^2} + \frac{4Q}{l^2} = 0$
$4q + 4Q = 0$
$4Q = -4q$
$Q = -q$

(A) मान लीजिए आवेश $q_A = +100 \mu C$,$q_B = -100 \mu C$,और $q_C = +100 \mu C$ हैं। भुजा की लंबाई $r = 4 \text{ m}$ है।
$1$. $A$ के कारण $C$ पर बल $(F_{CA})$: यह एक प्रतिकर्षण बल है जो $A$ से दूर $AC$ रेखा पर कार्य करता है। इसका परिमाण $F = \frac{k |q_A q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (100 \times 10^{-6})^2}{4^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{16} = \frac{90}{16} = 5.625 \text{ N}$ है।
$2$. $B$ के कारण $C$ पर बल $(F_{CB})$: यह एक आकर्षण बल है जो $B$ की दिशा में कार्य करता है। आवेश और दूरी समान होने के कारण इसका परिमाण भी $F = 5.625 \text{ N}$ है।
$3$. परिणामी बल: $F_{CA}$ और $F_{CB}$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है (चूंकि समबाहु त्रिभुज का आंतरिक कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $AC$ के विस्तारित भाग और $CB$ के बीच का कोण $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है)। परिणामी बल $F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos(120^{\circ})} = \sqrt{2F^2 + 2F^2(-0.5)} = \sqrt{F^2} = F = 5.625 \text{ N}$ है।
$4$. दिशा: चूंकि दोनों बलों के परिमाण समान हैं,इसलिए परिणामी बल उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। $F_{CA}$ और $F_{CB}$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है। परिणामी बल $F_{CA}$ (जो $AC$ की दिशा में है) के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। अतः,$AC$ के साथ कोण $60^{\circ}$ है।

(C) प्रारंभ में,दोनों गोलों पर आवेश $q$ है। उनके बीच का बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k q^2}{r^2}$
जब एक गोले से दूसरे गोले में $10 \%$ इलेक्ट्रॉन स्थानांतरित किए जाते हैं,तो इलेक्ट्रॉन खोने वाले गोले पर आवेश $q + 0.1q = 1.1q$ हो जाता है,और इलेक्ट्रॉन प्राप्त करने वाले गोले पर आवेश $q - 0.1q = 0.9q$ हो जाता है।
नया बल $F^{\prime}$ इस प्रकार है:
$F^{\prime} = \frac{k(1.1q)(0.9q)}{r^2}$
$F^{\prime} = 0.99 \frac{k q^2}{r^2}$
$F^{\prime} = 0.99 F$

(D) प्रश्न के अनुसार,तीन आवेशित कणों को एक समकोण त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों पर रखा गया है,जहाँ $Q_A = +15 \ \mu C$,$Q_B = +12 \ \mu C$,और $Q_C = -20 \ \mu C$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,आवेश $A$ के कारण आवेश $B$ पर लगने वाला बल:
$F_{AB} = \frac{k |Q_A Q_B|}{r_{AB}^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (15 \times 10^{-6}) \times (12 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 180 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-4}} = 1800 \ N$.
चूंकि $Q_A$ और $Q_B$ दोनों धनात्मक हैं,यह बल प्रतिकर्षण बल है।
आवेश $C$ के कारण आवेश $B$ पर लगने वाला बल:
$F_{BC} = \frac{k |Q_B Q_C|}{r_{BC}^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (12 \times 10^{-6}) \times (20 \times 10^{-6})}{(4 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 240 \times 10^{-12}}{16 \times 10^{-4}} = 1350 \ N$.
चूंकि $Q_B$ धनात्मक है और $Q_C$ ऋणात्मक है,यह बल आकर्षण बल है।
$F_{AB}$ और $F_{BC}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए परिणामी बल:
$F_B = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{BC}^2} = \sqrt{(1800)^2 + (1350)^2} = \sqrt{3240000 + 1822500} = \sqrt{5062500} = 2250 \ N$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया है,पहले कण पर आवेश $Q_1 = +3.72 \mu C$ और दूसरे कण पर आवेश $Q_2 = +1.86 \mu C$ है।
उनके बीच प्रारंभिक स्थिर-विद्युत बल $F_1 = \frac{k Q_1 Q_2}{R^2} = \frac{k}{R^2} (3.72 \times 1.86) \times 10^{-12} = \frac{k}{R^2} (6.9192 \times 10^{-12}) \ N$ है।
यदि $Q_1$ का $20 \%$ भाग $Q_2$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$Q_1^{\prime} = Q_1 - 0.20 Q_1 = 0.80 Q_1 = 0.80 \times 3.72 = 2.976 \mu C$.
$Q_2^{\prime} = Q_2 + 0.20 Q_1 = 1.86 + (0.20 \times 3.72) = 1.86 + 0.744 = 2.604 \mu C$.
नया स्थिर-विद्युत बल $F_2 = \frac{k Q_1^{\prime} Q_2^{\prime}}{R^2} = \frac{k}{R^2} (2.976 \times 2.604) \times 10^{-12} = \frac{k}{R^2} (7.749504 \times 10^{-12}) \ N$ है।
बल में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{F_2 - F_1}{F_1} \times 100 = \frac{7.749504 - 6.9192}{6.9192} \times 100 = \frac{0.830304}{6.9192} \times 100 \approx 12 \%$.
अतः,बल में $12 \%$ की वृद्धि होती है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) मान लीजिए कि दोनों गोलों $A$ और $B$ पर प्रारंभिक आवेश $q$ है। उनके बीच की दूरी $r$ है। प्रारंभिक बल $F = k \frac{q^2}{r^2} = 4 \times 10^{-5} \ N$ है।
जब अनावेशित गोला $C$,$A$ को स्पर्श करता है,तो $A$ पर आवेश $q_A = q/2$ हो जाता है और $C$ पर आवेश $q_C = q/2$ हो जाता है।
अब,गोले $C$ को $A$ और $B$ के बीच मध्य बिंदु पर रखा जाता है। $A$ और $B$ दोनों से $C$ की दूरी $r/2$ है।
$A$ द्वारा $C$ पर लगाया गया बल $F_{AC} = k \frac{(q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/4}{r^2/4} = k \frac{q^2}{r^2} = 4 \times 10^{-5} \ N$ ($B$ की दिशा में)।
$B$ द्वारा $C$ पर लगाया गया बल $F_{BC} = k \frac{(q)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/2}{r^2/4} = 2k \frac{q^2}{r^2} = 2(4 \times 10^{-5}) = 8 \times 10^{-5} \ N$ ($A$ की दिशा में)।
$C$ पर कुल बल $F_{net} = F_{BC} - F_{AC} = 8 \times 10^{-5} - 4 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-5} \ N$ है।
चूंकि $F_{BC} > F_{AC}$,इसलिए कुल बल $C$ से $A$ की दिशा में कार्य करेगा।

(C) मान लीजिए आवेश $q_1 = 4 \ C$ ($x = 0$ पर),$q_2 = Q \ C$ ($x = \frac{l}{2}$ पर),और $q_3 = 1 \ C$ ($x = l$ पर) हैं।
स्थिति $1$: $4 \ C$ पर कुल बल शून्य है।
$Q$ और $1 \ C$ द्वारा $4 \ C$ पर लगाया गया बल एक-दूसरे को निरस्त करना चाहिए।
$F = k \frac{4 \cdot Q}{(l/2)^2} + k \frac{4 \cdot 1}{l^2} = 0$.
$k \frac{4Q}{l^2/4} + \frac{4k}{l^2} = 0 \implies \frac{16Q}{l^2} + \frac{4}{l^2} = 0 \implies 16Q = -4 \implies Q = -\frac{1}{4} \ C$.
स्थिति $2$: $1 \ C$ पर कुल बल शून्य है।
$4 \ C$ और $Q$ द्वारा $1 \ C$ पर लगाया गया बल एक-दूसरे को निरस्त करना चाहिए।
$F = k \frac{1 \cdot 4}{l^2} + k \frac{1 \cdot Q}{(l/2)^2} = 0$.
$\frac{4k}{l^2} + \frac{kQ}{l^2/4} = 0 \implies \frac{4}{l^2} + \frac{4Q}{l^2} = 0 \implies 4 + 4Q = 0 \implies Q = -1 \ C$.
अतः,$Q$ के मान $-\frac{1}{4} \ C$ और $-1 \ C$ हैं।

(C) माना $m = 0.1 \,g = 10^{-4} \,kg$, $L = 1 \,m$, $a = 3 \,cm = 0.03 \,m$ है। समबाहु त्रिभुज के केंद्रक से एक कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{0.03}{\sqrt{3}} = 0.01\sqrt{3} \,m$ है। ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{r}{L} = 0.01\sqrt{3}$ है। एक कण पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $mg$, तनाव $T$ और अन्य दो कणों द्वारा स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण हैं। $a$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q$ के कारण परिणामी स्थिरवैद्युत बल $F_e = 2 \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \cos(30^\circ) = 2 \cdot (9 \times 10^9) \cdot \frac{q^2}{(0.03)^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{13} q^2$ है। संतुलन में, $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$ होता है। अतः, $0.01\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \times 10^{13} q^2}{10^{-4} \times 10}$। $q^2$ के लिए हल करने पर: $q^2 = 0.01 \times 10^{-3} / 10^{13} = 10^{-18} \,C^2$। इसलिए, $q = 10^{-9} \,C = 1 \,nC$।

(C) $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच का बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
यहाँ $q_1 = q_2 = ne$,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$r = 3 \ cm = 0.03 \ m$,और $F = 10^{-19} \ N$ है।
मान रखने पर: $10^{-19} = (9 \times 10^9) \frac{(ne)^2}{(0.03)^2}$.
$(ne)^2 = \frac{10^{-19} \times (0.03)^2}{9 \times 10^9} = \frac{10^{-19} \times 9 \times 10^{-4}}{9 \times 10^9} = 10^{-32}$.
$ne = \sqrt{10^{-32}} = 10^{-16}$.
$n = \frac{10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{1000}{1.6} = 625$.

(C) मान लीजिए कि कुल आवेशों की संख्या $N$ है। हम इन्हें $q$ और $N-q$ के दो समूहों में विभाजित करते हैं, जहाँ प्रत्येक आवेश $Q$ है। दो समूहों के बीच का बल $F = k \cdot (qQ) \cdot ((N-q)Q) / r^2 = (kQ^2/r^2) \cdot q(N-q)$ है।
बल को अधिकतम करने के लिए, हमें $q(N-q)$ को अधिकतम करना होगा। यह तब होता है जब $q = N/2$ हो, जिससे $q(N-q) = N^2/4$ प्राप्त होता है।
बल को न्यूनतम करने के लिए, हम एक समूह में न्यूनतम संभव आवेश रखते हैं, जो $q = 1$ है। इससे $q(N-q) = 1(N-1) = N-1$ प्राप्त होता है।
अधिकतम बल और न्यूनतम बल का अनुपात $(N^2/4) / (N-1) = N^2 / (4(N-1))$ है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) चित्र से,$F_1$ और $F_2$ के कारण परिणामी बल $F_{\text{net}}$,बल $F_2$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
चूंकि $F_1$ और $F_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए कोण $\theta$ को $\tan \theta = \frac{F_1}{F_2}$ द्वारा दिया जाता है।
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए,$A$ पर स्थित आवेश के कारण $B$ पर स्थित आवेश पर बल $F_1 = k \cdot \frac{q_A q_B}{(AB)^2} = k \cdot \frac{q^2}{(3)^2}$ है।
$C$ पर स्थित आवेश के कारण $B$ पर स्थित आवेश पर बल $F_2 = k \cdot \frac{q_C q_B}{(BC)^2} = k \cdot \frac{q^2}{(4)^2}$ है।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{F_1}{F_2} = \frac{k \cdot q^2 / 9}{k \cdot q^2 / 16} = \frac{16}{9}$।
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{16}{9}\right)$।

(C) मान लीजिए कि $+10 \mu C$ के दो आवेश $A(0, a)$ और $C(0, -a)$ पर स्थित हैं। $-20 \mu C$ आवेश को $B(x, 0)$ पर विस्थापित किया जाता है।
$A$ पर स्थित आवेश और $B$ पर स्थित आवेश के बीच की दूरी $r = \sqrt{a^2 + x^2}$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार, प्रत्येक आवेश द्वारा $B$ पर लगाया गया स्थिर-विद्युत बल $F$:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = (9 \times 10^9) \frac{(10 \times 10^{-6})(20 \times 10^{-6})}{a^2 + x^2} = \frac{1.8}{a^2 + x^2} \text{ N}$.
यह बल $F$ आकर्षण का है, जो $A$ और $C$ की ओर कार्य करता है। इन बलों के ऊर्ध्वाधर घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जबकि क्षैतिज घटक जुड़ जाते हैं।
$X$-अक्ष के अनुदिश परिणामी बल $F_{\text{net}}$:
$F_{\text{net}} = 2F \cos \theta$, जहाँ $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$.
मान रखने पर:
$F_{\text{net}} = 2 \left( \frac{1.8}{a^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right) = \frac{3.6 x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$.
चूंकि $x \ll a$, इसलिए हर में $x^2$ की उपेक्षा करने पर:
$F_{\text{net}} \approx \frac{3.6 x}{(a^2)^{3/2}} = \frac{3.6 x}{a^3} \text{ N}$.

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच का बल $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$q_1 = +8 \mu C$ और $q_2 = +12 \mu C$ हैं,और बल $F_1 = 48 \ N$ है।
जब प्रत्येक को $-10 \mu C$ का अतिरिक्त आवेश दिया जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$q_1' = 8 \mu C - 10 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 12 \mu C - 10 \mu C = +2 \mu C$
चूंकि दूरी $r$ अपरिवर्तित है,बलों का अनुपात होगा:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{|q_1' q_2'|}{|q_1 q_2|} = \frac{|(-2) \times 2|}{|8 \times 12|} = \frac{4}{96} = \frac{1}{24}$
अतः,$F_2 = \frac{F_1}{24} = \frac{48 \ N}{24} = 2 \ N$.
चूंकि आवेशों के चिह्न विपरीत हैं (एक ऋणात्मक और एक धनात्मक),इसलिए बल आकर्षण का होगा।

(A) माना डोरी की लंबाई $L = 5 \, cm = 0.05 \, m$ है और गोलों के बीच की दूरी $d = 6 \, cm = 0.06 \, m$ है।
संतुलन की स्थिति में, गोले पर तीन बल कार्य करते हैं: तनाव $T$, गुरुत्वाकर्षण बल $mg$, और स्थिर वैद्युत बल $F_e = \frac{kq^2}{d^2}$।
माना डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है। ज्यामिति से, $\sin \theta = \frac{d/2}{L} = \frac{3 \, cm}{5 \, cm} = 0.6$।
अतः, $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = 0.8$।
संतुलन में, $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$।
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{0.6}{0.8} = 0.75$।
$F_e = \frac{(9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-6})^2}{(0.06)^2} = 10 \, N$।
अब, $mg = \frac{F_e}{\tan \theta} = \frac{10}{0.75} = \frac{40}{3} \, N$।
$m = \frac{40}{3 \times 10} = \frac{4}{3} \, kg \approx 1.33 \, kg$।

(D) दो प्रोटॉन के बीच स्थिर विद्युत बल $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दो प्रोटॉन के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = G \frac{m_p^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इन बलों का अनुपात $\frac{F_e}{F_g} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{G m_p^2}$ है।
मान रखने पर: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$,और $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
$\frac{F_e}{F_g} = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(6.67 \times 10^{-11}) \times (1.67 \times 10^{-27})^2} \approx 1.24 \times 10^{36}$.
इसे $10^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n \approx 36$ प्राप्त होता है।

(B) दो बिंदु आवेशों के बीच का बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
मान लीजिए कि आवेश $q_0 = 2 \mu C$ ($x=0$ पर),$q_1 = Q$ ($x=1 \ cm$ पर),$q_2 = 4 \mu C$ ($x=2 \ cm$ पर),और $q_3 = 12 \mu C$ ($x=4 \ cm$ पर) हैं।
मूल बिंदु पर स्थित आवेश $(q_0)$ पर कार्य करने वाला कुल बल $q_1, q_2$ और $q_3$ द्वारा लगाए गए बलों का योग है।
$F_{net} = k q_0 \left( \frac{Q}{(1 \times 10^{-2})^2} + \frac{4 \times 10^{-6}}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{12 \times 10^{-6}}{(4 \times 10^{-2})^2} \right) = 0$.
चूंकि $k q_0 \neq 0$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{Q}{10^{-4}} + \frac{4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-4}} + \frac{12 \times 10^{-6}}{16 \times 10^{-4}} = 0$.
$10^4 Q + 10^{-2} + 0.75 \times 10^{-2} = 0$.
$10^4 Q + 1.75 \times 10^{-2} = 0$.
$Q = -1.75 \times 10^{-6} \ C = -1.75 \mu C$.

(C) माना कि दो आवेश $Q_1$ और $Q_2$ हैं। दिया गया है $Q_1 + Q_2 = 36 \times 10^{-6} \ C$ और $r = 4 \ m$.
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए: $F = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
मान रखने पर: $0.18 = \frac{9 \times 10^9 \times Q_1 \times Q_2}{4^2}$.
$0.18 = \frac{9 \times 10^9 \times Q_1 Q_2}{16}$.
$Q_1 Q_2 = \frac{0.18 \times 16}{9 \times 10^9} = 0.02 \times 16 \times 10^{-9} = 320 \times 10^{-12} \ C^2$.
हमारे पास $Q_1 + Q_2 = 36 \times 10^{-6}$ और $Q_1 Q_2 = 320 \times 10^{-12}$ है।
ये द्विघात समीकरण $x^2 - (Q_1+Q_2)x + Q_1 Q_2 = 0$ के मूल हैं।
$x^2 - (36 \times 10^{-6})x + 320 \times 10^{-12} = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{(36 \times 10^{-6})^2 - 4(320 \times 10^{-12})}}{2}$.
$x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{1296 \times 10^{-12} - 1280 \times 10^{-12}}}{2} = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{16 \times 10^{-12}}}{2}$.
$x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm 4 \times 10^{-6}}{2}$.
अतः दो आवेश $20 \times 10^{-6} \ C$ और $16 \times 10^{-6} \ C$ हैं।
इसलिए,बड़ा आवेश $20 \mu C$ है।