Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि शीर्ष $A$ पर स्थित आवेश पर विचार करें। शीर्ष $B$ और $C$ पर स्थित आवेश $A$ पर स्थित आवेश पर प्रतिकर्षण बल लगाते हैं।
मान लीजिए $F_B$,$B$ पर स्थित आवेश द्वारा $A$ पर लगाया गया बल है और $F_C$,$C$ पर स्थित आवेश द्वारा $A$ पर लगाया गया बल है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,इन बलों का परिमाण $F_B = F_C = F = \frac{kQ^2}{a^2}$ है।
इन दो बलों के बीच का कोण $60^\circ$ है (समबाहु त्रिभुज का आंतरिक कोण)।
$A$ पर स्थित आवेश पर लगने वाला कुल बल $F_{net}$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$F_{net} = \sqrt{F_B^2 + F_C^2 + 2F_B F_C \cos 60^\circ}$
$F_B = F_C = F$ रखने पर:
$F_{net} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos 60^\circ} = \sqrt{2F^2 + 2F^2(0.5)} = \sqrt{3F^2} = \sqrt{3}F$
$F$ का मान रखने पर:
$F_{net} = \frac{\sqrt{3} kQ^2}{a^2}$

(C) मान लीजिए कि $a$ भुजा वाले वर्ग के कोनों $A, B, C$ और $D$ पर $+Q$ आवेश स्थित हैं। हम कोने $B$ पर स्थित आवेश पर कुल बल की गणना करते हैं।
$1$. $A$ पर स्थित आवेश के कारण बल $F_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$ ($AB$ की दिशा में)।
$2$. $C$ पर स्थित आवेश के कारण बल $F_C = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$ ($CB$ की दिशा में)।
$3$. $F_A$ और $F_C$ का परिणामी बल $F_{AC} = \sqrt{F_A^2 + F_C^2} = \sqrt{2} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$।
$4$. $D$ पर स्थित आवेश के कारण बल $F_D = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2}$ ($DB$ की दिशा में)।
$5$. कुल बल $F_{net} = F_{AC} + F_D = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{a^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{2} \right)$।

(C) $CGS$ इकाइयों में कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच बल $F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ होता है।
$A$ पर स्थित आवेश के कारण $B$ पर लगने वाला बल $(F_A)$:
$F_A = \frac{15 \times 12}{3^2} = \frac{180}{9} = 20 \ dynes$ ($BA$ की दिशा में)।
$C$ पर स्थित आवेश के कारण $B$ पर लगने वाला बल $(F_C)$:
$F_C = \frac{12 \times 20}{4^2} = \frac{240}{16} = 15 \ dynes$ ($BC$ की दिशा में,क्योंकि बल आकर्षण का है)।
चूंकि $BA$ और $BC$ के बीच का कोण $90^\circ$ है,इसलिए परिणामी बल $F_{net}$ होगा:
$F_{net} = \sqrt{F_A^2 + F_C^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \ dynes$.

(A) एक नियमित षट्भुज में, केंद्र से किसी भी शीर्ष की दूरी भुजा की लंबाई $L$ के बराबर होती है। मान लीजिए शीर्ष $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6$ हैं। मान लीजिए $+Q$ आवेश $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5$ पर रखे गए हैं और केंद्र $O$ पर $-Q$ आवेश है।
यदि $V_6$ पर भी $+Q$ आवेश होता, तो समरूपता के कारण केंद्र $O$ पर कुल बल शून्य होता (क्योंकि विपरीत आवेशों का प्रत्येक जोड़ा समान और विपरीत बल लगाता)।
मान लीजिए $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4, \vec{F}_5$ पाँच शीर्षों पर स्थित आवेशों द्वारा केंद्र पर स्थित $-Q$ आवेश पर लगाए गए बल हैं। मान लीजिए $\vec{F}_6$ वह बल है जो $V_6$ पर स्थित $+Q$ आवेश द्वारा लगाया जाता।
समरूपता के अनुसार, $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 + \vec{F}_6 = 0$ है।
इसलिए, कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 = -\vec{F}_6$ है।
$V_6$ पर स्थित $+Q$ आवेश द्वारा केंद्र पर स्थित $-Q$ आवेश पर लगाया गया बल आकर्षण का है और इसका परिमाण $F = k\frac{|(+Q)(-Q)|}{L^2} = k\frac{Q^2}{L^2}$ है।
चूंकि $\vec{F}_{net} = -\vec{F}_6$ है, इसलिए कुल बल का परिमाण $|\vec{F}_{net}| = |-\vec{F}_6| = k\frac{Q^2}{L^2}$ है।

(B) माना डोरी की लंबाई $L = 1 \ m$ है और प्रत्येक डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 30^\circ$ का कोण बनाती है।
दोनों आवेशों के बीच की दूरी $r = 2L \sin(30^\circ) = 2 \times 1 \times 0.5 = 1 \ m$ है।
संतुलन में,एक गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,स्थिर-वैद्युत बल $F_e$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
तनाव $T$ के घटकों को वियोजित करने पर:
$T \sin(30^\circ) = F_e$
$T \cos(30^\circ) = mg$
पहले समीकरण से,$T \sin(30^\circ) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{r^2}$।
मान रखने पर:
$T \times 0.5 = (9 \times 10^9) \times \frac{(10 \times 10^{-6})^2}{1^2}$
$T \times 0.5 = 9 \times 10^9 \times 10^{-10} = 0.9$
$T = \frac{0.9}{0.5} = 1.8 \ N$।

(A) एक गुब्बारे के फ्री बॉडी डायग्राम से:
$1$. ऊर्ध्वाधर बल संतुलित हैं: $T \cos \theta + R = mg$,जहाँ $R$ उत्प्लावन बल है।
$2$. क्षैतिज बल संतुलित हैं: $T \sin \theta = F_e$,जहाँ $F_e = \frac{k Q^2}{r^2}$ स्थिर वैद्युत बल है।
$3$. दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta + R} = \frac{F_e}{mg}$.
$4$. यदि उत्प्लावन बल $R$ को नगण्य माना जाए,तो संतुलन की स्थिति: $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$.
$5$. अतः,$\tan \theta = \frac{k Q^2}{r^2 mg}$.
$6$. $Q$ के लिए हल करने पर: $Q^2 = \frac{mg r^2 \tan \theta}{k}$.
$7$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही व्यंजक $Q = [\frac{mg r^2}{k} \tan \theta]^{1/2}$ है,जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$d$ दूरी पर स्थित $q$ आवेश वाले दो धनात्मक आयनों के बीच प्रतिकर्षण बल है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{d^2}$
$q^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$q^2 = 4 \pi \varepsilon_{0} F d^2$
वर्गमूल लेने पर:
$q = \sqrt{4 \pi \varepsilon_{0} F d^2} \quad ...(i)$
चूंकि आयन पर आवेश गायब इलेक्ट्रॉनों के कारण होता है,हम आवेश के क्वांटीकरण के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$q = ne$
जहाँ $n$ गायब इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
समीकरण $(i)$ से $q$ का मान रखने पर:
$ne = \sqrt{4 \pi \varepsilon_{0} F d^2}$
$n = \frac{\sqrt{4 \pi \varepsilon_{0} F d^2}}{e}$
$n = \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} F d^2}{e^2}}$

(A) मान लीजिए प्रत्येक बॉल का द्रव्यमान $m$ है और प्रत्येक बॉल पर आवेश $q$ है। स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{r^{2}}$ है।
संतुलन में,प्रत्येक बॉल पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $mg$ और स्थिर वैद्युत बल $F$ हैं।
$T \cos \theta = mg$ $(i)$
$T \sin \theta = F$ $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{F}{mg} = \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2} mg}$ प्राप्त होता है।
पहले मामले की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{r/2}{y} = \frac{r}{2y}$ है।
अतः,$\frac{r}{2y} = \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2} mg} \Rightarrow y \propto r^{3}$ है।
दूसरे मामले में,डोरियों को आधी ऊंचाई पर बांधा गया है,इसलिए नई ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $y' = y/2$ है। मान लीजिए नया पृथक्करण $r'$ है।
चूंकि आवेश $q$ और द्रव्यमान $m$ समान रहते हैं,इसलिए संबंध $y \propto r^{3}$ बना रहता है।
इसलिए,$\frac{y'}{y} = \left( \frac{r'}{r} \right)^{3}$ है।
$y' = y/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{2} = \left( \frac{r'}{r} \right)^{3}$ प्राप्त होता है।
$r'^{3} = \frac{r^{3}}{2} \Rightarrow r' = \frac{r}{\sqrt[3]{2}}$।

(D) कूलाम के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच लगने वाला बल है:
$F = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_1}{Q_2}}}{{{r^2}}}$
विद्युतशीलता ${\varepsilon _0}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
${\varepsilon _0} = \frac{{{Q_1}{Q_2}}}{{4\pi F{r^2}}}$
प्रत्येक राशि के लिए $SI$ मात्रक रखने पर:
$Q$ (आवेश) का मात्रक $Coulomb$ $(C)$ है।
$F$ (बल) का मात्रक $Newton$ $(N)$ है।
$r$ (दूरी) का मात्रक $metre$ $(m)$ है।
अतः,${\varepsilon _0}$ का मात्रक होगा:
$\frac{C \cdot C}{N \cdot m^2} = C^2 / (N \cdot m^2)$
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो आवेशों के बीच बल $F = K \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$ है।
$K$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $K = \frac{F r^2}{q_1 q_2}$ प्राप्त होता है।
बल $F$ की $SI$ इकाई न्यूटन $(N)$,दूरी $r$ की इकाई मीटर $(m)$,और आवेश $q$ की इकाई कूलम्ब $(C)$ है।
इन इकाइयों को सूत्र में रखने पर: $K$ की इकाई $= \frac{N \cdot m^2}{C \cdot C} = N m^2 C^{-2}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना प्रारंभिक आवेश $Q_1$ और $Q_2$ हैं। विपरीत चिह्न होने के कारण,$Q_1 Q_2$ ऋणात्मक होगा।
प्रारंभिक बल $F_1 = \frac{k_e |Q_1 Q_2|}{r^2} = 0.108 \ N$.
$0.108 = \frac{9 \times 10^9 |Q_1 Q_2|}{(0.5)^2} \implies |Q_1 Q_2| = 3 \times 10^{-12} \ C^2$.
तार से जोड़ने पर,कुल आवेश $Q_1 + Q_2$ समान रूप से विभाजित हो जाता है।
प्रत्येक गोले पर नया आवेश $Q' = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$ होगा।
अंतिम बल $F_2 = \frac{k_e (Q')^2}{r^2} = 0.036 \ N$.
$0.036 = \frac{9 \times 10^9}{0.25} \left( \frac{Q_1 + Q_2}{2} \right)^2$.
$\left( \frac{Q_1 + Q_2}{2} \right)^2 = 1 \times 10^{-12} \implies Q_1 + Q_2 = \pm 2 \times 10^{-6} \ C$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $Q_1 = \pm 3.0 \times 10^{-6} \ C$ और $Q_2 = \mp 1.0 \times 10^{-6} \ C$ प्राप्त होता है।

(A) माना प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m$,घनत्व $\rho$ और आयतन $V$ है। द्रव का घनत्व $\sigma = 0.8 \ g/cm^3$ है और गोले के पदार्थ का घनत्व $\rho = 1.6 \ g/cm^3$ है।
हवा में संतुलन की स्थिति $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$ है,जहाँ $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ है।
द्रव में,प्रभावी भार $mg' = V(\rho - \sigma)g$ हो जाता है और स्थिर-वैद्युत बल $F_e' = \frac{F_e}{K}$ हो जाता है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
द्रव में संतुलन की स्थिति $\tan \theta = \frac{F_e'}{mg'} = \frac{F_e / K}{V(\rho - \sigma)g}$ है।
चूँकि कोण $\theta$ समान रहता है,हम $\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं:
$\frac{F_e}{mg} = \frac{F_e}{K V(\rho - \sigma)g}$
चूँकि $m = V\rho$,हमें प्राप्त होता है $\frac{F_e}{V\rho g} = \frac{F_e}{K V(\rho - \sigma)g}$.
समान पदों को काटने पर,$K = \frac{\rho}{\rho - \sigma}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $K = \frac{1.6}{1.6 - 0.8} = \frac{1.6}{0.8} = 2$.
अतः,द्रव का परावैद्युतांक $2$ है।

(B) जब दो आवेशित गोलों को एक-दूसरे के पास रखा जाता है,तो उनकी सतहों पर आवेश का वितरण स्थिर-विद्युत अन्योन्यक्रिया (सुचालकों में प्रेरण या कुचालकों में ध्रुवीकरण) से प्रभावित होता है।
यदि गोलों पर समान चिह्न के आवेश हैं,तो सतहों पर आवेश इस प्रकार पुनर्वितरित होते हैं कि वे एक-दूसरे से दूर चले जाते हैं। इससे आवेश के केंद्रों के बीच की प्रभावी दूरी बढ़ जाती है,जिसके परिणामस्वरूप मापा गया बल $F_m$ गणना किए गए बल $F_c$ (केंद्रों पर बिंदु आवेश मानकर) से कम होता है। अतः,$F_c > F_m$।
यदि गोलों पर विपरीत चिह्न के आवेश हैं,तो सतहों पर आवेश इस प्रकार पुनर्वितरित होते हैं कि वे एक-दूसरे के करीब आ जाते हैं। इससे आवेश के केंद्रों के बीच की प्रभावी दूरी कम हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप मापा गया बल $F_m$ गणना किए गए बल $F_c$ से अधिक होता है। अतः,$F_c < F_m$।
यह घटना सुचालकों और कुचालकों दोनों के लिए आवेश के पुनर्वितरण के कारण होती है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) माना रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = Q/L$ है। आवेश $q$ से $x$ दूरी पर एक छोटा अवयव $dx$ लें। इस अवयव के कारण आवेश $q$ पर बल $dF = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q (\lambda dx)}{x^2}$ है।
इसे $x = r - L/2$ से $x = r + L/2$ तक समाकलित करने पर:
$F = \int_{r - L/2}^{r + L/2} \frac{q \lambda}{4\pi \epsilon_0 x^2} dx$
$F = \frac{q \lambda}{4\pi \epsilon_0} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{r - L/2}^{r + L/2}$
$F = \frac{q (Q/L)}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{r - L/2} - \frac{1}{r + L/2} \right)$
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{(r + L/2) - (r - L/2)}{r^2 - (L/2)^2} \right)$
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{L}{r^2 - (L/2)^2} \right)$
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 (r^2 - (L/2)^2)}$

(D) संतुलन की स्थिति में,एक आवेश पर कार्य करने वाले बल चित्र में दिखाए गए हैं। बलों के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों को संतुलित करने पर:
$T \cos \theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर संतुलन)
$T \sin \theta = F_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{x^2}$ (क्षैतिज संतुलन)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 x^2 mg}$
चित्र की ज्यामिति से,छोटे $\theta$ के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{x/2}{l} = \frac{x}{2l}$।
इस मान को संतुलन समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{2l} = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 x^2 mg}$
$x^3 = \frac{2l q^2}{4\pi\varepsilon_0 mg} = \frac{l q^2}{2\pi\varepsilon_0 mg}$
$x = \left(\frac{q^2 l}{2\pi\varepsilon_0 mg}\right)^{1/3}$
सही उत्तर $D$ है।

(D) समबाहु त्रिभुज के केंद्र $O$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{10\, cm}{\sqrt{3}} = \frac{0.1}{\sqrt{3}}\, m$ है।
मान लीजिए केंद्र $O$ पर आवेश $q = 2\, \mu C = 2 \times 10^{-6}\, C$ है और शीर्षों पर आवेशों का परिमाण $q_0 = 2\, \mu C$ है।
प्रत्येक आवेश के कारण केंद्र पर लगने वाला बल $F = \frac{k q q_0}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6})^2}{(0.1/\sqrt{3})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{0.01/3} = 36 \times 10^{-3} \times 300 = 10.8\, N$ है।
समरूपता को देखते हुए,$A, B, C$ (धनात्मक) और $D, E, F$ (ऋणात्मक) के बल केंद्र पर स्थित आवेश $q$ पर कार्य करते हैं। चूंकि केंद्र पर आवेश धनात्मक $(2\, \mu C)$ है,इसलिए यह $A, B, C$ द्वारा प्रतिकर्षित होता है और $D, E, F$ द्वारा आकर्षित होता है।
इन बलों के सदिश शीर्षों $D, E, F$ की ओर इंगित करते हैं। इन सदिशों का योग करने पर,परिणामी बल $F_{net} = 4F = 4 \times 10.8 = 43.2\, N$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि $2q$ आवेश को $q$ से $x$ दूरी पर (दोनों आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर) रखा गया है।
$2q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,$q$ के कारण लगने वाला बल और $-3q$ के कारण लगने वाला बल परिमाण में समान होना चाहिए।
$\frac{k(q)(2q)}{x^2} = \frac{k(3q)(2q)}{(d+x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{3}{(d+x)^2}$
$(d+x)^2 = 3x^2$
$d+x = \pm \sqrt{3}x$
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $d+x = \sqrt{3}x$ लेने पर।
$d = x(\sqrt{3} - 1)$
$x = \frac{d}{\sqrt{3}-1} = \frac{d(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{d}{2}(1+\sqrt{3})$
अतः,$2q$ आवेश को $q$ से $-3q$ की विपरीत दिशा में $\frac{d}{2}(1+\sqrt{3})$ दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(C) हवा में $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच लगने वाला बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$।
$K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में,बल $F'$ का मान $F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{r'^2}$ होता है,जहाँ $r'$ नई दूरी है।
यह दिया गया है कि बल समान रहता है,इसलिए $F = F'$:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{r'^2}$।
समान पदों को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{r^2} = \frac{1}{K r'^2}$।
$r'$ के लिए हल करने पर: $r'^2 = \frac{r^2}{K}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $r' = \frac{r}{\sqrt{K}}$।

(C) दो गोलों के बीच प्रारंभिक स्थिर-वैद्युत बल $F_1 = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब दो समान गोलों को स्पर्श कराया जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है क्योंकि वे समान हैं। प्रत्येक गोले पर नया आवेश $q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$ होता है।
समान दूरी $r$ पर गोलों के बीच नया स्थिर-वैद्युत बल $F_2 = k \frac{q' q'}{r^2} = k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r^2} = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2}$ है।
दोनों बलों की तुलना करने के लिए,हम आवेशों के गुणनफल को देखते हैं: $(q_1 + q_2)^2$ बनाम $4q_1 q_2$।
चूंकि $(q_1 + q_2)^2 - 4q_1 q_2 = (q_1 - q_2)^2$,और $q_1 \neq q_2$ के लिए $(q_1 - q_2)^2 > 0$ है,इसलिए $(q_1 + q_2)^2 > 4q_1 q_2$ सिद्ध होता है।
अतः,$F_2 > F_1$,जिसका अर्थ है कि बल पहले से अधिक होगा।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,एक माध्यम में $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच बल $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ उस माध्यम के लिए स्थिर-वैद्युत नियतांक है।
प्रारंभिक स्थिति के अनुसार: $F = \frac{k q_1 q_2}{d^2}$.
मान लीजिए कि नई दूरी $d'$ है ताकि नया बल $F' = 16F$ हो जाए।
अतः,$16F = \frac{k q_1 q_2}{(d')^2}$.
पहले समीकरण से $F$ का मान रखने पर: $16 \left( \frac{k q_1 q_2}{d^2} \right) = \frac{k q_1 q_2}{(d')^2}$.
दोनों पक्षों से $k q_1 q_2$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{16}{d^2} = \frac{1}{(d')^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{4}{d} = \frac{1}{d'}$.
इसलिए,$d' = \frac{d}{4}$.

(A) मान लीजिए कि गोलकों पर आवेश $q_A$ और $q_B$ हैं,जहाँ $q_A > q_B$ है। मान लीजिए प्रत्येक गोलक का द्रव्यमान $m$ है और धागे की लंबाई $l$ है।
संतुलन की स्थिति में,प्रत्येक गोलक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$।
$2$. क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाला स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण बल $F_e = \frac{k q_A q_B}{r^2}$।
$3$. धागे में तनाव $T$।
प्रत्येक गोलक के लिए संतुलन की स्थिति है:
$T \sin \theta = F_e$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$
चूंकि न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार दोनों गोलकों पर कार्य करने वाला स्थिर वैद्युत बल $F_e$ समान होता है और द्रव्यमान $m$ भी समान है,इसलिए दोनों कोण बराबर होने चाहिए।
अतः,$\theta_1 = \theta_2$।

(C) संतुलन की स्थिति में,दो ब्लॉकों के बीच लगने वाला स्थिर वैद्युत प्रतिकर्षण बल स्प्रिंग बल द्वारा संतुलित होता है।
कूलॉम के नियम के अनुसार,$L$ दूरी पर स्थित $Q/2$ आवेश वाले दो ब्लॉकों के बीच स्थिर वैद्युत बल:
$F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(Q/2)(Q/2)}{L^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q^2}{4L^2}$
हुक के नियम के अनुसार,$(L - L_0)$ विस्तार के लिए स्प्रिंग बल:
$F_s = K(L - L_0)$
संतुलन पर दोनों बलों को बराबर करने पर:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q^2}{4L^2} = K(L - L_0)$
$Q^2$ के लिए हल करने पर:
$Q^2 = 16 \pi \varepsilon_{0} K L^2 (L - L_0)$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$Q = 4L \sqrt{\pi \varepsilon_{0} K (L - L_0)}$
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $2L \sqrt{4 \pi \varepsilon_0 K (L - L_0)} = 2L \cdot 2 \sqrt{\pi \varepsilon_0 K (L - L_0)} = 4L \sqrt{\pi \varepsilon_0 K (L - L_0)}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) $R$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q$ और $Q-q$ के बीच स्थिर-विद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q(Q-q)}{R^2}$
बल को अधिकतम करने के लिए,हम $F$ का $q$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF}{dq} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} R^2} \frac{d}{dq} (Qq - q^2) = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} R^2} (Q - 2q) = 0$
चूंकि $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} R^2} \neq 0$,इसलिए:
$Q - 2q = 0$
$q = \frac{Q}{2}$
अतः,बल तब अधिकतम होता है जब आवेश को दो बराबर भागों में विभाजित किया जाता है।

(D) प्रारंभ में,दोनों गोलों पर आवेश $q$ है और वे $r$ दूरी पर स्थित हैं। कूलॉम के नियम के अनुसार,उनके बीच का बल $F = \frac{Kq^2}{r^2}$ है।
जब एक गोले का $75\%$ आवेश दूसरे गोले पर स्थानांतरित किया जाता है,तो स्थानांतरित आवेश की मात्रा $0.75q = \frac{3q}{4}$ होती है।
पहले गोले पर आवेश $q - \frac{3q}{4} = \frac{q}{4}$ हो जाता है।
दूसरे गोले पर आवेश $q + \frac{3q}{4} = \frac{7q}{4}$ हो जाता है।
गोलों के बीच नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = \frac{K(\frac{q}{4})(\frac{7q}{4})}{r^2} = \frac{7}{16} \cdot \frac{Kq^2}{r^2}$।
चूंकि $F = \frac{Kq^2}{r^2}$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर हमें $F' = \frac{7}{16}F$ प्राप्त होता है।

(A) एक नियमित पंचभुज में,यदि सभी शीर्षों पर समान आवेश हों,तो सममिति के कारण केंद्र पर कुल बल शून्य होता है।
मान लीजिए कि पांच शीर्षों पर आवेश $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5$ हैं। यहाँ,चार शीर्षों पर $2Q$ आवेश है और एक शीर्ष पर $Q$ आवेश है।
हम इसे प्रत्येक $2Q$ के पांच आवेशों के एक निकाय के रूप में मान सकते हैं,जिसमें शीर्ष पर $-Q$ का एक अतिरिक्त आवेश है।
केंद्र पर $2Q$ के पांच समान आवेशों के कारण कुल बल शून्य है।
इसलिए,$q_0$ पर कुल बल केवल शीर्ष पर स्थित $-Q$ के अतिरिक्त आवेश के कारण है।
$x$ दूरी पर स्थित $-Q$ आवेश द्वारा $q_0$ पर लगाया गया बल $F = \frac{K(-Q)q_0}{x^2}$ है।
इस बल का परिमाण $\frac{KQq_0}{x^2}$ है जो शीर्ष की ओर निर्देशित है।

(A) प्रारंभिक आवेश $q_A = 4Q$ और $q_B = Q$ हैं। उनके बीच की दूरी $r$ है।
प्रारंभिक बल $F = \frac{k(4Q)(Q)}{r^2} = \frac{4kQ^2}{r^2}$ है।
$A$ के आवेश का $75\%$ भाग $0.75 \times 4Q = 3Q$ है। यह आवेश $B$ पर स्थानांतरित हो जाता है।
$A$ पर नया आवेश $q_A' = 4Q - 3Q = Q$ होगा।
$B$ पर नया आवेश $q_B' = Q + 3Q = 4Q$ होगा।
नया बल $F' = \frac{k(q_A')(q_B')}{r^2} = \frac{k(Q)(4Q)}{r^2} = \frac{4kQ^2}{r^2}$ होगा।
दोनों की तुलना करने पर,$F' = F$ प्राप्त होता है।

(D) संतुलन में,एक गेंद पर कार्य करने वाले बल स्थिर-वैद्युत बल $F_e$,तनाव $T$ और भार $mg$ हैं।
$F_e = T \sin \theta$
$mg = T \cos \theta$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 x^2 mg}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोण $\theta$ छोटा है,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{l}$।
$\tan \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{x}{2l} = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 x^2 mg}$
$x^3 = \frac{2 q^2 l}{4 \pi \epsilon_0 mg}$
$x^3 = \frac{q^2 l}{2 \pi \epsilon_0 mg}$
अतः,$x = \left( \frac{q^2 l}{2 \pi \epsilon_0 mg} \right)^{1/3}$।
इसलिए,$x \propto l^{1/3}$।

(D) मान लीजिए $x=0$ पर आवेश $Q_1 = +Q$ है,$x=d/2$ पर आवेश $q$ है और $x=d$ पर आवेश $Q_2 = +Q$ है।
$q$ द्वारा $Q_1$ पर लगाया गया बल $F_q = \frac{k Q q}{(d/2)^2} = \frac{4 k Q q}{d^2}$ है (यदि $q$ ऋणात्मक है तो यह $q$ की दिशा में होगा)।
$Q_2$ द्वारा $Q_1$ पर लगाया गया बल $F_{Q_2} = \frac{k Q Q}{d^2} = \frac{k Q^2}{d^2}$ है (चूंकि दोनों धनात्मक हैं,यह $Q_2$ से दूर की दिशा में होगा)।
$Q_1$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,इन बलों का परिमाण समान और दिशाएं विपरीत होनी चाहिए:
$F_q + F_{Q_2} = 0$
$\frac{4 k Q q}{d^2} + \frac{k Q^2}{d^2} = 0$
$4 k Q q = -k Q^2$
$4 q = -Q$
$q = -\frac{Q}{4}$

(A) अध्यारोपण के सिद्धांत (Principle of Superposition) के अनुसार, एक बिंदु आवेश द्वारा दूसरे बिंदु आवेश पर लगाया गया बल आसपास मौजूद अन्य आवेशों की उपस्थिति से स्वतंत्र होता है।
$q_1$ और $q_2$ के बीच का बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$, जहाँ $r$ उनके बीच की दूरी है।
चूंकि $q_1$, $q_2$ और $r$ अपरिवर्तित रहते हैं, इसलिए $q_3$ की उपस्थिति के बावजूद $q_1$ द्वारा $q_2$ पर लगाया गया बल $F$ समान ही रहेगा।

(A) प्रारंभ में,$r$ दूरी पर स्थित $q$ आवेश वाले दो समान गोलों के बीच का बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{K q^2}{r^2}$
जब पहले गोले का $50\%$ आवेश दूसरे गोले पर स्थानांतरित किया जाता है,तो गोलों पर नया आवेश होगा:
$q_1 = q - 0.5q = 0.5q = \frac{q}{2}$
$q_2 = q + 0.5q = 1.5q = \frac{3q}{2}$
अतः,समान दूरी $r$ पर नया बल $F_{\text{new}}$ होगा:
$F_{\text{new}} = \frac{K q_1 q_2}{r^2} = \frac{K (q/2) (3q/2)}{r^2}$
$F_{\text{new}} = \frac{3}{4} \left( \frac{K q^2}{r^2} \right)$
चूंकि $F = \frac{K q^2}{r^2}$,इसलिए:
$F_{\text{new}} = \frac{3}{4} F$

(A) दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$
दिया गया है:
$q_1 = 5 \times 10^{-9} \, C$
$q_2 = -2 \times 10^{-9} \, C$
$U = -0.5 \times 10^{-6} \, J$
दूरी $r = |x - 2| \times 10^{-2} \, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$-0.5 \times 10^{-6} = (9 \times 10^9) \times \frac{(5 \times 10^{-9}) \times (-2 \times 10^{-9})}{(x - 2) \times 10^{-2}}$
$-0.5 \times 10^{-6} = \frac{-90 \times 10^{-9}}{(x - 2) \times 10^{-2}}$
$(x - 2) \times 10^{-2} = \frac{-9 \times 10^{-7}}{-0.5 \times 10^{-6}} = 18 \times 10^{-2} \, m$
$x - 2 = 18$
$x = 20 \, cm$

(A) मान लीजिए कि तीसरा आवेश $2q$,$+q$ आवेश के बाईं ओर $x$ दूरी पर रखा गया है।
$2q$ पर नेट बल शून्य होने के लिए,$+q$ के कारण लगने वाले स्थिर-वैद्युत बल का परिमाण और $-3q$ के कारण लगने वाले स्थिर-वैद्युत बल का परिमाण बराबर होना चाहिए।
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{k(q)(2q)}{x^2} = \frac{k(3q)(2q)}{(x+d)^2}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{1}{x^2} = \frac{3}{(x+d)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{x+d}$.
$x+d = x\sqrt{3} \Rightarrow d = x(\sqrt{3}-1)$.
$x = \frac{d}{\sqrt{3}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $x = \frac{d(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{d}{2}(1+\sqrt{3})$.
अतः,आवेश को $q$ के बाईं ओर $\frac{d}{2}(1+\sqrt{3})$ दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(A) मान लीजिए वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। मान लीजिए आवेश $Q$ कोनों $A$ और $C$ पर हैं,और आवेश $q$ कोनों $B$ और $D$ पर हैं।
कोने $C$ पर स्थित आवेश $Q$ पर बल पर विचार करें।
$A$ पर स्थित आवेश $Q$ के कारण बल $F_A = \frac{kQ^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{kQ^2}{2a^2}$ है,जो $AC$ की दिशा में है।
$B$ और $D$ पर स्थित आवेश $q$ के कारण बल $F_B = \frac{kqQ}{a^2}$ और $F_D = \frac{kqQ}{a^2}$ हैं,जो क्रमशः $BC$ और $DC$ की दिशा में हैं।
$F_B$ और $F_D$ का परिणामी बल $F_{BD} = \sqrt{F_B^2 + F_D^2} = \sqrt{2} \frac{kqQ}{a^2}$ है,जो $AC$ की दिशा में है।
$Q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,$F_A + F_{BD} = 0$ होना चाहिए।
$\frac{kQ^2}{2a^2} + \sqrt{2} \frac{kqQ}{a^2} = 0$.
$\frac{kQ}{a^2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{Q}{2} + \sqrt{2}q = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{Q}{q} = -2\sqrt{2}$.

(D) दिया गया है कि कुल आवेश $Q$ को दो भागों $Q_1$ और $Q_2$ में विभाजित किया गया है,इसलिए $Q_1 + Q_2 = Q$,जिसका अर्थ है $Q_2 = Q - Q_1$.
उनके बीच प्रतिकर्षण का स्थिर वैद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{Q_1 Q_2}{R^2}$.
$Q_2$ का मान $Q_1$ के पदों में रखने पर: $F = \frac{k}{R^2} Q_1 (Q - Q_1) = \frac{k}{R^2} (Q Q_1 - Q_1^2)$.
अधिकतम बल ज्ञात करने के लिए,हम $F$ का $Q_1$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dF}{dQ_1} = \frac{k}{R^2} (Q - 2Q_1) = 0$.
$Q_1$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $Q - 2Q_1 = 0$,जिसका अर्थ है $Q_1 = \frac{Q}{2}$.
चूंकि $Q_2 = Q - Q_1$,इसलिए $Q_2 = Q - \frac{Q}{2} = \frac{Q}{2}$.
अतः,बल तब अधिकतम होता है जब $Q_1 = Q_2 = \frac{Q}{2}$ हो।

(C) मान लीजिए कि दो गोलों पर प्रारंभिक आवेश $Q_1$ और $Q_2$ हैं। चूंकि वे एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं,इसलिए उनके चिह्न विपरीत होने चाहिए,अतः $Q_1 Q_2 < 0$.
प्रारंभिक बल $F = \frac{k |Q_1 Q_2|}{d^2}$ है। आकर्षण के कारण,$F = -\frac{k Q_1 Q_2}{d^2}$ होगा।
जब गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश समान रूप से विभाजित हो जाता है क्योंकि गोले समान हैं। प्रत्येक गोले पर नया आवेश $Q' = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$ होगा।
मूल स्थितियों पर वापस लाने के बाद,नया बल $F' = \frac{k (Q')^2}{d^2} = \frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{4d^2}$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,नए प्रतिकर्षण बल का परिमाण प्रारंभिक आकर्षण बल के परिमाण के बराबर है: $\frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{4d^2} = \frac{k |Q_1 Q_2|}{d^2}$.
चूंकि $Q_1$ और $Q_2$ विपरीत चिह्न के हैं,$|Q_1 Q_2| = -Q_1 Q_2$. अतः,$(Q_1 + Q_2)^2 = -4 Q_1 Q_2$.
$Q_1^2 + Q_2^2 + 2 Q_1 Q_2 = -4 Q_1 Q_2 \Rightarrow Q_1^2 + Q_2^2 + 6 Q_1 Q_2 = 0$.
$Q_2^2$ से विभाजित करने पर,$(\frac{Q_1}{Q_2})^2 + 6(\frac{Q_1}{Q_2}) + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = \frac{Q_1}{Q_2}$:
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = -3 \pm \sqrt{8}$.

(B) $q_3$ पर कुल बल ऋणात्मक $x-$ दिशा में है,जिसका अर्थ है कि $q_3$ की स्थिति पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ भी ऋणात्मक $x-$ दिशा में होना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि $q_3$ पर विद्युत क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $q_1$ पर कोण $\theta$ है। ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ है।
$q_3$ पर $q_1$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{k|q_1|}{r_1^2}$ है और $q_2$ के कारण $E_2 = \frac{k|q_2|}{r_2^2}$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक के शून्य होने के लिए,$\vec{E}_1$ और $\vec{E}_2$ के ऊर्ध्वाधर घटकों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा।
ज्यामिति से,रेखा $q_1q_3$ और क्षैतिज के बीच का कोण $\theta$ है। $q_2q_3$ और क्षैतिज के बीच का कोण $90^\circ - \theta$ है।
अतः,ऊर्ध्वाधर घटकों को बराबर रखने पर: $\frac{k|q_1|}{(4 \times 10^{-2})^2} \sin \theta = \frac{k|q_2|}{(3 \times 10^{-2})^2} \cos \theta$.
$\sin \theta = 3/5$ और $\cos \theta = 4/5$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है: $\frac{|q_1|}{16} \times \frac{3}{5} = \frac{|q_2|}{9} \times \frac{4}{5}$.
$|q_2| = |q_1| \times \frac{9}{16} \times \frac{3}{4} = 2.00\, \mu C \times \frac{27}{64} = \frac{27}{32}\, \mu C$.

(A) हवा में,पिथ गेंद पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $mg$ और स्थिर वैद्युत बल $F_0$ हैं। बलों को वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = F_0$ $(i)$
$T \cos \theta = mg$ (ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{F_0}{mg}$ प्राप्त होता है,इसलिए $F_0 = mg \tan \theta$.
जब $K$ परावैद्युतांक और $\sigma$ घनत्व वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो गेंद का प्रभावी भार $mg' = mg - F_B = mg - V\sigma g = V\rho g - V\sigma g = Vg(\rho - \sigma) = mg(1 - \frac{\sigma}{\rho})$ हो जाता है,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
नया स्थिर वैद्युत बल $F_m = \frac{F_0}{K}$ है।
चूंकि कोण $\theta$ समान रहता है:
$\tan \theta = \frac{F_m}{mg'} = \frac{F_0 / K}{mg(1 - \frac{\sigma}{\rho})}$
$\tan \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{F_0}{mg} = \frac{F_0}{K mg (1 - \frac{\sigma}{\rho})}$
$1 = \frac{1}{K (1 - \frac{\sigma}{\rho})}$
$K = \frac{1}{1 - \frac{\sigma}{\rho}} = \frac{\rho}{\rho - \sigma}$

(A) मान लीजिए कि छड़ का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{Q}{L}$ है।
बिंदु आवेश $q$ से $x$ दूरी पर छड़ पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव का आवेश $dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$ है।
इस अवयव और बिंदु आवेश $q$ के बीच स्थिर-वैद्युत बल $dF$ कूलम्ब के नियम के अनुसार है:
$dF = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q dq}{x^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q (Q/L) dx}{x^2}$.
कुल बल $F$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = d$ से $x = d + L$ तक $dF$ का समाकलन करते हैं:
$F = \int_{d}^{d+L} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qQ}{L} \frac{dx}{x^2} = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \int_{d}^{d+L} x^{-2} dx$.
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{d}^{d+L} = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( -\frac{1}{d+L} - (-\frac{1}{d}) \right)$.
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{1}{d} - \frac{1}{d+L} \right) = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{d+L-d}{d(d+L)} \right)$.
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{L}{d(d+L)} \right) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qQ}{d(d+L)}$.

(D) माना बिंदु आवेश $q$ से $x$ दूरी पर छड़ पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव है। इस अवयव पर आवेश $dq = \frac{Q}{L} dx$ है।
बिंदु आवेश $q$ और अवयव $dq$ के बीच लगने वाला छोटा विद्युत बल $dF$ कूलॉम के नियम के अनुसार:
$dF = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q \cdot dq}{x^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q (Q/L) dx}{x^2}$.
कुल बल $F$ ज्ञात करने के लिए,$x = d$ से $x = d+L$ तक $dF$ का समाकलन करें:
$F = \int_{d}^{d+L} \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \frac{dx}{x^2} = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{d}^{d+L}$.
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{1}{d} - \frac{1}{d+L} \right) = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{d+L-d}{d(d+L)} \right)$.
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{L}{d(d+L)} \right) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qQ}{d(d+L)}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) निकाय को संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि आवेश $Q$ को $q$ से $x$ दूरी पर और $4q$ से $(l-x)$ दूरी पर रखा गया है।
आवेश $q$ के संतुलन के लिए,$4q$ और $Q$ द्वारा लगाए गए बल संतुलित होने चाहिए:
$\frac{k(4q)(q)}{l^2} = \frac{k(Q)(q)}{x^2} \implies \frac{4}{l^2} = \frac{Q/q}{x^2} \implies \frac{Q}{q} = 4\frac{x^2}{l^2} \quad (1)$
आवेश $4q$ के संतुलन के लिए,$q$ और $Q$ द्वारा लगाए गए बल संतुलित होने चाहिए:
$\frac{k(4q)(q)}{l^2} = \frac{k(4q)(Q)}{(l-x)^2} \implies \frac{q}{l^2} = \frac{Q}{(l-x)^2} \implies \frac{Q}{q} = \frac{(l-x)^2}{l^2} \quad (2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$4\frac{x^2}{l^2} = \frac{(l-x)^2}{l^2} \implies 4x^2 = (l-x)^2 \implies 2x = l-x \implies 3x = l \implies x = \frac{l}{3}$.
$x = l/3$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\frac{Q}{q} = 4 \frac{(l/3)^2}{l^2} = 4 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.
चूंकि आवेश $4q$ और $q$ धनात्मक हैं,इसलिए उनके बीच के प्रतिकर्षण को संतुलित करने के लिए $Q$ को ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$Q = -\frac{4}{9}q$।

(A) मान लीजिए कि $A$ और $B$ पर प्रारंभिक आवेश क्रमशः $q_A = 4Q$ और $q_B = Q$ हैं,जो $r$ दूरी पर स्थित हैं। कूलॉम के नियम के अनुसार प्रारंभिक बल:
$F = \frac{k(4Q)(Q)}{r^2} = \frac{4kQ^2}{r^2}$
अब,$A$ पर स्थित आवेश का $75\%$ भाग $B$ पर स्थानांतरित किया जाता है। स्थानांतरित आवेश की मात्रा:
$\Delta q = 0.75 \times 4Q = 3Q$
$A$ और $B$ पर नए आवेश होंगे:
$q_A' = 4Q - 3Q = Q$
$q_B' = Q + 3Q = 4Q$
उनके बीच नया बल $F'$:
$F' = \frac{k(q_A')(q_B')}{r^2} = \frac{k(Q)(4Q)}{r^2} = \frac{4kQ^2}{r^2}$
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $F' = F$.

(C) मान लीजिए कि $A$ और $B$ पर प्रारंभिक आवेश क्रमशः $q_A = 4Q$ और $q_B = Q$ हैं,जो $r$ दूरी पर स्थित हैं। कूलॉम के नियम के अनुसार प्रारंभिक बल है:
$F = \frac{k(4Q)(Q)}{r^2} = \frac{4kQ^2}{r^2}$
जब $A$ के आवेश का $75\%$ भाग $B$ को स्थानांतरित किया जाता है,तो स्थानांतरित आवेश $0.75 \times 4Q = 3Q$ है।
अब नए आवेश हैं:
$q_A' = 4Q - 3Q = Q$
$q_B' = Q + 3Q = 4Q$
उनके बीच नया बल $F'$ है:
$F' = \frac{k(q_A')(q_B')}{r^2} = \frac{k(Q)(4Q)}{r^2} = \frac{4kQ^2}{r^2}$
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $F' = F$।

(B) आवेश $q_1$ से उदासीन बिंदु की दूरी $x$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$x = \frac{r \sqrt{q_1}}{\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2}}$
यहाँ,$q_1 = e$,$q_2 = 4e$,और $r = 30 \, cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{30 \sqrt{e}}{\sqrt{e} + \sqrt{4e}}$
$x = \frac{30 \sqrt{e}}{\sqrt{e} + 2\sqrt{e}}$
$x = \frac{30 \sqrt{e}}{3\sqrt{e}}$
$x = 10 \, cm$
अतः,उदासीन बिंदु $e$ आवेश से $10 \, cm$ की दूरी पर स्थित है।

(A) $Q_1$ और $Q_2$ आवेशों के बीच $r$ दूरी पर प्रारंभिक बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
जब दो समान गोलों को संपर्क में लाया जाता है, तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है। अब प्रत्येक गोले पर आवेश $Q' = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$ होगा।
नई दूरी $r' = \frac{r}{2}$ है।
नया बल $F' = 4.5 F$ दिया गया है। नई स्थिति के लिए कूलॉम का नियम उपयोग करने पर:
$F' = \frac{k Q' Q'}{(r')^2} = \frac{k \left( \frac{Q_1 + Q_2}{2} \right)^2}{\left( \frac{r}{2} \right)^2} = \frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{r^2}$
$F' = 4.5 F$ होने के कारण:
$\frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{r^2} = 4.5 \left( \frac{k Q_1 Q_2}{r^2} \right)$
$(Q_1 + Q_2)^2 = 4.5 Q_1 Q_2$
$Q_1^2 + Q_2^2 + 2 Q_1 Q_2 = 4.5 Q_1 Q_2$
$Q_1^2 + Q_2^2 - 2.5 Q_1 Q_2 = 0$
$Q_2^2$ से विभाजित करने पर और $x = \frac{Q_1}{Q_2}$ मानने पर:
$x^2 - 2.5 x + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2.5 \pm \sqrt{6.25 - 4}}{2} = \frac{2.5 \pm \sqrt{2.25}}{2} = \frac{2.5 \pm 1.5}{2}$
$x = \frac{4}{2} = 2$ या $x = \frac{1}{2} = 0.5$.
अतः, अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2}$ का मान $2$ हो सकता है।

(A) माना वर्ग की भुजा $a$ है। केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,किसी एक कोने पर स्थित $-Q$ आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
एक कोने पर स्थित $-Q$ आवेश पर अन्य तीन कोनों पर स्थित आवेशों के कारण लगने वाले बल हैं:
$1$. वर्ग की भुजाओं के अनुदिश $F_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$ परिमाण के दो बल।
$2$. विकर्ण के अनुदिश $F_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2}$ परिमाण का एक बल।
दो $F_1$ बलों का परिणामी बल $F_{1net} = \sqrt{F_1^2 + F_1^2} = \sqrt{2} F_1 = \frac{\sqrt{2}Q^2}{4\pi\epsilon_0 a^2}$ है।
तीन आवेशों के कारण कुल बल $F_{total} = F_{1net} + F_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{\sqrt{2}Q^2}{a^2} + \frac{Q^2}{2a^2} \right) = \frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0 a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)$ है।
संतुलन के लिए,इसे केंद्र में स्थित आवेश $q$ द्वारा लगाए गए बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए: $F_q = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2qQ}{4\pi\epsilon_0 a^2}$।
परिमाणों की तुलना करने पर: $\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0 a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{2qQ}{4\pi\epsilon_0 a^2}$।
$q = \frac{Q}{2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{Q}{4} (2\sqrt{2} + 1)$।
चूंकि बल आकर्षण का होना चाहिए,इसलिए $q$ का चिह्न $Q$ के विपरीत होना चाहिए। अतः,$q = -\frac{Q}{4}(1+2\sqrt{2})$।

(A) मान लीजिए कि वर्ग के कोने $A, B, C,$ और $D$ हैं,जिन पर आवेश क्रमशः $4q, 3q, 2q,$ और $q$ हैं। केंद्र $O$ से प्रत्येक कोने की दूरी $r$ है।
कोने $D$ पर स्थित $q$ आवेश द्वारा $O$ पर स्थित $q_0$ पर लगाया गया बल $F_D = \frac{kq q_0}{r^2}$ ($D$ से दूर की दिशा में)।
कोने $B$ पर स्थित $3q$ आवेश द्वारा $O$ पर स्थित $q_0$ पर लगाया गया बल $F_B = \frac{k(3q) q_0}{r^2}$ ($B$ से दूर की दिशा में)।
विकर्ण $BD$ के अनुदिश कुल बल $F_{BD} = F_B - F_D = \frac{3kq q_0}{r^2} - \frac{kq q_0}{r^2} = \frac{2kq q_0}{r^2}$ ($D$ की दिशा में)।
इसी प्रकार,कोने $C$ पर स्थित $2q$ आवेश द्वारा $O$ पर स्थित $q_0$ पर लगाया गया बल $F_C = \frac{k(2q) q_0}{r^2}$ ($C$ से दूर की दिशा में)।
कोने $A$ पर स्थित $4q$ आवेश द्वारा $O$ पर स्थित $q_0$ पर लगाया गया बल $F_A = \frac{k(4q) q_0}{r^2}$ ($A$ से दूर की दिशा में)।
विकर्ण $AC$ के अनुदिश कुल बल $F_{AC} = F_A - F_C = \frac{4kq q_0}{r^2} - \frac{2kq q_0}{r^2} = \frac{2kq q_0}{r^2}$ ($C$ की दिशा में)।
चूंकि वर्ग के विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं,इसलिए कुल बल $F_{net}$,$F_{BD}$ और $F_{AC}$ का सदिश योग है,जिनका परिमाण समान $(F = \frac{2kq q_0}{r^2})$ है और वे एक-दूसरे के लंबवत हैं।
$F_{net} = \sqrt{F^2 + F^2} = F\sqrt{2} = \frac{2kq q_0}{r^2} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \frac{kq q_0}{r^2}$.

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच लगने वाला स्थिर वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ होता है।
चूंकि आवेश समान हैं,मान लीजिए $q_1 = q_2 = q$ है। अतः,$F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$।
जब दूरी को दोगुना कर दिया जाता है,तो नई दूरी $r' = 2r$ हो जाती है।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q^2}{(2r)^2}$।
$F' = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q^2}{4r^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right)$।
अतः,$F' = \frac{F}{4}$।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार प्रारंभिक बल: $F_1 = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{k(2\,\mu C)(6\,\mu C)}{r^2} = 12\,N$.
जब प्रत्येक पर $-4\,\mu C$ का अतिरिक्त आवेश जोड़ा जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$q_1' = 2\,\mu C - 4\,\mu C = -2\,\mu C$
$q_2' = 6\,\mu C - 4\,\mu C = +2\,\mu C$
नया बल $F_2 = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k(-2\,\mu C)(2\,\mu C)}{r^2} = -\frac{k(2\,\mu C)(2\,\mu C)}{r^2}$.
$F_1$ और $F_2$ की तुलना करने पर:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{-2 \times 2}{2 \times 6} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$.
$F_2 = -\frac{1}{3} \times 12\,N = -4\,N$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि बल आकर्षक प्रकृति का है। अतः,बल $4\,N$ (आकर्षक) हो जाएगा।

(B) मान लीजिए घड़ी का केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ है।
$12$ बजे की स्थिति पर $+q$ आवेश है।
$3$ बजे की स्थिति पर $+q$ आवेश है।
$6$ बजे की स्थिति पर $-q$ आवेश है।
$9$ बजे की स्थिति पर $-q$ आवेश है।
केंद्र पर $q_0$ पर $q$ आवेश द्वारा लगाया गया बल $F = \frac{kq q_0}{r^2}$ है।
$12$ बजे स्थित $+q$ के कारण बल $F$ नीचे की ओर ($6$ की ओर) है।
$6$ बजे स्थित $-q$ के कारण बल $F$ नीचे की ओर ($6$ की ओर) है।
कुल ऊर्ध्वाधर बल $F_y = F + F = 2F$ (नीचे की ओर)।
$3$ बजे स्थित $+q$ के कारण बल $F$ बाईं ओर ($9$ की ओर) है।
$9$ बजे स्थित $-q$ के कारण बल $F$ बाईं ओर ($9$ की ओर) है।
कुल क्षैतिज बल $F_x = F + F = 2F$ (बाईं ओर)।
परिणामी बल $F_{net} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(2F)^2 + (2F)^2} = 2\sqrt{2}F$ है।
परिणामी बल की दिशा ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है,जो तीसरे चतुर्थांश ($6$ और $9$ के बीच) की ओर इंगित करती है।
यह दिशा घड़ी में $7:30$ का समय दर्शाती है।

(D) माना प्रत्येक धागे की लंबाई $L = 3\, m$ है। धागों के बीच का कोण $120^{\circ}$ है,इसलिए प्रत्येक धागा ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
दोनों आवेशों के बीच की दूरी $r = 2L \sin(60^{\circ}) = 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\, m$ है।
आवेशों के बीच स्थिर-विद्युत बल $F_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{r^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{(10 \times 10^{-6})^2}{(3\sqrt{3})^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{10^{-8}}{27} = \frac{10}{27} \approx 0.37\, N$ है।
संतुलन की स्थिति में,एक गेंद पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,स्थिर-विद्युत बल $F_e$ और भार $mg$ हैं। यहाँ द्रव्यमान $m$ नहीं दिया गया है। बलों के संतुलन के अनुसार $T \sin(60^{\circ}) = F_e$ होता है। अतः $T = \frac{F_e}{\sin(60^{\circ})} = \frac{10/27}{\sqrt{3}/2} = \frac{20}{27\sqrt{3}} \approx 0.427\, N$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिणाम से मेल नहीं खाता है।