Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Hindi

(B) संतुलन की स्थिति में,एक गोलाकार गेंद पर कार्य करने वाले बल धागे में तनाव $T$,स्थिर-वैद्युत बल $F_e$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
मान लीजिए धागे की लंबाई $L = 1\,m$ है और ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta = 30^o$ है।
दो आवेशों के बीच की दूरी $r = 2L \sin(30^o) = 2 \times 1 \times 0.5 = 1\,m$ है।
स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{r^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{(10 \times 10^{-6})^2}{1^2} = 9 \times 10^9 \times 10^{-10} = 0.9\,N$ है।
क्षैतिज दिशा में संतुलन के लिए: $T \sin(30^o) = F_e$.
$T \times 0.5 = 0.9$.
$T = 1.8\,N$.

(B) मान लीजिए कि आवेश $q$ को $+9e$ आवेश से $x$ दूरी पर रखा गया है। निकाय के संतुलन में रहने के लिए,आवेश $q$ पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $+e$ आवेश के कारण बल $F_1$ है और $+9e$ आवेश के कारण बल $F_2$ है।
संतुलन के लिए,$|F_1| = |F_2|$.
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{kqe}{(16-x)^2} = \frac{kq(9e)}{x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{16-x} = \frac{3}{x}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 3(16-x) \implies x = 48 - 3x \implies 4x = 48 \implies x = 12\, cm$.
अतः,आवेश $q$ को $+9e$ आवेश से $12\, cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(C) तीसरे आवेश $q$ पर कोई नेट बल न लगे,इसके लिए दोनों आवेशों $Q_1$ और $Q_2$ द्वारा लगाए गए बलों का परिमाण समान और दिशा विपरीत होनी चाहिए। चूंकि आवेश विपरीत चिन्ह के हैं,इसलिए संतुलन बिंदु उन्हें जोड़ने वाली रेखा के बाहर,छोटे परिमाण वाले आवेश $(-2.7 \times 10^{-11} \, C)$ के करीब होना चाहिए।
मान लीजिए कि तीसरा आवेश $q$,$Q_2 = -2.7 \times 10^{-11} \, C$ से $x$ दूरी पर रखा गया है। $Q_1 = 5 \times 10^{-11} \, C$ से इसकी दूरी $(x + 0.2) \, m$ होगी।
बलों के परिमाण की तुलना करने पर: $\frac{k |Q_1| |q|}{(x + 0.2)^2} = \frac{k |Q_2| |q|}{x^2}$.
मान रखने पर: $\frac{5 \times 10^{-11}}{(x + 0.2)^2} = \frac{2.7 \times 10^{-11}}{x^2}$.
$\frac{5}{(x + 0.2)^2} = \frac{2.7}{x^2} \implies \frac{\sqrt{5}}{x + 0.2} = \frac{\sqrt{2.7}}{x}$.
$2.236 x = 1.643 (x + 0.2) \implies 2.236 x = 1.643 x + 0.3286$.
$0.593 x = 0.3286 \implies x \approx 0.554 \, m$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $0.556 \, m$ है।

(D) $x = l$ पर स्थित आवेश $Q$ पर बल $x = 0$ पर स्थित $4Q$ और $x = l/2$ पर स्थित $q$ आवेशों के कारण लगता है।
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए,$4Q$ द्वारा $Q$ पर लगाया गया बल $F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(4Q)(Q)}{l^2}$ है।
$q$ द्वारा $Q$ पर लगाया गया बल $F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{(l/2)^2}$ है।
$Q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,$F_1 + F_2 = 0$ होना चाहिए।
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{4Q^2}{l^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{l^2/4} = 0$.
$\frac{4Q^2}{l^2} + \frac{4qQ}{l^2} = 0$.
$\frac{4Q}{l^2}$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $Q \neq 0$ और $l \neq 0$),हमें $Q + q = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = -Q$.

(C) मान लीजिए कि दो समान आवेश $Q$ हैं और तीसरा आवेश $q$ है। दो आवेशों $Q$ के बीच की दूरी $d$ है। तीसरा आवेश $q$ लंब समद्विभाजक पर $x$ दूरी पर रखा गया है।
प्रत्येक आवेश $Q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Qq}{x^2 + (d/2)^2}$ है।
$q$ पर कुल बल $F_{net}$ लंब समद्विभाजक पर इन बलों के घटकों का योग है:
$F_{net} = 2F \cos \theta$,जहाँ $\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + (d/2)^2}}$ है।
मान रखने पर:
$F_{net} = 2 \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Qq}{x^2 + d^2/4} \cdot \frac{x}{(x^2 + d^2/4)^{1/2}} = \frac{2Qqx}{4\pi\varepsilon_0 (x^2 + d^2/4)^{3/2}}$.
$F_{net}$ के अधिकतम होने के लिए,$\frac{dF_{net}}{dx} = 0$ होना चाहिए।
अवकलन करने पर:
$f'(x) = (x^2 + a^2)^{-3/2} + x \cdot (-3/2)(x^2 + a^2)^{-5/2} \cdot 2x = 0$,जहाँ $a = d/2$ है।
$(x^2 + a^2)^{-5/2} [ (x^2 + a^2) - 3x^2 ] = 0$.
$a^2 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = a^2/2 \implies x = a/\sqrt{2}$.
चूँकि $a = d/2$,हमें $x = \frac{d/2}{\sqrt{2}} = \frac{d}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $+q_2$ द्वारा $-q_1$ पर लगाया गया बल $F_2$ है। विपरीत चिन्ह होने के कारण,यह बल आकर्षण का है और धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में कार्य करता है। अतः,$F_2 = k \frac{q_1 q_2}{b^2}$ है।
मान लीजिए $-q_3$ द्वारा $-q_1$ पर लगाया गया बल $F_3$ है। समान चिन्ह होने के कारण,यह बल प्रतिकर्षण का है। बल $F_3$ उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है,जो ऋणात्मक $y$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है। इसका परिमाण $F_3 = k \frac{q_1 q_3}{a^2}$ है।
$F_3$ का $x$-घटक $F_{3x} = F_3 \sin \theta = k \frac{q_1 q_3}{a^2} \sin \theta$ है,जो धनात्मक $x$-दिशा में कार्य करता है।
$-q_1$ पर कुल बल का $x$-घटक $F_x = F_2 + F_{3x} = k \frac{q_1 q_2}{b^2} + k \frac{q_1 q_3}{a^2} \sin \theta$ है।
अतः,$F_x = k q_1 \left( \frac{q_2}{b^2} + \frac{q_3}{a^2} \sin \theta \right)$ है।
इस प्रकार,$F_x \propto \left( \frac{q_2}{b^2} + \frac{q_3}{a^2} \sin \theta \right)$।

(A) विद्युत प्रतिबिंब (electrical image) की विधि के अनुसार,एक भू-संपर्कित चालक प्लेट समान परिमाण लेकिन विपरीत चिह्न वाले एक प्रतिबिंब आवेश की तरह कार्य करती है,जो प्लेट के पीछे समान दूरी पर स्थित होता है।
यहाँ,आवेश $q = 40 \ statC$ प्लेट से $d = 2 \ cm$ की दूरी पर है।
प्रतिबिंब आवेश $q' = -40 \ statC$ प्लेट के पीछे $d = 2 \ cm$ की दूरी पर है।
आवेश और उसके प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी $r = 2d = 4 \ cm$ है।
$CGS$ प्रणाली में कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए,बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{|q \cdot q'|}{r^2} = \frac{40 \times 40}{4^2} = \frac{1600}{16} = 100 \ dynes$.

(B) इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच विद्युत आकर्षण बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$।
यहाँ,$k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = q_2 = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $r = 2.5 \times 10^{-11} \ m$ है।
मान रखने पर:
$F = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (1.6 \times 10^{-19})}{(2.5 \times 10^{-11})^2}$
$F = \frac{9 \times 2.56 \times 10^{9 - 19 - 19}}{6.25 \times 10^{-22}}$
$F = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{6.25 \times 10^{-22}}$
$F = 3.6864 \times 10^{-7} \ N \approx 3.7 \times 10^{-7} \ N$।

(A) $CsCl$ क्रिस्टल में,$Cs^{+}$ आयन $a$ भुजा की लंबाई वाले घन के आठ कोनों पर स्थित होते हैं।
$Cl^{-}$ आयन इस घन के बिल्कुल केंद्र में रखा गया है।
$bcc$ संरचना की समरूपता के कारण,प्रत्येक कोने पर स्थित $Cs^{+}$ आयन केंद्र में स्थित $Cl^{-}$ आयन पर एक स्थिर-वैद्युत बल लगाता है।
प्रत्येक $Cs^{+}$ आयन के लिए,केंद्र के सापेक्ष उसके ठीक विपरीत दिशा में एक समान $Cs^{+}$ आयन स्थित होता है।
$Cs^{+}$ आयनों की इन जोड़ियों द्वारा केंद्रीय $Cl^{-}$ आयन पर लगाए गए बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।
सुपरपोजिशन (अध्यारोपण) के सिद्धांत के अनुसार,इन सभी बलों का सदिश योग शून्य होता है।
इसलिए,$Cl^{-}$ आयन पर लगने वाला नेट स्थिर-वैद्युत बल शून्य है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु के नाभिक का आवेश $q_1 = +e$ है।
इलेक्ट्रॉन का आवेश $q_2 = -e$ है।
कूलॉम बल $\vec{F}$ का सूत्र $\vec{F} = \frac{k q_1 q_2}{r^2} \hat{r}$ है,जहाँ $\hat{r}$ नाभिक से इलेक्ट्रॉन की दिशा में इकाई सदिश है।
मान रखने पर,$\vec{F} = \frac{k(e)(-e)}{r^2} \hat{r} = -\frac{k e^2}{r^2} \hat{r}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}$,इसलिए हम इस व्यंजक को $\vec{F} = -\frac{k e^2}{r^2} \left( \frac{\vec{r}}{r} \right) = -k \frac{e^2}{r^3} \vec{r}$ के रूप में लिख सकते हैं।

(C) माना दो गोलों $A$ $(+q)$ और $B$ $(-q)$ के बीच की दूरी $r$ है। उनके बीच का प्रारंभिक बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ है।
जब $+q$ आवेश वाला तीसरा गोला $O$ उनके मध्य बिंदु ($r/2$ दूरी पर) पर रखा जाता है:
गोले $A$ $(+q)$ द्वारा गोले $O$ $(+q)$ पर लगने वाला प्रतिकर्षण बल: $F_{AO} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q \cdot q}{(r/2)^2} = 4 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right) = 4F$ ($-q$ की दिशा में)।
गोले $B$ $(-q)$ द्वारा गोले $O$ $(+q)$ पर लगने वाला आकर्षण बल: $F_{OB} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|-q| \cdot q}{(r/2)^2} = 4 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right) = 4F$ ($-q$ की दिशा में)।
कुल बल $F' = F_{AO} + F_{OB} = 4F + 4F = 8F$। यह बल $-q$ आवेश की दिशा में कार्य करेगा।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो आवेशों के बीच का बल $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$q_1 = 2 \, \mu \text{C}$ और $q_2 = 6 \, \mu \text{C}$ है,और $F = 12 \, \text{N}$ है।
अतः,$12 = \frac{k (2 \times 10^{-6}) (6 \times 10^{-6})}{r^2} \implies \frac{k}{r^2} = \frac{12}{12 \times 10^{-12}} = 10^{12} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ है।
प्रत्येक आवेश में $-4 \, \mu \text{C}$ जोड़ने के बाद:
$q_1' = 2 - 4 = -2 \, \mu \text{C}$
$q_2' = 6 - 4 = +2 \, \mu \text{C}$
नया बल $F'$ होगा: $F' = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k (-2 \times 10^{-6}) (2 \times 10^{-6})}{r^2}$।
$\frac{k}{r^2} = 10^{12}$ का मान रखने पर,हमें $F' = 10^{12} \times (-4 \times 10^{-12}) = -4 \, \text{N}$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल आकर्षक है। अतः,बल का परिमाण $4 \, \text{N}$ है और यह आकर्षक प्रकृति का है।

(D) और $C$ पर आवेश $q$ हैं और उनके बीच की दूरी $a$ है। $B$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_{AB} = \frac{kq^2}{a^2}$ है,जो $BA$ रेखा की दिशा में है। $C$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_{AC} = \frac{kq^2}{a^2}$ है,जो $CA$ रेखा की दिशा में है। चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए इन बलों का ऊर्ध्वाधर (लंबवत) के साथ कोण $30^\circ$ है। इन बलों के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं: $F_{net} = F_{AB} \cos(30^\circ) + F_{AC} \cos(30^\circ) = 2 \times \frac{kq^2}{a^2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}kq^2}{a^2}$.

(D) माना कि तीसरा आवेश $q$,$9e$ आवेश से $x$ दूरी पर रखा गया है। तब,$16e$ आवेश से इसकी दूरी $(70 - x) \ cm$ होगी।
तीसरे आवेश के संतुलन में रहने के लिए,उस पर लगने वाला कुल स्थिर-विद्युत बल शून्य होना चाहिए। अतः,$9e$ द्वारा लगाया गया बल और $16e$ द्वारा लगाया गया बल परिमाण में समान होने चाहिए:
$F_1 = F_2$
$\frac{k \cdot (9e) \cdot q}{x^2} = \frac{k \cdot (16e) \cdot q}{(70 - x)^2}$
$\frac{9}{x^2} = \frac{16}{(70 - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{3}{x} = \frac{4}{70 - x}$
$3(70 - x) = 4x$
$210 - 3x = 4x$
$7x = 210$
$x = 30 \ cm$
अतः,आवेश को $9e$ से $30 \ cm$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए। $16e$ से इसकी दूरी $70 - 30 = 40 \ cm$ है। इसलिए,विकल्प $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(B) चरण $1$: आवेशों के बीच की दूरी ज्ञात करें। मान लीजिए वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। विकर्ण की लंबाई $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ है। केंद्र $O$ से किसी भी कोने की दूरी $OC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
चरण $2$: संतुलन की स्थिति। निकाय के संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए। समरूपता के कारण,केंद्रीय आवेश $q$ पर कुल बल उसके मान की परवाह किए बिना शून्य ही रहेगा। इसलिए,हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि किसी भी एक कोने वाले आवेश (जैसे बिंदु $C$ पर) पर कुल बल शून्य हो।
चरण $3$: कोने $C$ पर स्थित आवेश पर लगने वाले बल। कोनों $A, B, C, D$ पर आवेश $-Q$ हैं। $B$ के कारण बल $F_1 = \frac{KQ^2}{a^2}$ (प्रतिकर्षण),$D$ के कारण बल $F_2 = \frac{KQ^2}{a^2}$ (प्रतिकर्षण),और $A$ के कारण बल $F_4 = \frac{KQ^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{KQ^2}{2a^2}$ (प्रतिकर्षण) है। केंद्रीय आवेश $q$ के कारण बल $F_3 = \frac{K|q|Q}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2K|q|Q}{a^2}$ (आकर्षण) है।
चरण $4$: विकर्ण $OC$ के अनुदिश बलों का योग। $F_1$ और $F_2$ का परिणामी बल $\sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{2} \frac{KQ^2}{a^2}$ है। संतुलन के लिए: $F_3 + F_4 + \sqrt{2}F_1 = 0$। मान रखने पर: $\frac{2KqQ}{a^2} + \frac{KQ^2}{2a^2} + \sqrt{2}\frac{KQ^2}{a^2} = 0$।
चरण $5$: $q$ के लिए हल करने पर: $2q + \frac{Q}{2} + \sqrt{2}Q = 0 \Rightarrow 2q = -Q(\frac{1}{2} + \sqrt{2}) \Rightarrow q = -\frac{Q}{4}(1 + 2\sqrt{2})$। बल की दिशा की जाँच करने पर,कोने वाले आवेश को संतुलित करने के लिए $q$ धनात्मक होना चाहिए,अतः सही मान $q = \frac{Q}{4}(1 + 2\sqrt{2})$ है।

(A) स्थिर-वैद्युतिकी में अध्यारोपण के सिद्धांत (principle of superposition) के अनुसार,एक बिंदु आवेश द्वारा दूसरे बिंदु आवेश पर लगाया गया बल आसपास मौजूद अन्य आवेशों की उपस्थिति से स्वतंत्र होता है।
दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच बल $F$,कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$,जहाँ $r$ उनके बीच की दूरी है।
चूंकि बल $F$ केवल $q_1$ और $q_2$ के परिमाण और उनके बीच की दूरी $r$ पर निर्भर करता है,इसलिए तीसरे आवेश $q_3$ को लाने से $q_1$ द्वारा $q_2$ पर लगाया जाने वाला व्यक्तिगत बल नहीं बदलता है।
यद्यपि $q_3$ के कारण $q_2$ पर लगने वाला कुल बल बदल जाएगा,लेकिन $q_1$ द्वारा $q_2$ पर लगाया गया बल $F$ ही रहेगा।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $Q_1$ और $Q_2$ के बीच स्थिर वैद्युत बल $F = k \frac{|Q_1 Q_2|}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन का गति का तीसरा नियम बताता है कि प्रत्येक क्रिया के लिए समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
इसलिए,आवेश $Q_1$ द्वारा $Q_2$ पर लगाया गया बल,आवेश $Q_2$ द्वारा $Q_1$ पर लगाए गए बल के परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होता है।
चूंकि बलों के परिमाण समान हैं,इसलिए उनके द्वारा एक-दूसरे पर लगाए गए बलों का अनुपात $1 : 1$ होगा।

(D) दो आवेशों के बीच लगने वाला बल एक केंद्रीय बल है,जो प्रकृति में संरक्षी होता है।
एक संरक्षी बल द्वारा बंद पथ में किया गया कार्य शून्य होता है।
वैकल्पिक रूप से,किया गया कार्य $W$ समाकलन $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
इस मामले में,बल $\vec{F}$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर (आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश) कार्य करता है और विस्थापन $d\vec{r}$ वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है।
चूंकि बल हमेशा विस्थापन के लंबवत होता है (कोण $\theta = 90^\circ$),इसलिए अदिश गुणनफल $\vec{F} \cdot d\vec{r} = F \cdot dr \cdot \cos(90^\circ) = 0$ होता है।
अतः,कुल किया गया कार्य $0$ होगा।

(C) मुक्त आकाश की विद्युत पारगम्यता, जिसे $\varepsilon_0$ द्वारा दर्शाया जाता है, एक मौलिक भौतिक स्थिरांक है。
कूलम्ब के नियम के अनुसार, दो आवेशों के बीच बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है。
$\varepsilon_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi F r^2}$ प्राप्त होता है。
$\varepsilon_0$ का $SI$ मात्रक $C^2/(N \cdot m^2)$ या $F/m$ है。
प्रायोगिक रूप से निर्धारित इसका मान लगभग $8.854 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$ है。

(A) उपग्रह में भारहीनता की स्थिति होती है,जिसका अर्थ है कि प्रभावी गुरुत्वाकर्षण बल $mg = 0$ है।
दो समान ऋणात्मक आवेशों $Q$ के बीच प्रतिकर्षण के स्थिरवैद्युत बल के कारण,गोले एक-दूसरे को तब तक दूर धकेलेंगे जब तक कि डोरियाँ विपरीत दिशाओं में पूरी तरह से फैल न जाएं।
चूंकि डोरियों की लंबाई $L$ है,इसलिए दोनों गोलों के बीच की दूरी $2L$ हो जाती है।
अतः,दोनों डोरियों के बीच का कोण $180^{\circ}$ है।
प्रत्येक डोरी में तनाव $T$,दोनों आवेशों के बीच प्रतिकर्षण के स्थिरवैद्युत बल $F_e$ द्वारा संतुलित होता है।
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए: $F_e = \frac{k |Q_1 Q_2|}{r^2} = \frac{k Q^2}{(2L)^2} = \frac{k Q^2}{4L^2}$।
इसलिए,तनाव $T = F_e = \frac{k Q^2}{4L^2} \text{ N}$।

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच स्थिर-विद्युत बल $F$ उनके बीच की दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$
दिया गया है कि प्रारंभिक दूरी $r$ है और नई दूरी $r' = 2r$ है।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा:
$F' = k \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{(2r)^2}$
$F' = k \frac{|q_1 q_2|}{4r^2} = \frac{1}{4} \left( k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \right)$
$F' = \frac{F}{4}$
अतः,स्थिर-विद्युत बल अपने मूल मान का एक-चौथाई हो जाएगा।

(B) चरण $1$: केंद्रीय आवेश $Q$ का संतुलन।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
सममिति के अनुसार,दोनों बाहरी आवेश $q$,$Q$ पर समान और विपरीत बल लगाते हैं,जो एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। अतः,$q$ के किसी भी मान के लिए $Q$ पर कुल बल शून्य ही रहेगा।
चरण $2$: बाहरी आवेश $q$ का संतुलन।
मान लीजिए कि दो आवेशों $q$ के बीच की दूरी $2x$ है। $q$ से $Q$ की दूरी $x$ है।
दाहिनी ओर स्थित आवेश $q$ पर कुल बल शून्य होना चाहिए:
$F = \frac{kQq}{x^2} + \frac{kq^2}{(2x)^2} = 0$
$k/x^2$ से विभाजित करने पर:
$Qq + \frac{q^2}{4} = 0$
$Qq = -\frac{q^2}{4}$
$Q = -\frac{q}{4}$
अतः,$q = -4Q$.

(A) चरण $1$: $CsCl$ क्रिस्टल संरचना की समरूपता का विश्लेषण करें।
$CsCl$ की $bcc$ संरचना में,$Cl^-$ आयन घन के बिल्कुल केंद्र में स्थित होता है,जबकि आठ $Cs^+$ आयन घन के आठ कोनों पर स्थित होते हैं।
चरण $2$: कुल बल की गणना करें।
घनीय समरूपता के कारण,प्रत्येक कोने पर स्थित $Cs^+$ आयन केंद्र में स्थित $Cl^-$ आयन पर एक स्थिर-वैद्युत बल लगाता है। चूंकि $Cl^-$ आयन ज्यामितीय केंद्र में है,इसलिए एक कोने पर स्थित प्रत्येक $Cs^+$ आयन के लिए,विकर्ण रूप से विपरीत कोने पर एक समान $Cs^+$ आयन होता है।
चरण $3$: निष्कर्ष।
विकर्ण रूप से विपरीत $Cs^+$ आयनों के इन जोड़ों द्वारा केंद्र में स्थित $Cl^-$ आयन पर लगाए गए बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं। परिणामस्वरूप,ये बल एक-दूसरे के प्रभाव को पूरी तरह से निरस्त कर देते हैं।
इसलिए,$Cl^-$ आयन पर लगने वाला कुल स्थिर-वैद्युत बल $zero$ है।

(C) माना वर्ग की भुजा $a$ है। आवेश $Q$ को $(0, a)$ और $(a, 0)$ पर,तथा आवेश $q$ को $(0, 0)$ और $(a, a)$ पर रखें।
$(a, 0)$ पर स्थित $Q$ पर लगने वाले बल पर विचार करें।
$Q$ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. $(0, 0)$ पर स्थित $q$ के कारण बल: $\vec{F}_1 = \frac{kQq}{a^2} \hat{i}$
$2$. $(a, a)$ पर स्थित $q$ के कारण बल: $\vec{F}_2 = \frac{kQq}{a^2} \hat{j}$
$3$. $(0, a)$ पर स्थित $Q$ के कारण बल: $\vec{F}_3 = \frac{kQ^2}{(\sqrt{2}a)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} \right)$
कुल बल शून्य होने के लिए,घटकों का योग शून्य होना चाहिए:
$F_x = \frac{kQq}{a^2} + \frac{kQ^2}{2a^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
$\frac{kQq}{a^2} = -\frac{kQ^2}{2\sqrt{2}a^2}$
$q = -\frac{Q}{2\sqrt{2}}$
अतः,$\frac{Q}{q} = -2\sqrt{2}$.

(D) बूंद को स्थिर रखने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$qE = mg$
दिया गया है:
$E = 100 \ V m^{-1}$
$m = 1.6 \times 10^{-3} \ g = 1.6 \times 10^{-6} \ kg$
$g \approx 10 \ m s^{-2}$
$q = \frac{mg}{E} = \frac{1.6 \times 10^{-6} \times 10}{100} = 1.6 \times 10^{-7} \ C$
इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{q}{e}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
$n = \frac{1.6 \times 10^{-7}}{1.6 \times 10^{-19}} = 10^{12}$.

(A) दिया गया है: बल $F = 0.144 \, N$, दूरी $r = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$, और आवेश समान हैं $(q_1 = q_2 = q)$।
कूलॉम के नियम के अनुसार: $F = \frac{k q^2}{r^2}$।
मान रखने पर: $0.144 = \frac{(9 \times 10^9) \times q^2}{(5 \times 10^{-2})^2}$।
$0.144 = \frac{9 \times 10^9 \times q^2}{25 \times 10^{-4}}$।
$q^2 = \frac{0.144 \times 25 \times 10^{-4}}{9 \times 10^9}$।
$q^2 = 0.016 \times 25 \times 10^{-13} = 0.4 \times 10^{-13} = 4 \times 10^{-14}$।
$q = \sqrt{4 \times 10^{-14}} = 2 \times 10^{-7} \, C = 0.2 \times 10^{-6} \, C = 0.2 \, \mu C$।

(D) माना गोले का घनत्व $\rho$ है और द्रव का घनत्व $\sigma$ है। जब गोले हवा में होते हैं,तो संतुलन की स्थिति $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$ होती है।
जब उन्हें द्रव में डुबोया जाता है,तो प्रभावी भार $mg' = V(\rho - \sigma)g$ हो जाता है और स्थिर-वैद्युत बल $F_e' = \frac{F_e}{K}$ हो जाता है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
द्रव में संतुलन की स्थिति $\tan \theta = \frac{F_e'}{m'g} = \frac{F_e / K}{V(\rho - \sigma)g}$ है।
चूँकि कोण $\theta$ समान रहता है,हम $\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं:
$\frac{F_e}{V\rho g} = \frac{F_e}{K V(\rho - \sigma)g}$.
इसे सरल करने पर $K = \frac{\rho}{\rho - \sigma}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\rho = 1.6 \, g \cdot cm^{-3}$ और $\sigma = 0.8 \, g \cdot cm^{-3}$ दिया गया है,इसलिए $K = \frac{1.6}{1.6 - 0.8} = \frac{1.6}{0.8} = 2$।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,हवा में बल $F_{air} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
माध्यम (तेल) में बल $F_{medium} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 \epsilon_r} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\epsilon_r$ सापेक्ष विद्युतशीलता है।
चूंकि बल समान रहता है $(F_{air} = F_{medium})$,हमारे पास है:
$\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 \epsilon_r} \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
समीकरण को सरल करने पर,हमें $r^2 = \epsilon_r d^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = \frac{r}{\sqrt{\epsilon_r}}$.
यहाँ $r = 50 \ cm$ और $\epsilon_r = 5$ दिया गया है,इसलिए:
$d = \frac{50}{\sqrt{5}} = \frac{50}{2.236} \approx 22.36 \ cm$.
अतः,तेल में दूरी लगभग $22.3 \ cm$ है।

(C) आवेश $Q$,$-q$ और $+q$ के बीच के मध्यबिंदु पर स्थित है। प्रत्येक आवेश से $Q$ की दूरी $r/2$ है।
$-q$ द्वारा $Q$ पर लगाया गया बल $F_A = \frac{kQq}{(r/2)^2} = \frac{4kQq}{r^2}$ ($-q$ की ओर आकर्षण बल)।
$+q$ द्वारा $Q$ पर लगाया गया बल $F_B = \frac{kQq}{(r/2)^2} = \frac{4kQq}{r^2}$ ($+q$ से दूर प्रतिकर्षण बल)।
चूंकि दोनों बल एक ही दिशा में (बाईं ओर,$-q$ की ओर) कार्य कर रहे हैं,इसलिए कुल बल:
$F_{net} = F_A + F_B = \frac{4kQq}{r^2} + \frac{4kQq}{r^2} = \frac{8kQq}{r^2}$.

(A) प्रारंभ में,$r$ दूरी पर स्थित $q$ और $q$ आवेश वाले दो गोलों के बीच का बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{kq^2}{r^2}$
जब एक गोले का $50\%$ आवेश दूसरे गोले पर स्थानांतरित किया जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$q_1 = q - 0.5q = 0.5q = \frac{q}{2}$
$q_2 = q + 0.5q = 1.5q = \frac{3q}{2}$
नया बल $F'$:
$F' = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{k (q/2) (3q/2)}{r^2}$
$F' = \frac{3}{4} \frac{kq^2}{r^2}$
चूंकि $F = \frac{kq^2}{r^2}$,इसलिए:
$F' = \frac{3}{4} F = 0.75 F$

(A) मान लीजिए कि आवेश $q$ को $+9e$ आवेश से $x$ दूरी पर रखा गया है। निकाय के संतुलन में रहने के लिए,आवेश $q$ पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $+e$ आवेश के कारण बल $F_1$ है और $+9e$ आवेश के कारण बल $F_2$ है।
संतुलन के लिए,$|F_1| = |F_2|$.
$\frac{kqe}{(16-x)^2} = \frac{kq(9e)}{x^2}$
$\frac{1}{(16-x)^2} = \frac{9}{x^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{16-x} = \frac{3}{x}$
$x = 3(16-x)$
$x = 48 - 3x$
$4x = 48$
$x = 12\, cm$ ($+9e$ से)।

(C) दोनों गोलों पर $+q$ आवेश है और उनके बीच की दूरी $r = 2a$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो आवेशों के बीच लगने वाला स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
दिए गए मान $q_1 = q$,$q_2 = q$ और $r = 2a$ रखने पर:
$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q \cdot q}{(2a)^2}$
$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{4a^2}$
$F = \frac{q^2}{16\pi \varepsilon_0 a^2}$
चूंकि गोले संतुलन की स्थिति में हैं,इसलिए डोरी में तनाव बल $T$ स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण बल के बराबर होगा।
अतः,$T = F = \frac{q^2}{16\pi \varepsilon_0 a^2}$.

(B) मान लीजिए कि आवेश $4q$,$x=0$ पर और आवेश $q$,$x=l$ पर स्थित है। आवेश $Q$ को $x=l/2$ पर रखा गया है।
आवेश $q$ पर परिणामी बल शून्य होने के लिए,$4q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल और $Q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
$4q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल $F_1 = \frac{k(4q)(q)}{l^2}$ है।
$Q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल $F_2 = \frac{k(Q)(q)}{(l/2)^2}$ है।
परिणामी बल शून्य होने के लिए,$F_1 + F_2 = 0$,जिसका अर्थ है $F_1 = -F_2$.
$\frac{k(4q)(q)}{l^2} = -\frac{k(Q)(q)}{(l/2)^2}$.
$\frac{4q}{l^2} = -\frac{Q}{l^2/4}$.
$4q = -4Q$.
अतः,$Q = -q$.

(B) मान लीजिए आवेश $q_1 = q_2 = q_3 = q$ हैं।
मान लीजिए वर्ग की भुजा $a$ है।
आसन्न कोनों (जैसे $1$ और $2$) के बीच की दूरी $r_{12} = a$ है।
विपरीत कोनों (जैसे $1$ और $3$) के बीच की दूरी $r_{13} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ है।
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए,बल $F_{12} = \frac{k q_1 q_2}{r_{12}^2} = \frac{k q^2}{a^2}$ है।
बल $F_{13} = \frac{k q_1 q_3}{r_{13}^2} = \frac{k q^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{k q^2}{2a^2}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{F_{12}}{F_{13}} = \frac{k q^2 / a^2}{k q^2 / 2a^2} = 2$ होगा।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,आवेश $q = 10^{-9} \, C$,दूरी $x = 0.3 \, cm = 3 \times 10^{-3} \, m$,$g \approx 10 \, m/s^2$.
स्थिरवैद्युत बल $F_e = \frac{k q^2}{x^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (10^{-9})^2}{(3 \times 10^{-3})^2} = \frac{9 \times 10^{-9}}{9 \times 10^{-6}} = 10^{-3} \, N$.
गुरुत्वाकर्षण बल $mg = 10^{-3} \times 10 = 10^{-2} \, N$.
साम्यावस्था के लिए,$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{10^{-3}}{10^{-2}} = 0.1$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(0.1)$.

(A) प्रत्येक कार्बन परमाणु में $6$ इलेक्ट्रॉन और $6$ प्रोटॉन होते हैं। इलेक्ट्रॉनों (और प्रोटॉन) की कुल संख्या = $6 \times 10^{23}$ है।
प्रत्येक ध्रुव पर कुल आवेश $q = (6 \times 10^{23}) \times (1.6 \times 10^{-19} \ C) = 9.6 \times 10^4 \ C$ है।
उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव के बीच की दूरी पृथ्वी का व्यास है,$d = 2R = 2 \times 6400 \ km = 1.28 \times 10^7 \ m$.
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए: $F = \frac{k q_1 q_2}{d^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (9.6 \times 10^4)^2}{(1.28 \times 10^7)^2}$.
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 92.16 \times 10^8}{1.6384 \times 10^{14}} = \frac{829.44 \times 10^{17}}{1.6384 \times 10^{14}} \approx 506 \times 10^3 \ N = 5.06 \times 10^5 \ N$.
अतः,बल लगभग $5 \times 10^5 \ N$ है।

(A) माना गोलों की त्रिज्याएँ $R_1 = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$ और $R_2 = 1 \ cm = 1 \times 10^{-2} \ m$ हैं। प्रत्येक गोले का विभव $V = 10 \ V$ है।
$R$ त्रिज्या वाले गोले पर आवेश $Q = 4\pi\epsilon_0 R V$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
पहले गोले के लिए: $Q_1 = \frac{R_1 V}{k} = \frac{3 \times 10^{-2} \times 10}{9 \times 10^9} = \frac{1}{3} \times 10^{-10} \ C$.
दूसरे गोले के लिए: $Q_2 = \frac{R_2 V}{k} = \frac{1 \times 10^{-2} \times 10}{9 \times 10^9} = \frac{1}{9} \times 10^{-10} \ C$.
उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार स्थिर वैद्युत बल $F = k \frac{Q_1 Q_2}{d^2}$ है।
$F = (9 \times 10^9) \times \frac{(\frac{1}{3} \times 10^{-10}) \times (\frac{1}{9} \times 10^{-10})}{(0.1)^2} = (9 \times 10^9) \times \frac{\frac{1}{27} \times 10^{-20}}{10^{-2}} = \frac{9}{27} \times 10^9 \times 10^{-18} = \frac{1}{3} \times 10^{-9} \ N$.

(B) स्थिति सदिश $\vec{r}_A = (\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \ m$ और $\vec{r}_B = (3\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) \ m$ हैं।
$B$ से $A$ तक का विस्थापन सदिश $\vec{r} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (1-3)\hat{i} + (3-5)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \ m$ है।
आवेशों के बीच की दूरी $r = |\vec{r}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \ m$ है।
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए,बल का परिमाण $F = \frac{k |q_1 q_2|}{r^2}$ है।
मान रखने पर: $F = \frac{9 \times 10^9 \times (5 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^{-6})}{3^2}$.
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 15 \times 10^{-12}}{9} = 15 \times 10^{-3} \ N = 1.5 \times 10^{-2} \ N$.

(D) दिया गया है कि $Q = Q_1 + Q_2$,इसलिए $Q_2 = Q - Q_1$.
उनके बीच स्थिर वैद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{k Q_1 Q_2}{R^2} = \frac{k Q_1 (Q - Q_1)}{R^2} = \frac{k}{R^2} (Q Q_1 - Q_1^2)$.
बल के अधिकतम होने के लिए,$Q_1$ के सापेक्ष $F$ का अवकलन शून्य होना चाहिए: $\frac{dF}{dQ_1} = 0$.
$\frac{d}{dQ_1} [\frac{k}{R^2} (Q Q_1 - Q_1^2)] = \frac{k}{R^2} (Q - 2Q_1) = 0$.
चूंकि $\frac{k}{R^2} \neq 0$,इसलिए $Q - 2Q_1 = 0$,जिसका अर्थ है $Q_1 = \frac{Q}{2}$.
इस मान को वापस रखने पर,$Q_2 = Q - Q_1 = Q - \frac{Q}{2} = \frac{Q}{2}$.
अतः,बल तब अधिकतम होता है जब $Q_1 = Q_2 = \frac{Q}{2}$ हो।

(A) संतुलन की स्थिति में,प्रत्येक गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,स्थिर वैद्युत बल $F_e$ और भार $mg$ हैं।
बलों को वियोजित करने पर: $F_e = T \sin \theta$ $(i)$ और $mg = T \cos \theta$ (ii)।
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर,$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 x^2 mg}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{L} = \frac{x}{2L}$।
$\tan \theta$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{x}{2L} = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 x^2 mg}$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x^3 = \frac{2q^2 L}{4\pi \varepsilon_0 mg} = \frac{q^2 L}{2\pi \varepsilon_0 mg}$।
अतः,$x = {\left( {\frac{{{q^2}L}}{{2\pi {\varepsilon _0}mg}}} \right)^{1/3}}$।

(B) प्रत्येक गोले पर तीन बल कार्य कर रहे हैं: $(1)$ तनाव बल $(T)$,$(2)$ गुरुत्वाकर्षण बल $(Mg)$,और $(3)$ स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण बल $(F)$।
संतुलन की स्थिति में पहले गोले के लिए:
$T_1 \cos \theta_1 = M_1 g$ और $T_1 \sin \theta_1 = F$
इनका भाग देने पर: $\tan \theta_1 = \frac{F}{M_1 g}$
संतुलन की स्थिति में दूसरे गोले के लिए:
$T_2 \cos \theta_2 = M_2 g$ और $T_2 \sin \theta_2 = F$
इनका भाग देने पर: $\tan \theta_2 = \frac{F}{M_2 g}$
चूंकि दोनों गोलों के बीच स्थिरवैद्युत बल $F$ समान है (न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार),$\theta_1 = \theta_2$ होने के लिए $\tan \theta_1 = \tan \theta_2$ होना आवश्यक है।
अतः,$\frac{F}{M_1 g} = \frac{F}{M_2 g}$,जिसका अर्थ है कि $M_1 = M_2$।

(A) $y$-अक्ष पर मूल बिंदु से $y$ दूरी पर आवेश $q_0$ पर कार्य करने वाला नेट बल $(-a, 0)$ और $(a, 0)$ पर स्थित दो आवेशों $q$ के कारण होता है।
समरूपता के कारण,बलों के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं।
प्रत्येक आवेश $q$ द्वारा $q_0$ पर लगाया गया बल $F = \frac{k q q_0}{r^2}$ है,जहाँ $r^2 = a^2 + y^2$ है।
नेट बल $F_{net} = 2F \sin\theta$ है,जहाँ $\sin\theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $F_{net} = 2 \left[ \frac{k q q_0}{a^2 + y^2} \right] \cdot \frac{y}{(a^2 + y^2)^{1/2}} = \frac{2 k q q_0 y}{(a^2 + y^2)^{3/2}}$.
छोटे विस्थापन $(y << a)$ के लिए,हम $a^2 + y^2 \approx a^2$ मान सकते हैं।
अतः,$F_{net} \approx \frac{2 k q q_0 y}{a^3}$.
चूँकि $k, q, q_0,$ और $a$ स्थिरांक हैं,इसलिए नेट बल $y$ के समानुपाती है।

(C) चित्र में दिखाए अनुसार,बिंदु आवेश $q$ से $x$ दूरी पर छड़ का $dx$ लंबाई का एक सूक्ष्म अवयव मानिए। इस अवयव को एक बिंदु आवेश के रूप में लें।
कूलॉम के नियम के अनुसार,$q$ और आवेश अवयव $dQ$ के बीच बल $dF$ है:
$dF = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q \cdot dQ}{x^2}$
चूंकि आवेश $Q$,$L$ लंबाई पर समान रूप से वितरित है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई आवेश $\lambda = \frac{Q}{L}$ है। अतः,$dQ = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर:
$dF = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q (Q/L) dx}{x^2} = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \frac{dx}{x^2}$
कुल बल $F$ प्राप्त करने के लिए,$x = d$ से $x = d + L$ तक समाकलन करने पर:
$F = \int_{d}^{d+L} \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \frac{dx}{x^2} = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{d}^{d+L}$
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( -\frac{1}{d+L} - (-\frac{1}{d}) \right) = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{1}{d} - \frac{1}{d+L} \right)$
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{(d+L) - d}{d(d+L)} \right) = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{L}{d(d+L)} \right)$
$F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qQ}{d(d+L)}$

(A) आवेश $q_A = +100 \ \mu C$,$q_B = +100 \ \mu C$,और $q_C = -100 \ \mu C$ हैं। भुजा की लंबाई $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
$A$ के कारण $B$ पर लगने वाला बल $(F_A)$ प्रतिकर्षी है और $AB$ रेखा पर $A$ से दूर की दिशा में कार्य करता है: $F_A = \frac{k |q_A q_B|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (100 \times 10^{-6}) \times (100 \times 10^{-6})}{(0.1)^2} = 9 \times 10^3 \ N$.
$C$ के कारण $B$ पर लगने वाला बल $(F_C)$ आकर्षी है और $BC$ रेखा पर $C$ की दिशा में कार्य करता है: $F_C = \frac{k |q_C q_B|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (100 \times 10^{-6}) \times (100 \times 10^{-6})}{(0.1)^2} = 9 \times 10^3 \ N$.
$F_A$ और $F_C$ के बीच का कोण $120^\circ$ है क्योंकि $AB$ और $BC$ रेखाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है,और बल $F_C$,$C$ की दिशा में है (जो $F_A$ के साथ $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ का कोण बनाता है)।
परिणामी बल $F_{net} = \sqrt{F_A^2 + F_C^2 + 2 F_A F_C \cos(120^\circ)}$.
चूंकि $F_A = F_C = F = 9 \times 10^3 \ N$,इसलिए $F_{net} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2(-0.5)} = \sqrt{F^2} = F = 9 \times 10^3 \ N$.

(C) माना कि आवेश $a$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर रखे गए हैं। $(a, 0)$ पर स्थित आवेश $q$ पर अन्य तीन आवेशों के कारण बल लगता है।
माना कि $(0, 0)$ और $(a, a)$ पर स्थित आवेश $Q$ हैं,और $(0, a)$ पर स्थित आवेश $q$ है।
$(a, 0)$ पर स्थित $q$ पर दो $Q$ आवेशों के कारण बल $F_Q = \sqrt{2} \frac{kQq}{a^2}$ है जो मूल बिंदु की ओर कार्य करता है।
$(a, 0)$ पर स्थित $q$ पर $(0, a)$ पर स्थित $q$ के कारण बल $F_q = \frac{kq^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{kq^2}{2a^2}$ है जो $(0, a)$ से दूर की दिशा में कार्य करता है।
परिणामी बल शून्य होने के लिए,ये दोनों बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए:
$\sqrt{2} \frac{kQq}{a^2} + \frac{kq^2}{2a^2} = 0$
$\sqrt{2} Q + \frac{q}{2} = 0$
$q = -2\sqrt{2} Q$.

(A) प्रारंभ में,आवेश $q_1 = +7 \ \mu C$ और $q_2 = -5 \ \mu C$ हैं। उनके बीच का बल कूलम्ब के नियम के अनुसार है: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{|(7 \times 10^{-6})(-5 \times 10^{-6})|}{r^2} = k \frac{35 \times 10^{-12}}{r^2}$.
दोनों में $-2 \ \mu C$ जोड़ने के बाद,नए आवेश हैं:
$q_1' = 7 \ \mu C - 2 \ \mu C = +5 \ \mu C$
$q_2' = -5 \ \mu C - 2 \ \mu C = -7 \ \mu C$.
नया बल $F'$ है:
$F' = k \frac{|q_1' q_2'|}{r^2} = k \frac{|(5 \times 10^{-6})(-7 \times 10^{-6})|}{r^2} = k \frac{35 \times 10^{-12}}{r^2}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $F' = F$।

(C) मान लीजिए कि दो समान आवेश $Q$ हैं और तीसरा आवेश $q$ है। दोनों आवेशों के बीच की दूरी $d$ है। तीसरे आवेश की दोनों आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के मध्य बिंदु से दूरी $x$ है।
प्रत्येक आवेश $Q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qq}{x^2 + (d/2)^2}$ है।
लंब समद्विभाजक पर $q$ पर लगने वाला परिणामी बल $F_{res} = 2F \cos\theta$ है,जहाँ $\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + (d/2)^2}}$ है।
$F$ और $\cos\theta$ का मान रखने पर,$F_{res} = \frac{2Qqx}{4\pi\epsilon_0 (x^2 + d^2/4)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम बल ज्ञात करने के लिए,हम $F_{res}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dF_{res}}{dx} = 0$.
अवकलन करने पर,$(x^2 + d^2/4)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(x^2 + d^2/4)^{1/2} \cdot 2x = 0$ प्राप्त होता है।
$(x^2 + d^2/4) - 3x^2 = 0 \implies 2x^2 = d^2/4 \implies x^2 = d^2/8$.
अतः,$x = \frac{d}{\sqrt{8}} = \frac{d}{2\sqrt{2}}$।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,प्रारंभिक बल $F$ इस प्रकार है: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{(3 \times 10^{-6})(8 \times 10^{-6})}{r^2} = 40 \ N$.
दोनों आवेशों में $-5 \ \mu C$ जोड़ने के बाद,नए आवेश: $q_1' = 3 - 5 = -2 \ \mu C$ और $q_2' = 8 - 5 = 3 \ \mu C$ होंगे।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = k \frac{q_1' q_2'}{r^2} = k \frac{(-2 \times 10^{-6})(3 \times 10^{-6})}{r^2}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{F'}{F} = \frac{(-2)(3)}{(3)(8)} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$.
अतः,$F' = -\frac{1}{4} \times 40 = -10 \ N$.

(D) $R$ दूरी पर स्थित दो आवेशों ${Q_1}$ और ${Q_2}$ के बीच का स्थिर-वैद्युत बल $F = k \frac{Q_1 Q_2}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ${Q_1} + {Q_2} = Q$,हम ${Q_2} = Q - {Q_1}$ लिख सकते हैं।
इसे बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F = \frac{k}{R^2} ({Q_1}Q - Q_1^2)$ प्राप्त होता है।
बल को अधिकतम करने के लिए,हम ${Q_1}$ के सापेक्ष $F$ का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dF}{d{Q_1}} = \frac{k}{R^2} (Q - 2{Q_1}) = 0$.
${Q_1}$ के लिए हल करने पर,हमें $Q - 2{Q_1} = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है ${Q_1} = \frac{Q}{2}$.
अतः ${Q_2} = Q - {Q_1} = Q - \frac{Q}{2} = \frac{Q}{2}$.
इस प्रकार,बल तब अधिकतम होता है जब ${Q_1} = {Q_2} = \frac{Q}{2}$ हो।

(A) प्रारंभ में,आवेश $+Q$ और $-Q$ हैं जो $r$ दूरी पर स्थित हैं। उनके बीच का स्थिर-विद्युत बल $F = k\frac{|(+Q)(-Q)|}{r^2} = k\frac{Q^2}{r^2}$ है।
जब पहले गोले $(+Q)$ से $75\%$ आवेश दूसरे गोले $(-Q)$ में स्थानांतरित किया जाता है,तो पहले गोले पर नया आवेश $Q' = Q - 0.75Q = 0.25Q = \frac{Q}{4}$ हो जाता है।
दूसरे गोले पर नया आवेश $Q'' = -Q + 0.75Q = -0.25Q = -\frac{Q}{4}$ हो जाता है।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = k\frac{|(Q/4)(-Q/4)|}{r^2} = k\frac{Q^2/16}{r^2} = \frac{1}{16} \left( k\frac{Q^2}{r^2} \right) = \frac{F}{16}$।