Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Hindi

(B) माना प्रोटॉन का द्रव्यमान $m_1 = m$ और उसका आवेश $q_1 = e$ है। माना $\alpha$-कण का द्रव्यमान $m_2 = 4m$ और उसका आवेश $q_2 = 2e$ है।
चूंकि $\alpha$-कण गति करने के लिए स्वतंत्र है,हम निकाय का विश्लेषण द्रव्यमान केंद्र (center-of-mass) फ्रेम में करते हैं। निकाय का समानित द्रव्यमान (reduced mass) $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot 4m}{m + 4m} = \frac{4m}{5}$ है।
द्रव्यमान केंद्र फ्रेम में निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} \mu v^2 = \frac{1}{2} (\frac{4m}{5}) v^2 = \frac{2}{5} mv^2$ है।
न्यूनतम पृथक्करण $r$ पर,कणों का सापेक्ष वेग शून्य हो जाता है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $r$ दूरी पर स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} \mu v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r}$
मान रखने पर: $\frac{2}{5} mv^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e \cdot 2e}{r}$
$\frac{2}{5} mv^2 = \frac{2e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{5 e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m v^2}$.

(B) मान लीजिए कि चारों गेंदें $x$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर हैं। निलंबन बिंदु से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष से प्रत्येक गेंद की दूरी $r = l \sin 45^{\circ} = 20 \times 10^{-2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{0.2}{\sqrt{2}} \,m$ है।
दो निकटवर्ती गेंदों के बीच की दूरी $x = \sqrt{2} r = 0.2 \,m$ है।
अन्य तीन गेंदों के कारण एक गेंद पर लगने वाला स्थिर वैद्युत बल $F_e$ अन्य तीन आवेशों से लगने वाले बलों का सदिश योग है। दो निकटवर्ती आवेश $x$ दूरी पर हैं,और विकर्ण आवेश $\sqrt{2} x$ दूरी पर है।
$F_e = \frac{k Q^2}{x^2} \cos 45^{\circ} + \frac{k Q^2}{x^2} \cos 45^{\circ} + \frac{k Q^2}{(\sqrt{2} x)^2} = \frac{2 k Q^2}{x^2} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{k Q^2}{2 x^2} = \frac{k Q^2}{x^2} (\sqrt{2} + 0.5)$.
संतुलन में,$\tan 45^{\circ} = \frac{F_e}{mg} \Rightarrow F_e = mg$.
$mg = \frac{k Q^2}{x^2} (\sqrt{2} + 0.5)$.
दिया गया है $m = 0.1 \,kg$,$g = 10 \,m/s^2$,$k = 9 \times 10^9$,$x = 0.2 \,m$.
$0.1 \times 10 = \frac{9 \times 10^9 \times Q^2}{(0.2)^2} (1.414 + 0.5)$.
$1 = \frac{9 \times 10^9 \times Q^2}{0.04} (1.914)$.
$Q^2 = \frac{0.04}{9 \times 10^9 \times 1.914} \approx 2.32 \times 10^{-12} \,C^2$.
$Q \approx 1.52 \times 10^{-6} \,C = 1.52 \,\mu C$.
अतः,$Q$ का मान $1.5 \,\mu C$ के करीब है।

(A) केंद्र $O$ पर स्थित एक ऋणात्मक आवेश पर किसी शीर्ष पर स्थित धनात्मक आवेश के कारण लगने वाला स्थिर वैद्युत बल उस शीर्ष की दिशा में होता है।
मान लीजिए कि शीर्षों पर आवेश $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6$ हैं। केंद्र $O$ पर ऋणात्मक आवेश पर विपरीत दिशाओं में स्थित आवेशों के तीन जोड़ों द्वारा लगाए गए बल इस प्रकार हैं:
$1$. बाईं और दाईं ओर स्थित $q$ परिमाण के दो आवेश एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
$2$. नीचे स्थित $q$ आवेश और ऊपर स्थित $2q$ आवेश के कारण,परिणामी बल ऊपर वाले शीर्ष की दिशा में लगता है (क्योंकि $2q > q$ है)।
$3$. ऊपर-बाईं ओर स्थित $q$ आवेश और नीचे-दाईं ओर स्थित $3q$ आवेश के कारण,परिणामी बल नीचे-दाईं ओर वाले शीर्ष की दिशा में लगता है (क्योंकि $3q > q$ है)।
इन दो परिणामी बलों के सदिश योग द्वारा,केंद्र $O$ पर स्थित ऋणात्मक आवेश पर लगने वाला कुल परिणामी बल दाईं ओर की दिशा में होता है।

(B) दी गई स्थिति में,प्रत्येक आवेशित गोले पर कार्य करने वाले बल हैं:
$(i)$ गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$
$(ii)$ स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$
$(iii)$ डोरी में तनाव $(T)$
संतुलन के लिए,हम तनाव $T$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करते हैं:
$T \sin \theta = F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{k q_1 q_2}{r^2 mg}$
गोले $1$ के लिए:
$\tan \theta = \frac{k q_1 q_2}{r^2 m_1 g}$
गोले $2$ के लिए:
$\tan \theta = \frac{k q_1 q_2}{r^2 m_2 g}$
चूंकि दोनों गोलों के लिए कोण $\theta$ समान है,इसलिए हम समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{k q_1 q_2}{r^2 m_1 g} = \frac{k q_1 q_2}{r^2 m_2 g}$
इसे सरल करने पर:
$m_1 = m_2$

(D) प्रारंभ में,$q$ परिमाण के $12$ धनात्मक आवेशों को $R$ त्रिज्या के वृत्त पर सममित रूप से रखा गया है। व्यवस्था की सममिति के कारण,प्रत्येक आवेश द्वारा केंद्रीय आवेश $Q$ पर लगाया गया विद्युत बल व्यास के विपरीत स्थित आवेश द्वारा लगाए गए बल से संतुलित हो जाता है। अतः,$Q$ पर कुल बल शून्य है।
जब एक आवेश $q$ को हटा दिया जाता है,तो सममिति टूट जाती है। शेष $11$ आवेशों द्वारा लगाए गए बल अब एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं। विशेष रूप से,हटाए गए आवेश $q$ द्वारा $Q$ पर लगाया गया बल अब अनुपस्थित है। मान लीजिए कि हटाए गए आवेश द्वारा लगाया गया बल $\vec{F}_{removed}$ था। चूंकि कुल बल शून्य था,हमारे पास $\vec{F}_{net} + \vec{F}_{removed} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{F}_{net} = -\vec{F}_{removed}$।
$R$ दूरी पर एक आवेश $q$ द्वारा $Q$ पर लगाए गए बल का परिमाण $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q Q}{R^2}$ है।
चूंकि हटाए गए आवेश $q$ धनात्मक था और $Q$ भी धनात्मक है,इसलिए बल $\vec{F}_{removed}$ हटाए गए आवेश की स्थिति से दूर निर्देशित था। इसलिए,आवेश को हटाने के बाद $Q$ पर लगने वाला कुल बल इस बल के परिमाण के बराबर होगा लेकिन हटाए गए आवेश की स्थिति की ओर निर्देशित होगा। अतः,बल $\frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$ हटाए गए आवेश की स्थिति की ओर होगा।

(B) प्रारंभ में,$P_1, P_2, P_3, P_4$ और $P_5$ पर स्थित $5$ समान आवेशों की सममित व्यवस्था के कारण बिंदु $O$ पर केंद्रीय आवेश पर कुल बल शून्य है।
मान लीजिए $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4$ और $\vec{F}_5$ क्रमशः $P_1, P_2, P_3, P_4$ और $P_5$ पर स्थित आवेशों द्वारा बिंदु $O$ पर केंद्रीय आवेश पर लगाए गए बल हैं।
चूंकि कुल बल शून्य है,इसलिए $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 = 0$ है।
जब $P_1$ पर स्थित आवेश को हटा दिया जाता है,तो केंद्रीय आवेश पर नया कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 = -\vec{F}_1$ होता है।
इसका अर्थ है कि कुल बल का परिमाण $P_1$ पर स्थित आवेश द्वारा लगाए गए बल के बराबर है और इसकी दिशा उसके विपरीत (अर्थात $OP_1$ रेखा पर $P_1$ से दूर,जो ऊपर की ओर है) है।
बल का परिमाण $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = (9 \times 10^9) \frac{(10^{-5})(5 \times 10^{-5})}{(1)^2} = 4.5 \,N$ है।
केंद्रीय आवेश का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{4.5 \,N}{0.5 \,kg} = 9 \,m/s^2$ है।
अतः,त्वरण $9 \,m/s^2$ ऊपर की ओर है।

(A) दिए गए आरेख में,बल $\vec{F}_{12}$ और $\vec{F}_{21}$ एक-दूसरे की ओर निर्देशित हैं,जो दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच आकर्षण बल को दर्शाता है।
आकर्षण बल केवल विपरीत आवेशों (एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) के बीच होता है।
मान लीजिए $q_1 = +Q$ और $q_2 = -Q$,जहाँ $Q > 0$ है।
अतः,आवेशों का गुणनफल $q_1 q_2 = (+Q)(-Q) = -Q^2$ होगा।
चूँकि $Q^2$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $-Q^2$ ऋणात्मक होगा।
अतः,$q_1 q_2 < 0$।

(C) अध्यारोपण के सिद्धांत (Principle of Superposition) के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच विद्युत बल आसपास मौजूद अन्य आवेशों की उपस्थिति से स्वतंत्र होता है।
$q_1$ द्वारा $q_2$ पर लगाया गया बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $\vec{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}$।
यह बल केवल $q_1$ और $q_2$ के परिमाण और उनके बीच की दूरी $r$ पर निर्भर करता है।
इसलिए,तीसरे आवेश $q_3$ की उपस्थिति $q_1$ द्वारा $q_2$ पर लगाए गए व्यक्तिगत बल को प्रभावित नहीं करती है।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच लगने वाला स्थिर वैद्युत बल $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ है।
दिया गया है: $q_1 = 1 \,C$,$q_2 = 1 \,C$,और $r = 1 \,km = 1000 \,m = 10^3 \,m$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 1}{(10^3)^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9}{10^6}$
$F = 9 \times 10^3 \,N$।

(B) निकटतम पहुँच की स्थिति में,दोनों इलेक्ट्रॉनों की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
दो इलेक्ट्रॉनों की कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = 2 \times (\frac{1}{2} m v^2) = m v^2$ है।
यहाँ $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ और $v = 10^6 \, m/s$ दिया गया है,इसलिए कुल गतिज ऊर्जा $(9.1 \times 10^{-31}) \times (10^6)^2 = 9.1 \times 10^{-19} \, J$ है।
$r$ दूरी पर स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{k q_1 q_2}{r} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r}$ है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा की तुलना करने पर: $9.1 \times 10^{-19} = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{r}$।
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{9.1 \times 10^{-19}} \approx 2.53 \times 10^{-10} \, m$।

(A) $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में दो आवेशों के बीच स्थिर-विद्युत बल: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ है।
हवा में समान आवेशों के बीच $d'$ समतुल्य दूरी पर बल: $F_{\text{air}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d'^2}$ है।
चूंकि बल समान हैं $(F = F_{\text{air}})$,हम समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d'^2}$।
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{1}{K d^2} = \frac{1}{d'^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$d'^2 = K d^2 \implies d' = d \sqrt{K}$।

(A) मान लीजिए कि प्रोटॉन को मूल बिंदु से $r$ दूरी पर रखा गया है। मूल बिंदु पर स्थित $q_1$ के कारण बल $F_1 = \frac{k (4q_0) q_0}{r^2}$ (प्रतिकर्षण,दाईं ओर) है।
$x = 12 \, cm$ पर स्थित $q_2$ के कारण बल $F_2 = \frac{k q_0 q_0}{(r - 12)^2}$ (आकर्षण,बाईं ओर) है।
कुल बल शून्य होने के लिए,$F_1 = F_2$ होना चाहिए:
$\frac{4 k q_0^2}{r^2} = \frac{k q_0^2}{(r - 12)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{2}{r} = \frac{1}{r - 12}$
$2(r - 12) = r$
$2r - 24 = r$
$r = 24 \, cm$.
अतः,प्रोटॉन मूल बिंदु से $24 \, cm$ की दूरी पर है।

(A) स्थिर-विद्युत बल $F_e$ और गुरुत्वाकर्षण बल $F_G$ का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{F_e}{F_G} = \frac{\frac{K q_1 q_2}{r^2}}{\frac{G m_1 m_2}{r^2}} = \frac{K}{G} \cdot \frac{q_1 q_2}{m_1 m_2}$
दिया गया है कि $\frac{F_e}{F_G} = 2.4 \times 10^{39}$,$q_1 = q_2 = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m_1 = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,और $m_2 = 1.67 \times 10^{-27} \; kg$.
मान रखने पर:
$2.4 \times 10^{39} = \frac{K}{G} \cdot \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{(9.11 \times 10^{-31}) \times (1.67 \times 10^{-27})}$
$\frac{K}{G} = \frac{2.4 \times 10^{39} \times (9.11 \times 1.67) \times 10^{-58}}{(1.6)^2 \times 10^{-38}}$
$\frac{K}{G} = \frac{2.4 \times 15.2137 \times 10^{-19}}{2.56 \times 10^{-38}} = \frac{36.51288}{2.56} \times 10^{19} \approx 14.26 \times 10^{19} = 1.426 \times 10^{20}$
अतः,अनुपात लगभग $10^{20}$ है।

(B) आनत समतल पर ऊपरी आवेश के संतुलन में रहने के लिए,समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाले स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
मान लीजिए कि दोनों आवेशों के बीच की दूरी $r$ है। ज्यामिति से,$h = r \sin 30^{\circ}$,इसलिए $r = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = 2h$.
बल संतुलन का समीकरण है: $mg \sin 30^{\circ} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_0^2}{r^2}$.
$r = 2h$ और दिए गए मानों $(m = 0.02 \, kg, g = 10 \, ms^{-2}, q_0 = 2 \times 10^{-6} \, C, \sin 30^{\circ} = 0.5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.02 \times 10 \times 0.5 = 9 \times 10^9 \times \frac{(2 \times 10^{-6})^2}{(2h)^2}$
$0.1 = 9 \times 10^9 \times \frac{4 \times 10^{-12}}{4h^2}$
$0.1 = \frac{9 \times 10^{-3}}{h^2}$
$h^2 = \frac{9 \times 10^{-3}}{0.1} = 9 \times 10^{-2} \, m^2$
$h = 0.3 \, m = 300 \times 10^{-3} \, m$.
इसे $h = x \times 10^{-3} \, m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 300$ प्राप्त होता है।

(B) माना कुल आवेश $q = 10\,\mu C$ को दो भागों $x$ और $(q - x)$ में विभाजित किया गया है।
$r$ दूरी पर उनके बीच लगने वाला स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{K x(q - x)}{r^2}$
अधिकतम बल के लिए,हम $F$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF}{dx} = \frac{K}{r^2} \frac{d}{dx} (qx - x^2) = 0$
$\frac{K}{r^2} (q - 2x) = 0$
चूंकि $\frac{K}{r^2} \neq 0$,इसलिए $q - 2x = 0$,जिसका अर्थ है $x = \frac{q}{2}$।
दिया गया है $q = 10\,\mu C$,तो दोनों भाग हैं:
$x = \frac{10\,\mu C}{2} = 5\,\mu C$
$(q - x) = 10\,\mu C - 5\,\mu C = 5\,\mu C$.
अतः,दोनों आवेश $5\,\mu C$ और $5\,\mu C$ हैं।

(B) माना आवेश $q_1 = q$ ($x=0$ पर),$q_2 = -2q$ ($x=\frac{3}{4}R$ पर) और $q_3 = 2q$ ($x=R$ पर) हैं।
$q_1$ के कारण $q_2$ पर बल $F_{21} = \frac{k |q_1 q_2|}{r_{21}^2} = \frac{k |q(-2q)|}{(\frac{3}{4}R)^2} = \frac{2kq^2}{\frac{9}{16}R^2} = \frac{32kq^2}{9R^2}$ (मूल बिंदु की ओर,अर्थात $-x$ दिशा में)।
$q_3$ के कारण $q_2$ पर बल $F_{23} = \frac{k |q_2 q_3|}{r_{23}^2} = \frac{k |(-2q)(2q)|}{(R - \frac{3}{4}R)^2} = \frac{4kq^2}{(\frac{1}{4}R)^2} = \frac{4kq^2}{\frac{1}{16}R^2} = \frac{64kq^2}{R^2}$ ($x=R$ की ओर,अर्थात $+x$ दिशा में)।
$-2q$ पर कुल बल $F_{net} = F_{23} - F_{21} = \frac{64kq^2}{R^2} - \frac{32kq^2}{9R^2} = \frac{576kq^2 - 32kq^2}{9R^2} = \frac{544kq^2}{9R^2}$ है।
मान रखने पर $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$q = 2 \times 10^{-6} \, C$,और $R = 0.02 \, m$:
$F_{net} = \frac{544 \times 9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6})^2}{9 \times (0.02)^2} = \frac{544 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-4}} = 544 \times 10^1 = 5440 \, N$।

(C) माना $\theta$ वह कोण है जो प्रत्येक डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है। चूँकि डोरियों के बीच का कुल कोण $37^{\circ}$ है,इसलिए $\theta = 37^{\circ}/2 = 18.5^{\circ}$ है।
हवा में,संतुलन की स्थिति $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{F_e}{\rho_B V g}$ है,जहाँ $\rho_B$ गोले का घनत्व है और $V$ इसका आयतन है।
द्रव में,प्रभावी भार $mg' = V(\rho_B - \rho_L)g$ हो जाता है और स्थिर वैद्युत बल $F_e' = \frac{F_e}{K}$ हो जाता है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
द्रव में संतुलन की स्थिति $\tan \theta = \frac{F_e'}{mg'} = \frac{F_e}{K V(\rho_B - \rho_L)g}$ है।
चूँकि $\theta$ समान रहता है,हम $\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं:
$\frac{F_e}{\rho_B V g} = \frac{F_e}{K V(\rho_B - \rho_L)g}$
$\rho_B = K(\rho_B - \rho_L)$
$1.4 = K(1.4 - 0.7)$
$1.4 = K(0.7)$
$K = \frac{1.4}{0.7} = 2$.

(B) निर्वात में दो बिंदु आवेशों के बीच का बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
जब आवेशों को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो बल $F'$ इस प्रकार होता है:
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{(r')^2}$
यहाँ $K = 5$ और नई दूरी $r' = r/5$ दी गई है,इन मानों को रखने पर:
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (5)} \frac{q_1 q_2}{(r/5)^2}$
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (5)} \frac{q_1 q_2}{r^2 / 25}$
$F' = \frac{25}{5} \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \right)$
$F' = 5F$

(D) हवा में,संतुलन की स्थिति $\tan(\theta/2) = \frac{F}{mg} = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 mg}$ द्वारा दी जाती है।
जब $K$ (या $\varepsilon_r$) परावैद्युतांक वाले तरल में लटकाया जाता है,तो स्थिर वैद्युत बल $F' = \frac{F}{K}$ हो जाता है और प्रभावी भार $mg' = mg(1 - \frac{\rho_{liquid}}{\rho_{sphere}})$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि कोण $\theta$ समान रहता है,इसलिए $\tan(\theta/2) = \frac{F'}{mg'} = \frac{F/K}{mg(1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere})}$।
$\tan(\theta/2)$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{F}{mg} = \frac{F}{K mg (1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere})}$
$K = \frac{1}{1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere}} = \frac{\rho_s}{\rho_s - \rho_l} = \frac{1.5}{1.5 - 1} = \frac{1.5}{0.5} = 3$.
अतः,पानी का परावैद्युतांक $3$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच कूलम्ब बल $F_e = \frac{k e^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ और $m_p = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ है।
अनुपात $\frac{F_e}{F_g} = \frac{k e^2}{G m_e m_p} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{6.67 \times 10^{-11} \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.67 \times 10^{-27}}$ है।
मानों की गणना करने पर: $\frac{F_e}{F_g} \approx \frac{23.04 \times 10^{-29}}{101.3 \times 10^{-69}} \approx 0.227 \times 10^{40} \approx 2.27 \times 10^{39}$ प्राप्त होता है।
अतः,परिमाण की कोटि $10^{39}$ है।

(B) प्रारंभ में, गोलों $P$ और $S$ के बीच का बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{Q^2}{r^2} = 16 \,N$.
जब गोला $R$ (अनावेशित) को गोला $P$ (आवेश $Q$) के संपर्क में लाया जाता है, तो आवेश उनके बीच समान रूप से साझा हो जाता है क्योंकि वे समान हैं। इस प्रकार, $P$ पर नया आवेश $Q_P' = \frac{Q+0}{2} = \frac{Q}{2}$ है। $R$ पर आवेश $\frac{Q}{2}$ हो जाता है।
इसके बाद, गोला $R$ (अब $\frac{Q}{2}$ आवेश के साथ) को गोला $S$ (आवेश $Q$) के संपर्क में लाया जाता है। कुल आवेश उनके बीच समान रूप से साझा हो जाता है। इस प्रकार, $S$ पर नया आवेश $Q_S' = \frac{Q + Q/2}{2} = \frac{3Q/2}{2} = \frac{3Q}{4}$ है।
$P$ और $S$ के बीच नया प्रतिकर्षण बल $F' = k \frac{Q_P' Q_S'}{r^2} = k \frac{(Q/2)(3Q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \left( k \frac{Q^2}{r^2} \right)$ है।
प्रारंभिक बल $F = 16 \,N$ का मान रखने पर, हमें $F' = \frac{3}{8} \times 16 \,N = 6 \,N$ प्राप्त होता है।

(A) हवा में,प्रत्येक गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $mg$,और स्थिर विद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ हैं।
संतुलन में:
$T \cos(\alpha/2) = mg$
$T \sin(\alpha/2) = F$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan(\alpha/2) = \frac{F}{mg} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r^2 mg}$.
जब $K$ परावैद्युतांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो स्थिर विद्युत बल $F' = \frac{F}{K}$ हो जाता है। गोले पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_l g$ कार्य करता है,जहाँ $V$ गोले का आयतन है और $\rho_l$ द्रव का घनत्व है। प्रभावी भार $mg' = mg - V \rho_l g = V \rho_s g - V \rho_l g = V g (\rho_s - \rho_l)$ हो जाता है,जहाँ $\rho_s$ गोले का घनत्व है।
द्रव में संतुलन में:
$T' \cos(\alpha/2) = V g (\rho_s - \rho_l)$
$T' \sin(\alpha/2) = F/K$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan(\alpha/2) = \frac{F/K}{V g (\rho_s - \rho_l)}$.
चूँकि कोण $\alpha$ समान रहता है,$\tan(\alpha/2)$ स्थिर है:
$\frac{F}{mg} = \frac{F/K}{V g (\rho_s - \rho_l)}$
$\frac{1}{mg} = \frac{1}{K V g (\rho_s - \rho_l)}$
चूँकि $m = V \rho_s$,हमारे पास है:
$\frac{1}{V \rho_s g} = \frac{1}{K V g (\rho_s - \rho_l)}$
$\rho_s = K (\rho_s - \rho_l)$
$21 (\rho_s - 800) = \rho_s$
$21 \rho_s - 16800 = \rho_s$
$20 \rho_s = 16800 \implies \rho_s = 840 \ kg \ m^{-3}$.
चूँकि $F' = F/K$,विद्युत बल कम हो जाता है (विकल्प $B$ सही है)। गोले का घनत्व $840 \ kg \ m^{-3}$ है (विकल्प $C$ सही है)।

(B) मान लीजिए कि स्थिर मनका घेरे के शीर्ष पर है। जब दूसरा मनका संतुलन स्थिति (घेरे के निचले हिस्से) से $\theta$ कोणीय स्थिति पर होता है,तो दोनों मनकों के बीच की दूरी $r = 2R \sin(\theta/2)$ होती है।
मनकों के बीच स्थिर विद्युत बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 R^2 \sin^2(\theta/2)}$ है।
घेरे के स्पर्शरेखीय इस बल का घटक प्रत्यानयन बल प्रदान करता है: $F_t = F \cos(\theta/2)$.
टॉर्क $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $I = mR^2$ और $\tau = -F_t R = -F R \cos(\theta/2)$.
छोटे $\theta$ के लिए,$\sin(\theta/2) \approx \theta/2$ और $\cos(\theta/2) \approx 1$.
इस गणना से,$\omega^2 = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 m R^3}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) जब दो समान चालक गोलों को संपर्क में लाया जाता है, तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है।
प्रारंभिक आवेश $Q = 4 \times 10^{-8} \text{ C}$ है।
संपर्क के बाद, प्रत्येक गोले पर आवेश $q = \frac{Q}{2} = \frac{4 \times 10^{-8}}{2} = 2 \times 10^{-8} \text{ C}$ होता है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार, $r$ दूरी पर उनके बीच प्रतिकर्षण बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
यहाँ $F = 9 \times 10^{-3} \text{ N}$ और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ दिया गया है।
$9 \times 10^{-3} = \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-8}) \times (2 \times 10^{-8})}{r^2}$
$r^2 = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-16}}{9 \times 10^{-3}}$
$r^2 = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$r = 2 \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \text{ cm}$.

(D) प्रारंभ में,गोलों $A$ और $B$ के बीच बल कूलम्ब के नियम के अनुसार $F = \frac{k q^2}{r^2}$ है।
जब तीसरा समान अनावेशित गोला $C$ को गोले $A$ के संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश $q + 0 = q$ उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है। इस प्रकार,$A$ पर नया आवेश $q_A' = \frac{q}{2}$ और $C$ पर आवेश $q_C' = \frac{q}{2}$ हो जाता है।
इसके बाद,गोले $C$ (जिस पर अब $\frac{q}{2}$ आवेश है) को गोले $B$ (जिस पर $q$ आवेश है) के संपर्क में लाया जाता है। कुल आवेश $q + \frac{q}{2} = \frac{3q}{2}$ हो जाता है। यह आवेश $B$ और $C$ के बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है। इस प्रकार,$B$ पर नया आवेश $q_B' = \frac{3q}{4}$ और $C$ पर आवेश $q_C'' = \frac{3q}{4}$ हो जाता है।
$A$ और $B$ के बीच नया प्रतिकर्षण बल $F' = \frac{k q_A' q_B'}{r^2} = \frac{k (q/2) (3q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \frac{k q^2}{r^2}$ है।
चूंकि $F = \frac{k q^2}{r^2}$,इसलिए $F' = \frac{3 F}{8}$ प्राप्त होता है।

(A) तीसरे आवेश $Q$ के स्थिर रहने के लिए,उस पर लगने वाला कुल स्थिर-वैद्युत बल शून्य होना चाहिए। मान लीजिए कि आवेश $Q$ को $16 q$ से $x$ दूरी पर उन्हें जोड़ने वाली रेखा पर रखा गया है।
$16 q$ द्वारा $Q$ पर लगाया गया बल,$25 q$ द्वारा $Q$ पर लगाए गए बल के परिमाण में बराबर होना चाहिए।
$\frac{K(16 q)(Q)}{x^2} = \frac{K(25 q)(Q)}{(18 - x)^2}$
$\frac{16}{x^2} = \frac{25}{(18 - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{4}{x} = \frac{5}{18 - x}$
$4(18 - x) = 5x$
$72 - 4x = 5x$
$9x = 72$
$x = 8 \ m$
अतः,तीसरे आवेश को $16 q$ से $8 \ m$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(B) आवेश $q_A = 1 \mu C$,$q_B = -1 \mu C$,और $q_C = 2 \mu C$ हैं। भुजा की लंबाई $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
$A$ पर स्थित आवेश द्वारा $C$ पर लगाया गया बल $F_{AC} = \frac{k |q_A q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 1.8 \ N$ (प्रतिकर्षण,$AC$ की दिशा में)।
$B$ पर स्थित आवेश द्वारा $C$ पर लगाया गया बल $F_{BC} = \frac{k |q_B q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 1.8 \ N$ (आकर्षण,$B$ की दिशा में)।
इन दो बल सदिशों के बीच का कोण $120^\circ$ है क्योंकि समबाहु त्रिभुज का आंतरिक कोण $60^\circ$ होता है।
परिणामी बल $F_{net} = \sqrt{F_{AC}^2 + F_{BC}^2 + 2 F_{AC} F_{BC} \cos(120^\circ)}$ है।
चूंकि $F_{AC} = F_{BC} = F = 1.8 \ N$,इसलिए $F_{net} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2(-0.5)} = \sqrt{F^2 + F^2 - F^2} = F$ है।
अतः,$F_{net} = 1.8 \ N$।

(A) माना आवेशों की स्थिति $x_1 = 0$,$x_2 = \ell/2$ और $x_3 = \ell$ है। $4q$ और $q$ के बीच की दूरी $\ell = 1 \ m$ है,और $Q$ और $q$ के बीच की दूरी $\ell/2 = 0.5 \ m$ है।
$q$ पर परिणामी बल शून्य होने के लिए,$4q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल और $Q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
माना $F_1$,$4q$ के कारण बल है और $F_2$,$Q$ के कारण बल है।
$F_1 = \frac{k(4q)(q)}{\ell^2}$ और $F_2 = \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2}$.
$F_1 + F_2 = 0$ रखने पर:
$\frac{k(4q)(q)}{\ell^2} = - \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2}$.
$\frac{4q}{\ell^2} = - \frac{Q}{\ell^2 / 4}$.
$4q = -4Q$.
$Q = -q$.

(D) प्रत्येक गेंद के लिए,कार्य करने वाले बल तनाव $T$,नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,और क्षैतिज रूप से इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रतिकर्षण बल $F_e$ हैं।
संतुलन पर,क्षैतिज बल $F_e = T \sin \theta$ और ऊर्ध्वाधर बल $mg = T \cos \theta$ है।
इनका विभाजन करने पर $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों गेंदें समान इलेक्ट्रोस्टैटिक बल $F_e = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$ का अनुभव करती हैं,इसलिए अनुपात $\frac{F_e}{mg}$ कोण निर्धारित करता है।
बाईं गेंद के लिए,$\tan \alpha = \frac{F_e}{m_1 g}$। दाईं गेंद के लिए,$\tan \beta = \frac{F_e}{m_2 g}$।
दिया गया है कि $\alpha < \beta$,इसलिए $\tan \alpha < \tan \beta$,जिसका अर्थ है कि $\frac{F_e}{m_1 g} < \frac{F_e}{m_2 g}$।
इसे सरल करने पर $m_1 > m_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में $Q_1$ और $Q_2$ के बीच कोई विशिष्ट संबंध नहीं दिया गया है,इसलिए वे किसी भी तरह से संबंधित हो सकते हैं जब तक कि इलेक्ट्रोस्टैटिक बल समान और विपरीत हों। इस प्रकार,$m_1 > m_2$ शर्त सत्य होनी चाहिए,जबकि $Q_1$ और $Q_2$ के मान कुछ भी हो सकते हैं।
विकल्पों को देखने पर,$(b)$ और $(d)$ दोनों $m_1 > m_2$ की शर्त को पूरा करते हैं।

(B) $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में दो आवेशों $q$ के बीच स्थिरवैद्युत बल $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \frac{q^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$-10^{\circ} C$ पर बर्फ में,बल $F_i = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K_i} \frac{q^2}{(25 \times 10^{-2})^2}$ है।
$0^{\circ} C$ पर पानी में,बल $F_w = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (80)} \frac{q^2}{(5 \times 10^{-2})^2}$ है।
चूंकि परस्पर क्रिया बल समान रहता है $(F_i = F_w)$,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{1}{K_i (25)^2} = \frac{1}{80 (5)^2}$.
$K_i = 80 \times \frac{5^2}{25^2} = 80 \times \frac{25}{625} = 80 \times \frac{1}{25} = 3.2$.
अतः,बर्फ का परावैद्युतांक $3.2$ है।

(C) मान लीजिए वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। ऊपर के दाहिने कोने पर स्थित $10 \mu C$ आवेश पर विचार करें। उस पर लगने वाले बल हैं:
$1$. नीचे के बाएं कोने पर स्थित $10 \mu C$ आवेश के कारण बल: $F_1 = \frac{k (10 \mu C)^2}{(\sqrt{2} a)^2}$,जो विकर्ण की दिशा में है।
$2$. अन्य शीर्षों पर स्थित दो $q$ आवेशों के कारण बल: $F_2 = \frac{k q (10 \mu C)}{a^2}$,जो भुजाओं की दिशा में है।
कुल बल शून्य होने के लिए,दो $F_2$ बलों का परिणामी बल $F_1$ के बराबर और विपरीत होना चाहिए।
दो $F_2$ बलों का परिणामी बल $\sqrt{2} F_2 = \sqrt{2} \frac{k q (10 \mu C)}{a^2}$ है।
परिमाणों की तुलना करने पर: $\sqrt{2} \frac{k q (10 \mu C)}{a^2} = - \frac{k (10 \mu C)^2}{2 a^2}$.
$q$ के लिए हल करने पर: $q = - \frac{10 \mu C}{2 \sqrt{2}} = - \frac{5}{\sqrt{2}} \mu C$.

(D) किसी माध्यम की निरपेक्ष विद्युतशीलता $(\varepsilon)$ और मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $(\varepsilon_0)$ के बीच का संबंध सापेक्ष विद्युतशीलता $(\varepsilon_r)$ के रूप में इस प्रकार है: $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$.
इस संबंध से,सापेक्ष विद्युतशीलता $(\varepsilon_r)$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रोटॉन (आवेश $+e$) को $q_1$ से $x$ दूरी पर $x$-अक्ष पर रखा गया है। चूंकि $q_2$,$q_1$ से $L$ दूरी पर है,इसलिए प्रोटॉन की $q_2$ से दूरी $(x - L)$ होगी।
प्रोटॉन के संतुलन में रहने के लिए,उस पर लगने वाला कुल स्थिर-विद्युत बल शून्य होना चाहिए।
$q_1$ के कारण बल $F_1 = \frac{k q_1 e}{x^2}$ (प्रतिकर्षी,दाईं ओर)।
$q_2$ के कारण बल $F_2 = \frac{k |q_2| e}{(x - L)^2}$ (आकर्षक,बाईं ओर)।
परिमाणों की तुलना करने पर: $\frac{k (6q) e}{x^2} = \frac{k (3q) e}{(x - L)^2}$।
सरल करने पर: $\frac{6}{x^2} = \frac{3}{(x - L)^2} \implies \frac{2}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{1}{x - L}$।
$\sqrt{2}(x - L) = x \implies \sqrt{2}x - \sqrt{2}L = x$।
$x(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}L$।
$x = \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}\right) L$।

(C) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। आवेश $q_1 = q_2 = q_3 = q$ हैं।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_i$ और $q_j$ के बीच बल $F = \frac{k q_i q_j}{r^2}$ होता है।
$q_1$ और $q_2$ के बीच की दूरी $r_{12} = a$ है। अतः,$F_{12} = \frac{k q^2}{a^2}$।
$q_1$ और $q_3$ के बीच की दूरी वर्ग का विकर्ण है,$r_{13} = a\sqrt{2}$। अतः,$F_{13} = \frac{k q^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{k q^2}{2a^2}$।
$F_{13}$ और $F_{12}$ का अनुपात $\frac{F_{13}}{F_{12}} = \frac{k q^2 / 2a^2}{k q^2 / a^2} = \frac{1}{2}$ है।

(B) मान लीजिए कि आवेश $q_1 = +3q$ ($x = 0$ पर),$q_2 = Q$ ($x = \frac{\ell}{2}$ पर),और $q_3 = +q$ ($x = \ell$ पर) हैं।
$x = \ell$ पर स्थित $+q$ आवेश पर कुल बल शून्य होने के लिए,$q_1$ और $q_2$ द्वारा लगाए गए स्थिर वैद्युत बलों का योग शून्य होना चाहिए।
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए,$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$।
$q_1$ द्वारा $q_3$ पर लगाया गया बल $F_1 = \frac{k(3q)(q)}{\ell^2}$ है।
$q_2$ द्वारा $q_3$ पर लगाया गया बल $F_2 = \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2} = \frac{kQq}{\ell^2/4} = \frac{4kQq}{\ell^2}$ है।
कुल बल शून्य होने के लिए,$F_1 + F_2 = 0$,इसलिए $\frac{3kq^2}{\ell^2} + \frac{4kQq}{\ell^2} = 0$।
$\frac{kq}{\ell^2}$ से विभाजित करने पर,हमें $3q + 4Q = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$4Q = -3q$,जिससे $Q = -\frac{3}{4}q$ प्राप्त होता है।
इसे $Q = xq$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = -\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार, दो बिंदु आवेशों के बीच स्थिर वैद्युत बल $F = k \frac{|q_1 q_2|}{l^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में, बल $F_1 = k \frac{q_1 q_2}{l^2}$ है।
जब एक आवेश को दोगुना $(q_1' = 2q_1)$ किया जाता है और दूरी को आधा $(l' = l/2)$ किया जाता है, तो नया बल $F_2$ होगा:
$F_2 = k \frac{(2q_1)(q_2)}{(l/2)^2} = k \frac{2q_1 q_2}{l^2 / 4} = 8 \left( k \frac{q_1 q_2}{l^2} \right)$.
अतः, $F_2 = 8 F_1$.
इसकी तुलना $F_2 = n F_1$ से करने पर, हमें $n = 8$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो गेंदों पर आवेश $q$ और $q$ हैं और उनके बीच की दूरी $r$ है। प्रारंभिक बल $F = k \frac{q^2}{r^2}$ है।
जब एक अनावेशित गेंद एक आवेशित गेंद को स्पर्श करती है,तो आवेश $q$ दोनों के बीच समान रूप से साझा हो जाता है। इस प्रकार,पहली गेंद पर आवेश $q/2$ हो जाता है और तीसरी गेंद पर आवेश $q/2$ हो जाता है।
तीसरी गेंद को मध्य बिंदु पर रखा गया है,इसलिए दोनों गेंदों से इसकी दूरी $r/2$ है।
पहली गेंद के कारण तीसरी गेंद पर लगने वाला बल $F_1 = k \frac{(q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/4}{r^2/4} = k \frac{q^2}{r^2} = F$ (पहली गेंद से दूर की दिशा में)।
दूसरी गेंद के कारण तीसरी गेंद पर लगने वाला बल $F_2 = k \frac{(q/2)(q)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/2}{r^2/4} = 2k \frac{q^2}{r^2} = 2F$ (दूसरी गेंद से दूर की दिशा में)।
चूंकि ये बल विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए तीसरी गेंद पर कुल बल $F_{net} = |F_2 - F_1| = |2F - F| = F$ होगा।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच बल $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$q_1 = +2 \ C$ और $q_2 = +6 \ C$ हैं। बल $F_1 = k \frac{(2)(6)}{r^2} = 18 \ N$ है।
इसका अर्थ है $k \frac{12}{r^2} = 18$,इसलिए $k/r^2 = 18/12 = 1.5$ है।
अब,प्रत्येक आवेश में $-4 \ C$ जोड़ा जाता है:
नया आवेश $q_1' = +2 \ C - 4 \ C = -2 \ C$ है।
नया आवेश $q_2' = +6 \ C - 4 \ C = +2 \ C$ है।
नया बल $F_2 = k \frac{|q_1' q_2'|}{r^2} = k \frac{|(-2)(2)|}{r^2} = k \frac{4}{r^2}$ है।
$k/r^2 = 1.5$ रखने पर,हमें $F_2 = 1.5 \times 4 = 6 \ N$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवेश विपरीत चिन्हों के हैं ($-2 \ C$ और $+2 \ C$),इसलिए बल आकर्षक होगा।

(A) हवा में दो बिंदु आवेशों के बीच का बल कूलॉम के नियम के अनुसार है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$
जब उन्हीं आवेशों को '$k$' परावैद्युतांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो बल है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 k} \frac{q^2}{y^2}$
चूंकि दोनों स्थितियों में बल '$F$' समान है,हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 k} \frac{q^2}{y^2}$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0}$ को हटाने पर:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{k y^2}$
$\frac{y}{x}$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2 = \frac{x^2}{k}$
$\frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{k}$
$\frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{k}}$

(D) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। एक कोने पर स्थित $+Q$ आवेश पर लगने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. विकर्णतः विपरीत कोने पर स्थित $+Q$ के कारण बल: $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2}$ (प्रतिकर्षण बल)।
$2$. आसन्न कोनों पर स्थित दो $-q$ आवेशों के कारण बल: $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$ (आकर्षण बल)।
चूंकि ये दोनों $-q$ आवेश समान दूरी $a$ पर हैं,इसलिए इनका परिणामी बल $F_2' = \sqrt{F_2^2 + F_2^2} = \sqrt{2} F_2 = \sqrt{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$ होगा।
$+Q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,प्रतिकर्षण बल $F_1$ का परिमाण परिणामी आकर्षण बल $F_2'$ के परिमाण के बराबर होना चाहिए।
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2} = \sqrt{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$
$\frac{Q}{2} = \sqrt{2} q$
$Q = 2\sqrt{2} q$
अतः,$\frac{Q}{-q} = -2\sqrt{2}$।

(C) प्रारंभ में $+4q$ और $-4q$ आवेशों के बीच लगने वाला बल कूलम्ब के नियम के अनुसार है:
$F = \frac{k(4q)(-4q)}{r^2} = \frac{-16kq^2}{r^2} \quad \dots(i)$
जब बिंदु $A$ से $25\%$ आवेश बिंदु $B$ पर स्थानांतरित किया जाता है:
स्थानांतरित आवेश $= 0.25 \times 4q = 1q$.
$A$ पर नया आवेश $(q_1)$ $= 4q - 1q = 3q$.
$B$ पर नया आवेश $(q_2)$ $= -4q + 1q = -3q$.
अब आवेशों के बीच नया बल $F'$ है:
$F' = \frac{k(3q)(-3q)}{r^2} = \frac{-9kq^2}{r^2}$.
$F'$ और $F$ की तुलना करने पर:
$F' = \frac{9}{16} \times \left( \frac{-16kq^2}{r^2} \right) = \frac{9}{16} F$.

(D) आवेश $3Q$ द्वारा आवेश $Q$ पर लगाया गया बल $F_1$ कूलम्ब के नियम के अनुसार:
$F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(3Q)(Q)}{l^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q^2}{l^2}$
आवेश $q$ द्वारा आवेश $Q$ पर लगाया गया बल $F_2$:
$F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{(l - l/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{(2l/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9qQ}{4l^2}$
आवेश $Q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$F_1 + F_2 = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q^2}{l^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9qQ}{4l^2} = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{l^2}$ से भाग देने पर:
$3Q + \frac{9q}{4} = 0$
$3Q = -\frac{9q}{4}$
$Q = -\frac{3q}{4}$
$q = -\frac{4}{3}Q$

(D) दो आवेशों के बीच प्रारंभिक स्थिर-वैद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = 100 \ N$।
परिवर्तन के बाद, नए आवेश $q_1' = q_1 + 0.1q_1 = 1.1q_1$ और $q_2' = q_2 - 0.1q_2 = 0.9q_2$ हैं।
नया बल $F'$ है: $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(1.1q_1)(0.9q_2)}{r^2}$।
$F' = (1.1 \times 0.9) \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \right) = 0.99 \times F$।
$F' = 0.99 \times 100 \ N = 99 \ N$।
बल में परिवर्तन $\Delta F = F - F' = 100 \ N - 99 \ N = 1 \ N$ है।
चूंकि नया बल प्रारंभिक बल से कम है, इसलिए बल में $1 \ N$ की कमी होती है।

(A) दो आवेशों के बीच प्रारंभिक बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{q_1 q_2}{l^2}$।
जब एक आवेश को दोगुना $(q_1' = 2q_1)$ और दूरी को आधा $(l' = l/2)$ कर दिया जाता है,तो नया बल $F'$ होगा:
$F' = k \frac{(2q_1) q_2}{(l/2)^2}$
$F' = k \frac{2q_1 q_2}{l^2 / 4}$
$F' = 8 \left( k \frac{q_1 q_2}{l^2} \right)$
$F' = 8F$।
अतः,बल का परिमाण मूल बल का $8$ गुना हो जाता है,इसलिए $n = 8$।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार, दो बिंदु आवेशों के बीच का बल $F = \frac{k Q q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में, $F_1 = \frac{k Q q}{r^2} = 100 \,N$ है।
जब $Q$ को $10 \%$ बढ़ाया जाता है, तो नया आवेश $Q' = Q + 0.1 Q = 1.1 Q$ होता है।
जब $q$ को $10 \%$ घटाया जाता है, तो नया आवेश $q' = q - 0.1 q = 0.9 q$ होता है।
नया बल $F_2$ इस प्रकार है: $F_2 = \frac{k (1.1 Q) (0.9 q)}{r^2} = (1.1 \times 0.9) \frac{k Q q}{r^2}$।
$F_2 = 0.99 \times F_1 = 0.99 \times 100 \,N = 99 \,N$।
बल में परिवर्तन $\Delta F = F_1 - F_2 = 100 \,N - 99 \,N = 1 \,N$ है।
अतः, बल $1 \,N$ कम हो जाएगा।

(C) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा $a$ है। आसन्न कोनों के बीच की दूरी $a$ है,और विपरीत कोनों (विकर्ण) के बीच की दूरी $\sqrt{2}a$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो आवेशों के बीच का बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r^2}$ होता है।
आसन्न कोनों पर स्थित आवेशों $q_1$ और $q_2$ के लिए,दूरी $r = a$ है। अतः,$F_{12} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{a^2}$।
विपरीत कोनों पर स्थित आवेशों $q_1$ और $q_3$ के लिए,दूरी $r = \sqrt{2}a$ है। अतः,$F_{13} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_3}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_3}{2a^2}$।
चूंकि $q_1 = q_2 = q_3 = q$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{F_{12}}{F_{13}} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2}}{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{2a^2}} = \frac{1}{1/2} = 2$।

(C) मान लीजिए कि आवेशों को क्रमशः $x=0$,$x=\frac{d}{2}$ और $x=d$ स्थितियों पर रखा गया है।
$x=0$ पर स्थित आवेश $q$ पर नेट बल को शून्य करने के लिए,$Q$ द्वारा लगाया गया बल और $+4q$ द्वारा लगाया गया बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए,$Q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल $F_Q = \frac{k q Q}{(d/2)^2}$ है और $+4q$ द्वारा $q$ पर लगाया गया बल $F_{+4q} = \frac{k q (4q)}{d^2}$ है।
नेट बल को शून्य होने के लिए,इन बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$\frac{k q Q}{(d/2)^2} + \frac{k q (4q)}{d^2} = 0$
$\frac{k q Q}{d^2/4} + \frac{4 k q^2}{d^2} = 0$
$\frac{4 k q Q}{d^2} + \frac{4 k q^2}{d^2} = 0$
$\frac{4 k q}{d^2}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $q \neq 0$):
$Q + q = 0$
$Q = -q$

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच का बल $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण समान हैं,मान लीजिए $q_1 = q_2 = q$। प्रारंभ में दूरी $r_1 = Y$ है,इसलिए $F_1 = k \frac{q^2}{Y^2} = F$ है।
जब दूरी को आधा कर दिया जाता है,तो नई दूरी $r_2 = \frac{Y}{2}$ हो जाती है।
नया बल $F_2 = k \frac{q^2}{(Y/2)^2} = k \frac{q^2}{Y^2 / 4} = 4 \left( k \frac{q^2}{Y^2} \right)$ होता है।
$F_1 = F$ का मान रखने पर,हमें $F_2 = 4F$ प्राप्त होता है।

(B) निकाय के संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो $+q$ आवेशों के बीच की दूरी $r$ है। आवेश $Q$ केंद्र पर रखा गया है,इसलिए प्रत्येक $+q$ आवेश से इसकी दूरी $r/2$ है।
दो $+q$ आवेशों के कारण केंद्रीय आवेश $Q$ पर लगने वाला बल समान और विपरीत है,इसलिए यह पहले से ही संतुलन में है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,किसी एक $+q$ आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
दूसरे $+q$ आवेश के कारण एक $+q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}$ (प्रतिकर्षण) है।
केंद्रीय आवेश $Q$ के कारण इस $+q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{(r/2)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{4qQ}{r^2}$ है।
संतुलन के लिए,$F_1 + F_2 = 0$,जिसका अर्थ है $F_1 = -F_2$.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2} = -\left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{4qQ}{r^2} \right)$.
$q^2 = -4qQ$.
$Q = -\frac{q}{4}$.

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,'$d$' दूरी पर स्थित दो '$q$' आवेशों के बीच प्रतिकर्षण बल है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{d^2}$
चूंकि आयन धनात्मक हैं,प्रत्येक आयन पर आवेश '$n$' इलेक्ट्रॉनों के नुकसान के कारण है,इसलिए $q = ne$.
$q = ne$ को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{(ne)^2}{d^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{n^2 e^2}{d^2}$
अब,'$n$' के लिए हल करने पर:
$n^2 = \frac{F \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \cdot d^2}{e^2}$
$n = \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 F d^2}{e^2}}$