Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Hindi

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_e K}}$ है।
यहाँ $K = 9 \ eV$ और $m_e c^2 = 0.5 \ MeV = 0.5 \times 10^6 \ eV$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $m_e = \frac{0.5 \times 10^6 \ eV}{c^2}$.
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \left(\frac{0.5 \times 10^6}{c^2}\right) K}} = \frac{hc}{\sqrt{2 \times 0.5 \times 10^6 \times K}}$.
दिया गया है $h = 4 \times 10^{-15} \ eV \cdot s$ और $c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$,इसलिए $hc = (4 \times 10^{-15}) \times (3 \times 10^{10}) = 12 \times 10^{-5} \ eV \cdot cm$.
अब,$\lambda = \frac{12 \times 10^{-5}}{\sqrt{2 \times 0.5 \times 10^6 \times 9}} = \frac{12 \times 10^{-5}}{\sqrt{9 \times 10^6}} = \frac{12 \times 10^{-5}}{3 \times 10^3} = 4 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_p qV}}$ है।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \,J-s$, $m_p = 1.67 \times 10^{-27} \,kg$, $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, और $V = 1000 \,V$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-43}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.31 \times 10^{-22}} \approx 9.07 \times 10^{-13} \,m$.
अतः, तरंगदैर्ध्य लगभग $9.1 \times 10^{-13} \,m$ है।

(D) हम जानते हैं कि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
इसका अर्थ है कि $K \propto \frac{1}{\lambda^2}$।
माना $\lambda_1 = 1 \,nm$ पर प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और $\lambda_2 = 0.5 \,nm$ पर अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2$ है।
अतः, $\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^2 = \left( \frac{1}{0.5} \right)^2 = 2^2 = 4$।
इस प्रकार, $K_2 = 4K_1$।
इलेक्ट्रॉन में जोड़ी जाने वाली ऊर्जा $\Delta K = K_2 - K_1 = 4K_1 - K_1 = 3K_1$ होगी।
अतः, जोड़ी जाने वाली ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा की तीन गुना है।

(B) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले एक आवेशित कण के लिए $V$ विभवांतर से त्वरित होने पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
चूंकि $h$,$m$ और $q$ समान कण के लिए नियतांक हैं,इसलिए:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात होगा:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}} = \frac{V_2^{1/2}}{V_1^{1/2}}$
इसे $V_2^{1/2} : V_1^{1/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
ऊर्जा $E$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{Js}$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$,और $\lambda = 5500 \ \text{Å} = 5.5 \times 10^{-7} \ \text{m}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (5.5 \times 10^{-7})^2}$
$E = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{18.2 \times 10^{-31} \times 30.25 \times 10^{-14}}$
$E = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{550.55 \times 10^{-45}}$
$E \approx 0.0791 \times 10^{-23} \ \text{J} \approx 7.91 \times 10^{-25} \ \text{J}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $8 \times 10^{-25} \ \text{J}$ है।

(B) दिया गया है कि फोटॉन की ऊर्जा $E$,प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $K_p = E$ के बराबर है।
प्रोटॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ प्रोटॉन का संवेग है।
चूंकि $E = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mE}$ होगा।
अतः,$\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
फोटॉन के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$ द्वारा दी जाती है।
अब,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ की गणना करने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{E}{hc} = \frac{E}{c \sqrt{2mE}} = \frac{\sqrt{E}}{c \sqrt{2m}}$।
चूंकि $c$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto \sqrt{E}$ या $E^{1/2}$ होगा।

(A) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण को $V$ विभवांतर से त्वरित करने पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ होती है।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए: $\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2m_\alpha q_\alpha V_\alpha}}$.
दिया गया है कि $\lambda_p = \lambda_\alpha$, इसलिए $\sqrt{2m_p q_p V} = \sqrt{2m_\alpha q_\alpha V_\alpha}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $m_p q_p V = m_\alpha q_\alpha V_\alpha$.
हम जानते हैं कि $m_\alpha = 4m_p$ और $q_\alpha = 2q_p$.
इन मानों को रखने पर: $m_p q_p V = (4m_p)(2q_p) V_\alpha$.
$m_p q_p V = 8 m_p q_p V_\alpha$.
अतः, $V_\alpha = \frac{V}{8}$.

(D) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ इलेक्ट्रॉन का वेग है।
फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E_p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_p$ फोटॉन की ऊर्जा है।
यह दिया गया है कि $\lambda_e = \lambda_p$,इसलिए $\frac{h}{mv} = \frac{hc}{E_p}$।
इसका अर्थ है $E_p = mvc$।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_e = \frac{1}{2}mv^2$ है।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा और फोटॉन की गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mvc} = \frac{v}{2c}$ है।
दिए गए मान $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ रखने पर:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4}$।

(C) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रोटॉन के लिए,$\lambda_0 = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2q_p$ होता है।
इन मानों को $\alpha$-कण के सूत्र में रखने पर:
$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2q_p)V}} = \frac{h}{\sqrt{8(2m_p q_p V)}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \left( \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}} \right)$.
चूंकि $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,इसलिए $\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda_0}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) गतिज ऊर्जा,$KE = 80 eV = 80 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 128 \times 10^{-19} J$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ है।
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 128 \times 10^{-19}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{256 \times 9 \times 10^{-50}}}$.
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{16 \times 3 \times 10^{-25}} = \frac{6.6}{48} \times 10^{-9} m$.
$\lambda = 0.1375 \times 10^{-9} m \approx 1.375 \times 10^{-10} m = 1.375 Å$.
निकटतम मान लेने पर,$\lambda \approx 1.4 Å$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_{e} K}}$, जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है。
दिया गया है: $h = 6.0 \times 10^{-34} \text{ J s}$, $m_{e} = 9.0 \times 10^{-31} \text{ kg}$, $K = 320 \text{ eV} = 320 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.0 \times 10^{-31} \times 320 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{18 \times 10^{-31} \times 512 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{9216 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{96 \times 10^{-25}}$
$\lambda = 0.0625 \times 10^{-9} \text{ m} = 62.5 \times 10^{-12} \text{ m} = 62.5 \text{ pm}$.

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए संवेग $p = \sqrt{2mK}$ होगा।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
समान गतिज ऊर्जा $K$ के लिए,तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।
द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} \approx m_{\text{neutron}} < m_{\alpha\text{-particle}}$।
चूंकि दिए गए विकल्पों में $\alpha$-कण का द्रव्यमान सबसे अधिक है,इसलिए इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे कम होगी।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$, इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होगा।
अतः, $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$।
यहाँ $h = 4.14 \times 10^{-15} eVs$, $K = 100 eV$, और $m = \frac{0.5 \times 10^6}{c^2} eV/c^2$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर, जहाँ $c = 3 \times 10^8 m/s$ है:
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15}}{\sqrt{2 \times (0.5 \times 10^6 / c^2) \times 100}}$
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15} \times c}{\sqrt{10^8}}$
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15} \times 3 \times 10^8}{10^4} = 1.242 \times 10^{-10} m = 124.2 pm$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,मान लीजिए द्रव्यमान $m$,चाल $v$ और गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है। अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
कुछ यात्रियों के उतरने के बाद,मान लीजिए नया द्रव्यमान $m'$,नई चाल $v' = 2v$ और नई गतिज ऊर्जा $E' = 2E$ है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र का उपयोग करने पर: $E' = \frac{1}{2}m'(v')^2$।
मान रखने पर: $2E = \frac{1}{2}m'(2v)^2 = \frac{1}{2}m'(4v^2) = 2m'v^2$।
चूंकि $E = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $2(\frac{1}{2}mv^2) = 2m'v^2$,जिसका अर्थ है $m' = \frac{m}{2}$।
अब,नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m'E'}} = \frac{h}{\sqrt{2(\frac{m}{2})(2E)}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} = \lambda$।
अतः,नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ही रहती है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि तीनों कणों के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ समान है,इसलिए $\sqrt{2mK} = \text{नियतांक}$,जिसका अर्थ है कि $mK = \text{नियतांक}$ या $K \propto \frac{1}{m}$।
कणों के द्रव्यमान $m_e$ (इलेक्ट्रॉन),$m_p$ (प्रोटॉन) और $m_{\alpha}$ (अल्फा कण) हैं। हम जानते हैं कि $m_e < m_p < m_{\alpha}$।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K$ द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए हमें $\varepsilon_1 > \varepsilon_3 > \varepsilon_2$ प्राप्त होता है (जहाँ $\varepsilon_1$ इलेक्ट्रॉन के लिए,$\varepsilon_3$ प्रोटॉन के लिए और $\varepsilon_2$ अल्फा कण के लिए है)।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ है।
चूंकि कण समान विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित होते हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा $KE = qV$ होती है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$।
यहाँ $h$,$q$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{m_{p}}}$।
दिया गया है कि $m_{p} = 2000 m_{e}$,इसलिए अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{2000 m_{e}}} = \sqrt{\frac{1}{2000}} = \frac{1}{\sqrt{400 \times 5}} = \frac{1}{20 \sqrt{5}}$।
इस प्रकार,$\lambda_{p} = \frac{\lambda_{e}}{20 \sqrt{5}}$।

(D) $V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_e e V}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
इसलिए,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
यहाँ $\lambda_1 = \lambda$ और $\lambda_2 = 2\lambda$ दिया गया है,अतः $\frac{\lambda}{2\lambda} = \sqrt{\frac{V_2}{10000}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} = \frac{V_2}{10000}$.
अतः,$V_2 = \frac{10000}{4} = 2500 \ V$.

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
इससे पता चलता है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$।
दिया गया है:
$\lambda_1 = 0.4 \times 10^{-10} \ m$
$E_1 = 1.0 \ keV$
$\lambda_2 = 1.0 \times 10^{-10} \ m$
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{0.4 \times 10^{-10}}{1.0 \times 10^{-10}} = \sqrt{\frac{E_2}{1.0 \ keV}}$
$0.4 = \sqrt{E_2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$E_2 = (0.4)^2 = 0.16 \ keV$।

(C) इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और त्वरित विभवांतर $V$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV}$
$V$ के लिए हल करने पर:
$V = \frac{h^2}{2me\lambda^2}$
इलेक्ट्रॉन के लिए इस सूत्र का सरल रूप:
$V \approx \frac{150}{\lambda^2} \text{ V}$, जहाँ $\lambda$ का मान $\text{Å}$ में है।
यहाँ $\lambda = 1 \text{ Å}$ दिया गया है:
$V = \frac{150}{(1)^2} = 150 \text{ V}$.
अतः, आवश्यक विभवांतर $150 \text{ V}$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $A$: मुक्त पतन के लिए,$v = \sqrt{2gh}$। चूँकि $v$ द्रव्यमान से स्वतंत्र है,$\lambda = \frac{h}{m\sqrt{2gh}} \propto \frac{1}{m}$। अतः,भारी कण की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है।
स्थिति $B$: समान गतिज ऊर्जा $K$ के साथ,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$। चूँकि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$,भारी कण की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है।
स्थिति $C$: समान संवेग $p$ के साथ,$\lambda = \frac{h}{p}$। चूँकि $p$ समान है,दोनों के लिए $\lambda$ समान रहती है।
स्थिति $D$: समान गति $v$ के साथ,$\lambda = \frac{h}{mv}$। चूँकि $\lambda \propto \frac{1}{m}$,भारी कण की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है।
नोट: विकल्प $A$,$B$,और $D$ तीनों में भारी कण की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है। सामान्यतः,$D$ सबसे सीधा संबंध दर्शाता है जहाँ $\lambda \propto 1/m$ देखा जाता है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$।
दिए गए मान हैं:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 1 \times 10^{-30} \ kg$
$K = 200 \ eV = 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-17} \ J$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (1 \times 10^{-30}) \times (3.2 \times 10^{-17})}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{6.4 \times 10^{-47}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{8 \times 10^{-23.5}}$
गणना करने पर:
$\lambda = 0.825 \times 10^{-10} \ m = 8.25 \times 10^{-11} \ m$।

(A) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{m_e v_e}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_e = c/2$ है। अतः,$\lambda_e = \frac{h}{m_e (c/2)} = \frac{2h}{m_e c}$।
फोटॉन के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{h}{E_p/c} = \frac{hc}{E_p}$ है,जहाँ $E_p$ फोटॉन की ऊर्जा है।
दिया गया है कि $\lambda_e = \lambda_p$,इसलिए $\frac{2h}{m_e c} = \frac{hc}{E_p}$।
इससे $E_p = \frac{m_e c^2}{2}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_e = \frac{1}{2} m_e v_e^2 = \frac{1}{2} m_e (c/2)^2 = \frac{1}{8} m_e c^2$ है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{8} m_e c^2}{\frac{1}{2} m_e c^2} = \frac{1}{4}$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK_e}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K_e$ इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है और $m$ इसका द्रव्यमान है।
अतः,$K_e = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
फोटॉन की ऊर्जा $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य समान हैं,इसलिए $\lambda_e = \lambda_p = \lambda$.
फोटॉन की ऊर्जा और इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{hc/\lambda}{h^2/(2m\lambda^2)} = \frac{hc}{\lambda} \cdot \frac{2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda}{h}$.
चूँकि $E_p = \frac{hc}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{hc}{E_p}$.
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{2mc}{h} \cdot \frac{hc}{E_p} = \frac{2mc^2}{E_p}$.
यहाँ $mc^2 = 0.5 \ MeV = 500 \ keV$ और $E_p = 50 \ keV$ दिया गया है:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{2 \times 500 \ keV}{50 \ keV} = \frac{1000}{50} = 20$.
अतः,अनुपात $20:1$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m \cdot KE}}$ है।
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए,द्रव्यमान $m_d = 2m_p$ और गतिज ऊर्जा $KE_d = E$ है।
अल्फा कण $(\alpha)$ के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और गतिज ऊर्जा $KE_{\alpha} = 2E$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_d}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} \cdot KE_{\alpha}}{m_d \cdot KE_d}}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_d}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p \cdot 2E}{2m_p \cdot E}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,अनुपात $2:1$ है,जिसका अर्थ है कि $n = 2$।

(C) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
दिया गया है: $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$,$q = 3 \times 10^{-19} \text{ C}$,$m = 6 \times 10^{-27} \text{ kg}$,और $V = 1.21 \text{ V}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (6 \times 10^{-27}) \times (3 \times 10^{-19}) \times 1.21}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{36 \times 10^{-46} \times 1.21}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6 \times 10^{-23} \times 1.1}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-23}}$
$\lambda = 10^{-11} \text{ m} = 10 \times 10^{-12} \text{ m}$.
इसकी तुलना $\alpha \times 10^{-12} \text{ m}$ से करने पर,हमें $\alpha = 10$ प्राप्त होता है।

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
गैस अणु के लिए औसत गतिज ऊर्जा $K = \frac{3}{2}kT$ होती है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2}kT)}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$.
दिए गए मान: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 5.31 \times 10^{-26} \ kg$,$k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$,और $T = 27 + 273 = 300 \ K$.
हर की गणना करने पर: $\sqrt{3 \times 5.31 \times 10^{-26} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300} = \sqrt{6587.34 \times 10^{-49}} \approx 2.566 \times 10^{-23}$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.566 \times 10^{-23}} \approx 2.58 \times 10^{-11} \ m = 25.8 \times 10^{-12} \ m$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$x = 26$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 0.033 \text{ kg}$
वेग $v = 1 \text{ km/s} = 1000 \text{ m/s} = 10^3 \text{ m/s}$
प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ Js}$
सूत्र में मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.033 \times 1000}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{33}$
$\lambda = 0.2 \times 10^{-34} \text{ m}$
$\lambda = 2 \times 10^{-35} \text{ m}$.

(B) एक फोटॉन के लिए,संवेग $p$ को $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,$p$ संवेग वाले कण से जुड़ी तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का मान $\lambda' = \frac{h}{p}$ होता है।
$p$ के व्यंजक को डी-ब्रोग्ली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda' = \frac{h}{h/\lambda} = \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,फोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य उससे जुड़े विद्युतचुंबकीय विकिरण की तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F} = q\vec{E} = (-e)(-2E_0\hat{i}) = 2eE_0\hat{i}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{2eE_0}{m}$ है।
समय $t$ पर इलेक्ट्रॉन का वेग $v(t) = v_0 + at = v_0 + \left(\frac{2eE_0}{m}\right)t = v_0 \left[1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}\right]$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv(t)}$ है।
$v(t)$ का मान रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{m v_0 [1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}]} = \frac{\lambda_0}{[1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}]}$ प्राप्त होता है।

(C) मुक्त आकाश में,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = h/mv$ द्वारा दी जाती है।
जब इलेक्ट्रॉन माध्यम में प्रवेश करता है,तो उसका वेग $20\%$ कम हो जाता है।
इसलिए,नया वेग $v' = v - 0.20v = 0.8v$ है।
माध्यम में नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = h/mv'$ है।
$v' = 0.8v$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = h/(m \times 0.8v) = (1/0.8) \times (h/mv)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda_0 = h/mv$,इसलिए $\lambda = (1/0.8) \times \lambda_0 = 1.25 \lambda_0$ है।
इसकी तुलना $\alpha\lambda_0$ से करने पर,हमें $\alpha = 1.25$ प्राप्त होता है।

(A) $V$ विभवांतर से त्वरित $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों समान विभवांतर $V$ से त्वरित होते हैं और दोनों का आवेश $q$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$ है।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए $V_1$ विभव पर तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ है,अतः $\lambda_1 = \frac{k}{\sqrt{V_1}}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
जब विभव को बदलकर $V_2$ किया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य में $50\%$ की वृद्धि होती है,अतः $\lambda_2 = \lambda_1 + 0.5\lambda_1 = 1.5\lambda_1$.
इस प्रकार,$\lambda_2 = \frac{k}{\sqrt{V_2}}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\sqrt{V_1}}{\sqrt{V_2}} = 1.5$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{V_1}{V_2} = (1.5)^2 = 2.25$.
हम $2.25$ को $\frac{225}{100} = \frac{9}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $(V_1/V_2) = (9/\alpha)$,दोनों समीकरणों की तुलना करने पर $\alpha = 4$ प्राप्त होता है।