Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Hindi

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$।
यहाँ $\lambda = 1.0 \ \mathring{A}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $1.0 = \frac{12.27}{\sqrt{V}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 = \frac{150.55}{V}$।
अतः,$V \approx 150 \ V$।

(A) क्रिस्टल जालक से रचनात्मक व्यतिकरण (विवर्तन) के लिए शर्त ब्रैग के नियम द्वारा दी जाती है: $2d \sin \theta = n\lambda$।
यहाँ,अंतर-तलीय अंतराल $d = b$ दिया गया है।
सीधे परावर्तन (बैकस्कैटरिंग) के लिए,परमाणु तलों के साथ आपतन कोण $\theta = 90^\circ$ होता है।
ब्रैग के नियम में $\theta = 90^\circ$ प्रतिस्थापित करने पर: $2b \sin(90^\circ) = n\lambda$।
चूंकि $\sin(90^\circ) = 1$,इसलिए हमें $2b = n\lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2b}{n}$ होगी।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$.
चाल $v = 5 \ m/hr = \frac{5}{3600} \ m/s$.
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.2 \times (5/3600)}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3600}{0.2 \times 5}$
$\lambda = \frac{23853.6 \times 10^{-34}}{1}$
$\lambda \approx 2.385 \times 10^{-30} \ m$.
अतः,तरंगदैर्ध्य की कोटि $10^{-30} \ m$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ है।
यहाँ,
हाइड्रोजन का तापमान $(T_H)$ = $27^{\circ}C = 300 \ K$.
हीलियम का तापमान $(T_{He})$ = $127^{\circ}C = 400 \ K$.
हाइड्रोजन का द्रव्यमान $(m_H)$ = $m$.
हीलियम का द्रव्यमान $(m_{He})$ = $4m$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात:
$\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{m_{He}}{m_H} \times \frac{T_{He}}{T_H}} = \sqrt{\frac{4m}{m} \times \frac{400}{300}} = \sqrt{4 \times \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}}$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $D$ है।

(D) डी ब्रोग्ली तरंग दैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ संवेग है।
दिया गया है कि $\lambda_e = \lambda_p$,इसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन का संवेग समान होना चाहिए: $p_e = p_p = p$.
गतिज ऊर्जा $(K)$ और संवेग $(p)$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए: $K_e = \frac{p^2}{2m_e}$.
प्रोटॉन के लिए: $K_p = \frac{p^2}{2m_p}$.
चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक होता है,यानी $m_p > m_e$,इसलिए $\frac{1}{m_e} > \frac{1}{m_p}$ होगा।
अतः,$K_e > K_p$. यानी इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा से अधिक होगी।

(C) इलेक्ट्रॉन जिस विभवांतर से त्वरित होता है वह $\Delta V = V_B - V_A = 40 \ V - 20 \ V = 20 \ V$ है।
इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = e \Delta V = 20 \ eV$ है।
डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,और $K = 20 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 20 \times 1.6 \times 10^{-19}}} \approx 2.75 \times 10^{-10} \ m$.
अतः,$\lambda \approx 2.75 \ \mathring A$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$ है।
यदि गतिज ऊर्जा $K$ को $4$ गुना बढ़ा दिया जाए,तो नई गतिज ऊर्जा $K' = 4K$ होगी।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का मान $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(4K)}} = \frac{h}{2\sqrt{2mK}} = \frac{1}{2} \lambda$ होगा।
अतः,तरंगदैर्ध्य अपने मूल मान की आधी हो जाएगी।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ है।
गैस के अणु के लिए,औसत गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{3}{2}kT$ होती है,जहाँ $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2}kT)}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$.
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mT}}$.
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_O = 32 \ g/mol$ और तापमान $T_O = 21 + 273 = 294 \ K$ है।
अतः,$m_O T_O = 32 \times 294 = 9408$.
नाइट्रोजन $(N_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_N = 28 \ g/mol$ और तापमान $T_N = 63 + 273 = 336 \ K$ है।
अतः,$m_N T_N = 28 \times 336 = 9408$.
चूंकि दोनों के लिए $mT$ का गुणनफल समान है,इसलिए अनुपात $\frac{\lambda_O}{\lambda_N} = \sqrt{\frac{m_N T_N}{m_O T_O}} = \sqrt{\frac{9408}{9408}} = 1$.
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
इससे,संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
$p = \frac{h}{\lambda}$ का मान रखने पर,$K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1.675 \times 10^{-27} \ kg$,और $\lambda = 1.40 \times 10^{-10} \ m$.
$K = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (1.675 \times 10^{-27}) \times (1.40 \times 10^{-10})^2}$.
$K = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.96 \times 10^{-20}}$.
$K = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{6.566 \times 10^{-47}}$.
$K \approx 6.634 \times 10^{-21} \ J$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$K \approx 6.69 \times 10^{-21} \ J$ प्राप्त होता है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाले कण की गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
इससे,संवेग $p = \sqrt{2mE}$ होता है।
डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p}$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
$p$ का मान रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।
इसे $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2}} m^{-1/2} E^{-1/2}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
अतः,$\lambda$ का मान $m^{-1/2} E^{-1/2}$ के समानुपाती है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $E$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m_eE}}$ और $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_pE}}$
तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{\sqrt{2m_pE}}{\sqrt{2m_eE}} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$
यह दिया गया है कि प्रोटॉन का द्रव्यमान $m_p \approx 1836 \times m_e$,इस मान को रखने पर:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{1836 \times m_e}{m_e}} = \sqrt{1836}$
अतः,अनुपात $\lambda_e : \lambda_p = \sqrt{1836} : 1$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv_{rms}}$ द्वारा दी जाती है।
तापमान $T$ पर गैस के लिए,$rms$ वेग $\frac{1}{2}mv_{rms}^2 = \frac{3}{2}kT$ है,जिसका अर्थ है $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों गैसें समान तापमान $T$ पर हैं,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{m_{He}}{m_H}}$ होगा।
हीलियम परमाणु का द्रव्यमान $4 \text{ amu}$ और हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान $1.5 \text{ amu}$ (औसत) लेने पर,अनुपात $\sqrt{4/1.5} = \sqrt{8/3}$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mk_BT}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ हीलियम परमाणु का द्रव्यमान है।
$m = \frac{4 \times 10^{-3} \text{ kg}}{6.023 \times 10^{23}} \approx 0.664 \times 10^{-26} \text{ kg}$ और $T = 273 + 27 = 300 \text{ K}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3(0.664 \times 10^{-26})(1.38 \times 10^{-23})(300)}} \approx 7.3 \times 10^{-11} \text{ m}$.
यदि $r$ परमाणुओं के बीच की औसत दूरी है,तो $r \approx (V/N)^{1/3}$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = N k_B T$ से,$V/N = k_B T / P$.
अतः,$r = (k_B T / P)^{1/3} = \left( \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 300}{1.01 \times 10^5} \right)^{1/3} \approx 3.4 \times 10^{-9} \text{ m}$.
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{r}{\lambda} = \frac{3.4 \times 10^{-9}}{7.3 \times 10^{-11}} \approx 46.5 \approx 50$.
इसलिए,$r \approx 50 \lambda$.

(C) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$,जिसका अर्थ है $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$।
छोटे परिवर्तनों के लिए,हम लिख सकते हैं $\left| \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right| = \left| \frac{\Delta p}{p} \right|$।
यहाँ $\left| \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right| = 0.25 \% = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$ और $\Delta p = p_0$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{p_0}{p} = \frac{1}{400}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रोटॉन का प्रारंभिक संवेग $p = 400 \, p_0$ है।

(B) $e$ आवेश वाले कण को $V$ विभवांतर से त्वरित करने पर उसकी गतिज ऊर्जा $K = eV = \frac{p^2}{2m}$ होती है।
अतः,संवेग $p = \sqrt{2meV}$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $h$,$e$ और $V$ दोनों कणों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
$m$ द्रव्यमान वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,$\lambda_e = \lambda = \frac{k}{\sqrt{m}}$ (जहाँ $k = \frac{h}{\sqrt{2eV}}$)।
$M$ द्रव्यमान वाले प्रोटॉन के लिए,$\lambda_p = \frac{k}{\sqrt{M}}$।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}} = \sqrt{\frac{m}{M}}$।
अतः,$\lambda_p = \lambda \sqrt{\frac{m}{M}}$।

(C) इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति के सिद्धांत पर कार्य करता है। डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,गतिमान इलेक्ट्रॉनों के साथ एक तरंग जुड़ी होती है,और इन इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तुलना में बहुत कम होती है। यह ऑप्टिकल सूक्ष्मदर्शी की तुलना में बहुत अधिक विभेदन क्षमता (resolution) प्रदान करता है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
चूंकि प्रोटॉन और न्यूट्रॉन दोनों समान वेग $v$ से गति कर रहे हैं,इसलिए उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_P}{\lambda_N} = \frac{h / (m_P v)}{h / (m_N v)} = \frac{m_N}{m_P}$ होगा।
न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $(m_N \approx 1.6749 \times 10^{-27} \text{ kg})$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_P \approx 1.6726 \times 10^{-27} \text{ kg})$ से थोड़ा अधिक है।
अतः,अनुपात $\frac{m_N}{m_P} \approx 1.001$ है,जो लगभग $1$ के बराबर है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
चूंकि दोनों कणों के लिए ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p}}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\alpha$-कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का लगभग $4$ गुना होता है $(m_\alpha = 4m_p)$,इसलिए:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = \frac{2}{1}$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $2 : 1$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
इससे,हम गतिज ऊर्जा को $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $h$ और $\lambda$ दोनों कणों के लिए स्थिर हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा $E$ द्रव्यमान $m$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $E \propto \frac{1}{m}$।
हम जानते हैं कि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p)$ से बहुत कम होता है,अर्थात $m_e < m_p$।
इसलिए,चूंकि $E$,$m$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए $E_e > E_p$ होगा।
अतः,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा से अधिक है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
यहाँ वेग $v = \frac{c}{20}$ दिया गया है, जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
प्रोटॉन का द्रव्यमान $m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$.
प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8 / 20)}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 20}{1.67 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^8}$
$\lambda = \frac{132.6 \times 10^{-34}}{5.01 \times 10^{-19}}$
$\lambda \approx 26.46 \times 10^{-15} \text{ m} = 2.646 \times 10^{-14} \text{ m}$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(C) मान लीजिए फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_p$ और कण की तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ है। दिया गया है कि $\lambda_p = \lambda_m = \lambda$.
फोटॉन की ऊर्जा $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ है।
कण की गतिज ऊर्जा $K_m = \frac{p^2}{2m}$ है। चूंकि $p = \frac{h}{\lambda}$,इसलिए $K_m = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ होगा।
दोनों ऊर्जाओं की तुलना करने पर,अनुपात $\frac{E_p}{K_m} = \frac{hc/\lambda}{h^2/(2m\lambda^2)} = \frac{2mc\lambda}{h}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $p = \frac{h}{\lambda} = mv$,इसलिए $\lambda = \frac{h}{mv}$। यह मान रखने पर,$\frac{E_p}{K_m} = \frac{2mc(h/mv)}{h} = \frac{2c}{v}$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रकाश की गति $c$ किसी भी कण की गति $v$ से बहुत अधिक होती है $(c > v)$,इसलिए अनुपात $\frac{2c}{v} > 1$ होता है।
अतः,$E_p > K_m$। यानी फोटॉन की ऊर्जा कण की गतिज ऊर्जा से अधिक होती है।

(A) $V$ विभवांतर से त्वरित $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों कण समान विभवांतर $V$ से त्वरित होते हैं और दोनों का आवेश $q = e$ समान है,इसलिए तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
माना प्रोटॉन का द्रव्यमान $m_p$ है और ड्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m_d$ है। हम जानते हैं कि $m_d \approx 2m_p$ होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_d}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_d}} = \sqrt{\frac{m_p}{2m_p}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।

(C) डी ब्रोग्ली समीकरण,जिसे $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दर्शाया जाता है,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ (तरंग गुण) को संवेग $p$ (कण गुण) से जोड़ता है। अतः,यह पदार्थ की द्वैत प्रकृति को दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन जैसे कण कण और तरंग दोनों प्रकार के गुण प्रदर्शित करते हैं।

(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $h$ और $V$ नियत हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। अतः,$\lambda_0 \propto \frac{1}{\sqrt{m_p e}}$।
अल्फा कण के लिए,$m_{\alpha} = 4m_p$ और $q_{\alpha} = 2e$ है।
माना अल्फा कण की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\alpha}$ है। तब $\lambda_{\alpha} \propto \frac{1}{\sqrt{m_{\alpha} q_{\alpha}}} = \frac{1}{\sqrt{(4m_p)(2e)}} = \frac{1}{\sqrt{8m_p e}}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{m_p e}{8m_p e}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
अतः,$\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda_0}{2\sqrt{2}}$।

(D) निकाय का प्रारंभिक संवेग लगभग शून्य है क्योंकि नाभिक धीरे-धीरे गति कर रहा है और न्यूट्रॉन अवशोषित हो जाता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,दो उत्पादित नाभिकों का कुल संवेग परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
मान लीजिए $p_1$ और $p_2$ दो नाभिकों के संवेग के परिमाण हैं।
चूंकि कुल संवेग शून्य है,इसलिए $p_1 = p_2 = p$ होगा।
डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = h/p$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों नाभिकों के संवेग का परिमाण समान है,इसलिए उनकी डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य भी समान होगी।
अतः,दूसरे नाभिक की डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य भी $\lambda$ होगी।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
दिया गया है: $V_1 = 150 \ V$ पर $\lambda_1 = 10^{-10} \ m = 1 \ \mathring A$.
हमें $V_2 = 600 \ V$ पर $\lambda_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{600}{150}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{1}{2} = 0.5 \ \mathring A$.

(C) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \ \text{J} \cdot \text{s}$.
दिया गया है $\lambda = 1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ \text{m}$.
संवेग $p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-10}} = 6.63 \times 10^{-24} \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$.
न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m_n}$ है,जहाँ $m_n \approx 1.675 \times 10^{-27} \ \text{kg}$.
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-24})^2}{2 \times 1.675 \times 10^{-27}} \ \text{J} \approx \frac{43.96 \times 10^{-48}}{3.35 \times 10^{-27}} \ \text{J} \approx 1.312 \times 10^{-20} \ \text{J}$.
इसे इलेक्ट्रॉन वोल्ट $(\text{eV})$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19} \ \text{J/eV}$ से विभाजित करें:
$E = \frac{1.312 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ \text{eV} \approx 0.082 \ \text{eV} = 8.2 \times 10^{-2} \ \text{eV}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $8.13 \times 10^{-2} \ \text{eV}$ है।

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
प्रारंभ में, मान लीजिए वेग $v$ है, इसलिए $\lambda_1 = \frac{h}{mv}$।
जब वेग को घटाकर आधा कर दिया जाता है, तो नया वेग $v' = \frac{v}{2}$ होता है।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{m(v/2)} = 2 \left( \frac{h}{mv} \right) = 2\lambda_1$ प्राप्त होती है।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = 2\lambda_1 - \lambda_1 = \lambda_1$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta \lambda}{\lambda_1} \times 100 = \frac{\lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = 100\%$ है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य में वृद्धि हो रही है, इसलिए यह $100\%$ की वृद्धि है।

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 10^{-10} \ m$,इसलिए $p_1 = \frac{h}{\lambda_1}$।
अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 0.5 \times 10^{-10} \ m$,इसलिए $p_2 = \frac{h}{\lambda_2} = \frac{h}{0.5 \times 10^{-10}} = 2 \times \frac{h}{10^{-10}} = 2p_1$।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{p_1^2}{2m}$।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{(2p_1)^2}{2m} = 4 \times \frac{p_1^2}{2m} = 4K_1$।
जोड़ी गई ऊर्जा $\Delta K = K_2 - K_1 = 4K_1 - K_1 = 3K_1$।
अतः,जोड़ी गई ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा की तीन गुना है।

(D) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$p$ संवेग वाले कण से जुड़ी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{h}{p}$.
यह समीकरण दर्शाता है कि $\lambda$,$p$ के व्युत्क्रमानुपाती है (अर्थात,$\lambda \propto \frac{1}{p}$)।
गणितीय रूप से,यह $\lambda$ बनाम $p$ के ग्राफ में एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
जैसे-जैसे $p$ बढ़ता है,$\lambda$ घटता है,और जैसे-जैसे $p$ शून्य के करीब पहुंचता है,$\lambda$ अनंत के करीब पहुंचता है।
इसलिए,जो ग्राफ इस संबंध को सही ढंग से दर्शाता है वह एक आयताकार अतिपरवलय है,जो ग्राफ $D$ के अनुरूप है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$।
चूंकि $h$ और $K$ सभी कणों के लिए समान हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
कणों के द्रव्यमान का क्रम $m_e < m_p < m_n < m_\alpha$ है।
अतः,तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_e > \lambda_p > \lambda_n > \lambda_\alpha$ होगा।
इस प्रकार,बढ़ते क्रम में यह $\lambda_\alpha < \lambda_n < \lambda_p < \lambda_e$ होगा।

(A) इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
प्रकाशीय उपकरण की विभेदन क्षमता तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\text{Resolving Power} \propto \frac{1}{\lambda}$.
$\lambda$ के संबंध को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\text{Resolving Power} \propto \sqrt{V}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,यदि हम त्वरक वोल्टेज $(V)$ को बढ़ाते हैं,तो तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ कम हो जाती है,जिससे विभेदन क्षमता बढ़ जाती है।

(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$।
यहाँ $V = 50,000 \ V$ दिया गया है।
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{50,000}} \ \mathring{A}$
$\lambda = \frac{12.27}{223.6} \ \mathring{A}$
$\lambda \approx 0.05487 \ \mathring{A} \approx 0.055 \ \mathring{A}$।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 2K$ है।
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m(2K)}} = \frac{h}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2mK}}$ होगी।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$ प्राप्त होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $1/\sqrt{2}$ के गुणक से बदल जाती है।

(D) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,प्रत्येक गतिमान कण,चाहे वह सूक्ष्म हो (जैसे इलेक्ट्रॉन,प्रोटॉन या आयन) या स्थूल हो (जैसे क्रिकेट बॉल),एक तरंग से जुड़ा होता है जिसे पदार्थ तरंग या डी-ब्रोग्ली तरंग कहा जाता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लैंक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन,आयन $(He^+, Li^{2+})$ और क्रिकेट बॉल जैसी स्थूल वस्तुएं सभी द्रव्यमान रखती हैं और गति कर सकती हैं,इसलिए वे सभी तरंग जैसी विशेषताएं प्रदर्शित करती हैं। अतः,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ कण का संवेग है।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ होता है,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mK}$।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 4K_1$ है।
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mK_1}}$ और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2mK_2}}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{4K_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,नई डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ की आधी हो जाएगी।

(C) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
दिया गया है: $K_p : K_\alpha = 16 : 1$। $\alpha$-कण का द्रव्यमान $(m_\alpha)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p)$ का लगभग $4$ गुना होता है,इसलिए $m_\alpha = 4m_p$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{\sqrt{2m_\alpha K_\alpha}}{\sqrt{2m_p K_p}} = \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p} \cdot \frac{K_\alpha}{K_p}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p} \cdot \frac{1}{16}} = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.
यदि गतिज ऊर्जा $E$ को दोगुना कर दिया जाए (अर्थात $E' = 2E$),तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का मान $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(2E)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{h}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda$ होगा।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य मूल तरंगदैर्ध्य की $1/\sqrt{2}$ गुनी हो जाएगी।

(C) $V$ विभवांतर के तहत त्वरित $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण के लिए डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
ड्यूट्रॉन के लिए, द्रव्यमान $m_d \approx 2m_p$ (जहाँ $m_p$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है) और आवेश $q_d = e$ होता है।
मान रखने पर: $m_d = 2 \times 1.67 \times 10^{-27} \ \text{kg} = 3.34 \times 10^{-27} \ \text{kg}$ और $q_d = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C}$।
सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_d e V}}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 3.34 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times V}}$।
स्थिरांक की गणना करने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{10.688 \times 10^{-46} \times V}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.27 \times 10^{-23} \sqrt{V}} \approx \frac{2.02 \times 10^{-11}}{\sqrt{V}} \ \text{m}$।
एंग्स्ट्रॉम में बदलने पर $(1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ \text{m})$: $\lambda = \frac{0.202}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान हैं,इसलिए $\sqrt{2m_d q_d V_d} = \sqrt{2m_{He} q_{He} V_{He}}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$m_d q_d V_d = m_{He} q_{He} V_{He}$ प्राप्त होता है।
ड्यूटेरॉन के लिए,द्रव्यमान $m_d = 2m_p$ और आवेश $q_d = e$ है। दिया गया है $V_d = 500 \ V$।
एकल आयनित हीलियम आयन $(He^+)$ के लिए,द्रव्यमान $m_{He} = 4m_p$ और आवेश $q_{He} = e$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2m_p)(e)(500) = (4m_p)(e)(V_{He})$।
$1000 m_p e = 4 m_p e V_{He}$।
$V_{He} = \frac{1000}{4} = 250 \ V$।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 6.6 \times 10^{-3} \ m$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.625 \ T$,प्रोटॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए,चुंबकीय बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{r} = qvB$.
अतः,संवेग $p = mv = qBr$.
मान रखने पर: $p = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (0.625 \ T) \times (6.6 \times 10^{-3} \ m) = 6.6 \times 10^{-22} \ kg \cdot m/s$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-22}} = 10^{-12} \ m$.
चूँकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,इसलिए $10^{-12} \ m = 0.01 \ \mathring{A}$.

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$।
यहाँ गतिज ऊर्जा $K = 40 \ keV = 40,000 \ eV$ दी गई है,इसलिए त्वरित विभव $V = 40,000 \ V$ होगा।
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{40,000}} \ \mathring{A}$
$\lambda = \frac{12.27}{200} \ \mathring{A}$
$\lambda = 0.06135 \ \mathring{A} \approx 0.061 \ \mathring{A}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mk_BT}}$.
यहाँ,$m$ हीलियम परमाणु का द्रव्यमान है।
$m = \frac{4 \times 10^{-3} \ kg}{6.023 \times 10^{23}} \approx 0.664 \times 10^{-26} \ kg$.
तापमान $T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times (0.664 \times 10^{-26}) \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 300}} \ m$.
हर (denominator) की गणना करने पर:
$\sqrt{3 \times 0.664 \times 1.38 \times 300 \times 10^{-49}} = \sqrt{824.112 \times 10^{-49}} \approx 9.08 \times 10^{-24}$.
$\lambda \approx \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.08 \times 10^{-24}} \approx 0.73 \times 10^{-10} \ m = 7.3 \times 10^{-11} \ m$.

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
यहाँ दिया गया है कि प्रोटॉन $(p_p)$ और इलेक्ट्रॉन $(p_e)$ का रैखिक संवेग समान है,अर्थात $p_p = p_e$.
सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ के अनुसार,यदि दोनों कणों के लिए $p$ समान है,तो उनकी डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य भी समान होगी।
अतः,$\lambda_p = \lambda_e$.
गतिज ऊर्जा $K$ के लिए सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
चूँकि $p$ स्थिर है,इसलिए $K \propto \frac{1}{m}$ होगा।
चूँकि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक होता है,इसलिए प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की तुलना में कम होगी।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring A$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $V = 10 \ kV = 10^4 \ V$ दिया गया है,इसलिए $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{10^4}} = \frac{12.27}{100} = 0.1227 \ \mathring A$।
ब्रेग के विवर्तन नियम के अनुसार,$2d \sin \theta = n\lambda$।
विवर्तन का अधिकतम क्रम $n_{max}$ तब प्राप्त होता है जब $\sin \theta$ अधिकतम हो,अर्थात $\sin \theta = 1$।
अतः,$n_{max} = \frac{2d}{\lambda}$।
यहाँ $d = 1.227 \ \mathring A$ दिया गया है,इसलिए $n_{max} = \frac{2 \times 1.227}{0.1227} = 20$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि हम सूत्र $d \sin \theta = n\lambda$ का उपयोग करें,तो $n = 10$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K = qV$ कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा है।
$\alpha$-कण के लिए,आवेश $q = 2e$ और द्रव्यमान $m = 4m_p \approx 4 \times 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2eV)}} = \frac{h}{\sqrt{16m_p eV}} = \frac{h}{4\sqrt{m_p eV}}$।
स्थिरांकों $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$,$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \sqrt{1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times V}} \text{ m}$।
$\mathring{A}$ में परिवर्तित करने पर $(1 \text{ m} = 10^{10} \mathring{A})$:
$\lambda \approx \frac{0.101}{\sqrt{V}} \mathring{A}$।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
$T$ तापमान पर न्यूट्रॉन के लिए गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m_n} = kT$ लेने पर,
$p = \sqrt{2m_n kT}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J\cdot s$,$m_n = 1.675 \times 10^{-27} \ kg$,और $k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}}$.
गणना करने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{4.623 \times 10^{-50} \times T}} = \frac{30.8}{\sqrt{T}} \ \mathring{A}$.
अतः,सही विकल्प $\frac{30.7}{\sqrt{T}} \ \mathring{A}$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
वेग $v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$v = \frac{h}{m_e \lambda}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,और $\lambda = 10^{-10} \ m$.
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-10}} = \frac{6.63}{9.11} \times 10^7 \approx 0.727 \times 10^7 \ m/s = 7.27 \times 10^6 \ m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $7.25 \times 10^6 \ m/s$ है।

(B) फोटॉन के लिए,उसकी ऊर्जा $E$ और तरंगदैर्घ्य $\lambda_2$ के बीच संबंध $E = \frac{hc}{\lambda_2}$ है।
अतः,$\lambda_2 = \frac{hc}{E}$ --- $(i)$
$E$ गतिज ऊर्जा वाले प्रोटॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda_1$ को $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दिया जाता है --- $(ii)$
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{E^{1/2}}{c\sqrt{2m}}$
चूंकि $c$,$m$ और $h$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(D) $V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring A$।
दी गई मान $V = 80 \ V$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{80}} \ \mathring A$।
चूंकि $\sqrt{80} \approx 8.944$,इसलिए:
$\lambda = \frac{12.27}{8.944} \approx 1.371 \ \mathring A$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\lambda \approx 1.4 \ \mathring A$ प्राप्त होता है।