Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Hindi

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $E$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
हम जानते हैं कि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक होता है,अर्थात $m_p > m_e$।
इसलिए,$\sqrt{m_p} > \sqrt{m_e}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{\sqrt{m_p}} < \frac{1}{\sqrt{m_e}}$।
अतः,प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य इलेक्ट्रॉन की तुलना में कम होती है,अर्थात $\lambda_p < \lambda_e$।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $E$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि दोनों कणों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p}}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\alpha$-कण का द्रव्यमान $(m_\alpha)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p)$ का लगभग $4$ गुना होता है,अर्थात $m_\alpha = 4m_p$।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = 2$।
इस प्रकार,अनुपात $2:1$ है।

(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$ होगा।
यहाँ $\lambda_1 = 10^{-10} \ m = 1 \ \mathring{A}$,$V_1 = 150 \ V$,और $V_2 = 600 \ V$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1 \ \mathring{A}}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{600}{150}} = \sqrt{4} = 2$.
इस प्रकार,$\lambda_2 = \frac{1}{2} \ \mathring{A} = 0.5 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p = mv$ कण का संवेग है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,वेग $v = 1 \ m/s$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{h}{1 \times 1} = h$।
अतः,गेंद की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $h$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ संवेग है।
अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{d\lambda}{dp} = -\frac{h}{p^2} = -\frac{\lambda}{p}$.
छोटे परिवर्तनों के लिए,हम लिख सकते हैं $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = -\frac{\Delta p}{p}$.
परिमाण लेने पर,हमें मिलता है $\left| \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right| = \left| \frac{\Delta p}{p} \right|$.
दिया गया है कि संवेग में परिवर्तन $\Delta p = P_o$ है और तरंगदैर्ध्य में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 0.25\% = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{P_o}{p} = \frac{1}{400}$.
अतः,प्रारंभिक संवेग $p = 400\ P_o$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(9.1 \times 10^{-31} \ kg)$ है और $v$ वेग है।
वेग के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v = \frac{h}{m\lambda}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 5200 \times 10^{-10}}$.
हर की गणना करने पर: $9.1 \times 5200 \times 10^{-41} \approx 4.732 \times 10^{-37}$.
अतः,$v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4.732 \times 10^{-37}} \approx 1.394 \times 10^3 \ m/s$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$v \approx 1.4 \times 10^3 \ m/s$.

(A) $T$ तापमान पर गैस के अणु की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$।
यहाँ $T_1 = 27^oC = (27 + 273) K = 300 K$ और $T_2 = 927^oC = (927 + 273) K = 1200 K$ दिया गया है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $\frac{\lambda}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
यहाँ वेग $v$ दोगुना $(2v)$ हो जाता है और गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ भी दोगुनी $(2E)$ हो जाती है।
यदि हम द्रव्यमान $m$ को स्थिर मानते हैं और वेग $v$ को दोगुना करते हैं,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{m(2v)} = \frac{\lambda}{2}$ होगी।
अतः,सही विकल्प $\frac{\lambda}{2}$ है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि प्रारंभिक द्रव्यमान $M$ स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
अतः,दोनों टुकड़ों को समान परिमाण के संवेग के साथ विपरीत दिशाओं में गति करनी चाहिए,यानी $p_1 = p_2 = p$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि दोनों टुकड़ों का संवेग परिमाण में समान है,इसलिए उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ और $\lambda_2 = \frac{h}{p}$ होगी।
इस प्रकार,उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h/p}{h/p} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य समान हैं,इसलिए $\frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_e v_e}$ होगा।
यह $m_p v_p = m_e v_e$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है: कण का द्रव्यमान $m_p = 1 \, mg = 10^{-6} \, kg$,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,और इलेक्ट्रॉन का वेग $v_e = 3 \times 10^6 \, m/s$ है।
मान रखने पर: $10^{-6} \, kg \times v_p = 9.1 \times 10^{-31} \, kg \times 3 \times 10^6 \, m/s$।
$v_p = \frac{27.3 \times 10^{-25}}{10^{-6}} \, m/s = 27.3 \times 10^{-19} \, m/s = 2.73 \times 10^{-18} \, m/s$।
अतः,कण का वेग $2.7 \times 10^{-18} \, m/s$ है।

(B) $V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \; nm$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$ है।
मान लीजिए $V_1 = 25 \; kV$ पर प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ है और $V_2 = 100 \; kV$ पर अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है।
अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}} = \sqrt{\frac{100 \; kV}{25 \; kV}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$।
इसका अर्थ है कि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $2$ गुना घट जाएगी।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{Bq}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $mv = RBq$।
दिए गए मान:
$R = 0.83\, cm = 0.83 \times 10^{-2}\, m$
$B = 0.25\, Wb/m^2$
$q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19}\, C$
संवेग $p = mv$ की गणना:
$mv = (0.83 \times 10^{-2}) \times (0.25) \times (2 \times 1.6 \times 10^{-19})$
$mv = 0.664 \times 10^{-21}\, kg\cdot m/s$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h = 6.6 \times 10^{-34}\, J\cdot s$:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.664 \times 10^{-21}} \approx 0.01 \times 10^{-10}\, m = 0.01\, \mathring{A}$।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{P}$ है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dP}{P}$ प्राप्त होता है।
छोटे परिवर्तनों के लिए,हम $\frac{|\Delta \lambda|}{\lambda} = \frac{\Delta P}{P}$ लिख सकते हैं।
दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य $0.5\%$ बदलती है,इसलिए $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 0.5\% = \frac{0.5}{100} = \frac{1}{200}$ है।
इस मान को संबंध में रखने पर,हमें $\frac{\Delta P}{P} = \frac{1}{200}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रारंभिक संवेग $P = 200\,\Delta P$ होगा।

(A) $E$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2 m_e E}}$ .... $(i)$
$E$ ऊर्जा वाले फोटॉन की तरंगदैर्ध्य:
$\lambda_p = \frac{hc}{E}$ या $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ .... $(ii)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\lambda_e^2 = \frac{h^2}{2 m_e E}$ या $E = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$ .... $(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ से $E$ की तुलना करने पर:
$\frac{hc}{\lambda_p} = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$
$\lambda_p$ के लिए हल करने पर:
$\lambda_p = \left( \frac{2 m_e c}{h} \right) \lambda_e^2$
चूंकि $\frac{2 m_e c}{h}$ एक स्थिरांक है,इसलिए:
$\lambda_p \propto \lambda_e^2$

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ ...... $(i)$
जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है और $K$ कण की गतिज ऊर्जा है।
जब कण की गतिज ऊर्जा को उसके प्रारंभिक मान से $16$ गुना बढ़ा दिया जाता है,तो नई गतिज ऊर्जा $K' = 16K$ हो जाती है।
नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ इस प्रकार होगी:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(16K)}} = \frac{h}{4\sqrt{2mK}} = \frac{\lambda}{4}$ (समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए)।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य में प्रतिशत परिवर्तन की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \frac{\lambda - \lambda'}{\lambda} \times 100$
$= \left(1 - \frac{\lambda'}{\lambda}\right) \times 100$
$= \left(1 - \frac{1}{4}\right) \times 100 = \frac{3}{4} \times 100 = 75\%$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ है,जहाँ $\lambda$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
दिया गया है: $\lambda = 500\, nm$,$hc = 1240\, eV\, nm$,और $\phi_0 = 2.28\, eV$.
$K_{\max} = \frac{1240\, eV\, nm}{500\, nm} - 2.28\, eV = 2.48\, eV - 2.28\, eV = 0.2\, eV$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है। चूँकि $K \le K_{\max}$,न्यूनतम तरंगदैर्ध्य अधिकतम गतिज ऊर्जा के अनुरूप होती है: $\lambda_{\min} = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$.
$h = 6.6 \times 10^{-34}\, J\, s$,$m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$,और $K_{\max} = 0.2 \times 1.6 \times 10^{-19}\, J$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_{\min} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 0.32 \times 10^{-19}}} \approx 2.8 \times 10^{-9}\, m$.
चूँकि $K \le K_{\max}$,इसलिए $\lambda_e \ge \lambda_{\min}$। अतः,$\lambda_e \ge 2.8 \times 10^{-9}\, m$।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कण के संवेग $p$ से समीकरण $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा संबंधित है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
इस समीकरण को $p \lambda = h$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $h$ एक नियतांक है, इसलिए $p$ और $\lambda$ का गुणनफल स्थिर रहता है $(p \lambda = \text{constant})$।
यह संबंध $p-\lambda$ तल में एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है, जहाँ $\lambda$ के बढ़ने पर $p$ घटता है।
अतः, चित्र $D$ में दिखाया गया ग्राफ इस व्युत्क्रमानुपाती संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) $E$ ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{e} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
$E$ ऊर्जा वाले फोटॉन के लिए,संबंध $E = \frac{hc}{\lambda_{p}}$ है,जिसका अर्थ है $\lambda_{p} = \frac{hc}{E}$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \times \frac{E^{1}}{\sqrt{E}} \times \frac{1}{\sqrt{2m}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}} = \frac{1}{C}(\frac{E}{2m})^{1/2}$।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ होने के कारण,$p = \sqrt{2mE}$ होता है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
दिया है: $m = 1.7 \times 10^{-27} \; kg$,$E = 3 \; eV = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J$,और $h = 6.6 \times 10^{-34} \; J \cdot s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.7 \times 10^{-27} \times 3 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{16.32 \times 10^{-46}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4.04 \times 10^{-23}}$
$\lambda \approx 1.633 \times 10^{-11} \; m$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$\lambda = 1.65 \times 10^{-11} \; m$ प्राप्त होता है।

(C) $T$ तापमान पर तापीय संतुलन में एक न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$,समविभाजन प्रमेय के अनुसार इस प्रकार दी जाती है:
$K = \frac{3}{2} k_B T$ ..... $(i)$
संवेग $p$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच का संबंध $p = \sqrt{2mK}$ है।
समीकरण $(i)$ से $K$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$p = \sqrt{2m \cdot \frac{3}{2} k_B T} = \sqrt{3mk_B T}$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$

(A) विद्युत क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F} = q\vec{E} = (-e)(-E_0 \hat{i}) = eE_0 \hat{i}$ है।
इलेक्ट्रॉन में उत्पन्न त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{eE_0}{m} \hat{i}$ है।
$t$ समय पर इलेक्ट्रॉन का वेग $\vec{v}_t = \vec{v} + \vec{a}t = \left(V_0 + \frac{eE_0}{m}t\right) \hat{i}$ द्वारा दिया जाता है।
वेग का परिमाण $v_t = V_0 + \frac{eE_0}{m}t = V_0 \left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)$ है।
$t$ समय पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_t = \frac{h}{mv_t}$ है।
$v_t$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda_t = \frac{h}{m V_0 \left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)}$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{h}{mV_0}$ है,इसलिए $\lambda_t = \frac{\lambda_0}{\left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)}$ होगा।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए $V$ विभवांतर के तहत डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $e$ मूल आवेश है।
चूंकि $h$,$e$ और $V$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
हम जानते हैं कि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p)$ से बहुत कम होता है,अर्थात $m_e < m_p$।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{m_e}} > \frac{1}{\sqrt{m_p}}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_e > \lambda_p$।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,और $v$ इसकी चाल है।
जब एक इलेक्ट्रॉन एकसमान विद्युत क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो उस पर विद्युत बल $F = qE$ कार्य करता है,जो क्षेत्र की दिशा के आधार पर इलेक्ट्रॉन को त्वरित या मंदित कर सकता है। इस प्रकार,चाल $v_1$ बदल जाती है,जिससे $\lambda_1$ बदल जाती है।
जब एक इलेक्ट्रॉन एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ वेग के लंबवत कार्य करता है। यह बल गति की दिशा को बदलता है लेकिन चाल के परिमाण को नहीं बदलता है। इस प्रकार,चाल $v_2$ स्थिर रहती है और $\lambda_2$ स्थिर रहती है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र में चाल $v_1$ प्रारंभिक चाल के सापेक्ष बढ़ या घट सकती है,इसलिए $\lambda_1$,$\lambda_2$ से छोटी या बड़ी हो सकती है।

(A) इलेक्ट्रॉन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 100 \, eV$ है।
जब इसे $V = 50 \, V$ के विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन $K' = eV = 50 \, eV$ के बराबर अतिरिक्त गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है।
इलेक्ट्रॉन की कुल गतिज ऊर्जा $K_f = K_i + K' = 100 \, eV + 50 \, eV = 150 \, eV$ हो जाती है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
शॉर्टकट सूत्र $\lambda (\text{in } \mathring{A}) = \sqrt{\frac{150}{K (\text{in } eV)}}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = \sqrt{\frac{150}{150}} = \sqrt{1} = 1 \, \mathring{A}$।

(B) दिया गया है: $A$ का द्रव्यमान $= m$,$B$ का द्रव्यमान $= \frac{m}{2}$. $A$ का प्रारंभिक वेग $= v$,$B$ का प्रारंभिक वेग $= 0$.
माना टक्कर के बाद $A$ और $B$ के अंतिम वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = mv_1 + (\frac{m}{2})v_2 \implies v = v_1 + \frac{v_2}{2} \implies 2v = 2v_1 + v_2$ ... $(i)$.
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$,इसलिए $v_2 - v_1 = v - 0 \implies v_2 = v + v_1$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $2v = 2v_1 + (v + v_1) \implies v = 3v_1 \implies v_1 = \frac{v}{3}$.
अतः $v_2 = v + \frac{v}{3} = \frac{4v}{3}$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
अनुपात $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{p_B}{p_A} = \frac{m_B v_2}{m_A v_1} = \frac{(\frac{m}{2}) \times (\frac{4v}{3})}{m \times (\frac{v}{3})} = \frac{\frac{2mv}{3}}{\frac{mv}{3}} = 2$.

(C) प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{h}{m_0v_0}$ है।
जब तरंगदैर्ध्य आधी हो जाती है,तो $\lambda = \frac{\lambda_0}{2} = \frac{h}{2m_0v_0}$ होता है।
चूंकि $\lambda = \frac{h}{p}$,इसलिए अंतिम संवेग $p = 2m_0v_0$ होना चाहिए।
मान लीजिए $t$ समय पर वेग $v$ है। तब $mv = 2m_0v_0$,अर्थात $v = 2v_0$।
वेग के घटक $v_y = v_0$ (स्थिर) और $v_x = a_x t = \frac{q_0E_0}{m_0}t$ हैं।
वेग का परिमाण $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = v_x^2 + v_y^2 \Rightarrow (2v_0)^2 = v_x^2 + v_0^2$।
$4v_0^2 = v_x^2 + v_0^2 \Rightarrow v_x^2 = 3v_0^2 \Rightarrow v_x = \sqrt{3}v_0$।
$v_x = \frac{q_0E_0}{m_0}t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{q_0E_0}{m_0}t = \sqrt{3}v_0$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \sqrt{3} \frac{m_0v_0}{q_0E_0}$।

(B) $V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दी जाती है।
परमाणु क्रमांक $Z$ वाले हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए लाइमन श्रेणी की पहली रेखा की तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ होती है।
$He^+$ के लिए,$Z = 2$ है। लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ है।
$\frac{1}{\lambda} = R (2)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 4R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 4R \left( \frac{3}{4} \right) = 3R$ है।
दोनों तरंगदैर्ध्यों की तुलना करने पर: $\frac{h}{\sqrt{2meV}} = \frac{1}{3R}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{h^2}{2meV} = \frac{1}{9R^2}$।
$V$ के लिए हल करने पर: $V = \frac{9R^2 h^2}{2me}$।

(A) $V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{k}{\sqrt{V}}$ है और नई तरंगदैर्ध्य $\lambda^{\prime} = \frac{k}{\sqrt{4V}}$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda} = \frac{\sqrt{V}}{\sqrt{4V}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{2}$.
इसे दिए गए समीकरण $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $(i)$: इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के विपरीत दिशा में गति कर रहा है। चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित होता है, इसलिए यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में बल का अनुभव करता है, जो इसे त्वरित करता है। जैसे-जैसे वेग $v$ बढ़ता है, डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घटती है।
स्थिति $(ii)$: इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति कर रहा है। चुंबकीय बल वेग के लंबवत कार्य करता है, जो गति की दिशा को बदलता है लेकिन वेग $v$ के परिमाण को नहीं बदलता है। चूंकि चाल $v$ स्थिर रहती है, इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ समान रहती है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में $0.50\%$ का परिवर्तन होता है,इसलिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda - \frac{0.5}{100} \lambda = 0.995 \lambda = \frac{199}{200} \lambda$ होगी।
चूंकि $\lambda = \frac{h}{p},$ नया संवेग $p' = p + \Delta p$ होगा।
अतः,$\lambda' = \frac{h}{p + \Delta p}.$
$\lambda'$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{h}{p + \Delta p} = \frac{199}{200} \left( \frac{h}{p} \right).$
$\Rightarrow \frac{1}{p + \Delta p} = \frac{199}{200p}.$
$\Rightarrow 200p = 199(p + \Delta p).$
$\Rightarrow 200p = 199p + 199 \Delta p.$
$\Rightarrow p = 199 \Delta p.$

(B) मान लीजिए कि दोनों कणों का द्रव्यमान $m$ है और उनकी गति $v$ है। डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $mv = \frac{h}{\lambda}$।
द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ फ्रेम में,कण $1$ का वेग $\vec{v}_{1cm} = \vec{v}_1 - \vec{v}_{cm}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm} = \frac{m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2}{2m} = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}$ है।
अतः,$\vec{v}_{1cm} = \vec{v}_1 - \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2} = \frac{\vec{v}_1 - \vec{v}_2}{2}$।
सापेक्ष वेग का परिमाण $|\vec{v}_{1cm}| = \frac{1}{2} |\vec{v}_1 - \vec{v}_2|$ है।
$60^o$ के कोण पर समान परिमाण $v$ वाले दो सदिशों के घटाव के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$|\vec{v}_1 - \vec{v}_2| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos(60^o)} = \sqrt{2v^2 - 2v^2(0.5)} = \sqrt{v^2} = v$।
इसलिए,$|\vec{v}_{1cm}| = \frac{v}{2}$।
नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{m|\vec{v}_{1cm}|} = \frac{h}{m(v/2)} = 2 \frac{h}{mv} = 2\lambda$ होगी।

(D) चूंकि न्यूट्रॉन धीरे-धीरे गति कर रहा है,इसलिए निकाय का प्रारंभिक संवेग $P_i \approx 0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए $(P_f = 0)$।
मान लीजिए कि उत्पन्न दो नाभिकों के संवेग $P_1$ और $P_2$ हैं। कुल संवेग शून्य होने के कारण,$P_1 + P_2 = 0$,जिसका अर्थ है $P_1 = -P_2$।
परिमाण के संदर्भ में,$|P_1| = |P_2| = P$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ संवेग है।
चूंकि दोनों नाभिकों का संवेग परिमाण में समान $P$ है,इसलिए उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{P}$ और $\lambda_2 = \frac{h}{P}$ होगी।
अतः,$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$।

(C) इलेक्ट्रॉन की प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{h}{mv_0}$ है।
विद्युत क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन पर बल $\vec{F} = -e\vec{E} = -eE_0 \hat{j}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = -\frac{eE_0}{m} \hat{j}$ है।
प्रारंभिक वेग $\vec{v}_0 = v_0 \hat{i}$ है।
समय $t$ पर वेग $\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{a}t = v_0 \hat{i} - \frac{eE_0 t}{m} \hat{j}$ होगा।
समय $t$ पर वेग का परिमाण $v = \sqrt{v_0^2 + (\frac{eE_0 t}{m})^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ है।
समय $t$ पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ है।
$\lambda_0 = \frac{h}{mv_0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ प्राप्त होता है।

(D) कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = E$ है।
प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK_i}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
जब कण $V$ स्थितिज ऊर्जा वाले क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो उसकी कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। नई गतिज ऊर्जा $K_f = E - V$ होती है।
नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mK_f}} = \frac{h}{\sqrt{2m(E - V)}}$ है।
इसे हम $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mE(1 - \frac{V}{E})}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{V}{E}}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda' = \lambda \left( 1 - \frac{V}{E} \right)^{-\frac{1}{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
$L$ लंबाई के बॉक्स में पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर करने वाले कण के लिए,अप्रगामी तरंग की स्थिति के अनुसार लंबाई $L$ को अर्ध-तरंगदैर्ध्य का पूर्णांक गुणज होना चाहिए: $L = \frac{n\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,$\lambda = \frac{2L}{n}$ प्राप्त होता है।
इस मान को डी-ब्रोग्ली संबंध में रखने पर: $p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{(2L/n)} = \frac{nh}{2L}$.

(B) निकल के कणों में विवर्तन (diffraction) होने के लिए शर्त $2d \sin \theta = n \lambda$ है।
चूंकि $\sin \theta \le 1$,विवर्तित हो सकने वाली अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\max} = 2d$ ($n=1$ के लिए) है।
जिन इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्ध्य $\lambda > 2d$ होती है,वे निकल के कणों द्वारा विवर्तित नहीं होंगे और पाइप से सीधे गुजर जाएंगे।
डी-ब्रोग्ली संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ का उपयोग करते हुए,$\lambda > 2d$ शर्त का अर्थ है $\frac{h}{p} > 2d$,या $p < \frac{h}{2d}$।
इन इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ है।
$p$ के लिए असमिका को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E < \frac{(\frac{h}{2d})^2}{2m} = \frac{h^2}{8md^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,पाइप से गुजरने वाले इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा $\frac{h^2}{8md^2}$ से कम होती है।

(B) दिया गया है कि कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य फोटॉन की तरंगदैर्ध्य के बराबर है: $\lambda_p = \lambda_{ph} = \lambda$.
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E_{ph} = \frac{hc}{\lambda}$ है।
कण के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जिसका अर्थ है $h = \lambda mv$.
कण की गतिज ऊर्जा $K_p = \frac{1}{2}mv^2$ है।
फोटॉन की ऊर्जा के समीकरण में $h$ का मान रखने पर: $E_{ph} = \frac{(\lambda mv)c}{\lambda} = mvc$.
कण की गतिज ऊर्जा और फोटॉन की ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{K_p}{E_{ph}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mvc} = \frac{v}{2c}$.
यहाँ $v = 2.25 \times 10^8\, m/s$ और $c = 3 \times 10^8\, m/s$ दिया गया है:
अनुपात $= \frac{2.25 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{2.25}{6} = \frac{225}{600} = \frac{3}{8}$.

(B) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित एक आवेशित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
यहाँ $V_1 = 150 \ V$ पर $\lambda_1 = 10^{-10} \ m = 1 \ \mathring{A}$ दिया गया है।
हमें $V_2 = 600 \ V$ पर $\lambda_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{600}{150}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{1}{2} = 0.5 \ \mathring{A}$।

(C) $V_0$ विभवांतर द्वारा त्वरित आवेशित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV_0}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $h$ और $V_0$ दोनों कणों के लिए स्थिर हैं,इसलिए तरंगदैर्घ्य द्रव्यमान और आवेश के गुणनफल के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$.
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। $\alpha$-कण के लिए,$m_{\alpha} = 4m$ और $q_{\alpha} = 2e$ है।
तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha}q_{\alpha}}{m_pq_p}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
अतः,अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।

(C) उच्चतम बिंदु पर,$M$ द्रव्यमान वाले बम का वेग क्षैतिज दिशा में $v = u \cos \theta$ है। संवेग $P = M u \cos \theta$ है।
विस्फोट के बाद,बम $m = M/2$ द्रव्यमान के दो टुकड़ों में विभाजित हो जाता है। मान लीजिए कि पहले टुकड़े का वेग (जो प्रक्षेपण बिंदु पर वापस आता है) $v_1$ है और दूसरे टुकड़े का वेग $v_2$ है।
चूंकि पहला टुकड़ा प्रक्षेपण बिंदु पर वापस आता है,इसलिए इसका क्षैतिज वेग $-u \cos \theta$ होना चाहिए (क्योंकि यह समान समय में वापस उतनी ही क्षैतिज दूरी तय करता है)।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$M u \cos \theta = (M/2)(-u \cos \theta) + (M/2) v_2$
$u \cos \theta = -0.5 u \cos \theta + 0.5 v_2$
$1.5 u \cos \theta = 0.5 v_2 \implies v_2 = 3 u \cos \theta$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
विस्फोट से पहले बम के लिए: $\lambda_{bomb} = \frac{h}{M u \cos \theta}$.
विस्फोट के ठीक बाद दूसरे टुकड़े के लिए: $\lambda_2 = \frac{h}{(M/2) v_2} = \frac{h}{(M/2) (3 u \cos \theta)} = \frac{2h}{3 M u \cos \theta}$.
दूसरे टुकड़े की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य और बम की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_{bomb}} = \frac{\frac{2h}{3 M u \cos \theta}}{\frac{h}{M u \cos \theta}} = \frac{2}{3}$.

(C) $K$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $K = 1.5 \ eV = 1.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ दिया गया है।
सूत्र $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $V$ वोल्ट में त्वरित विभव है। चूँकि $K = eV$,इसलिए $V = 1.5 \ V$ है।
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{1.5}} \ \mathring{A} \approx \frac{12.27}{1.225} \ \mathring{A} \approx 10 \ \mathring{A}$।
मीटर में बदलने पर: $\lambda = 10 \times 10^{-10} \ m = 10^{-9} \ m$।

(A) $V$ वोल्ट ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \sqrt{\frac{150}{V}} \, \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई ऊर्जा $E = 10 \, KeV = 10^4 \, eV$ है,इसलिए $V = 10^4 \, V$.
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{10^4}} \, \mathring{A} = \frac{12.27}{100} \, \mathring{A} = 0.1227 \, \mathring{A}$.
विवर्तन के लिए ब्रैग के नियम के अनुसार,$n \lambda = d \sin \phi$,जहाँ $d = 0.2454 \, \mathring{A}$ और प्रथम कोटि के लिए $n = 1$ लेने पर।
$0.1227 = 0.2454 \sin \phi$.
$\sin \phi = \frac{0.1227}{0.2454} = 0.5$.
$\phi = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$.

(B) प्रोटॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = pc$ है,इसलिए संवेग $p = \frac{E}{c}$ होता है। डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{p} = \frac{hc}{E}$ होती है।
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c\sqrt{2m}} \times \frac{E}{E^{1/2}} = \frac{1}{c\sqrt{2m}} \times E^{1/2}$.
अतः,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^{1/2}$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ है और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
यदि गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है,तो नई गतिज ऊर्जा $K_2 = 2K$ होगी।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m(2K)}} = \frac{h}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2mK}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$ होगी।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के कारक से बदल जाती है।

(B) कण की कुल ऊर्जा $E = 2E_0$ दी गई है।
क्षेत्र $0 \le x \le 1$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U(x) = E_0$ है। गतिज ऊर्जा $K_1 = E - U = 2E_0 - E_0 = E_0$ होगी।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mK_1}} = \frac{h}{\sqrt{2mE_0}}$ है।
क्षेत्र $x > 1$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U(x) = 0$ है। गतिज ऊर्जा $K_2 = E - U = 2E_0 - 0 = 2E_0$ होगी।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2mK_2}} = \frac{h}{\sqrt{2m(2E_0)}} = \frac{h}{\sqrt{4mE_0}}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2mE_0}}}{\frac{h}{\sqrt{4mE_0}}} = \sqrt{\frac{4mE_0}{2mE_0}} = \sqrt{2}$।
अतः,$(\lambda_1/\lambda_2)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$।