Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(C) माना सदिश $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{v} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b} = (2\lambda + \mu) \hat{i} + (\lambda + \mu) \hat{j} + (\lambda + \mu) \hat{k}$ के रूप में होगा।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{c} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$ होगा।
$3(2\lambda + \mu) + 2(\lambda + \mu) + 6(\lambda + \mu) = 0$.
$14\lambda + 11\mu = 0$.
यदि $\lambda = 11$ लें,तो $\mu = -14$ प्राप्त होता है।
अतः $\vec{v} = 8 \hat{i} - 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$ प्राप्त होता है।
इकाई सदिश $\pm \frac{8 \hat{i} - 3 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{82}}$ होगा।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $C$ है।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ ज्ञात करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -4 \\ 6 & 5 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - (-20)) - \hat{j}(-6 - (-24)) + \hat{k}(15 - 6) = 18 \hat{i} - 18 \hat{j} + 9 \hat{k}$
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{18^2 + (-18)^2 + 9^2} = \sqrt{324 + 324 + 81} = \sqrt{729} = 27$
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{18 \hat{i} - 18 \hat{j} + 9 \hat{k}}{27} = \frac{2}{3} \hat{i} - \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k}$ है।
$3$ इकाई परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $\pm 3 \left( \frac{2}{3} \hat{i} - \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} \right) = \pm(2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$ है।

(C) माना $\vec{a} = 4 i - j + 3 k$ और $\vec{b} = -2 i + j - 2 k$ है। $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = i(2-3) - j(-8+6) + k(4-2) = -i + 2j + 2k$.
$\vec{n}$ का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{-i + 2j + 2k}{3}$ है।
$9$ परिमाण वाला आवश्यक सदिश $\pm 9 \hat{n} = \pm 9 \left( \frac{-i + 2j + 2k}{3} \right) = \pm 3(-i + 2j + 2k) = \pm (-3i + 6j + 6k)$ है।
अतः,अभीष्ट सदिश $-3i + 6j + 6k$ या $3i - 6j - 6k$ हैं।

(D) दिया गया है कि $\bar{c} = (2 \bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}$ है।
$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणनफल (dot product) के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{|\bar{b}| |\bar{c}|}$।
सबसे पहले,$\bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{b} \cdot (2 \bar{a} \times \bar{b} - 3 \bar{b}) = 2 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) - 3 |\bar{b}|^2$ की गणना करें।
चूंकि $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$ (क्योंकि क्रॉस गुणनफल दोनों सदिशों के लंबवत होता है),इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0 - 3(4)^2 = -48$ है।
अगला,$|\bar{c}|^2 = |2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}|^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9|\bar{b}|^2 - 12 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9(16) - 0$ की गणना करें।
हम जानते हैं कि $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$ है।
अतः,$|\bar{c}|^2 = 4(12) + 144 = 48 + 144 = 192$,जिसका अर्थ है $|\bar{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$ है।
अब,$\cos \theta = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
इस प्रकार,$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$।

(B) चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ और $\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,सदिश $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ दोनों के लंबवत है।
इसलिए,$\bar{a}$ को सदिश गुणनफल $\bar{b} \times \bar{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $\bar{a} = k(\bar{b} \times \bar{c})$ किसी अदिश $k$ के लिए।
चूंकि $\bar{a}$ एक इकाई सदिश है,$|\bar{a}| = 1$,इसलिए $|k| |\bar{b} \times \bar{c}| = 1$.
परिमाण $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$|k| \cdot \frac{1}{2} = 1$,जिसका अर्थ है $|k| = 2$,इसलिए $k = \pm 2$.
अतः,$\bar{a} = \pm 2(\bar{b} \times \bar{c})$.

(B) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{d_1} = 2\bar{a} - \bar{b}$ और $\vec{d_2} = 4\bar{a} - 5\bar{b}$ दिया गया है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (2\bar{a} - \bar{b}) \times (4\bar{a} - 5\bar{b})$
$= 2\bar{a} \times 4\bar{a} - 2\bar{a} \times 5\bar{b} - \bar{b} \times 4\bar{a} + \bar{b} \times 5\bar{b}$
चूँकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,यह सरल होकर हो जाता है:
$= -10(\bar{a} \times \bar{b}) - 4(\bar{b} \times \bar{a})$
चूँकि $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,हमारे पास है:
$= -10(\bar{a} \times \bar{b}) + 4(\bar{a} \times \bar{b}) = -6(\bar{a} \times \bar{b})$.
इसका परिमाण $|-6(\bar{a} \times \bar{b})| = 6 |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(45^{\circ})$ है।
दिया गया है $|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 1$,और $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = 6 \times 1 \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
अतः,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ वर्ग इकाई।

(A) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\vec{d_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \alpha\hat{k}$।
सबसे पहले,सदिश गुणन $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & \alpha \end{vmatrix} = \hat{i}(-\alpha - 6) - \hat{j}(\alpha - 4) + \hat{k}(3 - (-2)) = -(\alpha + 6)\hat{i} - (\alpha - 4)\hat{j} + 5\hat{k}$।
इसका परिमाण $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-(\alpha + 6))^2 + (-(\alpha - 4))^2 + 5^2} = \sqrt{(\alpha^2 + 12\alpha + 36) + (\alpha^2 - 8\alpha + 16) + 25} = \sqrt{2\alpha^2 + 4\alpha + 77}$ है।
क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{2\alpha^2 + 4\alpha + 77} = \frac{\sqrt{93}}{2}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2\alpha^2 + 4\alpha + 77 = 93 \implies 2\alpha^2 + 4\alpha - 16 = 0 \implies \alpha^2 + 2\alpha - 8 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(\alpha + 4)(\alpha - 2) = 0$।
अतः,$\alpha = -4$ या $\alpha = 2$।

(C) चूंकि $\bar{d}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\bar{d}$ को $\bar{b} \times \bar{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
सबसे पहले,$\bar{b} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6+8) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(4-2) = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ की गणना करें।
मान लीजिए $\bar{d} = k(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$ है।
दिया गया है $\bar{a} \cdot \bar{d} = 18$,तो $(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot k(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) = 18$ है।
$k(4 - 3 + 8) = 18 \implies 9k = 18 \implies k = 2$ है।
अतः,$\bar{d} = 4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
अब,$\bar{a} \times \bar{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12+8) - \hat{j}(8-16) + \hat{k}(-4-12) = 20 \hat{i} + 8 \hat{j} - 16 \hat{k}$ की गणना करें।
अंत में,$|\bar{a} \times \bar{d}|^2 = 20^2 + 8^2 + (-16)^2 = 400 + 64 + 256 = 720$ है।

(D) दिया गया है $\bar{p} \times \bar{b} = \bar{c} \times \bar{b}$,जिसे हम $\bar{p} \times \bar{b} - \bar{c} \times \bar{b} = 0$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $(\bar{p} - \bar{c}) \times \bar{b} = 0$।
इसका मतलब है कि $(\bar{p} - \bar{c})$ सदिश $\bar{b}$ के समांतर है,इसलिए किसी अदिश $t$ के लिए $\bar{p} - \bar{c} = t\bar{b}$ होगा।
अतः,$\bar{p} = \bar{c} + t\bar{b} = (3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + t(2\hat{i}-\hat{k}) = (3+2t)\hat{i} - \hat{j} + (1-t)\hat{k}$।
दिया गया है $\bar{p} \cdot \bar{a} = 0$,जहाँ $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j}$,इसलिए $((3+2t)\hat{i} - \hat{j} + (1-t)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 0$।
$(3+2t)(1) + (-1)(1) + (1-t)(0) = 0$।
$3 + 2t - 1 = 0 \implies 2t + 2 = 0 \implies t = -1$।
$\bar{p}$ के व्यंजक में $t = -1$ रखने पर:
$\bar{p} = (3 + 2(-1))\hat{i} - \hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = (3-2)\hat{i} - \hat{j} + (1+1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$ हैं।
यदि $A$ को मूल बिंदु के रूप में चुना जाता है,तो $B$ और $C$ के नए स्थिति सदिश $\vec{B'} = \vec{b} - \vec{a}$ और $\vec{C'} = \vec{c} - \vec{a}$ होंगे।
$\vec{B'} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = 0\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{C'} = (2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
सदिश गुणनफल $\vec{B'} \times \vec{C'}$ सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{B'} \times \vec{C'} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$.
$= \hat{i}((-1)(3) - (2)(1)) - \hat{j}((0)(3) - (2)(1)) + \hat{k}((0)(1) - (-1)(1))$.
$= \hat{i}(-3 - 2) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 + 1)$.
$= -5\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.

(A) चतुष्फलक के दो फलकों के बीच का कोण उनके अभिलंब सदिशों के बीच का कोण होता है।
सबसे पहले,फलक $OAB$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ ज्ञात करें। $\vec{n_1} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(1-4) = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
इसके बाद,फलक $ABC$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$ ज्ञात करें। $\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC}$.
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (-1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+2) - \hat{j}(1+4) + \hat{k}(-1-2) = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
फलकों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 5 + 5 + 9 = 19$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$.
$\cos \theta = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(A) माना $\bar{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया है $\bar{a} \cdot \bar{c} = 3$,अतः $x + y + z = 3$ (समीकरण $1$)।
दिया है $\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y)\hat{i} - (z-x)\hat{j} + (y-x)\hat{k}$।
इसे $\bar{b} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ के बराबर रखने पर:
$z - y = 0 \implies z = y$
$-(z - x) = 1 \implies x - z = 1 \implies x = z + 1$
$y - x = -1$
$z = y$ और $x = z + 1$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$(z + 1) + z + z = 3 \implies 3z + 1 = 3 \implies 3z = 2 \implies z = \frac{2}{3}$।
अतः $y = \frac{2}{3}$ और $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$।
इस प्रकार,$\bar{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$।
सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\bar{c} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$।
हमें $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का $\bar{c}$ के साथ अदिश गुणन करने पर,$\bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = \bar{c} \cdot \bar{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$,इसलिए $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ होना चाहिए।
$\bar{c} \cdot \bar{a} = (5)(1) + (-3)(1) + (2)(-1) = 5 - 3 - 2 = 0$ है।
शर्त संतुष्ट होती है,इसलिए $\bar{b}$ का अस्तित्व है।
न्यूनतम परिमाण वाला सदिश $\bar{b} = \frac{\bar{c} \times \bar{a}}{|\bar{c}|^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\bar{c} \times \bar{a} = \hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$ है।
$|\bar{c}|^2 = 38$ है।
अतः $\bar{b} = \frac{1}{38}(\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k})$ है।
$|\bar{b}| = \frac{\sqrt{114}}{38}$ है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी मेल नहीं खाता है,इसलिए उत्तर $D$ है।

(D) $\bar{a}$ का $\bar{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{a} \cdot \bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{10}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\bar{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ और $\bar{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$.
$|\bar{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \implies \alpha + 8 = 10 \implies \alpha = 2$.
अब,$\bar{b} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & \beta \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 2\beta) - \hat{j}(-6 - \beta) + \hat{k}(6 + 1) = (2 - 2\beta) \hat{i} + (6 + \beta) \hat{j} + 7 \hat{k}$.
दिया गया है $\bar{b} \times \bar{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर,$2 - 2\beta = -6 \implies -2\beta = -8 \implies \beta = 4$.
इसलिए,$\alpha + \beta = 2 + 4 = 6$.

(A) दिया गया है $\bar{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$,इसलिए $|\bar{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9$,अतः $|\bar{a}| = 3$.
दिया गया है $|\bar{c} - \bar{a}| = 2\sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,मान लीजिए $|\bar{c}| = x$ है। तब $x^2 + 9 - 2x = 8$,जिसे सरल करने पर $x^2 - 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $(x-1)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $|\bar{c}| = 1$.
अब,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-2) - \hat{j}(1+2) + \hat{k}(-1-2) = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
अतः,$|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$\bar{a} \times \bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
हमें $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(60^{\circ})$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $(3\sqrt{2}) \times (1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.

(C) शीर्ष $A(1, -1, 2)$,$B(2, 1, -1)$,और $C(3, -1, 2)$ हैं।
स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -6\hat{j} - 4\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया है $\overline{A} \times \overline{X} = \overline{B}$.
दोनों पक्षों में $\overline{A}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$\overline{A} \times (\overline{A} \times \overline{X}) = \overline{A} \times \overline{B}$.
सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ का उपयोग करने पर:
$(\overline{A} \cdot \overline{X}) \overline{A} - (\overline{A} \cdot \overline{A}) \overline{X} = \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{A} \cdot \overline{X} = C$ और $\overline{A} \cdot \overline{A} = |\overline{A}|^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$C \overline{A} - |\overline{A}|^2 \overline{X} = \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{X}$ के लिए हल करने पर:
$|\overline{A}|^2 \overline{X} = C \overline{A} - \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{X} = \frac{C \overline{A} - \overline{A} \times \overline{B}}{|\overline{A}|^2}$.

(C) आसन्न भुजाओं $\bar{a}$ और $\bar{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\bar{a} \times \bar{b}| = 15$ है।
नए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ $(3 \bar{a} + 2 \bar{b})$ और $(\bar{a} + 3 \bar{b})$ हैं,उनके सदिश गुणनफल के परिमाण द्वारा दिया जाता है:
$|(3 \bar{a} + 2 \bar{b}) \times (\bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 9(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 6(\bar{b} \times \bar{b})|$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,इसलिए:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})| = 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
$= 7 \times 15 = 105$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया है,$\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\overline{a} \times \overline{b}=\hat{j}-\hat{k}$।
साथ ही,$\overline{a} \cdot \overline{b}=1$।
मान लीजिए $\overline{b}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$।
हम जानते हैं कि $\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y)\hat{i} - (z-x)\hat{j} + (y-x)\hat{k}$।
इसे $\hat{j}-\hat{k}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$z-y=0 \implies z=y$ $(i)$
$-(z-x)=1 \implies x-z=1$ $(ii)$
$y-x=-1$ $(iii)$
डॉट प्रोडक्ट से,$\overline{a} \cdot \overline{b} = x+y+z=1$ $(iv)$।
$z=y$ और $x=z+1$ को $(iv)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(z+1) + z + z = 1 \implies 3z = 0 \implies z=0$।
अतः,$y=0$ और $x=0+1=1$।
इसलिए,$\overline{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$।

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ की गणना करें:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ ...$(i)$.
दिया गया है कि $|\overline{c} - \overline{a}| = 2 \sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{c} \cdot \overline{a}) = 8$ प्राप्त होता है।
यहाँ $|\overline{a}| = 3$ है,इसलिए $|\overline{a}|^2 = 9$ है।
शर्त $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ का उपयोग करने पर,$|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0$ अर्थात $(|\overline{c}| - 1)^2 = 0$ हो जाता है,इसलिए $|\overline{c}| = 1$ ...$(ii)$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(60^{\circ})$ है।
मान रखने पर: $(3)(1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

(B) दिया गया है: $\bar{a} = \hat{j} - \hat{k}$ और $\bar{c} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
माना $\bar{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
$\bar{a} \times \bar{b} + \bar{c} = \vec{0}$ से,$\bar{a} \times \bar{b} = -\bar{c} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\bar{a} \times \bar{b}$ की गणना करने पर:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (y + z)\hat{i} - z\hat{j} - x\hat{k}$.
तुलना करने पर: $y + z = -1$,$-z = 1 \Rightarrow z = -1$,$-x = 1 \Rightarrow x = -1$.
$z = -1$ रखने पर,$y - 1 = -1 \Rightarrow y = 0$.
अब,$\bar{a} \cdot \bar{b} = 3$ की जाँच करने पर:
$\bar{a} \cdot \bar{b} = y - z = 0 - (-1) = 1$.
यहाँ $1 \neq 3$ है,अतः प्रश्न में दी गई शर्तें परस्पर विरोधी हैं।

(C) मान लीजिए कि अभीष्ट सदिश $\vec{r}$ है। चूंकि $\vec{r}$,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए यह $\vec{a} \times \vec{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 6) - \hat{j}(2 + 3) + \hat{k}(-4 - 1) = -5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k} = -5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{|-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|} = \pm \frac{-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{5\sqrt{3}} = \mp \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
$6$ परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $\vec{r} = 6 \times \hat{n} = \pm \frac{6}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \pm 2\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही सदिश $2\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।

(B) $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(1-0) + \hat{k}(1-0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
इस सदिश का परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
$\overline{a}$ और $\overline{b}$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\overline{a} \times \overline{b}}{|\overline{a} \times \overline{b}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,ऐसे कुल दो इकाई सदिश हैं।

(D) दिया गया है कि $\bar{u} \cdot \hat{n}=0$ और $\bar{v} \cdot \hat{n}=0$ है।
इसका अर्थ है कि इकाई सदिश $\hat{n}$,$\bar{u}$ और $\bar{v}$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$\hat{n}$ सदिश गुणनफल $\bar{u} \times \bar{v}$ के समानांतर है।
इस प्रकार,$\hat{n} = \pm \frac{\bar{u} \times \bar{v}}{|\bar{u} \times \bar{v}|}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल की गणना करें:
$\bar{u} \times \bar{v} = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{i}-\hat{j}) = \hat{i} \times \hat{i} - \hat{i} \times \hat{j} + \hat{j} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{j} = 0 - \hat{k} - \hat{k} - 0 = -2\hat{k}$।
इसका परिमाण $|\bar{u} \times \bar{v}| = |-2\hat{k}| = 2$ है।
अतः,$\hat{n} = \pm \frac{-2\hat{k}}{2} = \pm \hat{k}$ है।
अब,$|\bar{w} \cdot \hat{n}|$ की गणना करें:
$|\bar{w} \cdot \hat{n}| = |(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) \cdot (\pm \hat{k})| = |\pm 3| = 3$।

(B) दिया गया है: $|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=4$ और $\bar{a} \cdot \bar{b}=2$।
हम जानते हैं कि $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2$।
$|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$।
दिया है $\bar{c} = 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3\bar{b}$।
चूंकि $(\bar{a} \times \bar{b}) \perp \bar{b}$,सदिश $2(\bar{a} \times \bar{b})$ और $-3\bar{b}$ लंबवत हैं।
$|\bar{c}|^2 = |2(\bar{a} \times \bar{b})|^2 + |-3\bar{b}|^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9|\bar{b}|^2$।
$|\bar{c}|^2 = 4(12) + 9(16) = 48 + 144 = 192$।
$|\bar{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$।
अब,$\bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{b} \cdot (2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3\bar{b}) = 2(\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b})) - 3(\bar{b} \cdot \bar{b})$।
चूंकि $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = -3|\bar{b}|^2 = -3(16) = -48$।
माना $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
$\cos \theta = \frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{|\bar{b}| |\bar{c}|} = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$।

(B) दिया गया है कि $\bar{a} \times \bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट के परिमाण की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(\frac{\pi}{4})$. ... $(i)$
सबसे पहले,$\bar{a} \times \bar{b}$ की गणना करें:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ है।
दिया गया है कि $|\bar{c} - \bar{a}| = 2\sqrt{2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
चूंकि $|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ और $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,इसलिए:
$|\bar{c}|^2 + 3^2 - 2|\bar{c}| = 8$.
$|\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 9 = 8 \implies |\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 1 = 0$.
$(|\bar{c}| - 1)^2 = 0 \implies |\bar{c}| = 1$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = 3 \times 1 \times \sin(\frac{\pi}{4}) = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(A) दिया गया है $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$।
सबसे पहले,सदिशों का योग और अंतर ज्ञात करें:
$\bar{a}+\bar{b} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+(3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = 4 \hat{i}-\hat{j}+6 \hat{k}$
$\bar{a}-\bar{b} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = -2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$
दोनों सदिशों $(\bar{a}+\bar{b})$ और $(\bar{a}-\bar{b})$ के लंबवत सदिश उनके क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = (\bar{a}+\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 6 \\ -2 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$\vec{v} = \hat{i}(4 - 18) - \hat{j}(-16 + 12) + \hat{k}(12 - 2) = -14 \hat{i} + 4 \hat{j} + 10 \hat{k}$
इस सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(-14)^2 + 4^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 16 + 100} = \sqrt{312}$ है।
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{-14 \hat{i}+4 \hat{j}+10 \hat{k}}{\sqrt{312}}$ है।

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ की गणना करें:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 7 \end{vmatrix} = \hat{i}(28 - (-4)) - \hat{j}(7 - 6) + \hat{k}(-2 - 12) = 32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k}$.
चूंकि $\overline{d}$,$\overline{a} \times \overline{b}$ के समांतर है,हम $\overline{d} = k(32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k})$ लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $\overline{c} \cdot \overline{d} = 15$,जहाँ $\overline{c} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$:
$(2 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot k(32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k}) = 15$
$k(64 + 1 - 56) = 15$
$9k = 15 \implies k = \frac{5}{3}$.
विकल्पों की जाँच करने पर,विकल्प $(B)$ के लिए $\overline{c} \cdot \overline{d} = (2)(90) + (-1)(-3) + (4)(-42) = 180 + 3 - 168 = 15$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) दो सदिशों $\bar{u}$ और $\bar{v}$ के क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}| |\bar{v}| \sin(\theta)$
दिया गया है:
$|\bar{u}| = 8$
$|\bar{v}| = 12$
$\theta = 150^{\circ}$
सूत्र में मान रखने पर:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 12 \times \sin(150^{\circ})$
चूंकि $\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 12 \times \frac{1}{2}$
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 6 = 48$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(D) दिया गया है कि $\overline{b} \cdot \overline{c} = 10$.
चूंकि $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$,इसलिए $(5) |\overline{c}| (\frac{1}{2}) = 10$,जिसका अर्थ है कि $|\overline{c}| = 4$.
हमें दिया गया है कि $\overline{a}$ सदिश $\overline{b} \times \overline{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\overline{a}$ और $\overline{b} \times \overline{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}|$ होगा।
अब,$|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = (5)(4)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 10\sqrt{3}$.
इस प्रकार,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = (\sqrt{3})(10\sqrt{3}) = 10 \times 3 = 30$.

(B) दिया गया है: $|\overline{a}|=3$,$|\overline{b}|=5$,$\overline{b} \cdot \overline{c}=10$,और $\overline{b}$ तथा $\overline{c}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
सबसे पहले,$|\overline{c}|$ ज्ञात करें: $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$.
$5 \times |\overline{c}| \times \frac{1}{2} = 10 \implies |\overline{c}| = 4$.
अब,$|\overline{b} \times \overline{c}|$ ज्ञात करें: $|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.
चूंकि $\overline{a}$,$\overline{b} \times \overline{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\overline{a}$ और $(\overline{b} \times \overline{c})$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = 3 \times 10\sqrt{3} \times 1 = 30\sqrt{3}$.

(D) दिया गया है,$\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{a}$.
इसका अर्थ है $\overline{b} \times (\overline{c} - \overline{a}) = \overline{0}$.
अतः,$\overline{c} - \overline{a} = \lambda \overline{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए,यानी $\overline{c} = \overline{a} + \lambda \overline{b}$.
दिया गया है $\overline{c} \cdot \overline{a} = 0$,इसलिए $(\overline{a} + \lambda \overline{b}) \cdot \overline{a} = 0$.
इससे हमें $|\overline{a}|^2 + \lambda (\overline{b} \cdot \overline{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर: $|\overline{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 6$ और $\overline{b} \cdot \overline{a} = (1)(1) + (1)(2) + (-1)(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
इन मानों को रखने पर: $6 + 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
अब,$\overline{c} = \overline{a} - \frac{3}{2} \overline{b}$.
अतः $\overline{c} \cdot \overline{b} = (\overline{a} - \frac{3}{2} \overline{b}) \cdot \overline{b} = \overline{a} \cdot \overline{b} - \frac{3}{2} |\overline{b}|^2$.
हम जानते हैं कि $\overline{a} \cdot \overline{b} = 4$ और $|\overline{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3$.
इसलिए,$\overline{c} \cdot \overline{b} = 4 - \frac{3}{2}(3) = 4 - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\overline{c}|^2+|\overline{a}|^2-2(\overline{a} \cdot \overline{c})=8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\overline{a}| = \sqrt{2^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ और $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,इसलिए $|\overline{c}|^2+9-2|\overline{c}|=8$ होगा।
यह $|\overline{c}|^2-2|\overline{c}|+1=0$ में सरल हो जाता है,जो $(|\overline{c}|-1)^2=0$ है,अतः $|\overline{c}|=1$।
अब,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{9} = 3$ है।
अंत में,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 3 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$।

(C) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}$,और $|\vec{c}-\vec{a}|=3$ है।
सबसे पहले,$\vec{p} = \vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{p} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{p}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ है।
दिया गया है कि $|\vec{p} \times \vec{c}| = 3$ और $\vec{p}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,इसलिए:
$|\vec{p}||\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = 3$
$3 \cdot |\vec{c}| \cdot \frac{1}{2} = 3 \implies |\vec{c}| = 2$.
अब,शर्त $|\vec{c}-\vec{a}|=3$ का उपयोग करें:
$|\vec{c}-\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$
$|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 9$ है।
मान रखने पर: $4 + 9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$
$13 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$
$2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2$.

(C) दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के सदिश गुणनफल (cross product) का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta$
दी गई आकृति से,हमारे पास है:
$|\vec{u}| = 4$
$|\vec{v}| = 5$
$\theta = 150^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = 4 \times 5 \times \sin 150^{\circ}$
चूंकि $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = 20 \times \frac{1}{2} = 10$

(D) दिया गया है: $\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c}=\vec{0} \quad \dots(1)$
दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$\vec{a} \times \vec{b} + 2(\vec{b} \times \vec{b}) + 3(\vec{c} \times \vec{b}) = \vec{0} \times \vec{b}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} + 0 - 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ सदिश गुणन करने पर:
$\vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) + 3(\vec{c} \times \vec{c}) = \vec{0} \times \vec{c}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) + 0 = \vec{0}$
$\Rightarrow \vec{c} \times \vec{a} = 2(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(3)$
अब,$(\vec{a} \times \vec{b})+(\vec{b} \times \vec{c})+(\vec{c} \times \vec{a})$ व्यंजक में $(2)$ और $(3)$ का मान रखने पर:
$= 3(\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + 2(\vec{b} \times \vec{c})$
$= (3+1+2)(\vec{b} \times \vec{c}) = 6(\vec{b} \times \vec{c})$
इसकी तुलना $\lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ से करने पर,हमें $\lambda = 6$ प्राप्त होता है।

(A) माना शीर्ष $A = (1, y, 0)$,$B = (1, 0, 2)$ और $C = (0, 3, 1)$ हैं।
$\overrightarrow{AB} = (1-1)\hat{i} + (0-y)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -y\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = (0-1)\hat{i} + (3-y)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = -\hat{i} + (3-y)\hat{j} + \hat{k}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{6}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -y & 2 \\ -1 & 3-y & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-y - 2(3-y)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(0 - y) = \hat{i}(y-6) - 2\hat{j} - y\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(y-6)^2 + (-2)^2 + (-y)^2} = \sqrt{y^2 - 12y + 36 + 4 + y^2} = \sqrt{2y^2 - 12y + 40}$.
चूंकि $\frac{1}{2} \sqrt{2y^2 - 12y + 40} = \sqrt{6}$,इसलिए $\sqrt{2y^2 - 12y + 40} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2y^2 - 12y + 40 = 24 \Rightarrow 2y^2 - 12y + 16 = 0 \Rightarrow y^2 - 6y + 8 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(y-2)(y-4) = 0$,अतः $y = 2, 4$.

(D) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}| = 15$ है।
अब,$3 \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{a} + 3 \vec{b}$ भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|(3 \vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 3 \vec{b})|$ होगा।
सदिश गुणन का विस्तार करने पर:
$|(3 \vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 3 \vec{b})| = |3 \vec{a} \times \vec{a} + 9 \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} + 3 \vec{b} \times \vec{b}|$.
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$,$\vec{b} \times \vec{b} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,इसलिए:
$|0 + 9(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 0| = |8(\vec{a} \times \vec{b})| = 8 |\vec{a} \times \vec{b}|$.
दिया गया क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}| = 15$ रखने पर:
क्षेत्रफल $= 8 \times 15 = 120$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(i)$ $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$
(ii) $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$
(ii) से,हम जानते हैं कि $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$,इसलिए $\vec{r} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$.
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(\vec{r} \times \vec{a}) + (\vec{r} \times \vec{b}) = (\vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{b} \times \vec{a}) = \vec{0}$
$\vec{r} \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{0}$
इसका अर्थ है कि $\vec{r}$,$(\vec{a} + \vec{b})$ के समांतर है।
दिया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{k}$,तो $\vec{a} + \vec{b} = (1+2)\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
अतः,$\vec{r} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम विकल्पों की जाँच करते हैं। $\lambda = 1$ के लिए,$\vec{r} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,जो बिंदु $(3, 1, -1)$ के अनुरूप है।

(C) चूंकि दो सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य सदिश है,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$,जिसका अर्थ है कि सदिश संरेख हैं।
हम सदिश गुणनफल को सारणिक के रूप में लिख सकते हैं:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 6 & 27 \\ 1 & \lambda & \mu \end{vmatrix} = \vec{0}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\hat{i}(6\mu - 27\lambda) - \hat{j}(2\mu - 27) + \hat{k}(2\lambda - 6) = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
$\hat{i}, \hat{j}, \text{ और } \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$6\mu - 27\lambda = 0 \quad \dots(1)$
$2\mu - 27 = 0 \quad \dots(2)$
$2\lambda - 6 = 0 \quad \dots(3)$
समीकरण $(3)$ से,$2\lambda = 6 \implies \lambda = 3$.
समीकरण $(2)$ से,$2\mu = 27 \implies \mu = \frac{27}{2}$.
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $6(\frac{27}{2}) - 27(3) = 3(27) - 81 = 81 - 81 = 0$. ये मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$\lambda = 3$ और $\mu = \frac{27}{2}$।

(D) आसन्न भुजाओं $\bar{a}$ और $\bar{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}| = 20$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $(3 \bar{a} + \bar{b})$ और $(2 \bar{a} + 3 \bar{b})$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
क्षेत्रफल इन दो सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के परिमाण द्वारा दिया जाता है:
$|(3 \bar{a} + \bar{b}) \times (2 \bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3 \bar{a} \times 2 \bar{a} + 3 \bar{a} \times 3 \bar{b} + \bar{b} \times 2 \bar{a} + \bar{b} \times 3 \bar{b}|$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,इसलिए:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})| = 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
दी गई मान $|\bar{a} \times \bar{b}| = 20$ को प्रतिस्थापित करने पर:
क्षेत्रफल $= 7 \times 20 = 140$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए सदिश $\overline{a} = 3 \hat{i} - 5 \hat{j}$ और $\overline{b} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j}$ हैं।
सदिश $\overline{c}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ का सदिश गुणनफल है:
$\overline{c} = \overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -5 & 0 \\ 6 & -3 & 0 \end{vmatrix}$
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$\overline{c} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(-9 - (-30)) = \hat{k}(-9 + 30) = 39 \hat{k}$.
अब,सदिशों के परिमाण ज्ञात करते हैं:
$a = |\overline{a}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$b = |\overline{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
$c = |\overline{c}| = |39 \hat{k}| = 39$.
अतः,$a: b: c = \sqrt{34}: \sqrt{45}: 39$.

(D) एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AD}$ द्वारा निरूपित होती हैं,$|\vec{AB} \times \vec{AD}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष: $A(1, 2, 3)$,$B(1, 3, a)$,$C(3, 8, 6)$,$D(3, 7, 3)$.
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (a-3)\hat{k} = \hat{j} + (a-3)\hat{k}$
$\vec{AD} = (3-1)\hat{i} + (7-2)\hat{j} + (3-3)\hat{k} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & a-3 \\ 2 & 5 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 5(a-3)) - \hat{j}(0 - 2(a-3)) + \hat{k}(0 - 2)$
$= -5(a-3)\hat{i} + 2(a-3)\hat{j} - 2\hat{k} = (15-5a)\hat{i} + (2a-6)\hat{j} - 2\hat{k}$
क्षेत्रफल $|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{(15-5a)^2 + (2a-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{265}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(15-5a)^2 + (2a-6)^2 + 4 = 265$
$(225 - 150a + 25a^2) + (4a^2 - 24a + 36) + 4 = 265$
$29a^2 - 174a + 265 = 265$
$29a^2 - 174a = 0$
$29a(a - 6) = 0$
अतः,$a = 0$ या $a = 6$.

(B) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ है।
यहाँ $\vec{d_1} = 3 \hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ और $\vec{d_2} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ ज्ञात करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3 + 6) - \hat{j}(-9 - 2) + \hat{k}(9 - 1) = 9 \hat{i} + 11 \hat{j} + 8 \hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{9^2 + 11^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 121 + 64} = \sqrt{266}$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{266}$ वर्ग इकाई है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 2, 0)$,$B(1, 0, a)$ और $C(0, 3, 1)$ हैं।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{BA} \times \vec{BC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{BA} = (1-1)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (0-a)\hat{k} = 2\hat{j} - a\hat{k}$
$\vec{BC} = (0-1)\hat{i} + (3-0)\hat{j} + (1-a)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + (1-a)\hat{k}$
अब,सदिश गुणनफल $\vec{BA} \times \vec{BC}$ की गणना करते हैं:
$\vec{BA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & -a \\ -1 & 3 & 1-a \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(2(1-a) - (-a)(3)) - \hat{j}(0(1-a) - (-a)(-1)) + \hat{k}(0(3) - 2(-1))$
$= \hat{i}(2 - 2a + 3a) - \hat{j}(-a) + \hat{k}(2) = (a+2)\hat{i} + a\hat{j} + 2\hat{k}$
इसका परिमाण $|\vec{BA} \times \vec{BC}| = \sqrt{(a+2)^2 + a^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 4a + 4 + a^2 + 4} = \sqrt{2a^2 + 4a + 8}$ है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $\sqrt{6}$ है,इसलिए:
$\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 4a + 8} = \sqrt{6}$
$\sqrt{2a^2 + 4a + 8} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$
$2a^2 + 4a + 8 = 24$
$2a^2 + 4a - 16 = 0$
$a^2 + 2a - 8 = 0$
$(a+4)(a-2) = 0$
अतः,$a = -4$ या $a = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है। दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,अतः:
$(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 1 \Rightarrow x + y + z = 1$.
दिया गया है $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,अतः:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$.
$(z - y)\hat{i} - (z - x)\hat{j} + (y - x)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$z - y = 0 \Rightarrow z = y$.
$x - z = 1 \Rightarrow z = x - 1$.
$y - x = -1 \Rightarrow y = x - 1$.
$x + y + z = 1$ में $y = x - 1$ और $z = x - 1$ रखने पर:
$x + (x - 1) + (x - 1) = 1
\Rightarrow 3x - 2 = 1
\Rightarrow 3x = 3
\Rightarrow x = 1$.
अतः,$y = 1 - 1 = 0$ और $z = 1 - 1 = 0$.
इसलिए,$\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$.

(A) दिए गए शीर्ष $A(3,2,-1), B(-2,2,-3)$ और $D(-2,5,-4)$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश $\vec{AB} = (-2-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = -5\hat{i} - 2\hat{k}$ और $\vec{AD} = (-2-3)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-4-(-1))\hat{k} = -5\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के परिमाण के बराबर होता है: $\text{Area} = |\vec{AB} \times \vec{AD}|$.
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना:
$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(15 - 10) + \hat{k}(-15 - 0) = 6\hat{i} - 5\hat{j} - 15\hat{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{(6)^2 + (-5)^2 + (-15)^2} = \sqrt{36 + 25 + 225} = \sqrt{286}$ वर्ग इकाई है।

(C) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{b}$ ज्ञात करें:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12 - (-2)) - \hat{j}(-8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = -10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}$
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{c}$ ज्ञात करें:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-1)) - \hat{j}(-4 - (-1)) + \hat{k}(2 - 3) = -5\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$
अंत में,प्राप्त दो सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = (-10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$= (-10)(-5) + (9)(3) + (7)(-1) = 50 + 27 - 7 = 70$

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{b}$ की गणना करें:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ है।
साथ ही,$|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ है।
दिया गया है $|\bar{c}-\bar{a}| = 2\sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{c} \cdot \bar{a}) = 8$ प्राप्त होता है।
$|\bar{a}|^2 = 9$ और $\bar{c} \cdot \bar{a} = |\bar{c}|$ प्रतिस्थापित करने पर,$|\bar{c}|^2 + 9 - 2|\bar{c}| = 8$ प्राप्त होता है।
यह $|\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 1 = 0$ में सरल हो जाता है,जो $(|\bar{c}| - 1)^2 = 0$ है,इसलिए $|\bar{c}| = 1$ है।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(60^{\circ})$ है।
मान रखने पर: $(3)(1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.