Vector triple product Questions in Hindi

(D) मान लीजिए $v = (a \times b) \times c$ है।
सदिश त्रिक गुणन (vector triple product) की परिभाषा के अनुसार,सदिश $v = (a \times b) \times c$ उन सदिशों $a$ और $b$ वाले समतल में स्थित होता है।
साथ ही,क्रॉस प्रोडक्ट की परिभाषा के अनुसार,सदिश $v = (a \times b) \times c$ सदिश $c$ के लंबवत होता है।
अतः,कथन '$(a \times b) \times c$,$c$ के लंबवत है' सत्य है।

(C) एक सदिश जो $a$ और $b$ के साथ समतलीय है,उसे $a$ और $b$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
हम एक ऐसे सदिश $r$ की तलाश कर रहे हैं जो $c$ के लंबवत हो और $a$ तथा $b$ के समतल में स्थित हो।
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र के अनुसार,$c \times (a \times b) = (c \cdot b)a - (c \cdot a)b$ होता है।
यह परिणामी सदिश स्पष्ट रूप से $a$ और $b$ का एक रैखिक संयोजन है,जिसका अर्थ है कि यह $a$ और $b$ के साथ समतलीय है।
इसके अलावा,सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,सदिश $c \times (a \times b)$ सदिश $c$ के लंबवत होता है।
इकाई सदिश प्राप्त करने के लिए,हम इस सदिश को इसके परिमाण से विभाजित करते हैं: $\frac{c \times (a \times b)}{|c \times (a \times b)|}$।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) माना कि $a = xi + yj + zk.$
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $A \times (B \times C) = B(A \cdot C) - C(A \cdot B)$ का उपयोग करते हुए,
$i \times (a \times i) = a(i \cdot i) - i(a \cdot i) = a - xi.$
इसी प्रकार,$j \times (a \times j) = a(j \cdot j) - j(a \cdot j) = a - yj.$
और $k \times (a \times k) = a(k \cdot k) - k(a \cdot k) = a - zk.$
इन व्यंजकों को जोड़ने पर:
$u = (a - xi) + (a - yj) + (a - zk)$
$u = 3a - (xi + yj + zk)$
चूंकि $a = xi + yj + zk,$
$u = 3a - a = 2a.$

(C) सदिश त्रिक गुणन का सूत्र निम्नलिखित है:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
यह सदिश बीजगणित का एक मानक परिणाम है,जिसे अक्सर $BAC-CAB$ नियम के रूप में जाना जाता है।

(A) सदिश त्रिक गुणन का सूत्र $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) की गणना करें:
$a \cdot c = (3)(1) + (-1)(-2) + (2)(2) = 3 + 2 + 4 = 9.$
$b \cdot c = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(2) = 2 - 2 - 2 = -2.$
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$(a \times b) \times c = 9(2i + j - k) - (-2)(3i - j + 2k)$
$= (18i + 9j - 9k) + (6i - 2j + 4k)$
$= (18 + 6)i + (9 - 2)j + (-9 + 4)k$
$= 24i + 7j - 5k$.

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$.
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
दिया गया है $a \times (b \times c) = \frac{1}{2}b$,अतः $(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{2}b$.
$b$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर (यह मानते हुए कि $b$ और $c$ असंरेख हैं),हमें प्राप्त होता है:
$a \cdot c = \frac{1}{2}$ और $a \cdot b = 0$.
$a$ और $b$ के बीच के कोण $\theta_1$ के लिए: $\cos \theta_1 = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = 0 \implies \theta_1 = 90^\circ$.
$a$ और $c$ के बीच के कोण $\theta_2$ के लिए: $\cos \theta_2 = \frac{a \cdot c}{|a||c|} = \frac{1/2}{1 \times 1} = \frac{1}{2} \implies \theta_2 = 60^\circ$.
अतः,कोण क्रमशः $90^\circ$ और $60^\circ$ हैं।

(D) सदिश त्रिक गुणनफल (vector triple product) के सूत्र $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ का उपयोग करते हुए:
$1$. $i \times (j \times k) = (i \cdot k)j - (i \cdot j)k = (0)j - (0)k = 0$.
$2$. $j \times (k \times i) = (j \cdot i)k - (j \cdot k)i = (0)k - (0)i = 0$.
$3$. $k \times (i \times i) = k \times 0 = 0$.
इन परिणामों का योग करने पर: $0 + 0 + 0 = 0$.

(B) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करने पर: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
दिया गया है कि $a \perp b$,इसलिए $a \cdot b = 0$.
दिया गया है कि $a \parallel c$ और $a, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $a \cdot c = \pm 1$. यदि $a$ और $c$ समान दिशा में हैं,तो $a \cdot c = 1$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a \times (b \times c) = (1)b - (0)c = b$.

(B) सदिश त्रिक गुणन (vector triple product) सूत्र का उपयोग करते हुए: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot products) की गणना करें:
$a \cdot c = (i + j - k) \cdot (i - j - k) = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(-1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
$a \cdot b = (i + j - k) \cdot (i - j + k) = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$a \times (b \times c) = (1)b - (-1)c = b + c$.
अंत में,सदिशों $b$ और $c$ को जोड़ें:
$b + c = (i - j + k) + (i - j - k) = (1+1)i + (-1-1)j + (1-1)k = 2i - 2j$.

(A) वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करते हुए: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$।
प्रत्येक पद पर इसे लागू करने पर:
$1. \, a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$
$2. \, b \times (c \times a) = (b \cdot a)c - (b \cdot c)a$
$3. \, c \times (a \times b) = (c \cdot b)a - (c \cdot a)b$
इन तीनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
योग $= [(a \cdot c)b - (a \cdot b)c] + [(b \cdot a)c - (b \cdot c)a] + [(c \cdot b)a - (c \cdot a)b]$
चूंकि डॉट प्रोडक्ट क्रमविनिमेय होता है ($a \cdot b = b \cdot a$,आदि),हम पदों को समूहित कर सकते हैं:
योग $= (a \cdot c)b - (c \cdot a)b + (b \cdot a)c - (a \cdot b)c + (c \cdot b)a - (b \cdot c)a$
योग $= 0 + 0 + 0 = 0$।

(A) सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका के अनुसार: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ और $(a \times b) \times c = -(c \times (a \times b)) = -((c \cdot b)a - (c \cdot a)b) = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$
दोनों पक्षों से $(a \cdot c)b$ घटाने पर:
$-(a \cdot b)c = -(b \cdot c)a$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(b \cdot c)a - (a \cdot b)c = 0$
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $b \times (a \times c) = (b \cdot c)a - (b \cdot a)c$ का उपयोग करने पर,हम देख सकते हैं कि यह व्यंजक इसके बराबर है:
$b \times (a \times c) = 0$.

(D) $(a \times b) \times (c \times d)$ के लिए सदिश त्रिक गुणन का सूत्र इस प्रकार है:
$(a \times b) \times (c \times d) = [a, b, d]c - [a, b, c]d$.
चूंकि $a, b, c, d$ समतलीय सदिश हैं,इसलिए इनमें से चुने गए किन्हीं भी तीन सदिशों का अदिश त्रिक गुणन शून्य होगा।
अतः,$[a, b, d] = 0$ और $[a, b, c] = 0$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a \times b) \times (c \times d) = (0)c - (0)d = 0$.

(D) सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w$ का उपयोग करते हुए,हम पहले आंतरिक पद $(a \times (a \times b))$ को सरल करते हैं:
$a \times (a \times b) = (a \cdot b) a - (a \cdot a) b$
अब,इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$a \times [a \times (a \times b)] = a \times [(a \cdot b) a - (a \cdot a) b]$
क्रॉस गुणनफल के वितरण गुण का उपयोग करते हुए:
$= (a \cdot b) (a \times a) - (a \cdot a) (a \times b)$
चूंकि $a \times a = 0$:
$= (a \cdot b) (0) - (a \cdot a) (a \times b)$
$= -(a \cdot a) (a \times b)$
$= (a \cdot a) (b \times a)$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है $a \times (b \times c) = \frac{b + c}{\sqrt{2}}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ का उपयोग करने पर:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{\sqrt{2}}b + \frac{1}{\sqrt{2}}c$.
चूंकि $a, b, c$ असमतलीय हैं,$b$ और $c$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। $b$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$a \cdot c = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $-(a \cdot b) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a \cdot b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,$|a| = 1$ और $|b| = 1$.
मान लीजिए $a$ और $b$ के बीच का कोण $\varphi$ है। तब $a \cdot b = |a||b| \cos \varphi = \cos \varphi$.
अतः,$\cos \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
जिससे $\varphi = \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\bar{b}}{2}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
अतः,$(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c} = \frac{1}{2}\bar{b} + 0\bar{c}$.
चूंकि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ असंरेख हैं,हम गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{1}{2}$ और $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,$|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
मान लीजिए $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta_1$ है,तो $\cos \theta_1 = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}||\bar{b}|} = \frac{0}{1 \times 1} = 0$,अतः $\theta_1 = 90^{\circ}$.
मान लीजिए $\bar{a}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\theta_2$ है,तो $\cos \theta_2 = \frac{\bar{a} \cdot \bar{c}}{|\bar{a}||\bar{c}|} = \frac{1/2}{1 \times 1} = \frac{1}{2}$,अतः $\theta_2 = 60^{\circ}$.
इस प्रकार,कोण $90^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं।

(C) माना $\vec{x} = (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c})$.
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करने पर:
$\vec{x} = ((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c})\vec{a} - ((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a})\vec{c}$.
अब,$\vec{x} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ पद पर विचार करें।
सर्वसमिका $\vec{v} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{v} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{v} \cdot \vec{b})\vec{c}$ का उपयोग करने पर:
$\vec{x} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{x} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{x} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
$(\vec{b} + \vec{c})$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$[\vec{x} \times (\vec{b} \times \vec{c})] \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = ((\vec{x} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{x} \cdot \vec{b})\vec{c}) \cdot (\vec{b} + \vec{c})$
$= (\vec{x} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{b}) + (\vec{x} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{x} \cdot \vec{b})(\vec{c} \cdot \vec{b}) - (\vec{x} \cdot \vec{b})(\vec{c} \cdot \vec{c})$.
चूँकि $|\vec{b}| = |\vec{c}|$,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{c}$ है।
यह मान रखने पर,पद $= (\vec{x} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{b}) - (\vec{x} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{b}) + (\vec{x} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{x} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + 3\vec{b} = \vec{0}$।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c} + 3\vec{b} = \vec{0}$।
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{3}$,$|\vec{b}| = 1$,$|\vec{c}| = 2$ हैं,और $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos \theta = \sqrt{3} \times 2 \times \cos \theta = 2\sqrt{3} \cos \theta$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(2\sqrt{3} \cos \theta)\vec{a} - 3\vec{c} + 3\vec{b} = \vec{0}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3\vec{b} = 3\vec{c} - (2\sqrt{3} \cos \theta)\vec{a}$।
दोनों पक्षों का परिमाण का वर्ग लेने पर:
$|3\vec{b}|^2 = |3\vec{c} - (2\sqrt{3} \cos \theta)\vec{a}|^2$।
$9|\vec{b}|^2 = 9|\vec{c}|^2 + 12 \cos^2 \theta |\vec{a}|^2 - 2(3)(2\sqrt{3} \cos \theta)(\vec{a} \cdot \vec{c})$।
$9(1)^2 = 9(2)^2 + 12 \cos^2 \theta (\sqrt{3})^2 - 12\sqrt{3} \cos \theta (2\sqrt{3} \cos \theta)$।
$9 = 36 + 36 \cos^2 \theta - 72 \cos^2 \theta$।
$9 = 36 - 36 \cos^2 \theta$।
$36 \cos^2 \theta = 27$।
$\cos^2 \theta = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$।

(A) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (2)(3) + (-2)(-1) = 1 + 6 + 2 = 9$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(1) = 2 - 2 - 2 = -2$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 9(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (-2)(\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$.
$= (18\hat{i} - 9\hat{j} + 9\hat{k}) + (2\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k})$.
$= (18+2)\hat{i} + (-9+6)\hat{j} + (9-2)\hat{k} = 20\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}$.

(B) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) ज्ञात करें:
$a \cdot c = (i + j - k) \cdot (i - j - k) = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(-1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
$a \cdot b = (i + j - k) \cdot (i - j + k) = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
अब,इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$a \times (b \times c) = (1)b - (-1)c = b + c$.
अंत में,सदिश $b$ और $c$ को जोड़ें:
$b + c = (i - j + k) + (i - j - k) = (1+1)i + (-1-1)j + (1-1)k = 2i - 2j$.

(C) वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट के सूत्र $(p \times q) \times r = (p \cdot r)q - (q \cdot r)p$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $p = b$,$q = c$,और $r = (c \times a)$ है।
अतः,$(b \times c) \times (c \times a) = (b \cdot (c \times a))c - (c \cdot (c \times a))b$ होगा।
चूंकि $c \cdot (c \times a) = 0$ है (क्योंकि दो समान वेक्टर के साथ स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट शून्य होता है),इसलिए व्यंजक सरल होकर:
$(b \cdot (c \times a))c - 0 = [b, c, a]c$ हो जाता है।
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के चक्रीय गुण का उपयोग करने पर,$[b, c, a] = [a, b, c]$ होता है।
अतः,परिणाम $[a, b, c]c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$,अतः $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{c}$.
दोनों पक्षों में $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन करने पर: $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c})$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}$ का उपयोग करने पर.
यहाँ,$\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 2$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$,इसलिए समीकरण $3\vec{a} - 2\vec{b} = -\vec{a} \times \vec{c}$ बन जाता है.
$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
अतः,$3\vec{a} - 2\vec{b} = -(-2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$2\vec{b} = 3\vec{a} - (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 3(\hat{j} - \hat{k}) - 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{\sqrt{2}}$.
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
अतः,$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{c}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{1}{\sqrt{2}})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{\sqrt{2}})\vec{c} = \vec{0}$.
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ असंरेख हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$.
अतः,$1 \times 1 \times \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = \frac{3\pi}{4}$.

(D) दिया गया सदिश त्रिक गुणन: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| \overline{a}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\overline{u} \times \overline{v}) \times \overline{w} = (\overline{u} \cdot \overline{w}) \overline{v} - (\overline{v} \cdot \overline{w}) \overline{u}$ का उपयोग करने पर:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a} = \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| \overline{a}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} = \left( (\overline{b} \cdot \overline{c}) + \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| \right) \overline{a}$.
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ शून्येतर और असमांतर हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ और $(\overline{b} \cdot \overline{c}) + \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| = 0$.
अदिश गुणन की परिभाषा $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$|\overline{b}| |\overline{c}| \cos \theta + \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| = 0$.
चूंकि $|\overline{b}|$ और $|\overline{c}|$ शून्येतर हैं,$|\overline{b}| |\overline{c}|$ से विभाजित करने पर:
$\cos \theta + \frac{1}{3} = 0 \implies \cos \theta = -\frac{1}{3}$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
चूंकि $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है,$0 \le \theta \le \pi,$ इसलिए $\sin \theta \ge 0$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(A) दिए गए सदिश $a = i + j + k$,$b = i + j$,और $c = i$ हैं।
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हुए: $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$.
अदिश गुणनफल की गणना करें:
$a \cdot c = (i + j + k) \cdot i = 1$
$b \cdot c = (i + j) \cdot i = 1$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$(a \times b) \times c = (1)b - (1)a = -a + b$.
दिए गए व्यंजक $(a \times b) \times c = \lambda a + \mu b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = -1$ और $\mu = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda + \mu = -1 + 1 = 0$.

(C) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (0)\vec{b} - (0)\vec{c} = 0$.
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के संबंध में,यदि $\vec{b}$,$\vec{c}$ के लंबवत है,तो $\vec{b} \times \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \sin(90^\circ) \hat{n} = |\vec{b}||\vec{c}| \hat{n} \neq 0$ (जब तक कि उनमें से कोई एक शून्य सदिश न हो)।
इसलिए,कारण $(R)$ असत्य है।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(2 - (-3)) - \hat{j}(-1 - (-6)) + \hat{k}(1 - (-4))$
$= \hat{i}(5) - \hat{j}(5) + \hat{k}(5) = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}$
अब,$(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}$ की गणना करें:
$(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -5 & 5 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(10 - 15) - \hat{j}(-10 - 5) + \hat{k}(15 - (-5))$
$= \hat{i}(-5) - \hat{j}(-15) + \hat{k}(20)$
$= -5\hat{i} + 15\hat{j} + 20\hat{k}$
$= 5(-\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})$

(A) सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$
और
$(a \times b) \times c = -(c \times (a \times b)) = -((c \cdot b)a - (c \cdot a)b) = (c \cdot a)b - (c \cdot b)a$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$.
दोनों पक्षों से $(a \cdot c)b$ घटाने पर:
$-(a \cdot b)c = -(b \cdot c)a$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(b \cdot c)a - (a \cdot b)c = 0$.
यह सदिश त्रिक गुणनफल $b \times (a \times c) = 0$ का विस्तार है।

(A) चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है,और $\vec{c} \perp \vec{b}$ है,इसलिए $\vec{c}$ को $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ के समानांतर होना चाहिए।
माना $\vec{\alpha} = \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b}$ का उपयोग करते हुए।
$\vec{b} \cdot \vec{b} = 2^2 + 0^2 + 1^2 = 5$ की गणना करें।
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(-1) + (0)(1) + (1)(1) = -2 + 0 + 1 = -1$ की गणना करें।
इस प्रकार,$\vec{\alpha} = 5(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (-1)(2\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}) = -5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k} + 2\hat{i} + \hat{k} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{c} = \lambda \vec{\alpha}$ है,हमारे पास $\vec{c} = \lambda(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k})$ है।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 7$,हम $\vec{a}$ और $\vec{c}$ का मान रखते हैं:
$(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \lambda(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) = 7$।
$\lambda(3 + 5 + 6) = 7 \implies 14\lambda = 7 \implies \lambda = \frac{1}{2}$।
अतः,$\vec{c} = \frac{1}{2}(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}$।

(D) सदिश त्रिक गुणन को $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,किन्हीं दो सदिशों का सदिश गुणनफल उन दोनों सदिशों के लंबवत होता है।
मान लीजिए $v = (a \times b) \times c$ है।
चूंकि $v$,$(a \times b)$ और $c$ का सदिश गुणनफल है,इसलिए यह $c$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$v \cdot c = 0$ है।
यह पुष्टि करता है कि $(a \times b) \times c$,$c$ के लंबवत है।

(C) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
साथ ही,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
दिए गए समीकरण $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ के लिए,हम दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
दोनों पक्षों से $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = -(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
इसका अर्थ है कि $(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
चूंकि $(\vec{b} \cdot \vec{c})$ और $(\vec{a} \cdot \vec{b})$ अदिश हैं,यह समीकरण दर्शाता है कि $\vec{a}$,$\vec{c}$ का एक अदिश गुणज है।
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{c}$ समांतर हैं।

(D) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
इसी प्रकार,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
दोनों पक्षों से $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}$ घटाने पर:
$-(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = -(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
यह दर्शाता है कि $(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} \neq 0$,हम लिख सकते हैं $\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{c}} \right) \vec{c}$.
यह दर्शाता है कि $\vec{a}, \vec{c}$ का एक अदिश गुणज है,जिसका अर्थ है कि $\vec{a}$ और $\vec{c}$ समांतर हैं।

(C) दिया गया है $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{d}$.
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन करने पर: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{d})$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{d}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,समीकरण सरल होकर निम्न हो जाता है:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = 0 - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d}$.
$\vec{d}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$.
$(\vec{a} \cdot \vec{b})$ से भाग देने पर (जो शून्य नहीं है क्योंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत नहीं हैं):
$\vec{d} = \vec{c} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b}$.

(B) सदिश त्रिक गुणनफल की सर्वसमिका के अनुसार: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
इसे दिए गए व्यंजक के बराबर रखने पर: $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}| \vec{a}$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शून्येतर हैं और कोई भी दो संरेख नहीं हैं,इसलिए सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। समीकरण को संतुष्ट करने के लिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के गुणांक शून्य होने चाहिए.
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ और $-(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}|$.
अदिश गुणनफल की परिभाषा $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$-|\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}|$.
$|\vec{b}| |\vec{c}|$ से विभाजित करने पर,हमें $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (क्योंकि $\theta \in [0, \pi]$,$\sin \theta \ge 0$).

(A) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$।
दिया गया है $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\sqrt{3}}{2}(\vec{b} + \vec{c})$,अतः:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{c}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{\sqrt{3}}{2})\vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2})\vec{c}$।
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ समांतर नहीं हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \cos \theta$।
अतः,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
इसलिए,$\theta = \frac{5\pi}{6}$।

(A) सदिश त्रिक गुणन के नियम के अनुसार: $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$।
दिए गए समीकरण में मान रखने पर: $(a \cdot c)b - (b \cdot c)a = \frac{1}{3}|b||c|a$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(a \cdot c)b = (b \cdot c + \frac{1}{3}|b||c|)a$।
चूंकि $a$ और $b$ शून्येतर हैं और समांतर नहीं हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$a \cdot c = 0$ और $b \cdot c + \frac{1}{3}|b||c| = 0$।
अदिश गुणन की परिभाषा $b \cdot c = |b||c| \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$|b||c| \cos \theta + \frac{1}{3}|b||c| = 0$।
चूंकि $b$ और $c$ शून्येतर हैं,इसलिए $\cos \theta = -\frac{1}{3}$।
प्रश्न में $\theta$ को न्यून कोण कहा गया है,इसलिए $\cos \theta$ का धनात्मक मान लेने पर,$\cos \theta = 1/3$।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (1/3)^2} = \sqrt{8/9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$।

(A) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$,और $\vec{c} = \hat{i}$।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(1 - 1) = -\hat{i} + \hat{j}$.
अब,$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ की गणना करें:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(0) + \hat{k}(0 - 1) = -\hat{k}$.
हमें दिया गया है $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$।
सदिशों का मान रखने पर:
$-\hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j})$
$-\hat{k} = (\lambda + \mu)\hat{i} + (\lambda + \mu)\hat{j} + \lambda\hat{k}$.
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\hat{i}$ के लिए: $\lambda + \mu = 0$.
$\hat{j}$ के लिए: $\lambda + \mu = 0$.
$\hat{k}$ के लिए: $\lambda = -1$.
अतः,$\lambda + \mu = 0$ है।

(C) मान लीजिए त्रिभुज की दो भुजाएँ $\vec{u} = \sqrt{3}(\vec{a} \times \vec{b})$ और $\vec{v} = \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$ हैं।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a}) = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$।
चूंकि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है,$\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$,इसलिए $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$।
ध्यान दें कि $\vec{u}$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लंबवत है,और $\vec{v}$ सदिश $\vec{a}$ के लंबवत है।
विशेष रूप से,$\vec{u} = \sqrt{3}(\vec{a} \times \vec{b})$ सदिश $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$ के लंबवत है क्योंकि $\vec{a} \times \vec{b}$ उस तल के लंबवत है जिसमें $\vec{a}$ और $\vec{b}$ स्थित हैं,जबकि $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के तल में स्थित है।
अतः,इन दो भुजाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ है।
मान लीजिए $\theta$ तीसरी भुजा और भुजा $\vec{v}$ के बीच का कोण है। तब $\tan \theta = \frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|}$।
$|\vec{u}| = \sqrt{3} |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \phi = \sqrt{3} |\vec{b}| \sin \phi$,जहाँ $\phi$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$|\vec{v}| = |\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{a}| \sin(90^{\circ}) = |\vec{b}| \sin \phi$।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \phi}{|\vec{b}| \sin \phi} = \sqrt{3}$।
इससे $\theta = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
तीसरा कोण $\pi - (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6}$ है।
अतः,कोण $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ हैं।

(A) सदिश त्रिक गुणन (vector triple product) सूत्र का उपयोग करते हुए: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot products) की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2)(1) + (1)(1) + (1)(2) = 2 + 1 + 2 = 5$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(2) + (1)(2) = 2 + 2 + 2 = 6$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 5(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 6(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$
$= (5-6)\hat{i} + (10-6)\hat{j} + (10-12)\hat{k} = -\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
इसकी तुलना $(1 + \alpha)\hat{i} + \beta(1 + \alpha)\hat{j} + \gamma(1 + \alpha)(1 + \beta)\hat{k}$ से करने पर:
$1 + \alpha = -1 \Rightarrow \alpha = -2$.
$\beta(1 + \alpha) = 4 \Rightarrow \beta(1 - 2) = 4 \Rightarrow -\beta = 4 \Rightarrow \beta = -4$.
$\gamma(1 + \alpha)(1 + \beta) = -2 \Rightarrow \gamma(1 - 2)(1 - 4) = -2 \Rightarrow \gamma(-1)(-3) = -2 \Rightarrow 3\gamma = -2 \Rightarrow \gamma = -\frac{2}{3}$.
अतः,$\alpha = -2, \beta = -4, \gamma = -\frac{2}{3}$.

(C) दिया गया है $\vec{v} \times \vec{b} = \vec{c}$। दोनों पक्षों में $\vec{b}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$\vec{b} \times (\vec{v} \times \vec{b}) = \vec{b} \times \vec{c}$
सदिश त्रिक गुणन नियम $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{v} - (\vec{b} \cdot \vec{v})\vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$
चूंकि $|\vec{b}| = 2$,इसलिए $|\vec{b}|^2 = 4$। अतः,$4\vec{v} - (\vec{b} \cdot \vec{v})\vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$।
$\vec{v} \times \vec{b} = \vec{c}$ से,$|\vec{v} \times \vec{b}| = |\vec{c}|$।
$|\vec{v}||\vec{b}| \sin \theta = \sqrt{3}$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{v}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
चूंकि $\vec{v}$ एक इकाई सदिश है,$|\vec{v}| = 1$।
$1 \times 2 \times \sin \theta = \sqrt{3} \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \cos \theta = \frac{1}{2}$।
अब,$\vec{b} \cdot \vec{v} = |\vec{b}||\vec{v}| \cos \theta = 2 \times 1 \times \frac{1}{2} = 1$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$4\vec{v} - (1)\vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$
$4\vec{v} = \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}$
$\vec{v} = \frac{1}{4}(\vec{b} + \vec{b} \times \vec{c})$।

(B) दिया गया है कि $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{p}| = |\vec{q}| = |\vec{r}| = 1$ है।
चूंकि वे $\theta$ कोण पर समान रूप से झुके हुए हैं,इसलिए $\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{q} \cdot \vec{r} = \vec{r} \cdot \vec{p} = \cos \theta$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{p} \times (\vec{q} \times \vec{r}) = (\vec{p} \cdot \vec{r})\vec{q} - (\vec{p} \cdot \vec{q})\vec{r} = \cos \theta \vec{q} - \cos \theta \vec{r} = \cos \theta (\vec{q} - \vec{r})$ है।
परिमाण लेने पर,$|\vec{p} \times (\vec{q} \times \vec{r})| = |\cos \theta| |\vec{q} - \vec{r}|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\cos \theta > 0$ है।
$|\vec{q} - \vec{r}| = \sqrt{|\vec{q}|^2 + |\vec{r}|^2 - 2(\vec{q} \cdot \vec{r})} = \sqrt{1 + 1 - 2 \cos \theta} = \sqrt{2(1 - \cos \theta)} = \sqrt{4 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)} = 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)$ है।
अतः,$|\vec{p} \times (\vec{q} \times \vec{r})| = \cos \theta \cdot 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = 2 \cos \theta \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)$।

(D) माना $\vec{x} = \vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{y} = \vec{b} \times \vec{c}$,और $\vec{z} = \vec{c} \times \vec{a}$ है।
तब व्यंजक $\vec{x} \times (\vec{y} \times (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}))$ है।
चूंकि $\vec{x} + \vec{y} + \vec{z} = (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a})$,हम जानते हैं कि $\vec{y} \times \vec{y} = 0$ है।
अतः व्यंजक $\vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{x} + \vec{y} \times \vec{z})$ बन जाता है।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{y} \times \vec{z} = (\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] \vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$ है।
$\vec{y} \times \vec{x} = (\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{b}] \vec{a} - [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] \vec{b} = -[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}$ है।
इस प्रकार,व्यंजक $(\vec{a} \times \vec{b}) \times ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c} - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] ((\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} - \vec{b}))$ है।
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] ((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b})$.
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] ((\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} - ((\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a}))$.
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] ((\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} + (|\vec{b}|^2 - \vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a})$.

(D) सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = \vec{a} - a_x \hat{i}$.
इसी प्रकार,$\hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = \vec{a} - a_y \hat{j}$ और $\hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) = \vec{a} - a_z \hat{k}$.
दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$,अतः $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.
यह व्यंजक $|\vec{a} - a_x \hat{i}|^2 + |\vec{a} - a_y \hat{j}|^2 + |\vec{a} - a_z \hat{k}|^2$ है।
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर: $|\vec{a}|^2 + a_x^2 - 2a_x^2 = |\vec{a}|^2 - a_x^2$,$|\vec{a}|^2 - a_y^2$,और $|\vec{a}|^2 - a_z^2$.
इनका योग करने पर: $3|\vec{a}|^2 - (a_x^2 + a_y^2 + a_z^2) = 3|\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 = 2|\vec{a}|^2$.
$|\vec{a}|^2 = 9$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \times 9 = 18$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ क्योंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं।
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक का चरण-दर-चरण मूल्यांकन करते हैं।
सबसे पहले,$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b} = 0 - |\vec{a}|^2 \vec{b} = -|\vec{a}|^2 \vec{b}$.
इसके बाद,$\vec{a} \times (\vec{a} \times (\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))) = \vec{a} \times (\vec{a} \times (-|\vec{a}|^2 \vec{b}))$.
$= -|\vec{a}|^2 (\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
$= -|\vec{a}|^2 (-|\vec{a}|^2 \vec{b}) = |\vec{a}|^4 \vec{b}$.

(D) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में है,$\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$।
चूंकि $\vec{v} \perp \vec{c}$,$\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$। साथ ही,$\vec{v}$,समतल के अभिलंब $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ के भी लंबवत है।
अतः,$\vec{v}$,$\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ के समांतर है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{v} = \lambda [(\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}]$।
अदिश गुणनफल की गणना करते हुए: $\vec{c} \cdot \vec{b} = (3)(1) + (2)(2) + (-1)(-1) = 3+4+1 = 8$।
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (3)(2) + (2)(-1) + (-1)(2) = 6-2-2 = 2$।
अतः,$\vec{v} = \lambda [8(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) - 2(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})] = \lambda [16 \hat{i}-8 \hat{j}+16 \hat{k} - 2 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k}] = \lambda [14 \hat{i}-12 \hat{j}+18 \hat{k}]$।
$\vec{a}$ पर $\vec{v}$ का प्रक्षेप $\frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = 19$ है।
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{9} = 3$।
$\vec{v} \cdot \vec{a} = \lambda [14(2) - 12(-1) + 18(2)] = \lambda [28+12+36] = 76\lambda$।
अतः,$\frac{76\lambda}{3} = 19 \Rightarrow 76\lambda = 57 \Rightarrow \lambda = \frac{57}{76} = \frac{3}{4}$।
इस प्रकार,$\vec{v} = \frac{3}{4} [14 \hat{i}-12 \hat{j}+18 \hat{k}] = \frac{3}{2} [7 \hat{i}-6 \hat{j}+9 \hat{k}]$।
$|2\vec{v}|^2 = 4|\vec{v}|^2 = 4 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times (14^2 + (-12)^2 + 18^2) = 4 \times \frac{9}{16} \times (196 + 144 + 324) = \frac{9}{4} \times 664 = 9 \times 166 = 1494$।

(D) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{a}+\vec{b} = (1-1)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (2+3)\hat{k} = 3\hat{j} + 5\hat{k}$ की गणना करें।
अब,व्यंजक $E = ((\vec{a} \times((\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b})) \times \vec{b})$ को सरल करें।
गुणधर्म $(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$E = ((\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b})) \times \vec{b})$।
सदिश त्रिगुण गुणनफल के सूत्र $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}$।
अतः $E = ((\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{b} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \times \vec{b})$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-1) + (1)(2) + (2)(3) = -1 + 2 + 6 = 7$ की गणना करें।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(3+2) + \hat{k}(2+1) = -\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करें।
इस प्रकार,$E = 7(-\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k})$।
अंत में,$(\vec{a}+\vec{b}) \times E = (3\hat{j} + 5\hat{k}) \times 7(-\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 7 \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & 5 \\ -1 & -5 & 3 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$= 7 [\hat{i}(9 - (-25)) - \hat{j}(0 - (-5)) + \hat{k}(0 - (-3))] = 7(34\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k})$।

(B) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} = \vec{b} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
दिया है $|\vec{a}| = \sqrt{2}$,$|\vec{b}| = 1$,$|\vec{c}| = 2$,और $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta = 1 \cdot 2 \cdot \cos \theta = 2 \cos \theta$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{a} = (2 \cos \theta) \vec{b} - (1)^2 \vec{c} = 2 \cos \theta \vec{b} - \vec{c}$.
अब,$|\vec{a}|^2 = |2 \cos \theta \vec{b} - \vec{c}|^2 = (2 \cos \theta)^2 |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(2 \cos \theta) (\vec{b} \cdot \vec{c})$ की गणना करें.
$|\vec{a}|^2 = 4 \cos^2 \theta (1) + 4 - 4 \cos \theta (2 \cos \theta) = 4 \cos^2 \theta + 4 - 8 \cos^2 \theta = 4 - 4 \cos^2 \theta$.
चूंकि $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$,इसलिए $2 = 4 - 4 \cos^2 \theta$.
$4 \cos^2 \theta = 2 \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$1 + \tan \theta = 1 + \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 + 1 = 2$.

(B) दिया गया है कि $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{b}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+2 \hat{k}$ है।
वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट के सूत्र $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करने पर:
$((\vec{a} \times \vec{b}) \times \hat{i}) \cdot \hat{k} = ((\vec{a} \cdot \hat{i})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \hat{i})\vec{a}) \cdot \hat{k} = \frac{23}{2}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \hat{i} = 2$ और $\vec{b} \cdot \hat{i} = \alpha$ है,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$(2\vec{b} - \alpha\vec{a}) \cdot \hat{k} = 2(\vec{b} \cdot \hat{k}) - \alpha(\vec{a} \cdot \hat{k}) = \frac{23}{2}$.
दिया गया है कि $\vec{b} \cdot \hat{k} = 2$ और $\vec{a} \cdot \hat{k} = 5$,इसलिए:
$2(2) - \alpha(5) = \frac{23}{2} \implies 4 - 5\alpha = \frac{23}{2} \implies 5\alpha = 4 - \frac{23}{2} = -\frac{15}{2} \implies \alpha = -\frac{3}{2}$.
अब,$\vec{b} \times 2\hat{j} = 2(\vec{b} \times \hat{j})$ की गणना करते हैं:
$\vec{b} \times \hat{j} = (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 2 \hat{k}) \times \hat{j} = \alpha(\hat{i} \times \hat{j}) + \beta(\hat{j} \times \hat{j}) + 2(\hat{k} \times \hat{j}) = \alpha \hat{k} - 2 \hat{i}$.
अतः,$\vec{b} \times 2\hat{j} = 2(-\alpha \hat{k} + 2 \hat{i}) = 4\hat{i} - 2\alpha \hat{k}$.
$|\vec{b} \times 2\hat{j}| = \sqrt{4^2 + (-2\alpha)^2} = \sqrt{16 + 4\alpha^2} = \sqrt{16 + 4(-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{16 + 4(\frac{9}{4})} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(A) दिया गया है $\vec{a} = 3 \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ का उपयोग करते हुए।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} + \lambda \vec{c}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{b} + \lambda \vec{c}$।
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ समांतर नहीं हैं,हम $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ और $-(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \lambda$।
अब,$\vec{a} \cdot \vec{b}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) = (3)(1) + (1)(2) + (0)(1) = 3 + 2 = 5$।
अतः,$\lambda = -(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -5$।

(A) हम सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
सबसे पहले,आंतरिक सदिश गुणन की गणना करें: $(3\hat{i}+4\hat{j}) \times (\hat{j}+\hat{k}) = 3(\hat{i} \times \hat{j}) + 3(\hat{i} \times \hat{k}) + 4(\hat{j} \times \hat{j}) + 4(\hat{j} \times \hat{k}) = 3\hat{k} - 3\hat{j} + 0 + 4\hat{i} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब,अगले सदिश गुणन की गणना करें: $(\hat{i}-\hat{k}) \times (4\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{i} \times (4\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}) - \hat{k} \times (4\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}) = (0 - 3\hat{k} - 3\hat{j}) - (4\hat{j} + 3\hat{i} + 0) = -3\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$.
दिया है कि $\vec{v} \times (-3\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}) = \vec{0}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{v}$ सदिश $3\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$ के समांतर है।
मान लीजिए $\vec{v} = \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k})$.
दिया है कि $\vec{v} \cdot \hat{j} = -7$,इसलिए $7\lambda = -7$,जिसका अर्थ है $\lambda = -1$.
अतः,$\vec{v} = -3\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$.
इसलिए,$\vec{v} \cdot \hat{i} = -3$.

(D) सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ का उपयोग करते हुए।
दिया गया है कि $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\vec{b} - \vec{c}}{2}$,इसलिए $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$ है।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{b}$,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{d} = \frac{1}{2}$ है।
अब,अदिश त्रिक गुणन $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d}))$ पर विचार करें।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{d}$ का उपयोग करते हुए।
चूँकि $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,यह $(\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c}$ में सरल हो जाता है।
अतः,$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{a} \cdot ((\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{d})(\vec{a} \cdot \vec{c})$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।