Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{b}$ ज्ञात करें:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12 - (-2)) - \hat{j}(-8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = -10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}$
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{c}$ ज्ञात करें:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-1)) - \hat{j}(2 - (-1)) + \hat{k}(2 - 3) = 4\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$
अब,प्राप्त दो सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = (-10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k})$
$= (-10)(4) + (9)(-3) + (7)(-1)$
$= -40 - 27 - 7 = -74$

(A) मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ उन रेखाओं के अनुदिश सदिश हैं जिनके दिक-अनुपात क्रमशः $2, 3, 1$ और $1, 2, 1$ हैं।
$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(2-1) + \hat{k}(4-3) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$।
अतः,दिक-अनुपात $1, -1, 1$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है कि $u = a - b$ और $v = a + b$ है।
हमें $|u \times v|$ ज्ञात करना है।
$|u \times v| = |(a - b) \times (a + b)|$
$= |a \times a + a \times b - b \times a - b \times b|$
चूँकि $a \times a = 0$ और $b \times b = 0$,और $b \times a = -(a \times b)$,इसलिए:
$|u \times v| = |0 + a \times b + a \times b - 0| = |2(a \times b)| = 2|a \times b|$.
हम जानते हैं कि $|a \times b|^{2} + (a \cdot b)^{2} = |a|^{2} |b|^{2}$ होता है।
दिया गया है कि $|a| = |b| = 2$,इसलिए $|a|^{2} = 4$ और $|b|^{2} = 4$ है।
$|a \times b|^{2} + (a \cdot b)^{2} = 4 \times 4 = 16$।
$|a \times b| = \sqrt{16 - (a \cdot b)^{2}}$।
अतः,$|u \times v| = 2 \sqrt{16 - (a \cdot b)^{2}}$।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0), A(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}),$ और $B(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,$\text{Area} = \frac{1}{2} |(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})|$.
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}$.
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$ और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$,इसलिए:
$= 0 - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - 0 = -2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$.
अतः,$\text{Area} = \frac{1}{2} |-2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
चूंकि $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$,$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin(90^{\circ}) = 2 \times 3 \times 1 = 6$.

(B) माना कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\overrightarrow{d_1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{d_2} = -\hat{i} + 2\hat{j}$ हैं।
विकर्णों $\overrightarrow{d_1}$ और $\overrightarrow{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(0) - (2)(2)) - \hat{j}((1)(0) - (2)(-1)) + \hat{k}((1)(2) - (-3)(-1))$
$= -4\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ होगा।

(C) माना $\bar{u} = \bar{a} \times \bar{b}$ और $\bar{v} = \bar{c} \times \bar{d}$ है।
दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = |\bar{d}| = 1$ है।
चूँकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$ है,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
इसी प्रकार,$|\bar{c} \times \bar{d}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$[\bar{a} \bar{b} \bar{d}] \bar{c} - [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] \bar{d} = (\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{c} \times \bar{d}) = \bar{u} \times \bar{v}$ है।
इसका परिमाण $|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}| |\bar{v}| \sin(\theta)$ है,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
$|\bar{u} \times \bar{v}| = (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ है।

(B) दिया गया है कि $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\overline{c}|^2+|\overline{a}|^2-2(\overline{a} \cdot \overline{c})=8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\overline{a}|^2 = 2^2+1^2+(-2)^2 = 9$ और $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,इसलिए समीकरण $|\overline{c}|^2+9-2|\overline{c}|=8$ बन जाता है।
यह $(|\overline{c}|-1)^2=0$ में सरल हो जाता है,अतः $|\overline{c}|=1$ है।
अब,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$।
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ है।
अंत में,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(30^{\circ}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$।

(C) हमें दिया गया है कि $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \frac{\pi}{3} = 10$।
$|\vec{b}| = 5$ और $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $5 \times |\vec{c}| \times \frac{1}{2} = 10$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $|\vec{c}| = 4$।
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin \frac{\pi}{3} = 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ है।
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b} \times \vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{a}$ और $(\vec{b} \times \vec{c})$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$|\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| \sin \frac{\pi}{2} = \sqrt{3} \times (10\sqrt{3}) \times 1 = 30$।

(B) सबसे पहले,$|\bar{a}|^2 = 4^2 + 3^2 + 1^2 = 16 + 9 + 1 = 26$ की गणना करें।
साथ ही,$\bar{a} \cdot \bar{b} = (4)(1) + (3)(-2) + (1)(2) = 4 - 6 + 2 = 0$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}$ का उपयोग करते हुए,चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,हमें $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = -|\bar{a}|^2 \bar{b} = -26\bar{b}$ प्राप्त होता है।
अब,मान लीजिए $\bar{v} = \bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = -26\bar{b}$ है।
तब $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{v}) = \bar{a} \times (\bar{a} \times (-26\bar{b})) = -26(\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}))$ होगा।
पिछले परिणाम को प्रतिस्थापित करने पर: $-26(-26\bar{b}) = 676\bar{b}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $\bar{b} \cdot \bar{c} = |\bar{b}| |\bar{c}| \cos(45^{\circ}) = 8$.
मान रखने पर,$2 \times |\bar{c}| \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$,जिसका अर्थ है कि $|\bar{c}| = 4 \sqrt{2}$.
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ समतलीय हैं,सदिश $\bar{b} \times \bar{c}$ उस समतल के लंबवत है जिसमें $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ स्थित हैं।
इसलिए,$\bar{a}$ सदिश $\bar{b} \times \bar{c}$ के लंबवत है।
गुणधर्म $|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \sin(90^{\circ}) = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}|$ का उपयोग करते हुए।
हम जानते हैं कि $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(45^{\circ}) = 2 \times 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$.
अतः,$|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = 1 \times 8 = 8$.

(A) दिया गया है कि $\bar{b} \cdot \bar{c} = |\bar{b}| |\bar{c}| \cos(45^{\circ}) = 8$.
मान रखने पर,$2 \cdot |\bar{c}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$,जिसका अर्थ है कि $|\bar{c}| = 4\sqrt{2}$.
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ समतलीय हैं,सदिश $\bar{v} = (\bar{b} \times \bar{c})$ उस समतल के लंबवत है जिसमें $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ स्थित हैं।
अतः,$\bar{a}$ सदिश $(\bar{b} \times \bar{c})$ के लंबवत है।
इसलिए,$|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \sin(90^{\circ}) = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}|$.
हम जानते हैं कि $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(45^{\circ}) = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$.
चूंकि $|\bar{a}| = 1$,मान $1 \cdot 8 = 8$ है।

(A) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$.
दिया गया है कि $\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\bar{b}+\bar{c}}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c} = \frac{1}{\sqrt{2}} \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} \bar{c}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(\bar{a} \cdot \bar{c} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \bar{c} = 0$.
चूंकि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ असमतलीय हैं (और इसलिए रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं),गुणांक शून्य होने चाहिए:
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$.
अतः,$|\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,जहाँ $\theta$ सदिश $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,$\theta = \frac{3 \pi}{4}$.

(D) सदिश त्रिक गुणन सूत्र के अनुसार: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$ होता है।
दिए गए समीकरण $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{c}$ के साथ तुलना करने पर:
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{c}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ समांतर नहीं हैं,हम $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $-(\bar{a} \cdot \bar{b}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
मान लीजिए $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है। चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,$|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos \theta = \cos \theta$ है।
अतः,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूंकि $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ है।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ की गणना करें:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ है।
दिया गया है कि $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{c} \cdot \overline{a}) = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\overline{a}| = 3$ और $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ है,इसलिए $|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ होगा।
$|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0 \Rightarrow (|\overline{c}| - 1)^2 = 0 \Rightarrow |\overline{c}| = 1$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(30^{\circ})$ होता है।
मान रखने पर: $3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(A) दिया गया है $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,इसलिए $|\overline{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4+1+4 = 9$,जिसका अर्थ है $|\overline{a}|=3$।
दिया गया है $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\overline{c}-\overline{a}|^2 = (2 \sqrt{2})^2 = 8$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 8$ मिलता है।
$\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ और $|\overline{a}|^2 = 9$ रखने पर,$|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0$ हो जाता है।
यह $(|\overline{c}|-1)^2 = 0$ है,इसलिए $|\overline{c}| = 1$।
अब,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$।
अतः,$|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$।
अंत में,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$।

(D) दिया गया है $\bar{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\bar{b}=\hat{i}+\hat{j}$.
सबसे पहले,$\bar{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\bar{a}|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.
अब,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{b}$ ज्ञात करें:
$\bar{a} \times \bar{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\bar{a} \times \bar{b}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$ है।
दिया गया है कि $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|=3$ और $\bar{c}$ तथा $\bar{a} \times \bar{b}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
सूत्र $|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}||\bar{v}| \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin \frac{\pi}{6} = 3$.
$3 \cdot |\bar{c}| \cdot \frac{1}{2} = 3 \Rightarrow |\bar{c}|=2$.
अब,$|\bar{c}-\bar{a}|=4$ का उपयोग करने पर:
$|\bar{c}-\bar{a}|^2 = |\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 4^2$.
$2^2 + 3^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$4 + 9 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$13 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$-2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 3$.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = -\frac{3}{2}$.

(A) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है,यानी $|\vec{a} \times \vec{b}|$।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3(-2) - 4(-1)) - \hat{j}(2(-2) - 4(0)) + \hat{k}(2(-1) - 3(0))$
$= \hat{i}(-6 + 4) - \hat{j}(-4 - 0) + \hat{k}(-2 - 0)$
$= -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$।
अब,हम इस सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2}$
$= \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$।
अतः,क्षेत्रफल $2\sqrt{6}$ वर्ग इकाई है।

(A) हमें दिया गया है कि $|\vec{a}|=3$,$|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}$,और $\vec{a} \times \vec{b}$ एक इकाई सदिश है,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a} \times \vec{b}|=1$ है।
हम सदिश गुणनफल के परिमाण का सूत्र जानते हैं: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin \theta$।
इसे सरल करने पर $1 = \sqrt{2} \sin \theta$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूँकि $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ होगा।

(B) माना $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$.
तब,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{i} = -a_2\hat{k} + a_3\hat{j}$.
अतः,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$.
इसी प्रकार,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ और $|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$.
इनका योग करने पर,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$.
चूँकि $|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$,इसलिए यह व्यंजक $2|\vec{a}|^2$ के बराबर है।

(B) शीर्षों $A$,$B$ और $C$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष $A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ और $C(2, 3, 1)$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करें:
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} = \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j}$.
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करें:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{21}$ वर्ग इकाई है।

(A) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $|\vec{a} \times \vec{b}|$।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{20^2 + 5^2 + (-5)^2}$
$= \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2}$
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $15\sqrt{2}$ वर्ग इकाई है।

(C) माना $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ है।
दिया गया है कि $|\vec{a}| = 3$,इसलिए $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 3^2 = 9$ है।
अब,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j}$ है।
अतः,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$ है।
इसी प्रकार,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ और $|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$ है।
इनका योग करने पर,हमें $|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$ प्राप्त होता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$2(9) = 18$ प्राप्त होता है।

(D) एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{20^2 + 5^2 + (-5)^2}$ ज्ञात करें.
$= \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2}$ वर्ग इकाई.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि दो सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $|\bar{a}| = \frac{2}{3}$,$|\bar{b}| = 3$,और $|\bar{a} \times \bar{b}| = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 = (\frac{2}{3}) \times 3 \times \sin(\theta)$
$1 = 2 \sin(\theta)$
$\sin(\theta) = \frac{1}{2}$
चूंकि $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ (या $30^{\circ}$) है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) आसन्न भुजाओं $\bar{a}$ और $\bar{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण,$|\bar{a} \times \bar{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\bar{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\bar{b} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$।
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 \times 0 - 2 \times 2) - \hat{j}(0 \times 0 - 2 \times 1) + \hat{k}(0 \times 2 - 1 \times 1)$
$= \hat{i}(-4) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(-1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$।
क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया है कि $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = \frac{\sqrt{2}}{3}$,और $|\vec{a} \times \vec{b}| = 1$ (क्योंकि यह एक इकाई सदिश है)।
हम जानते हैं कि सदिश गुणनफल के परिमाण का सूत्र: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin(\theta)$.
इसे सरल करने पर: $1 = \sqrt{2} \sin(\theta)$.
अतः,$\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।

(A) ,$B$ और $C$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$।
दिए गए शीर्ष $A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ और $C(2, 3, 1)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} = \langle 0, 1, 2 \rangle$।
$\vec{AC} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k} = \langle 1, 2, 0 \rangle$।
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करें:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ है।

(C) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{p}=\vec{a}-\vec{b} = (1-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = 0\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{q}=\vec{a}+\vec{b} = (1+1)\hat{i} + (-1+2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = 2\hat{i}+1\hat{j}-2\hat{k}$ की गणना करें।
$\vec{p}$ और $\vec{q}$ दोनों के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{p} \times \vec{q}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-4) - \hat{j}(0-8) + \hat{k}(0-(-6)) = 2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}$।
इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{2^2+8^2+6^2}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{4+64+36}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{104}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{2\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\hat{i}+\frac{4}{\sqrt{26}}\hat{j}+\frac{3}{\sqrt{26}}\hat{k}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(1) - 4(-1)) - \hat{j}(3(1) - 4(1)) + \hat{k}(3(-1) - 1(1))$
$= \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(3 - 4) + \hat{k}(-3 - 1)$
$= 5\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + (-4)^2}$ ज्ञात करें.
$= \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}$ वर्ग इकाई.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,उनके अदिश गुणनफल (dot product) और सदिश गुणनफल (cross product) के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$
दिए गए मान $|\vec{a}|=10$,$|\vec{b}|=2$,और $\vec{a} \cdot \vec{b}=12$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (12)^2 = (10)^2 (2)^2$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 144 = 100 \times 4$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 144 = 400$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 400 - 144$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 256$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{256} = 16$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) चूंकि दो सदिशों का क्रॉस गुणनफल शून्य है,इसलिए सदिश संरेख (collinear) होने चाहिए।
अतः,$(2 \hat{i} + 6 \hat{j} + 27 \hat{k}) = k (\hat{i} + \lambda \hat{j} + \mu \hat{k})$ किसी अदिश $k$ के लिए।
घटकों की तुलना करने पर:
$2 = k \implies k = 2$
$6 = k \lambda \implies 6 = 2 \lambda \implies \lambda = 3$
$27 = k \mu \implies 27 = 2 \mu \implies \mu = \frac{27}{2}$
इसलिए,$\lambda + \mu = 3 + \frac{27}{2} = \frac{6 + 27}{2} = \frac{33}{2}$.

(D) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$.
यहाँ $\vec{d_1} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(0 - 1) = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
अतः,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ वर्ग इकाई है।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिए गए समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल (cross product) के परिमाण द्वारा दिया जाता है: $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0(1) - 1(1)) - \hat{j}(1(1) - 1(2)) + \hat{k}(1(1) - 0(2))$
$= -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
अब,प्राप्त सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (1)^2}$
$= \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(D) हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $12 = 10 \times 2 \times \cos \theta$.
$12 = 20 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
अब,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 10 \times 2 \times \frac{4}{5} = 20 \times \frac{4}{5} = 16$.

(C) दिया गया समीकरण $a+2b+3c=0$ है।
समीकरण का $c$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$(a+2b+3c) \times c = 0 \times c = 0$
$a \times c + 2(b \times c) + 3(c \times c) = 0$
चूंकि $c \times c = 0$,इसलिए $a \times c + 2(b \times c) = 0$,जिसका अर्थ है $c \times a = 2(b \times c)$।
समीकरण का $b$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$(a+2b+3c) \times b = 0 \times b = 0$
$a \times b + 2(b \times b) + 3(c \times b) = 0$
चूंकि $b \times b = 0$,इसलिए $a \times b - 3(b \times c) = 0$,जिसका अर्थ है $a \times b = 3(b \times c)$।
अब,इन मानों को दी गई अभिव्यक्ति में रखने पर:
$(a \times b) + (b \times c) + (c \times a) = 3(b \times c) + (b \times c) + 2(b \times c) = 6(b \times c)$।
इसे $\lambda(b \times c)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = 6$ प्राप्त होता है।

(C) और $b$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|a \times b| = 15$ वर्ग इकाई है।
अब,$(3a+2b)$ और $(a+3b)$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होगा:
क्षेत्रफल $= |(3a+2b) \times (a+3b)|$
$= |3a \times a + 9a \times b + 2b \times a + 6b \times b|$
चूंकि $a \times a = 0$ और $b \times b = 0$,इसलिए:
$= |9(a \times b) + 2(b \times a)|$
गुणधर्म $b \times a = -(a \times b)$ का उपयोग करने पर:
$= |9(a \times b) - 2(a \times b)|$
$= |7(a \times b)|$
$= 7 |a \times b|$
दी गई मान $|a \times b| = 15$ रखने पर:
$= 7 \times 15 = 105$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया है,$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{0} \quad \dots(i)$
समीकरण $(i)$ का $\overrightarrow{b}$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) + 3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{b}$
चूंकि $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ और $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b} = -(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
समीकरण $(i)$ का $\overrightarrow{c}$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{c}$
चूंकि $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ और $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = -(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$:
$-(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a} = 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
अब,इन मानों को $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ में रखने पर:
$= 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
$= 6(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$

(D) माना $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\overrightarrow{b} = \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
अभीष्ट इकाई सदिश $\pm \frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $\frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।

(B) बिंदुओं $A, B$ और $C$ वाले समतल के लंबवत सदिश ज्ञात करने के लिए,हम समतल में स्थित दो सदिशों,जैसे $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ का क्रॉस गुणनफल ज्ञात करते हैं।
दिए गए बिंदु: $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$,$C(0, 2, 1)$।
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0 - (-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (2 - (-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{array}\right|$
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1))$
$\vec{n} = \hat{i}(8) - \hat{j}(-4) + \hat{k}(4) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$
अतः,समतल के लंबवत सदिश $8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।

(B) माना $\vec{u} = i+j+k$ और $\vec{v} = 2i+j+3k$ है।
$\vec{u}$ और $\vec{v}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{w} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = i(3-1) - j(3-2) + k(1-2) = 2i - j - k$.
$\vec{w}$ का परिमाण $|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$ है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \pm \frac{2i-j-k}{\sqrt{6}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{2i-j-k}{\sqrt{6}}$ है।

(D) और $c$ के समतल में स्थित सदिश $b$ और $c$ के रैखिक संयोजन द्वारा प्राप्त होता है। $a$ के लंबवत और $b$ तथा $c$ के समतल में स्थित सदिश $a \times (b \times c)$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम $b \times c$ की गणना करते हैं:
$b \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 25) - \hat{j}(-1 + 15) + \hat{k}(5 - 6) = 23 \hat{i} - 14 \hat{j} - \hat{k}$.
अब,हम $a \times (b \times c)$ की गणना करते हैं:
$a \times (b \times c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 23 & -14 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 14) - \hat{j}(-2 + 23) + \hat{k}(-28 - 69) = -17 \hat{i} - 21 \hat{j} - 97 \hat{k}$.
अतः,अभीष्ट सदिश $-17 \hat{i} - 21 \hat{j} - 97 \hat{k}$ है।

(A) दिए गए चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A(0,4,1)$,$B(2,3,-1)$,$C(4,5,0)$ और $D(2,6,2)$ हैं।
हम चतुर्भुज को दो त्रिभुजों,$\triangle ABD$ और $\triangle BCD$ में विभाजित कर सकते हैं।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल इन दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग है।
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}|$.
$\vec{AB} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{AD} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AB} \times \vec{AD} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 6^2} = 9$.
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \text{ वर्ग इकाई}$.
$\triangle BCD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}|$.
$\vec{BC} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{BD} = 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{BC} \times \vec{BD} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\vec{BC} \times \vec{BD}| = 9$.
$\triangle BCD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \text{ वर्ग इकाई}$.
कुल क्षेत्रफल = $4.5 + 4.5 = 9 \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) माना $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b} = -2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3 - (-2)) + \hat{k}(1 - (-4)) = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25+25+25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \pm \frac{\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ का मान $\frac{5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ है,जो सरल करने पर $\frac{\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.
चूंकि $\vec{u}=\vec{a}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$,मान लीजिए $\theta$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है। तब $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos \theta$.
अतः,$\vec{u} = \vec{a} - \cos \theta \vec{b}$.
परिमाण का वर्ग ज्ञात करने पर: $|\vec{u}|^2 = |\vec{a}|^2 + \cos^2 \theta |\vec{b}|^2 - 2 \cos \theta (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
इस प्रकार,$|\vec{u}| = \sin \theta$ (क्योंकि गैर-संरेखीय सदिशों के लिए $\sin \theta > 0$)।
साथ ही,$|\vec{v}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = \sin \theta$.
इसलिए,$|\vec{v}| = |\vec{u}|$.
अब,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 - 0 = 0$.
अतः,$|\vec{v}| = |\vec{u}| + |\vec{u} \cdot \vec{v}| = |\vec{u}| + 0 = |\vec{u}|$.

(D) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-3)) - \hat{j}(-1 - 2) + \hat{k}(-3 - (-2)) = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$.
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{d}$ की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-2)) - \hat{j}(1 - (-4)) + \hat{k}(1 - 2) = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} - \hat{k}$.
अंत में,प्राप्त दो सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{b} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & -5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 5) - \hat{j}(-4 - (-3)) + \hat{k}(-20 - 9) = -8 \hat{i} + \hat{j} - 29 \hat{k}$.

(D) दिया गया है,$F=2 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$,$A=(1,2,5)$,और $B=(-1,-2,-3)$।
सबसे पहले,हम सदिश $BA = A - B$ ज्ञात करते हैं:
$BA = (1 - (-1)) \hat{i} + (2 - (-2)) \hat{j} + (5 - (-3)) \hat{k} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 8 \hat{k}$।
अब,हम सदिश गुणनफल $BA \times F$ की गणना करते हैं:
$BA \times F = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 8 \\ 2 & 2 & 5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(4 \times 5 - 8 \times 2) - \hat{j}(2 \times 5 - 8 \times 2) + \hat{k}(2 \times 2 - 4 \times 2)$
$= \hat{i}(20 - 16) - \hat{j}(10 - 16) + \hat{k}(4 - 8)$
$= 4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 4 \hat{k}$।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $4 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \lambda \hat{k}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \lambda = -4$।
अतः,$\lambda = -2$।

(A) माना समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\overrightarrow{d_1} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{d_2} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ हैं।
$\overrightarrow{d_1} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$
$\overrightarrow{d_2} = (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + (7\hat{i} + 9\hat{j} + 11\hat{k}) = 8\hat{i} + 12\hat{j} + 16\hat{k}$
विकर्णों $\overrightarrow{d_1}$ और $\overrightarrow{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 12 & 16 \end{vmatrix} = \hat{i}(64 - 72) - \hat{j}(32 - 48) + \hat{k}(24 - 32) = -8\hat{i} + 16\hat{j} - 8\hat{k}$
परिमाण $|\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 256 + 64} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = 8\sqrt{6}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$ वर्ग इकाई।

(B) माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(1) - 2(-2)) - \hat{j}(1(1) - 2(3)) + \hat{k}(1(-2) - 1(3))$
$= \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-2 - 3)$
$= 5\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-5)^2}$ की गणना करें।
$= \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$।
अतः,क्षेत्रफल $5\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया है कि $p \times q = r$ और $q \times p = r$ है।
हम जानते हैं कि सदिश गुणनफल (cross product) एंटी-कम्यूटेटिव होता है,इसलिए $q \times p = -(p \times q)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r = -r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2r = 0$,इसलिए $r = 0$ है।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि $r \neq 0$ है।
चूँकि $p \times q = q \times p = r$ की स्थिति $r \neq 0$ के साथ विरोधाभास पैदा करती है,इसलिए प्रश्न में दी गई शर्तें गणितीय रूप से असंगत हैं।
यदि प्रश्न का उद्देश्य सदिश गुणनफल के गुणों को दर्शाना है जहाँ $p \times q = r$,तो $r$,$p$ और $q$ दोनों के लंबवत होता है।
हालाँकि,दिए गए समीकरणों के तार्किक अर्थ के आधार पर,$r \neq 0$ की शर्त के तहत कथन $(i)$ और (ii) दोनों एक साथ संतुष्ट नहीं हो सकते हैं।