Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(D) दो समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{k}) = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
चूंकि $\vec{a}$ प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है,$\vec{a} = \lambda(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2)$.
$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
अतः,$\vec{a} = \lambda(-2\hat{j} + 2\hat{k})$.
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$,जहाँ $\vec{b} = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$.
$\lambda(-2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) = \lambda(0 + 4 + 2) = 6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$.
इस प्रकार,$\vec{a} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{6}{2\sqrt{2} \times 3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = \frac{\pi}{4}$.
सर्वसमिका $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (8)(9) - 6^2 = 72 - 36 = 36$ का उपयोग करते हुए।
इसलिए,$|\vec{a} \times \vec{b}| = 6$.
क्रमित युग्म $(\frac{\pi}{4}, 6)$ है।

(C) दिया गया है $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$।
$|\vec{a}|^2 = 3^2 + 1^2 + (-1)^2 = 11$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{11}$।
$|\vec{c}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 3^2 = 22$,इसलिए $|\vec{c}| = \sqrt{22}$।
चूंकि $\vec{a} = \vec{b} \times \vec{c}$,$\vec{a}$ सदिश $\vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$।
साथ ही,$|\vec{a}| = |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}||\vec{c}| \sin \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है।
$\sqrt{11} = \sqrt{50} \cdot \sqrt{22} \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{10}$।
अतः $\cos \theta = \frac{\sqrt{99}}{10}$।
अब,$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$।
$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = 50 + 22 + 2(\sqrt{50})(\sqrt{22}) \left(\frac{\sqrt{99}}{10}\right) = 72 + 66 = 138$।
अंत में,$|72 - |\vec{b} + \vec{c}|^2| = |72 - 138| = 66$।

(D) दिया गया है: $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ और कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
हमें $|(\vec{a}+2 \vec{b}) \times(2 \vec{a}-3 \vec{b})|^2$ का मान ज्ञात करना है।
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:
$(\vec{a}+2 \vec{b}) \times(2 \vec{a}-3 \vec{b}) = \vec{a} \times (2 \vec{a}) - \vec{a} \times (3 \vec{b}) + (2 \vec{b}) \times (2 \vec{a}) - (2 \vec{b}) \times (3 \vec{b})$.
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,यह सरल होकर निम्न प्रकार होगा:
$0 - 3(\vec{a} \times \vec{b}) + 4(\vec{b} \times \vec{a}) - 0$.
गुणधर्म $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ का उपयोग करने पर:
$-3(\vec{a} \times \vec{b}) - 4(\vec{a} \times \vec{b}) = -7(\vec{a} \times \vec{b})$.
अब,परिमाण का वर्ग ज्ञात करने पर:
$|-7(\vec{a} \times \vec{b})|^2 = 49 |\vec{a} \times \vec{b}|^2$.
चूंकि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 2 \times 3 \times \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$.
अंत में,$49 \times 18 = 882$.

(D) सदिशों $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{b}$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज $S$ का क्षेत्रफल $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल $\triangle OAB$ और $\triangle OBC$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में गणना की जा सकती है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times (12 \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |0 + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = 2 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
$\triangle OBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{OC} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{b} \times (12 \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + 4(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + 0| = 6 |\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}| = 6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
चतुर्भुज $OABC$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| + 6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 8 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
चतुर्भुज $OABC$ के क्षेत्रफल और $S$ के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{8 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|} = 8$ है।

(C) दिया गया है $|\vec{a}|=1$,$|\vec{b}|=4$,और $\vec{a} \cdot \vec{b}=2$।
हमें $\vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})-3 \vec{b}$ दिया गया है।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,$\vec{b} \cdot \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}) = 2(\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 3(\vec{b} \cdot \vec{b})$।
चूंकि $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ (क्योंकि क्रॉस प्रोडक्ट दोनों सदिशों के लंबवत होता है),इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 - 3|\vec{b}|^2 = -3(4^2) = -3(16) = -48$।
अब,$|\vec{c}|^2$ की गणना करें:
$|\vec{c}|^2 = |2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}$।
चूंकि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2$।
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$।
अतः,$|\vec{c}|^2 = 4(12) + 9(16) = 48 + 144 = 192$।
इसलिए,$|\vec{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$।
अंत में,$\cos \theta = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$।

(B) विकर्णों $\overrightarrow{d_1}$ और $\overrightarrow{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\overrightarrow{d_1} = \overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-3-2)\hat{i} + (4-3)\hat{j} + (-2-5)\hat{k} = -5\hat{i} + \hat{j} - 7\hat{k}$ है।
दूसरा विकर्ण $\overrightarrow{d_2} = \overrightarrow{BD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 1 & -7 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-14)) - \hat{j}(-15 - (-7)) + \hat{k}(-10 - 1) = 17\hat{i} + 8\hat{j} - 11\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|17\hat{i} + 8\hat{j} - 11\hat{k}| = \sqrt{17^2 + 8^2 + (-11)^2} = \sqrt{289 + 64 + 121} = \sqrt{474}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{474}$ है।

(B) दिया गया है कि $|\vec{b}|=1$ और $|\vec{b} \times \vec{a}|=2$ है।
हम जानते हैं कि सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{a}$ एक ऐसा सदिश है जो $\vec{b}$ और $\vec{a}$ दोनों के लंबवत है।
इसलिए,$(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$ है।
हमें $|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ का उपयोग करने पर:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = |\vec{b} \times \vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2((\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b})$।
चूंकि $(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$ है,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = |\vec{b} \times \vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$।
दिए गए मानों को रखने पर:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = (2)^2 + (1)^2 = 4 + 1 = 5$।

(A) दिया गया है कि $L_1, L_2$ के लंबवत है। दिशा सदिश $\vec{v_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + p\hat{k}$ हैं।
चूंकि $L_1 \perp L_2$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $(1)(3) + (-1)(1) + (2)(p) = 0$.
$3 - 1 + 2p = 0 \implies 2p = -2 \implies p = -1$.
रेखा $L_3, L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v_3}, \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ के समानांतर है।
$\vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 2) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$.
अतः,$L_3$ का समीकरण $\overrightarrow{r} = \delta(-\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k})$ है।
$L_3$ पर कोई भी बिंदु $(-\delta, 7\delta, 4\delta)$ के रूप का होता है।
$\delta = 1$ के लिए,बिंदु $(-1, 7, 4)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\vec{c} = 2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}$।
$\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}) = 2(\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 3|\vec{b}|^2$।
चूँकि $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = -3|\vec{b}|^2 = -3(4)^2 = -48$।
साथ ही,$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \alpha = 4|\vec{c}| \cos \alpha$।
अतः,$4|\vec{c}| \cos \alpha = -48 \Rightarrow |\vec{c}| \cos \alpha = -12$।
अब,$|\vec{c}|^2$ की गणना करते हैं:
$|\vec{c}|^2 = |2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}$।
चूँकि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9(16) = 4|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin^2 \theta + 144$।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 1 \cdot 4 \cdot \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = 1/2 \Rightarrow \sin^2 \theta = 3/4$।
$|\vec{c}|^2 = 4(1)(16)(3/4) + 144 = 48 + 144 = 192$।
हमें प्राप्त होता है $|\vec{c}|^2 \cos^2 \alpha = (-12)^2 = 144$।
$192 \cos^2 \alpha = 144 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 144/192 = 3/4$।
तब $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - 3/4 = 1/4$।
अतः,$192 \sin^2 \alpha = 192 \times (1/4) = 48$।

(B) दिया गया है $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$।
सबसे पहले,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = 5 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ और $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \hat{i}-7 \hat{j}-7 \hat{k}$ ज्ञात करें।
समीकरण $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 24 \hat{j}-6 \hat{k}$ इस प्रकार होगा:
$(5 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}) \times \overrightarrow{c} = 2(7 \hat{i}-7 \hat{j}-7 \hat{k}) + 24 \hat{j}-6 \hat{k} = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
माना $\overrightarrow{c} = x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$। तब $\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 1 & 4 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $\hat{i}(z-4y) - \hat{j}(5z-4x) + \hat{k}(5y-x) = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर: $z-4y=14$,$4x-5z=10$,$5y-x=-20$.
साथ ही,$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i}) \cdot \overrightarrow{c} = -3$। चूंकि $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$,इसलिए $2x+3y-2z=-3$.
इन समीकरणों को हल करने पर: $x=5, y=-3, z=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\overrightarrow{c}|^2 = 5^2 + (-3)^2 + 2^2 = 25+9+4 = 38$।

(A) त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = 15 \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -7 \\ 6 & d & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 7d) - \hat{j}(-2 + 42) + \hat{k}(d - 12) = (7d - 4)\hat{i} - 40\hat{j} + (d - 12)\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|^2 = (7d - 4)^2 + (-40)^2 + (d - 12)^2 = (2 \times 15 \sqrt{2})^2 = 900 \times 2 = 1800$.
$(49d^2 - 56d + 16) + 1600 + (d^2 - 24d + 144) = 1800$.
$50d^2 - 80d + 1760 = 1800 \implies 50d^2 - 80d - 40 = 0 \implies 5d^2 - 8d - 4 = 0$.
$d$ के लिए हल करने पर:
$5d^2 - 10d + 2d - 4 = 0 \implies 5d(d - 2) + 2(d - 2) = 0 \implies (5d + 2)(d - 2) = 0$.
चूँकि $d > 0$,इसलिए $d = 2$ है।
सदिश त्रिभुज नियम $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (6-1)\hat{i} + (d-2)\hat{j} + (-2 - (-7))\hat{k} = 5\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$.
अब,भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना करें:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-7)^2 = 1 + 4 + 49 = 54$.
$|\overrightarrow{BC}|^2 = 5^2 + 0^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
$|\overrightarrow{AC}|^2 = 6^2 + 2^2 + (-2)^2 = 36 + 4 + 4 = 44$.
सबसे बड़ी भुजा $\sqrt{54}$ है,और इसका वर्ग $54$ है।

(A) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|$ है।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{BD}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AC} = (3-1)\hat{i} + (4-(-1))\hat{j} + (-10-2)\hat{k} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 12\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = (-1-5)\hat{i} + (-4-7)\hat{j} + (-2-(-6))\hat{k} = -6\hat{i} - 11\hat{j} + 4\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 5 & -12 \\ -6 & -11 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(20 - 132) - \hat{j}(8 - 72) + \hat{k}(-22 + 30) = -112\hat{i} + 64\hat{j} + 8\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-112)^2 + 64^2 + 8^2} = \sqrt{12544 + 4096 + 64} = \sqrt{16704} = 24\sqrt{29}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 24\sqrt{29} = 12\sqrt{29}$ प्राप्त होता है।

(A) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,विकर्ण $\vec{AC}$ और $\vec{BD}$ हैं।
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (2-3)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = \left(\frac{10}{3} - \frac{5}{3}\right)\hat{i} + \left(\frac{2}{3} - \frac{7}{3}\right)\hat{j} + \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\right)\hat{k} = \frac{5}{3}\hat{i} - \frac{5}{3}\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AC} \times \vec{BD}$ की गणना करें:
$\vec{AC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ \frac{5}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{2}{3} \end{vmatrix} = \hat{i}\left(-\frac{2}{3} - \left(-\frac{10}{3}\right)\right) - \hat{j}\left(\frac{2}{3} - \frac{10}{3}\right) + \hat{k}\left(\frac{5}{3} - \frac{5}{3}\right) = \frac{8}{3}\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 0\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{AC} \times \vec{BD}| = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{128}{9}} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{BD}| = \frac{1}{2} \times \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.

(D) दिया गया है $\vec{a} = 6\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 6^2 + 1^2 + (-1)^2 = 36 + 1 + 1 = 38$.
दिया गया है $|\vec{c} - \vec{a}| = 2\sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 8$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 6|\vec{c}|$ और $|\vec{a}|^2 = 38$ रखने पर,$|\vec{c}|^2 + 38 - 2(6|\vec{c}|) = 8$ प्राप्त होता है।
$|\vec{c}|^2 - 12|\vec{c}| + 30 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $|\vec{c}|$ का मान निकालने पर: $|\vec{c}| = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2} = 6 \pm \sqrt{6}$.
चूंकि $|\vec{c}| \geq 6$,हम $|\vec{c}| = 6 + \sqrt{6}$ लेते हैं।
अब,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(60^{\circ})$ होता है।
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = (3\sqrt{3}) (6 + \sqrt{6}) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2}(6 + \sqrt{6})$.

(B) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
सबसे पहले,$\vec{v} = \vec{a} \times (\hat{i} + \hat{j})$ की गणना करें:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-1)) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(2 - 1) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
इसके बाद,$\vec{w} = \vec{v} \times \hat{i} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i} = \hat{i} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i} = 0 - (-\hat{k}) + \hat{j} = \hat{j} + \hat{k}$.
फिर,$\vec{b} = \vec{w} \times \hat{i} = (\hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i} = -\hat{k} + \hat{j} = \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $p = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{j} - \hat{k}) = 0 + 1 + 1 = 2$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
अतः,$p = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
प्रक्षेप का वर्ग $p^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ है।

(D) आसन्न भुजाओं $\overrightarrow{OA}$ और $\overrightarrow{OC}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है,$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}| = |2 \overrightarrow{a} \times 3 \overrightarrow{b}| = 15$.
$6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 15 \implies |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \dots (1)$.
विकर्णों $\overrightarrow{OB}$ और $\overrightarrow{AC}$ वाले चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = 3 \overrightarrow{b} - 2 \overrightarrow{a}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(6 \overrightarrow{a} + 5 \overrightarrow{b}) \times (3 \overrightarrow{b} - 2 \overrightarrow{a})|$.
$= \frac{1}{2} |18 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - 12 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) + 15 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) - 10 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})|$.
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |18 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 10 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |28 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = 14 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
समीकरण $(1)$ से मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= 14 \times \frac{5}{2} = 35$ वर्ग इकाई।

(D) विकर्णों $\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ विकर्ण $\vec{d}_1 = \vec{a}+\vec{b} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d}_2 = \vec{b}+\vec{c} = -\hat{i} + \beta\hat{j}$ हैं।
सदिश गुणनफल $\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & \alpha & 2 \\ -1 & \beta & 0 \end{vmatrix} = -2\beta\hat{i} - 2\hat{j} + (\alpha+\beta)\hat{k}$ है।
क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{4\beta^2 + 4 + (\alpha+\beta)^2} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4\beta^2 + 4 + \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta = 21$ प्राप्त होता है।
$\alpha\beta = -6$ दिया गया है,अतः: $\alpha^2 + 5\beta^2 + 2(-6) + 4 = 21 \implies \alpha^2 + 5\beta^2 = 29$।
पूर्णांक हल के लिए: यदि $\beta=2, \alpha=-3$ तो $9 + 20 = 29$ और यदि $\beta=-2, \alpha=3$ तो $9 + 20 = 29$।
अतः $(\alpha_1, \beta_1) = (-3, 2)$ और $(\alpha_2, \beta_2) = (3, -2)$ लेने पर।
$\alpha_1^2 + \beta_1^2 - \alpha_2\beta_2 = 9 + 4 - (3)(-2) = 9 + 4 + 6 = 19$।

(C) एक नियमित षट्कोण $PQRSTU$ में,भुजाएँ सदिश हैं। मान लीजिए $\vec{a} = \overline{PQ}$। एक नियमित षट्कोण में,$\overline{PQ}$ और $\overline{RS}$ समानांतर नहीं हैं,इसलिए $\overline{PQ} \times \overline{RS} \neq \overrightarrow{0}$।
अतः,$\text{कथन}-2$ असत्य है क्योंकि यह दावा करता है कि $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \overrightarrow{0}$।
$\text{कथन}-1$ के लिए,$\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) = \overline{PQ} \times \overline{RS} + \overline{PQ} \times \overline{ST}$। चूंकि $\overline{PQ}$ परिणामी सदिश $\overline{RS} + \overline{ST}$ के समानांतर नहीं है,इसलिए उनका क्रॉस गुणनफल शून्य नहीं है। अतः,$\text{कथन}-1$ सत्य है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं जैसे कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$।
चूंकि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$,हमारे पास $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ है।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $\vec{a} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c})$।
यह $\vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{a} \times \vec{c}$ देता है,जो सरल होकर $\vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$ हो जाता है।
अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इसी प्रकार,दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $\vec{b} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{b} \times (-\vec{c})$।
यह $\vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{c}$ देता है,जो सरल होकर $\vec{b} \times \vec{a} = \vec{c} \times \vec{b}$ या $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$ हो जाता है।
इस प्रकार,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक समबाहु त्रिभुज बनाने वाले इकाई सदिश हैं,इसलिए क्रॉस गुणनफल शून्य नहीं हैं। अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \neq \vec{0}$।

(D) दिया गया है $\hat{u} \times \vec{w} = \hat{v}$। चूंकि $\hat{u}$ और $\vec{w}$ इकाई सदिश हैं,$|\hat{u} \times \vec{w}| = |\hat{u}| |\vec{w}| \sin \theta = \sin \theta$। साथ ही,$|\hat{v}| = \frac{1}{\sqrt{6}} \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = 1$। अतः,$\sin \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 90^{\circ}$।
चूंकि $\hat{u} \times \vec{w} = \hat{v}$,$\hat{v}$ सदिश $\hat{u}$ और $\vec{w}$ दोनों के लंबवत है।
एक निश्चित $\hat{u}$ के लिए,ऐसे अनंत सदिश $\vec{w}$ मौजूद हैं जो $\hat{u}$ के लंबवत हैं और जिनका $\hat{u}$ के साथ सदिश गुणनफल $\hat{v}$ है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
चूंकि $\hat{v} \cdot \hat{u} = 0$,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{6}}(u_1 + u_2 + 2u_3) = 0$ है,इसलिए $u_1 + u_2 + 2u_3 = 0$।
यदि $\hat{u}$,$xy$-समतल में स्थित है,तो $u_3 = 0$,इसलिए $u_1 + u_2 = 0$,जिसका अर्थ है $|u_1| = |u_2|$। अतः,विकल्प $C$ सही है।
यदि $\hat{u}$,$xz$-समतल में स्थित है,तो $u_2 = 0$,इसलिए $u_1 + 2u_3 = 0$,जिसका अर्थ है $|u_1| = 2|u_3|$। अतः,विकल्प $D$ गलत है क्योंकि इसमें $2|u_1| = |u_3|$ दिया गया है।

(D) $(1)$ चूंकि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ भुजाओं $QR$ और $RP$ के अनुदिश इकाई सदिश हैं,उनके बीच का कोण $\pi - R$ है।
अतः,$|\overline{OX} \times \overline{OY}| = |\overline{OX}| |\overline{OY}| \sin(\pi - R) = 1 \cdot 1 \cdot \sin R = \sin R$.
चूंकि $P+Q+R = \pi$,$\sin R = \sin(\pi - (P+Q)) = \sin(P+Q)$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।
$(2)$ हमें $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
चूंकि $P+Q+R = \pi$,यह $\cos(\pi-R) + \cos(\pi-P) + \cos(\pi-Q) = -(\cos P + \cos Q + \cos R)$ के बराबर है।
किसी भी त्रिभुज के लिए,$\cos P + \cos Q + \cos R \leq \frac{3}{2}$.
इसलिए,$-(\cos P + \cos Q + \cos R) \geq -\frac{3}{2}$.
न्यूनतम मान $-\frac{3}{2}$ है,जो समबाहु त्रिभुज के लिए प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।
दोनों को मिलाने पर,सही विकल्प $A, B$ है।

(C) घन के शीर्ष $O(0,0,0), P(1,0,0), Q(0,1,0), R(0,0,1)$ और $T(1,1,1)$ हैं। केंद्र $S$ का निर्देशांक $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।
सदिशों की गणना:
$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{SP} = (1-\frac{1}{2})\hat{i} + (0-\frac{1}{2})\hat{j} + (0-\frac{1}{2})\hat{k} = \frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$
$\overrightarrow{q} = \overrightarrow{SQ} = (0-\frac{1}{2})\hat{i} + (1-\frac{1}{2})\hat{j} + (0-\frac{1}{2})\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{SR} = (0-\frac{1}{2})\hat{i} + (0-\frac{1}{2})\hat{j} + (1-\frac{1}{2})\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$
$\overrightarrow{t} = \overrightarrow{ST} = (1-\frac{1}{2})\hat{i} + (1-\frac{1}{2})\hat{j} + (1-\frac{1}{2})\hat{k} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$
सदिश गुणन (Cross Product) की गणना:
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 & -1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$
अब,$|(\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}) \times (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t})| = |(\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}) \times (-\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j})| = |\frac{1}{4}(\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{j})| = |\frac{1}{4}(2\hat{k})| = |\frac{1}{2}\hat{k}| = 0.5$

(C) दिया गया है $\overrightarrow{a}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
सबसे पहले,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times(\hat{i}-2\hat{k})$ की गणना करें:
$\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2\end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(-6-2) + \hat{k}(0-(-1)) = 2\hat{i}+8\hat{j}+\hat{k}$.
इसके बाद,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\times\hat{k}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{c}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} = \hat{i}(8-0) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(0-0) = 8\hat{i}-2\hat{j}$.
अब,$\overrightarrow{c}-2\hat{j} = (8\hat{i}-2\hat{j}) - 2\hat{j} = 8\hat{i}-4\hat{j}$ ज्ञात करें.
एक सदिश $\overrightarrow{v}$ का $\overrightarrow{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ द्वारा दिया जाता है.
यहाँ,$\overrightarrow{v} = 8\hat{i}-4\hat{j}$ और $\overrightarrow{a} = 3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$.
प्रक्षेप $= \frac{(8\hat{i}-4\hat{j}) \cdot (3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})}{\sqrt{14}} = \frac{(8)(3) + (-4)(-1) + (0)(2)}{\sqrt{14}} = \frac{24+4}{\sqrt{14}} = \frac{28}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{14}$.

(C) दिया गया है $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+\hat{k}$.
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}=\vec{c} \times \vec{b}$ से,हमें प्राप्त होता है $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}=0$,जिसका अर्थ है $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}=0$.
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{c}$ सदिश $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ के समांतर है।
मान लीजिए $\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda(5 \hat{i}-6 \hat{j}+4 \hat{k})$.
अतः $|\overrightarrow{c}|^2=\lambda^2(5^2+(-6)^2+4^2)=77 \lambda^2$.
दिया गया है $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}) \cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=168$.
इसका विस्तार करने पर,हमें मिलता है $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{c}|^2=168$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2)(3)+(-1)(-5)+(3)(1) = 6+5+3=14$.
$\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $14+\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+77 \lambda^2=168$.
$14+\lambda|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+77 \lambda^2=168$.
$14+\lambda(77)+77 \lambda^2=168$.
$77 \lambda^2+77 \lambda-154=0 \Rightarrow \lambda^2+\lambda-2=0$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है $(\lambda+2)(\lambda-1)=0$,इसलिए $\lambda=-2$ या $\lambda=1$.
चूंकि $|\overrightarrow{c}|^2=77 \lambda^2$,अधिकतम मान $\lambda=-2$ पर प्राप्त होता है।
$|\overrightarrow{c}|^2=77 \times (-2)^2 = 77 \times 4 = 308$.

(D) मान लीजिए $\overrightarrow{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(3 + 4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k} = -7(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
चूंकि $\hat{a}$,$\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के लंबवत एक इकाई सदिश है,$\hat{a} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
दिया गया है कि $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|} = \cos\left(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -\frac{1}{3}$.
यदि $\hat{a} = \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है,तो $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{3}} = \frac{1 - 1 - 1}{3} = -\frac{1}{3}$. यह शर्त को पूरा करता है।
यदि $\hat{a} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है,तो $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{3}} = \frac{-1 + 1 + 1}{3} = \frac{1}{3}$. यह अस्वीकार्य है।
अतः,$\hat{a} = \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
अब,$\hat{a}$,$\overrightarrow{u} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाता है।
$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\hat{a} \cdot \overrightarrow{u}}{|\hat{a}| |\overrightarrow{u}|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\frac{1 - \alpha - 1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{1 + \alpha^2 + 1}} = \frac{-\alpha}{\sqrt{3}\sqrt{\alpha^2 + 2}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\alpha^2 + 2} = -\alpha$. चूंकि $\alpha < 0$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $\frac{3}{4}(\alpha^2 + 2) = \alpha^2$.
$3\alpha^2 + 6 = 4\alpha^2 \Rightarrow \alpha^2 = 6$. चूंकि $\alpha < 0$,इसलिए $\alpha = -\sqrt{6}$.

(D) दिया गया है कि $\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-15-2) - \hat{j}(10-3) + \hat{k}(4+9) = -17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}$.
हमें दिया गया है कि $(\vec{a}-\vec{c}) \times \vec{b} = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
सदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{c} \times \vec{b}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
चूंकि $\vec{c} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{c})$,इसलिए $(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{b}$ का मान रखने पर,$(-17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}) + (\vec{b} \times \vec{c}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
अतः,$\vec{d} = \vec{b} \times \vec{c} = (-18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}) - (-17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}) = -\hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$.
अंत में,$\vec{a} \cdot \vec{d} = (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (-\hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}) = (2)(-1) + (-3)(4) + (1)(-1) = -2 - 12 - 1 = -15$.
इसलिए,$|\vec{a} \cdot \vec{d}| = |-15| = 15$.

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{d} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{d}$,अतः $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$ है।
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{d} = \lambda(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए है।
$\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = (3-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (3-2)\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ की गणना करने पर।
अतः,$\overrightarrow{d} = \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} = 4$,अतः $(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 4$ है।
$\lambda(1 - 4 + 1) = 4 \Rightarrow -2\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = -2$ है।
इस प्रकार,$\overrightarrow{d} = -2(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
अब,$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 4) - \hat{j}(-2 - (-2)) + \hat{k}(4 - (-4)) = -8\hat{i} + 8\hat{k}$ है।
अतः $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{d}|^2 = (-8)^2 + 0^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$ है।

(B) माना शीर्ष $A(1,2,0)$,$B(1,0,2)$,और $C(0,3,1)$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश $\vec{AB} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{AC} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल: $\vec{AB} \times \vec{AC} = -4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$ वर्ग इकाई है।

(C) माना $A = (1, 2, 0)$,$B = (1, 0, 2)$,और $C = (0, x, 1)$.
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (x-2)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = -\hat{i} + (x-2)\hat{j} + \hat{k}$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6}$ है।
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -2 & 2 \\ -1 & x-2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 2(x-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(0 - 2) = (2-2x)\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(2-2x)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4(1-x)^2 + 8} = 2\sqrt{x^2 - 2x + 3}$.
$\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6}$ होने के कारण,$\sqrt{x^2 - 2x + 3} = \sqrt{6}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 - 2x + 3 = 6 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$.
$(x-3)(x+1) = 0$,अतः $x = 3$ या $x = -1$।

(C) मान लीजिए बिंदु $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ हैं।
सबसे पहले,समतल में दो सदिश ज्ञात करें: $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
समतल के लंबवत एक सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1)) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
सरल करने पर,हम $\vec{n}' = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ले सकते हैं।
इसका परिमाण $|\vec{n}'| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ है।
इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{n}'}{|\vec{n}'|} = \pm \frac{2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}}$ हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) $\overline{a}$ का $\overline{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{|\overline{c}|} = \frac{10}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\overline{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3$.
अतः,$\frac{(\alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k})}{3} = \frac{10}{3}$.
$\alpha + 6 + 2 = 10 \Rightarrow \alpha = 2$.
अब,$\overline{b} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
दिया है $\overline{b} \times \overline{c} = -6\hat{i} + 10\hat{j} + 7\hat{k}$,घटकों की तुलना करने पर:
$6 + \beta = 7 \Rightarrow \beta = 1$.
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta = 2^2 + 1^2 - (2)(1) = 4 + 1 - 2 = 3$.

(A) माना $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ है।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{a}$ का $\vec{n}$ पर प्रक्षेप $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) = (2)(1) + (3)(-2) + (1)(1) = 2 - 6 + 1 = -3$ है।
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$ है।
प्रक्षेप का परिमाण = $\frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ इकाई।

(B) माना $\vec{a} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$.
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{a}$ का $\vec{n}$ पर प्रक्षेप का परिमाण $\left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
अतः,अभीष्ट प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{6}}$ इकाई है।

(B) माना $\vec{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
चूँकि रेखा दोनों रेखाओं पर लंब है,इसलिए इसका दिशा सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(9 + 2) = -8\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-8)^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{64 + 100 + 121} = \sqrt{285}$ है।
दिक्-कोसाइन इकाई सदिश के घटक हैं,जो $\frac{-8}{\sqrt{285}}, \frac{10}{\sqrt{285}}, \frac{11}{\sqrt{285}}$ हैं।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूंकि रेखा $(-1, 2, 2)$ और $(0, 2, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$-a + 2b + 2c = 0$ $(i)$
$0a + 2b + c = 0$ (ii)
समीकरण (ii) से,$c = -2b$ प्राप्त होता है।
$c = -2b$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-a + 2b + 2(-2b) = 0$
$-a + 2b - 4b = 0$
$-a - 2b = 0 \implies a = -2b$.
अब,$a = -2b$ और $c = -2b$ है।
यदि हम $b = 1$ लें,तो $a = -2$ और $c = -2$ प्राप्त होता है।
अतः दिक्-अनुपात $(-2, 1, -2)$ हैं,जो $(2, -1, 2)$ के समानुपाती हैं।
वैकल्पिक रूप से,सदिशों $\vec{n_1} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ का क्रॉस गुणनफल करने पर:
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
इस प्रकार,दिक्-अनुपात $(-2, 1, -2)$ या $(2, -1, 2)$ प्राप्त होते हैं।

(B) रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश क्रमशः $\vec{v_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(6-1) = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।
आवश्यक इकाई सदिश $\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ है।

(B) रेखाएं $L_1$ और $L_2$ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_1 = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ के समानांतर हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-3) - \hat{j}(25-4) + \hat{k}(15-8) = 7\hat{i} - 21\hat{j} + 7\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{7^2 + (-21)^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 441 + 49} = \sqrt{539} = 7\sqrt{11}$ है।
अतः,$\hat{n} = \pm \frac{7(\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})}{7\sqrt{11}} = \pm \frac{\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{11}}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(B) रेखाएं $L_1$ और $L_2$ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_1 = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के समानांतर हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ की गणना करें:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(6-1) = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
इसके बाद,परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|$ की गणना करें:
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
अतः,इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ है।

(A) रेखा उस बिंदु से गुजरती है जिसका स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
चूंकि रेखा $\vec{b}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b}_2 = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(-1 - 1) + \hat{k}(2 - 1) = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$.
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) + \lambda(-3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$ प्राप्त होता है।

(A) समतल $P_1$ का अभिलंब सदिश $\overline{n_1} = \overline{a} \times \overline{b}$ द्वारा दिया जाता है।
समतल $P_2$ का अभिलंब सदिश $\overline{n_2} = \overline{c} \times \overline{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $(\overline{a} \times \overline{b}) \times (\overline{c} \times \overline{d}) = \overline{0}$ यह दर्शाती है कि सदिश $\overline{n_1}$,सदिश $\overline{n_2}$ के समांतर है।
चूंकि दोनों समतलों के अभिलंब सदिश समांतर हैं,इसलिए समतल $P_1$ और $P_2$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
दो समांतर समतलों के बीच का कोण $0$ होता है।

(B) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v}$ है। चूँकि $\vec{v}$,$\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसे $\vec{v} = \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(2-1) = -3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ की गणना करें।
अब,$\vec{v} = \vec{c} \times (-3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-1) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(1+3) = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।

(A) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{a} \times (3\bar{a} + 2\bar{b})| = \frac{1}{2} |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 2(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |0 + 2(\bar{a} \times \bar{b})| = |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AD} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{b} \times (3\bar{a} + 2\bar{b})| = \frac{1}{2} |3(\bar{b} \times \bar{a}) + 2(\bar{b} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |-3(\bar{a} \times \bar{b}) + 0| = \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= |\bar{a} \times \bar{b}| + \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ है।
यह दिया गया है कि चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का $\alpha$ गुना है,इसलिए $\frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \alpha |\bar{a} \times \bar{b}|$.
अतः,$\alpha = \frac{5}{2} = 2.5$.

(C) रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_1 = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$ के समानांतर हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ की गणना करते हैं:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(3-4) = 5 \hat{i} - 7 \hat{j} - \hat{k}$.
इसके बाद,हम सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$.
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{5 \hat{i} - 7 \hat{j} - \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ है।

(C) $\overline{a}$ का $\overline{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{|\overline{c}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\overline{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ और $\overline{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$.
$|\overline{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \implies \alpha + 8 = 10 \implies \alpha = 2$.
अब,$\overline{b} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
इसकी तुलना $-6\hat{i} + 10\hat{j} + 7\hat{k}$ से करने पर,हमें $2\beta - 8 = -6 \implies 2\beta = 2 \implies \beta = 1$ प्राप्त होता है।
अंत में,$2\alpha + \beta = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$.

(B) माना भुजा सदिश $\vec{a} = 3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है और विकर्ण सदिश $\vec{c} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,माना $\vec{a} = \vec{AB}$ और $\vec{c} = \vec{AC}$ है।
$\triangle ABC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ होता है।
माना $\vec{b} = \vec{BC}$ है। अतः $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$,जिसका अर्थ है $\vec{b} = \vec{c} - \vec{a}$।
$\vec{b} = (2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{k}$।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इसकी दो आसन्न भुजाओं के सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $|\vec{a} \times \vec{b}|$।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 0) - \hat{j}(-3 - 1) + \hat{k}(0 - (-1)) = -\hat{i} + 4 \hat{j} + \hat{k}$।
क्षेत्रफल $= |-\hat{i} + 4 \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) दिया गया है कि $\overline{a} \times \overline{b} = 2 \overline{a} \times \overline{c}$,जिसे हम $\overline{a} \times (\overline{b} - 2 \overline{c}) = \overline{0}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि सदिश $(\overline{b} - 2 \overline{c})$,$\overline{a}$ के समांतर है,जो $\overline{b} - 2 \overline{c} = \lambda \overline{a}$ के अनुरूप है।
माना $\overline{b}$ और $\overline{c}$ के बीच का कोण $\alpha$ है।
$|\overline{b} \times \overline{c}| = \sqrt{15}$ दिया गया है,इसलिए $|\overline{b}| |\overline{c}| \sin \alpha = \sqrt{15}$ होगा।
मान रखने पर,$(4)(1) \sin \alpha = \sqrt{15}$,जिससे $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ होगा।
अब,$|\overline{b} - 2 \overline{c}|^2 = |\lambda \overline{a}|^2$ का उपयोग करते हैं।
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$.
$16 + 4(1) - 4(|\overline{b}| |\overline{c}| \cos \alpha) = \lambda^2 (1)^2$.
$20 - 4(4 \times 1 \times \frac{1}{4}) = \lambda^2$.
$20 - 4 = \lambda^2$,जिससे $\lambda^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = \pm 4$ है। विकल्पों में $-4$ दिया गया है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ है। $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$.
सदिश $\vec{c} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ का $\vec{n}$ पर प्रक्षेप $\left| \frac{\vec{c} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{c} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$.
अतः,प्रक्षेप का परिमाण $\left| \frac{1}{\sqrt{6}} \right| = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

(A) दिया गया है $\overline{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\overline{b} = \hat{j} - \hat{k}$. मान लीजिए $\overline{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
हमें $\overline{a} \times \overline{r} = \overline{b}$ दिया गया है।
$\overline{a} \times \overline{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y) \hat{i} - (z-x) \hat{j} + (y-x) \hat{k}$.
इसे $\overline{b} = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 1 \hat{k}$ के साथ तुलना करने पर:
$z - y = 0 \implies z = y$ $(i)$
$x - z = 1 \implies x = z + 1$ (ii)
$y - x = -1$ (iii)
साथ ही,$\overline{a} \cdot \overline{r} = 3 \implies x + y + z = 3$ (iv).
(iv) में $y = z$ और $x = z + 1$ रखने पर:
$(z + 1) + z + z = 3 \implies 3z + 1 = 3 \implies 3z = 2 \implies z = \frac{2}{3}$.
अतः,$y = \frac{2}{3}$ और $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
इसलिए,$\overline{r} = \frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{2}{3} \hat{k}$.

(B) आसन्न भुजाओं $\bar{a}$ और $\bar{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\bar{a} \times \bar{b}| = 16$ है।
अब,$(3 \bar{a} + 2 \bar{b})$ और $(\bar{a} + 3 \bar{b})$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण द्वारा दिया जाता है:
$|(3 \bar{a} + 2 \bar{b}) \times (\bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 9(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 6(\bar{b} \times \bar{b})|$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})|$
$= 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
$= 7 \times 16 = 112$ वर्ग इकाई।