Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$.
चूंकि $|\vec{b}| = 5$,इसलिए $5 |\vec{c}| (\frac{1}{2}) = 10$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{c}| = 4$.
अब,सदिश गुणन का परिमाण $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ है।
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b} \times \vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{b} \times \vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$|\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{3} \times 10\sqrt{3} \times 1 = 30$.

(A) दिए गए सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना सारणिक का उपयोग करके की जाती है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((1)(-2) - (3)(5)) - \hat{j}((2)(-2) - (3)(3)) + \hat{k}((2)(5) - (1)(3))$
$= \hat{i}(-2 - 15) - \hat{j}(-4 - 9) + \hat{k}(10 - 3)$
$= -17\hat{i} + 13\hat{j} + 7\hat{k}$
अब,परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}|$ इस प्रकार है:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-17)^2 + (13)^2 + (7)^2}$
$= \sqrt{289 + 169 + 49}$
$= \sqrt{507}$

(A) दिया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
सबसे पहले,$\vec{a} + \vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ ज्ञात करें.
इसके बाद,$\vec{a} - \vec{b} = 0\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ ज्ञात करें.
दोनों सदिशों के लंबवत सदिश प्राप्त करने के लिए उनका क्रॉस गुणनफल $\vec{c} = (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$ करें.
$\vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है.
अतः,आवश्यक इकाई सदिश $\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{2\sqrt{6}} = \frac{-1}{\sqrt{6}}\hat{i} + \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{k}$ है।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ और $C(2, 3, 1)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} = \hat{j} + 2\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j}$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
इसके बाद,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{21}$ वर्ग इकाई है।

(A) एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,उनके सदिश गुणनफल के परिमाण द्वारा दिया जाता है,अर्थात $|\vec{a} \times \vec{b}|$।
सबसे पहले,हम सारणिक विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(1) - 4(-1)) - \hat{j}(3(1) - 4(1)) + \hat{k}(3(-1) - 1(1))$
$= \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(3 - 4) + \hat{k}(-3 - 1)$
$= 5\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$।
अब,हम प्राप्त सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(5)^2 + (1)^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}$।
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\sqrt{42}$ वर्ग इकाई है।

(A) यहाँ,$\vec{a} = \hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ दिया गया है।
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ सारणिक द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -7 & 7 \\ 3 & -2 & 2 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$= \hat{i}((-7)(2) - (7)(-2)) - \hat{j}((1)(2) - (7)(3)) + \hat{k}((1)(-2) - (-7)(3))$
$= \hat{i}(-14 + 14) - \hat{j}(2 - 21) + \hat{k}(-2 + 21)$
$= 0\hat{i} + 19\hat{j} + 19\hat{k}$
अब,परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 19^2 + 19^2}$
$= \sqrt{19^2 + 19^2} = \sqrt{2 \times 19^2} = 19\sqrt{2}$.

(A) दिया गया है $\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$.
सबसे पहले,सदिशों का योग और अंतर ज्ञात करें:
$\vec{a}+\vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{j}$
$\vec{a}-\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{k}$
अब,क्रॉस गुणनफल $(\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b})$ ज्ञात करें:
$(\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 16\hat{i} - 16\hat{j} - 8\hat{k}$
क्रॉस गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|(\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b})| = \sqrt{16^2 + (-16)^2 + (-8)^2} = 24$
दोनों के लंबवत इकाई सदिश:
$\pm \frac{16\hat{i} - 16\hat{j} - 8\hat{k}}{24} = \pm \frac{2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}}{3} = \pm \frac{2}{3}\hat{i} \mp \frac{2}{3}\hat{j} \mp \frac{1}{3}\hat{k}$

(N/A) हम योग पर सदिश क्रॉस गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हैं:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b}) = (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{a} + (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b}$
$= (\vec{a} \times \vec{a}) - (\vec{b} \times \vec{a}) + (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{b} \times \vec{b})$
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस गुणन शून्य सदिश होता है,अर्थात $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ और $\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$,और प्रति-क्रमविनिमेय गुण $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ का उपयोग करते हुए:
$= \vec{0} - (-\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{0}$
$= (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{b})$
$= 2(\vec{a} \times \vec{b})$
अतः,दिया गया व्यंजक सिद्ध हुआ।

(A) दिया गया है कि दो सदिशों का क्रॉस गुणनफल शून्य सदिश है: $(2 \hat{i}+6 \hat{j}+27 \hat{k}) \times(\hat{i}+\lambda \hat{j}+\mu \hat{k})=\overrightarrow{0}$.
हम क्रॉस गुणनफल को सारणिक के रूप में व्यक्त करते हैं:
$\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 6 & 27 \\ 1 & \lambda & \mu\end{array}\right|=0 \hat{i}+0 \hat{j}+0 \hat{k}$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\hat{i}(6 \mu-27 \lambda)-\hat{j}(2 \mu-27)+\hat{k}(2 \lambda-6)=0 \hat{i}+0 \hat{j}+0 \hat{k}$.
दोनों पक्षों के घटकों की तुलना करने पर:
$1) \ 6 \mu-27 \lambda=0$
$2) \ -(2 \mu-27)=0 \Rightarrow 2 \mu=27 \Rightarrow \mu=\frac{27}{2}$
$3) \ 2 \lambda-6=0 \Rightarrow 2 \lambda=6 \Rightarrow \lambda=3$.
$\lambda=3$ को पहले समीकरण में रखने पर: $6(\frac{27}{2}) - 27(3) = 81 - 81 = 0$,जो संगत है।
अतः,$\lambda=3$ और $\mu=\frac{27}{2}$ प्राप्त होते हैं।

(N/A) दिया गया है कि $\vec{a}=a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}$,$\vec{b}=b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$,और $\vec{c}=c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}$।
सबसे पहले,$(\vec{b}+\vec{c}) = (b_{1}+c_{1}) \hat{i} + (b_{2}+c_{2}) \hat{j} + (b_{3}+c_{3}) \hat{k}$ की गणना करें।
अब,$\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1}+c_{1} & b_{2}+c_{2} & b_{3}+c_{3} \end{vmatrix}$
$= \hat{i}[a_{2}(b_{3}+c_{3}) - a_{3}(b_{2}+c_{2})] - \hat{j}[a_{1}(b_{3}+c_{3}) - a_{3}(b_{1}+c_{1})] + \hat{k}[a_{1}(b_{2}+c_{2}) - a_{2}(b_{1}+c_{1})]$
$= \hat{i}[a_{2}b_{3} + a_{2}c_{3} - a_{3}b_{2} - a_{3}c_{2}] + \hat{j}[a_{3}b_{1} + a_{3}c_{1} - a_{1}b_{3} - a_{1}c_{3}] + \hat{k}[a_{1}b_{2} + a_{1}c_{2} - a_{2}b_{1} - a_{2}c_{1}] \dots (1)$
आगे,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix} = \hat{i}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}) + \hat{j}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}) + \hat{k}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}) \dots (2)$
और $\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = \hat{i}(a_{2}c_{3}-a_{3}c_{2}) + \hat{j}(a_{3}c_{1}-a_{1}c_{3}) + \hat{k}(a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}) \dots (3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{c}) = \hat{i}(a_{2}b_{3} + a_{2}c_{3} - a_{3}b_{2} - a_{3}c_{2}) + \hat{j}(a_{3}b_{1} + a_{3}c_{1} - a_{1}b_{3} - a_{1}c_{3}) + \hat{k}(a_{1}b_{2} + a_{1}c_{2} - a_{2}b_{1} - a_{2}c_{1}) \dots (4)$
$(1)$ और $(4)$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$। अतः सिद्ध हुआ।

(B) दिए गए कथन का विलोम है: यदि $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}$ है,तो या तो $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ है या $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ है।
यह विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।
दो शून्येतर समांतर सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लीजिए।
मान लीजिए $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $\vec{b}=4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k}.$
सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8\end{array}\right| = \hat{i}(24-24) - \hat{j}(16-16) + \hat{k}(12-12) = \overrightarrow{0}.$
यहाँ,$|\vec{a}| = \sqrt{2^2+3^2+4^2} = \sqrt{29} \neq 0$ और $|\vec{b}| = \sqrt{4^2+6^2+8^2} = \sqrt{116} \neq 0.$
चूँकि $\vec{a} \times \vec{b} = \overrightarrow{0}$ है,जबकि $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}$ और $\vec{b} \neq \overrightarrow{0}$ है,इसलिए इसका विलोम सत्य नहीं है।

(A) त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A(1,1,2), B(2,3,5)$ और $C(1,5,5)$ दिए गए हैं।
सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ इस प्रकार हैं:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = (1-1)\hat{i} + (5-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-12) - \hat{j}(3-0) + \hat{k}(4-0) = -6\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
अतः,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{61}}{2}$ वर्ग इकाई है।

(A) एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निरूपित होती हैं,उनके सदिश गुणनफल के परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
अब,परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}|$ की गणना करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(20)^2 + (5)^2 + (-5)^2}$
$= \sqrt{400 + 25 + 25}$
$= \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2}$
$= 15\sqrt{2}$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $15\sqrt{2}$ वर्ग इकाई है।

(B) आयत $ABCD$ के शीर्षों $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं:
$\overrightarrow{OA} = -\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}, \overrightarrow{OB} = \hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$
$\overrightarrow{OC} = \hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}, \overrightarrow{OD} = -\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$
आसन्न भुजाओं $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{BC}$ की गणना इस प्रकार है:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (1 - (-1))\hat{i} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\hat{j} + (4 - 4)\hat{k} = 2\hat{i}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (1 - 1)\hat{i} + (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2})\hat{j} + (4 - 4)\hat{k} = -\hat{j}$
आयत का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}|$
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = (2\hat{i}) \times (-\hat{j}) = -2(\hat{i} \times \hat{j}) = -2\hat{k}$
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}| = |-2\hat{k}| = 2$
अतः,आयत का क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है।

(A) माना आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = 2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज का विकर्ण $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} = (2+1) \hat{i} + (-4-2) \hat{j} + (5-3) \hat{k} = 3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
विकर्ण का परिमाण $|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
विकर्ण के समांतर इकाई सदिश $\frac{\vec{d}}{|\vec{d}|} = \frac{3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}}{7} = \frac{3}{7} \hat{i} - \frac{6}{7} \hat{j} + \frac{2}{7} \hat{k}$ है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -4 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-10)) - \hat{j}(-6 - 5) + \hat{k}(-4 - (-4)) = 22 \hat{i} + 11 \hat{j} + 0 \hat{k}$.
क्षेत्रफल $= |22 \hat{i} + 11 \hat{j}| = \sqrt{22^2 + 11^2} = \sqrt{484 + 121} = \sqrt{605} = 11 \sqrt{5}$ वर्ग इकाई।

(A) माना $\vec{d}=d_{1} \hat{i}+d_{2} \hat{j}+d_{3} \hat{k}$.
चूंकि $\vec{d}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{d} \cdot \vec{a} = 0$ और $\vec{d} \cdot \vec{b} = 0$.
$\vec{d} \cdot \vec{a} = d_{1} + 4d_{2} + 2d_{3} = 0$ .....$(i)$
$\vec{d} \cdot \vec{b} = 3d_{1} - 2d_{2} + 7d_{3} = 0$ .....$(ii)$
साथ ही,यह दिया गया है कि $\vec{c} \cdot \vec{d} = 15$,इसलिए $2d_{1} - d_{2} + 4d_{3} = 15$ .....$(iii)$
$(i)$ से,$d_{1} = -4d_{2} - 2d_{3}$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-4d_{2} - 2d_{3}) - 2d_{2} + 7d_{3} = 0 \Rightarrow -12d_{2} - 6d_{3} - 2d_{2} + 7d_{3} = 0 \Rightarrow -14d_{2} + d_{3} = 0 \Rightarrow d_{3} = 14d_{2}$.
$d_{3} = 14d_{2}$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$d_{1} + 4d_{2} + 2(14d_{2}) = 0 \Rightarrow d_{1} + 4d_{2} + 28d_{2} = 0 \Rightarrow d_{1} = -32d_{2}$.
अब $d_{1}$ और $d_{3}$ को $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-32d_{2}) - d_{2} + 4(14d_{2}) = 15 \Rightarrow -64d_{2} - d_{2} + 56d_{2} = 15 \Rightarrow -9d_{2} = 15 \Rightarrow d_{2} = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$.
अतः $d_{1} = -32(-\frac{5}{3}) = \frac{160}{3}$ और $d_{3} = 14(-\frac{5}{3}) = -\frac{70}{3}$.
इस प्रकार,$\vec{d} = \frac{160}{3} \hat{i} - \frac{5}{3} \hat{j} - \frac{70}{3} \hat{k} = \frac{1}{3}(160 \hat{i} - 5 \hat{j} - 70 \hat{k})$.

(A) माना कि $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के लंबवत सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(8 - 3) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(3 + 2) = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{5\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ है।
समतल के लंबवत $10\sqrt{3}$ परिमाण वाले सदिश $\pm 10\sqrt{3} \times \hat{n} = \pm 10\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \pm 10(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,अभीष्ट सदिश $10\hat{i} - 10\hat{j} + 10\hat{k}$ और $-10\hat{i} + 10\hat{j} - 10\hat{k}$ हैं।

(A) माना त्रिभुज की तीन भुजाएँ $BC, CA$ और $AB$ क्रमशः सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निरूपित हैं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)।
हमारे पास $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ है।
इसका अर्थ है $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $\vec{a} \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c}) \Rightarrow \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{a} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इसी प्रकार,$\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$ के दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{b} = -\vec{c} \times \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$।
अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इन सदिशों का परिमाण लेने पर: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{c} \times \vec{a}|$।
क्रॉस गुणन की परिभाषा $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है:
$|\vec{a}||\vec{b}| \sin(\pi - C) = |\vec{b}||\vec{c}| \sin(\pi - A) = |\vec{c}||\vec{a}| \sin(\pi - B)$।
चूंकि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$ab \sin C = bc \sin A = ca \sin B$।
पूरे समीकरण को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{ab \sin C}{abc} = \frac{bc \sin A}{abc} = \frac{ca \sin B}{abc} \Rightarrow \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$।
अतः,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$।

(A) माना $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b} = 4 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों पर लंब सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{r} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-3 - (-2)) - \hat{j}(6 - 8) + \hat{k}(-2 - (-4))$
$= \hat{i}(-1) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(2) = -\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$\vec{r}$ का परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
$\vec{r}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{-\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{3}$ है।
$\vec{r}$ की दिशा में $6$ परिमाण वाला सदिश $6 \hat{r} = 6 \left( \frac{-\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{3} \right) = 2(-\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) = -2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}$ होगा।

(N/A) दिया है,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$
$\Rightarrow \vec{b}=-\vec{c}-\vec{a}$
अब,$\vec{a} \times \vec{b}=\vec{a} \times(-\vec{c}-\vec{a})$
$=(\vec{a} \times(-\vec{c}))+(\vec{a} \times(-\vec{a}))$
$=-( \vec{a} \times \vec{c} ) - 0 = \vec{c} \times \vec{a} \ldots (i)$
इसी प्रकार,$\vec{b} \times \vec{c}=(-\vec{c}-\vec{a}) \times \vec{c}$
$=(-\vec{c} \times \vec{c})+(-\vec{a} \times \vec{c})$
$=0 - (\vec{a} \times \vec{c}) = \vec{c} \times \vec{a} \ldots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}$.
ज्यामितीय व्याख्या:
यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक त्रिभुज $ABC$ की क्रम में ली गई भुजाएँ हैं,तो $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ होता है। दो सदिशों का सदिश गुणनफल (cross product) उन सदिशों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दर्शाता है। चूँकि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ है,इसलिए इन सदिशों में से किन्हीं दो को आसन्न भुजाओं के रूप में लेकर बनने वाले समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल समान हैं। यह इस तथ्य के अनुरूप है कि ये सदिश एक त्रिभुज बनाते हैं,और सदिश गुणनफल सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना मान दर्शाते हैं।

(N/A) शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$,और $\vec{C} = 4\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करें:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 1 \\ 3 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(-4) - (1)(3)) - \hat{j}((1)(-4) - (1)(3)) + \hat{k}((1)(3) - (-3)(3))$
$= \hat{i}(12 - 3) - \hat{j}(-4 - 3) + \hat{k}(3 + 9)$
$= 9\hat{i} + 7\hat{j} + 12\hat{k}$
इसके बाद,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{9^2 + 7^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 49 + 144} = \sqrt{274}$
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{274} \text{ वर्ग इकाई}$.

(N/A) मान लीजिए $ABCD$ और $ABFE$ एक ही आधार $AB$ पर और दो समांतर रेखाओं $AB$ और $DF$ के बीच स्थित दो समांतर चतुर्भुज हैं।
मान लीजिए $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ और $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है:
$\text{Area}(ABCD) = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
अब,समांतर चतुर्भुज $ABFE$ के लिए,आसन्न भुजाएँ $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AE}$ हैं।
चूंकि $D, E, C, F$ एक ही रेखा पर स्थित हैं जो $AB$ के समांतर है,हम लिख सकते हैं $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$।
चूंकि $\overrightarrow{DE}$ रेखा $\overrightarrow{AB}$ के समांतर है,इसलिए $\overrightarrow{DE} = k\vec{a}$ जहाँ $k$ एक अदिश है।
अतः,$\overrightarrow{AE} = \vec{b} + k\vec{a}$।
समांतर चतुर्भुज $ABFE$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area}(ABFE) = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AE}|$
$= |\vec{a} \times (\vec{b} + k\vec{a})|$
$= |(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times k\vec{a})|$
$= |(\vec{a} \times \vec{b}) + k(\vec{a} \times \vec{a})|$.
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ सदिश गुणनफल शून्य होता है $(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0})$:
$\text{Area}(ABFE) = |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{0}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
इसलिए,$\text{Area}(ABFE) = \text{Area}(ABCD)$।
अतः,यह सिद्ध होता है कि एक ही आधार पर और दो समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल समान होता है।

(B) दिए गए बिंदु $P(3, -1, 2)$ और $Q(1, 2, -4)$ हैं।
रेखाओं $PR$ और $QS$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = 4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
$P, T, Q$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{4\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{20}} = \frac{2\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{5}}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $T$ के लिए,रेखा $PT: \vec{r} = (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \lambda(4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ और रेखा $QT: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) + \mu(-2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $3+4\lambda = 1-2\mu \Rightarrow 2\lambda + \mu = -1$ और $-1-\lambda = 2+\mu \Rightarrow \lambda + \mu = -3$.
हल करने पर: $\lambda = 2, \mu = -5$.
बिंदु $T = (11, -3, 6)$.
सदिश $\vec{OA} = \vec{OT} \pm |\vec{TA}|\hat{n} = (11\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}) \pm (2\hat{j} + \hat{k})$.
स्थिति $1$: $\vec{OA} = 11\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k} \Rightarrow |\vec{OA}| = \sqrt{171}$.
स्थिति $2$: $\vec{OA} = 11\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k} \Rightarrow |\vec{OA}| = \sqrt{171}$.

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
$\Delta ABC$ का सदिश क्षेत्रफल $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ और $\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ है।
सदिश क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}[(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})]$
$= \frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{a}]$
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$,$-\vec{b} \times \vec{a} = \vec{a} \times \vec{b}$,और $-\vec{a} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
सदिश क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}]$.
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
अतः,$\frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \vec{b}] = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = 0$ है।
त्रिभुज के तल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|} = \frac{\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}}{|\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|}$ है।

(N/A) माना $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}.$
दिया है $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{j}-\hat{k}.$
$\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b}$ के लिए,
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}.$
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\hat{i}(z-y) - \hat{j}(z-x) + \hat{k}(y-x) = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}.$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$z-y=0 \implies z=y \quad (i)$
$x-z=1 \implies x=z+1 \quad (ii)$
$y-x=-1 \quad (iii)$
साथ ही,$\vec{a} \cdot \vec{c}=3 \implies x+y+z=3 \quad (iv).$
$(iv)$ में $x=z+1$ और $y=z$ रखने पर:
$(z+1) + z + z = 3 \implies 3z+1=3 \implies 3z=2 \implies z=\frac{2}{3}.$
अतः,$y=\frac{2}{3}$ और $x=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}.$
इसलिए,$\vec{c}=\frac{5}{3}\hat{i}+\frac{2}{3}\hat{j}+\frac{2}{3}\hat{k} = \frac{1}{3}(5\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}).$

(B) चूंकि $\overrightarrow{c}$ सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए यह उनके सदिश गुणनफल $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ के समानांतर होगा। अतः,हम $\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
सबसे पहले,$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-2)) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(2 - 1) = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}.$
दिया गया है कि $\overrightarrow{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k})=8,$ अतः $\overrightarrow{c}=\lambda(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})$ रखने पर:
$\lambda(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})\cdot(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k})=8$
$\lambda(3(1) + (-2)(1) + (1)(3)) = 8$
$\lambda(3 - 2 + 3) = 8 \Rightarrow 4\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 2.$
अब,$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$ का मान ज्ञात करें:
$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = \lambda(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = \lambda|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|^2.$
$|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14.$
अतः,$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = 2 \times 14 = 28.$

(B) दिया गया है कि $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ और $\vec{a} \perp \vec{b}$ है।
साथ ही,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|$ है।
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{b}$,हमारे पास $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin 90^{\circ} = |\vec{a}||\vec{b}|$ है।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $|\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{a}|$।
चूंकि $\vec{a}$ एक शून्येतर सदिश है,$|\vec{a}| \neq 0$,इसलिए $|\vec{b}| = 1$ है। परिणामस्वरूप,$|\vec{a}| = 1$ है।
इस प्रकार,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं।
मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i}$ और $\vec{b} = \hat{j}$ है। तो $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ है।
मान लीजिए $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{v}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} \cdot \vec{a} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1$ है।
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{a}| = 1$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ है।

(B) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \alpha \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i} - \alpha \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}| = 8 \sqrt{3}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & \alpha & 3 \\ 3 & -\alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(\alpha - (-3\alpha)) - \hat{j}(1 - 9) + \hat{k}(-\alpha - 3\alpha) = 4\alpha \hat{i} + 8 \hat{j} - 4\alpha \hat{k}$.
अब,इसका परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(4\alpha)^2 + 8^2 + (-4\alpha)^2} = \sqrt{16\alpha^2 + 64 + 16\alpha^2} = \sqrt{32\alpha^2 + 64}$.
दिए गए क्षेत्रफल के साथ तुलना करने पर:
$\sqrt{32\alpha^2 + 64} = 8 \sqrt{3} \Rightarrow 32\alpha^2 + 64 = 64 \times 3 = 192$.
$32\alpha^2 = 192 - 64 = 128 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.
अंत में,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (\alpha)(-\alpha) + (3)(1) = 3 - \alpha^2 + 3 = 6 - \alpha^2$.
$\alpha^2 = 4$ रखने पर,हमें $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 - 4 = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $(1)(1) + (5)(3) + (\alpha)(\beta) = 0$,जिसका अर्थ है $1 + 15 + \alpha\beta = 0$,अर्थात $\alpha\beta = -16$.
आगे,$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & \beta \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 - 2\beta) - \hat{j}(-3 + \beta) + \hat{k}(2 + 3) = (-9 - 2\beta)\hat{i} + (3 - \beta)\hat{j} + 5\hat{k}$.
दिया गया है $|\vec{b} \times \vec{c}| = 5\sqrt{3}$,इसलिए $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 75$.
$(-9 - 2\beta)^2 + (3 - \beta)^2 + 5^2 = 75$
$(81 + 36\beta + 4\beta^2) + (9 - 6\beta + \beta^2) + 25 = 75$
$5\beta^2 + 30\beta + 115 = 75$
$5\beta^2 + 30\beta + 40 = 0 \Rightarrow \beta^2 + 6\beta + 8 = 0$.
$\beta$ के लिए हल करने पर,$(\beta + 4)(\beta + 2) = 0$,इसलिए $\beta = -4$ या $\beta = -2$.
यदि $\beta = -4$,तो $\alpha = 4$. यदि $\beta = -2$,तो $\alpha = 8$.
अब,$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 5^2 + \alpha^2 = 26 + \alpha^2$.
$\alpha = 4$ के लिए,$|\vec{a}|^2 = 26 + 16 = 42$.
$\alpha = 8$ के लिए,$|\vec{a}|^2 = 26 + 64 = 90$.
सबसे बड़ा मान $90$ है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समान परिमाण वाले परस्पर लंबवत सदिश हैं,मान लीजिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$.
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$\vec{a} \times \{(\vec{r}-\vec{b}) \times \vec{a}\} = (\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{r}-\vec{b}) - (\vec{a} \cdot (\vec{r}-\vec{b}))\vec{a} = k^2(\vec{r}-\vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{r})\vec{a}$.
इसी प्रकार,$\vec{b} \times \{(\vec{r}-\vec{c}) \times \vec{b}\} = k^2(\vec{r}-\vec{c}) - (\vec{b} \cdot \vec{r})\vec{b}$ और $\vec{c} \times \{(\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{c}\} = k^2(\vec{r}-\vec{a}) - (\vec{c} \cdot \vec{r})\vec{c}$.
इनका योग करने पर,हमें $k^2(3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})) - ((\vec{a} \cdot \vec{r})\vec{a} + (\vec{b} \cdot \vec{r})\vec{b} + (\vec{c} \cdot \vec{r})\vec{c}) = \vec{0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{r} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ जहाँ $x = \frac{\vec{r} \cdot \vec{a}}{k^2}$,$y = \frac{\vec{r} \cdot \vec{b}}{k^2}$,$z = \frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{k^2}$,तो व्यंजक $k^2(3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})) - k^2(x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}) = \vec{0}$ बन जाता है।
यह सरल होकर $3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) - \vec{r} = \vec{0}$ हो जाता है,जिससे $2\vec{r} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{r} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$.

(D) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$,जिसका अर्थ है $|\vec{a}| = 3$.
दिया गया है $|\vec{c} - \vec{a}| = 2\sqrt{2}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|$,मान लीजिए $|\vec{c}| = c$. तब $c^2 + 9 - 2c = 8$.
$c^2 - 2c + 1 = 0 \Rightarrow (c - 1)^2 = 0 \Rightarrow c = 1$. अतः,$|\vec{c}| = 1$.
अब,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
क्रॉस उत्पाद का परिमाण $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(\theta)$,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$.
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = (3)(1) \sin(\frac{\pi}{6}) = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(A) दिए गए सदिश $\vec{p}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{q}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों का योग और अंतर ज्ञात करें:
$\vec{p}+\vec{q} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{p}-\vec{q} = \hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$
चूंकि $\vec{r}$ सदिश $(\vec{p}+\vec{q})$ और $(\vec{p}-\vec{q})$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{r}$ उनके सदिश गुणनफल (cross product) के समानांतर होगा:
$(\vec{p}+\vec{q}) \times (\vec{p}-\vec{q}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
माना $\vec{v} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$। इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3}$ है।
सदिश $\vec{r} = \pm |\vec{r}| \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \sqrt{3} \frac{-2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{2\sqrt{3}} = \pm (-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ है।
इस प्रकार,$|\alpha|=1, |\beta|=1, |\gamma|=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\alpha|+|\beta|+|\gamma| = 1+1+1 = 3$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = 13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}$. चूँकि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $(13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \lambda \hat{k}) = 0$.
$13 - 1 - 4\lambda = 0 \Rightarrow 4\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 3$.
अतः,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$.
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a}$ का उपयोग करते हुए:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}) \times (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = \hat{i}(-3+4) - \hat{j}(39+4) + \hat{k}(13+1) = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k}$.
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = -21$ और $|\vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 3^2 = 11$,इसलिए $-21 \vec{b} - 11 \vec{a} = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k}$.
$-21(\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) - 11 \vec{a} = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k} \Rightarrow 11 \vec{a} = -22 \hat{i} + 22 \hat{j} - 77 \hat{k} \Rightarrow \vec{a} = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k}$.
अब,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j})+(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k})$ की गणना करें:
$\vec{b}-\vec{a} = (1 - (-2))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (3 - (-7))\hat{k} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 10 \hat{k}$.
$\vec{b}+\vec{a} = (1 - 2)\hat{i} + (1 + 2)\hat{j} + (3 - 7)\hat{k} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j}) = (3 \hat{i} - \hat{j} + 10 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}) = 0 + 1 + 10 = 11$.
$(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k}) = (-\hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (1 \hat{i} + 0 \hat{j} - 1 \hat{k}) = -1 + 0 + 4 = 3$.
योग $= 11 + 3 = 14$.

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}|=4$ और $|\vec{b}|=3$ है।
हमें $|(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b})|^{2} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}$।
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,और $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,इसलिए:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = 0 + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} - 0 = 2(\vec{a} \times \vec{b})$।
अब,$|2(\vec{a} \times \vec{b})|^{2} = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta$।
साथ ही,$4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = 4(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^{2} = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta$।
इन दोनों को जोड़ने पर:
$4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta + 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}$।
$|\vec{a}|=4$ और $|\vec{b}|=3$ का मान रखने पर:
$4 \times (4)^{2} \times (3)^{2} = 4 \times 16 \times 9 = 576$।

(D) विकर्णों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}| = 4 \sqrt{2}$।
दिया गया है $|\vec{a}|=1$ और $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$,हमारे पास $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
चूँकि $\theta$ न्यून है,$\cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$।
अब,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \frac{\pi}{4} = 1 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2} \Rightarrow |\vec{b}| = 8$।
दिया गया है $\vec{c} = 2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}) - 2 \vec{b}$।
चूँकि $(\vec{a} \times \vec{b})$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,सदिश $(2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}))$ और $(-2 \vec{b})$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$|\vec{c}|^2 = |2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b})|^2 + |-2 \vec{b}|^2 = 8(4 \sqrt{2})^2 + 4(8)^2 = 8(32) + 4(64) = 256 + 256 = 512$।
$|\vec{c}| = \sqrt{512} = 16 \sqrt{2}$।
अब,$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}) - 2 \vec{b}) = 2 \sqrt{2} (\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 2 |\vec{b}|^2 = 0 - 2(8)^2 = -128$।
मान लीजिए $\alpha$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है। तब $\cos \alpha = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|} = \frac{-128}{8 \cdot 16 \sqrt{2}} = \frac{-128}{128 \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$\alpha = \frac{3 \pi}{4}$।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
हमें शर्त $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ दी गई है।
सदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार,सदिश $\vec{a}$ को $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ होना चाहिए।
आइए हम अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (1)(-3) + (-1)(2) = 2 - 3 - 2 = -3$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = -3 \neq 0$,इसलिए सदिश $\vec{a}$,$\vec{c}$ के लंबवत नहीं है।
अतः,ऐसा कोई सदिश $\vec{b}$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ हो।
इस प्रकार,ऐसे सदिशों $\vec{b}$ की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया है $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = -2 \hat{i} + \alpha \hat{j} + \hat{k}$.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 2 & -1 \\ -2 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + \alpha) - \hat{j}(\alpha - 2) + \hat{k}(\alpha^{2} + 4)$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(\alpha + 2)^{2} + (\alpha - 2)^{2} + (\alpha^{2} + 4)^{2}} = \sqrt{\alpha^{2} + 4\alpha + 4 + \alpha^{2} - 4\alpha + 4 + (\alpha^{2} + 4)^{2}} = \sqrt{2(\alpha^{2} + 4) + (\alpha^{2} + 4)^{2}}$.
दिया गया है कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{15(\alpha^{2} + 4)}$,इसलिए $2(\alpha^{2} + 4) + (\alpha^{2} + 4)^{2} = 15(\alpha^{2} + 4)$.
$(\alpha^{2} + 4)$ से विभाजित करने पर,हमें $2 + (\alpha^{2} + 4) = 15$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha^{2} + 4 = 13$,जिसका अर्थ है $\alpha^{2} = 9$.
अब,$|\vec{a}|^{2} = \alpha^{2} + 2^{2} + (-1)^{2} = \alpha^{2} + 5 = 9 + 5 = 14$.
$|\vec{b}|^{2} = (-2)^{2} + \alpha^{2} + 1^{2} = 4 + \alpha^{2} + 1 = \alpha^{2} + 5 = 14$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \alpha(-2) + 2(\alpha) + (-1)(1) = -2\alpha + 2\alpha - 1 = -1$.
अंत में,$2|\vec{a}|^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})|\vec{b}|^{2} = 2(14) + (-1)(14) = 28 - 14 = 14$.

(A) $\overrightarrow{a}$ का $\overrightarrow{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} = \frac{10}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$ की गणना करने पर।
$|\overrightarrow{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ की गणना करने पर।
अतः,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \Rightarrow \alpha + 8 = 10 \Rightarrow \alpha = 2$.
अब,हम $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
दिया गया है कि $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$,घटकों की तुलना करने पर:
$2\beta - 8 = -6 \Rightarrow 2\beta = 2 \Rightarrow \beta = 1$.
इसलिए,$\alpha + \beta = 2 + 1 = 3$.

(A) प्रथम समतल का अभिलंब $\vec{n}_{1} = \hat{i} \times (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{k}$ है।
द्वितीय समतल का अभिलंब $\vec{n}_{2} = (\hat{i} - \hat{j}) \times (\hat{i} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
प्रतिच्छेदन रेखा $\vec{v} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \hat{k} \times (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} + \hat{j}$ के समांतर है।
अतः,$\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j}$ है।
दिया गया है $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (1)(-2) + (0)(2) = -1 - 2 = -3$।
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$।
$\cos \theta = \frac{-3}{\sqrt{2} \times 3} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,अधिक कोण $\theta = \frac{3\pi}{4}$ है।

(D) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -\alpha \end{vmatrix} = (1 - \alpha) \hat{i} + (\alpha^2 - 2) \hat{j} + (\alpha - 2) \hat{k}$.
माना $\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$ और $\vec{c} = -\hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ है। सदिश $\vec{c}$ का परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$ है।
प्रक्षेप का सूत्र $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = 30$ है।
$\vec{v} \cdot \vec{c} = (1 - \alpha)(-1) + (\alpha^2 - 2)(2) + (\alpha - 2)(-2) = 2\alpha^2 - \alpha - 1$.
अतः,$\frac{2\alpha^2 - \alpha - 1}{3} = 30 \implies 2\alpha^2 - \alpha - 91 = 0$.
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(\alpha - 7)(2\alpha + 13) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 7$ या $\alpha = -\frac{13}{2}$ है।
चूँकि $\alpha > 0$ है,इसलिए $\alpha = 7$ होगा।

(D) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = 4\vec{c}$,$\vec{b} \times \vec{c} = 9\vec{a}$,और $\vec{c} \times \vec{a} = \alpha\vec{b}$ है।
पहले समीकरण का परिमाण लेने पर: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |4\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}| = 4|\vec{c}|$.
इसी प्रकार,$|\vec{b}||\vec{c}| = 9|\vec{a}|$ और $|\vec{c}||\vec{a}| = \alpha|\vec{b}|$ है।
इन तीनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|)^2 = 36\alpha |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}| = 36\alpha$ प्राप्त होता है।
समीकरणों को हल करने पर $|\vec{a}| = 2\sqrt{\alpha}, |\vec{b}| = 6, |\vec{c}| = 3\sqrt{\alpha}$ प्राप्त होता है।
योग $|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| = 36$ में मान रखने पर: $2\sqrt{\alpha} + 6 + 3\sqrt{\alpha} = 36 \implies 5\sqrt{\alpha} = 30 \implies \sqrt{\alpha} = 6 \implies \alpha = 36$।

(B) दिया गया है $|\vec{a}| = 9$। चूँकि $(x \vec{a} + y \vec{b}) \perp (6y \vec{a} - 18x \vec{b})$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(x \vec{a} + y \vec{b}) \cdot (6y \vec{a} - 18x \vec{b}) = 0$
$6xy |\vec{a}|^2 - 18x^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6y^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 18xy |\vec{b}|^2 = 0$
$6xy (|\vec{a}|^2 - 3|\vec{b}|^2) + (\vec{a} \cdot \vec{b})(6y^2 - 18x^2) = 0$
यह सभी $(x, y)$ के लिए सत्य होने के लिए,$xy$,$x^2$ और $y^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$|\vec{a}|^2 - 3|\vec{b}|^2 = 0 \implies |\vec{b}|^2 = \frac{|\vec{a}|^2}{3} = \frac{81}{3} = 27$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
अब,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 81 \times 27 - 0 = 2187$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2187} = \sqrt{81 \times 27} = 9 \times 3 \sqrt{3} = 27 \sqrt{3}$।

(D) दिए गए सदिश $\vec{u}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{v}=-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{u} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-2 - (-3)) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(-6 - 0)$
$= \hat{i}(1) - 4 \hat{j} - 6 \hat{k} = \hat{i} - 4 \hat{j} - 6 \hat{k}$.
चूंकि $\vec{w}$ $XY$-समतल में एक इकाई सदिश है,इसे $\vec{w} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
अब,अदिश गुणनफल $|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$ की गणना करें:
$|(\hat{i} - 4 \hat{j} - 6 \hat{k}) \cdot (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})| = |\cos \theta - 4 \sin \theta|$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ के रूप वाले व्यंजक का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -4$ है।
अधिकतम मान $= \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.

(D) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}$।
$\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c}$ से,$(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $(\vec{a}-\vec{b})$,$\vec{c}$ के समांतर है,अतः $\vec{a}-\vec{b} = \mu \vec{c}$ किसी अदिश $\mu$ के लिए।
$\vec{a}-\vec{b} = (1-3)\hat{i} + (2-(-5))\hat{j} + (\lambda - (-\lambda))\hat{k} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k}$ की गणना करने पर।
अतः,$\mu \vec{c} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k}$।
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 7$ दिया गया है,इसलिए $\vec{a} \cdot (\frac{1}{\mu} (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k})) = 7$,जो $-2 + 14 + 2\lambda^2 = 7\mu$ देता है,अर्थात $12 + 2\lambda^2 = 7\mu$।
$2\vec{b} \cdot \vec{c} = -43$ दिया गया है,इसलिए $\vec{b} \cdot (\frac{1}{\mu} (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k})) = -\frac{43}{2}$,जो $-6 - 35 - 2\lambda^2 = -\frac{43}{2}\mu$ देता है,अर्थात $41 + 2\lambda^2 = \frac{43}{2}\mu$।
समीकरणों $2\lambda^2 = 7\mu - 12$ और $2\lambda^2 = \frac{43}{2}\mu - 41$ को हल करने पर,$7\mu - 12 = 21.5\mu - 41$ प्राप्त होता है,इसलिए $14.5\mu = 29$,जिससे $\mu = 2$ प्राप्त होता है।
तब $2\lambda^2 = 7(2) - 12 = 2$,इसलिए $\lambda^2 = 1$।
अंत में,$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-5) + (\lambda)(-\lambda) = 3 - 10 - \lambda^2 = -7 - 1 = -8$।
अतः,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |-8| = 8$।

(A) दिया गया है $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$। सदिश $\vec{b}$ को $\vec{a}$ को $90^{\circ}$ घुमाकर प्राप्त किया जाता है ताकि यह $y$-अक्ष से होकर गुजरे। इसका अर्थ है कि $\vec{b}$,$\vec{a}$ और $\hat{j}$ के तल में है।
अतः,$\vec{b} = \lambda(\vec{a} \times (\vec{a} \times \hat{j}))$।
त्रिक गुणन की गणना करने पर: $\vec{a} \times \hat{j} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times \hat{j} = -\hat{k} + \hat{i} = \hat{i} - \hat{k}$।
तब $\vec{a} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} - \hat{k}) = \hat{j} + 2\hat{k} + 2\hat{i} + \hat{j} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$।
चूंकि $|\vec{b}| = |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$,हमारे पास $\sqrt{6} = |\lambda| \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = |\lambda| \sqrt{12} = 2\sqrt{3}|\lambda|$ है।
अतः,$|\lambda| = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\vec{b}$,$y$-अक्ष से होकर गुजरता है,$\vec{b} \cdot \hat{j} > 0$। $\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ की जांच करने पर,$\vec{b} = -\sqrt{2}\hat{i} - \sqrt{2}\hat{j} - \sqrt{2}\hat{k}$। यह $\vec{b} \cdot \hat{j} = -\sqrt{2} < 0$ देता है।
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ की जांच करने पर,$\vec{b} = \sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$। यह $\vec{b} \cdot \hat{j} = \sqrt{2} > 0$ देता है। अतः $\vec{b} = \sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$।
अब,$3\vec{a} + \sqrt{2}\vec{b} = 3(-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \sqrt{2}(\sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) = -\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}$।
$\vec{c} = 5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ पर प्रक्षेप $\frac{(- \hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})}{\sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{-5 + 32 + 15}{\sqrt{50}} = \frac{42}{5\sqrt{2}} = \frac{21\sqrt{2}}{5} = 4.2\sqrt{2}$।

(A) दिया गया व्यंजक $((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b})) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 8 \hat{i} - 40 \hat{j} - 24 \hat{k}$ है।
सदिश त्रिक गुणन नियम $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$,और $\vec{w} = \vec{a} - \vec{b}$ है।
यहाँ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = (\lambda^2 + 4 + 9) - (1 + \lambda^2 + 4) = 8$ है,इसलिए व्यंजक $8(\vec{a} \times \vec{b}) = 8 \hat{i} - 40 \hat{j} - 24 \hat{k}$ में बदल जाता है।
अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \lambda & 2 & -3 \\ 1 & -\lambda & 2 \end{vmatrix} = (4 - 3\lambda)\hat{i} - (2\lambda + 3)\hat{j} + (-\lambda^2 - 2)\hat{k}$ की गणना करने पर।
तुलना करने पर: $4 - 3\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 1$। जाँच: $-(2(1) + 3) = -5$ और $-(1^2 + 2) = -3$। जो सही है।
$\lambda = 1$ के लिए,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
अतः $\vec{a} + \vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{a} - \vec{b} = 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \end{vmatrix} = (-5 + 3)\hat{i} - (-10 - 0)\hat{j} + (6 - 0)\hat{k} = -2\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
चूँकि $\lambda = 1$ है,हमें $|1(-2\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k})|^2 = (-2)^2 + 10^2 + 6^2 = 4 + 100 + 36 = 140$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $2(\vec{a} \times \vec{b}) = 3(\vec{c} \times \vec{a})$।
इसे $\vec{a} \times (2\vec{b} + 3\vec{c}) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है कि किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{a} = \lambda(2\vec{b} + 3\vec{c})$ है।
दिया गया है कि $|\vec{a}| = \sqrt{31}$,$|\vec{b}| = 1/2$,और $|\vec{c}| = 2$ है।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos(2\pi/3) = (1/2)(2)(-1/2) = -1/2$ है।
अब,$|\vec{a}|^2 = \lambda^2 |2\vec{b} + 3\vec{c}|^2 = \lambda^2 (4|\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2 + 12\vec{b} \cdot \vec{c})$ है।
$31 = \lambda^2 (4(1/4) + 9(4) + 12(-1/2)) = \lambda^2 (1 + 36 - 6) = 31\lambda^2$ है।
अतः,$\lambda^2 = 1$,इसलिए $\lambda = \pm 1$ है।
तब $\vec{a} = \pm(2\vec{b} + 3\vec{c})$ है।
हमें $\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2 = \frac{|\vec{a} \times \vec{c}|^2}{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ का मान ज्ञात करना है।
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = |\pm(2\vec{b} + 3\vec{c}) \times \vec{c}|^2 = |2(\vec{b} \times \vec{c})|^2 = 4|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 4(|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 - (\vec{b} \cdot \vec{c})^2) = 4(1/4 \cdot 4 - (-1/2)^2) = 4(1 - 1/4) = 3$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \pm(2\vec{b} + 3\vec{c}) \cdot \vec{b} = \pm(2|\vec{b}|^2 + 3\vec{b} \cdot \vec{c}) = \pm(2(1/4) + 3(-1/2)) = \pm(1/2 - 3/2) = \pm(-1) = \mp 1$ है।
इसलिए,$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 1$ है।
अतः,$\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2 = \frac{3}{1} = 3$ है।

(C) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = 18$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = 36$.
दिए गए शीर्ष: $A(2,6,2), B(-4,0,\lambda), C(2,3,-1), D(4,5,0)$.
सदिश $\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{BD}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AC} = (2-2)\hat{i} + (3-6)\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = (4-(-4))\hat{i} + (5-0)\hat{j} + (0-\lambda)\hat{k} = 8\hat{i} + 5\hat{j} - \lambda\hat{k}$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & -3 \\ 8 & 5 & -\lambda \end{vmatrix} = \hat{i}(3\lambda + 15) - \hat{j}(0 - (-24)) + \hat{k}(0 - (-24)) = (3\lambda + 15)\hat{i} - 24\hat{j} + 24\hat{k}$.
इसका परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(3\lambda + 15)^2 + (-24)^2 + (24)^2} = 36$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3\lambda + 15)^2 + 576 + 576 = 1296$.
$(3\lambda + 15)^2 = 1296 - 1152 = 144$.
$3\lambda + 15 = \pm 12$.
स्थिति $1$: $3\lambda + 15 = 12 \Rightarrow 3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = -1$.
स्थिति $2$: $3\lambda + 15 = -12 \Rightarrow 3\lambda = -27 \Rightarrow \lambda = -9$.
चूँकि $|\lambda| \leq 5$,हम $\lambda = -1$ चुनते हैं।
अंत में,$5 - 6\lambda = 5 - 6(-1) = 5 + 6 = 11$.

(B) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|$.
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{BD}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AC} = C - A = (-2-2, -3-1, 5-1) = (-4, -4, 4) = -4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = D - B = (1-1, -6-2, -7-5) = (0, -8, -12) = 0\hat{i} - 8\hat{j} - 12\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -4 & 4 \\ 0 & -8 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-4)(-12) - (4)(-8)) - \hat{j}((-4)(-12) - (4)(0)) + \hat{k}((-4)(-8) - (-4)(0))$
$= \hat{i}(48 + 32) - \hat{j}(48 - 0) + \hat{k}(32 - 0)$
$= 80\hat{i} - 48\hat{j} + 32\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{80^2 + (-48)^2 + 32^2} = \sqrt{6400 + 2304 + 1024} = \sqrt{9728}$.
$\sqrt{9728} = \sqrt{256 \times 38} = 16\sqrt{38}$.
अंत में,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \frac{1}{2} \times 16\sqrt{38} = 8\sqrt{38}$ है।

(A) दिया गया है $\overline{OP} = -\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$.
$\overline{AB} = \overline{OB} - \overline{OA} = (2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}) - (-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}) = 4\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$.
$\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA} = (-4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) - (-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}) = -2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$.
$\overline{AB}$ और $\overline{AC}$ दोनों के लंबवत सदिश $\vec{n} = \overline{AB} \times \overline{AC}$ है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(8+2) + \hat{k}(4+6) = 5\hat{i}-10\hat{j}+10\hat{k}$.
$\vec{n}$ पर $\overline{OP}$ का प्रक्षेप $\frac{|\overline{OP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overline{OP} \cdot \vec{n} = (-1)(5) + (-2)(-10) + (3)(10) = -5 + 20 + 30 = 45$.
$|\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-10)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15$.
प्रक्षेप $= \frac{|45|}{15} = 3$.