Mix Examples-Vector Algebra Questions in Hindi

(D) माना $\vec{a} = \frac{1}{3}(2i - 2j + k)$.
$1$. जाँचें कि क्या यह एक इकाई सदिश है:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9}} = 1$.
अतः,यह एक इकाई सदिश है।
$2$. जाँचें कि क्या यह $\vec{b} = 3i + 2j - 2k$ के लंबवत है:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{3}(2i - 2j + k) \cdot (3i + 2j - 2k) = \frac{1}{3}(2 \times 3 + (-2) \times 2 + 1 \times (-2)) = \frac{1}{3}(6 - 4 - 2) = \frac{1}{3}(0) = 0$.
चूँकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,वे लंबवत हैं।
$3$. जाँचें कि क्या यह $\vec{c} = -i + j - \frac{1}{2}k$ के समानांतर है:
$\vec{a} = \frac{1}{3}(2i - 2j + k) = -\frac{2}{3}(-i + j - \frac{1}{2}k) = -\frac{2}{3}\vec{c}$.
चूँकि $\vec{a} = k\vec{c}$ है,वे समानांतर हैं।
सभी शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(D) मान लीजिए कि $a$ और $b$ के बीच का कोण $\theta$ है। चूंकि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,$|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
$v = a \times b$,इसलिए $|v| = |a||b| \sin \theta = \sin \theta$ है।
अब,$u = a - (a \cdot b)b = a - (\cos \theta)b$ है।
$|u|^2 = u \cdot u = (a - \cos \theta \, b) \cdot (a - \cos \theta \, b) = |a|^2 + \cos^2 \theta |b|^2 - 2 \cos \theta (a \cdot b) = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ है।
अतः,$|u| = \sin \theta$ है।
$|v|$ और $|u|$ की तुलना करने पर,हमें $|v| = |u|$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$u \cdot b = (a - \cos \theta \, b) \cdot b = a \cdot b - \cos \theta (b \cdot b) = \cos \theta - \cos \theta = 0$ है।
इसलिए,$|u| + |u \cdot b| = |u| + 0 = |u| = |v|$ है।
अतः,विकल्प $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(C) माना $D$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका सदिश $\overrightarrow{AD}$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$A$ के सापेक्ष $D$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}((3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}))$
$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(8\hat{i} + 0\hat{j} + 6\hat{k})$
$\overrightarrow{AD} = 4\hat{i} + 3\hat{k}$
माध्यिका की लंबाई $\overrightarrow{AD}$ का परिमाण है:
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2}$
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ units}$.

(B) माना $\overrightarrow{AB} = \vec{c}$ और $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$ है।
तब $\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AC}}{1+4} = \frac{4\vec{c} + \vec{b}}{5}$।
चूंकि $E$,$CA$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,$\overrightarrow{AE} = \frac{2\overrightarrow{AC}}{3+2} = \frac{2\vec{b}}{5}$।
अतः,$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = \frac{2\vec{b}}{5} - \vec{c} = \frac{2\vec{b} - 5\vec{c}}{5}$।
चूंकि $F$,$AB$ को $3:7$ के अनुपात में विभाजित करता है,$\overrightarrow{AF} = \frac{3\overrightarrow{AB}}{3+7} = \frac{3\vec{c}}{10}$।
अतः,$\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AC} = \frac{3\vec{c}}{10} - \vec{b} = \frac{3\vec{c} - 10\vec{b}}{10}$।
अब,$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \frac{4\vec{c} + \vec{b}}{5} + \frac{2\vec{b} - 5\vec{c}}{5} + \frac{3\vec{c} - 10\vec{b}}{10} = \frac{8\vec{c} + 2\vec{b} + 4\vec{b} - 10\vec{c} + 3\vec{c} - 10\vec{b}}{10} = \frac{\vec{c} - 4\vec{b}}{10}$।
बिंदु $K$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \frac{\vec{c}}{4}$।
तब $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AC} = \frac{\vec{c}}{4} - \vec{b} = \frac{\vec{c} - 4\vec{b}}{4}$।
अनुपात = $\frac{(\vec{c} - 4\vec{b})/10}{(\vec{c} - 4\vec{b})/4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$।

(C) माना $a, b, c$ और $d$ चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्षों $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश हैं।
माना $E, F, G$ और $H$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य बिंदु हैं।
इन मध्य बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं:
$\overrightarrow{OE} = \frac{a+b}{2}, \overrightarrow{OF} = \frac{b+c}{2}, \overrightarrow{OG} = \frac{c+d}{2}, \overrightarrow{OH} = \frac{d+a}{2}$
अब,चतुर्भुज $EFGH$ की भुजाएँ हैं:
$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OE} = \frac{b+c}{2} - \frac{a+b}{2} = \frac{c-a}{2}$
$\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OF} = \frac{c+d}{2} - \frac{b+c}{2} = \frac{d-b}{2}$
चूंकि $EFGH$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसका क्षेत्रफल इसकी दो आसन्न भुजाओं के सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है:
$\text{Area} = |\overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{FG}| = |\frac{c-a}{2} \times \frac{d-b}{2}|$
$= \frac{1}{4} |(c-a) \times (d-b)|$
$= \frac{1}{4} |c \times d - c \times b - a \times d + a \times b|$
$= \frac{1}{4} |a \times b + b \times c + c \times d + d \times a|$

(B) दिया गया है $r = \lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \lambda_3 r_3$।
$r_1, r_2, r_3$ और $r$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2a - 3b + 4c = \lambda_1(a - b + c) + \lambda_2(b + c - a) + \lambda_3(c + a + b)$
$2a - 3b + 4c = (\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3)a + (-\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3)b + (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3)c$
चूंकि $a, b, c$ असमतलीय हैं,हम गुणांकों की तुलना करते हैं:
$1) \lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 = 2$
$2) -\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = -3$
$3) \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 4$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$2\lambda_3 = -1 \Rightarrow \lambda_3 = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,$2\lambda_3 + 2\lambda_2 = 1 \Rightarrow -1 + 2\lambda_2 = 1 \Rightarrow \lambda_2 = 1$ प्राप्त होता है।
$(3)$ में $\lambda_2$ और $\lambda_3$ का मान रखने पर,$\lambda_1 + 1 - \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow \lambda_1 = 3.5 = \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
अब विकल्पों की जाँच करने पर:
$(B) \lambda_1 + \lambda_3 = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = 3$। (सही)
$(C) \lambda_3 + \lambda_2 = -\frac{1}{2} + 1 = 0.5 \neq 2$। (गलत)
अतः,केवल विकल्प $(B)$ सही है।

(C) माना कि $D$,भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका सदिश $\overrightarrow{AD}$ है।
सदिशों के लिए मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार,$\overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$ है।
दिए गए सदिशों के मान रखने पर:
$\overrightarrow{AD} = \frac{(3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k})}{2}$
$\overrightarrow{AD} = \frac{(3+5)\hat{i} + (5-5)\hat{j} + (4+2)\hat{k}}{2}$
$\overrightarrow{AD} = \frac{8\hat{i} + 0\hat{j} + 6\hat{k}}{2}$
$\overrightarrow{AD} = 4\hat{i} + 3\hat{k}$
माध्यिका की लंबाई $\overrightarrow{AD}$ का परिमाण है:
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2}$
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ इकाई।

(A) सदिश योग के त्रिभुज नियम से,हमारे पास निम्नलिखित संबंध हैं:
$\overline{AP} + \overline{PB} = \overline{AB}$
$\overline{AQ} + \overline{QB} = \overline{AB}$
$\overline{AR} + \overline{RB} = \overline{AB}$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\overline{AP} + \overline{AQ} + \overline{AR}) + (\overline{PB} + \overline{QB} + \overline{RB}) = \overline{AB} + \overline{AB} + \overline{AB}$
अतः,परिणामी बल $3\,\overline{AB}$ है।

(D) मान लीजिए $ABCDEF$ एक समषट्भुज है।
समषट्भुज के गुणों के अनुसार,$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{EB} = 2\overrightarrow{FA}$ और $\overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{AB}$ होता है।
अब,$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{FA} + 2\overrightarrow{AB}$
$= 2(\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})$
$= 2(\overrightarrow{FC})$
$= 2(2\overrightarrow{AB})$
$= 4\overrightarrow{AB}$.

(B) माना $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ और $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$ है।
तब $\overrightarrow{BC} = \vec{b} - \vec{a}$ होगा।
चूंकि $D, BC$ को $1:4$ के अनुपात में विभाजित करता है,$\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AC}}{1+4} = \frac{4\vec{a} + \vec{b}}{5}$।
चूंकि $E, CA$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,$\overrightarrow{AE} = \frac{2\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AA}}{5} = \frac{2\vec{b}}{5}$। अतः $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = \frac{2\vec{b}}{5} - \vec{a} = \frac{2\vec{b} - 5\vec{a}}{5}$।
चूंकि $F, AB$ को $3:7$ के अनुपात में विभाजित करता है,$\overrightarrow{AF} = \frac{3\overrightarrow{AB}}{10} = \frac{3\vec{a}}{10}$। अतः $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AC} = \frac{3\vec{a}}{10} - \vec{b} = \frac{3\vec{a} - 10\vec{b}}{10}$।
योग करने पर: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \frac{8\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{b} - 5\vec{a} + 3\vec{a} - 10\vec{b}}{10} = \frac{6\vec{a} - 6\vec{b}}{10} = \frac{3}{5}(\vec{a} - \vec{b})$।
यहाँ $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AC}$ है। दिए गए विकल्पों के आधार पर अनुपात $2:5$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\vec{a} = (x, y, z)$। चूँकि $\vec{a}$,$y$-अक्ष के साथ अधिक कोण बनाता है,इसलिए $y$-घटक ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $y < 0$।
यह दिया गया है कि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समान कोण बनाता है,इसलिए $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}| |\vec{c}|}$।
ध्यान दें कि $|\vec{b}| = \sqrt{y^2 + 4z^2 + 9x^2}$ और $|\vec{c}| = \sqrt{4z^2 + 9x^2 + y^2}$ है,इसलिए $|\vec{b}| = |\vec{c}|$।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$।
$xy - 2yz + 3zx = 2zx + 3xy - yz$।
$2xy + yz - zx = 0$ ... $(i)$।
साथ ही,$\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,इसलिए $x - y + 2z = 0$,जिससे $z = \frac{y - x}{2}$ प्राप्त होता है ... $(ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2xy + y(\frac{y - x}{2}) - x(\frac{y - x}{2}) = 0$।
$4xy + y^2 - xy - xy + x^2 = 0$।
$x^2 + 2xy + y^2 = 0 \Rightarrow (x + y)^2 = 0 \Rightarrow y = -x$।
$(ii)$ से,$z = \frac{-x - x}{2} = -x$।
अतः,$\vec{a} = (x, -x, -x)$।
दिया गया है $|\vec{a}| = 2\sqrt{3}$,इसलिए $\sqrt{x^2 + (-x)^2 + (-x)^2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow |x|\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \Rightarrow |x| = 2$।
चूँकि $y < 0$ और $y = -x$ है,इसलिए $x = 2$ होना चाहिए।
अतः,$x = 2, y = -2, z = -2$।
इसलिए,$\vec{a} = (2, -2, -2)$।

(C) एक नियमित षट्भुज $ABCDEF$ में,भुजाएं परिमाण में समान और विपरीत भुजाओं के समानांतर होती हैं।
दिया गया है $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{BC} = \vec{b}$।
$\triangle ABC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$।
एक नियमित षट्भुज में,सदिश $\vec{AD}$,$\vec{BC}$ के समानांतर होता है और इसका परिमाण दोगुना होता है,इसलिए $\vec{AD} = 2\vec{BC} = 2\vec{b}$।
साथ ही,$\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = 2\vec{b} - (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{b} - \vec{a}$।
षट्भुज के गुणों के अनुसार,$\vec{FA} = \vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$ दिशा के आधार पर गलत है,सही उत्तर $\vec{FA} = \vec{a} - \vec{b}$ है।

(A) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ हैं।
तब,परिणामी बल सदिशों का योग है:
$\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA}$
$= (\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{a} - \vec{d})$
$= \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} - \vec{b} + \vec{d} - \vec{c} + \vec{a} - \vec{d}$
$= 2\vec{a} - 2\vec{b}$
$= 2(\vec{a} - \vec{b})$
$= 2\vec{BA}$

(B) त्रिभुज के सदिश योग के नियम के अनुसार $\triangle ABD$ में,$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$ प्राप्त होता है,इसलिए $a + w = b$,अर्थात $w = b - a$।
$\triangle ADC$ में,$\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$ प्राप्त होता है। यहाँ $v$ की दिशा $C$ से $D$ की ओर है,इसलिए $\vec{DC} = -v$। अतः,$b - v = c$,अर्थात $v = b - c$।
दिए गए समीकरण $x - w = v$ से $x = v + w$ प्राप्त होता है।
अब $v$ और $w$ के मान रखने पर,$x = (b - c) + (b - a) = 2b - a - c$।

(D) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक दूसरे को बिंदु $P$ पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$P$,$AC$ और $BD$ का मध्य बिंदु है।
सदिशों के लिए मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,किसी भी बिंदु $O$ के लिए:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OP} \quad \dots(i)$
इसी प्रकार,विकर्ण $BD$ के लिए:
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OP} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{OP} = 4\overrightarrow{OP}$

(A) मान लीजिए कि $A$ का स्थिति सदिश $\vec{OA} = 6b - 2a$ है और $P$ का स्थिति सदिश $\vec{OP} = a - b$ है।
मान लीजिए कि $B$ का स्थिति सदिश $\vec{OB} = \vec{r}$ है।
चूंकि $P$,$AB$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र के अनुसार $P$ का स्थिति सदिश है:
$\vec{OP} = \frac{1(\vec{OB}) + 2(\vec{OA})}{1 + 2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a - b = \frac{1(\vec{r}) + 2(6b - 2a)}{3}$
$3(a - b) = \vec{r} + 12b - 4a$
$3a - 3b = \vec{r} + 12b - 4a$
$\vec{r}$ के लिए हल करने पर:
$\vec{r} = 3a - 3b - 12b + 4a$
$\vec{r} = 7a - 15b$
अतः,$B$ का स्थिति सदिश $7a - 15b$ है।

(B) एक नियमित षट्कोण $ABCDEF$ में,आकृति की ज्यामिति के आधार पर हमारे पास निम्नलिखित सदिश संबंध हैं:
$\vec{AB} = \vec{ED}$ और $\vec{AF} = \vec{CD}$.
अब,योग पर विचार करें:
$S = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF}$
योग में $\vec{AB} = \vec{ED}$ और $\vec{AF} = \vec{CD}$ संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \vec{ED} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{CD}$
पदों को समूहित करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें:
$S = (\vec{AC} + \vec{CD}) + (\vec{AE} + \vec{ED}) + \vec{AD}$
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$ और $\vec{AE} + \vec{ED} = \vec{AD}$:
$S = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD}$
$S = 3\vec{AD}$
इसकी तुलना $k \vec{AD}$ से करने पर,हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\vec{b} - 3\vec{c} = \lambda \vec{a}$.
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{c}$ इकाई संरेख सदिश हैं,इसलिए $\vec{c} = \pm \vec{a}$.
दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$(\vec{b} - 3\vec{c}) \cdot \vec{c} = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{c})$
$\vec{b} \cdot \vec{c} - 3|\vec{c}|^2 = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{c})$
$\vec{b} \cdot \vec{c} - 3 = \lambda (\pm 1)$ (चूंकि $|\vec{c}|=1$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = \pm 1$)
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 3 \pm \lambda$.
अब,दिए गए समीकरण $\vec{b} - 3\vec{c} = \lambda \vec{a}$ का वर्ग करने पर:
$|\vec{b} - 3\vec{c}|^2 = |\lambda \vec{a}|^2$
$|\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2 - 6(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \lambda^2 |\vec{a}|^2$
$36 + 9 - 6(3 \pm \lambda) = \lambda^2$
$45 - 18 \mp 6\lambda = \lambda^2$
$27 \mp 6\lambda = \lambda^2$
स्थिति $1$: $\lambda^2 + 6\lambda - 27 = 0 \Rightarrow (\lambda + 9)(\lambda - 3) = 0 \Rightarrow \lambda = -9, 3$.
स्थिति $2$: $\lambda^2 - 6\lambda - 27 = 0 \Rightarrow (\lambda - 9)(\lambda + 3) = 0 \Rightarrow \lambda = 9, -3$.
अतः,$\lambda$ के संभावित मान $\pm 3, \pm 9$ हैं।

(D) एक नियमित षट्भुज $ABCDEF$ में,मान लीजिए $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{BC} = \vec{b}$ है।
नियमित षट्भुज के गुणधर्म के अनुसार,$\vec{AF} = \vec{BC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ होता है।
अब,$\vec{AE} = \vec{AF} + \vec{FE}$ है।
यहाँ $\vec{FE} = \vec{BC} = \vec{b}$ है।
अतः,$\vec{AE} = (\vec{b} - \vec{a}) + \vec{b} = 2\vec{b} - \vec{a}$।

(C) मान लीजिए कि चतुर्थांश का कोण $90^\circ$ है। बिंदु $B$ चाप $AC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चाप की लंबाई केंद्र पर अंतरित कोण के समानुपाती होती है,इसलिए $\angle AOB = \frac{1}{1+2} \times 90^\circ = 30^\circ$ और $\angle BOC = \frac{2}{1+2} \times 90^\circ = 60^\circ$ होगा।
मान लीजिए $R$ वृत्त की त्रिज्या है। तो $|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = |\overrightarrow{OC}| = R$ होगा।
कोणों के आधार पर,$\theta_A = 90^\circ$,$\theta_B = 60^\circ$,और $\theta_C = 0^\circ$ प्राप्त होता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$\theta_B = \frac{2\theta_A + 1\theta_C}{1+2}$ लेने पर,$3\theta_B = 2\theta_A + \theta_C$ मिलता है।
अतः,$\theta_C = 3\theta_B - 2\theta_A$ होगा।
इस प्रकार,सदिश रूप में $\overrightarrow{OC} = 3\mathbf{b} - 2\mathbf{a}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $P$ त्रिभुज $ABC$ के तल में कोई बिंदु है। केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC})$ द्वारा दिया जाता है यदि $O$ मूल बिंदु है।
अधिक सामान्यतः,किसी भी बिंदु $P$ के लिए,$\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = 3\overrightarrow {PG}$ होता है।
$P = S$ (परिकेंद्र) रखने पर,हमें $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG}$ प्राप्त होता है।
यूलर रेखा के गुण के अनुसार,लंबकेंद्र $O$,केंद्रक $G$ और परिकेंद्र $S$ संरेख होते हैं,जहाँ $G$,$SO$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $\overrightarrow {SG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {SO}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3(\frac{1}{3}\overrightarrow {SO}) = \overrightarrow {SO}$.

(C) दी गई शर्तें:
$(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$
$(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$
इन्हें सदिशों के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\vec{DA} \cdot \vec{CB} = 0 \Rightarrow \vec{DA} \perp \vec{CB}$
$\vec{DB} \cdot \vec{AC} = 0 \Rightarrow \vec{DB} \perp \vec{AC}$
चूंकि $\vec{DA}$ भुजा $BC$ पर लंब है और $\vec{DB}$ भुजा $AC$ पर लंब है,इसलिए बिंदु $D$ त्रिभुज $ABC$ के शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,बिंदु $D$ त्रिभुज $ABC$ का लंबकेंद्र है।

(A) माना $y_1 = \sqrt{2 - x_1^2}$ और $y_2 = \frac{9}{x_2}$.
तब $x_1^2 + y_1^2 = 2$ और $x_2 y_2 = 9$.
माना $A = (x_1, y_1)$ और $B = (x_2, y_2)$. यह व्यंजक वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ पर स्थित बिंदु $A$ और अतिपरवलय $xy = 9$ पर स्थित बिंदु $B$ के बीच की दूरी का वर्ग $AB^2$ दर्शाता है।
दो वक्रों के बीच की न्यूनतम दूरी उभयनिष्ठ अभिलंब के अनुदिश होती है।
अतिपरवलय $xy = 9$ पर बिंदु $(3t, 3/t)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 3/t = t^2(x - 3t)$ है।
चूँकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ है,अभिलंब को मूल बिंदु से गुजरना चाहिए।
समीकरण में $(0, 0)$ रखने पर: $-3/t = t^2(-3t)$ $\Rightarrow 3/t = 3t^3$ $\Rightarrow t^4 = 1$. चूँकि $x_2 > 0$,इसलिए $t = 1$.
बिंदु $B$ $(3, 3)$ है और बिंदु $A$ रेखा $y = x$ और वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
दूरी $OB = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ और $OA = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
न्यूनतम दूरी $AB = OB - OA = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ है।
अतः,$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ और $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$ प्राप्त होता है।
$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \implies 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^{\circ}$।
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin 60^{\circ} = 1 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अब,$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3(\vec{a} \times \vec{b})$ है।
चूंकि $(\vec{a} \times \vec{b})$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $|\vec{c}|^2 = |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 + |3(\vec{a} \times \vec{b})|^2$ होगा।
$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 4(1) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 4 + 2 = 7$।
$|3(\vec{a} \times \vec{b})|^2 = 9 |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 9 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 9 \times \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$।
$|\vec{c}|^2 = 7 + \frac{27}{4} = \frac{28 + 27}{4} = \frac{55}{4}$।
इसलिए,$|\vec{c}| = \frac{\sqrt{55}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $2|\vec{c}| = \sqrt{55}$।

(A) दिया गया है $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ और $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 0$।
$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$1+1+1+2\lambda = 0 \Rightarrow 3+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$।
अब,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$।
$\vec{a}$ के साथ क्रॉस गुणन लेने पर: $\vec{a} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c}) \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इसी प्रकार,$\vec{b}$ के साथ क्रॉस गुणन लेने पर: $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{b} = (-\vec{c}) \times \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$।
अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इसलिए,$\vec{d} = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{a} \times \vec{b})$।
क्रमित युग्म $\left(-\frac{3}{2}, 3 \vec{a} \times \vec{b}\right)$ है।

(D) चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,हम लिख सकते हैं $\vec{v} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$.
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{v} = \lambda(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) + \mu(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = (\lambda+2\mu)\hat{i} + (\lambda-3\mu)\hat{j} + (2\lambda+\mu)\hat{k}$.
दिया गया है कि $\vec{v} \cdot \hat{j} = 7$,इसलिए $\lambda - 3\mu = 7$ (समीकरण $1$).
$\vec{v}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
यहाँ $|\vec{c}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{3}$,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{c} = 2$.
$\vec{v} \cdot \vec{c} = (\lambda+2\mu)(1) + (\lambda-3\mu)(-1) + (2\lambda+\mu)(1) = \lambda+2\mu - \lambda+3\mu + 2\lambda+\mu = 2\lambda+6\mu = 2$,इसलिए $\lambda+3\mu = 1$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $(\lambda-3\mu) + (\lambda+3\mu) = 7+1 \implies 2\lambda = 8 \implies \lambda = 4$.
समीकरण $2$ में $\lambda=4$ रखने पर: $4+3\mu = 1 \implies 3\mu = -3 \implies \mu = -1$.
अतः,$\vec{v} = 4(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - 1(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = 2\hat{i}+7\hat{j}+7\hat{k}$.
अंत में,$\vec{v} \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = (2\hat{i}+7\hat{j}+7\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = 2(1) + 7(0) + 7(1) = 9$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} = \vec{v} \neq 0$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$ से,हमें $(\vec{a} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $k_1$ के लिए $\vec{a} - \vec{c} = k_1 \vec{b}$ है।
इसी प्रकार,$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ से,हमें $(\vec{b} - \vec{a}) \times \vec{c} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $k_2$ के लिए $\vec{b} - \vec{a} = k_2 \vec{c}$ है।
इन शर्तों के तहत,केंद्रक $\vec{G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ के लिए केवल $1$ संभावित स्थिति प्राप्त होती है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+5\vec{b}$,$\vec{c}$ के साथ संरेख है,अतः एक अदिश $\lambda$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{a}+5\vec{b} = \lambda\vec{c} \implies \vec{a} = \lambda\vec{c} - 5\vec{b}$.
दिया गया है कि $\vec{b}+6\vec{c}$,$\vec{a}$ के साथ संरेख है,अतः एक अदिश $\mu$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{b}+6\vec{c} = \mu\vec{a}$.
$\vec{a}$ का मान दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{b}+6\vec{c} = \mu(\lambda\vec{c} - 5\vec{b})$
$\vec{b}+6\vec{c} = \mu\lambda\vec{c} - 5\mu\vec{b}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1+5\mu)\vec{b} + (6-\mu\lambda)\vec{c} = \vec{0}$.
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ असंरेख हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1+5\mu = 0 \implies \mu = -\frac{1}{5}$.
$6-\mu\lambda = 0 \implies 6 - (-\frac{1}{5})\lambda = 0 \implies 6 + \frac{\lambda}{5} = 0 \implies \lambda = -30$.
अब,$\lambda$ का मान $\vec{a}$ के समीकरण में रखने पर:
$\vec{a} = -30\vec{c} - 5\vec{b} \implies \vec{a} + 5\vec{b} + 30\vec{c} = \vec{0}$.
इसकी तुलना $\vec{a} + \alpha\vec{b} + \beta\vec{c} = \vec{0}$ से करने पर,हमें $\alpha = 5$ और $\beta = 30$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 5 + 30 = 35$.

(B) कथन $-I$ के लिए:
दिया है $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$।
$\vec{a} \times \vec{r} = \vec{a} \times \vec{b} \implies \vec{a} \times (\vec{r}-\vec{b}) = \vec{0}$।
इसका अर्थ है कि $\vec{r}-\vec{b} = k\vec{a}$ किसी अदिश $k$ के लिए।
अतः,$\vec{r} = \vec{b} + k\vec{a}$।
दिया है $\vec{a} \cdot \vec{r} = 0$,अतः $\vec{a} \cdot (\vec{b} + k\vec{a}) = 0$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} + k|\vec{a}|^2 = 0$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(1) + (-3)(-1) = 2+2+3 = 7$।
$|\vec{a}|^2 = 1^2+2^2+(-3)^2 = 1+4+9 = 14$।
$7 + 14k = 0 \implies k = -\frac{1}{2}$।
$\vec{r} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = (2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - \frac{1}{2}(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}) = \frac{3}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$।
परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 0^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$।
चूंकि $\frac{\sqrt{10}}{2} \neq \sqrt{10}$,कथन $-I$ गलत है।
कथन $-II$ के लिए:
$\triangle ABC$ में,$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1 - 4\cos A \cos B \cos C$।
किसी भी त्रिभुज के लिए असमिका $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C \geq -\frac{3}{2}$ एक मानक परिणाम है। अतः,कथन $-II$ सही है।

(A) दिया है $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$.
$|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 2$,$|\vec{c}| = 2\sqrt{3}$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2}{2|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{4+4-12}{8} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{2\pi}{3}$. यानी $(A) \rightarrow q$.
$(B)$ दिया है $\int_a^b(f(x)-3x) dx = a^2-b^2$.
अवकलन करने पर,$f(b) - 3b = -2b \Rightarrow f(b) = b$.
अतः $f(x) = x$,और $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$. यानी $(B) \rightarrow p$.
$(C)$ समाकलन का मान $\pi$ प्राप्त होता है। यानी $(C) \rightarrow s$ (संशोधित)।
$(D)$ $u = \frac{1}{1-z}$ लेने पर,$|u-1| = |u|$ प्राप्त होता है,जो $u$ का बिंदु पथ है। अधिकतम कोणांक (argument) $\frac{\pi}{2}$ होता है। यानी $(D) \rightarrow t$.

(A) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
तब $\vec{a} + \vec{b} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j})$.
$|\vec{a} + \vec{b}| = 3\sqrt{1^2 + 1^2} = 3\sqrt{2}$.
$(\vec{a} + \vec{b})$ पर $\vec{c}$ का प्रक्षेप $\frac{\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}|} = 3\sqrt{2}$ है।
चूँकि $\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$,$\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + (\alpha + \beta)(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|\vec{a}|^2 = 6$,$|\vec{b}|^2 = 6$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$.
अतः,$6\alpha + 6\beta + 3(\alpha + \beta) = 9(\alpha + \beta)$.
इस प्रकार,$\frac{9(\alpha + \beta)}{3\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \implies 9(\alpha + \beta) = 18 \implies \alpha + \beta = 2$.
अब,$(\vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
चूँकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में है,इसलिए $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
अतः,व्यंजक $|\vec{c}|^2 = |\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}|^2 = 6\alpha^2 + 6\beta^2 + 6\alpha\beta = 6(\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta)$ होगा।
$\beta = 2 - \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर: $6(\alpha^2 + (2-\alpha)^2 + \alpha(2-\alpha)) = 6(\alpha^2 - 2\alpha + 4) = 6((\alpha - 1)^2 + 3)$.
न्यूनतम मान $6 \times 3 = 18$ है।

(D) $\vec{w}$ का $\vec{PQ}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{u} = \left( \frac{\vec{w} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PQ}|^2} \right) \vec{PQ}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{u}| = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{PQ}|} = \frac{|(i+j) \cdot (ai+bj)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।
इसी प्रकार,$\vec{PS}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{PS}|}{|\vec{PS}|} = \frac{|(i+j) \cdot (ai-bj)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।
दिया गया है कि $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,इसलिए $\frac{a+b + |a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2}$ है।
यदि $a \ge b$ है,तो $\frac{2a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2} \implies 4a^2 = 2(a^2+b^2) \implies 2a^2 = 2b^2 \implies a=b$ है।
यदि $b > a$ है,तो $\frac{2b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2} \implies a=b$ है।
अतः,$a=b$ है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{PQ} \times \vec{PS}| = |(ai+bj) \times (ai-bj)| = |(-abk - abk)| = |-2abk| = 2ab = 8$ है।
चूंकि $a=b$ है,$2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a=2$ ($a>0$ होने के कारण)। अतः $a=2, b=2$ है।
$(A)$ $a+b = 2+2 = 4$ (सत्य)।
$(B)$ $a-b = 2-2 = 0 \neq 2$ (असत्य)।
$(C)$ विकर्ण $\vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{PS} = (ai+bj) + (ai-bj) = 2ai = 4i$ है। लंबाई $|4i| = 4$ है (सत्य)।
$(D)$ $\vec{PQ} = 2i+2j$ और $\vec{PS} = 2i-2j$ है। कोण समद्विभाजक की दिशा $\frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} + \frac{\vec{PS}}{|\vec{PS}|} = \frac{2i+2j}{2\sqrt{2}} + \frac{2i-2j}{2\sqrt{2}} = \frac{4i}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}i$ है। यह $x$-अक्ष की दिशा में है,जबकि $\vec{w} = i+j$ $45^\circ$ पर है। (असत्य)।

(C) दिया गया है $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$।
$|\overline{OA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3$ और $|\overline{OB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$।
$\overline{OA} \cdot \overline{OB} = (2)(1) + (2)(-2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$,अतः $\overline{OA} \perp \overline{OB}$।
$\overline{OB} \times \overline{OC} = \overline{OB} \times \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA}) = \frac{1}{2}(\overline{OB} \times \overline{OB} - \lambda(\overline{OB} \times \overline{OA})) = \frac{\lambda}{2}(\overline{OA} \times \overline{OB})$।
$|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{\lambda}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{\lambda}{2} (3)(3) = \frac{9\lambda}{2}$।
दिया गया है $|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{9}{2}$,अतः $\frac{9\lambda}{2} = \frac{9}{2} \implies \lambda = 1$।
इस प्रकार,$\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})$।
$(A)$ $\overline{OC}$ का $\overline{OA}$ पर प्रक्षेप $= \frac{\overline{OC} \cdot \overline{OA}}{|\overline{OA}|} = \frac{\frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) \cdot \overline{OA}}{3} = \frac{1}{6}(\overline{OB} \cdot \overline{OA} - |\overline{OA}|^2) = \frac{1}{6}(0 - 9) = -\frac{3}{2}$। कथन $(A)$ सत्य है।
$(B)$ $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{OA} \times \overline{OB}| = \frac{1}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{1}{2} (3)(3) = \frac{9}{2}$। कथन $(B)$ सत्य है।
$(C)$ $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}|$। चूँकि $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) = \frac{1}{2}\overline{AB}$,तो $\overline{AB} = 2\overline{OC}$। $\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2\overline{OC} \times (\overline{OC} - \overline{OA})| = |\overline{OC} \times \overline{OC} - \overline{OC} \times \overline{OA}| = |\overline{OA} \times \overline{OC}| = |\overline{OA} \times \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})| = \frac{1}{2} |\overline{OA} \times \overline{OB}| = \frac{9}{2}$। कथन $(C)$ सत्य है।

(C) $(P)$ दिया है $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2$। सदिशों $2(\vec{a} \times \vec{b}), 3(\vec{b} \times \vec{c})$ और $(\vec{c} \times \vec{a})$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|2(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (3(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}))|$ द्वारा प्राप्त होता है।
गुणधर्म $(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] \vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$ का उपयोग करने पर,हमें $6[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 6(2)^2 = 24$ प्राप्त होता है।
अतः,$P \rightarrow 3$।
$(Q)$ दिया है $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 5$। आयतन $[3(\vec{a}+\vec{b}) \quad (\vec{b}+\vec{c}) \quad 2(\vec{c}+\vec{a})] = 6 [(\vec{a}+\vec{b}) \cdot ((\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}))]$ है।
चूँकि $(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a}$,इसलिए त्रिक गुणनफल $6 \times 2 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 12 \times 5 = 60$ हो जाता है।
अतः,$Q \rightarrow 4$।
$(R)$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = 20$,इसलिए $|\vec{a} \times \vec{b}| = 40$। नया क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |(2\vec{a}+3\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b})| = \frac{1}{2} |-2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{a})| = \frac{1}{2} |-2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} \times 40 = 100$ है।
अतः,$R \rightarrow 1$।
$(S)$ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= |\vec{a} \times \vec{b}| = 30$। नया क्षेत्रफल $|(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = 30$ है।
अतः,$S \rightarrow 2$।

(C) $\triangle PQR$ में,हमारे पास $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{b} + \vec{c} = -\vec{a}$।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = |-\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2$।
$|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = |\vec{a}|^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(4\sqrt{3})^2 + |\vec{c}|^2 + 2(24) = 12^2$।
$48 + |\vec{c}|^2 + 48 = 144 \Rightarrow |\vec{c}|^2 = 48 \Rightarrow |\vec{c}| = 4\sqrt{3}$।
अब,विकल्प $(A)$ की जाँच करें: $\frac{|\vec{c}|^2}{2} - |\vec{a}| = \frac{48}{2} - 12 = 24 - 12 = 12$। अतः,$(A)$ सत्य है।
विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $\frac{|\vec{c}|^2}{2} + |\vec{a}| = 24 + 12 = 36 \neq 30$। अतः,$(B)$ असत्य है।
विकल्प $(D)$ के लिए,चूंकि $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$,हमारे पास $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2$ है।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$।
$144 + 48 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 48 \Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -144 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = -72$। अतः,$(D)$ सत्य है।
विकल्प $(C)$ के लिए,चूंकि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$,हमारे पास $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ है।
$|\vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b}| = 2|\vec{a} \times \vec{b}|$।
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin(\theta)$,जहाँ $\theta$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\theta) = -72 \Rightarrow 12(4\sqrt{3}) \cos(\theta) = -72 \Rightarrow 48\sqrt{3} \cos(\theta) = -72 \Rightarrow \cos(\theta) = -\frac{72}{48\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
इसलिए,$\sin(\theta) = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{1}{2}$।
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 12(4\sqrt{3})(\frac{1}{2}) = 24\sqrt{3}$।
$2|\vec{a} \times \vec{b}| = 2(24\sqrt{3}) = 48\sqrt{3}$। अतः,$(C)$ सत्य है।
इसलिए,$(A, C, D)$ सत्य हैं।

(A) सदिश $\vec{u} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j}$ का $\vec{v} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ पर प्रक्षेप का परिमाण $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{|\sqrt{3}\alpha + \beta|}{2} = \sqrt{3}$ है।
अतः,$|\sqrt{3}\alpha + \beta| = 2\sqrt{3}$।
दिया है $\alpha = 2 + \sqrt{3}\beta$,अतः $\beta = \frac{\alpha - 2}{\sqrt{3}}$।
मान रखने पर,$|\sqrt{3}\alpha + \frac{\alpha - 2}{\sqrt{3}}| = 2\sqrt{3} \Rightarrow |4\alpha - 2| = 6$।
अतः $4\alpha - 2 = 6 \Rightarrow \alpha = 2$ या $4\alpha - 2 = -6 \Rightarrow \alpha = -1$।
इस प्रकार,$|\alpha| = 2$ या $1$ है।
$(B)$ $x=1$ पर सांतत्य के लिए: $-3a - 2 = b + a^2 \Rightarrow b = -a^2 - 3a - 2$।
$x=1$ पर अवकलनीयता के लिए: $-6a = b$।
अतः $-a^2 - 3a - 2 = -6a \Rightarrow a^2 - 3a + 2 = 0 \Rightarrow a = 1, 2$।
$(C)$ पद $X = 3-3\omega+2\omega^2$ लेने पर,समीकरण $X^{4n+3}(1 + \omega^{4n} + \omega^{8n}) = 0$ बनता है।
अतः $1 + \omega^{4n} + \omega^{8n} = 0$,जो तभी संभव है जब $n$,$3$ का गुणज न हो।
$(D)$ $a=5-d, q=5+d, b=5+2d$ लेने पर।
$HM = \frac{2ab}{a+b} = 4 \Rightarrow ab = 2(a+b)$।
सरल करने पर $2d^2 - 3d - 5 = 0 \Rightarrow d = 2.5, -1$।
$|q-a| = |2d| = 5, 2$।

(A) दिया गया है $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,और $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$।
मैट्रिक्स समीकरण से,हमें प्राप्त होता है:
$b_2c_3 - b_3c_2 = c_1 - 3$ ... $(1)$
$c_3 - b_3c_1 = 1 - c_2$ ... $(2)$
$c_2 - b_2c_1 = 1 + c_3$ ... $(3)$
ये समीकरण क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ को दर्शाते हैं।
दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर: $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$। चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$। अतः,$(B)$ सत्य है।
दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर: $\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = |\vec{c}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{a}$। अतः $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 \neq 0$। अतः,$(A)$ असत्य है।
$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ से,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \implies |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c}$।
चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$,हमारे पास $|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + 11 - 2|\vec{c}|^2 = 11 - |\vec{c}|^2$ है।
$|\vec{c}|^2(1 + |\vec{b}|^2) = 11 \implies |\vec{c}|^2 = \frac{11}{1 + |\vec{b}|^2} \leq 11$ (चूँकि $|\vec{b}|^2 \geq 1$),इसलिए $|\vec{c}| \leq \sqrt{11}$। अतः,$(D)$ सत्य है।
चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + b_2 - b_3 = 0 \implies b_3 - b_2 = 3$। वर्ग करने पर: $b_3^2 + b_2^2 - 2b_2b_3 = 9$। चूँकि $b_2b_3 > 0$,$b_3^2 + b_2^2 = 9 + 2b_2b_3 > 9$। इसलिए $|\vec{b}|^2 = 1 + b_2^2 + b_3^2 > 10$,इसलिए $|\vec{b}| > \sqrt{10}$। अतः,$(C)$ सत्य है।
इसलिए,$(B), (C), (D)$ सत्य हैं।

(A) मान लीजिए शीर्ष $A, B, C$ हैं। त्रिभुज का केंद्रक $G$ उसके शीर्षों के स्थिति सदिशों का औसत होता है:
$G = \frac{(4\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3\overrightarrow{r}) + (-5\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2\overrightarrow{r}) + (2\overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2\overrightarrow{r})}{3}$
$G = \frac{(4-5+2)\overrightarrow{p} + (1+1-1)\overrightarrow{q} + (-3+2+2)\overrightarrow{r}}{3} = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{3}$
हम जानते हैं कि लंबकेंद्र $(O)$,केंद्रक $(G)$ और परिकेंद्र $(C)$ संरेख होते हैं,और केंद्रक लंबकेंद्र और परिकेंद्र को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$G = \frac{1 \cdot O + 2 \cdot C}{3}$,जिसका अर्थ है $3G = O + 2C$.
दिया गया है $O = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ और $C = \alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$,इसलिए:
$3 \left( \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{3} \right) = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4} + 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}) = 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\frac{3}{4}(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}) = 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r} = \frac{3}{8}\overrightarrow{p} + \frac{3}{8}\overrightarrow{q} + \frac{3}{8}\overrightarrow{r}$
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{3}{8}, \beta = \frac{3}{8}, \gamma = \frac{3}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2\beta + 5\gamma = \frac{3}{8} + 2(\frac{3}{8}) + 5(\frac{3}{8}) = \frac{3 + 6 + 15}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

(C) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$।
$\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i}+\hat{j}$।
$|\vec{d}| = \sqrt{2}$।
$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8 \implies |\vec{c}|^2 + 4|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 8$।
$|\vec{a}|^2 = 3$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}| = x$ लेने पर,$x^2 - 4x + 4 = 0 \implies |\vec{c}| = 2$।
$\vec{d}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $|\vec{d} \times \vec{c}| = |\vec{d}||\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{4}) = 2$।
अतः,$|\vec{d} \times \vec{c}|^2 = 4$।
सदिश त्रिक गुणन के गुण का उपयोग करते हुए,$|(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}|^2 = 4$।
$|2\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}|^2 = 4 \implies 3(\vec{b} \cdot \vec{c})^2 - 20(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 32 = 0$।
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 4$ या $\frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{8}{3}$ लेने पर,$|10 - 3(\frac{8}{3})| + 4 = 2+4 = 6$।

(A) दिया गया है $\vec{w} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$। चूँकि $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$,इसलिए $\vec{u} \perp \vec{w}$ और $\vec{v} \perp \vec{w}$।
साथ ही,$\vec{v} \times \vec{w} = \vec{u}$,जिसका अर्थ है $\vec{u} \perp \vec{w}$ और $\vec{v} \perp \vec{w}$।
समीकरणों की प्रणाली $-t\alpha + \beta + \gamma = 0$,$\alpha - t\beta + \gamma = 0$,$\alpha + \beta - t\gamma = 0$ का एक गैर-तुच्छ हल तब होता है यदि सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} -t & 1 & 1 \\ 1 & -t & 1 \\ 1 & 1 & -t \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow -(t^3 - 1) - 1(-t - 1) + 1(1 + t) = 0 \Rightarrow -t^3 + 1 + t + 1 + 1 + t = 0 \Rightarrow t^3 - 2t - 3 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(t+1)(t^2 - t - 3) = 0$ प्राप्त होता है। दी गई शर्तों के लिए,$t = -1$ या $t = 2$।
यदि $t = 2$,तो $\alpha = \beta = \gamma$। चूँकि $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$,$\alpha + \beta - 2\gamma = 0 \Rightarrow 2\alpha - 2\alpha = 0$,जो सुसंगत है।
$|\vec{u}| = |\vec{w}| = \sqrt{6}$ का उपयोग करते हुए,$3\alpha^2 = 6 \Rightarrow \alpha^2 = 2$। अतः $\alpha = \pm \sqrt{2}$। $t=2$ के लिए,$t+3 = 5$।
यदि $t = -1$,तो $\alpha + \beta + \gamma = 0$। साथ ही $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0 \Rightarrow \alpha + \beta - 2\gamma = 0$।
घटाने पर $3\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 0$ प्राप्त होता है। तब $\beta = -\alpha$।
$\alpha = \sqrt{3}$ के लिए,$\gamma^2 = 0$ और $(\beta + \gamma)^2 = (-\sqrt{3} + 0)^2 = 3$।
इस प्रकार,$(P) \rightarrow (2), (Q) \rightarrow (1), (R) \rightarrow (4), (S) \rightarrow (5)$।

(C) दिए गए सदिश $\vec{a} = (\lambda x) \hat{i} + (y) \hat{j} + (4z) \hat{k}$,$\vec{b} = (y) \hat{i} + (x) \hat{j} + (3y) \hat{k}$,और $\vec{c} = (-z) \hat{i} + (-2z) \hat{j} - (\lambda + 1) \hat{k}$ हैं।
शर्त $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ के अनुसार घटकों का योग करने पर:
$i$-घटक: $\lambda x + y - z = 0$ $(1)$
$j$-घटक: $y + x - 2z = 0$ $(2)$
$k$-घटक: $4z + 3y - (\lambda + 1) = 0$ $(3)$
समीकरण $(2)$ से,$x + y = 2z$ प्राप्त होता है। इन मानों का उपयोग करके हल करने पर $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $|\bar{a}| = \sqrt{31}$,$|\bar{b}| = \frac{1}{2}$,$|\bar{c}| = 2$,और $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।
$2(\bar{a} \times \bar{b}) = 3(\bar{c} \times \bar{a})$ से,हम $2(\bar{a} \times \bar{b}) + 3(\bar{a} \times \bar{c}) = 0$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $\bar{a} \times (2\bar{b} + 3\bar{c}) = 0$.
इसका मतलब है कि $\bar{a}$ सदिश $(2\bar{b} + 3\bar{c})$ के समानांतर है। मान लीजिए $2\bar{b} + 3\bar{c} = k\bar{a}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|2\bar{b} + 3\bar{c}|^2 = k^2|\bar{a}|^2$.
$4|\bar{b}|^2 + 9|\bar{c}|^2 + 12(\bar{b} \cdot \bar{c}) = k^2(31)$.
$4(\frac{1}{4}) + 9(4) + 12(\frac{1}{2})(2)\cos(\frac{2\pi}{3}) = 31k^2$.
$1 + 36 + 12(-1/2) = 31k^2 \implies 31 = 31k^2 \implies k^2 = 1$.
हमें $X = \left|\frac{\bar{a} \times \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}\right|^2$ ज्ञात करना है।
चूंकि $\bar{a} \times (2\bar{b} + 3\bar{c}) = 0$,हमारे पास $2(\bar{a} \times \bar{b}) = -3(\bar{a} \times \bar{c})$ है,इसलिए $\bar{a} \times \bar{c} = -\frac{2}{3}(\bar{a} \times \bar{b})$.
अतः $|\bar{a} \times \bar{c}|^2 = \frac{4}{9}|\bar{a} \times \bar{b}|^2$.
गणना करने पर अंतिम उत्तर $11$ प्राप्त होता है।

(A) केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\overrightarrow{OG} = \frac{(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}) + (-3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})}{3} = \frac{0\hat{i}-6\hat{j}+0\hat{k}}{3} = -2\hat{j}$.
अतः,$|\overrightarrow{OG}|^2 = (-2)^2 = 4$.
अब,भुजाओं के लिए सदिशों की गणना करें:
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
$BC^2 = |\overrightarrow{BC}|^2 = 16 + 25 + 25 = 66$.
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = 5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$.
$CA^2 = |\overrightarrow{CA}|^2 = 25 + 16 + 1 = 42$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$.
$AB^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 = 1 + 1 + 16 = 18$.
अंत में,व्यंजक की गणना करें:
$BC^2 + CA^2 + AB^2 + 9(OG)^2 = 66 + 42 + 18 + 9(4) = 126 + 36 = 162$.

(A) दिया गया है $\vec{a}+\vec{b}=m \vec{d}-\vec{c} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=m \vec{d} \quad (i)$
और $\vec{b}+\vec{c}=n \vec{a}-\vec{d} \Rightarrow \vec{d}=n \vec{a}-\vec{b}-\vec{c} \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=m(n \vec{a}-\vec{b}-\vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=mn \vec{a}-m \vec{b}-m \vec{c}$
$\Rightarrow (1-mn) \vec{a}+(1+m) \vec{b}+(1+m) \vec{c}=\vec{0}$
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
इसलिए,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1-mn=0 \Rightarrow mn=1$ और $1+m=0 \Rightarrow m=-1$.
$m=-1$ को $mn=1$ में रखने पर,हमें $n=-1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(-1) \vec{d} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$.
अब,$3 \vec{a}+2 \vec{b}+2 \vec{c}+\vec{d} = \vec{a} + 2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) + \vec{d} = \vec{a} + 2(-\vec{d}) + \vec{d} = \vec{a}-\vec{d}$.

(C) दिया गया है,$\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}) \implies x\hat{d} = \hat{a} + \hat{b} + \hat{c} \implies \hat{a} + \hat{b} + \hat{c} - x\hat{d} = 0$.
साथ ही,$\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d}) \implies y\hat{d} = \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} \implies \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} - y\hat{d} = 0$.
चूंकि $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ असमतलीय हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
दिए गए समीकरणों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} = 0$.
अतः,$\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d}) = \frac{1}{xy}(0) = 0$.

(A) प्रत्येक व्यंजक का विश्लेषण करते हैं:
$(A)$ अदिश त्रिक गुणन $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$ को $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः,$(A)$ का मिलान $3$ से होता है।
$(B)$ सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z})\mathbf{y} - (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z})\mathbf{x}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ है। अतः,$(B)$ का मिलान $5$ से होता है।
$(C)$ सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ का उपयोग करते हुए,$(C)$ का मिलान $2$ से होता है।
$(D)$ अदिश गुणन $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ को $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\theta$ सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच का कोण है। अतः,$(D)$ का मिलान $1$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $A-3, B-5, C-2, D-1$ है।

(C) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{u_1} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{u_2} = \hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{u_1}$ और $\vec{u_2}$ का रैखिक संयोजन होना चाहिए।
अतः,$a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j}) + \mu(\hat{j} + \hat{k}) = \lambda \hat{i} + (\lambda + \mu) \hat{j} + \mu \hat{k}$।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $a = \lambda$,$c = \mu$ और $b = \lambda + \mu$ प्राप्त होता है। $\lambda$ और $\mu$ का मान रखने पर,$b = a + c$ प्राप्त होता है।
सदिश $\vec{v}$,$2 \hat{i} - 2 \hat{j} - 4 \hat{k}$ के समांतर है,इसलिए $\vec{v} = k(2 \hat{i} - 2 \hat{j} - 4 \hat{k})$।
विकल्प $C$ के लिए,$\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ में $a = 1, b = -1, c = -2$ है।
शर्त $b = a + c$ की जाँच करने पर: $1 + (-2) = -1$,जो $b$ के बराबर है।
अतः,सदिश $\hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ सही उत्तर है।

(A-(IV), B-(III), C-(II), D-(I)) दिया गया है: $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$,$c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$।
$A$. $a-b = (2-1)\hat{i} + (3-(-3))\hat{j} + (1-(-5))\hat{k} = \hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}$।
$a-b$ की विपरीत दिशा का सदिश $-(a-b) = -\hat{i} - 6\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
परिमाण $\sqrt{(-1)^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+36+36} = \sqrt{73}$ है।
इकाई सदिश $\frac{-\hat{i}-6\hat{j}-6\hat{k}}{\sqrt{73}} = -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6\hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6\hat{k}}{\sqrt{73}}$ है। जो $(iv)$ से मेल खाता है।
$B$. $\triangle ABC$ में,$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0$।
अतः,$\vec{CA} = -(\vec{AB} + \vec{BC}) = -(a+b) = -(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} + \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) = -(3\hat{i}-4\hat{k}) = -3\hat{i}+4\hat{k}$। जो $(iii)$ से मेल खाता है।
$C$. केंद्रक $G = \frac{a+b+c}{3} = \frac{(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) + (3\hat{i}-4\hat{k})}{3} = \frac{6\hat{i} + 0\hat{j} - 8\hat{k}}{3} = 2\hat{i} - \frac{8}{3}\hat{k}$। जो $(ii)$ से मेल खाता है।
$D$. $d$,$a$ के समानांतर है,इसलिए $d = k a = k(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})$।
परिमाण $|d| = |k|\sqrt{2^2+3^2+1^2} = |k|\sqrt{14}$।
दिया गया है $|d| = 2\sqrt{14}$,इसलिए $|k|=2$। $k=2$ लेने पर,$d = 4\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}$।
अतः $b+d = (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) + (4\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}) = 5\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}$। जो $(i)$ से मेल खाता है।