Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $a, b, c$ हैं।
हमारे पास सदिश $AB = b - a$ और $AC = c - a$ हैं।
व्यंजक $\frac{(a-c) \times (b-a)}{(b-a) \cdot (c-a)}$ है।
ध्यान दें कि $a - c = -(c - a) = -AC$ है।
अतः,अंश $(-AC) \times (AB) = AC \times AB$ है।
हर $(AB) \cdot (AC) = |AB| |AC| \cos A$ है।
सदिश गुणनफल $AC \times AB$ का परिमाण $|AC| |AB| \sin A$ है।
इस प्रकार,व्यंजक $\frac{|AC| |AB| \sin A}{|AB| |AC| \cos A} = \tan A$ हो जाता है।

(C) विकर्णों $\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$ है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec{d}_1 \times \vec{d}_2$ की गणना करते हैं:
$\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(-1) - (1)(3)) - \hat{j}((2)(-1) - (1)(1)) + \hat{k}((2)(3) - (-1)(1))$
$= \hat{i}(1 - 3) - \hat{j}(-2 - 1) + \hat{k}(6 + 1)$
$= -2\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$
अब,हम इस सदिश का परिमाण (magnitude) ज्ञात करते हैं:
$|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 9 + 49} = \sqrt{62}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \sqrt{62} = \frac{\sqrt{62}}{2}$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया गया है कि $n \perp a$ और $n \perp b$,इसलिए $n = a \times b$.
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(2+2) = -4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{|n \times c|}{|n||c|}$.
$n \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -4 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(8-8) - \hat{j}(8-4) + \hat{k}(-8+4) = 0\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|n \times c| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
$|n| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
$|c| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\sin \theta = \frac{4\sqrt{2}}{(4\sqrt{3}) \times 3} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.

(C) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \bar{i}+\bar{j}+\bar{k}$,$\vec{b} = \bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k}$,और $\vec{c} = 2\bar{i}-\bar{j}+\bar{k}$ हैं।
$A$ से गुजरने वाला शीर्षलंब भुजा $BC$ पर लंब है।
$BC$ की दिशा का सदिश $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \bar{i} - 3\bar{j} - 2\bar{k}$ है।
माना शीर्षलंब की दिशा का सदिश $\vec{n}$ है। चूंकि शीर्षलंब $BC$ पर लंब है,इसलिए $\vec{n}$ को $\vec{BC}$ पर लंब होना चाहिए।
साथ ही,शीर्षलंब $\triangle ABC$ के समतल में स्थित है,इसलिए यह समतल के अभिलंब $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ पर भी लंब है।
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 0\bar{i} + \bar{j} + 2\bar{k}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \bar{i} - 2\bar{j} + 0\bar{k}$.
$\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 4\bar{i} + 2\bar{j} - \bar{k}$.
शीर्षलंब की दिशा $\vec{v} = \vec{N} \times \vec{BC} = -7\bar{i} + 7\bar{j} - 14\bar{k}$ प्राप्त होती है।
इस दिशा को $-7$ से विभाजित करने पर,हमें $\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\bar{r} = \vec{a} + t\vec{v} = (\bar{i}+\bar{j}+\bar{k}) + t(\bar{i}-\bar{j}+2\bar{k})$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना कि अभीष्ट सदिश $\vec{v}$ है। चूँकि $\vec{v}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समतलीय है,यह $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ के समानांतर होगा।
सबसे पहले,$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 2\hat{k}$ ज्ञात करें।
अब,$\vec{a}$ और $\vec{n}$ के लंबवत सदिश ज्ञात करें:
$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 16\hat{j} - 8\hat{k}$।
इस सदिश की दिशा $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
इसका परिमाण $\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
अतः,इकाई सदिश $\frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ और $d$ समतलीय सदिश हैं।
चूंकि $a$ और $b$ समतलीय हैं,उनका सदिश गुणनफल $a \times b$ उस समतल के लंबवत एक सदिश है जिसमें $a$ और $b$ स्थित हैं।
इसी प्रकार,चूंकि $c$ और $d$ समतलीय हैं,उनका सदिश गुणनफल $c \times d$ उस समतल के लंबवत एक सदिश है जिसमें $c$ और $d$ स्थित हैं।
चूंकि सभी चार सदिश $a, b, c, d$ एक ही समतल में स्थित हैं,इसलिए सदिश $a \times b$ और $c \times d$ दोनों एक ही समतल के लंबवत हैं।
अतः,$a \times b$ और $c \times d$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
चूंकि दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ होगा।

(B) दिया गया है कि $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1$ है।
$\vec{p} \cdot \vec{u}=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \cdot \vec{u}=\frac{3}{2} \Rightarrow |\vec{u}|^2+\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{3}{2} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{1}{2}$ ....$(i)$
$\vec{p} \cdot \vec{v}=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \cdot \vec{v}=\frac{7}{4} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+|\vec{v}|^2+\vec{v} \cdot \vec{w}=\frac{7}{4} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}=\frac{3}{4}$ ....$(ii)$
$|\vec{p}|^2=|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^2=4 \Rightarrow |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u})=4 \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{1}{2}$ ....$(iii)$
$(i)$,$(ii)$,और $(iii)$ को हल करने पर:
$(iii)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $\vec{w} \cdot \vec{u} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$।
$(iii)$ में से $(i)$ घटाने पर: $\vec{v} \cdot \vec{w} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$।
अतः $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{4}$।
दिया गया है $\vec{v}=K \vec{q}=K[\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})]=K[(\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v}-(\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}]$।
मान रखने पर: $\vec{v}=K[-\frac{1}{4} \vec{v}-\frac{3}{4} \vec{w}] \Rightarrow \vec{v} = -\frac{K}{4} \vec{v} - \frac{3K}{4} \vec{w} \Rightarrow (1+\frac{K}{4}) \vec{v} = -\frac{3K}{4} \vec{w}$।
परिमाण लेने पर: $|1+\frac{K}{4}| = |-\frac{3K}{4}| \Rightarrow |4+K| = |3K|$।
$4+K = 3K \Rightarrow 2K=4 \Rightarrow K=2$ या $4+K = -3K \Rightarrow 4K=-4 \Rightarrow K=-1$।
सदिश समीकरण की जाँच करने पर: $(1+\frac{K}{4}) \vec{v} = -\frac{3K}{4} \vec{w}$। यदि $K=-1$,तो $\frac{3}{4} \vec{v} = \frac{3}{4} \vec{w} \Rightarrow \vec{v}=\vec{w}$,लेकिन $\vec{v} \cdot \vec{w}=0$,जो असंभव है।
अतः,$K=2$।

(D) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित किसी भी सदिश $\vec{c}$ को $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{b}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ है।
$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + y|\vec{b}|^2 = 0$।
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (1)(1) + (1)(1) = 4$ और $|\vec{b}|^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 6$ है।
अतः,$4x + 6y = 0 \Rightarrow 2x + 3y = 0$। मान लीजिए $x = 3k$ और $y = -2k$ है।
तब $\vec{c} = 3k(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 2k(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = k(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ होगा।
चूंकि $\vec{c}$ एक इकाई सदिश है,$|\vec{c}| = |k|\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = |k|\sqrt{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इस प्रकार,$\vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
अंत में,$\vec{c} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1 + 1 + 2) = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(A) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ है।
सदिश $(\vec{a} + \vec{b})$ का सदिश $\hat{n}$ पर प्रक्षेप $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{n}$ का मान रखने पर,हमें प्रक्षेप $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ प्राप्त होता है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणों का उपयोग करते हुए,$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ होता है।
चूंकि जब दो सदिश समान होते हैं तो अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है,इसलिए $[\vec{a}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ और $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ है।
अतः,प्रक्षेप $\frac{0 + 0}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = 0$ है।

(A) दिया गया है $\vec{f}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{g}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+a \hat{k}$।
हम जानते हैं कि $|\vec{f} \times \vec{g}| = |\vec{f}| |\vec{g}| \sin \theta$।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{f} \times \vec{g}$ की गणना करें:
$\vec{f} \times \vec{g} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & a \end{vmatrix} = \hat{i}(2a - 9) - \hat{j}(a + 6) + \hat{k}(-3 - 4) = (2a - 9)\hat{i} - (a + 6)\hat{j} - 7\hat{k}$।
परिमाण का वर्ग $|\vec{f} \times \vec{g}|^2 = (2a - 9)^2 + (a + 6)^2 + (-7)^2 = 4a^2 - 36a + 81 + a^2 + 12a + 36 + 49 = 5a^2 - 24a + 166$।
साथ ही,$|\vec{f}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ और $|\vec{g}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + a^2 = 13 + a^2$।
दिया गया है $\sin^2 \theta = \frac{24}{28} = \frac{6}{7}$।
सूत्र $|\vec{f} \times \vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 |\vec{g}|^2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करते हुए:
$5a^2 - 24a + 166 = 14(13 + a^2) \times \frac{6}{7} = 2(13 + a^2) \times 6 = 12(13 + a^2) = 156 + 12a^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $7a^2 + 24a = 166 - 156 = 10$।

(B) सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लंबवत इकाई सदिश ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ निकालते हैं।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 12) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = -6 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 16 + 36} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$ है।
इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-6 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2\sqrt{22}} = \pm \frac{-3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}}{\sqrt{22}}$ होगा।
यह $\pm \frac{3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{22}}$ के बराबर है। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$।
$A_1$ विकर्णों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,जो $A_1 = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-6)) - \hat{j}(-3 - 3) + \hat{k}(-2 - 2) = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}$।
इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$ है।
अतः,$A_1 = \frac{1}{2} \sqrt{52}$।
$A_2$ आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,जो $A_2 = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{52}$ है।
अंत में,$A_1 \cdot A_2 = (\frac{1}{2} \sqrt{52}) \cdot (\sqrt{52}) = \frac{52}{2} = 26$।

(C) दिया गया है $\vec{a}=3 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$ और $\vec{b}=\lambda \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{\sqrt{195}}{2}$।
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 195$ ...$(i)$।
अब,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & \lambda \\ \lambda & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-\lambda) - \hat{j}(-9-\lambda^2) + \hat{k}(3+\lambda) = (3-\lambda)\hat{i} + (9+\lambda^2)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}$।
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (3-\lambda)^2 + (9+\lambda^2)^2 + (3+\lambda)^2 = 195$।
पदों का विस्तार करने पर: $(9 + \lambda^2 - 6\lambda) + (81 + \lambda^4 + 18\lambda^2) + (9 + \lambda^2 + 6\lambda) = 195$।
$\lambda^4 + 20\lambda^2 + 99 = 195 \Rightarrow \lambda^4 + 20\lambda^2 - 96 = 0$।
मान लीजिए $t = \lambda^2$,तो $t^2 + 20t - 96 = 0 \Rightarrow (t+24)(t-4) = 0$।
चूंकि $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $\lambda^2 = 4$ (क्योंकि $\lambda^2 = -24$ संभव नहीं है)।
अतः,$\lambda = \pm 2$। $\lambda$ के भिन्न मानों की संख्या $2$ है।

(D) मान लीजिए $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & -5 \\ 3 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 25\hat{i} - 5\hat{j} + 13\hat{k}$.
चूंकि $\vec{r}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,इसलिए $\vec{r}$,$\vec{c}$ के लंबवत है।
साथ ही,$\vec{r}$,$\vec{d} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के भी लंबवत है।
अतः,$\vec{r}$,$\vec{c} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 25 & -5 & 13 \\ 5 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k}$ के समांतर है।
मान लीजिए $\vec{r} = \lambda(11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k})$.
$|\vec{r}| = \sqrt{94}$ दिया गया है,इसलिए $|\lambda| \sqrt{121 + 100 + 625} = \sqrt{846} = 3\sqrt{94} = \sqrt{94}$.
अतः,$|\lambda| = \frac{1}{3}$.
अब,$|\vec{r} \cdot \vec{b}| = |\lambda| |(11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})| = \frac{1}{3} |33 - 20 + 125| = \frac{1}{3} |138| = 46$.

(D) सबसे पहले,हम सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ को ज्ञात करते हैं जो बिंदुओं $A, B$ और $C$ वाले समतल में स्थित हैं।
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3\hat{i} - \hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (2\hat{j} + 3\hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
समतल के लंबवत एक सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-6)) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(3 - (-2)) = 8\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 4 + 25} = \sqrt{93}$ है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{8\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}}{\sqrt{93}}$ है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$,अतः $\vec{a}=-(\vec{b}+\vec{c})$ है।
इस मान को व्यंजक $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= -(\vec{b}+\vec{c}) \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times (-(\vec{b}+\vec{c}))$
$= -(\vec{b} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{b})+\vec{b} \times \vec{c}-(\vec{c} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{c})$
चूंकि $\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$ और $\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$,तथा $\vec{c} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{c})$:
$= -(\vec{0} - \vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times \vec{c} - (-(\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{0})$
$= \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = 3(\vec{b} \times \vec{c})$.
अब,$\vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+1) - \hat{j}(-3-1) + \hat{k}(-3+2) = 3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$.
अतः,$3(\vec{b} \times \vec{c}) = 3(3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}) = 9\hat{i}+12\hat{j}-3\hat{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{9^2+12^2+(-3)^2} = \sqrt{81+144+9} = \sqrt{234}$ है।

(A) दिया गया है: $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-3 \hat{i}+5 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{c}=6 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -3 & 5 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-15) - \hat{j}(-8+9) + \hat{k}(10-3) = -11 \hat{i} - \hat{j} + 7 \hat{k}$
इसके बाद,$\vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 5 & -4 \\ 6 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(25-16) - \hat{j}(-15+24) + \hat{k}(12-30) = 9 \hat{i} - 9 \hat{j} - 18 \hat{k}$
अंत में,अदिश गुणनफल $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{b} \times \vec{c})$ की गणना करें:
$(-11 \hat{i} - \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (9 \hat{i} - 9 \hat{j} - 18 \hat{k}) = (-11)(9) + (-1)(-9) + (7)(-18) = -99 + 9 - 126 = -216$

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b} = 2(2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}) - 3(7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) = (4-21) \hat{i} + (-10+15) \hat{j} + (16-9) \hat{k} = -17 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
इसके बाद,$4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = 4(2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}) + (7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) = (8+7) \hat{i} + (-20-5) \hat{j} + (32+3) \hat{k} = 15 \hat{i} - 25 \hat{j} + 35 \hat{k}$.
अब,सदिश गुणन $(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}) \times(4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ ज्ञात करें:
$(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}) \times(4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -17 & 5 & 7 \\ 15 & -25 & 35 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(5 \times 35 - 7 \times (-25)) - \hat{j}((-17) \times 35 - 7 \times 15) + \hat{k}((-17) \times (-25) - 5 \times 15)$
$= \hat{i}(175 + 175) - \hat{j}(-595 - 105) + \hat{k}(425 - 75)$
$= 350 \hat{i} + 700 \hat{j} + 350 \hat{k}$.
इसकी तुलना $x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ से करने पर,हमें $x=350, y=700, z=350$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y+z = 350+700+350 = 1400$.

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल (cross product) की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{c} = -\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k}$
$\vec{c} \times \vec{a} = -5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$
$\vec{a} \times \vec{b} = -3\hat{i}+3\hat{j}$
दिए गए समीकरण $\vec{d} = x(\vec{b} \times \vec{c}) - \frac{7}{9}(\vec{c} \times \vec{a}) + z(\vec{a} \times \vec{b})$ में मान रखने पर:
$-4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k} = x(-\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k}) - \frac{7}{9}(-5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) + z(-3\hat{i}+3\hat{j})$
दोनों पक्षों में $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-3 = -3x - \frac{7}{3}$
$3x = \frac{7}{3} - 3 = -\frac{2}{3}$
$x = -\frac{2}{9}$
(नोट: विकल्पों के अनुसार,यदि $\vec{d} = 4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}$ है,तो $x = \frac{2}{9}$ प्राप्त होता है।)

(A) माना $b = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया गया है $a \times b = c$,हम जानते हैं कि $c$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है।
चूंकि $c$,$b$ के लंबवत है,इसलिए $b \cdot c = 0$ होगा।
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}) = 0 \Rightarrow y - z = 0 \Rightarrow y = z$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है $a \cdot b = 3$,इसलिए $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 3 \Rightarrow x + y + z = 3$ होगा।
$y = z$ को इसमें रखने पर,हमें $x + 2y = 3$ प्राप्त होता है (समीकरण $2$)।
अब,सदिश गुणनफल $a \times b = c$ की गणना करें:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$।
सारणिक का विस्तार करने पर: $\hat{i}(z - y) - \hat{j}(z - x) + \hat{k}(y - x) = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$।
गुणांकों की तुलना करने पर: $z - y = 0$ (जो $y = z$ है),$x - z = 1$,और $y - x = -1$ (जो $x - y = 1$ है)।
$x - y = 1$ से,हमारे पास $x = y + 1$ है।
$x = y + 1$ को समीकरण $2$ $(x + 2y = 3)$ में रखने पर:
$(y + 1) + 2y = 3 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$।
चूंकि $y = z$,इसलिए $z = \frac{2}{3}$।
चूंकि $x = y + 1$,इसलिए $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$।
अतः,$b = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{1}{3}(5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$।

(D) दिया गया है $a=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $b=18 \hat{i}-22 \hat{j}-5 \hat{k}$.
चूंकि $x$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $x$,$a \times b$ के समानांतर होना चाहिए।
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 2 \\ 18 & -22 & -5 \end{vmatrix} = 34 \hat{i} + 51 \hat{j} - 102 \hat{k}$.
दिशा सदिश को $17$ से विभाजित करने पर $v = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$,$\hat{j}$ के साथ अधिक कोण बनाता है,इसलिए $\hat{j}$ का घटक ऋणात्मक होना चाहिए।
माना $x = \lambda(-2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 6 \hat{k})$ जहाँ $\lambda > 0$.
$|x| = 14$ होने पर,$\lambda \sqrt{4 + 9 + 36} = 14 \Rightarrow 7\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 2$.
अतः $x = 2(-2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 6 \hat{k}) = -4 \hat{i} - 6 \hat{j} + 12 \hat{k}$.

(C) दिया गया है $x \times a = b$। दोनों पक्षों का $a$ के साथ सदिश गुणन करने पर:
$a \times (x \times a) = a \times b$
सदिश त्रिक गुणन नियम $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ का उपयोग करने पर:
$(a \cdot a)x - (a \cdot x)a = a \times b$
चूंकि $|a| = \sqrt{3}$,इसलिए $a \cdot a = |a|^2 = 3$:
$3x - (a \cdot x)a = a \times b$
$3x = (a \cdot x)a + a \times b$
$x = \frac{1}{3}[(a \cdot x)a + a \times b]$
चूंकि $a \times b = -(b \times a)$,हम लिख सकते हैं:
$x = \frac{1}{3}[(a \cdot x)a - b \times a]$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $(x \cdot a)a$ और $b \times a$ के रूप में है।

(D) माना बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$.
माना $V = |\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD}|$.
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\overline{AB} = \vec{b} - \vec{a}$,$\overline{CD} = \vec{d} - \vec{c}$,$\overline{BC} = \vec{c} - \vec{b}$,$\overline{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,$\overline{CA} = \vec{a} - \vec{c}$,$\overline{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.
क्रॉस गुणन का विस्तार करने पर:
$V = |(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{c}) + (\vec{c}-\vec{b}) \times (\vec{d}-\vec{a}) + (\vec{a}-\vec{c}) \times (\vec{d}-\vec{b})|$.
$V = |(\vec{b} \times \vec{d} - \vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{d} + \vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{d} - \vec{c} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{d} + \vec{b} \times \vec{a}) + (\vec{a} \times \vec{d} - \vec{a} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{d} + \vec{c} \times \vec{b})|$.
पदों को काटने पर,हमें मिलता है $V = |2(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})| = 2 |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$.
चूंकि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$,इसलिए $V = 4 \times (\triangle ABC$ का क्षेत्रफल)।
अतः,$\lambda = 4$.

(C) दिया गया है,$\vec{a}=(\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}$ और $\vec{b}=(\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j}$ है।
हम सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना इस प्रकार करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = ((\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}) \times ((\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j})$
$= (\sin x \cos y) (\hat{i} \times \hat{i}) + (\sin x \cos y) (\hat{i} \times \hat{j}) + (\sin y \cos x) (\hat{j} \times \hat{i}) + (\sin y \cos y) (\hat{j} \times \hat{j})$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ है:
$\vec{a} \times \vec{b} = (\sin x \cos y) \hat{k} - (\sin y \cos x) \hat{k} = (\sin x \cos y - \cos x \sin y) \hat{k} = \sin(x-y) \hat{k}$.
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\sin(x-y)|$ है।
चूंकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए इसका निरपेक्ष मान $|\sin(x-y)|$ अंतराल $[0, 1]$ में होगा।
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}| \leq 1$ है।

(A) दिया गया है,$|a| = |b| = |c| = 1$ और $a \cdot b = 0 = a \cdot c$। $b$ और $c$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
हमें $|a \times b - a \times c|$ का मान ज्ञात करना है।
सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$|a \times b - a \times c| = |a \times (b - c)|$।
चूंकि $a \cdot b = 0$ और $a \cdot c = 0$,इसलिए $a \cdot (b - c) = 0$,जिसका अर्थ है कि $a$,$(b - c)$ के लंबवत है।
अतः,$|a \times (b - c)| = |a| |b - c| \sin \frac{\pi}{2} = |a| |b - c| (1) = |b - c|$।
अब,$|b - c|^2 = |b|^2 + |c|^2 - 2(b \cdot c) = 1 + 1 - 2(|b| |c| \cos \frac{\pi}{3}) = 2 - 2(1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$।
इसलिए,$|b - c| = 1$।
अतः,$|a \times b - a \times c| = 1$।

(B) दिए गए सदिश $a = \hat{i} + \hat{j}$ और $b = \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $a \times b$ ज्ञात करते हैं:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(1-0) + \hat{k}(1-0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
सदिश गुणनफल का परिमाण $|a \times b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
$a$ और $b$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
अतः,ऐसे कुल $2$ इकाई सदिश संभव हैं।

(B) दो सदिशों $a$ और $b$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $|a| = 2$,$|b| = 3$,और $\theta = \frac{\pi}{6}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$|a \times b| = 2 \times 3 \times \sin(\frac{\pi}{6})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $|a \times b| = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$।
अतः,$|a \times b|^2 = (3)^2 = 9$।

(D) दो शून्येतर सदिशों $u$ और $v$ का सदिश गुणनफल $u \times v = |u||v| \sin \theta \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है और $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है जो $u$ और $v$ दोनों के लंबवत है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,हमें $|u \times v| = |u||v| |\sin \theta|$ प्राप्त होता है।
चूंकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए निरपेक्ष मान $|\sin \theta|$ का मान $0 \leq |\sin \theta| \leq 1$ होता है।
अतः,$|u \times v| = |u||v| |\sin \theta| \leq |u||v|$।
इस प्रकार,सदिश गुणनफल का परिमाण हमेशा व्यक्तिगत सदिशों के परिमाणों के गुणनफल से कम या उसके बराबर होता है।

(C) दो सदिशों $p$ और $q$ के बीच का कोण $\alpha$ के लिए $\sin(\alpha) = \frac{|p \times q|}{|p||q|}$ होता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $p \times q$ की गणना करें:
$p \times q = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 1) - \hat{j}(3 + 2) + \hat{k}(-3 - 8) = 3\hat{i} - 5\hat{j} - 11\hat{k}$.
अब,उनके परिमाण ज्ञात करें:
$|p \times q| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-11)^2} = \sqrt{9 + 25 + 121} = \sqrt{155}$.
$|p| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}$.
$|q| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
अतः,$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{26} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{156}} = \sqrt{\frac{155}{156}}$.

(B) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$,और $\vec{c} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$.
तब $\vec{b}+\vec{c} = (2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$.
माना $\hat{u}$ सदिश $(\vec{b}+\vec{c})$ की दिशा में इकाई सदिश है,अतः $\hat{u} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2+36+4}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}}$.
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \hat{u}| = \sqrt{2}$ है।
$\vec{a} \times \hat{u} = \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2+\lambda & 6 & -2 \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} [\hat{i}(-2-6) - \hat{j}(-2-(2+\lambda)) + \hat{k}(6-(2+\lambda))]$.
$= \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} [-8 \hat{i} + (4+\lambda) \hat{j} + (4-\lambda) \hat{k}]$.
परिमाण लेने पर: $|\vec{a} \times \hat{u}| = \frac{\sqrt{(-8)^2 + (4+\lambda)^2 + (4-\lambda)^2}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2}$.
$\frac{\sqrt{64 + 16 + 8\lambda + \lambda^2 + 16 - 8\lambda + \lambda^2}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2} \implies \frac{\sqrt{2\lambda^2 + 96}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2\lambda^2 + 96}{\lambda^2+4 \lambda+44} = 2 \implies 2\lambda^2 + 96 = 2\lambda^2 + 8\lambda + 88$.
$8\lambda = 8 \implies \lambda = 1$. अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) सदिशों $P$ और $Q$ द्वारा निरूपित भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |P \times Q|$.
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $P \times Q$ की गणना करते हैं:
$P \times Q = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(5 \times 3 - (-1) \times 2) - \hat{j}(3 \times 3 - (-1) \times 1) + \hat{k}(3 \times 2 - 5 \times 1)$
$= \hat{i}(15 + 2) - \hat{j}(9 + 1) + \hat{k}(6 - 5)$
$= 17 \hat{i} - 10 \hat{j} + \hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|P \times Q| = \sqrt{17^2 + (-10)^2 + 1^2} = \sqrt{289 + 100 + 1} = \sqrt{390}$.
अंत में,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |P \times Q| = \frac{\sqrt{390}}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ परस्पर लंबवत सदिश हैं जहाँ $a \times b = c$ और $b \times c = a$ है।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $a \cdot b = 0$,$b \cdot c = 0$,और $c \cdot a = 0$ है।
साथ ही,सदिश गुणन का परिमाण $|a \times b| = |a||b| \sin(90^\circ) = |a||b| = |c|$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,$|b \times c| = |b||c| = |a|$ है।
पहले समीकरण में $|a| = |b||c|$ रखने पर: $|b||c| \cdot |b| = |c|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ एक सदिश है,इसलिए $|c| \neq 0$,अतः $|c|$ से विभाजित करने पर $|b|^2 = 1$ मिलता है।
चूंकि सदिश का परिमाण $|b|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $|b| = 1$ होगा।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,इसलिए $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$\vec{a}$ को सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $\vec{a} = k(\vec{b} \times \vec{c})$ किसी अदिश $k$ के लिए।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,$|\vec{a}| = |k| |\vec{b} \times \vec{c}|$.
चूंकि $|\vec{a}| = 1$,हमारे पास $1 = |k| |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\pi / 3)$ है।
मान रखने पर,$1 = |k| (1)(1)(\sqrt{3} / 2)$,जिससे $|k| = 2 / \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\vec{a} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}(\vec{b} \times \vec{c})$।

(B) शीर्ष $A$ से भुजा $BC$ पर डाले गए शीर्षलंब की लंबाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2 \times \text{Area}(\triangle ABC)}{|BC|} = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}{|BC|}$ है।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{BC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करते हैं:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{3}$ है।
आधार $BC$ का परिमाण $|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$ है।
अतः,$h = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया है,$A=(\alpha, 1, 2\alpha)$,$B=(3, 1, 2)$,और $C=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$।
सबसे पहले,सदिश $AB = B - A = (3-\alpha)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (2-2\alpha)\hat{k} = (3-\alpha)\hat{i} + (2-2\alpha)\hat{k}$ ज्ञात करें।
अब,क्रॉस प्रोडक्ट $AB \times C$ की गणना करें:
$AB \times C = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3-\alpha & 0 & 2-2\alpha \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-(2-2\alpha))) - \hat{j}(3(3-\alpha) - 4(2-2\alpha)) + \hat{k}((3-\alpha)(-1) - 0)$
$= \hat{i}(2-2\alpha) - \hat{j}(9-3\alpha-8+8\alpha) + \hat{k}(\alpha-3)$
$= (2-2\alpha)\hat{i} - (5\alpha+1)\hat{j} + (\alpha-3)\hat{k}$।
इसकी तुलना $6\hat{i}+9\hat{j}-5\hat{k}$ से करने पर:
$2-2\alpha = 6 \Rightarrow -2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = -2$।
अन्य घटकों के साथ जांच करने पर: $-(5(-2)+1) = -(-10+1) = 9$ (सही है) और $(-2-3) = -5$ (सही है)।
अतः,$\alpha = -2$।
अंत में,$\alpha^2+\alpha+5 = (-2)^2 + (-2) + 5 = 4 - 2 + 5 = 7$ की गणना करें।

(D) दिया गया है,$m = \sqrt{3} \times [(\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k})]$ का इकाई सदिश।
पहले,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करें: $(\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{3}$ है,इसलिए $m = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
इसी प्रकार,$n = 2\sqrt{6} \times [(2\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}+2\hat{k})]$ का इकाई सदिश।
क्रॉस प्रोडक्ट: $(2\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}+2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
इसका परिमाण $2\sqrt{6}$ है,इसलिए $n = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |m \times n|$.
$m \times n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & -4 & 2 \end{vmatrix} = 6\hat{i} + 6\hat{k}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |6\hat{i} + 6\hat{k}| = \frac{1}{2} \sqrt{36+36} = 3\sqrt{2}$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए सदिश $a=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, b=\hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $c=4 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चूंकि $r$,$b$ और $c$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $r$ को $b \times c$ के समानांतर होना चाहिए।
$b \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-25) - \hat{j}(-1-20) + \hat{k}(5+16) = -21 \hat{i} + 21 \hat{j} + 21 \hat{k} = 21(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
मान लीजिए $r = \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दिया गया है $r \cdot a = 9$,इसलिए $\lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 9$.
$\lambda(-3 + 1 - 1) = 9 \Rightarrow -3\lambda = 9 \Rightarrow \lambda = -3$.
अतः,$r = -3(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 3(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया है: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}, \vec{c} = \hat{i} - \hat{j}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{c} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
अब,$6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda_2(3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + \lambda_3(-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ की तुलना करने पर:
$4\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 6$ $(i)$
$-\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 2$ (ii)
$-3\lambda_1 - \lambda_2 + 2\lambda_3 = 3$ (iii)
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $5\lambda_1 = 4 \Rightarrow \lambda_1 = \frac{4}{5}$.
$\lambda_1$ का मान (ii) और (iii) में रखने पर:
$3\lambda_2 - \lambda_3 = \frac{14}{5}$ (iv)
$-\lambda_2 + 2\lambda_3 = \frac{27}{5}$ $(v)$
(iv) को $2$ से गुणा करके $(v)$ में जोड़ने पर: $5\lambda_2 = 11 \Rightarrow \lambda_2 = \frac{11}{5}$.
(iv) से: $\lambda_3 = \frac{19}{5}$.
अतः,$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (\frac{4}{5}, \frac{11}{5}, \frac{19}{5})$.

(A) दिया गया है कि,$a=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$,$b=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,$c=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ और $d=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-6) - \hat{j}(2+3) + \hat{k}(-4-1) = -5\hat{i}-5\hat{j}-5\hat{k}$.
इसके बाद,सदिश गुणनफल $c \times d$ की गणना करें:
$c \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+4) - \hat{j}(-1+4) + \hat{k}(-1-1) = 5\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}$.
अब,प्राप्त दो सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$(a \times b) \times (c \times d) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -5 & -5 \\ 5 & -3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-15) - \hat{j}(10+25) + \hat{k}(15+25) = -5\hat{i}-35\hat{j}+40\hat{k} = 5(-\hat{i}-7\hat{j}+8\hat{k})$.
अंत में,इसका परिमाण ज्ञात करें:
$|(a \times b) \times (c \times d)| = 5 \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 8^2} = 5 \sqrt{1 + 49 + 64} = 5 \sqrt{114}$.

(C) दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{c} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
दिया गया समीकरण $6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda_2(3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + \lambda_3(-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ है।
घटकों की तुलना करने पर,हमें निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:
$4\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 6$ $(1)$
$-\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 2$ $(2)$
$-3\lambda_1 - \lambda_2 + 2\lambda_3 = 3$ $(3)$
समीकरण $(1)$ से $(2)$ घटाने पर: $5\lambda_1 = 4 \implies \lambda_1 = \frac{4}{5}$.
$\lambda_1$ का मान $(1)$ और $(3)$ में रखने पर: $3\lambda_2 - \lambda_3 = \frac{14}{5}$ और $-\lambda_2 + 2\lambda_3 = \frac{27}{5}$.
इसे हल करने पर: $5\lambda_2 = 11 \implies \lambda_2 = \frac{11}{5}$.
अतः $\lambda_3 = \frac{19}{5}$.
इस प्रकार,$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (\frac{4}{5}, \frac{11}{5}, \frac{19}{5})$.

(A) दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$,और $\vec{d}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश गुणन $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 6) - \hat{j}(2 + 3) + \hat{k}(-4 - 1) = -5 \hat{i} - 5 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
इसके बाद,सदिश गुणन $\vec{c} \times \vec{d}$ की गणना करें:
$\vec{c} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(-1 + 4) + \hat{k}(-1 - 1) = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
अब,प्राप्त दो सदिशों का सदिश गुणन करें:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -5 & -5 \\ 5 & -3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 15) - \hat{j}(10 + 25) + \hat{k}(15 + 25) = -5 \hat{i} - 35 \hat{j} + 40 \hat{k}$.
अंत में,परिमाण की गणना करें:
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})| = \sqrt{(-5)^2 + (-35)^2 + (40)^2} = \sqrt{25 + 1225 + 1600} = \sqrt{2850} = 5 \sqrt{114}$.

(C) सबसे पहले,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\bar{i} - 2\bar{j} + \bar{k}$ की गणना करें।
$|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$.
दिया गया है $|\bar{c} - \bar{a}|^2 = 8$,इसलिए $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$.
चूंकि $|\bar{a}| = 3$ और $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,हमारे पास $|\bar{c}|^2 + 9 - 2|\bar{c}| = 8$ है,जिसका अर्थ है $(|\bar{c}| - 1)^2 = 0$,इसलिए $|\bar{c}| = 1$.
अब,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(30^{\circ}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
अतः,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

(C) चूंकि $\bar{\alpha}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\bar{\alpha}$,$\bar{a} \times \bar{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 5 & -1 \\ 1 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \bar{i}(25-4) - \bar{j}(20+1) + \bar{k}(-16-5) = 21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}$.
मान लीजिए $\bar{\alpha} = k(21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}) = 21k(\bar{i} - \bar{j} - \bar{k})$.
दिया गया है कि $\bar{\alpha} \cdot \bar{c} = 63$,इसलिए $21k(\bar{i} - \bar{j} - \bar{k}) \cdot (3 \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}) = 63$.
$21k(3 - 1 + 1) = 63 \implies 21k(3) = 63 \implies 63k = 63 \implies k = 1$.
अतः,$\bar{\alpha} = 21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}$.

(D) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसके विकर्ण $\bar{d_1}$ और $\bar{d_2}$ हैं,सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} |\bar{d_1} \times \bar{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{d_1} \times \bar{d_2}$ की गणना करें:
$\bar{d_1} \times \bar{d_2} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
$= \bar{i}(-4 - 3) - \bar{j}(-2 - (-6)) + \bar{k}(1 - (-4))$
$= -7\bar{i} - 4\bar{j} + 5\bar{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\bar{d_1} \times \bar{d_2}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 16 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
अंत में,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 3\sqrt{10} = \frac{3}{2} \sqrt{10} = 3\sqrt{\frac{10}{4}} = 3\sqrt{\frac{5}{2}}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $\overline{A} + \overline{B} = \bar{a}$ और $\overline{A} \times \overline{B} = \bar{b}$.
प्रथम समीकरण का $\overline{A}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $\overline{A} \times (\overline{A} + \overline{B}) = \overline{A} \times \bar{a}$.
यह सरल होकर $\overline{A} \times \overline{A} + \overline{A} \times \overline{B} = \overline{A} \times \bar{a}$ हो जाता है.
चूंकि $\overline{A} \times \overline{A} = 0$ और $\overline{A} \times \overline{B} = \bar{b}$,इसलिए $\bar{b} = \overline{A} \times \bar{a}$,जो कि $\bar{b} = -(\bar{a} \times \overline{A})$ है.
अब,$\bar{b} = \overline{A} \times \bar{a}$ का $\bar{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर:
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{a} \times (\overline{A} \times \bar{a})$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करने पर:
$\bar{a} \times \bar{b} = (\bar{a} \cdot \bar{a})\overline{A} - (\bar{a} \cdot \overline{A})\bar{a}$.
दिया गया है $\bar{a} \cdot \overline{A} = 1$,मान रखने पर:
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{a}^2 \overline{A} - 1 \cdot \bar{a}$.
$\overline{A}$ के लिए हल करने पर:
$\bar{a}^2 \overline{A} = (\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{a}$.
अतः,$\overline{A} = \frac{(\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{a}}{\bar{a}^2}$.

(C) दिया गया है $\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$ और $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$।
पहले समीकरण का परिमाण लेने पर: $|\bar{a} \times \bar{c}| = |\bar{b}| \implies |\bar{a}| |\bar{c}| \sin \theta = |\bar{b}|$,जहाँ $\theta$ सदिश $\bar{a}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण है।
दूसरे समीकरण का परिमाण लेने पर: $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{a}| \implies |\bar{b}| |\bar{c}| \sin \phi = |\bar{a}|$,जहाँ $\phi$ सदिश $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण है।
पहले समीकरण से $|\bar{b}|$ का मान दूसरे में रखने पर: $(|\bar{a}| |\bar{c}| \sin \theta) |\bar{c}| \sin \phi = |\bar{a}|$.
चूंकि $\bar{a} \neq \bar{o}$,हम $|\bar{a}|$ से विभाजित कर सकते हैं: $|\bar{c}|^2 \sin \theta \sin \phi = 1$.
साथ ही,$\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$ से,$\bar{b}$ सदिश $\bar{c}$ के लंबवत है। $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ से,$\bar{a}$ सदिश $\bar{c}$ के लंबवत है।
अतः,$\theta = 90^\circ$ और $\phi = 90^\circ$,इसलिए $\sin \theta = 1$ और $\sin \phi = 1$ है।
इसलिए,$|\bar{c}|^2 = 1 \implies |\bar{c}| = 1$।
अब,$|\bar{a}| |\bar{c}| = |\bar{b}|$ और $|\bar{b}| |\bar{c}| = |\bar{a}|$।
चूंकि $|\bar{c}| = 1$,हमें $|\bar{a}| = |\bar{b}|$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिए गए सदिश $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $b=m \hat{i}+n \hat{j}+12 \hat{k}$ हैं।
चूंकि $a \times b = 0$,इसलिए सदिश $a$ और $b$ संरेख (समांतर) हैं।
दो समांतर सदिशों $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $b = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ के लिए,घटक समानुपाती होते हैं:
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{2}{m} = \frac{3}{n} = \frac{-5}{12}$
$\frac{2}{m} = \frac{-5}{12}$ से,$m = \frac{2 \times 12}{-5} = -\frac{24}{5}$ प्राप्त होता है।
$\frac{3}{n} = \frac{-5}{12}$ से,$n = \frac{3 \times 12}{-5} = -\frac{36}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(m, n) = \left(-\frac{24}{5}, -\frac{36}{5}\right)$।

(C) दिया गया है कि $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$ और $a \times b = 0, b \times c = 0$ है।
चूंकि $a \times b = 0$,इसलिए सदिश $a$ और $b$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
चूंकि $b \times c = 0$,इसलिए सदिश $b$ और $c$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
समांतर सदिशों के संक्रामक गुण के अनुसार,यदि $a, b$ के समांतर है और $b, c$ के समांतर है,तो $a, c$ के समांतर होगा।
अतः,दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $a \times c = 0$।