Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(A) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{b}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12 - (-2)) - \hat{j}(-8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = -10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}$
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{c}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-1)) - \hat{j}(2 - (-1)) + \hat{k}(2 - 3) = 4\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$
હવે,મળેલા બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર કરો:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = (-10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k})$
$= (-10)(4) + (9)(-3) + (7)(-1)$
$= -40 - 27 - 7 = -74$

(A) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ રેખાઓની દિશામાં સદિશો છે જેના દિશા ગુણોત્તર અનુક્રમે $2, 3, 1$ અને $1, 2, 1$ છે.
$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
બંને $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(2-1) + \hat{k}(4-3) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
આમ,દિશા ગુણોત્તર $1, -1, 1$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $u = a - b$ અને $v = a + b$.
આપણે $|u \times v|$ શોધવાનું છે.
$|u \times v| = |(a - b) \times (a + b)|$
$= |a \times a + a \times b - b \times a - b \times b|$
કારણ કે $a \times a = 0$ અને $b \times b = 0$,અને $b \times a = -(a \times b)$,તેથી:
$|u \times v| = |0 + a \times b + a \times b - 0| = |2(a \times b)| = 2|a \times b|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a \times b|^{2} + (a \cdot b)^{2} = |a|^{2} |b|^{2}$.
આપેલ છે કે $|a| = |b| = 2$,તેથી $|a|^{2} = 4$ અને $|b|^{2} = 4$.
$|a \times b|^{2} + (a \cdot b)^{2} = 4 \times 4 = 16$.
$|a \times b| = \sqrt{16 - (a \cdot b)^{2}}$.
તેથી,$|u \times v| = 2 \sqrt{16 - (a \cdot b)^{2}}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0), A(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}),$ અને $B(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશોની કિંમત મૂકતા,$\text{Area} = \frac{1}{2} |(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})|$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}$.
કારણ કે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$ અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$,તેથી:
$= 0 - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - 0 = -2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$.
આમ,$\text{Area} = \frac{1}{2} |-2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
કારણ કે $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$,$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin(90^{\circ}) = 2 \times 3 \times 1 = 6$.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{d_2} = -\hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1}$ અને $\overrightarrow{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}$ શોધો:
$\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(0) - (2)(2)) - \hat{j}((1)(0) - (2)(-1)) + \hat{k}((1)(2) - (-3)(-1))$
$= -4\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ થશે.

(C) ધારો કે $\bar{u} = \bar{a} \times \bar{b}$ અને $\bar{v} = \bar{c} \times \bar{d}$.
આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = |\bar{d}| = 1$.
$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તે જ રીતે,$|\bar{c} \times \bar{d}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$[\bar{a} \bar{b} \bar{d}] \bar{c} - [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] \bar{d} = (\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{c} \times \bar{d}) = \bar{u} \times \bar{v}$.
તેનું માન $|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}| |\bar{v}| \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{6}$.
$|\bar{u} \times \bar{v}| = (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.

(B) આપેલ છે કે $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|\overline{c}|^2+|\overline{a}|^2-2(\overline{a} \cdot \overline{c})=8$ મળે છે.
કારણ કે $|\overline{a}|^2 = 2^2+1^2+(-2)^2 = 9$ અને $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,તેથી સમીકરણ $|\overline{c}|^2+9-2|\overline{c}|=8$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $(|\overline{c}|-1)^2=0$ થાય છે,તેથી $|\overline{c}|=1$.
હવે,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ છે.
અંતે,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(30^{\circ}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) આપણને આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \frac{\pi}{3} = 10$.
$|\vec{b}| = 5$ અને $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $5 \times |\vec{c}| \times \frac{1}{2} = 10$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{c}| = 4$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin \frac{\pi}{3} = 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ થાય.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b} \times \vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{a}$ અને $(\vec{b} \times \vec{c})$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી,$|\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| \sin \frac{\pi}{2} = \sqrt{3} \times (10\sqrt{3}) \times 1 = 30$.

(B) પ્રથમ,$|\bar{a}|^2 = 4^2 + 3^2 + 1^2 = 16 + 9 + 1 = 26$ ગણો.
વળી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = (4)(1) + (3)(-2) + (1)(2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}$ નો ઉપયોગ કરતા,કારણ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,આપણને $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = -|\bar{a}|^2 \bar{b} = -26\bar{b}$ મળે છે.
હવે,ધારો કે $\bar{v} = \bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = -26\bar{b}$.
તો $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{v}) = \bar{a} \times (\bar{a} \times (-26\bar{b})) = -26(\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}))$.
અગાઉના પરિણામને મૂકતા: $-26(-26\bar{b}) = 676\bar{b}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{b} \cdot \bar{c} = |\bar{b}| |\bar{c}| \cos(45^{\circ}) = 8$.
કિંમતો મૂકતા,$2 \times |\bar{c}| \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$,જેનો અર્થ છે કે $|\bar{c}| = 4 \sqrt{2}$.
કારણ કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ સમતલીય છે,સદિશ $\bar{b} \times \bar{c}$ એ $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે.
તેથી,$\bar{a}$ એ $\bar{b} \times \bar{c}$ ને લંબ છે.
ગુણધર્મ $|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \sin(90^{\circ}) = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}|$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(45^{\circ}) = 2 \times 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$.
આમ,$|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = 1 \times 8 = 8$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{b} \cdot \bar{c} = |\bar{b}| |\bar{c}| \cos(45^{\circ}) = 8$.
કિંમતો મૂકતા,$2 \cdot |\bar{c}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$,જેનો અર્થ છે કે $|\bar{c}| = 4\sqrt{2}$.
કારણ કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ સમતલીય છે,સદિશ $\bar{v} = (\bar{b} \times \bar{c})$ એ $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે.
તેથી,$\bar{a}$ એ $(\bar{b} \times \bar{c})$ ને લંબ છે.
તેથી,$|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \sin(90^{\circ}) = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(45^{\circ}) = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$.
કારણ કે $|\bar{a}| = 1$,કિંમત $1 \cdot 8 = 8$ થાય છે.

(A) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\bar{b}+\bar{c}}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c} = \frac{1}{\sqrt{2}} \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} \bar{c}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(\bar{a} \cdot \bar{c} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \bar{c} = 0$.
કારણ કે $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ અસમતલીય છે (અને તેથી સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે),સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
તેથી,$|\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,જ્યાં $\theta$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\theta = \frac{3 \pi}{4}$.

(D) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર મુજબ: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$.
આપેલ સમીકરણ $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{c}$ સાથે સરખાવતા:
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{c}$.
કારણ કે $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ સમાંતર નથી,તેથી આપણે $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ ના સહગુણકોને સરખાવી શકીએ:
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $-(\bar{a} \cdot \bar{b}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos \theta = \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ થાય.

(A) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ શોધો:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ છે.
આપેલ છે કે $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{c} \cdot \overline{a}) = 8$ મળે.
અહીં $|\overline{a}| = 3$ અને $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ હોવાથી,$|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ થાય.
$|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0 \Rightarrow (|\overline{c}| - 1)^2 = 0 \Rightarrow |\overline{c}| = 1$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(30^{\circ})$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,તેથી $|\overline{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4+1+4 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $|\overline{a}|=3$.
આપેલ છે કે $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\overline{c}-\overline{a}|^2 = (2 \sqrt{2})^2 = 8$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 8$ મળે.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ અને $|\overline{a}|^2 = 9$ મૂકતા,$|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0$ થાય છે.
આ $(|\overline{c}|-1)^2 = 0$ છે,તેથી $|\overline{c}| = 1$.
હવે,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$.
તેથી,$|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
અંતે,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\bar{b}=\hat{i}+\hat{j}$.
પ્રથમ,$\bar{a}$ નું માન શોધો:
$|\bar{a}|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{b}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
તેનું માન $|\bar{a} \times \bar{b}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$ છે.
આપેલ છે કે $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|=3$ અને $\bar{c}$ તથા $\bar{a} \times \bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ છે.
સૂત્ર $|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}||\bar{v}| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin \frac{\pi}{6} = 3$.
$3 \cdot |\bar{c}| \cdot \frac{1}{2} = 3 \Rightarrow |\bar{c}|=2$.
હવે,$|\bar{c}-\bar{a}|=4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\bar{c}-\bar{a}|^2 = |\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 4^2$.
$2^2 + 3^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$4 + 9 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$13 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$-2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 3$.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = -\frac{3}{2}$.

(A) પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3(-2) - 4(-1)) - \hat{j}(2(-2) - 4(0)) + \hat{k}(2(-1) - 3(0))$
$= \hat{i}(-6 + 4) - \hat{j}(-4 - 0) + \hat{k}(-2 - 0)$
$= -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધીએ:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2}$
$= \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $2\sqrt{6}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આપણને આપેલ છે કે $|\vec{a}|=3$,$|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}$,અને $\vec{a} \times \vec{b}$ એ એકમ સદિશ છે,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|=1$.
આપણે સદિશ ગુણાકારના માનનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1 = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin \theta$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 = \sqrt{2} \sin \theta$ મળે છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(B) ધારો કે $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$.
તેથી,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{i} = -a_2\hat{k} + a_3\hat{j}$.
માટે,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$.
તે જ રીતે,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ અને $|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$.
કારણ કે $|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$,તેથી આ પદાવલિ $2|\vec{a}|^2$ બરાબર થાય છે.

(B) શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ અને $C(2, 3, 1)$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધો:
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} = \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
આ સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{21}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{20^2 + 5^2 + (-5)^2}$
$= \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2}$
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $15\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 3$,તેથી $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 3^2 = 9$.
હવે,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$.
તે જ રીતે,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ અને $|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે $|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$.
કિંમત મૂકતા,$2(9) = 18$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ જેની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય,તે તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ ગણો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{20^2 + 5^2 + (-5)^2}$ ગણો.
$= \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|\bar{a}| = \frac{2}{3}$,$|\bar{b}| = 3$,અને $|\bar{a} \times \bar{b}| = 1$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1 = (\frac{2}{3}) \times 3 \times \sin(\theta)$
$1 = 2 \sin(\theta)$
$\sin(\theta) = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ (અથવા $30^{\circ}$) થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\bar{a} \times \bar{b}|$.
અહીં $\bar{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\bar{b} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 \times 0 - 2 \times 2) - \hat{j}(0 \times 0 - 2 \times 1) + \hat{k}(0 \times 2 - 1 \times 1)$
$= \hat{i}(-4) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(-1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = \frac{\sqrt{2}}{3}$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = 1$ (કારણ કે તે એકમ સદિશ છે).
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકારના માનનું સૂત્ર: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1 = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin(\theta)$.
આનું સાદુરૂપ આપતા: $1 = \sqrt{2} \sin(\theta)$.
તેથી,$\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(A) શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ અને $C(2, 3, 1)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} = \langle 0, 1, 2 \rangle$.
$\vec{AC} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k} = \langle 1, 2, 0 \rangle$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
આ સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{p}=\vec{a}-\vec{b} = (1-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = 0\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{q}=\vec{a}+\vec{b} = (1+1)\hat{i} + (-1+2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = 2\hat{i}+1\hat{j}-2\hat{k}$ શોધો.
$\vec{p}$ અને $\vec{q}$ બંનેને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{p} \times \vec{q}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-4) - \hat{j}(0-8) + \hat{k}(0-(-6)) = 2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}$.
એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{2^2+8^2+6^2}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{4+64+36}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{104}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{2\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\hat{i}+\frac{4}{\sqrt{26}}\hat{j}+\frac{3}{\sqrt{26}}\hat{k}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(1) - 4(-1)) - \hat{j}(3(1) - 4(1)) + \hat{k}(3(-1) - 1(1))$
$= \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(3 - 4) + \hat{k}(-3 - 1)$
$= 5\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + (-4)^2}$ શોધો.
$= \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,તેમના ડોટ ગુણાકાર અને ક્રોસ ગુણાકાર વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}|=10$,$|\vec{b}|=2$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=12$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (12)^2 = (10)^2 (2)^2$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 144 = 100 \times 4$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 144 = 400$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 400 - 144$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 256$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{256} = 16$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) બે સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,તે સદિશો સમરેખ હોવા જોઈએ.
તેથી,$(2 \hat{i} + 6 \hat{j} + 27 \hat{k}) = k (\hat{i} + \lambda \hat{j} + \mu \hat{k})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2 = k \implies k = 2$
$6 = k \lambda \implies 6 = 2 \lambda \implies \lambda = 3$
$27 = k \mu \implies 27 = 2 \mu \implies \mu = \frac{27}{2}$
તેથી,$\lambda + \mu = 3 + \frac{27}{2} = \frac{6 + 27}{2} = \frac{33}{2}$.

(D) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$.
અહીં $\vec{d_1} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(0 - 1) = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે: $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0(1) - 1(1)) - \hat{j}(1(1) - 1(2)) + \hat{k}(1(1) - 0(2))$
$= -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
હવે,મળેલા સદિશનું માન શોધીએ:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (1)^2}$
$= \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $12 = 10 \times 2 \times \cos \theta$.
$12 = 20 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
હવે,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 10 \times 2 \times \frac{4}{5} = 20 \times \frac{4}{5} = 16$.

(C) આપેલ સમીકરણ $a+2b+3c=0$ છે.
સમીકરણનો $c$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$(a+2b+3c) \times c = 0 \times c = 0$
$a \times c + 2(b \times c) + 3(c \times c) = 0$
કારણ કે $c \times c = 0$,તેથી $a \times c + 2(b \times c) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $c \times a = 2(b \times c)$.
સમીકરણનો $b$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$(a+2b+3c) \times b = 0 \times b = 0$
$a \times b + 2(b \times b) + 3(c \times b) = 0$
કારણ કે $b \times b = 0$,તેથી $a \times b - 3(b \times c) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \times b = 3(b \times c)$.
હવે,આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(a \times b) + (b \times c) + (c \times a) = 3(b \times c) + (b \times c) + 2(b \times c) = 6(b \times c)$.
આને $\lambda(b \times c)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 6$ મળે છે.

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $a$ અને $b$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|a \times b| = 15$ ચોરસ એકમ છે.
હવે,$(3a+2b)$ અને $(a+3b)$ બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું થાય:
ક્ષેત્રફળ $= |(3a+2b) \times (a+3b)|$
$= |3a \times a + 9a \times b + 2b \times a + 6b \times b|$
કારણ કે $a \times a = 0$ અને $b \times b = 0$,તેથી:
$= |9(a \times b) + 2(b \times a)|$
$b \times a = -(a \times b)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= |9(a \times b) - 2(a \times b)|$
$= |7(a \times b)|$
$= 7 |a \times b|$
આપેલ કિંમત $|a \times b| = 15$ મૂકતા:
$= 7 \times 15 = 105$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ છે,$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{0} \quad \dots(i)$
સમીકરણ $(i)$ નો $\overrightarrow{b}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) + 3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{b}$
કારણ કે $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ અને $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b} = -(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
સમીકરણ $(i)$ નો $\overrightarrow{c}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{c}$
કારણ કે $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ અને $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = -(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$:
$-(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a} = 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
હવે,આ કિંમતોને $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ માં મૂકતા:
$= 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
$= 6(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$

(D) ધારો કે $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\overrightarrow{b} = \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ બંનેને લંબ સદિશ તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
જરૂરી એકમ સદિશ $\pm \frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $\frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ છે.

(B) બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ધરાવતા સમતલને લંબ સદિશ શોધવા માટે,આપણે સમતલમાં રહેલા બે સદિશો,જેમ કે $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શોધીએ છીએ.
આપેલ બિંદુઓ: $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$,$C(0, 2, 1)$.
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0 - (-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (2 - (-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$
લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{array}\right|$
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1))$
$\vec{n} = \hat{i}(8) - \hat{j}(-4) + \hat{k}(4) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$
આમ,સમતલને લંબ સદિશ $8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{u} = i+j+k$ અને $\vec{v} = 2i+j+3k$.
$\vec{u}$ અને $\vec{v}$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{w} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = i(3-1) - j(3-2) + k(1-2) = 2i - j - k$.
$\vec{w}$ નું માન $|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$ છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \pm \frac{2i-j-k}{\sqrt{6}}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\frac{2i-j-k}{\sqrt{6}}$ છે.

(D) અને $c$ ના સમતલમાં રહેલો સદિશ $b$ અને $c$ ના રૈખિક સંયોજન દ્વારા મળે છે. $a$ ને લંબ અને $b$ તથા $c$ ના સમતલમાં રહેલો સદિશ $a \times (b \times c)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,આપણે $b \times c$ ની ગણતરી કરીએ:
$b \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 25) - \hat{j}(-1 + 15) + \hat{k}(5 - 6) = 23 \hat{i} - 14 \hat{j} - \hat{k}$.
હવે,આપણે $a \times (b \times c)$ ની ગણતરી કરીએ:
$a \times (b \times c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 23 & -14 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 14) - \hat{j}(-2 + 23) + \hat{k}(-28 - 69) = -17 \hat{i} - 21 \hat{j} - 97 \hat{k}$.
આમ,જરૂરી સદિશ $-17 \hat{i} - 21 \hat{j} - 97 \hat{k}$ છે.

(A) આપેલ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(0,4,1)$,$B(2,3,-1)$,$C(4,5,0)$ અને $D(2,6,2)$ છે.
આપણે ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણ $\triangle ABD$ અને $\triangle BCD$ માં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ આ બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}|$.
$\vec{AB} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{AD} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AB} \times \vec{AD} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 6^2} = 9$.
$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.
$\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}|$.
$\vec{BC} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{BD} = 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{BC} \times \vec{BD} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\vec{BC} \times \vec{BD}| = 9$.
$\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $4.5 + 4.5 = 9 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b} = -2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3 - (-2)) + \hat{k}(1 - (-4)) = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25+25+25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \pm \frac{\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ એ $\frac{5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ દર્શાવે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે,$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.
કારણ કે $\vec{u}=\vec{a}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$,ધારો કે $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos \theta$.
તેથી,$\vec{u} = \vec{a} - \cos \theta \vec{b}$.
માનનો વર્ગ શોધતા: $|\vec{u}|^2 = |\vec{a}|^2 + \cos^2 \theta |\vec{b}|^2 - 2 \cos \theta (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
આમ,$|\vec{u}| = \sin \theta$ (કારણ કે અસમરેખ સદિશો માટે $\sin \theta > 0$).
વળી,$|\vec{v}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = \sin \theta$.
તેથી,$|\vec{v}| = |\vec{u}|$.
હવે,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 - 0 = 0$.
તેથી,$|\vec{v}| = |\vec{u}| + |\vec{u} \cdot \vec{v}| = |\vec{u}| + 0 = |\vec{u}|$.

(D) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{c}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-3)) - \hat{j}(-1 - 2) + \hat{k}(-3 - (-2)) = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{d}$ શોધો:
$\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-2)) - \hat{j}(1 - (-4)) + \hat{k}(1 - 2) = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} - \hat{k}$.
અંતે,મળેલા બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર કરો:
$(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{b} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & -5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 5) - \hat{j}(-4 - (-3)) + \hat{k}(-20 - 9) = -8 \hat{i} + \hat{j} - 29 \hat{k}$.

(D) આપેલ છે કે,$F=2 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$,$A=(1,2,5)$,અને $B=(-1,-2,-3)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $BA = A - B$ શોધીએ:
$BA = (1 - (-1)) \hat{i} + (2 - (-2)) \hat{j} + (5 - (-3)) \hat{k} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 8 \hat{k}$.
હવે,આપણે સદિશ ગુણાકાર $BA \times F$ ની ગણતરી કરીએ:
$BA \times F = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 8 \\ 2 & 2 & 5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(4 \times 5 - 8 \times 2) - \hat{j}(2 \times 5 - 8 \times 2) + \hat{k}(2 \times 2 - 4 \times 2)$
$= \hat{i}(20 - 16) - \hat{j}(10 - 16) + \hat{k}(4 - 8)$
$= 4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
આને આપેલ પદ $4 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \lambda \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2 \lambda = -4$.
તેથી,$\lambda = -2$.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{d_2} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ છે.
$\overrightarrow{d_1} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$
$\overrightarrow{d_2} = (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + (7\hat{i} + 9\hat{j} + 11\hat{k}) = 8\hat{i} + 12\hat{j} + 16\hat{k}$
વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1}$ અને $\overrightarrow{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 12 & 16 \end{vmatrix} = \hat{i}(64 - 72) - \hat{j}(32 - 48) + \hat{k}(24 - 32) = -8\hat{i} + 16\hat{j} - 8\hat{k}$
માન $|\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 256 + 64} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = 8\sqrt{6}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(1) - 2(-2)) - \hat{j}(1(1) - 2(3)) + \hat{k}(1(-2) - 1(3))$
$= \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-2 - 3)$
$= 5\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-5)^2}$ ની ગણતરી કરો.
$= \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $5\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ છે કે $p \times q = r$ અને $q \times p = r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકાર એ એન્ટિકોમ્યુટેટિવ છે,તેથી $q \times p = -(p \times q)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $r = -r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2r = 0$,તેથી $r = 0$.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $r \neq 0$.
આમ,$p \times q = q \times p = r$ ની શરત $r \neq 0$ ની સ્થિતિમાં વિરોધાભાસ પેદા કરે છે,તેથી પ્રશ્નમાં આપેલી શરતો ગાણિતિક રીતે અસંગત છે.
જો પ્રશ્નનો હેતુ સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો દર્શાવવાનો હોય જ્યાં $p \times q = r$,તો $r$ એ $p$ અને $q$ બંનેને લંબ હોય છે.
જોકે,આપેલા સમીકરણોના તાર્કિક અર્થઘટન મુજબ,$r \neq 0$ ની શરત હેઠળ વિધાન $(i)$ અને (ii) બંને એકસાથે સંતોષાઈ શકે નહીં.