Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $a, b, c$ છે.
આપણી પાસે સદિશો $AB = b - a$ અને $AC = c - a$ છે.
પદાવલિ $\frac{(a-c) \times (b-a)}{(b-a) \cdot (c-a)}$ છે.
નોંધો કે $a - c = -(c - a) = -AC$.
તેથી,અંશ $(-AC) \times (AB) = AC \times AB$ થાય.
છેદ $(AB) \cdot (AC) = |AB| |AC| \cos A$ થાય.
સદિશ ગુણાકાર $AC \times AB$ નું મૂલ્ય $|AC| |AB| \sin A$ છે.
આમ,પદાવલિ $\frac{|AC| |AB| \sin A}{|AB| |AC| \cos A} = \tan A$ થાય છે.

(C) વિકર્ણો $\vec{d}_1$ અને $\vec{d}_2$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{d}_1 \times \vec{d}_2$ શોધીએ:
$\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(-1) - (1)(3)) - \hat{j}((2)(-1) - (1)(1)) + \hat{k}((2)(3) - (-1)(1))$
$= \hat{i}(1 - 3) - \hat{j}(-2 - 1) + \hat{k}(6 + 1)$
$= -2\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$
હવે,આ સદિશનું માન (magnitude) શોધીએ:
$|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 9 + 49} = \sqrt{62}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \sqrt{62} = \frac{\sqrt{62}}{2}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) આપેલ છે કે $n \perp a$ અને $n \perp b$,તેથી $n = a \times b$.
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(2+2) = -4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \frac{|n \times c|}{|n||c|}$.
$n \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -4 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(8-8) - \hat{j}(8-4) + \hat{k}(-8+4) = 0\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|n \times c| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
$|n| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
$|c| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\sin \theta = \frac{4\sqrt{2}}{(4\sqrt{3}) \times 3} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \bar{i}+\bar{j}+\bar{k}$,$\vec{b} = \bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k}$,અને $\vec{c} = 2\bar{i}-\bar{j}+\bar{k}$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતો વેધ બાજુ $BC$ ને લંબ છે.
$BC$ ની દિશાનો સદિશ $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (2-1)\bar{i} + (-1-2)\bar{j} + (1-3)\bar{k} = \bar{i} - 3\bar{j} - 2\bar{k}$ છે.
ધારો કે વેધની દિશાનો સદિશ $\vec{n}$ છે. વેધ $BC$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{n}$ એ $\vec{BC}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
વળી,વેધ $\triangle ABC$ ના સમતલમાં હોવાથી,તે સમતલના અભિલંબ $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ ને પણ લંબ છે.
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 0\bar{i} + \bar{j} + 2\bar{k}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \bar{i} - 2\bar{j} + 0\bar{k}$.
$\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 4\bar{i} + 2\bar{j} - \bar{k}$.
વેધની દિશા $\vec{v} = \vec{N} \times \vec{BC} = -7\bar{i} + 7\bar{j} - 14\bar{k}$ મળે છે.
આ દિશાને $-7$ વડે ભાગતા,આપણને $\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}$ મળે છે.
તેથી,$A$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = \vec{a} + t\vec{v} = (\bar{i}+\bar{j}+\bar{k}) + t(\bar{i}-\bar{j}+2\bar{k})$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v}$ છે. $\vec{v}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ ને સમાંતર હશે.
પ્રથમ,$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 2\hat{k}$ શોધો.
હવે,$\vec{a}$ અને $\vec{n}$ ને લંબ સદિશ શોધો:
$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 16\hat{j} - 8\hat{k}$.
આ સદિશની દિશા $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
તેનું માન $\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ છે.
તેથી,એકમ સદિશ $\frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ અને $d$ સમતલીય સદિશો છે.
કારણ કે $a$ અને $b$ સમતલીય છે,તેમનો સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ એ $a$ અને $b$ ધરાવતા સમતલને લંબ સદિશ છે.
તે જ રીતે,$c$ અને $d$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો સદિશ ગુણાકાર $c \times d$ એ $c$ અને $d$ ધરાવતા સમતલને લંબ સદિશ છે.
બધા ચાર સદિશો $a, b, c, d$ એક જ સમતલમાં હોવાથી,સદિશો $a \times b$ અને $c \times d$ બંને એક જ સમતલને લંબ છે.
તેથી,$a \times b$ અને $c \times d$ એકબીજાને સમાંતર છે.
બે સમાંતર સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,$(a \times b) \times (c \times d) = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1$.
$\vec{p} \cdot \vec{u}=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \cdot \vec{u}=\frac{3}{2} \Rightarrow |\vec{u}|^2+\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{3}{2} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{1}{2}$ ....$(i)$
$\vec{p} \cdot \vec{v}=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \cdot \vec{v}=\frac{7}{4} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+|\vec{v}|^2+\vec{v} \cdot \vec{w}=\frac{7}{4} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}=\frac{3}{4}$ ....$(ii)$
$|\vec{p}|^2=|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^2=4 \Rightarrow |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u})=4 \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{1}{2}$ ....$(iii)$
$(i)$,$(ii)$,અને $(iii)$ ઉકેલતા:
$(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $\vec{w} \cdot \vec{u} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$.
$(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $\vec{v} \cdot \vec{w} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.
તેથી $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે $\vec{v}=K \vec{q}=K[\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})]=K[(\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v}-(\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}]$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{v}=K[-\frac{1}{4} \vec{v}-\frac{3}{4} \vec{w}] \Rightarrow \vec{v} = -\frac{K}{4} \vec{v} - \frac{3K}{4} \vec{w} \Rightarrow (1+\frac{K}{4}) \vec{v} = -\frac{3K}{4} \vec{w}$.
માન લેતા: $|1+\frac{K}{4}| = |-\frac{3K}{4}| \Rightarrow |4+K| = |3K|$.
$4+K = 3K \Rightarrow 2K=4 \Rightarrow K=2$ અથવા $4+K = -3K \Rightarrow 4K=-4 \Rightarrow K=-1$.
સદિશ સમીકરણ તપાસતા: $(1+\frac{K}{4}) \vec{v} = -\frac{3K}{4} \vec{w}$. જો $K=-1$,તો $\frac{3}{4} \vec{v} = \frac{3}{4} \vec{w} \Rightarrow \vec{v}=\vec{w}$,પરંતુ $\vec{v} \cdot \vec{w}=0$,જે અશક્ય છે.
તેથી,$K=2$.

(D) $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં રહેલા કોઈપણ સદિશ $\vec{c}$ ને $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ તરીકે લખી શકાય છે.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{b}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$.
$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ મૂકતા,આપણને $(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + y|\vec{b}|^2 = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (1)(1) + (1)(1) = 4$ અને $|\vec{b}|^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 6$.
તેથી,$4x + 6y = 0 \Rightarrow 2x + 3y = 0$. ધારો કે $x = 3k$ અને $y = -2k$.
પછી $\vec{c} = 3k(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 2k(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = k(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$\vec{c}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\vec{c}| = |k|\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = |k|\sqrt{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
છેલ્લે,$\vec{c} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1 + 1 + 2) = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ છે.
સદિશ $(\vec{a} + \vec{b})$ નો સદિશ $\hat{n}$ પરનો પ્રક્ષેપ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \hat{n}$ દ્વારા મળે છે.
$\hat{n}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને પ્રક્ષેપ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ થાય છે.
જ્યારે બે સદિશો સમાન હોય ત્યારે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,તેથી $[\vec{a}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ અને $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ થાય છે.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{0 + 0}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = 0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{f}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ અને $\vec{g}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+a \hat{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{f} \times \vec{g}| = |\vec{f}| |\vec{g}| \sin \theta$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{f} \times \vec{g}$ શોધો:
$\vec{f} \times \vec{g} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & a \end{vmatrix} = \hat{i}(2a - 9) - \hat{j}(a + 6) + \hat{k}(-3 - 4) = (2a - 9)\hat{i} - (a + 6)\hat{j} - 7\hat{k}$.
તેનું માનનો વર્ગ $|\vec{f} \times \vec{g}|^2 = (2a - 9)^2 + (a + 6)^2 + (-7)^2 = 4a^2 - 36a + 81 + a^2 + 12a + 36 + 49 = 5a^2 - 24a + 166$.
વળી,$|\vec{f}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ અને $|\vec{g}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + a^2 = 13 + a^2$.
આપેલ છે કે $\sin^2 \theta = \frac{24}{28} = \frac{6}{7}$.
સૂત્ર $|\vec{f} \times \vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 |\vec{g}|^2 \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5a^2 - 24a + 166 = 14(13 + a^2) \times \frac{6}{7} = 2(13 + a^2) \times 6 = 12(13 + a^2) = 156 + 12a^2$.
પદોને ગોઠવતા: $7a^2 + 24a = 166 - 156 = 10$.

(B) સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ એકમ સદિશ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીશું.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 12) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = -6 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 16 + 36} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$ છે.
એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-6 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2\sqrt{22}} = \pm \frac{-3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}}{\sqrt{22}}$ થાય.
જે $\pm \frac{3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{22}}$ ને સમાન છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$.
$A_1$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વિકર્ણો ધરાવતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $A_1 = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-6)) - \hat{j}(-3 - 3) + \hat{k}(-2 - 2) = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$ છે.
તેથી,$A_1 = \frac{1}{2} \sqrt{52}$.
$A_2$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $A_2 = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{52}$ છે.
અંતે,$A_1 \cdot A_2 = (\frac{1}{2} \sqrt{52}) \cdot (\sqrt{52}) = \frac{52}{2} = 26$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=3 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$ અને $\vec{b}=\lambda \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{\sqrt{195}}{2}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 195$ ...$(i)$.
હવે,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & \lambda \\ \lambda & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-\lambda) - \hat{j}(-9-\lambda^2) + \hat{k}(3+\lambda) = (3-\lambda)\hat{i} + (9+\lambda^2)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}$.
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (3-\lambda)^2 + (9+\lambda^2)^2 + (3+\lambda)^2 = 195$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(9 + \lambda^2 - 6\lambda) + (81 + \lambda^4 + 18\lambda^2) + (9 + \lambda^2 + 6\lambda) = 195$.
$\lambda^4 + 20\lambda^2 + 99 = 195 \Rightarrow \lambda^4 + 20\lambda^2 - 96 = 0$.
ધારો કે $t = \lambda^2$,તો $t^2 + 20t - 96 = 0 \Rightarrow (t+24)(t-4) = 0$.
કારણ કે $\lambda$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી $\lambda^2 = 4$ (કારણ કે $\lambda^2 = -24$ શક્ય નથી).
આમ,$\lambda = \pm 2$. તેથી $\lambda$ ના ભિન્ન મૂલ્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & -5 \\ 3 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 25\hat{i} - 5\hat{j} + 13\hat{k}$.
$\vec{r}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,$\vec{r}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે.
વળી,$\vec{r}$ એ $\vec{d} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$\vec{r}$ એ $\vec{c} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 25 & -5 & 13 \\ 5 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{r} = \lambda(11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k})$.
$|\vec{r}| = \sqrt{94}$ આપેલ હોવાથી,$|\lambda| \sqrt{121 + 100 + 625} = \sqrt{846} = 3\sqrt{94} = \sqrt{94}$.
તેથી,$|\lambda| = \frac{1}{3}$.
હવે,$|\vec{r} \cdot \vec{b}| = |\lambda| |(11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})| = \frac{1}{3} |33 - 20 + 125| = \frac{1}{3} |138| = 46$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધીએ છીએ જે બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ને સમાવતા સમતલમાં આવેલા છે.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3\hat{i} - \hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (2\hat{j} + 3\hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
સમતલને લંબ સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-6)) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(3 - (-2)) = 8\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 4 + 25} = \sqrt{93}$ છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{8\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}}{\sqrt{93}}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$,તેથી $\vec{a}=-(\vec{b}+\vec{c})$.
આ કિંમતને પદાવલિ $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}$ માં મૂકતા:
$= -(\vec{b}+\vec{c}) \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times (-(\vec{b}+\vec{c}))$
$= -(\vec{b} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{b})+\vec{b} \times \vec{c}-(\vec{c} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{c})$
કારણ કે $\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$ અને $\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$,અને $\vec{c} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{c})$:
$= -(\vec{0} - \vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times \vec{c} - (-(\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{0})$
$= \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = 3(\vec{b} \times \vec{c})$.
હવે,$\vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+1) - \hat{j}(-3-1) + \hat{k}(-3+2) = 3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$.
તેથી,$3(\vec{b} \times \vec{c}) = 3(3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}) = 9\hat{i}+12\hat{j}-3\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{9^2+12^2+(-3)^2} = \sqrt{81+144+9} = \sqrt{234}$ થાય.

(A) આપેલ છે: $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-3 \hat{i}+5 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{c}=6 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -3 & 5 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-15) - \hat{j}(-8+9) + \hat{k}(10-3) = -11 \hat{i} - \hat{j} + 7 \hat{k}$
ત્યારબાદ,$\vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 5 & -4 \\ 6 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(25-16) - \hat{j}(-15+24) + \hat{k}(12-30) = 9 \hat{i} - 9 \hat{j} - 18 \hat{k}$
છેલ્લે,ડોટ ગુણાકાર $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{b} \times \vec{c})$ ની ગણતરી કરો:
$(-11 \hat{i} - \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (9 \hat{i} - 9 \hat{j} - 18 \hat{k}) = (-11)(9) + (-1)(-9) + (7)(-18) = -99 + 9 - 126 = -216$

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$ ની ગણતરી કરો:
$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b} = 2(2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}) - 3(7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) = (4-21) \hat{i} + (-10+15) \hat{j} + (16-9) \hat{k} = -17 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
ત્યારબાદ,$4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ ની ગણતરી કરો:
$4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = 4(2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}) + (7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) = (8+7) \hat{i} + (-20-5) \hat{j} + (32+3) \hat{k} = 15 \hat{i} - 25 \hat{j} + 35 \hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}) \times(4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ શોધો:
$(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}) \times(4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -17 & 5 & 7 \\ 15 & -25 & 35 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(5 \times 35 - 7 \times (-25)) - \hat{j}((-17) \times 35 - 7 \times 15) + \hat{k}((-17) \times (-25) - 5 \times 15)$
$= \hat{i}(175 + 175) - \hat{j}(-595 - 105) + \hat{k}(425 - 75)$
$= 350 \hat{i} + 700 \hat{j} + 350 \hat{k}$.
આને $x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x=350, y=700, z=350$ મળે છે.
તેથી,$x+y+z = 350+700+350 = 1400$.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર (cross product) ની ગણતરી કરો:
$\vec{b} \times \vec{c} = -\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k}$
$\vec{c} \times \vec{a} = -5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$
$\vec{a} \times \vec{b} = -3\hat{i}+3\hat{j}$
આપેલ સમીકરણ $\vec{d} = x(\vec{b} \times \vec{c}) - \frac{7}{9}(\vec{c} \times \vec{a}) + z(\vec{a} \times \vec{b})$ માં કિંમતો મૂકતા:
$-4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k} = x(-\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k}) - \frac{7}{9}(-5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) + z(-3\hat{i}+3\hat{j})$
બંને બાજુ $\hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-3 = -3x - \frac{7}{3}$
$3x = \frac{7}{3} - 3 = -\frac{2}{3}$
$x = -\frac{2}{9}$
(નોંધ: વિકલ્પો મુજબ,જો $\vec{d} = 4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}$ હોય,તો $x = \frac{2}{9}$ મળે છે.)

(A) ધારો કે $b = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
આપેલ છે કે $a \times b = c$,તેથી $c$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ છે.
$c$ એ $b$ ને લંબ હોવાથી,$b \cdot c = 0$.
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}) = 0 \Rightarrow y - z = 0 \Rightarrow y = z$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $a \cdot b = 3$,તેથી $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 3 \Rightarrow x + y + z = 3$.
$y = z$ ને આમાં મૂકતા,આપણને $x + 2y = 3$ મળે છે (સમીકરણ $2$).
હવે,સદિશ ગુણાકાર $a \times b = c$ ની ગણતરી કરીએ:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $\hat{i}(z - y) - \hat{j}(z - x) + \hat{k}(y - x) = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $z - y = 0$ (જે $y = z$ છે),$x - z = 1$,અને $y - x = -1$ (જે $x - y = 1$ છે).
$x - y = 1$ પરથી,$x = y + 1$.
$x = y + 1$ ને સમીકરણ $2$ $(x + 2y = 3)$ માં મૂકતા:
$(y + 1) + 2y = 3 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$.
$y = z$ હોવાથી,$z = \frac{2}{3}$.
$x = y + 1$ હોવાથી,$x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
આમ,$b = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{1}{3}(5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$.

(D) આપેલ છે $a=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $b=18 \hat{i}-22 \hat{j}-5 \hat{k}$.
$x$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ હોવાથી,$x$ એ $a \times b$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 2 \\ 18 & -22 & -5 \end{vmatrix} = 34 \hat{i} + 51 \hat{j} - 102 \hat{k}$.
દિશા સદિશને $17$ વડે ભાગતા $v = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ મળે.
$x$ એ $\hat{j}$ સાથે ગુરુકોણ બનાવતો હોવાથી,$\hat{j}$ નો ઘટક ઋણ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $x = \lambda(-2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 6 \hat{k})$ જ્યાં $\lambda > 0$.
$|x| = 14$ હોવાથી,$\lambda \sqrt{4 + 9 + 36} = 14 \Rightarrow 7\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 2$.
તેથી $x = 2(-2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 6 \hat{k}) = -4 \hat{i} - 6 \hat{j} + 12 \hat{k}$.

(C) આપેલ છે કે $x \times a = b$. બંને બાજુ $a$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$a \times (x \times a) = a \times b$
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \cdot a)x - (a \cdot x)a = a \times b$
અહીં $|a| = \sqrt{3}$ હોવાથી,$a \cdot a = |a|^2 = 3$ મળે:
$3x - (a \cdot x)a = a \times b$
$3x = (a \cdot x)a + a \times b$
$x = \frac{1}{3}[(a \cdot x)a + a \times b]$
$a \times b = -(b \times a)$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$x = \frac{1}{3}[(a \cdot x)a - b \times a]$
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $(x \cdot a)a$ અને $b \times a$ ના સ્વરૂપમાં છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$.
ધારો કે $V = |\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD}|$.
સદિશો મૂકતા: $\overline{AB} = \vec{b} - \vec{a}$,$\overline{CD} = \vec{d} - \vec{c}$,$\overline{BC} = \vec{c} - \vec{b}$,$\overline{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,$\overline{CA} = \vec{a} - \vec{c}$,$\overline{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = |(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{c}) + (\vec{c}-\vec{b}) \times (\vec{d}-\vec{a}) + (\vec{a}-\vec{c}) \times (\vec{d}-\vec{b})|$.
$V = |(\vec{b} \times \vec{d} - \vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{d} + \vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{d} - \vec{c} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{d} + \vec{b} \times \vec{a}) + (\vec{a} \times \vec{d} - \vec{a} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{d} + \vec{c} \times \vec{b})|$.
પદો રદ કરતા,આપણને મળે છે $V = |2(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})| = 2 |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$ હોવાથી,$V = 4 \times (\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ).
તેથી,$\lambda = 4$.

(C) આપેલ છે કે,$\vec{a}=(\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}$ અને $\vec{b}=(\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j}$.
આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ નીચે મુજબ ગણીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = ((\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}) \times ((\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j})$
$= (\sin x \cos y) (\hat{i} \times \hat{i}) + (\sin x \cos y) (\hat{i} \times \hat{j}) + (\sin y \cos x) (\hat{j} \times \hat{i}) + (\sin y \cos y) (\hat{j} \times \hat{j})$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ છે:
$\vec{a} \times \vec{b} = (\sin x \cos y) \hat{k} - (\sin y \cos x) \hat{k} = (\sin x \cos y - \cos x \sin y) \hat{k} = \sin(x-y) \hat{k}$.
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\sin(x-y)|$ થાય.
સાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|\sin(x-y)|$ એ $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોય.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}| \leq 1$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,$|a| = |b| = |c| = 1$ અને $a \cdot b = 0 = a \cdot c$. $b$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
આપણે $|a \times b - a \times c|$ શોધવાનું છે.
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|a \times b - a \times c| = |a \times (b - c)|$.
ચૂકી $a \cdot b = 0$ અને $a \cdot c = 0$,તેથી $a \cdot (b - c) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a$ એ $(b - c)$ ને લંબ છે.
આમ,$|a \times (b - c)| = |a| |b - c| \sin \frac{\pi}{2} = |a| |b - c| (1) = |b - c|$.
હવે,$|b - c|^2 = |b|^2 + |c|^2 - 2(b \cdot c) = 1 + 1 - 2(|b| |c| \cos \frac{\pi}{3}) = 2 - 2(1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$.
તેથી,$|b - c| = 1$.
આમ,$|a \times b - a \times c| = 1$.

(B) આપેલ સદિશો $a = \hat{i} + \hat{j}$ અને $b = \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધીએ:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(1-0) + \hat{k}(1-0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
$a$ અને $b$ બંનેને લંબ એકમ સદિશો $\pm \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ દ્વારા મળે છે.
આમ,આવા કુલ $2$ એકમ સદિશો શક્ય છે.

(B) બે સદિશો $a$ અને $b$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $|a| = 2$,$|b| = 3$,અને $\theta = \frac{\pi}{6}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$|a \times b| = 2 \times 3 \times \sin(\frac{\pi}{6})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $|a \times b| = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$.
આમ,$|a \times b|^2 = (3)^2 = 9$.

(D) બે શૂન્યતર સદિશો $u$ અને $v$ નો સદિશ ગુણાકાર $u \times v = |u||v| \sin \theta \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે અને $\hat{n}$ એ $u$ અને $v$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ છે.
બંને બાજુ માન લેતા,આપણને $|u \times v| = |u||v| |\sin \theta|$ મળે છે.
સાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|\sin \theta|$ એ $0 \leq |\sin \theta| \leq 1$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,$|u \times v| = |u||v| |\sin \theta| \leq |u||v|$.
આમ,સદિશ ગુણાકારનું માન હંમેશા વ્યક્તિગત સદિશોના માનના ગુણાકાર કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.

(C) બે સદિશો $p$ અને $q$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\sin(\alpha) = \frac{|p \times q|}{|p||q|}$ થાય.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $p \times q$ શોધો:
$p \times q = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 1) - \hat{j}(3 + 2) + \hat{k}(-3 - 8) = 3\hat{i} - 5\hat{j} - 11\hat{k}$.
હવે,તેમના માન શોધો:
$|p \times q| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-11)^2} = \sqrt{9 + 25 + 121} = \sqrt{155}$.
$|p| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}$.
$|q| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{26} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{156}} = \sqrt{\frac{155}{156}}$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$,અને $\vec{c} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$.
તેથી $\vec{b}+\vec{c} = (2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$.
ધારો કે $\hat{u}$ એ $(\vec{b}+\vec{c})$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે,તેથી $\hat{u} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2+36+4}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}}$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \hat{u}| = \sqrt{2}$ છે.
$\vec{a} \times \hat{u} = \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2+\lambda & 6 & -2 \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} [\hat{i}(-2-6) - \hat{j}(-2-(2+\lambda)) + \hat{k}(6-(2+\lambda))]$.
$= \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} [-8 \hat{i} + (4+\lambda) \hat{j} + (4-\lambda) \hat{k}]$.
માન લેતા: $|\vec{a} \times \hat{u}| = \frac{\sqrt{(-8)^2 + (4+\lambda)^2 + (4-\lambda)^2}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2}$.
$\frac{\sqrt{64 + 16 + 8\lambda + \lambda^2 + 16 - 8\lambda + \lambda^2}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2} \implies \frac{\sqrt{2\lambda^2 + 96}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2\lambda^2 + 96}{\lambda^2+4 \lambda+44} = 2 \implies 2\lambda^2 + 96 = 2\lambda^2 + 8\lambda + 88$.
$8\lambda = 8 \implies \lambda = 1$. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) સદિશો $P$ અને $Q$ દ્વારા દર્શાવેલ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |P \times Q|$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $P \times Q$ શોધીએ:
$P \times Q = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(5 \times 3 - (-1) \times 2) - \hat{j}(3 \times 3 - (-1) \times 1) + \hat{k}(3 \times 2 - 5 \times 1)$
$= \hat{i}(15 + 2) - \hat{j}(9 + 1) + \hat{k}(6 - 5)$
$= 17 \hat{i} - 10 \hat{j} + \hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધીએ:
$|P \times Q| = \sqrt{17^2 + (-10)^2 + 1^2} = \sqrt{289 + 100 + 1} = \sqrt{390}$.
અંતે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |P \times Q| = \frac{\sqrt{390}}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b$ અને $c$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે જેથી $a \times b = c$ અને $b \times c = a$.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$a \cdot b = 0$,$b \cdot c = 0$,અને $c \cdot a = 0$ થાય.
વળી,સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = |a||b| \sin(90^\circ) = |a||b| = |c|$ દ્વારા મળે છે.
તે જ રીતે,$|b \times c| = |b||c| = |a|$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણમાં $|a| = |b||c|$ મૂકતા: $|b||c| \cdot |b| = |c|$.
અહીં $c$ એક સદિશ હોવાથી $|c| \neq 0$,તેથી $|c|$ વડે ભાગતા $|b|^2 = 1$ મળે.
સદિશનું માન $|b|$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$|b| = 1$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\vec{a}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{c}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{a} = k(\vec{b} \times \vec{c})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
બંને બાજુ માન લેતા,$|\vec{a}| = |k| |\vec{b} \times \vec{c}|$.
$|\vec{a}| = 1$ હોવાથી,$1 = |k| |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\pi / 3)$.
કિંમતો મૂકતા,$1 = |k| (1)(1)(\sqrt{3} / 2)$,જે આપણને $|k| = 2 / \sqrt{3}$ આપે છે.
આમ,$\vec{a} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}(\vec{b} \times \vec{c})$.

(B) શિરોબિંદુ $A$ થી બાજુ $BC$ પરના વેધની લંબાઈ $h$ એ $h = \frac{2 \times \text{Area}(\triangle ABC)}{|BC|} = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}{|BC|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{BC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{3}$ છે.
પાયા $BC$ નું માન $|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$ છે.
આમ,$h = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે,$A=(\alpha, 1, 2\alpha)$,$B=(3, 1, 2)$,અને $C=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $AB = B - A = (3-\alpha)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (2-2\alpha)\hat{k} = (3-\alpha)\hat{i} + (2-2\alpha)\hat{k}$ શોધો.
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $AB \times C$ ની ગણતરી કરો:
$AB \times C = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3-\alpha & 0 & 2-2\alpha \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-(2-2\alpha))) - \hat{j}(3(3-\alpha) - 4(2-2\alpha)) + \hat{k}((3-\alpha)(-1) - 0)$
$= \hat{i}(2-2\alpha) - \hat{j}(9-3\alpha-8+8\alpha) + \hat{k}(\alpha-3)$
$= (2-2\alpha)\hat{i} - (5\alpha+1)\hat{j} + (\alpha-3)\hat{k}$.
આને $6\hat{i}+9\hat{j}-5\hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$2-2\alpha = 6 \Rightarrow -2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = -2$.
અન્ય ઘટકો સાથે ચકાસણી કરતા: $-(5(-2)+1) = -(-10+1) = 9$ (બંધ બેસે છે) અને $(-2-3) = -5$ (બંધ બેસે છે).
આમ,$\alpha = -2$.
અંતે,$\alpha^2+\alpha+5 = (-2)^2 + (-2) + 5 = 4 - 2 + 5 = 7$ ની ગણતરી કરો.

(D) આપેલ છે,$m = \sqrt{3} \times [(\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k})]$ નો એકમ સદિશ.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $(\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{3}$ છે,તેથી $m = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
તે જ રીતે,$n = 2\sqrt{6} \times [(2\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}+2\hat{k})]$ નો એકમ સદિશ.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ: $(2\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}+2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
તેનું માન $2\sqrt{6}$ છે,તેથી $n = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |m \times n|$.
$m \times n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & -4 & 2 \end{vmatrix} = 6\hat{i} + 6\hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |6\hat{i} + 6\hat{k}| = \frac{1}{2} \sqrt{36+36} = 3\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ સદિશો $a=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, b=\hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $c=4 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$ છે.
સદિશ $r$ એ $b$ અને $c$ બંનેને લંબ હોવાથી,$r$ એ $b \times c$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$b \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-25) - \hat{j}(-1-20) + \hat{k}(5+16) = -21 \hat{i} + 21 \hat{j} + 21 \hat{k} = 21(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
ધારો કે $r = \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આપેલ છે કે $r \cdot a = 9$,તેથી $\lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 9$.
$\lambda(-3 + 1 - 1) = 9 \Rightarrow -3\lambda = 9 \Rightarrow \lambda = -3$.
આમ,$r = -3(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 3(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}, \vec{c} = \hat{i} - \hat{j}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{c} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
હવે,$6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda_2(3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + \lambda_3(-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ ને સરખાવતા:
$4\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 6$ $(i)$
$-\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 2$ (ii)
$-3\lambda_1 - \lambda_2 + 2\lambda_3 = 3$ (iii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $5\lambda_1 = 4 \Rightarrow \lambda_1 = \frac{4}{5}$.
$\lambda_1$ ની કિંમત (ii) અને (iii) માં મૂકતા:
$3\lambda_2 - \lambda_3 = \frac{14}{5}$ (iv)
$-\lambda_2 + 2\lambda_3 = \frac{27}{5}$ $(v)$
(iv) ને $2$ વડે ગુણી $(v)$ માં ઉમેરતા: $5\lambda_2 = 11 \Rightarrow \lambda_2 = \frac{11}{5}$.
(iv) પરથી: $\lambda_3 = \frac{19}{5}$.
આમ,$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (\frac{4}{5}, \frac{11}{5}, \frac{19}{5})$.

(A) આપેલ છે કે,$a=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$,$b=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,$c=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ અને $d=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધો:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-6) - \hat{j}(2+3) + \hat{k}(-4-1) = -5\hat{i}-5\hat{j}-5\hat{k}$.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $c \times d$ શોધો:
$c \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+4) - \hat{j}(-1+4) + \hat{k}(-1-1) = 5\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}$.
હવે,મળેલા બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર કરો:
$(a \times b) \times (c \times d) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -5 & -5 \\ 5 & -3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-15) - \hat{j}(10+25) + \hat{k}(15+25) = -5\hat{i}-35\hat{j}+40\hat{k} = 5(-\hat{i}-7\hat{j}+8\hat{k})$.
અંતે,તેનું માન શોધો:
$|(a \times b) \times (c \times d)| = 5 \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 8^2} = 5 \sqrt{1 + 49 + 64} = 5 \sqrt{114}$.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}$ છે.
પ્રથમ,આપણે ક્રોસ પ્રોડક્ટ્સની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{c} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
આપેલ સમીકરણ $6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda_2(3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + \lambda_3(-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને નીચે મુજબની સિસ્ટમ મળે છે:
$4\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 6$ $(1)$
$-\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 2$ $(2)$
$-3\lambda_1 - \lambda_2 + 2\lambda_3 = 3$ $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $5\lambda_1 = 4 \implies \lambda_1 = \frac{4}{5}$.
$\lambda_1$ ની કિંમત $(1)$ અને $(3)$ માં મૂકતા: $3\lambda_2 - \lambda_3 = \frac{14}{5}$ અને $-\lambda_2 + 2\lambda_3 = \frac{27}{5}$.
આને ઉકેલતા: $5\lambda_2 = 11 \implies \lambda_2 = \frac{11}{5}$.
તેથી $\lambda_3 = \frac{19}{5}$.
આમ,$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (\frac{4}{5}, \frac{11}{5}, \frac{19}{5})$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$,અને $\vec{d}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 6) - \hat{j}(2 + 3) + \hat{k}(-4 - 1) = -5 \hat{i} - 5 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{c} \times \vec{d}$ શોધો:
$\vec{c} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(-1 + 4) + \hat{k}(-1 - 1) = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
હવે,મળેલા બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર કરો:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -5 & -5 \\ 5 & -3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 15) - \hat{j}(10 + 25) + \hat{k}(15 + 25) = -5 \hat{i} - 35 \hat{j} + 40 \hat{k}$.
અંતે,તેનું માન શોધો:
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})| = \sqrt{(-5)^2 + (-35)^2 + (40)^2} = \sqrt{25 + 1225 + 1600} = \sqrt{2850} = 5 \sqrt{114}$.

(C) પ્રથમ,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\bar{i} - 2\bar{j} + \bar{k}$ ગણો.
$|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$.
આપેલ છે કે $|\bar{c} - \bar{a}|^2 = 8$,તેથી $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$.
$|\bar{a}| = 3$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$ હોવાથી,$|\bar{c}|^2 + 9 - 2|\bar{c}| = 8$,એટલે કે $(|\bar{c}| - 1)^2 = 0$,તેથી $|\bar{c}| = 1$.
હવે,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(30^{\circ}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

(C) કારણ કે $\bar{\alpha}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\bar{\alpha}$ એ $\bar{a} \times \bar{b}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 5 & -1 \\ 1 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \bar{i}(25-4) - \bar{j}(20+1) + \bar{k}(-16-5) = 21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}$.
ધારો કે $\bar{\alpha} = k(21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}) = 21k(\bar{i} - \bar{j} - \bar{k})$.
આપેલ છે કે $\bar{\alpha} \cdot \bar{c} = 63$,તેથી $21k(\bar{i} - \bar{j} - \bar{k}) \cdot (3 \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}) = 63$.
$21k(3 - 1 + 1) = 63 \implies 21k(3) = 63 \implies 63k = 63 \implies k = 1$.
તેથી,$\bar{\alpha} = 21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\bar{d_1}$ અને $\bar{d_2}$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\bar{d_1} \times \bar{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{d_1} \times \bar{d_2}$ શોધો:
$\bar{d_1} \times \bar{d_2} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
$= \bar{i}(-4 - 3) - \bar{j}(-2 - (-6)) + \bar{k}(1 - (-4))$
$= -7\bar{i} - 4\bar{j} + 5\bar{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\bar{d_1} \times \bar{d_2}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 16 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
છેલ્લે,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 3\sqrt{10} = \frac{3}{2} \sqrt{10} = 3\sqrt{\frac{10}{4}} = 3\sqrt{\frac{5}{2}}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\overline{A} + \overline{B} = \bar{a}$ અને $\overline{A} \times \overline{B} = \bar{b}$.
પ્રથમ સમીકરણનો $\overline{A}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\overline{A} \times (\overline{A} + \overline{B}) = \overline{A} \times \bar{a}$.
આનું સાદું રૂપ $\overline{A} \times \overline{A} + \overline{A} \times \overline{B} = \overline{A} \times \bar{a}$ થાય છે.
કારણ કે $\overline{A} \times \overline{A} = 0$ અને $\overline{A} \times \overline{B} = \bar{b}$,તેથી $\bar{b} = \overline{A} \times \bar{a}$,જે $\bar{b} = -(\bar{a} \times \overline{A})$ છે.
હવે,$\bar{b} = \overline{A} \times \bar{a}$ નો $\bar{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{a} \times (\overline{A} \times \bar{a})$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\bar{a} \times \bar{b} = (\bar{a} \cdot \bar{a})\overline{A} - (\bar{a} \cdot \overline{A})\bar{a}$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \overline{A} = 1$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{a}^2 \overline{A} - 1 \cdot \bar{a}$.
$\overline{A}$ ને કર્તા બનાવતા:
$\bar{a}^2 \overline{A} = (\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{a}$.
તેથી,$\overline{A} = \frac{(\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{a}}{\bar{a}^2}$.

(C) આપેલ છે કે $\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$ અને $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$.
પ્રથમ સમીકરણનું માન લેતા: $|\bar{a} \times \bar{c}| = |\bar{b}| \implies |\bar{a}| |\bar{c}| \sin \theta = |\bar{b}|$,જ્યાં $\theta$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બીજા સમીકરણનું માન લેતા: $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{a}| \implies |\bar{b}| |\bar{c}| \sin \phi = |\bar{a}|$,જ્યાં $\phi$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $|\bar{b}|$ ની કિંમત બીજામાં મૂકતા: $(|\bar{a}| |\bar{c}| \sin \theta) |\bar{c}| \sin \phi = |\bar{a}|$.
$\bar{a} \neq \bar{o}$ હોવાથી,આપણે $|\bar{a}|$ વડે ભાગી શકીએ: $|\bar{c}|^2 \sin \theta \sin \phi = 1$.
વળી,$\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$ પરથી,$\bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે. $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ પરથી,$\bar{a}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે.
આમ,$\theta = 90^\circ$ અને $\phi = 90^\circ$,તેથી $\sin \theta = 1$ અને $\sin \phi = 1$.
તેથી,$|\bar{c}|^2 = 1 \implies |\bar{c}| = 1$.
હવે,$|\bar{a}| |\bar{c}| = |\bar{b}|$ અને $|\bar{b}| |\bar{c}| = |\bar{a}|$.
કારણ કે $|\bar{c}| = 1$,આપણને $|\bar{a}| = |\bar{b}|$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ સદિશો $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $b=m \hat{i}+n \hat{j}+12 \hat{k}$ છે.
$a \times b = 0$ હોવાથી,સદિશો $a$ અને $b$ સમરેખ (સમાંતર) છે.
બે સમાંતર સદિશો $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $b = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ માટે,ઘટકો પ્રમાણસર હોય છે:
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{m} = \frac{3}{n} = \frac{-5}{12}$
$\frac{2}{m} = \frac{-5}{12}$ પરથી,$m = \frac{2 \times 12}{-5} = -\frac{24}{5}$ મળે.
$\frac{3}{n} = \frac{-5}{12}$ પરથી,$n = \frac{3 \times 12}{-5} = -\frac{36}{5}$ મળે.
તેથી,$(m, n) = \left(-\frac{24}{5}, -\frac{36}{5}\right)$.

(C) આપેલ છે કે $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0$ અને $a \times b = 0, b \times c = 0$.
$a \times b = 0$ હોવાથી,સદિશો $a$ અને $b$ એકબીજાને સમાંતર છે.
$b \times c = 0$ હોવાથી,સદિશો $b$ અને $c$ એકબીજાને સમાંતર છે.
સમાંતર સદિશોના સંક્રામક ગુણધર્મ મુજબ,જો $a$ એ $b$ ને સમાંતર હોય અને $b$ એ $c$ ને સમાંતર હોય,તો $a$ એ $c$ ને સમાંતર હોવું જ જોઈએ.
તેથી,બે સમાંતર સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,તેથી $a \times c = 0$.