Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(C) ધારો કે સદિશ $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તે $\vec{v} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b} = (2\lambda + \mu) \hat{i} + (\lambda + \mu) \hat{j} + (\lambda + \mu) \hat{k}$ સ્વરૂપમાં હશે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{c} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$ થાય.
$3(2\lambda + \mu) + 2(\lambda + \mu) + 6(\lambda + \mu) = 0$.
$14\lambda + 11\mu = 0$.
જો $\lambda = 11$ લઈએ,તો $\mu = -14$ મળે.
તેથી $\vec{v} = 8 \hat{i} - 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$ મળે.
એકમ સદિશ $\pm \frac{8 \hat{i} - 3 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{82}}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -4 \\ 6 & 5 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - (-20)) - \hat{j}(-6 - (-24)) + \hat{k}(15 - 6) = 18 \hat{i} - 18 \hat{j} + 9 \hat{k}$
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{18^2 + (-18)^2 + 9^2} = \sqrt{324 + 324 + 81} = \sqrt{729} = 27$
બંને સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ એકમ સદિશ $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{18 \hat{i} - 18 \hat{j} + 9 \hat{k}}{27} = \frac{2}{3} \hat{i} - \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k}$ છે.
$3$ એકમનું માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $\pm 3 \left( \frac{2}{3} \hat{i} - \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} \right) = \pm(2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 4 i - j + 3 k$ અને $\vec{b} = -2 i + j - 2 k$. $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = i(2-3) - j(-8+6) + k(4-2) = -i + 2j + 2k$.
$\vec{n}$ નું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{-i + 2j + 2k}{3}$ છે.
$9$ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $\pm 9 \hat{n} = \pm 9 \left( \frac{-i + 2j + 2k}{3} \right) = \pm 3(-i + 2j + 2k) = \pm (-3i + 6j + 6k)$ છે.
આમ,માંગેલ સદિશો $-3i + 6j + 6k$ અથવા $3i - 6j - 6k$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\bar{c} = (2 \bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}$.
$\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{|\bar{b}| |\bar{c}|}$.
પ્રથમ,$\bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{b} \cdot (2 \bar{a} \times \bar{b} - 3 \bar{b}) = 2 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) - 3 |\bar{b}|^2$ ગણો.
કારણ કે $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$ (કારણ કે ક્રોસ પ્રોડક્ટ બંને સદિશોને લંબ હોય છે),તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0 - 3(4)^2 = -48$.
આગળ,$|\bar{c}|^2 = |2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}|^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9|\bar{b}|^2 - 12 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9(16) - 0$ ગણો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$.
તેથી,$|\bar{c}|^2 = 4(12) + 144 = 48 + 144 = 192$,જેનો અર્થ છે કે $|\bar{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
હવે,$\cos \theta = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

(B) કારણ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,સદિશ $\bar{a}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\bar{a}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\bar{b} \times \bar{c}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\bar{a} = k(\bar{b} \times \bar{c})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
કારણ કે $\bar{a}$ એકમ સદિશ છે,$|\bar{a}| = 1$,તેથી $|k| |\bar{b} \times \bar{c}| = 1$.
માન $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$|k| \cdot \frac{1}{2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|k| = 2$,તેથી $k = \pm 2$.
આમ,$\bar{a} = \pm 2(\bar{b} \times \bar{c})$.

(B) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{d_1} = 2\bar{a} - \bar{b}$ અને $\vec{d_2} = 4\bar{a} - 5\bar{b}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકાર કરતા:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (2\bar{a} - \bar{b}) \times (4\bar{a} - 5\bar{b})$
$= 2\bar{a} \times 4\bar{a} - 2\bar{a} \times 5\bar{b} - \bar{b} \times 4\bar{a} + \bar{b} \times 5\bar{b}$
$\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$ હોવાથી,
$= -10(\bar{a} \times \bar{b}) - 4(\bar{b} \times \bar{a})$
$\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$ હોવાથી,
$= -10(\bar{a} \times \bar{b}) + 4(\bar{a} \times \bar{b}) = -6(\bar{a} \times \bar{b})$.
તેનું માન $|-6(\bar{a} \times \bar{b})| = 6 |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(45^{\circ})$ થાય.
$|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 1$,અને $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = 6 \times 1 \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
આમ,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ ચોરસ એકમ.

(A) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{d_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \alpha\hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & \alpha \end{vmatrix} = \hat{i}(-\alpha - 6) - \hat{j}(\alpha - 4) + \hat{k}(3 - (-2)) = -(\alpha + 6)\hat{i} - (\alpha - 4)\hat{j} + 5\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-(\alpha + 6))^2 + (-(\alpha - 4))^2 + 5^2} = \sqrt{(\alpha^2 + 12\alpha + 36) + (\alpha^2 - 8\alpha + 16) + 25} = \sqrt{2\alpha^2 + 4\alpha + 77}$.
ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{2\alpha^2 + 4\alpha + 77} = \frac{\sqrt{93}}{2}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2\alpha^2 + 4\alpha + 77 = 93 \implies 2\alpha^2 + 4\alpha - 16 = 0 \implies \alpha^2 + 2\alpha - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(\alpha + 4)(\alpha - 2) = 0$.
તેથી,$\alpha = -4$ અથવા $\alpha = 2$.

(C) કારણ કે $\bar{d}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\bar{d}$ એ $\bar{b} \times \bar{c}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\bar{b} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6+8) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(4-2) = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ ગણો.
ધારો કે $\bar{d} = k(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{d} = 18$,તેથી $(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot k(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) = 18$.
$k(4 - 3 + 8) = 18 \implies 9k = 18 \implies k = 2$.
આમ,$\bar{d} = 4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
હવે,$\bar{a} \times \bar{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12+8) - \hat{j}(8-16) + \hat{k}(-4-12) = 20 \hat{i} + 8 \hat{j} - 16 \hat{k}$ ગણો.
અંતે,$|\bar{a} \times \bar{d}|^2 = 20^2 + 8^2 + (-16)^2 = 400 + 64 + 256 = 720$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{p} \times \bar{b} = \bar{c} \times \bar{b}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\bar{p} \times \bar{b} - \bar{c} \times \bar{b} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $(\bar{p} - \bar{c}) \times \bar{b} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\bar{p} - \bar{c})$ એ $\bar{b}$ ને સમાંતર છે,તેથી કોઈ અદિશ $t$ માટે $\bar{p} - \bar{c} = t\bar{b}$ થાય.
આમ,$\bar{p} = \bar{c} + t\bar{b} = (3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + t(2\hat{i}-\hat{k}) = (3+2t)\hat{i} - \hat{j} + (1-t)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\bar{p} \cdot \bar{a} = 0$,જ્યાં $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j}$,તેથી $((3+2t)\hat{i} - \hat{j} + (1-t)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 0$.
$(3+2t)(1) + (-1)(1) + (1-t)(0) = 0$.
$3 + 2t - 1 = 0 \implies 2t + 2 = 0 \implies t = -1$.
$\bar{p}$ ના સમીકરણમાં $t = -1$ મૂકતા:
$\bar{p} = (3 + 2(-1))\hat{i} - \hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = (3-2)\hat{i} - \hat{j} + (1+1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$ છે.
જો $A$ ને ઉગમબિંદુ તરીકે લેવામાં આવે,તો $B$ અને $C$ ના નવા સ્થાન સદિશો $\vec{B'} = \vec{b} - \vec{a}$ અને $\vec{C'} = \vec{c} - \vec{a}$ થશે.
$\vec{B'} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = 0\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{C'} = (2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{B'} \times \vec{C'}$ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\vec{B'} \times \vec{C'} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$.
$= \hat{i}((-1)(3) - (2)(1)) - \hat{j}((0)(3) - (2)(1)) + \hat{k}((0)(1) - (-1)(1))$.
$= \hat{i}(-3 - 2) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 + 1)$.
$= -5\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.

(A) ચતુષ્ફલકના બે ફલક વચ્ચેનો ખૂણો એ તેમના લંબ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,ફલક $OAB$ માટે લંબ સદિશ $\vec{n_1}$ શોધો. $\vec{n_1} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(1-4) = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
ત્યારબાદ,ફલક $ABC$ માટે લંબ સદિશ $\vec{n_2}$ શોધો. $\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC}$.
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (-1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+2) - \hat{j}(1+4) + \hat{k}(-1-2) = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
ફલક વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 5 + 5 + 9 = 19$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$.
$\cos \theta = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(A) ધારો કે $\bar{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{c} = 3$,તેથી $x + y + z = 3$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y)\hat{i} - (z-x)\hat{j} + (y-x)\hat{k}$.
આને $\bar{b} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$z - y = 0 \implies z = y$
$-(z - x) = 1 \implies x - z = 1 \implies x = z + 1$
$y - x = -1$
$z = y$ અને $x = z + 1$ ને સમીકરણ $1$ માં મુકતા:
$(z + 1) + z + z = 3 \implies 3z + 1 = 3 \implies 3z = 2 \implies z = \frac{2}{3}$.
તેથી $y = \frac{2}{3}$ અને $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
આમ,$\bar{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\bar{c} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
આપણને $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $\bar{c}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા,$\bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = \bar{c} \cdot \bar{a}$.
કારણ કે $\bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$,તેથી $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ થવું જોઈએ.
$\bar{c} \cdot \bar{a} = (5)(1) + (-3)(1) + (2)(-1) = 5 - 3 - 2 = 0$.
શરત સંતોષાય છે,તેથી $\bar{b}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
લઘુત્તમ માન ધરાવતો સદિશ $\bar{b} = \frac{\bar{c} \times \bar{a}}{|\bar{c}|^2}$ દ્વારા મળે છે.
$\bar{c} \times \bar{a} = \hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$.
$|\bar{c}|^2 = 38$.
તેથી $\bar{b} = \frac{1}{38}(\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k})$.
$|\bar{b}| = \frac{\sqrt{114}}{38}$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ મેળ ખાતું નથી,તેથી જવાબ $D$ છે.

(D) $\bar{a}$ નો $\bar{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{a} \cdot \bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{10}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\bar{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ અને $\bar{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$.
$|\bar{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \implies \alpha + 8 = 10 \implies \alpha = 2$.
હવે,$\bar{b} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & \beta \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 2\beta) - \hat{j}(-6 - \beta) + \hat{k}(6 + 1) = (2 - 2\beta) \hat{i} + (6 + \beta) \hat{j} + 7 \hat{k}$.
આપેલ છે $\bar{b} \times \bar{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$2 - 2\beta = -6 \implies -2\beta = -8 \implies \beta = 4$.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 4 = 6$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$,તેથી $|\bar{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9$,એટલે કે $|\bar{a}| = 3$.
આપેલ છે કે $|\bar{c} - \bar{a}| = 2\sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$ મળે.
કારણ કે $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,ધારો કે $|\bar{c}| = x$. તેથી $x^2 + 9 - 2x = 8$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $x^2 - 2x + 1 = 0$ મળે,એટલે કે $(x-1)^2 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $|\bar{c}| = 1$.
હવે,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-2) - \hat{j}(1+2) + \hat{k}(-1-2) = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેથી,$|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$\bar{a} \times \bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
આપણે $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(60^{\circ})$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $(3\sqrt{2}) \times (1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.

(C) શિરોબિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 1, -1)$,અને $C(3, -1, 2)$ છે.
સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ મેળવીએ:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -6\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\overline{A} \times \overline{X} = \overline{B}$.
બંને બાજુ $\overline{A}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\overline{A} \times (\overline{A} \times \overline{X}) = \overline{A} \times \overline{B}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{A} \cdot \overline{X}) \overline{A} - (\overline{A} \cdot \overline{A}) \overline{X} = \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{A} \cdot \overline{X} = C$ અને $\overline{A} \cdot \overline{A} = |\overline{A}|^2$ કિંમત મૂકતા:
$C \overline{A} - |\overline{A}|^2 \overline{X} = \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{X}$ ને કર્તા બનાવતા:
$|\overline{A}|^2 \overline{X} = C \overline{A} - \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{X} = \frac{C \overline{A} - \overline{A} \times \overline{B}}{|\overline{A}|^2}$.

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|\bar{a} \times \bar{b}| = 15$.
નવા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ જેની પાસપાસેની બાજુઓ $(3 \bar{a} + 2 \bar{b})$ અને $(\bar{a} + 3 \bar{b})$ છે,તે તેમના સદિશ ગુણાકારના માન દ્વારા મળે છે:
$|(3 \bar{a} + 2 \bar{b}) \times (\bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 9(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 6(\bar{b} \times \bar{b})|$
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,તેથી:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})| = 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
$= 7 \times 15 = 105$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ છે કે,$\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overline{a} \times \overline{b}=\hat{j}-\hat{k}$.
વળી,$\overline{a} \cdot \overline{b}=1$.
ધારો કે $\overline{b}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y)\hat{i} - (z-x)\hat{j} + (y-x)\hat{k}$.
આને $\hat{j}-\hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$z-y=0 \implies z=y$ $(i)$
$-(z-x)=1 \implies x-z=1$ $(ii)$
$y-x=-1$ $(iii)$
ડોટ પ્રોડક્ટ પરથી,$\overline{a} \cdot \overline{b} = x+y+z=1$ $(iv)$.
$z=y$ અને $x=z+1$ ને $(iv)$ માં મૂકતા:
$(z+1) + z + z = 1 \implies 3z = 0 \implies z=0$.
આમ,$y=0$ અને $x=0+1=1$.
તેથી,$\overline{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ ...$(i)$.
આપેલ છે કે $|\overline{c} - \overline{a}| = 2 \sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{c} \cdot \overline{a}) = 8$ મળે.
અહીં $|\overline{a}| = 3$ હોવાથી $|\overline{a}|^2 = 9$.
શરત $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ નો ઉપયોગ કરતા,$|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ મળે.
આ સમીકરણ $|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0$ એટલે કે $(|\overline{c}| - 1)^2 = 0$ થાય,તેથી $|\overline{c}| = 1$ ...$(ii)$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(60^{\circ})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(3)(1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

(B) આપેલ છે: $\bar{a} = \hat{j} - \hat{k}$ અને $\bar{c} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
ધારો કે $\bar{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
$\bar{a} \times \bar{b} + \bar{c} = \vec{0}$ પરથી,$\bar{a} \times \bar{b} = -\bar{c} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\bar{a} \times \bar{b}$ ની ગણતરી કરતા:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (y + z)\hat{i} - z\hat{j} - x\hat{k}$.
સરખાવતા: $y + z = -1$,$-z = 1 \Rightarrow z = -1$,$-x = 1 \Rightarrow x = -1$.
$z = -1$ મુકતા,$y - 1 = -1 \Rightarrow y = 0$.
હવે,$\bar{a} \cdot \bar{b} = 3$ ચકાસતા:
$\bar{a} \cdot \bar{b} = y - z = 0 - (-1) = 1$.
અહીં $1 \neq 3$ હોવાથી,પ્રશ્નમાં આપેલી શરતો સુસંગત નથી.

(C) ધારો કે માંગેલ સદિશ $\vec{r}$ છે. કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ને લંબ છે,તેથી તે $\vec{a} \times \vec{b}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 6) - \hat{j}(2 + 3) + \hat{k}(-4 - 1) = -5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k} = -5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{|-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|} = \pm \frac{-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{5\sqrt{3}} = \mp \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
$6$ માન ધરાવતો માંગેલ સદિશ $\vec{r} = 6 \times \hat{n} = \pm \frac{6}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \pm 2\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સદિશ $2\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.

(B) $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(1-0) + \hat{k}(1-0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશો $\pm \frac{\overline{a} \times \overline{b}}{|\overline{a} \times \overline{b}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ દ્વારા મળે છે.
આમ,આવા કુલ બે એકમ સદિશો છે.

(D) આપેલ છે કે $\bar{u} \cdot \hat{n}=0$ અને $\bar{v} \cdot \hat{n}=0$.
આનો અર્થ એ છે કે એકમ સદિશ $\hat{n}$ એ $\bar{u}$ અને $\bar{v}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\hat{n}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\bar{u} \times \bar{v}$ ને સમાંતર છે.
આમ,$\hat{n} = \pm \frac{\bar{u} \times \bar{v}}{|\bar{u} \times \bar{v}|}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$\bar{u} \times \bar{v} = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{i}-\hat{j}) = \hat{i} \times \hat{i} - \hat{i} \times \hat{j} + \hat{j} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{j} = 0 - \hat{k} - \hat{k} - 0 = -2\hat{k}$.
તેનું માન $|\bar{u} \times \bar{v}| = |-2\hat{k}| = 2$ છે.
તેથી,$\hat{n} = \pm \frac{-2\hat{k}}{2} = \pm \hat{k}$.
હવે,$|\bar{w} \cdot \hat{n}|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|\bar{w} \cdot \hat{n}| = |(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) \cdot (\pm \hat{k})| = |\pm 3| = 3$.

(B) આપેલ છે: $|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=4$ અને $\bar{a} \cdot \bar{b}=2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2$.
$|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$.
આપેલ છે $\bar{c} = 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3\bar{b}$.
કારણ કે $(\bar{a} \times \bar{b}) \perp \bar{b}$,સદિશો $2(\bar{a} \times \bar{b})$ અને $-3\bar{b}$ પરસ્પર લંબ છે.
$|\bar{c}|^2 = |2(\bar{a} \times \bar{b})|^2 + |-3\bar{b}|^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9|\bar{b}|^2$.
$|\bar{c}|^2 = 4(12) + 9(16) = 48 + 144 = 192$.
$|\bar{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
હવે,$\bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{b} \cdot (2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3\bar{b}) = 2(\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b})) - 3(\bar{b} \cdot \bar{b})$.
કારણ કે $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = -3|\bar{b}|^2 = -3(16) = -48$.
ધારો કે $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\cos \theta = \frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{|\bar{b}| |\bar{c}|} = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a} \times \bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના માનની વ્યાખ્યા મુજબ,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(\frac{\pi}{4})$. ... $(i)$
પ્રથમ,$\bar{a} \times \bar{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
આપેલ છે કે $|\bar{c} - \bar{a}| = 2\sqrt{2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
કારણ કે $|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,તેથી:
$|\bar{c}|^2 + 3^2 - 2|\bar{c}| = 8$.
$|\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 9 = 8 \implies |\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 1 = 0$.
$(|\bar{c}| - 1)^2 = 0 \implies |\bar{c}| = 1$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = 3 \times 1 \times \sin(\frac{\pi}{4}) = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો અને તફાવત શોધો:
$\bar{a}+\bar{b} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+(3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = 4 \hat{i}-\hat{j}+6 \hat{k}$
$\bar{a}-\bar{b} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = -2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$
બંને સદિશો $(\bar{a}+\bar{b})$ અને $(\bar{a}-\bar{b})$ ને લંબ સદિશ તેમના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = (\bar{a}+\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 6 \\ -2 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$\vec{v} = \hat{i}(4 - 18) - \hat{j}(-16 + 12) + \hat{k}(12 - 2) = -14 \hat{i} + 4 \hat{j} + 10 \hat{k}$
આ સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{(-14)^2 + 4^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 16 + 100} = \sqrt{312}$ છે.
તેથી,જરૂરી એકમ સદિશ $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{-14 \hat{i}+4 \hat{j}+10 \hat{k}}{\sqrt{312}}$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ શોધો:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 7 \end{vmatrix} = \hat{i}(28 - (-4)) - \hat{j}(7 - 6) + \hat{k}(-2 - 12) = 32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k}$.
સદિશ $\overline{d}$ એ $\overline{a} \times \overline{b}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\overline{d} = k(32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k})$ લખી શકાય.
આપેલ છે કે $\overline{c} \cdot \overline{d} = 15$,જ્યાં $\overline{c} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$:
$(2 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot k(32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k}) = 15$
$k(64 + 1 - 56) = 15$
$9k = 15 \implies k = \frac{5}{3}$.
વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $(B)$ માટે $\overline{c} \cdot \overline{d} = (2)(90) + (-1)(-3) + (4)(-42) = 180 + 3 - 168 = 15$. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) બે સદિશો $\bar{u}$ અને $\bar{v}$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}| |\bar{v}| \sin(\theta)$
આપેલ છે:
$|\bar{u}| = 8$
$|\bar{v}| = 12$
$\theta = 150^{\circ}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 12 \times \sin(150^{\circ})$
કારણ કે $\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 12 \times \frac{1}{2}$
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 6 = 48$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\overline{b} \cdot \overline{c} = 10$.
$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$ હોવાથી,$(5) |\overline{c}| (\frac{1}{2}) = 10$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $|\overline{c}| = 4$.
આપણને આપેલ છે કે $\overline{a}$ એ $\overline{b} \times \overline{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\overline{a}$ અને $\overline{b} \times \overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}|$ થાય.
હવે,$|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = (5)(4)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 10\sqrt{3}$.
આમ,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = (\sqrt{3})(10\sqrt{3}) = 10 \times 3 = 30$.

(B) આપેલ છે: $|\overline{a}|=3$,$|\overline{b}|=5$,$\overline{b} \cdot \overline{c}=10$,અને $\overline{b}$ તથા $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$.
પ્રથમ,$|\overline{c}|$ શોધો: $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$.
$5 \times |\overline{c}| \times \frac{1}{2} = 10 \implies |\overline{c}| = 4$.
હવે,$|\overline{b} \times \overline{c}|$ શોધો: $|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.
કારણ કે $\overline{a}$ એ $\overline{b} \times \overline{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\overline{a}$ અને $(\overline{b} \times \overline{c})$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ થાય.
તેથી,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = 3 \times 10\sqrt{3} \times 1 = 30\sqrt{3}$.

(D) આપેલ છે કે,$\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{a}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overline{b} \times (\overline{c} - \overline{a}) = \overline{0}$.
તેથી,$\overline{c} - \overline{a} = \lambda \overline{b}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે,એટલે કે $\overline{c} = \overline{a} + \lambda \overline{b}$.
આપેલ છે કે $\overline{c} \cdot \overline{a} = 0$,તેથી $(\overline{a} + \lambda \overline{b}) \cdot \overline{a} = 0$.
આનાથી આપણને $|\overline{a}|^2 + \lambda (\overline{b} \cdot \overline{a}) = 0$ મળે છે.
કિંમતો ગણતા: $|\overline{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 6$ અને $\overline{b} \cdot \overline{a} = (1)(1) + (1)(2) + (-1)(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6 + 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\overline{c} = \overline{a} - \frac{3}{2} \overline{b}$.
તેથી $\overline{c} \cdot \overline{b} = (\overline{a} - \frac{3}{2} \overline{b}) \cdot \overline{b} = \overline{a} \cdot \overline{b} - \frac{3}{2} |\overline{b}|^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{a} \cdot \overline{b} = 4$ અને $|\overline{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3$.
તેથી,$\overline{c} \cdot \overline{b} = 4 - \frac{3}{2}(3) = 4 - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\overline{c}|^2+|\overline{a}|^2-2(\overline{a} \cdot \overline{c})=8$ મળે.
અહીં $|\overline{a}| = \sqrt{2^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ અને $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$ હોવાથી,$|\overline{c}|^2+9-2|\overline{c}|=8$ થાય.
આ સમીકરણ $|\overline{c}|^2-2|\overline{c}|+1=0$ એટલે કે $(|\overline{c}|-1)^2=0$ માં પરિણમે છે,તેથી $|\overline{c}|=1$.
હવે,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ મળે.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{9} = 3$ છે.
છેલ્લે,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 3 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}$,અને $|\vec{c}-\vec{a}|=3$.
પ્રથમ,$\vec{p} = \vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{p} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{p}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$.
આપેલ છે કે $|\vec{p} \times \vec{c}| = 3$ અને $\vec{p}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ છે,તેથી:
$|\vec{p}||\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = 3$
$3 \cdot |\vec{c}| \cdot \frac{1}{2} = 3 \implies |\vec{c}| = 2$.
હવે,શરત $|\vec{c}-\vec{a}|=3$ નો ઉપયોગ કરીએ:
$|\vec{c}-\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$
$|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 9$.
કિંમતો મૂકતા: $4 + 9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$
$13 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 9$
$2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2$.

(C) બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta$
આપેલ આકૃતિ પરથી,આપણી પાસે છે:
$|\vec{u}| = 4$
$|\vec{v}| = 5$
$\theta = 150^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = 4 \times 5 \times \sin 150^{\circ}$
કારણ કે $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી આપણને મળે છે:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = 20 \times \frac{1}{2} = 10$

(D) આપેલ છે: $\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c}=\vec{0} \quad \dots(1)$
બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \times \vec{b} + 2(\vec{b} \times \vec{b}) + 3(\vec{c} \times \vec{b}) = \vec{0} \times \vec{b}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} + 0 - 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) + 3(\vec{c} \times \vec{c}) = \vec{0} \times \vec{c}$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) + 0 = \vec{0}$
$\Rightarrow \vec{c} \times \vec{a} = 2(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(3)$
હવે,$(\vec{a} \times \vec{b})+(\vec{b} \times \vec{c})+(\vec{c} \times \vec{a})$ પદમાં $(2)$ અને $(3)$ ની કિંમત મૂકતા:
$= 3(\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + 2(\vec{b} \times \vec{c})$
$= (3+1+2)(\vec{b} \times \vec{c}) = 6(\vec{b} \times \vec{c})$
આને $\lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 6$ મળે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A = (1, y, 0)$,$B = (1, 0, 2)$ અને $C = (0, 3, 1)$ છે.
$\overrightarrow{AB} = (1-1)\hat{i} + (0-y)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -y\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = (0-1)\hat{i} + (3-y)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = -\hat{i} + (3-y)\hat{j} + \hat{k}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -y & 2 \\ -1 & 3-y & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-y - 2(3-y)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(0 - y) = \hat{i}(y-6) - 2\hat{j} - y\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(y-6)^2 + (-2)^2 + (-y)^2} = \sqrt{y^2 - 12y + 36 + 4 + y^2} = \sqrt{2y^2 - 12y + 40}$.
તેથી $\frac{1}{2} \sqrt{2y^2 - 12y + 40} = \sqrt{6}$,એટલે કે $\sqrt{2y^2 - 12y + 40} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2y^2 - 12y + 40 = 24 \Rightarrow 2y^2 - 12y + 16 = 0 \Rightarrow y^2 - 6y + 8 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(y-2)(y-4) = 0$,તેથી $y = 2, 4$.

(D) પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}| = 15$ છે.
હવે,$3 \vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{a} + 3 \vec{b}$ બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|(3 \vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 3 \vec{b})|$ થાય.
સદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$|(3 \vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + 3 \vec{b})| = |3 \vec{a} \times \vec{a} + 9 \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} + 3 \vec{b} \times \vec{b}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$,$\vec{b} \times \vec{b} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,તેથી:
$|0 + 9(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 0| = |8(\vec{a} \times \vec{b})| = 8 |\vec{a} \times \vec{b}|$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}| = 15$ મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 15 = 120$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$(i)$ $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$
(ii) $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$
(ii) પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$,તેથી $\vec{r} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$.
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(\vec{r} \times \vec{a}) + (\vec{r} \times \vec{b}) = (\vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{b} \times \vec{a}) = \vec{0}$
$\vec{r} \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{0}$
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{r}$ એ $(\vec{a} + \vec{b})$ ને સમાંતર છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{k}$,તેથી $\vec{a} + \vec{b} = (1+2)\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
આમ,$\vec{r} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
છેદબિંદુ માટે,આપણે વિકલ્પો ચકાસીએ છીએ. $\lambda = 1$ માટે,$\vec{r} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,જે બિંદુ $(3, 1, -1)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ હોવાથી,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$,જે સૂચવે છે કે સદિશો સમરેખ છે.
આપણે સદિશ ગુણાકારને નિશ્ચાયક તરીકે લખી શકીએ:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 6 & 27 \\ 1 & \lambda & \mu \end{vmatrix} = \vec{0}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\hat{i}(6\mu - 27\lambda) - \hat{j}(2\mu - 27) + \hat{k}(2\lambda - 6) = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
$\hat{i}, \hat{j}, \text{ અને } \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$6\mu - 27\lambda = 0 \quad \dots(1)$
$2\mu - 27 = 0 \quad \dots(2)$
$2\lambda - 6 = 0 \quad \dots(3)$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$2\lambda = 6 \implies \lambda = 3$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$2\mu = 27 \implies \mu = \frac{27}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $6(\frac{27}{2}) - 27(3) = 3(27) - 81 = 81 - 81 = 0$. આ કિંમતો સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,$\lambda = 3$ અને $\mu = \frac{27}{2}$.

(D) પાસપાસેની બાજુઓ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}| = 20$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $(3 \bar{a} + \bar{b})$ અને $(2 \bar{a} + 3 \bar{b})$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
ક્ષેત્રફળ આ બે સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના માન દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|(3 \bar{a} + \bar{b}) \times (2 \bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3 \bar{a} \times 2 \bar{a} + 3 \bar{a} \times 3 \bar{b} + \bar{b} \times 2 \bar{a} + \bar{b} \times 3 \bar{b}|$
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,તેથી:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})| = 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
આપેલ કિંમત $|\bar{a} \times \bar{b}| = 20$ મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 7 \times 20 = 140$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સદિશો $\overline{a} = 3 \hat{i} - 5 \hat{j}$ અને $\overline{b} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j}$ છે.
સદિશ $\overline{c}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\overline{c} = \overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -5 & 0 \\ 6 & -3 & 0 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$\overline{c} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(-9 - (-30)) = \hat{k}(-9 + 30) = 39 \hat{k}$.
હવે,સદિશોના માન શોધીએ:
$a = |\overline{a}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$b = |\overline{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
$c = |\overline{c}| = |39 \hat{k}| = 39$.
તેથી,$a: b: c = \sqrt{34}: \sqrt{45}: 39$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ જેની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AD}$ દ્વારા દર્શાવેલ હોય,તે $|\vec{AB} \times \vec{AD}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ: $A(1, 2, 3)$,$B(1, 3, a)$,$C(3, 8, 6)$,$D(3, 7, 3)$.
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (a-3)\hat{k} = \hat{j} + (a-3)\hat{k}$
$\vec{AD} = (3-1)\hat{i} + (7-2)\hat{j} + (3-3)\hat{k} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & a-3 \\ 2 & 5 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 5(a-3)) - \hat{j}(0 - 2(a-3)) + \hat{k}(0 - 2)$
$= -5(a-3)\hat{i} + 2(a-3)\hat{j} - 2\hat{k} = (15-5a)\hat{i} + (2a-6)\hat{j} - 2\hat{k}$
ક્ષેત્રફળ $|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{(15-5a)^2 + (2a-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{265}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(15-5a)^2 + (2a-6)^2 + 4 = 265$
$(225 - 150a + 25a^2) + (4a^2 - 24a + 36) + 4 = 265$
$29a^2 - 174a + 265 = 265$
$29a^2 - 174a = 0$
$29a(a - 6) = 0$
આમ,$a = 0$ અથવા $a = 6$.

(B) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ છે.
અહીં $\vec{d_1} = 3 \hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ અને $\vec{d_2} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3 + 6) - \hat{j}(-9 - 2) + \hat{k}(9 - 1) = 9 \hat{i} + 11 \hat{j} + 8 \hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{9^2 + 11^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 121 + 64} = \sqrt{266}$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{266}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 0)$,$B(1, 0, a)$ અને $C(0, 3, 1)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{BA} \times \vec{BC}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ શોધીએ:
$\vec{BA} = (1-1)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (0-a)\hat{k} = 2\hat{j} - a\hat{k}$
$\vec{BC} = (0-1)\hat{i} + (3-0)\hat{j} + (1-a)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + (1-a)\hat{k}$
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{BA} \times \vec{BC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{BA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & -a \\ -1 & 3 & 1-a \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(2(1-a) - (-a)(3)) - \hat{j}(0(1-a) - (-a)(-1)) + \hat{k}(0(3) - 2(-1))$
$= \hat{i}(2 - 2a + 3a) - \hat{j}(-a) + \hat{k}(2) = (a+2)\hat{i} + a\hat{j} + 2\hat{k}$
તેનું માન $|\vec{BA} \times \vec{BC}| = \sqrt{(a+2)^2 + a^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 4a + 4 + a^2 + 4} = \sqrt{2a^2 + 4a + 8}$ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $\sqrt{6}$ છે,તેથી:
$\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 4a + 8} = \sqrt{6}$
$\sqrt{2a^2 + 4a + 8} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$
$2a^2 + 4a + 8 = 24$
$2a^2 + 4a - 16 = 0$
$a^2 + 2a - 8 = 0$
$(a+4)(a-2) = 0$
આમ,$a = -4$ અથવા $a = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$. આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,તેથી:
$(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 1 \Rightarrow x + y + z = 1$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,તેથી:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$.
$(z - y)\hat{i} - (z - x)\hat{j} + (y - x)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$z - y = 0 \Rightarrow z = y$.
$x - z = 1 \Rightarrow z = x - 1$.
$y - x = -1 \Rightarrow y = x - 1$.
$x + y + z = 1$ માં $y = x - 1$ અને $z = x - 1$ મૂકતા:
$x + (x - 1) + (x - 1) = 1
\Rightarrow 3x - 2 = 1
\Rightarrow 3x = 3
\Rightarrow x = 1$.
આમ,$y = 1 - 1 = 0$ અને $z = 1 - 1 = 0$.
તેથી,$\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$.

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(3,2,-1), B(-2,2,-3)$ અને $D(-2,5,-4)$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો $\vec{AB} = (-2-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = -5\hat{i} - 2\hat{k}$ અને $\vec{AD} = (-2-3)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-4-(-1))\hat{k} = -5\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ પાસપાસેની બાજુઓના સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના માન જેટલું હોય છે: $\text{Area} = |\vec{AB} \times \vec{AD}|$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી:
$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(15 - 10) + \hat{k}(-15 - 0) = 6\hat{i} - 5\hat{j} - 15\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{(6)^2 + (-5)^2 + (-15)^2} = \sqrt{36 + 25 + 225} = \sqrt{286}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{b}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12 - (-2)) - \hat{j}(-8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = -10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}$
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{c}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-1)) - \hat{j}(-4 - (-1)) + \hat{k}(2 - 3) = -5\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$
અંતે,મળેલા બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર કરો:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = (-10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$= (-10)(-5) + (9)(3) + (7)(-1) = 50 + 27 - 7 = 70$

(A) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{b}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ છે.
વળી,$|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$.
આપેલ છે કે $|\bar{c}-\bar{a}| = 2\sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{c} \cdot \bar{a}) = 8$ મળે.
$|\bar{a}|^2 = 9$ અને $\bar{c} \cdot \bar{a} = |\bar{c}|$ મૂકતા,$|\bar{c}|^2 + 9 - 2|\bar{c}| = 8$ મળે.
આ સમીકરણ $|\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 1 = 0$ એટલે કે $(|\bar{c}| - 1)^2 = 0$ થાય,તેથી $|\bar{c}| = 1$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(60^{\circ})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(3)(1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.