Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(D) બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{k}) = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ એ છેદતી રેખાને સમાંતર હોવાથી,$\vec{a} = \lambda(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2)$.
$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
તેથી,$\vec{a} = \lambda(-2\hat{j} + 2\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$,જ્યાં $\vec{b} = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$.
$\lambda(-2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) = \lambda(0 + 4 + 2) = 6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$.
આમ,$\vec{a} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{6}{2\sqrt{2} \times 3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = \frac{\pi}{4}$.
નિત્યસમ $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (8)(9) - 6^2 = 72 - 36 = 36$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}| = 6$.
ક્રમયુક્ત જોડ $(\frac{\pi}{4}, 6)$ છે.

(C) આપેલ છે $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
$|\vec{a}|^2 = 3^2 + 1^2 + (-1)^2 = 11$,તેથી $|\vec{a}| = \sqrt{11}$.
$|\vec{c}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 3^2 = 22$,તેથી $|\vec{c}| = \sqrt{22}$.
$\vec{a} = \vec{b} \times \vec{c}$ હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
વળી,$|\vec{a}| = |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}||\vec{c}| \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\sqrt{11} = \sqrt{50} \cdot \sqrt{22} \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{10}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{\sqrt{99}}{10}$.
હવે,$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$.
$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = 50 + 22 + 2(\sqrt{50})(\sqrt{22}) \left(\frac{\sqrt{99}}{10}\right) = 72 + 66 = 138$.
અંતે,$|72 - |\vec{b} + \vec{c}|^2| = |72 - 138| = 66$.

(D) આપેલ છે: $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ અને ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$.
આપણે $|(\vec{a}+2 \vec{b}) \times(2 \vec{a}-3 \vec{b})|^2$ ની કિંમત મેળવવાની છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\vec{a}+2 \vec{b}) \times(2 \vec{a}-3 \vec{b}) = \vec{a} \times (2 \vec{a}) - \vec{a} \times (3 \vec{b}) + (2 \vec{b}) \times (2 \vec{a}) - (2 \vec{b}) \times (3 \vec{b})$.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,તેથી આ પદ નીચે મુજબ સાદું રૂપ ધારણ કરશે:
$0 - 3(\vec{a} \times \vec{b}) + 4(\vec{b} \times \vec{a}) - 0$.
ગુણધર્મ $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-3(\vec{a} \times \vec{b}) - 4(\vec{a} \times \vec{b}) = -7(\vec{a} \times \vec{b})$.
હવે,માનનો વર્ગ શોધતા:
$|-7(\vec{a} \times \vec{b})|^2 = 49 |\vec{a} \times \vec{b}|^2$.
કારણ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 2 \times 3 \times \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$.
અંતે,$49 \times 18 = 882$.

(D) સદિશો $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{b}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $S$ નું ક્ષેત્રફળ $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle OAB$ અને $\triangle OBC$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times (12 \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |0 + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = 2 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
$\triangle OBC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{OC} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{b} \times (12 \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + 4(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + 0| = 6 |\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}| = 6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
ચતુષ્કોણ $OABC$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| + 6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 8 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
ચતુષ્કોણ $OABC$ ના ક્ષેત્રફળ અને $S$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{8 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|} = 8$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=1$,$|\vec{b}|=4$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=2$.
આપણને $\vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})-3 \vec{b}$ આપેલ છે.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,$\vec{b} \cdot \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}) = 2(\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 3(\vec{b} \cdot \vec{b})$.
કારણ કે $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ (કારણ કે ક્રોસ પ્રોડક્ટ બંને સદિશોને લંબ હોય છે),તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 - 3|\vec{b}|^2 = -3(4^2) = -3(16) = -48$.
હવે,$|\vec{c}|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|\vec{c}|^2 = |2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}$.
કારણ કે $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2$.
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$.
તેથી,$|\vec{c}|^2 = 4(12) + 9(16) = 48 + 144 = 192$.
તેથી,$|\vec{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
છેલ્લે,$\cos \theta = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

(B) વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1}$ અને $\overrightarrow{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\overrightarrow{d_1} = \overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-3-2)\hat{i} + (4-3)\hat{j} + (-2-5)\hat{k} = -5\hat{i} + \hat{j} - 7\hat{k}$.
બીજો વિકર્ણ $\overrightarrow{d_2} = \overrightarrow{BD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ શોધો:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 1 & -7 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-14)) - \hat{j}(-15 - (-7)) + \hat{k}(-10 - 1) = 17\hat{i} + 8\hat{j} - 11\hat{k}$.
તેનું માન $|17\hat{i} + 8\hat{j} - 11\hat{k}| = \sqrt{17^2 + 8^2 + (-11)^2} = \sqrt{289 + 64 + 121} = \sqrt{474}$ છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{474}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{b}|=1$ અને $|\vec{b} \times \vec{a}|=2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{a}$ બંનેને લંબ સદિશ છે.
તેથી,$(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$.
આપણે $|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ગુણધર્મ $|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = |\vec{b} \times \vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2((\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b})$.
કારણ કે $(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$,તેથી પદ આ મુજબ સરળ બને છે:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = |\vec{b} \times \vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = (2)^2 + (1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(A) આપેલ છે કે $L_1$ એ $L_2$ ને લંબ છે. દિશા સદિશો $\vec{v_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + p\hat{k}$ છે.
$L_1 \perp L_2$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(1)(3) + (-1)(1) + (2)(p) = 0$.
$3 - 1 + 2p = 0 \implies 2p = -2 \implies p = -1$.
રેખા $L_3$ એ $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ છે,તેથી તેનો દિશા સદિશ $\vec{v_3}$ એ $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 2) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$.
આમ,$L_3$ નું સમીકરણ $\overrightarrow{r} = \delta(-\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k})$ છે.
$L_3$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(-\delta, 7\delta, 4\delta)$ સ્વરૂપનું હોય.
$\delta = 1$ માટે,બિંદુ $(-1, 7, 4)$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{c} = 2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}$.
$\vec{b}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}) = 2(\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 3|\vec{b}|^2$.
કારણ કે $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = -3|\vec{b}|^2 = -3(4)^2 = -48$.
વળી,$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \alpha = 4|\vec{c}| \cos \alpha$.
તેથી,$4|\vec{c}| \cos \alpha = -48 \Rightarrow |\vec{c}| \cos \alpha = -12$.
હવે,$|\vec{c}|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|\vec{c}|^2 = |2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}$.
કારણ કે $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9(16) = 4|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin^2 \theta + 144$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 1 \cdot 4 \cdot \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = 1/2 \Rightarrow \sin^2 \theta = 3/4$.
$|\vec{c}|^2 = 4(1)(16)(3/4) + 144 = 48 + 144 = 192$.
આપણને મળે છે $|\vec{c}|^2 \cos^2 \alpha = (-12)^2 = 144$.
$192 \cos^2 \alpha = 144 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 144/192 = 3/4$.
તેથી $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - 3/4 = 1/4$.
આમ,$192 \sin^2 \alpha = 192 \times (1/4) = 48$.

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$.
પ્રથમ,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = 5 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \hat{i}-7 \hat{j}-7 \hat{k}$ મેળવો.
સમીકરણ $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 24 \hat{j}-6 \hat{k}$ આ મુજબ બનશે:
$(5 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}) \times \overrightarrow{c} = 2(7 \hat{i}-7 \hat{j}-7 \hat{k}) + 24 \hat{j}-6 \hat{k} = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
ધારો કે $\overrightarrow{c} = x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$. તો $\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 1 & 4 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
આનાથી આપણને મળે: $\hat{i}(z-4y) - \hat{j}(5z-4x) + \hat{k}(5y-x) = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
ઘટકોને સરખાવતા: $z-4y=14$,$4x-5z=10$,$5y-x=-20$.
વળી,$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i}) \cdot \overrightarrow{c} = -3$. કારણ કે $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$,તેથી $2x+3y-2z=-3$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x=5, y=-3, z=2$ મળે છે.
તેથી,$|\overrightarrow{c}|^2 = 5^2 + (-3)^2 + 2^2 = 25+9+4 = 38$.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = 15 \sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -7 \\ 6 & d & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 7d) - \hat{j}(-2 + 42) + \hat{k}(d - 12) = (7d - 4)\hat{i} - 40\hat{j} + (d - 12)\hat{k}$.
હવે,તેનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|^2 = (7d - 4)^2 + (-40)^2 + (d - 12)^2 = (2 \times 15 \sqrt{2})^2 = 900 \times 2 = 1800$.
$(49d^2 - 56d + 16) + 1600 + (d^2 - 24d + 144) = 1800$.
$50d^2 - 80d + 1760 = 1800 \implies 50d^2 - 80d - 40 = 0 \implies 5d^2 - 8d - 4 = 0$.
$d$ માટે ઉકેલતા:
$5d^2 - 10d + 2d - 4 = 0 \implies 5d(d - 2) + 2(d - 2) = 0 \implies (5d + 2)(d - 2) = 0$.
$d > 0$ હોવાથી,$d = 2$ મળે.
સદિશ ત્રિકોણના નિયમ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (6-1)\hat{i} + (d-2)\hat{j} + (-2 - (-7))\hat{k} = 5\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$.
હવે,બાજુઓની લંબાઈના વર્ગની ગણતરી કરો:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-7)^2 = 1 + 4 + 49 = 54$.
$|\overrightarrow{BC}|^2 = 5^2 + 0^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
$|\overrightarrow{AC}|^2 = 6^2 + 2^2 + (-2)^2 = 36 + 4 + 4 = 44$.
સૌથી મોટી બાજુ $\sqrt{54}$ છે,અને તેનો વર્ગ $54$ છે.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{BD}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AC} = (3-1)\hat{i} + (4-(-1))\hat{j} + (-10-2)\hat{k} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 12\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = (-1-5)\hat{i} + (-4-7)\hat{j} + (-2-(-6))\hat{k} = -6\hat{i} - 11\hat{j} + 4\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 5 & -12 \\ -6 & -11 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(20 - 132) - \hat{j}(8 - 72) + \hat{k}(-22 + 30) = -112\hat{i} + 64\hat{j} + 8\hat{k}$.
તેનું માન $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-112)^2 + 64^2 + 8^2} = \sqrt{12544 + 4096 + 64} = \sqrt{16704} = 24\sqrt{29}$ થાય.
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 24\sqrt{29} = 12\sqrt{29}$ મળે.

(A) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિકર્ણો $\vec{AC}$ અને $\vec{BD}$ છે.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (2-3)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = \left(\frac{10}{3} - \frac{5}{3}\right)\hat{i} + \left(\frac{2}{3} - \frac{7}{3}\right)\hat{j} + \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\right)\hat{k} = \frac{5}{3}\hat{i} - \frac{5}{3}\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AC} \times \vec{BD}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{AC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ \frac{5}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{2}{3} \end{vmatrix} = \hat{i}\left(-\frac{2}{3} - \left(-\frac{10}{3}\right)\right) - \hat{j}\left(\frac{2}{3} - \frac{10}{3}\right) + \hat{k}\left(\frac{5}{3} - \frac{5}{3}\right) = \frac{8}{3}\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 0\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AC} \times \vec{BD}| = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{128}{9}} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{BD}| = \frac{1}{2} \times \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} = 6\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 6^2 + 1^2 + (-1)^2 = 36 + 1 + 1 = 38$.
આપેલ છે કે $|\vec{c} - \vec{a}| = 2\sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 8$ મળે.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 6|\vec{c}|$ અને $|\vec{a}|^2 = 38$ મૂકતા,$|\vec{c}|^2 + 38 - 2(6|\vec{c}|) = 8$ મળે.
$|\vec{c}|^2 - 12|\vec{c}| + 30 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $|\vec{c}|$ શોધતા: $|\vec{c}| = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2} = 6 \pm \sqrt{6}$.
કારણ કે $|\vec{c}| \geq 6$,આપણે $|\vec{c}| = 6 + \sqrt{6}$ લઈશું.
હવે,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(60^{\circ})$ છે.
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = (3\sqrt{3}) (6 + \sqrt{6}) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2}(6 + \sqrt{6})$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{v} = \vec{a} \times (\hat{i} + \hat{j})$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-1)) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(2 - 1) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
ત્યારબાદ,$\vec{w} = \vec{v} \times \hat{i} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i} = \hat{i} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i} = 0 - (-\hat{k}) + \hat{j} = \hat{j} + \hat{k}$.
પછી,$\vec{b} = \vec{w} \times \hat{i} = (\hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i} = -\hat{k} + \hat{j} = \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $p = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{j} - \hat{k}) = 0 + 1 + 1 = 2$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
તેથી,$p = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
પ્રક્ષેપનો વર્ગ $p^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ થાય.

(D) પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{OC}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}| = |2 \overrightarrow{a} \times 3 \overrightarrow{b}| = 15$.
$6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 15 \implies |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \dots (1)$.
વિકર્ણો $\overrightarrow{OB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ ધરાવતા ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = 3 \overrightarrow{b} - 2 \overrightarrow{a}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(6 \overrightarrow{a} + 5 \overrightarrow{b}) \times (3 \overrightarrow{b} - 2 \overrightarrow{a})|$.
$= \frac{1}{2} |18 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - 12 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) + 15 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) - 10 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})|$.
કારણ કે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |18 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 10 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |28 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = 14 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી કિંમત મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 14 \times \frac{5}{2} = 35$ ચોરસ એકમ.

(D) વિકર્ણો $\vec{d}_1$ અને $\vec{d}_2$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિકર્ણો $\vec{d}_1 = \vec{a}+\vec{b} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{d}_2 = \vec{b}+\vec{c} = -\hat{i} + \beta\hat{j}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & \alpha & 2 \\ -1 & \beta & 0 \end{vmatrix} = -2\beta\hat{i} - 2\hat{j} + (\alpha+\beta)\hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{4\beta^2 + 4 + (\alpha+\beta)^2} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4\beta^2 + 4 + \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta = 21$.
$\alpha\beta = -6$ આપેલ હોવાથી: $\alpha^2 + 5\beta^2 + 2(-6) + 4 = 21 \implies \alpha^2 + 5\beta^2 = 29$.
પૂર્ણાંક ઉકેલો માટે: જો $\beta=2, \alpha=-3$ તો $9 + 20 = 29$ અને જો $\beta=-2, \alpha=3$ તો $9 + 20 = 29$.
તેથી $(\alpha_1, \beta_1) = (-3, 2)$ અને $(\alpha_2, \beta_2) = (3, -2)$ લેતા.
$\alpha_1^2 + \beta_1^2 - \alpha_2\beta_2 = 9 + 4 - (3)(-2) = 9 + 4 + 6 = 19$.

(C) નિયમિત ષટ્કોણ $PQRSTU$ માં,બાજુઓ સદિશો છે. ધારો કે $\vec{a} = \overline{PQ}$. નિયમિત ષટ્કોણમાં,$\overline{PQ}$ અને $\overline{RS}$ સમાંતર નથી,તેથી $\overline{PQ} \times \overline{RS} \neq \overrightarrow{0}$.
આમ,$\text{વિધાન}-2$ અસત્ય છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \overrightarrow{0}$.
$\text{વિધાન}-1$ માટે,$\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) = \overline{PQ} \times \overline{RS} + \overline{PQ} \times \overline{ST}$. કારણ કે $\overline{PQ}$ એ પરિણામી સદિશ $\overline{RS} + \overline{ST}$ ને સમાંતર નથી,તેથી તેમનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્યતર છે. તેથી,$\text{વિધાન}-1$ સત્ય છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ એકમ સદિશો છે જેથી $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ થાય.
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ હોવાથી,$\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ મળે.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c})$.
આથી $\vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{a} \times \vec{c}$,જેનું સાદું રૂપ $\vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$ થાય.
તેથી,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તે જ રીતે,બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\vec{b} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{b} \times (-\vec{c})$.
આથી $\vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{c}$,જેનું સાદું રૂપ $\vec{b} \times \vec{a} = \vec{c} \times \vec{b}$ અથવા $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$ થાય.
આમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ મળે.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવતા એકમ સદિશો હોવાથી,ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્યતર છે. તેથી,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \neq \vec{0}$.

(D) આપેલ છે કે $\hat{u} \times \vec{w} = \hat{v}$. $\hat{u}$ અને $\vec{w}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\hat{u} \times \vec{w}| = |\hat{u}| |\vec{w}| \sin \theta = \sin \theta$. વળી,$|\hat{v}| = \frac{1}{\sqrt{6}} \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = 1$. તેથી,$\sin \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.
$\hat{u} \times \vec{w} = \hat{v}$ હોવાથી,$\hat{v}$ એ $\hat{u}$ અને $\vec{w}$ બંનેને લંબ છે.
ચોક્કસ $\hat{u}$ માટે,અસંખ્ય સદિશો $\vec{w}$ એવા મળે જે $\hat{u}$ ને લંબ હોય અને તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\hat{v}$ થાય. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$\hat{v} \cdot \hat{u} = 0$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{6}}(u_1 + u_2 + 2u_3) = 0$,એટલે કે $u_1 + u_2 + 2u_3 = 0$.
જો $\hat{u}$ એ $xy$-સમતલમાં હોય,તો $u_3 = 0$,તેથી $u_1 + u_2 = 0$,એટલે કે $|u_1| = |u_2|$. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
જો $\hat{u}$ એ $xz$-સમતલમાં હોય,તો $u_2 = 0$,તેથી $u_1 + 2u_3 = 0$,એટલે કે $|u_1| = 2|u_3|$. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે તેમાં $2|u_1| = |u_3|$ આપેલ છે.

(D) $(1)$ $\overline{OX}$ અને $\overline{OY}$ એ $QR$ અને $RP$ ની દિશામાં એકમ સદિશો હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\pi - R$ છે.
તેથી,$|\overline{OX} \times \overline{OY}| = |\overline{OX}| |\overline{OY}| \sin(\pi - R) = 1 \cdot 1 \cdot \sin R = \sin R$.
$P+Q+R = \pi$ હોવાથી,$\sin R = \sin(\pi - (P+Q)) = \sin(P+Q)$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$(2)$ આપણે $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવાની છે.
$P+Q+R = \pi$ હોવાથી,આ $\cos(\pi-R) + \cos(\pi-P) + \cos(\pi-Q) = -(\cos P + \cos Q + \cos R)$ ને સમાન છે.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,$\cos P + \cos Q + \cos R \leq \frac{3}{2}$.
તેથી,$-(\cos P + \cos Q + \cos R) \geq -\frac{3}{2}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{3}{2}$ છે,જે સમબાજુ ત્રિકોણ માટે મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
બંનેને જોડતા,સાચો વિકલ્પ $A, B$ છે.

(C) સમઘનના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0), P(1,0,0), Q(0,1,0), R(0,0,1)$ અને $T(1,1,1)$ છે. કેન્દ્ર $S$ એ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ છે.
સદિશોની ગણતરી:
$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{SP} = (1-\frac{1}{2})\hat{i} + (0-\frac{1}{2})\hat{j} + (0-\frac{1}{2})\hat{k} = \frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$
$\overrightarrow{q} = \overrightarrow{SQ} = (0-\frac{1}{2})\hat{i} + (1-\frac{1}{2})\hat{j} + (0-\frac{1}{2})\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{SR} = (0-\frac{1}{2})\hat{i} + (0-\frac{1}{2})\hat{j} + (1-\frac{1}{2})\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$
$\overrightarrow{t} = \overrightarrow{ST} = (1-\frac{1}{2})\hat{i} + (1-\frac{1}{2})\hat{j} + (1-\frac{1}{2})\hat{k} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી:
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 & -1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$
હવે,$|(\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}) \times (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t})| = |(\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}) \times (-\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j})| = |\frac{1}{4}(\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{j})| = |\frac{1}{4}(2\hat{k})| = |\frac{1}{2}\hat{k}| = 0.5$

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
પ્રથમ,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times(\hat{i}-2\hat{k})$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2\end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(-6-2) + \hat{k}(0-(-1)) = 2\hat{i}+8\hat{j}+\hat{k}$.
ત્યારબાદ,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\times\hat{k}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{c}=\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} = \hat{i}(8-0) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(0-0) = 8\hat{i}-2\hat{j}$.
હવે,$\overrightarrow{c}-2\hat{j} = (8\hat{i}-2\hat{j}) - 2\hat{j} = 8\hat{i}-4\hat{j}$ શોધો.
કોઈ સદિશ $\overrightarrow{v}$ નો $\overrightarrow{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\overrightarrow{v} = 8\hat{i}-4\hat{j}$ અને $\overrightarrow{a} = 3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$.
પ્રક્ષેપ $= \frac{(8\hat{i}-4\hat{j}) \cdot (3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})}{\sqrt{14}} = \frac{(8)(3) + (-4)(-1) + (0)(2)}{\sqrt{14}} = \frac{24+4}{\sqrt{14}} = \frac{28}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{14}$.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+\hat{k}$.
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}$ પરથી,આપણને મળે છે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}=0$,જેનો અર્થ છે કે $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}=0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{c}$ એ $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda(5 \hat{i}-6 \hat{j}+4 \hat{k})$.
તેથી $|\overrightarrow{c}|^2=\lambda^2(5^2+(-6)^2+4^2)=77 \lambda^2$.
આપેલ છે કે $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}) \cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=168$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{c}|^2=168$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2)(3)+(-1)(-5)+(3)(1) = 6+5+3=14$.
$\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ મૂકતા,આપણને મળે છે $14+\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+77 \lambda^2=168$.
$14+\lambda|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+77 \lambda^2=168$.
$14+\lambda(77)+77 \lambda^2=168$.
$77 \lambda^2+77 \lambda-154=0 \Rightarrow \lambda^2+\lambda-2=0$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $(\lambda+2)(\lambda-1)=0$,તેથી $\lambda=-2$ અથવા $\lambda=1$.
કારણ કે $|\overrightarrow{c}|^2=77 \lambda^2$,મહત્તમ મૂલ્ય $\lambda=-2$ પર મળે છે.
$|\overrightarrow{c}|^2=77 \times (-2)^2 = 77 \times 4 = 308$.

(D) ધારો કે $\overrightarrow{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ શોધો:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(3 + 4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k} = -7(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
$\hat{a}$ એ $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ ને લંબ એકમ સદિશ હોવાથી,$\hat{a} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
આપેલ છે કે $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|} = \cos\left(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -\frac{1}{3}$.
જો $\hat{a} = \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$ હોય,તો $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{3}} = \frac{1 - 1 - 1}{3} = -\frac{1}{3}$. આ શરતનું પાલન કરે છે.
જો $\hat{a} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ હોય,તો $\hat{a} \cdot \frac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{3}} = \frac{-1 + 1 + 1}{3} = \frac{1}{3}$. આ શક્ય નથી.
તેથી,$\hat{a} = \frac{\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
હવે,$\hat{a}$ એ $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ સાથે $\frac{\pi}{3}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\hat{a} \cdot \overrightarrow{u}}{|\hat{a}| |\overrightarrow{u}|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\frac{1 - \alpha - 1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{1 + \alpha^2 + 1}} = \frac{-\alpha}{\sqrt{3}\sqrt{\alpha^2 + 2}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\alpha^2 + 2} = -\alpha$. કારણ કે $\alpha < 0$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $\frac{3}{4}(\alpha^2 + 2) = \alpha^2$.
$3\alpha^2 + 6 = 4\alpha^2 \Rightarrow \alpha^2 = 6$. કારણ કે $\alpha < 0$,તેથી $\alpha = -\sqrt{6}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-15-2) - \hat{j}(10-3) + \hat{k}(4+9) = -17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}$.
આપણને આપેલ છે કે $(\vec{a}-\vec{c}) \times \vec{b} = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{c} \times \vec{b}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{c} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{c})$,તેથી $(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{b}$ ની કિંમત મૂકતા,$(-17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}) + (\vec{b} \times \vec{c}) = -18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$.
તેથી,$\vec{d} = \vec{b} \times \vec{c} = (-18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}) - (-17 \hat{i}-7 \hat{j}+13 \hat{k}) = -\hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$.
અંતે,$\vec{a} \cdot \vec{d} = (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (-\hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}) = (2)(-1) + (-3)(4) + (1)(-1) = -2 - 12 - 1 = -15$.
તેથી,$|\vec{a} \cdot \vec{d}| = |-15| = 15$.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{d} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{d}$,તેથી $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{d} = \lambda(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = (3-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (3-2)\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ગણતા.
તેથી,$\overrightarrow{d} = \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} = 4$,તેથી $(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 4$.
$\lambda(1 - 4 + 1) = 4 \Rightarrow -2\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = -2$.
આમ,$\overrightarrow{d} = -2(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
હવે,$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 4) - \hat{j}(-2 - (-2)) + \hat{k}(4 - (-4)) = -8\hat{i} + 8\hat{k}$.
તેથી $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{d}|^2 = (-8)^2 + 0^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1,2,0)$,$B(1,0,2)$,અને $C(0,3,1)$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો $\vec{AB} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{AC} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ગુણાકાર: $\vec{AB} \times \vec{AC} = -4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) ધારો કે $A = (1, 2, 0)$,$B = (1, 0, 2)$,અને $C = (0, x, 1)$.
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (x-2)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = -\hat{i} + (x-2)\hat{j} + \hat{k}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6}$ છે.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -2 & 2 \\ -1 & x-2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 2(x-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(0 - 2) = (2-2x)\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(2-2x)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4(1-x)^2 + 8} = 2\sqrt{x^2 - 2x + 3}$.
$\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6}$ હોવાથી,$\sqrt{x^2 - 2x + 3} = \sqrt{6}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 - 2x + 3 = 6 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$.
$(x-3)(x+1) = 0$,તેથી $x = 3$ અથવા $x = -1$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ અને $C(0, 2, 1)$ છે.
સૌ પ્રથમ,સમતલમાં બે સદિશો શોધો: $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
સમતલને લંબ સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1)) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
સરળ બનાવતા,આપણે $\vec{n}' = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ લઈ શકીએ.
તેનું માન $|\vec{n}'| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ છે.
એકમ સદિશો $\pm \frac{\vec{n}'}{|\vec{n}'|} = \pm \frac{2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $\overline{a}$ નો $\overline{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{|\overline{c}|} = \frac{10}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\overline{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3$.
તેથી,$\frac{(\alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k})}{3} = \frac{10}{3}$.
$\alpha + 6 + 2 = 10 \Rightarrow \alpha = 2$.
હવે,$\overline{b} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overline{b} \times \overline{c} = -6\hat{i} + 10\hat{j} + 7\hat{k}$,ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$6 + \beta = 7 \Rightarrow \beta = 1$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta = 2^2 + 1^2 - (2)(1) = 4 + 1 - 2 = 3$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{n}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}) = (2)(1) + (3)(-2) + (1)(1) = 2 - 6 + 1 = -3$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$.
પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય = $\frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ એકમ.

(B) ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{n}$ પરનો પ્રક્ષેપનું માન $\left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,જરૂરી પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{6}}$ એકમ છે.

(B) ધારો કે $\vec{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
રેખા બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(9 + 2) = -8\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$.
સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-8)^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{64 + 100 + 121} = \sqrt{285}$ છે.
દિકકોસાઇન એ એકમ સદિશના ઘટકો છે,જે $\frac{-8}{\sqrt{285}}, \frac{10}{\sqrt{285}}, \frac{11}{\sqrt{285}}$ છે.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે.
આ રેખા $(-1, 2, 2)$ અને $(0, 2, 1)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$-a + 2b + 2c = 0$ $(i)$
$0a + 2b + c = 0$ (ii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$c = -2b$ મળે.
$c = -2b$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$-a + 2b + 2(-2b) = 0$
$-a + 2b - 4b = 0$
$-a - 2b = 0 \implies a = -2b$.
હવે,$a = -2b$ અને $c = -2b$ છે.
જો $b = 1$ લઈએ,તો $a = -2$ અને $c = -2$ મળે.
તેથી દિકગુણોત્તર $(-2, 1, -2)$ મળે,જે $(2, -1, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સદિશો $\vec{n_1} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર કરતા:
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $(-2, 1, -2)$ અથવા $(2, -1, 2)$ મળે છે.

(B) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો અનુક્રમે $\vec{v_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ સદિશ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(6-1) = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ છે.
જરૂરી એકમ સદિશ $\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ છે.

(B) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ અનુક્રમે સદિશો $\vec{b}_1 = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-3) - \hat{j}(25-4) + \hat{k}(15-8) = 7\hat{i} - 21\hat{j} + 7\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{7^2 + (-21)^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 441 + 49} = \sqrt{539} = 7\sqrt{11}$ છે.
આમ,$\hat{n} = \pm \frac{7(\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})}{7\sqrt{11}} = \pm \frac{\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{11}}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ અનુક્રમે સદિશો $\vec{b}_1 = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(6-1) = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
ત્યારબાદ,માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|$ ની ગણતરી કરો:
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
આમ,એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ છે.

(A) રેખા $\vec{a} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
રેખા $\vec{b}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ હોવાથી,તેની દિશાનો સદિશ $\vec{v} = \vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ થશે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(-1 - 1) + \hat{k}(2 - 1) = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{r} = (2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) + \lambda(-3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$ મળે છે.

(A) સમતલ $P_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\overline{n_1} = \overline{a} \times \overline{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલ $P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\overline{n_2} = \overline{c} \times \overline{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $(\overline{a} \times \overline{b}) \times (\overline{c} \times \overline{d}) = \overline{0}$ સૂચવે છે કે સદિશ $\overline{n_1}$ એ સદિશ $\overline{n_2}$ ને સમાંતર છે.
બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો સમાંતર હોવાથી,સમતલો $P_1$ અને $P_2$ એકબીજાને સમાંતર છે.
બે સમાંતર સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $0$ થાય છે.

(B) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v}$ છે. કારણ કે $\vec{v}$ એ $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી તે $\vec{v} = \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(2-1) = -3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ શોધો.
હવે,$\vec{v} = \vec{c} \times (-3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-1) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(1+3) = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ થાય.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ એ બે ત્રિકોણ,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{a} \times (3\bar{a} + 2\bar{b})| = \frac{1}{2} |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 2(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |0 + 2(\bar{a} \times \bar{b})| = |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AD} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{b} \times (3\bar{a} + 2\bar{b})| = \frac{1}{2} |3(\bar{b} \times \bar{a}) + 2(\bar{b} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |-3(\bar{a} \times \bar{b}) + 0| = \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= |\bar{a} \times \bar{b}| + \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ છે.
આપેલ છે કે ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળના $\alpha$ ગણું છે,તેથી $\frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \alpha |\bar{a} \times \bar{b}|$.
તેથી,$\alpha = \frac{5}{2} = 2.5$.

(C) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ અનુક્રમે સદિશો $\vec{b}_1 = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(3-4) = 5 \hat{i} - 7 \hat{j} - \hat{k}$.
ત્યારબાદ,આપણે સદિશ ગુણાકારનું માન શોધીએ:
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$.
તેથી,જરૂરી એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{5 \hat{i} - 7 \hat{j} - \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ છે.

(C) $\overline{a}$ નો $\overline{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{|\overline{c}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\overline{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overline{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$.
$|\overline{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \implies \alpha + 8 = 10 \implies \alpha = 2$.
હવે,$\overline{b} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
આને $-6\hat{i} + 10\hat{j} + 7\hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2\beta - 8 = -6 \implies 2\beta = 2 \implies \beta = 1$ મળે છે.
અંતે,$2\alpha + \beta = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$.

(B) ધારો કે બાજુનો સદિશ $\vec{a} = 3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે અને વિકર્ણનો સદિશ $\vec{c} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,ધારો કે $\vec{a} = \vec{AB}$ અને $\vec{c} = \vec{AC}$ છે.
$\triangle ABC$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ થાય.
ધારો કે $\vec{b} = \vec{BC}$. તેથી $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} = \vec{c} - \vec{a}$.
$\vec{b} = (2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{k}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેની બે પાસપાસેની બાજુઓના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 0) - \hat{j}(-3 - 1) + \hat{k}(0 - (-1)) = -\hat{i} + 4 \hat{j} + \hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $= |-\hat{i} + 4 \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{a} \times \overline{b} = 2 \overline{a} \times \overline{c}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $\overline{a} \times (\overline{b} - 2 \overline{c}) = \overline{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(\overline{b} - 2 \overline{c})$ એ $\overline{a}$ ને સમાંતર છે,જે $\overline{b} - 2 \overline{c} = \lambda \overline{a}$ સાથે સુસંગત છે.
ધારો કે $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
$|\overline{b} \times \overline{c}| = \sqrt{15}$ આપેલ હોવાથી,$|\overline{b}| |\overline{c}| \sin \alpha = \sqrt{15}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$(4)(1) \sin \alpha = \sqrt{15}$,તેથી $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
હવે,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
હવે,$|\overline{b} - 2 \overline{c}|^2 = |\lambda \overline{a}|^2$ લેતા.
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$.
$16 + 4(1) - 4(|\overline{b}| |\overline{c}| \cos \alpha) = \lambda^2 (1)^2$.
$20 - 4(4 \times 1 \times \frac{1}{4}) = \lambda^2$.
$20 - 4 = \lambda^2$,તેથી $\lambda^2 = 16$.
આમ,$\lambda = \pm 4$. વિકલ્પોમાં $-4$ આપેલ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$. $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$.
સદિશ $\vec{c} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ નો $\vec{n}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\left| \frac{\vec{c} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{c} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$.
તેથી,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\left| \frac{1}{\sqrt{6}} \right| = \frac{1}{\sqrt{6}}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\overline{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overline{b} = \hat{j} - \hat{k}$. ધારો કે $\overline{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
આપણને $\overline{a} \times \overline{r} = \overline{b}$ આપેલ છે.
$\overline{a} \times \overline{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y) \hat{i} - (z-x) \hat{j} + (y-x) \hat{k}$.
આને $\overline{b} = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 1 \hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$z - y = 0 \implies z = y$ $(i)$
$x - z = 1 \implies x = z + 1$ (ii)
$y - x = -1$ (iii)
વળી,$\overline{a} \cdot \overline{r} = 3 \implies x + y + z = 3$ (iv).
(iv) માં $y = z$ અને $x = z + 1$ મૂકતા:
$(z + 1) + z + z = 3 \implies 3z + 1 = 3 \implies 3z = 2 \implies z = \frac{2}{3}$.
આમ,$y = \frac{2}{3}$ અને $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
તેથી,$\overline{r} = \frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{2}{3} \hat{k}$.

(B) પાસપાસેની બાજુઓ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|\bar{a} \times \bar{b}| = 16$.
હવે,$(3 \bar{a} + 2 \bar{b})$ અને $(\bar{a} + 3 \bar{b})$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન દ્વારા મળે છે:
$|(3 \bar{a} + 2 \bar{b}) \times (\bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 9(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 6(\bar{b} \times \bar{b})|$
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})|$
$= 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
$= 7 \times 16 = 112$ ચોરસ એકમ.