System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $\overrightarrow{OP}$ ના દિશા ખૂણા $\alpha = 45^\circ$,$\beta = 60^\circ$ અને $\gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \cos^2 \gamma = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$.
સદિશ $\overrightarrow{OP}$ એ $OP(\cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{OP} = 8(\cos 45^\circ \hat{i} + \cos 60^\circ \hat{j} \pm \cos 60^\circ \hat{k})$.
$\overrightarrow{OP} = 8(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \pm \frac{1}{2} \hat{k})$.
$\overrightarrow{OP} = 4(\sqrt{2} \hat{i} + \hat{j} \pm \hat{k})$.

(B) સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y - 6z = 5$ છે.
આ સમીકરણને સમતલના વ્યાપક સમીકરણ $Ax + By + Cz = D$ સાથે સરખાવતા,અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(A, B, C) = (2, 3, -6)$ મળે છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટે,દિકગુણોત્તરને અભિલંબ સદિશના માન (magnitude) વડે ભાગવા પડે,જે $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ છે.
માન $= \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,દિકકોસાઇન $\left( \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, -\frac{6}{7} \right)$ થશે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાના દિકકોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \text{ અને } \cos \gamma$ છે.
કોઈપણ રેખા માટે,દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો નીચે મુજબ છે: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma)$
$= 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma)$
$= 3 - 1 = 2$.
તેથી,સાચું મૂલ્ય $2$ છે.

(A) સદિશના દિક્કોસાઇન નિત્યસમ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નું પાલન કરે છે.
આપેલ છે કે $\cos \alpha = \frac{14}{15}$ અને $\cos \beta = \frac{1}{3}$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left( \frac{14}{15} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{196}{225} + \frac{1}{9} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{196}{225} + \frac{25}{225} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{221}{225} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{221}{225} = \frac{4}{225}$
$\cos \gamma = \pm \sqrt{\frac{4}{225}} = \pm \frac{2}{15}$.

(D) ત્રિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુને $(x, y, z)$ યામ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$x$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,$xy$-સમતલ અને $xz$-સમતલથી તેનું અંતર શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $y$-યામ અને $z$-યામ બંને $0$ હોવા જોઈએ.
તેથી,$x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(x, 0, 0)$ સ્વરૂપના હોય છે,જે સૂચવે છે કે $y = 0$ અને $z = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ રેખા $x = y = z$ છે. જેને $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ સાથે સરખાવતા,દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (1, 1, 1)$ મળે છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $l = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$,$m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$,અને $n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ છે.
અહીં,$\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ થાય.
તેથી,દિકકોસાઇન $\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ મળે છે.

(C) ધારો કે રેખાના $x, y, z$ અક્ષો સાથેના દિશા ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન નમેલી હોવાથી,$\alpha = \beta = \gamma$ થાય.
રેખાના દિશા કોસાઇન $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ મળે.
$3 \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha = 1/3$.
$\cos \alpha = \pm 1/\sqrt{3}$.
આમ,નમનકોણનો કોસાઇન $1/\sqrt{3}$ છે (ધન કિંમતને ધ્યાનમાં લેતા).

(D) ધારો કે રેખા $x$,$y$ અને $z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 30^\circ$ અને $\beta = 45^\circ$.
રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ અને $n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(30^\circ) + \cos^2(45^\circ) + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{5}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$.
વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આવો કોઈ વાસ્તવિક ખૂણો $\gamma$ શક્ય નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(4-1, 5-2, 7-3) = (3, 3, 4)$ છે.
રેખા $RS$ ના દિકગુણોત્તર $(2-(-4), 0-3, 2-(-6)) = (6, -3, 8)$ છે.
$PQ \parallel RS$ માટે,દિકગુણોત્તરનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{3}{6} = \frac{3}{-3} = \frac{4}{8}$,એટલે કે $\frac{1}{2} = -1 = \frac{1}{2}$. જે ખોટું છે.
$PQ \perp RS$ માટે,દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(3)(6) + (3)(-3) + (4)(8) = 18 - 9 + 32 = 41 \neq 0$. જે ખોટું છે.
$PQ = RS$ માટે,લંબાઈ $PQ = \sqrt{3^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34}$ અને $RS = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 9 + 64} = \sqrt{109}$ છે. $\sqrt{34} \neq \sqrt{109}$ હોવાથી,આ પણ ખોટું છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(A) સદિશ $\vec{AB} = (3-2, 5-3, -3-(-1)) = (1, 2, -2)$ છે.
સદિશ $\vec{CD} = (3-1, 5-2, 7-3) = (2, 3, 4)$ છે.
$CD$ પર $AB$ નો પ્રક્ષેપ મેળવવા માટેનું સૂત્ર $\frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{CD}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1)(2) + (2)(3) + (-2)(4) = 2 + 6 - 8 = 0$ ગણો.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$CD$ પર $AB$ નો પ્રક્ષેપ $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે રેખાના યામ અક્ષો પરના પ્રક્ષેપો $x, y, z$ છે. આ પ્રક્ષેપો અક્ષોની દિશામાં રેખાના સદિશના ઘટકોને સમાન છે.
આપેલ છે કે,$x = 2$,$y = -1$,અને $z = 2$.
રેખાની લંબાઈ $L$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $L = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$L = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$L = \sqrt{4 + 1 + 4}$
$L = \sqrt{9}$
$L = 3$.
તેથી,રેખાની લંબાઈ $3$ છે.

(A) બિંદુઓના યામ $A(1, 2, 3)$ અને $B(7, 8, 7)$ છે.
$(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના યામ અક્ષો પરના પ્રક્ષેપો તેમના યામોના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$x$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ: $|x_2 - x_1| = |7 - 1| = 6$.
$y$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ: $|y_2 - y_1| = |8 - 2| = 6$.
$z$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ: $|z_2 - z_1| = |7 - 3| = 4$.
તેથી,યામ અક્ષો પર રેખાખંડ $AB$ ના પ્રક્ષેપો $6, 6, 4$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y, z)$ છે અને ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ છે.
ઉગમબિંદુથી બિંદુ $P$ નું અંતર $r$ એ $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખા $OP$ ના દિકકોસાઇન $l, m, n$ એ રેખા દ્વારા $x, y, z$ અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ ના કોસાઇન તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$l = \cos \alpha = \frac{x}{r}$,$m = \cos \beta = \frac{y}{r}$,અને $n = \cos \gamma = \frac{z}{r}$ છે.
આ પદોને $r$ વડે ગુણતા,આપણને $x = lr$,$y = mr$,અને $z = nr$ મળે છે.
આમ,સાચો સંબંધ $x = lr, y = mr, z = nr$ છે.

(B) રેખાના દિકકોસાઈન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 90^o$,તેથી $\beta = 90^o - \alpha$.
આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2(90^o - \alpha) + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \gamma = 1$
કારણ કે $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$1 + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 0$
$\cos \gamma = 0$
તેથી,$\gamma = 90^o$.

(A) ધારો કે રેખાના યામ અક્ષો પરના પ્રક્ષેપો $a = 4$,$b = 6$,અને $c = 12$ છે.
આ પ્રક્ષેપો રેખાના દિકગુણોત્તર દર્શાવે છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટે,આપણે દરેક દિકગુણોત્તરને સદિશના માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ વડે ભાગીએ છીએ.
માન $\sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$ છે.
આમ,દિકકોસાઇન $l = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$,$m = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$,અને $n = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$ મળે છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7})$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિક-ગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1) = (4, 3, -5)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, -8)$ છે.
દિક-ગુણોત્તર = $(-2 - 4, 1 - 3, -8 - (-5))$.
દિક-ગુણોત્તર = $(-6, -2, -3)$.
વૈકલ્પિક રીતે,તફાવત $(x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$ લેતા $(4 - (-2), 3 - 1, -5 - (-8)) = (6, 2, 3)$ મળે છે.
દિક-ગુણોત્તર પ્રમાણસર હોવાથી,$(-6, -2, -3)$ અને $(6, 2, 3)$ બંને એક જ રેખા દર્શાવે છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$(6, 2, 3)$ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(-1, 0, 3)$ અને $B(2, 5, 1)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (2 - (-1))\hat{i} + (5 - 0)\hat{j} + (1 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$ થાય.
રેખાના દિકગુણોત્તર $6, 2, 3$ છે. આ દિક સદિશનું માન $\sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ છે.
તેથી,રેખાની દિકકોસાઇન $l = \frac{6}{7}, m = \frac{2}{7}, n = \frac{3}{7}$ થાય.
રેખાખંડ $AB$ નો રેખા પરનો પ્રક્ષેપ એ સદિશ $\vec{AB}$ અને રેખાની દિશામાં એકમ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
પ્રક્ષેપ $= (x_2 - x_1)l + (y_2 - y_1)m + (z_2 - z_1)n$
$= (3)(\frac{6}{7}) + (5)(\frac{2}{7}) + (-2)(\frac{3}{7})$
$= \frac{18 + 10 - 6}{7} = \frac{22}{7}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દિશા ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ ધરાવતી રેખા માટે,દિશા કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ થાય છે.
દિશા કોસાઇનના ગુણધર્મ મુજબ,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય.
આપણે $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1)$
$= 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$
$= 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

(B) ધારો કે જરૂરી રેખાની દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ છે.
રેખા ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓ સાથે સમાન ખૂણે નમેલી હોવાથી,દરેક રેખા સાથેનો ખૂણો $\theta$ સમાન છે.
ધારો કે $\cos \theta = k$.
તેથી,$l l_1 + m m_1 + n n_1 = k$,$l l_2 + m m_2 + n n_2 = k$,અને $l l_3 + m m_3 + n n_3 = k$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(l l_1 + m m_1 + n n_1)^2 + (l l_2 + m m_2 + n n_2)^2 + (l l_3 + m m_3 + n n_3)^2 = 3k^2$.
ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ સદિશ $(l, m, n)$ માટે,$\sum (l l_i + m m_i + n n_i)^2 = l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
તેથી,$3k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
હવે,સદિશ $\vec{v} = (l_1+l_2+l_3, m_1+m_2+m_3, n_1+n_2+n_3)$ ધ્યાનમાં લો.
આ સદિશનું માન $\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2 + (m_1+m_2+m_3)^2 + (n_1+n_2+n_3)^2}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,વર્ગોનો સરવાળો $1+1+1 = 3$ થાય છે.
આમ,આ દિશામાં એકમ સદિશ $\left( \frac{l_1+l_2+l_3}{\sqrt{3}}, \frac{m_1+m_2+m_3}{\sqrt{3}}, \frac{n_1+n_2+n_3}{\sqrt{3}} \right)$ છે.

(B) રેખાના દિક્કોસાઇન $\left( \frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c} \right)$ આપેલા છે,તેથી $l = \frac{1}{c}$,$m = \frac{1}{c}$,અને $n = \frac{1}{c}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે,તેના દિક્કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\left( \frac{1}{c} \right)^2 + \left( \frac{1}{c} \right)^2 + \left( \frac{1}{c} \right)^2 = 1$
$\frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} = 1$
$\frac{3}{c^2} = 1$
$c^2 = 3$
$c = \pm \sqrt{3}$.

(D) બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z) = (3, 12, 4)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $OP$ એ $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \frac{3}{13}$,$m = \frac{12}{13}$,$n = \frac{4}{13}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\frac{3}{13}, \frac{12}{13}, \frac{4}{13}$ છે.

(D) દિક્કોસાઇન શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ રેખાના સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ માં લખો.
આપેલ છે: $\frac{3x + 1}{-3} = \frac{3y + 2}{6} = \frac{z}{-1}$.
દરેક પદના અંશ અને છેદને ચલના સહગુણક વડે ભાગતા:
$\frac{3(x + 1/3)}{-3} = \frac{3(y + 2/3)}{6} = \frac{z}{-1} \implies \frac{x + 1/3}{-1} = \frac{y + 2/3}{2} = \frac{z}{-1}$.
દિક્ગુણોત્તર $(a, b, c) = (-1, 2, -1)$ છે.
દિશા સદિશનું માન $\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ નીચે મુજબ મળે: $\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right)$.
તેથી,દિક્કોસાઇન $\left( \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}} \right)$ છે.

(A) આપેલ દિકગુણોત્તરો $a = 1$,$b = -3$,અને $c = 2$ છે.
સદિશનું માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$ છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left( \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}} \right)$ મળે છે.

(D) ધારો કે રેખા $X$,$Y$ અને $Z$ અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^\circ$ અને $\beta = 60^\circ$.
રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ અને $n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 \gamma = 1$.
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$.
આમ,$\gamma = 60^\circ$ અથવા $120^\circ$.

(C) સમતલનું સમીકરણ $3x + 4y + 12z = 52$ આપેલ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $Ax + By + Cz = D$ સાથે સરખાવતા,સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(A, B, C) = (3, 4, 12)$ મળે છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટે,આપણે દિકગુણોત્તરને અભિલંબ સદિશના માન $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ વડે ભાગીએ છીએ.
માન $= \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
આમ,દિકકોસાઇન $\left( \frac{3}{13}, \frac{4}{13}, \frac{12}{13} \right)$ થશે.

(B) રેખા $OP$ ના દિકગુણોત્તરો $a = -1$,$b = 2$,અને $c = -2$ આપેલ છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટે દિકગુણોત્તરોને તેમના માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ વડે ભાગવામાં આવે છે.
માન $= \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,$l = \frac{-1}{3}$,$m = \frac{2}{3}$,અને $n = \frac{-2}{3}$.
બિંદુ $P$ ના યામ $(lr, mr, nr)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = OP = 3$.
$P$ ના યામ $= (3 \times \frac{-1}{3}, 3 \times \frac{2}{3}, 3 \times \frac{-2}{3}) = (-1, 2, -2)$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P(4, 3, -5)$ અને $Q(-2, 1, -8)$ છે.
રેખાખંડ $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ એ $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ દ્વારા મળે છે.
$a = -2 - 4 = -6$
$b = 1 - 3 = -2$
$c = -8 - (-5) = -3$
અંતર $PQ = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\left( \frac{a}{PQ}, \frac{b}{PQ}, \frac{c}{PQ} \right)$ દ્વારા મળે છે.
$l = \frac{-6}{7}, m = \frac{-2}{7}, n = \frac{-3}{7}$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો આપણે $Q$ થી $P$ ની દિશા લઈએ,તો દિકકોસાઇન $\left( \frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7} \right)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઇન $l, m, n$ છે. રેખા અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવતી હોવાથી,$\alpha = \beta = \gamma$ મળે.
તેથી,$l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta = \cos \alpha = l$,અને $n = \cos \gamma = \cos \alpha = l$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
$l = m = n$ મૂકતા,આપણને $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $3l^2 = 1$.
તેથી,$l^2 = \frac{1}{3}$,જે $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપે છે.
$l = m = n$ હોવાથી,$l = m = n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.

(B) રેખાના દિકકોસાઇન (direction cosines) ને $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખા દ્વારા અનુક્રમે $x, y,$ અને $z$ અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
ત્રિ-પરિમાણીય ભૂમિતિમાં આ એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે કે દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
તેથી,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
$l, m,$ અને $n$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ થાય.
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કોઈપણ રેખા માટે,તેના દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
તેથી,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે રેખાની લંબાઈ $d$ છે અને તેના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે.
રેખાના $x, y,$ અને $z$ અક્ષ પરના પ્રક્ષેપો અનુક્રમે $dl, dm,$ અને $dn$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $dl = 2, dm = 3, dn = 6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
આપેલ પ્રક્ષેપોના વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(dl)^2 + (dm)^2 + (dn)^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2$
$d^2(l^2 + m^2 + n^2) = 4 + 9 + 36$
$d^2(1) = 49$
$d = \sqrt{49} = 7$.
આમ,રેખાની લંબાઈ $7$ છે.

(A) ધારો કે રેખાના દિક-ખૂણાઓ $x, y, z$ અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\beta = 60^o$ અને $\gamma = 60^o$.
દિક-કોસાઈનનો સરવાળો $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 60^o + \cos^2 60^o = 1$
$\cos^2 \alpha + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{2} = 1$
$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\alpha = 45^o$.

(A) રેખાના દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ માટે શરત $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ છે.
આપેલ દિક્કોસાઇન $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, n \right)$ હોવાથી:
$\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + n^2 = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + n^2 = 1$
$\frac{9 + 4}{36} + n^2 = 1$
$\frac{13}{36} + n^2 = 1$
$n^2 = 1 - \frac{13}{36}$
$n^2 = \frac{36 - 13}{36} = \frac{23}{36}$
$n = \pm \frac{\sqrt{23}}{6}$.
આપેલ વિકલ્પ મુજબ સાચો જવાબ $\frac{\sqrt{23}}{6}$ છે.

(C) ધારો કે રેખાખંડની લંબાઈ $d$ છે અને તેના દિક્કોસાઈન $l, m,$ અને $n$ છે.
યામ અક્ષો $x, y,$ અને $z$ પરના રેખાખંડના પ્રક્ષેપો અનુક્રમે $dl, dm,$ અને $dn$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $dl = 3, dm = 4,$ અને $dn = 5$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(dl)^2 + (dm)^2 + (dn)^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2$
$d^2(l^2 + m^2 + n^2) = 9 + 16 + 25$
કોઈપણ રેખાખંડ માટે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$d^2(1) = 50$
$d = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે ઘનની બાજુનું માપ $a$ છે. ઘનના ચાર વિકર્ણોને $(1, 1, 1)$,$(1, 1, -1)$,$(-1, 1, 1)$,અને $(1, -1, 1)$ દિશાઓમાં સદિશો તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ છે,જ્યાં $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
રેખા અને વિકર્ણો વચ્ચેના ખૂણા $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ ના કોસાઇન નીચે મુજબ છે:
$\cos \alpha = \frac{|l + m + n|}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = \frac{|l + m - n|}{\sqrt{3}}$,$\cos \gamma = \frac{|-l + m + n|}{\sqrt{3}}$,$\cos \delta = \frac{|l - m + n|}{\sqrt{3}}$.
તેમનો વર્ગ કરતા:
${\cos ^2}\alpha = \frac{(l + m + n)^2}{3}$,${\cos ^2}\beta = \frac{(l + m - n)^2}{3}$,${\cos ^2}\gamma = \frac{(-l + m + n)^2}{3}$,${\cos ^2}\delta = \frac{(l - m + n)^2}{3}$.
સરવાળો કરતા:
$\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ (l^2+m^2+n^2 + 2lm + 2mn + 2nl) + (l^2+m^2+n^2 + 2lm - 2mn - 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm + 2mn - 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm - 2mn + 2nl) ]$
$= \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ] = \frac{4}{3} (1) = \frac{4}{3}$.
કારણ કે ${\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta$,તેથી:
$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

(B) રેખા $CD$ પર રેખાખંડ $AB$ નો પ્રક્ષેપ એ $A$ અને $B$ બિંદુઓમાંથી રેખા $CD$ પર દોરેલા લંબ દ્વારા બનતા રેખાખંડની લંબાઈ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો $\theta$ એ રેખાઓ $AB$ અને $CD$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો પ્રક્ષેપની લંબાઈ એ રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન (cosine) ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
તેથી,$CD$ પર $AB$ નો પ્રક્ષેપ $AB \cos \theta$ થાય છે.

(B) ધારો કે રેખાના $x, y,$ અને $z$ અક્ષ સાથેના દિશા ખૂણાઓ અનુક્રમે $\alpha, \beta,$ અને $\gamma$ છે.
રેખા અક્ષો સાથે સમાન રીતે નમેલી હોવાથી,$\alpha = \beta = \gamma$ થાય.
રેખાના દિક્કોસાઈન $\cos \alpha, \cos \beta,$ અને $\cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
$\alpha = \beta = \gamma$ મૂકતા,આપણને $3 \cos^2 \alpha = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
આમ,$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$ હોવાથી,શક્ય દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ એ $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ છે.
આમ,આવી કુલ $4$ રેખાઓ મળે છે.

(D) બે રેખાઓ જેના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
અહીં $\theta = 45^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2a - 3 + 10|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \sqrt{a^2 + 3^2 + 5^2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2a + 7|}{3 \sqrt{a^2 + 34}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{2} = \frac{(2a + 7)^2}{9(a^2 + 34)}$
$9(a^2 + 34) = 2(4a^2 + 28a + 49)$
$9a^2 + 306 = 8a^2 + 56a + 98$
$a^2 - 56a + 208 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $(a - 52)(a - 4) = 0$ ઉકેલતા,આપણને $a = 4$ અથવા $a = 52$ મળે છે. વિકલ્પો મુજબ,$a = 4$ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તરો $l_1, m_1, n_1 = a, b, c$ છે.
ધારો કે બીજી રેખાના દિકગુણોત્તરો $l_2, m_2, n_2 = \frac{1}{bc}, \frac{1}{ca}, \frac{1}{ab}$ છે.
બે રેખાઓ સમાંતર હોય જો તેમના દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$.
ગુણોત્તરોની ગણતરી કરતા:
$\frac{a}{1/bc} = a \times bc = abc$
$\frac{b}{1/ca} = b \times ca = abc$
$\frac{c}{1/ab} = c \times ab = abc$
અહીં $\frac{a}{1/bc} = \frac{b}{1/ca} = \frac{c}{1/ab} = abc$ હોવાથી,દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં છે.
તેથી,રેખાઓ સમાંતર છે.

(A) ધારો કે બે રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 2, 1)$ અને $\vec{b} = (2, -3, 6)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (2)(-3) + (1)(6)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 6 + 6|}{\sqrt{1 + 4 + 1} \sqrt{4 + 9 + 36}}$
$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{6} \sqrt{49}}$
$\cos \theta = \frac{2}{7\sqrt{6}}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{7\sqrt{6}}\right)$.

(D) દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l + m + n = 0$ $(i)$
$l^2 + m^2 - n^2 = 0$ (ii)
$(i)$ પરથી,$n = -(l + m)$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$l^2 + m^2 - (-(l + m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0$,જેનો અર્થ છે કે $l = 0$ અથવા $m = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $l = 0$,તો $m + n = 0 \implies n = -m$. આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,તેથી $0^2 + m^2 + (-m)^2 = 1 \implies 2m^2 = 1 \implies m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિક્કોસાઇન $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m = 0$,તો $l + n = 0 \implies n = -l$. તેવી જ રીતે,$l^2 + 0^2 + (-l)^2 = 1 \implies 2l^2 = 1 \implies l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિક્કોસાઇન $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ મળે છે.
ધારો કે દિશા સદિશો $\vec{a} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}| = |(0)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓના દિક-ગુણોત્તરો $a_1, b_1, c_1 = 5, -12, 13$ અને $a_2, b_2, c_2 = -3, 4, 5$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
અંશની ગણતરી:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (5)(-3) + (-12)(4) + (13)(5) = -15 - 48 + 65 = 2$
છેદની ગણતરી:
$\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2 + 13^2} = \sqrt{25 + 144 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2}$
$\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
તેથી,$\cos \theta = \frac{2}{(13\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{2}{65 \times 2} = \frac{1}{65}$
આમ,$\theta = \cos^{-1}(1/65)$.

(B) બે રેખાઓ જેના દિક-ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
આપેલ દિક-ગુણોત્તર $(2, 3, -6)$ અને $(3, -4, 5)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{(2)(3) + (3)(-4) + (-6)(5)}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2}} \right|$
અંશની ગણતરી:
$2(3) + 3(-4) + (-6)(5) = 6 - 12 - 30 = -36$
છેદની ગણતરી:
$\sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$
$\sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
આમ,$\cos \theta = \left| \frac{-36}{7 \times 5\sqrt{2}} \right| = \frac{36}{35\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{35}$
તેથી,લઘુકોણ $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{18\sqrt{2}}{35}\right)$ થાય.

(A) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઈન $l, m, n$ છે.
રેખા $x$ અને $z$-અક્ષ સાથે સમાન ખૂણો $\theta$ બનાવતી હોવાથી,$l = \cos \theta$ અને $n = \cos \theta$ થાય.
$y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\beta$ હોવાથી,$m = \cos \beta$ થાય.
દિક્કોસાઈનોના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે,તેથી $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 \theta + \cos^2 \beta + \cos^2 \theta = 1$,જેનું સાદું રૂપ $2 \cos^2 \theta + \cos^2 \beta = 1$ થાય.
નિત્યસમ $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \theta + (1 - \sin^2 \beta) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $2 \cos^2 \theta = \sin^2 \beta$.
આપેલ શરત $\sin^2 \beta = 3 \sin^2 \theta$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \cos^2 \theta = 3 \sin^2 \theta$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \theta = 3(1 - \cos^2 \theta)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$2 \cos^2 \theta = 3 - 3 \cos^2 \theta$,જે $5 \cos^2 \theta = 3$ તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,$\cos^2 \theta = \frac{3}{5}$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રણ રેખાઓ જેની દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$,$(l_2, m_2, n_2)$ અને $(l_3, m_3, n_3)$ છે,તે સમતલીય હોય જો તેઓ એક જ સમતલમાં હોય. કારણ કે તે બધી ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તે ત્યારે જ સમતલીય હોય જો તેમના દિકકોસાઇનનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.
આ એટલા માટે છે કારણ કે રેખાઓ સમતલીય હોય જો ત્યાં એક શૂન્યતર અભિલંબ સદિશ $(l, m, n)$ અસ્તિત્વ ધરાવે જે ત્રણેય રેખાઓને લંબ હોય.
આમ,આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$l l_1 + m m_1 + n n_1 = 0$
$l l_2 + m m_2 + n n_2 = 0$
$l l_3 + m m_3 + n n_3 = 0$
શૂન્યતર ઉકેલ $(l, m, n) \neq (0, 0, 0)$ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left| \begin{array}{ccc} l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ l_3 & m_3 & n_3 \end{array} \right| = 0$
બીજી અને ત્રીજી સ્તંભની અદલાબદલી કરવાથી,નિશ્ચાયકની નિશાની બદલાય છે,પરંતુ તે શૂન્ય જ રહે છે:
$-\left| \begin{array}{ccc} l_1 & n_1 & m_1 \\ l_2 & n_2 & m_2 \\ l_3 & n_3 & m_3 \end{array} \right| = 0$
તેથી,$\left| \begin{array}{ccc} l_1 & n_1 & m_1 \\ l_2 & n_2 & m_2 \\ l_3 & n_3 & m_3 \end{array} \right| = 0$ એ સાચી શરત છે.

(A) $xy$-સમતલને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $z = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
જેથી બિંદુ $(x, y, z)$ આ સમતલમાં અથવા તેને સમાંતર ગતિ કરે છે,તેનો $z$-યામ ગતિ દરમિયાન અચળ રહેવો જોઈએ.
તેથી,ચલ $z$ અચળ રહે છે.

(D) ધારો કે $B$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ દિકકોસાઇન $(l, m, n) = (-2/\sqrt{17}, 3/\sqrt{17}, -2/\sqrt{17})$ અને લંબાઈ $r = AB = \sqrt{17}$ છે.
$B$ ના યામ નીચે મુજબ મળે: $x = x_A + lr$,$y = y_A + mr$,અને $z = z_A + nr$.
કિંમતો મૂકતા:
$x = 3 + (-2/\sqrt{17}) \times \sqrt{17} = 3 - 2 = 1$
$y = -6 + (3/\sqrt{17}) \times \sqrt{17} = -6 + 3 = -3$
$z = 10 + (-2/\sqrt{17}) \times \sqrt{17} = 10 - 2 = 8$
આમ,$B$ ના યામ $(1, -3, 8)$ છે.

(C) ધારો કે રેખાખંડની લંબાઈ $L$ છે અને તે $x, y,$ અને $z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha, \beta,$ અને $\gamma$ છે.
યામ અક્ષો પર રેખાખંડના પ્રક્ષેપ $L \cos \alpha = 3$,$L \cos \beta = 4$,અને $L \cos \gamma = 5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(L \cos \alpha)^2 + (L \cos \beta)^2 + (L \cos \gamma)^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2$
$L^2 (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 9 + 16 + 25$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,તેથી:
$L^2 (1) = 50$
$L = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓના દિકકોસાઇન $L_1 = (l_1, m_1, n_1)$,$L_2 = (l_2, m_2, n_2)$,અને $L_3 = (l_3, m_3, n_3)$ છે.
તેઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0$,$l_2l_3 + m_2m_3 + n_2n_3 = 0$,અને $l_3l_1 + m_3m_1 + n_3n_1 = 0$ થાય.
વળી,કોઈપણ દિકકોસાઇન સદિશ માટે,વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $l_i^2 + m_i^2 + n_i^2 = 1$ જ્યાં $i = 1, 2, 3$.
નવી રેખાના દિકકોસાઇન $L = (l_1+l_2+l_3, m_1+m_2+m_3, n_1+n_2+n_3)$ ના પ્રમાણમાં છે.
નવી રેખા અને પ્રથમ રેખા $L_1$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\cos \theta = \frac{(l_1+l_2+l_3)l_1 + (m_1+m_2+m_3)m_1 + (n_1+n_2+n_3)n_1}{\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2 + (m_1+m_2+m_3)^2 + (n_1+n_2+n_3)^2} \cdot \sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}}$
અંશમાં $l_1^2 + m_1^2 + n_1^2 = 1$ મળે છે.
છેદમાં માનનું વર્ગ $\sum (l_1+l_2+l_3)^2 = 1 + 1 + 1 + 0 = 3$ થાય છે.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $0^o$ ગણવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q$ ના યામ $(x_2, y_2, z_2)$ છે.
ધારો કે $\Delta x = x_2 - x_1$,$\Delta y = y_2 - y_1$,અને $\Delta z = z_2 - z_1$.
અંતર $d$ એ $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$xy$,$yz$,અને $zx$ સમતલો પર $PQ$ ના પ્રક્ષેપો અનુક્રમે $d_1, d_2, d_3$ છે.
તેથી,$d_1^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$,$d_2^2 = (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$,અને $d_3^2 = (\Delta z)^2 + (\Delta x)^2$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 2((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2) = 2d^2$ મળે છે.
આને $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = k d^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2$ મળે છે.