System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Gujarati

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $6x - 2 = 3y + 1 = 2z - 2$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ માં ફેરવતા:
$6(x - \frac{1}{3}) = 3(y + \frac{1}{3}) = 2(z - 1)$
$6, 3, 2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $6$ વડે ભાગતા:
$\frac{x - 1/3}{1/6} = \frac{y + 1/3}{1/3} = \frac{z - 1}{1/2}$
દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ મેળવવા માટે છેદને $6$ વડે ગુણતા:
$a = 1, b = 2, c = 3$
દિશા સદિશનું માન $\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ છે.
દિક્કોસાઈનો $(l, m, n)$ નીચે મુજબ મળે:
$l = \frac{1}{\sqrt{14}}, m = \frac{2}{\sqrt{14}}, n = \frac{3}{\sqrt{14}}$.

(C) ધારો કે રેખા $AB$ ના $x, y, z$ અક્ષો સાથેના દિશા ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^\circ$ અને $\beta = 120^\circ$.
દિશા કોસાઇન $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(45^\circ) + \cos^2(120^\circ) + \cos^2(\gamma) = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + \cos^2(\gamma) = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2(\gamma) = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2(\gamma) = 1$.
$\cos^2(\gamma) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos(\gamma) = \pm \frac{1}{2}$.
અહીં $\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos(\theta) = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$\theta = 60^\circ$.

(A) ધારો કે રેખાખંડના $x, y, z$ અક્ષો પરના પ્રક્ષેપો $a = 12$,$b = 4$,અને $c = 3$ છે.
રેખાખંડની લંબાઈ $L$ એ સૂત્ર $L = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $L = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13$.
દિક્કોસાઈનો $(l, m, n)$ એ $l = a/L$,$m = b/L$,અને $n = c/L$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$l = 12/13$,$m = 4/13$,અને $n = 3/13$.
આમ,રેખાખંડની લંબાઈ $13$ છે અને દિક્કોસાઈનો $< 12/13, 4/13, 3/13 >$ છે.

(B) રેખાખંડ $AB$ નો બીજી રેખા $CD$ પરનો પ્રક્ષેપ એ રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ ના કોસાઇન (cosine) ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
આમ,પ્રક્ષેપ = $AB \cos \theta$.

(D) બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$ અને $B(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિક્ગુણોત્તરો $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
બિંદુઓ $A(6, -7, -1)$ અને $B(2, -3, 1)$ માટે,દિક્ગુણોત્તરો $(2 - 6, -3 - (-7), 1 - (-1)) = (-4, 4, 2)$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને સરળ દિક્ગુણોત્તરો $(-2, 2, 1)$ મળે છે.
સદિશનું માન $\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
દિક્કોસાઇનો $\pm \frac{-2}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{1}{3}$ છે.
$x$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\alpha$ લઘુકોણ છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha > 0$. $x$-અક્ષને અનુરૂપ દિક્કોસાઇન $l = \pm \frac{-2}{3}$ છે.
$\cos \alpha > 0$ શરત સંતોષવા માટે,આપણે દિક્ગુણોત્તરો માટે ઋણ ચિહ્ન પસંદ કરવું પડશે જેથી $l = -(\frac{-2}{3}) = \frac{2}{3}$ થાય.
આમ,દિક્કોસાઇનો $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $P(4, 3, -5)$ અને $Q(-2, 1, -8)$ છે.
સૌ પ્રથમ,રેખા $PQ$ ના દિક્કગુણોત્તર $(a, b, c)$ શોધીએ:
$a = 4 - (-2) = 6, b = 3 - 1 = 2, c = -5 - (-8) = 3$.
સદિશનું માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ થાય.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$(l, m, n) = (\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7})$.

(A) $3D$ કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,કોઈ બિંદુ $(x, y, z)$ નો યામ સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ મેળવવા માટે,તે સમતલને લંબ અક્ષના યામને $0$ લેવામાં આવે છે.
$yz$-સમતલ માટે,$x$-યામ એ સમતલને લંબ છે.
તેથી,બિંદુ $(a, b, c)$ નો $yz$-સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ મેળવવા માટે $x$-યામને $0$ લેતા,આપણને $(0, b, c)$ મળે છે.

(D) રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $a = 6, b = 2, c = 3$ છે.
તેથી,દિક્-કોસાઈન $(l, m, n)$ નીચે મુજબ મળે:
$l = \frac{6}{\sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{6}{\sqrt{36 + 4 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7}$
$m = \frac{2}{\sqrt{49}} = \frac{2}{7}$
$n = \frac{3}{\sqrt{49}} = \frac{3}{7}$
બિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1) = (-1, 0, 3)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2) = (2, 5, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનો રેખા પરનો પ્રક્ષેપ:
$Projection = l(x_2 - x_1) + m(y_2 - y_1) + n(z_2 - z_1)$
કિંમતો મૂકતા:
$Projection = \frac{6}{7}(2 - (-1)) + \frac{2}{7}(5 - 0) + \frac{3}{7}(1 - 3)$
$Projection = \frac{6}{7}(3) + \frac{2}{7}(5) + \frac{3}{7}(-2)$
$Projection = \frac{18}{7} + \frac{10}{7} - \frac{6}{7}$
$Projection = \frac{18 + 10 - 6}{7} = \frac{22}{7}$

(A) આપેલ દિક્-ગુણોત્તર $a = 1, b = -3, c = 2$ છે.
સદિશનું માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$ છે.
દિક્-કોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left( \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}} \right)$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે જો કોઈ રેખા યામાક્ષો સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણાઓ બનાવે,તો તેના દિકકોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય છે.
હવે,આપણે નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2 \cos^2 \alpha - 1) + (2 \cos^2 \beta - 1) + (2 \cos^2 \gamma - 1)$
$= 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$
$= 2(1) - 3$
$= 2 - 3 = -1$.

(A) ધારો કે સદિશ $\overline{OP}$ ના દિક્કોસાઈનો $l, m, n$ છે.
આપેલ છે કે અક્ષો સાથેના ખૂણા $\alpha = 45^{\circ}$,$\beta = 60^{\circ}$ છે અને ધારો કે $OZ$ સાથેનો ખૂણો $\gamma$ છે.
તેથી,$l = \cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$m = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,અને $n = \cos(\gamma)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + n^2 = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + n^2 = 1$.
$\frac{3}{4} + n^2 = 1 \Rightarrow n^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
આમ,$n = \pm \frac{1}{2}$.
કારણ કે $n = \cos(\gamma)$,તેથી $\cos(\gamma) = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos(\gamma) = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\gamma = 60^{\circ}$ અથવા $\gamma = 120^{\circ}$.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખાની દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ છે. રેખા ત્રણેય પરસ્પર લંબ રેખાઓ સાથે સમાન ખૂણો $\theta$ બનાવતી હોવાથી:
$l \cdot l_1 + m \cdot m_1 + n \cdot n_1 = \cos \theta$
$l \cdot l_2 + m \cdot m_2 + n \cdot n_2 = \cos \theta$
$l \cdot l_3 + m \cdot m_3 + n \cdot n_3 = \cos \theta$
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(l \cdot l_1 + m \cdot m_1 + n \cdot n_1)^2 + (l \cdot l_2 + m \cdot m_2 + n \cdot n_2)^2 + (l \cdot l_3 + m \cdot m_3 + n \cdot n_3)^2 = 3 \cos^2 \theta$
પરસ્પર લંબ રેખાઓ માટે દિક્કોસાઇનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આ $l^2 + m^2 + n^2 = 3 \cos^2 \theta$ માં પરિણમે છે. $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,$3 \cos^2 \theta = 1$,એટલે કે $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$l = \frac{l_1 + l_2 + l_3}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{m_1 + m_2 + m_3}{\sqrt{3}}$,$n = \frac{n_1 + n_2 + n_3}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(-1, 2, 3)$ અને $B(-1, 4, 0)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-1 - (-1), 4 - 2, 0 - 3) = (0, 2, -3)$ છે.
રેખા યામાક્ષો સાથે $\alpha = 45^{\circ}, \beta = 60^{\circ}, \gamma = 60^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી રેખાની દિકકોસાઇન $l = \cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$m = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ અને $n = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ છે.
દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ ધરાવતા રેખાખંડનો દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ ધરાવતી રેખા પરનો પ્રક્ષેપ $|al + bm + cn|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: પ્રક્ષેપ $= |(0)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (2)(\frac{1}{2}) + (-3)(\frac{1}{2})| = |0 + 1 - \frac{3}{2}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(5, 2, 3)$ અને $B(-1, 0, 2)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (-1-5)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -6\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ મળે.
રેખાના દિક્ગુણોત્તરો $1, 2, 3$ છે,તેથી રેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{v} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{14}}$ થાય.
રેખાખંડ $AB$ નો રેખા પરનો પ્રક્ષેપ એ $\vec{AB}$ અને $\hat{u}$ ના અદિશ ગુણાકારનું માન છે.
પ્રક્ષેપ $= |\vec{AB} \cdot \hat{u}| = |(-6\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{14}}|$
$= |\frac{(-6)(1) + (-2)(2) + (-1)(3)}{\sqrt{14}}| = |\frac{-6 - 4 - 3}{\sqrt{14}}| = |\frac{-13}{\sqrt{14}}| = \frac{13}{\sqrt{14}}$.

(B) ત્રિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(x, y, z)$ યામ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો કોઈ બિંદુ $z$-અક્ષ પર આવેલું હોય,તો તેનું $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષથી અંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ અને $y$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$z$-અક્ષ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(0, 0, z)$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $z$ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
આમ,$x$ અને $y$ બંને યામ શૂન્ય હોય તે શરતનું પાલન થાય છે.

(A) આપેલ સંબંધો:
$l + m + n = 0 \implies n = -(l + m)$
બીજા સમીકરણમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$l^2 + m^2 - (-(l + m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \implies lm = 0$
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $l = 0$ અથવા $m = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $l = 0$ હોય,તો $m + n = 0 \implies n = -m$. દિકગુણોત્તરો $(0, m, -m)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(0, 1, -1)$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો $m = 0$ હોય,તો $l + n = 0 \implies n = -l$. દિકગુણોત્તરો $(l, 0, -l)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(1, 0, -1)$ થાય.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. દિકગુણોત્તરો $\vec{a} = (0, 1, -1)$ અને $\vec{b} = (1, 0, -1)$ છે.
$\cos \theta = \frac{|(0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1)|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
સામાન્ય રીતે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ લેવામાં આવે છે,તેથી $\cos \theta = 1/2 \implies \theta = \pi / 3$.
જો આપણે દિકકોસાઇનોને સદિશ તરીકે લઈએ,તો સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = -1/2$ મળે,જે $\theta = 2\pi / 3$ આપે છે.

(B) રેખાના દિકકોસાઈન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2 \cos^2 \alpha - 1) + (2 \cos^2 \beta - 1) + (2 \cos^2 \gamma - 1)$
$= 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$
$= 2(1) - 3$
$= 2 - 3 = -1$.

(A) રેખાના યામાક્ષો પરના પ્રક્ષેપો એ રેખાના દિક્ગુણોત્તરો (direction ratios) છે,જે $a = 4$,$b = 6$,અને $c = 12$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટે,આપણે $l = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$,$m = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$,અને $n = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,માન (magnitude) શોધો: $\sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.
હવે,દિક્કોસાઇન શોધો:
$l = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$
$m = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$
$n = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$
આમ,દિક્કોસાઇન $(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7})$ છે.

(A) રેખાની દિકકોસાઇન (direction cosines) $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
તેથી,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$(1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \beta) + (1 - \sin^2 \gamma) = 1$.
$3 - (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma) = 1$.
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 3 - 1 = 2$.

(B) ધારો કે રેખા દરેક યામાક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,દિક્કોસાઈનો $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,અને $n = \cos \alpha$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ મળે છે.
$3 \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,દિક્કોસાઈનો $\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ અથવા $\left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ છે.

(D) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ છે.
આપેલ છે કે રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\alpha = \pi /4$ અને $y$-અક્ષ સાથે $\beta = \pi /4$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,$l = \cos(\pi /4) = 1/\sqrt{2}$ અને $m = \cos(\pi /4) = 1/\sqrt{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇન માટેનું સૂત્ર: $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $(1/\sqrt{2})^2 + (1/\sqrt{2})^2 + n^2 = 1$.
$1/2 + 1/2 + n^2 = 1$.
$1 + n^2 = 1 \implies n^2 = 0 \implies n = 0$.
જો $n = \cos(\gamma) = 0$ હોય,તો $\gamma = \pi /2$.
આમ,રેખા $z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\pi /2$ નો ખૂણો બનાવે છે.

(B) ધારો કે રેખા $x, y$ અને $z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણાઓ અનુક્રમે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 120^{\circ}$ અને $\beta = 60^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિક્કોસાઈન (direction cosines) ના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^{2} (120^{\circ}) + \cos^{2} (60^{\circ}) + \cos^{2} \gamma = 1$
કારણ કે $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$ અને $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$(-\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$
$\frac{1}{2} + \cos^{2} \gamma = 1$
$\cos^{2} \gamma = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\gamma = 45^{\circ}$ અથવા $135^{\circ}$.

(C) બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે ત્યારે જ સમાંતર હોય જો તેમના દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોય.
ગાણિતિક રીતે,આ શરત નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$
જ્યાં $k$ એ શૂન્યતર અચળાંક છે.
આનો અર્થ એ છે કે બે રેખાઓના દિક સદિશો,$\vec{v_1} = a_1\hat{i} + b_1\hat{j} + c_1\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = a_2\hat{i} + b_2\hat{j} + c_2\hat{k}$,સમરેખ છે,એટલે કે $\vec{v_1} = k\vec{v_2}$.
તેથી,રેખાઓ સમાંતર હોવા માટેની સાચી શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.

(A) ધારો કે ત્રણ રેખાઓના દિકગુણોતર $L_1 = (1, 1, 2)$,$L_2 = (\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1, 4)$ અને $L_3 = (-\sqrt{3}-1, \sqrt{3}-1, 4)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,માન (magnitudes) શોધો: $|L_1| = \sqrt{1^2+1^2+2^2} = \sqrt{6}$.
$|L_2| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (-\sqrt{3}-1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3+1-2\sqrt{3}) + (3+1+2\sqrt{3}) + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$|L_3| = \sqrt{(-\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3+1+2\sqrt{3}) + (3+1-2\sqrt{3}) + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ શોધો:
$L_1 \cdot L_2 = 1(\sqrt{3}-1) + 1(-\sqrt{3}-1) + 2(4) = 6$.
$L_1 \cdot L_3 = 1(-\sqrt{3}-1) + 1(\sqrt{3}-1) + 2(4) = 6$.
$L_2 \cdot L_3 = (\sqrt{3}-1)(-\sqrt{3}-1) + (-\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1) + 4(4) = 12$.
ખૂણાઓ માટે કોસાઇન શોધો:
$\cos \theta_{12} = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \implies \theta_{12} = 60^\circ$.
$\cos \theta_{13} = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \implies \theta_{13} = 60^\circ$.
$\cos \theta_{23} = \frac{12}{2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \implies \theta_{23} = 60^\circ$.
બધા ખૂણા $60^\circ$ હોવાથી,આ રેખાઓ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(C) $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનો $(l, m, n)$ દિકકોસાઇનો ધરાવતી રેખા પરનો પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$|l(x_2 - x_1) + m(y_2 - y_1) + n(z_2 - z_1)|$.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $P(7, -5, 11)$ અને $Q(-2, 8, 13)$ છે.
દિકકોસાઇનો $l = \frac{1}{3}, m = \frac{2}{3}, n = \frac{2}{3}$ છે.
તફાવતની ગણતરી કરતા:
$x_2 - x_1 = -2 - 7 = -9$
$y_2 - y_1 = 8 - (-5) = 13$
$z_2 - z_1 = 13 - 11 = 2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
પ્રક્ષેપ $= |(\frac{1}{3})(-9) + (\frac{2}{3})(13) + (\frac{2}{3})(2)|$
$= |-\frac{9}{3} + \frac{26}{3} + \frac{4}{3}|$
$= |\frac{-9 + 26 + 4}{3}|$
$= |\frac{21}{3}| = 7$.

(A) ધારો કે બિંદુના યામ $P(x, y, z)$ છે.
બિંદુ $P$ નું $xy$-સમતલથી અંતર $|z|$ છે.
બિંદુ $P$ નું $yz$-સમતલથી અંતર $|x|$ છે.
બિંદુ $P$ નું $zx$-સમતલથી અંતર $|y|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$xy$-સમતલ અને $yz$-સમતલથી અંતરનો સરવાળો એ $zx$-સમતલથી અંતર જેટલો છે:
$|z| + |x| = |y|$.
જો બિંદુ પ્રથમ અષ્ટાંશમાં હોય જ્યાં $x, y, z > 0$,તો આપણને $x + z = y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x - y + z = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે બે રેખાઓના દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 1, 2)$ અને $\vec{b} = (\sqrt{3} - 1, -\sqrt{3} - 1, 4)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 1(\sqrt{3} - 1) + 1(-\sqrt{3} - 1) + 2(4) = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1 + 8 = 6$.
ત્યારબાદ,માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (-\sqrt{3} - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 16} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{6} \times 2\sqrt{6}} = \frac{6}{2 \times 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = 60^o$ મળે.

(C) ધારો કે બે રેખાઓના દિકગુણોતરો $a_1, b_1, c_1$ અને $a_2, b_2, c_2$ છે.
આપેલ છે: $(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, 2)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (\sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1, 4)$.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 1(\sqrt{3}-1) + 1(-\sqrt{3}-1) + 2(4) = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1 + 8 = 6$.
ત્યારબાદ,મૂલ્યોની ગણતરી કરો:
$\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.
$\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (-\sqrt{3}-1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 16} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{6} \times 2\sqrt{6}} = \frac{6}{2 \times 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = 60^{\circ}$.

(A) આપેલ દિકગુણોત્તર $a = 1, b = -3, c = 2$ છે.
દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$l = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
સૌ પ્રથમ,મૂલ્યની ગણતરી કરો:
$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.
હવે,દિક્કોસાઈન શોધો:
$l = \frac{1}{\sqrt{14}}$,
$m = \frac{-3}{\sqrt{14}}$,
$n = \frac{2}{\sqrt{14}}$.
આમ,દિક્કોસાઈન $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}$ છે.

(A) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઈન $l, m, n$ છે. રેખા $X$ અને $Z$ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી હોવાથી,$l = \cos \theta$ અને $n = \cos \theta$ થાય.
રેખા $Y$ અક્ષ સાથે $\beta$ ખૂણો બનાવતી હોવાથી,$m = \cos \beta$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 \theta + \cos^2 \beta + \cos^2 \theta = 1$.
$2 \cos^2 \theta + \cos^2 \beta = 1$.
નિત્યસમ $\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \cos^2 \theta + (1 - \sin^2 \beta) = 1$.
$2 \cos^2 \theta = \sin^2 \beta$.
આપેલ છે કે $\sin^2 \beta = 3 \sin^2 \theta$,તેથી:
$2 \cos^2 \theta = 3 \sin^2 \theta$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos^2 \theta = 3(1 - \cos^2 \theta)$.
$2 \cos^2 \theta = 3 - 3 \cos^2 \theta$.
$5 \cos^2 \theta = 3$.
$\cos^2 \theta = 3/5$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓના દિકગુણોતરો $a_1, b_1, c_1$ અને $a_2, b_2, c_2$ છે.
અહીં,$(a_1, b_1, c_1) = \left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = \left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશોના માન શોધીએ:
$|v_1| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{1}{16} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3+1+12}{16}} = 1$.
$|v_2| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{1}{4})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = 1$.
આપેલ દિકગુણોતરો વાસ્તવમાં દિકકોસાઈન છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = |a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|$ થાય.
$\cos \theta = |(\frac{\sqrt{3}}{4})(\frac{\sqrt{3}}{4}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2})|$
$\cos \theta = |\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}| = |-\frac{8}{16}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^o$. જો સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો લઈએ તો $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ મળે,જે $120^o$ દર્શાવે છે.

(A) $yz$-સમતલનું સમીકરણ $x = 0$ છે.
$yz$-સમતલને લંબ કોઈપણ રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોવી જોઈએ.
$x$-અક્ષના દિક્ગુણોત્તર (direction ratios) $(1, 0, 0)$ છે.
રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેના દિક્ગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,રેખાની દિક્કોસાઈન $(1, 0, 0)$ છે.

(D) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઇન $l, m, n$ છે.
રેખા યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે,તેથી $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$ અને $n = \cos \alpha$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$3 \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha = 1/3$.
$\cos \alpha = 1/\sqrt{3}$ (લઘુકોણ માટે ધન કિંમત લેતા).
તેથી,$\alpha = \cos^{-1}(1/\sqrt{3})$.

(C) રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇન માટેનું મૂળભૂત નિત્યસમ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ છે.
અહીં $l = \cos \alpha = 14/15$ અને $m = \cos \beta = 1/3$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(14/15)^2 + (1/3)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$196/225 + 1/9 + \cos^2 \gamma = 1$
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે સામાન્ય છેદ $225$ લેતા:
$196/225 + 25/225 + \cos^2 \gamma = 1$
$221/225 + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 1 - 221/225$
$\cos^2 \gamma = (225 - 221) / 225$
$\cos^2 \gamma = 4/225$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\cos \gamma = \pm \sqrt{4/225} = \pm 2/15$.

(D) બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z) = (3, 12, 4)$ છે.
અંતર $OP = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2}$.
$OP = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
દિક્કોસાઈનો $(l, m, n)$ એ $\frac{x}{OP}, \frac{y}{OP}, \frac{z}{OP}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,દિક્કોસાઈનો $\frac{3}{13}, \frac{12}{13}, \frac{4}{13}$ છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના દિક ગુણોત્તર અનુક્રમે $\langle a, b, c \rangle$ અને $\langle a', b', c' \rangle$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિક ગુણોત્તર $\langle a_1, b_1, c_1 \rangle$ અને $\langle a_2, b_2, c_2 \rangle$ હોય,તે પરસ્પર લંબ ત્યારે જ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આપેલ રેખાઓ લંબ હોવાથી,શરત $aa' + bb' + cc' = 0$ સાચી ઠરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે સદિશના યામાક્ષો પરના પ્રક્ષેપ $6, -3, 2$ છે,તેથી $a = 6$,$b = -3$,અને $c = 2$ થાય.
સદિશનું માન $|\vec{r}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2}$ છે.
$|\vec{r}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
સદિશના દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ એ $\frac{a}{|\vec{r}|}, \frac{b}{|\vec{r}|}, \frac{c}{|\vec{r}|}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$l = \frac{6}{7}$,$m = \frac{-3}{7}$,અને $n = \frac{2}{7}$ થાય.
તેથી,દિક્કોસાઈન $\frac{6}{7}, \frac{-3}{7}, \frac{2}{7}$ છે.

(C) ધારો કે બે રેખાઓના દિકગુણોત્તર $a_1, b_1, c_1 = (3, 4, 5)$ અને $a_2, b_2, c_2 = (4, -3, 5)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (3)(4) + (4)(-3) + (5)(5) = 12 - 12 + 25 = 25$
$\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
તેથી,$\cos \theta = \frac{25}{(5\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{25}{25 \times 2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = 60^o$ મળે.

(C) ધારો કે બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $a_1, b_1, c_1 = 1, 1, 2$ અને $a_2, b_2, c_2 = \sqrt{3}-1, -\sqrt{3}-1, 4$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
અંશની ગણતરી:
$1(\sqrt{3}-1) + 1(-\sqrt{3}-1) + 2(4) = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1 + 8 = 6$.
છેદની ગણતરી:
$\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$.
$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (-\sqrt{3}-1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) + 16} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{6}{2 \cdot 6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

(A) બિંદુઓ $A(6, -7, -1)$ અને $B(2, -3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિક્ગુણોત્તરો $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (2 - 6, -3 - (-7), 1 - (-1)) = (-4, 4, 2)$ છે.
સદિશનું માન $\sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$ છે.
દિક્કોસાઈનો $(l, m, n)$ એ $\left( \frac{-4}{6}, \frac{4}{6}, \frac{2}{6} \right) = \left( -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$ અથવા $\left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right)$ થાય.
ધારો કે $\alpha$ એ રેખા દ્વારા $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનતો ખૂણો છે. તેથી $\cos \alpha = l$. $\alpha$ લઘુકોણ હોવા માટે $\cos \alpha > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $l > 0$.
આમ,$l > 0$ હોય તેવી દિક્કોસાઈનોની જોડી $\left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right)$ છે.

(B) એક રેખા જે યામાક્ષો સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે છે,તેના દિકકોસાઇન માટેનો સંબંધ: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 90^\circ$,તેથી $\beta = 90^\circ - \alpha$.
આ કિંમત સંબંધમાં મૂકતા: $\cos^2 \alpha + \cos^2(90^\circ - \alpha) + \cos^2 \gamma = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \gamma = 1$.
નિત્યસમ $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 + \cos^2 \gamma = 1$.
આથી $\cos^2 \gamma = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \gamma = 0$.
તેથી,$\gamma = 90^\circ$.

(A) ધારો કે રેખાખંડની લંબાઈ $r$ છે અને તેના દિક્કોસાઈનો $l, m, n$ છે.
રેખાખંડના યામક્ષો પરના પ્રક્ષેપ $lr, mr, nr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $lr = 2, mr = 3$ અને $nr = 6$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(lr)^2 + (mr)^2 + (nr)^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2$
$r^2(l^2 + m^2 + n^2) = 4 + 9 + 36$
દિક્કોસાઈનોના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી:
$r^2(1) = 49$
$r^2 = 49$
$r = 7$
આમ,રેખાખંડની લંબાઈ $7$ છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 6)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 2)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{(2)(1) + (3)(2) + (6)(2)}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \right|$
અંશની ગણતરી:
$2 + 6 + 12 = 20$
છેદની ગણતરી:
$\sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$
$\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
આમ,$\cos \theta = \left| \frac{20}{7 \times 3} \right| = \frac{20}{21}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{ - 1} \left( \frac{20}{21} \right)$.

(B) બે બિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનો $l, m, n$ દિક્કોસાઈનો ધરાવતી રેખા પરનો પ્રક્ષેપ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
પ્રક્ષેપ = $l(x_2 - x_1) + m(y_2 - y_1) + n(z_2 - z_1)$.
આ સૂત્ર સદિશ $\vec{PQ} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$ અને રેખા $AB$ ની દિશામાંના એકમ સદિશ $\hat{u} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) પરથી મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રક્ષેપ = $\vec{PQ} \cdot \hat{u} = l(x_2 - x_1) + m(y_2 - y_1) + n(z_2 - z_1)$.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{r}$ ના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે. યામાક્ષો પર તેના પ્રક્ષેપ $l|\vec{r}|, m|\vec{r}|, n|\vec{r}|$ છે.
તેથી,$l|\vec{r}| = 6, m|\vec{r}| = -3, n|\vec{r}| = 2$ $(i)$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(l|\vec{r}|)^2 + (m|\vec{r}|)^2 + (n|\vec{r}|)^2 = 6^2 + (-3)^2 + 2^2$
$|\vec{r}|^2(l^2 + m^2 + n^2) = 36 + 9 + 4$
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,તેથી $|\vec{r}|^2 = 49$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{r}| = 7$.
સમીકરણ $(i)$ માં $|\vec{r}| = 7$ મૂકતા:
$l = \frac{6}{7}, m = -\frac{3}{7}, n = \frac{2}{7}$.

(B) ધારો કે રેખા $x$,$y$ અને $z$-અક્ષની ધન દિશાઓ સાથે અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$ અને $\gamma$ ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{4}$ અને $\beta = \frac{\pi}{4}$.
રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ અને $n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$1 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \gamma = 0$.
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{2}$.

(D) ધારો કે રેખા $AB$ ના દિશા ખૂણાઓ $x, y, z$ અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}$ અને $\beta = 120^{\circ}$.
દિશા કોસાઇન વચ્ચેનો સંબંધ $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^{2} 45^{\circ} + \cos^{2} 120^{\circ} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\cos^{2} \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
અહીં $\theta = \gamma$ એ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \gamma = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$\gamma = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.

(D) ધારો કે રેખા $x$,$y$ અને $z$-અક્ષની ધન દિશાઓ સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^\circ$ અને $\beta = 45^\circ$.
રેખાની દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે.
તેથી $l = \cos \alpha = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$m = \cos \beta = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$n = \cos \gamma$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$1 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 0$.
$\cos \gamma = 0$.
તેથી,$\gamma = 90^\circ$.

(B) ધારો કે ઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
કારણ કે $3$ સંગામી ધાર યામ અક્ષો પર છે,તેથી ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર છે અને સામેનો ખૂણો $(a, a, a)$ પર છે.
$(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
યામ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a)$ મળે છે.
દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણસર હોવાથી,આપણે $a$ વડે ભાગીને $(1, 1, 1)$ મેળવી શકીએ છીએ.
આમ,દિશા ગુણોત્તર $1, 1, 1$ છે.

(C) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઈન $(\cos \theta, \cos \beta, \cos \theta)$ છે.
દિકકોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ હોવાથી:
$\cos^2 \theta + \cos^2 \beta + \cos^2 \theta = 1$
$2\cos^2 \theta + \cos^2 \beta = 1$
નિત્યસમ $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \sin^2 \theta) + (1 - \sin^2 \beta) = 1$
$3 - 2\sin^2 \theta - \sin^2 \beta = 1$
આપેલ છે કે $\sin^2 \beta = 3\sin^2 \theta$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$3 - 2\sin^2 \theta - 3\sin^2 \theta = 1$
$3 - 5\sin^2 \theta = 1$
$5\sin^2 \theta = 2$
$\sin^2 \theta = \frac{2}{5}$
હવે,$\cos^2 \theta$ ની કિંમત શોધો:
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$