System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Gujarati

(D) ધારો કે રેખા $X, Y,$ અને $Z-$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha, \beta,$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 30^o$ અને $\beta = 45^o$.
રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2 30^o + \cos^2 45^o + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3+2}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \frac{5}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$.
કારણ કે $\cos^2 \gamma$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આવી કોઈ રેખા વાસ્તવિક અવકાશમાં અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇન માટે,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ હોવાથી,$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 3 - 1 = 2$.
આપેલ સમીકરણ $2(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma) = 3 \sec^2 \frac{\theta}{2}$ છે.
કિંમત મૂકતા,$2(2) = 3 \sec^2 \frac{\theta}{2} \Rightarrow 4 = 3 \sec^2 \frac{\theta}{2}$.
$\sec^2 \frac{\theta}{2} = \frac{4}{3} \Rightarrow \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3}{4}$.
નિત્યસમ $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = 2(\frac{3}{4}) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ $\left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$ છે.
મધ્યગા $AD$ ના દિકગુણોત્તર $(DRs)$ $\left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$ છે.
મધ્યગા $AD$ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી,તેના દિકગુણોત્તર સમાન હોવા જોઈએ. તેથી,$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1$ પરથી $\lambda = 7$ મળે છે.
$\frac{\mu - 8}{2} = 1$ પરથી $\mu = 10$ મળે છે.
હવે,$(\lambda^3 + \mu^3 + 5) = 7^3 + 10^3 + 5 = 343 + 1000 + 5 = 1348$.

(C) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે. રેખા $x$ અને $y$ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી $l = \cos \theta$ અને $m = \cos \theta$.
ધારો કે $z$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\phi$ છે. તેથી $n = \cos \phi$.
દિકકોસાઇન માટેની શરત $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos^2 \theta + \cos^2 \theta + \cos^2 \phi = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 \cos^2 \theta + \cos^2 \phi = 1$.
આમ,$\cos^2 \phi = 1 - 2 \cos^2 \theta = - \cos 2 \theta$.
કારણ કે $\cos^2 \phi \ge 0$,તેથી $-\cos 2 \theta \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\cos 2 \theta \le 0$.
આપેલ છે કે $0 < \theta \le \frac{\pi}{2}$,તેથી $0 < 2 \theta \le \pi$.
અંતરાલ $(0, \pi]$ માં $\cos 2 \theta \le 0$ માટે,$\frac{\pi}{2} \le 2 \theta \le \pi$ થાય.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\theta$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right]$ છે.

(C) દિકકોસાઇન માટે આપેલ સમીકરણો: $l+m+n=0$ અને $l^2+m^2-n^2=0$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l+m = -n$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $l^2+m^2+2lm = n^2$ મળે છે.
બીજા સમીકરણમાંથી $l^2+m^2 = n^2$ ને આમાં મૂકતા,આપણને $n^2+2lm = n^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2lm = 0$,તેથી $lm = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $m+n=0 \Rightarrow m=-n$. કારણ કે $l^2+m^2+n^2=1$,આપણી પાસે $0^2+(-n)^2+n^2=1 \Rightarrow 2n^2=1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે. આમ,દિકગુણોત્તર $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અથવા $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $l+n=0 \Rightarrow l=-n$. તેવી જ રીતે,$l^2+0^2+n^2=1 \Rightarrow 2n^2=1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે. આમ,દિકગુણોત્તર $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અથવા $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
ધારો કે બે રેખાઓના દિકકોસાઇન $\vec{u_1} = (0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{u_2} = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}| = |(0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ છે.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{2}$,લઘુકોણ $\theta = 60^o$ છે.

(B) ધારો કે રેખાખંડના $x, y$ અને $z-$ અક્ષો પરના પ્રક્ષેપો $p_x = 2$,$p_y = 3$,અને $p_z = 6$ છે.
$3-$ પરિમાણીય અવકાશમાં રેખાખંડની લંબાઈ $L$ શોધવાનું સૂત્ર $L = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$L = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}$.
$L = \sqrt{4 + 9 + 36}$.
$L = \sqrt{49}$.
$L = 7$.
આમ,રેખાખંડની લંબાઈ $7$ છે.

(C) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$
મધ્યગા $AD$ ના દિકગુણોત્તરો:
$a = \frac{\lambda - 1}{2} - 2 = \frac{\lambda - 5}{2}$
$b = 4 - 3 = 1$
$c = \frac{\mu + 2}{2} - 5 = \frac{\mu - 8}{2}$
મધ્યગા $AD$ અક્ષો સાથે સમાન નમેલી હોવાથી,તેના દિકકોસાઇન $l, m, n$ સમાન થાય,એટલે કે $|l| = |m| = |n|$. $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,$l = m = n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $a, b, c$ એ $1, 1, 1$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ. $b = 1$ હોવાથી,$a = 1$ અને $c = 1$ મળે.
$a = 1$ લેતા:
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \Rightarrow \lambda - 5 = 2 \Rightarrow \lambda = 7$
$c = 1$ લેતા:
$\frac{\mu - 8}{2} = 1 \Rightarrow \mu - 8 = 2 \Rightarrow \mu = 10$
તેથી,$(\lambda, \mu) = (7, 10)$.

(C) ધારો કે એકમ સદિશ $\vec{r}$ ના દિક-ખૂણાઓ $\alpha = \frac{\pi}{3}$,$\beta = \frac{\pi}{4}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
એકમ સદિશના દિક-કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,જે સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \theta = 1$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ અને $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $\theta \in (0, \pi)$,જો $\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોય,તો $\theta = \frac{\pi}{3}$. જો $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $\theta = \frac{2\pi}{3}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{2\pi}{3}$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ ના દિક્-ગુણોત્તરો તેના ઘટકો $(x, y, z)$ છે.
આપેલ સદિશ $\vec{a} = 1\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$ માટે,દિક્-ગુણોત્તરો $a = 1, b = 1, c = -2$ છે.
હવે,સદિશનું માન શોધીએ: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
દિક્-કોસાઈન $(l, m, n)$ નીચે મુજબ મળે: $l = \frac{a}{|\vec{a}|}, m = \frac{b}{|\vec{a}|}, n = \frac{c}{|\vec{a}|}$.
કિંમતો મૂકતા,$l = \frac{1}{\sqrt{6}}, m = \frac{1}{\sqrt{6}}, n = \frac{-2}{\sqrt{6}}$.
આમ,દિક્-કોસાઈન $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$ છે.

(A) આપેલા બિંદુઓ $A(1, 2, -3)$ અને $B(-1, -2, 1)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{AB} = (-1 - 1)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (1 - (-3))\hat{k} = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\overrightarrow{AB}$ નું માન $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$ છે.
દિકકોસાઇન $\left(\frac{a}{|\overrightarrow{AB}|}, \frac{b}{|\overrightarrow{AB}|}, \frac{c}{|\overrightarrow{AB}|}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\overrightarrow{AB} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\left(-\frac{2}{6}, -\frac{4}{6}, \frac{4}{6}\right) = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ છે.

(A) રેખાના દિક્કોસાઈન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખા દ્વારા $x, y$ અને $z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
અહીં $\alpha = 90^{\circ}, \beta = 60^{\circ}, \gamma = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
તેથી,$l = \cos 90^{\circ} = 0$.
$m = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$n = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,દિક્કોસાઈન $0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.

(A) ધારો કે દિકગુણોત્તરો $a = 2, b = -1, c = -2$ છે.
સદિશનું માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
દિકકોસાઈન $(l, m, n)$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $l = \frac{2}{3}, m = -\frac{1}{3}, n = -\frac{2}{3}$ મળે છે.
આમ,દિકકોસાઈન $\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિક્કોસાઇન $\frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $P(-2, 4, -5)$ અને $Q(1, 2, 3)$ છે.
પ્રથમ,અંતર $PQ$ ની ગણતરી કરો:
$PQ = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 4)^2 + (3 - (-5))^2} = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (8)^2} = \sqrt{9 + 4 + 64} = \sqrt{77}$.
હવે,દિક્કોસાઇન નીચે મુજબ છે:
$l = \frac{1 - (-2)}{\sqrt{77}} = \frac{3}{\sqrt{77}}$
$m = \frac{2 - 4}{\sqrt{77}} = \frac{-2}{\sqrt{77}}$
$n = \frac{3 - (-5)}{\sqrt{77}} = \frac{8}{\sqrt{77}}$
આમ,દિક્કોસાઇન $\frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}}$ છે.

(A) $x$-અક્ષ એ $x$,$y$,અને $z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $0^{\circ}, 90^{\circ}$,અને $90^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$x$-અક્ષના દિક્કોસાઇન $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ એટલે કે $(1, 0, 0)$ છે.
તે જ રીતે,$y$-અક્ષ એ $x$,$y$,અને $z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $90^{\circ}, 0^{\circ}$,અને $90^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$y$-અક્ષના દિક્કોસાઇન $\cos 90^{\circ}, \cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ એટલે કે $(0, 1, 0)$ છે.
અંતે,$z$-અક્ષ એ $x$,$y$,અને $z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $90^{\circ}, 90^{\circ}$,અને $0^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$z$-અક્ષના દિક્કોસાઇન $\cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 0^{\circ}$ એટલે કે $(0, 0, 1)$ છે.

(A) ધારો કે રેખાના દિક્કોણ $\alpha = 90^{\circ}, \beta = 135^{\circ}$ અને $\gamma = 45^{\circ}$ છે.
રેખાના દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ એ $l = \cos \alpha, m = \cos \beta$ અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક કિંમતની ગણતરી કરતા:
$l = \cos 90^{\circ} = 0$
$m = \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$n = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,રેખાના દિક્કોસાઈન $0, -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે. રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે,તેથી $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,અને $n = \cos \alpha$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $3 \cos^2 \alpha = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(A) આપેલ દિક-ગુણોત્તરો $a = -18, b = 12, c = -4$ છે.
સદિશનું માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(-18)^2 + (12)^2 + (-4)^2}$ થાય.
$= \sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22.$
દિક-કોસાઈન $(l, m, n)$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$
$l = \frac{-18}{22} = \frac{-9}{11},$
$m = \frac{12}{22} = \frac{6}{11},$
$n = \frac{-4}{22} = \frac{-2}{11}.$
આમ,દિક-કોસાઈન $\frac{-9}{11}, \frac{6}{11}, \frac{-2}{11}$ છે.

ધારો કે $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(3,5,-4), B(-1,1,2),$ અને $C(-5,-5,-2)$ છે.
બાજુ $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(-1-3), (1-5), (2-(-4)),$ એટલે કે $-4, -4, 6$ છે.
સદિશ $\vec{AB}$ નું માન $\sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16+16+36} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ છે.
તેથી,$AB$ ના દિકકોસાઇન $\frac{-4}{2\sqrt{17}}, \frac{-4}{2\sqrt{17}}, \frac{6}{2\sqrt{17}}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $-\frac{2}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}$ થાય છે.
બાજુ $BC$ ના દિકગુણોત્તરો $(-5-(-1)), (-5-1), (-2-2),$ એટલે કે $-4, -6, -4$ છે.
સદિશ $\vec{BC}$ નું માન $\sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+36+16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ છે.
તેથી,$BC$ ના દિકકોસાઇન $\frac{-4}{2\sqrt{17}}, \frac{-6}{2\sqrt{17}}, \frac{-4}{2\sqrt{17}}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $-\frac{2}{\sqrt{17}}, -\frac{3}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}$ થાય છે.
બાજુ $CA$ ના દિકગુણોત્તરો $(3-(-5)), (5-(-5)), (-4-(-2)),$ એટલે કે $8, 10, -2$ છે.
સદિશ $\vec{CA}$ નું માન $\sqrt{8^2 + 10^2 + (-2)^2} = \sqrt{64+100+4} = \sqrt{168} = 2\sqrt{42}$ છે.
તેથી,$CA$ ના દિકકોસાઇન $\frac{8}{2\sqrt{42}}, \frac{10}{2\sqrt{42}}, \frac{-2}{2\sqrt{42}}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, -\frac{1}{\sqrt{42}}$ થાય છે.

દિકકોસાઇન $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ અને $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ ધરાવતી બે રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય જો $l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = 0$ થાય.
$(i)$ દિકકોસાઇન $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ અને $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ ધરાવતી રેખાઓ માટે:
$l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{4}{13}\right) + \left(\frac{-3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{-4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right)$
$= \frac{48}{169} - \frac{36}{169} - \frac{12}{169} = 0$.
આમ,આ બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
$(ii)$ દિકકોસાઇન $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ અને $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ ધરાવતી રેખાઓ માટે:
$l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = \left(\frac{4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{-4}{13}\right) + \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right)$
$= \frac{12}{169} - \frac{48}{169} + \frac{36}{169} = 0$.
આમ,આ બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
$(iii)$ દિકકોસાઇન $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ અને $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ ધરાવતી રેખાઓ માટે:
$l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{-4}{13}\right)\left(\frac{-3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{-4}{13}\right)$
$= \frac{36}{169} + \frac{12}{169} - \frac{48}{169} = 0$.
આમ,આ બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
બધી જોડીઓ લંબ હોવાથી,ત્રણેય રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.

(N/A) ઘન એ એક લંબઘન છે જેની લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ સમાન હોય છે.
ધારો કે ઘનના શિરોબિંદુઓ એવા છે કે જેના વિકર્ણો $OE, AF, BG,$ અને $CD$ છે.
ધારો કે ઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), D(a,a,0), E(a,a,a), F(0,a,a), G(a,0,a)$ છે.
ચાર વિકર્ણોના દિશા સદિશો નીચે મુજબ છે:
$d_1 = (a, a, a) \implies \text{એકમ સદિશ } \hat{d}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$
$d_2 = (-a, a, a) \implies \text{એકમ સદિશ } \hat{d}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$
$d_3 = (a, -a, a) \implies \text{એકમ સદિશ } \hat{d}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$
$d_4 = (a, a, -a) \implies \text{એકમ સદિશ } \hat{d}_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$
ધારો કે આપેલી રેખાના દિકકોસાઈન $(l, m, n)$ છે,જ્યાં $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
રેખા અને એકમ સદિશ $\hat{d}$ ધરાવતા વિકર્ણ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઈન ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે: $\cos \theta = |l \cdot d_x + m \cdot d_y + n \cdot d_z|$.
આમ,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}(l+m+n)$,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}(-l+m+n)$,$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}(l-m+n)$,અને $\cos \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}(l+m-n)$.
આ કિંમતોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{1}{3} [(l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2]$
$= \frac{1}{3} [ (l^2+m^2+n^2 + 2lm + 2mn + 2nl) + (l^2+m^2+n^2 + 2lm - 2mn - 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm - 2mn + 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm + 2mn - 2nl) ]$
$= \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ]$
કારણ કે $l^2+m^2+n^2 = 1$,તેથી સરવાળો $\frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$ થાય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ અને $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ એ બે પરસ્પર લંબ રેખાઓની દિક્કોસાઇન છે. તેથી,
$l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0$ ........$(1)$
$l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}=1$ ..........$(2)$
$l_{2}^{2}+m_{2}^{2}+n_{2}^{2}=1$ ...........$(3)$
ધારો કે $l, m, n$ એ રેખાની દિક્કોસાઇન છે જે $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ અને $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ દિક્કોસાઇન ધરાવતી રેખાઓને લંબ છે.
$\therefore l l_{1} + m m_{1} + n n_{1} = 0$
$l l_{2} + m m_{2} + n n_{2} = 0$
$\therefore \frac{l}{m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1}} = \frac{m}{n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1}} = \frac{n}{l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1}}$
$\Rightarrow \frac{l^{2}}{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2}} = \frac{m^{2}}{(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2}} = \frac{n^{2}}{(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}}$
$= \frac{l^{2} + m^{2} + n^{2}}{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2} + (n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2} + (l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}}$ .........$(4)$
કારણ કે $l, m, n$ એ રેખાની દિક્કોસાઇન છે,$l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ ........$(5)$
લેગ્રાન્જ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(l_{1}^{2} + m_{1}^{2} + n_{1}^{2})(l_{2}^{2} + m_{2}^{2} + n_{2}^{2}) - (l_{1} l_{2} + m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2})^{2} = (m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2} + (n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2} + (l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}$
$(1), (2),$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$1 \cdot 1 - 0^{2} = (m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2} + (n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2} + (l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2} = 1$ .........$(6)$
$(5)$ અને $(6)$ ને $(4)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{l^{2}}{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})^{2}} = \frac{m^{2}}{(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})^{2}} = \frac{n^{2}}{(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})^{2}} = 1$
આમ,$l = m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1}, m = n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1}, n = l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1}$.

(A) અષ્ટાંશ યામ $(x, y, z)$ ના ચિહ્નો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
બિંદુ $(-3, 1, 2)$ માટે,ચિહ્નો $(-, +, +)$ છે,જે બીજા અષ્ટાંશને અનુરૂપ છે.
બિંદુ $(-3, 1, -2)$ માટે,ચિહ્નો $(-, +, -)$ છે,જે છઠ્ઠા અષ્ટાંશને અનુરૂપ છે.
તેથી,બિંદુઓ અનુક્રમે બીજા અને છઠ્ઠા અષ્ટાંશમાં આવેલા છે.

(A) ત્રિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$XZ-$ સમતલમાં આવેલા કોઈપણ બિંદુનો $y-$ યામ $0$ હોય છે.
તેથી,બિંદુનો $y-$ યામ $0$ છે.

અષ્ટાંશ યામ $(x, y, z)$ ના ચિહ્નો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
$1$. $(1, 2, 3)$: બધા ધન,તેથી તે અષ્ટાંશ $I$ માં છે.
$2$. $(4, -2, 3)$: $(+, -, +)$,તેથી તે અષ્ટાંશ $IV$ માં છે.
$3$. $(4, -2, -5)$: $(+, -, -)$,તેથી તે અષ્ટાંશ $VIII$ માં છે.
$4$. $(4, 2, -5)$: $(+, +, -)$,તેથી તે અષ્ટાંશ $V$ માં છે.
$5$. $(-4, 2, -5)$: $(-, +, -)$,તેથી તે અષ્ટાંશ $VI$ માં છે.
$6$. $(-4, 2, 5)$: $(-, +, +)$,તેથી તે અષ્ટાંશ $II$ માં છે.
$7$. $(-3, -1, 6)$: $(-, -, +)$,તેથી તે અષ્ટાંશ $III$ માં છે.
$8$. $(-2, -4, -7)$: $(-, -, -)$,તેથી તે અષ્ટાંશ $VII$ માં છે.

(N/A) ત્રિ-પરિમાણીય યામ પદ્ધતિમાં,$XY$-સમતલના કોઈપણ બિંદુનો $z$-યામ $0$ હોય છે. તેથી,$XY$-સમતલમાં બિંદુઓના યામ $(x, y, 0)$ સ્વરૂપના હોય છે.

(C) ત્રણ યામ સમતલો ($XY$,$YZ$,અને $ZX$) ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશને $8$ અષ્ટમાંશમાં વિભાજિત કરે છે.

(A) દિક-કોસાઈન $(l, m, n)$ નીચેના સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$l = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
અહીં,દિક-ગુણોત્તરો $a = 1, b = 1, c = 2$ છે.
પ્રથમ,માન (magnitude) ની ગણતરી કરો:
$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$l = \frac{1}{\sqrt{6}}, m = \frac{1}{\sqrt{6}}, n = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
રેખાની દિશાના આધારે દિક-કોસાઈન ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે છે,તેથી દિક-કોસાઈન $\pm(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}})$ છે.

(C) $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિક્ગુણોત્તરો $(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1})$ દ્વારા મળે છે.
$P(2, 3, 5)$ અને $Q(-1, 2, 4)$ બિંદુઓ માટે,દિક્ગુણોત્તરો $(-1-2, 2-3, 4-5) = (-3, -1, -1)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(-3)^{2} + (-1)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$ છે.
દિક્કોસાઇન મેળવવા માટે દિક્ગુણોત્તરોને અંતર $PQ$ વડે ભાગવામાં આવે છે.
આમ,દિક્કોસાઇન $\left(\frac{-3}{\sqrt{11}}, \frac{-1}{\sqrt{11}}, \frac{-1}{\sqrt{11}}\right)$ અથવા $\left(\frac{3}{\sqrt{11}}, \frac{1}{\sqrt{11}}, \frac{1}{\sqrt{11}}\right)$ છે.

(A) જે રેખા $x, y, z$-અક્ષો સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે છે તેના દિક્કોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\alpha = 30^{\circ}$,$\beta = 60^{\circ}$,અને $\gamma = 90^{\circ}$ આપેલ છે.
તેથી,દિક્કોસાઇન નીચે મુજબ થશે:
$l = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$m = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$n = \cos 90^{\circ} = 0$
આમ,દિક્કોસાઇન $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ છે.

(A) ધારો કે $\overrightarrow{OA}$ ના દિશા ખૂણાઓ $\alpha = 60^{\circ}$,$\beta = 45^{\circ}$,અને $\gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^{2} 60^{\circ} + \cos^{2} 45^{\circ} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\Rightarrow (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\Rightarrow \frac{3}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\Rightarrow \cos^{2} \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$.
ધારો કે $\gamma$ લઘુકોણ છે,તેથી $\cos \gamma = \frac{1}{2}$.
દિશા કોસાઇન $l = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$m = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$n = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ છે.
સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OA} = |\overrightarrow{OA}| (l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k})$.
$\overrightarrow{OA} = 10 (\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k})$.
$\overrightarrow{OA} = 5\hat{i} + 5\sqrt{2}\hat{j} + 5\hat{k}$.

(A) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ $(1)$ અને $l^{2}+m^{2}-n^{2}=0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$n = -(l+m)$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$l^{2}+m^{2}-(-(l+m))^{2}=0$
$l^{2}+m^{2}-(l^{2}+m^{2}+2lm)=0$
$-2lm=0 \Rightarrow lm=0$.
કિસ્સો $1$: $l=0$. $(1)$ પરથી,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$. દિક્ગુણોત્તરો $(0, -n, n)$ અથવા $(0, -1, 1)$ છે.
કિસ્સો $2$: $m=0$. $(1)$ પરથી,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$. દિક્ગુણોત્તરો $(-n, 0, n)$ અથવા $(-1, 0, 1)$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = -1\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(0)(-1) + (-1)(0) + (1)(1)|}{\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2} \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(A) આપણી પાસે બે અલગ અલગ સ્થિતિઓમાં એક ચલ રેખાની દિક્કોસાઇન $l, m, n$ અને $l+\delta l, m+\delta m, n+\delta n$ છે.
$\therefore l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 \dots (i)$
અને $(l+\delta l)^{2}+(m+\delta m)^{2}+(n+\delta n)^{2}=1 \dots (ii)$
$\Rightarrow l^{2}+m^{2}+n^{2}+\delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}+2(l \delta l+m \delta m+n \delta n)=1$
$\Rightarrow \delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}=-2(l \delta l+m \delta m+n \delta n) \left[\because l^{2}+m^{2}+n^{2}=1\right]$
$\Rightarrow l \delta l+m \delta m+n \delta n=-\frac{1}{2}(\delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}) \dots (iii)$
હવે,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ અનુક્રમે $l, m, n$ અને $(l+\delta l), (m+\delta m), (n+\delta n)$ દિક્કોસાઇન ધરાવતી રેખા પરના એકમ સદિશો છે.
$\therefore \vec{a}=l \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k}$ અને $\vec{b}=(l+\delta l) \hat{i}+(m+\delta m) \hat{j}+(n+\delta n) \hat{k}$
$\Rightarrow \cos \delta \theta = \vec{a} \cdot \vec{b} = l(l+\delta l)+m(m+\delta m)+n(n+\delta n)$
$= (l^{2}+m^{2}+n^{2})+(l \delta l+m \delta m+n \delta n)$
$= 1-\frac{1}{2}(\delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}) \text{ [સમીકરણ } (iii) \text{ નો ઉપયોગ કરતા}]$
$\Rightarrow 2(1-\cos \delta \theta) = \delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}$
$\Rightarrow 2(2 \sin^{2} \frac{\delta \theta}{2}) = \delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2} \left[\because 1-\cos \theta = 2 \sin^{2} \frac{\theta}{2}\right]$
$\Rightarrow 4(\frac{\delta \theta}{2})^{2} = \delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2} \left[\text{કારણ કે } \delta \theta \text{ નાનો છે, } \sin \frac{\delta \theta}{2} \approx \frac{\delta \theta}{2}\right]$
$\therefore \delta \theta^{2} = \delta l^{2}+\delta m^{2}+\delta n^{2}$

ધારો કે એક સદિશ $OX, OY$ અને $OZ$ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે.
તેથી,સદિશના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha, m = \cos \alpha$ અને $n = \cos \alpha$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સદિશ માટે,તેના દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે.
તેથી,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$
આ સમીકરણ $3 \cos^2 \alpha = 1$ માં પરિણમે છે.
$\cos \alpha$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$
જો સદિશ પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં હોય,તો દિકકોસાઇન $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે સદિશ $\vec{r}$ ના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે.
આપેલ છે કે સદિશ $y$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{4}$ અને $z$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,$m = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $n = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સદિશ માટે,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$l^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 0^2 = 1$.
$l^2 + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
એકમ સદિશ $\hat{r} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
માગેલ સદિશ $\vec{r} = |\vec{r}| \hat{r} = 3\sqrt{2} (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} + 0\hat{k})$ છે.
તેથી,$\vec{r} = \pm 3\hat{i} + 3\hat{j}$.

(NONE) આપેલ સમીકરણો $l+m-n=0$ અને $l^{2}+m^{2}-n^{2}=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$n = l+m$.
આને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $l^{2}+m^{2}=(l+m)^{2} = l^{2}+m^{2}+2lm$.
આનું સાદું રૂપ $2lm = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $n=m$. $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ હોવાથી,$0^{2}+m^{2}+m^{2}=1$,તેથી $2m^{2}=1$,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકકોસાઇન $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $n=l$. $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ હોવાથી,$l^{2}+0^{2}+l^{2}=1$,તેથી $2l^{2}=1$,$l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકકોસાઇન $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
ધારો કે દિકકોસાઇન $\vec{u} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન $\cos \alpha = |\vec{u} \cdot \vec{v}| = |0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}| = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha$ શોધવાનું છે.
$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha = (\frac{3}{4})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{16} + \frac{1}{4} = \frac{9+4}{16} = \frac{13}{16}$.

(A) આપેલ સમીકરણો $n = 2(l + m)$ અને $mn + nl + lm = 0$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $n = 2(l + m)$ મૂકતા:
$m(2l + 2m) + 2l(l + m) + lm = 0$
$2lm + 2m^2 + 2l^2 + 2lm + lm = 0$
$2l^2 + 5lm + 2m^2 = 0$
$m^2$ વડે ભાગતા,આપણને $2t^2 + 5t + 2 = 0$ મળે છે,જ્યાં $t = \frac{l}{m}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2t + 1)(t + 2) = 0$,તેથી $t = -\frac{1}{2}$ અથવા $t = -2$.
કિસ્સો $1$: જો $\frac{l}{m} = -2$,તો $l = -2m$. $n = 2(l + m)$ માં મૂકતા,$n = 2(-2m + m) = -2m$ મળે છે.
દિશા ગુણોત્તર $(-2m, m, -2m)$ છે,જે $(-2, 1, -2)$ તરીકે સરળ બને છે.
કિસ્સો $2$: જો $\frac{l}{m} = -\frac{1}{2}$,તો $m = -2l$. $n = 2(l + m)$ માં મૂકતા,$n = 2(l - 2l) = -2l$ મળે છે.
દિશા ગુણોત્તર $(l, -2l, -2l)$ છે,જે $(1, -2, -2)$ તરીકે સરળ બને છે.
ધારો કે દિશા ગુણોત્તર $\vec{a} = (-2, 1, -2)$ અને $\vec{b} = (1, -2, -2)$ છે.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = \frac{|(-2)(1) + (1)(-2) + (-2)(-2)|}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+4+4}} = \frac{|-2 - 2 + 4|}{3 \times 3} = 0$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ દિક્કોસાઇન $l, m, n$ માટેના સંબંધો $l+m-n=0$ અને $3l^{2}+m^{2}+cnl=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,આપણને $n = l+m$ મળે છે.
આ કિંમતને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $3l^{2}+m^{2}+cl(l+m)=0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $3l^{2}+m^{2}+cl^{2}+clm=0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$(3+c)l^{2}+clm+m^{2}=0$ મળે છે.
$m^{2}$ વડે ભાગતા ($m \neq 0$ ધારીને),આપણને $(3+c)(\frac{l}{m})^{2}+c(\frac{l}{m})+1=0$ મળે છે.
કારણ કે બે રેખાઓ સમાંતર છે,તેથી $(\frac{l}{m})$ માં આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,વિવેચક $D = b^{2}-4ac = 0$.
$c^{2}-4(3+c)(1) = 0$.
$c^{2}-4c-12=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(c-6)(c+2)=0$ મળે છે.
આથી $c=6$ અથવા $c=-2$ મળે છે.
આપણને $c$ નું ધન મૂલ્ય જોઈએ છે,તેથી $c=6$ છે.

(A) ધારો કે $P(x, y, z)$ પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં છે,$OP = \gamma = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
$P$ નો $xy$-સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ $Q(x, y, 0)$ છે.
ધારો કે $OQ = r = \sqrt{x^2+y^2}$.
$OQ$ અને ધન $x$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોવાથી,$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$.
$OP$ અને ધન $z$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ હોવાથી,$z = OP \cos \phi = \gamma \cos \phi$.
તેમજ,$r = OP \sin \phi = \gamma \sin \phi$.
આમ,$x = \gamma \sin \phi \cos \theta$,$y = \gamma \sin \phi \sin \theta$,અને $z = \gamma \cos \phi$.
$P(x, y, z)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2+z^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{(\gamma \sin \phi \sin \theta)^2 + (\gamma \cos \phi)^2} = \gamma \sqrt{\sin^2 \phi \sin^2 \theta + \cos^2 \phi}$.
$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\gamma \sqrt{\sin^2 \phi \sin^2 \theta + 1 - \sin^2 \phi} = \gamma \sqrt{1 - \sin^2 \phi (1 - \sin^2 \theta)} = \gamma \sqrt{1 - \sin^2 \phi \cos^2 \theta}$.

(A) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખા દ્વારા અનુક્રમે $x, y, z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલા ખૂણાઓ છે.
આપેલ છે કે $\beta = \frac{\alpha}{2}$ અને $\gamma = \frac{\alpha}{2}$.
રેખાના દિકકોસાઇન સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નું પાલન કરે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos^2 \alpha + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1$.
$\cos^2 \alpha + 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1$.
નિત્યસમ $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos^2 \alpha + 2(\frac{1 + \cos \alpha}{2}) = 1$.
$\cos^2 \alpha + 1 + \cos \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha + \cos \alpha = 0$.
$\cos \alpha(\cos \alpha + 1) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \alpha = 0$ અથવા $\cos \alpha = -1$.
જો $\cos \alpha = 0$ હોય,તો $\alpha = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\beta = \frac{\pi}{4}$.
જો $\cos \alpha = -1$ હોય,તો $\alpha = \pi$,તેથી $\beta = \frac{\pi}{2}$.
$\beta$ માટેના શક્ય મૂલ્યો $\frac{\pi}{4}$ અને $\frac{\pi}{2}$ છે.
$\beta$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{4}$ થાય.

(C) ધારો કે રેખા દ્વારા ધન $X$,$Y$ અને $Z$ અક્ષ સાથે બનતા ખૂણાઓ અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}$ અને $\beta = \gamma$.
દિશા કોસાઇનના ગુણધર્મ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\cos^2 \beta = 1$
$\frac{1}{2} + 2\cos^2 \beta = 1$
$2\cos^2 \beta = \frac{1}{2}$
$\cos^2 \beta = \frac{1}{4}$
$\cos \beta = \frac{1}{2}$ (ખૂણા લઘુકોણ હોવાથી)
$\beta = 60^{\circ}$.
આમ,$\beta = 60^{\circ}$ અને $\gamma = 60^{\circ}$.
ખૂણાઓનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = 45^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 165^{\circ}$ થાય.

(C) ધારો કે દિશાના ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 120^{\circ}$ અને $\gamma = 60^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(120^{\circ}) + \cos^2 \beta + \cos^2(60^{\circ}) = 1$.
$(-\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \beta + (\frac{1}{2})^2 = 1$.
$\frac{1}{4} + \cos^2 \beta + \frac{1}{4} = 1$.
$\cos^2 \beta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$\cos \beta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\beta = 45^{\circ}$ અથવા $\beta = 135^{\circ}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ એ $A(5, -3, -2)$ અને $B(1, 2, -2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
બિંદુ $P$ એ $XOZ$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થશે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ નો $y$-યામ $\frac{m(2) + 1(-3)}{m + 1} = 0$ થાય.
$\Rightarrow 2m - 3 = 0 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$.
હવે,$m = \frac{3}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ અને $z$ યામ શોધીએ:
$x = \frac{m(1) + 1(5)}{m + 1} = \frac{\frac{3}{2}(1) + 5}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{\frac{3+10}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{13}{5}$.
$z = \frac{m(-2) + 1(-2)}{m + 1} = \frac{\frac{3}{2}(-2) - 2}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{-3 - 2}{\frac{5}{2}} = \frac{-5}{\frac{5}{2}} = -2$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $\left(\frac{13}{5}, 0, -2\right)$ છે.

(B) ધારો કે રેખાના દિશા ખૂણાઓ $\alpha = 45^{\circ}$,$\beta = 60^{\circ}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos^{2}(45^{\circ}) + \cos^{2}(60^{\circ}) + \cos^{2}\theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\cos^{2}\theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos\theta = \pm \frac{1}{2}$.
અહીં ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોવાથી,$\cos\theta$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $\cos\theta = -\frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = 120^{\circ}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P(2,1,-3)$ અને $Q(-1,0,2)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (-1-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (2-(-3))\hat{k} = -3\hat{i} - 1\hat{j} + 5\hat{k}$.
રેખાના દિકગુણોત્તર $3, 2, 6$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
દિશા સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7}$ છે.
રેખાખંડ $PQ$ નો રેખા પરનો પ્રક્ષેપ એ $\vec{PQ}$ અને $\hat{u}$ ના અદિશ ગુણાકારનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે:
પ્રક્ષેપ $= |\vec{PQ} \cdot \hat{u}| = |(-3\hat{i} - 1\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot \frac{(3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k})}{7}|$
$= |\frac{(-3)(3) + (-1)(2) + (5)(6)}{7}| = |\frac{-9 - 2 + 30}{7}| = |\frac{19}{7}| = \frac{19}{7}$ એકમ.

(D) બે રેખાઓ જેની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ છે.
આપેલ દિક્કોસાઇન:
રેખા $1: (\frac{-\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{-\sqrt{3}}{2})$
રેખા $2: (\frac{-\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$\cos \theta = |(\frac{-\sqrt{3}}{4})(\frac{-\sqrt{3}}{4}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{4}) + (\frac{-\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})|$
$\cos \theta = |\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}|$
$\cos \theta = |\frac{4}{16} - \frac{12}{16}| = |\frac{-8}{16}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P(2, -1, 0)$ અને $Q(3, 2, -1)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3-2)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (-1-0)\hat{k} = 1\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}$ મળે.
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $1, 2, 2$ છે,તેથી દિશા સદિશ $\vec{v} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ થાય.
રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ મળે.
રેખા પર $\vec{PQ}$ નો પ્રક્ષેપ એ $\vec{PQ} \cdot \hat{u}$ છે.
પ્રક્ષેપ $= (1\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}) \cdot (\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k})$.
પ્રક્ષેપ $= (1 \times \frac{1}{3}) + (3 \times \frac{2}{3}) + (-1 \times \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} + 2 - \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$6mn - 2nl + 5lm = 0$ $(1)$
$3l + m + 5n = 0 \implies m = -(3l + 5n)$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$6n(-(3l + 5n)) - 2nl + 5l(-(3l + 5n)) = 0$
$-18ln - 30n^2 - 2nl - 15l^2 - 25ln = 0$
$-15l^2 - 45ln - 30n^2 = 0$
$-15$ વડે ભાગતા:
$l^2 + 3ln + 2n^2 = 0$
$(l + n)(l + 2n) = 0$
કિસ્સો $1$: $l = -n$. તો $m = -(3(-n) + 5n) = -2n$.
દિકગુણોત્તર $(-n, -2n, n)$ એટલે કે $(1, 2, -1)$ મળે.
કિસ્સો $2$: $l = -2n$. તો $m = -(3(-2n) + 5n) = n$.
દિકગુણોત્તર $(-2n, n, n)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ મળે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|-2 + 2 - 1|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{4+1+1}} = \frac{1}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{35}}{6}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $\ell+m+n=0$ $(1)$ અને $\ell^2+m^2-n^2=0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$n = -(\ell+m)$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $\ell^2+m^2-(-\ell-m)^2 = 0$.
$\ell^2+m^2-(\ell^2+m^2+2\ell m) = 0$.
$-2\ell m = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\ell=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $\ell=0$,તો $n=-m$. દિશા ગુણોત્તર $(0, m, -m)$ મળે,જે $(0, 1, -1)$ તરીકે લખી શકાય.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $n=-\ell$. દિશા ગુણોત્તર $(\ell, 0, -\ell)$ મળે,જે $(1, 0, -1)$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે દિશા સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ $(1)$ અને $2mn+3ln-5lm=0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $2m(-(l+m)) + 3l(-(l+m)) - 5lm = 0$.
$-2ml - 2m^2 - 3l^2 - 3lm - 5lm = 0$.
$-3l^2 - 10lm - 2m^2 = 0$,એટલે કે $3l^2 + 10lm + 2m^2 = 0$.
$m^2$ વડે ભાગતા,આપણને $3(l/m)^2 + 10(l/m) + 2 = 0$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$l_1l_2/m_1m_2 = 2/3$,એટલે કે $3l_1l_2 = 2m_1m_2$.
તે જ રીતે,$l$ અથવા $m$ નો લોપ કરીને,આપણે દિક્કોસાઇન વચ્ચેના સંબંધો શોધી શકીએ છીએ.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$ દ્વારા મળે છે.
આ સમીકરણોનું પાલન કરતી રેખાઓ માટે,ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.

(A) આપેલ સંબંધો $l-5m+3n=0$ અને $7l^2+5m^2-3n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = 5m - 3n$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $7(5m-3n)^2 + 5m^2 - 3n^2 = 0$.
$7(25m^2 - 30mn + 9n^2) + 5m^2 - 3n^2 = 0$.
$175m^2 - 210mn + 63n^2 + 5m^2 - 3n^2 = 0$.
$180m^2 - 210mn + 60n^2 = 0$.
$30$ વડે ભાગતા,$6m^2 - 7mn + 2n^2 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા: $(3m - 2n)(2m - n) = 0$.
કિસ્સો $1$: $3m = 2n \Rightarrow m = \frac{2n}{3}$. તો $l = 5(\frac{2n}{3}) - 3n = \frac{10n-9n}{3} = \frac{n}{3}$.
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $(\frac{n}{3})^2 + (\frac{2n}{3})^2 + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{n^2}{9} + \frac{4n^2}{9} + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{14n^2}{9} = 1 \Rightarrow n = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
તેથી $l = \frac{1}{\sqrt{14}}$ અને $m = \frac{2}{\sqrt{14}}$.
$l+m+n = \frac{1+2+3}{\sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{14}}$.
કિસ્સો $2$: $2m = n \Rightarrow m = \frac{n}{2}$. તો $l = 5(\frac{n}{2}) - 3n = \frac{5n-6n}{2} = -\frac{n}{2}$.
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $(-\frac{n}{2})^2 + (\frac{n}{2})^2 + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{n^2}{4} + \frac{n^2}{4} + n^2 = 1 \Rightarrow \frac{6n^2}{4} = 1 \Rightarrow n^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow n = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
તેથી $l = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ અને $m = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
$l+m+n = \frac{-1+1+\sqrt{4}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,શક્ય કિંમતો $\frac{2}{\sqrt{6}}$ અથવા $\frac{6}{\sqrt{14}}$ છે.