Mix Examples-Co-ordinate Geometry of Three Dimensions Questions in Hindi

(C) माना कि दिया गया समतल $\pi: x + y + z - 3 = 0$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ है।
माना कि $P'$ और $Q'$ समतल $\pi$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के प्रक्षेप हैं। समतल पर $PQ$ के प्रक्षेप की लंबाई दूरी $P'Q'$ है।
माना कि $\theta$ रेखाखंड $PQ$ और समतल $\pi$ के बीच का कोण है। प्रक्षेप की लंबाई $L = |PQ| \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
सदिश $\vec{PQ} = Q - P = (0 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1)$ है।
लंबाई $|PQ| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
रेखा $PQ$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण $\phi$ इस प्रकार है: $\cos \phi = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{PQ}| |\vec{n}|}$।
$\vec{PQ} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (-1)(1) + (1)(1) = 0 - 1 + 1 = 0$ है।
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,रेखा $PQ$ समतल $\pi$ के समानांतर है (अर्थात,$\phi = 90^\circ$,इसलिए $\theta = 0^\circ$)।
अतः,प्रक्षेप की लंबाई $|PQ| \cos(0^\circ) = |PQ| = \sqrt{2}$ है।

(B) मान लीजिए कि घन की भुजा की लंबाई $a$ है। हम घन को निर्देशांक प्रणाली में इस प्रकार रखते हैं कि एक शीर्ष मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ पर हो। शीर्षों के निर्देशांक $O(0, 0, 0)$,$A(a, 0, 0)$,$B(0, a, 0)$,$C(0, 0, a)$,$D(a, a, a)$ आदि हैं।
घन के दो विकर्णों पर विचार करें,उदाहरण के लिए,$(0, 0, 0)$ से $(a, a, a)$ तक का विकर्ण और $(a, 0, 0)$ से $(0, a, a)$ तक का विकर्ण।
इन विकर्णों के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (a, a, a)$ और $\vec{v_2} = (-a, a, a)$ हैं।
इन दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$ और $|\vec{v_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.
इसलिए,$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(1/3)$.

(B) मान लीजिए रेखा $AB$,$A(4, 7, 1)$ और $B(3, 5, 3)$ से होकर गुजरती है। रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-1}{2} = k$ है।
रेखा $AB$ पर कोई भी बिंदु $D = (-k+4, -2k+7, 2k+1)$ के रूप में दिया जा सकता है।
चूंकि $PD$,$AB$ पर लंब है,$PD$ के दिक अनुपात $((-k+4)-1, (-2k+7)-0, (2k+1)-3) = (-k+3, -2k+7, 2k-2)$ हैं।
चूंकि $PD \perp AB$,उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(-1)(-k+3) + (-2)(-2k+7) + (2)(2k-2) = 0$
$k-3 + 4k-14 + 4k-4 = 0$
$9k - 21 = 0 \implies k = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$.
$k = \frac{7}{3}$ का मान $D$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = -\frac{7}{3} + 4 = \frac{5}{3}$
$y = -2(\frac{7}{3}) + 7 = -\frac{14}{3} + \frac{21}{3} = \frac{7}{3}$
$z = 2(\frac{7}{3}) + 1 = \frac{14}{3} + \frac{3}{3} = \frac{17}{3}$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left( \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3} \right)$ हैं।

(B) माना विकर्ण $AC$, $x$-अक्ष पर स्थित है और मूल बिंदु $AC$ का मध्य बिंदु है। निर्देशांक $A(-a, 0, 0)$ और $C(a, 0, 0)$ हैं।
जब इसे इस प्रकार मोड़ा जाता है कि समतल $DAC$ और $BAC$ समकोण पर हों, तो निर्देशांक $A(-a, 0, 0)$, $C(a, 0, 0)$, $D(0, a/\sqrt{2}, a/\sqrt{2})$ और $B(0, -a/\sqrt{2}, a/\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।
दो विषम तलीय रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी $d$ के सूत्र $|(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})| / |\vec{v_1} \times \vec{v_2}|$ का उपयोग करने पर, $DC$ और $AB$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{2a}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होती है।

(B) माना दो रेखाएँ $L_1: x = y + a = z = \lambda$ और $L_2: x + a = 2y = 2z = 2\mu$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P = (\lambda, \lambda - a, \lambda)$ है।
$L_2$ पर कोई बिंदु $Q = (2\mu - a, \mu, \mu)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $(2\mu - a - \lambda, \mu - \lambda + a, \mu - \lambda)$ हैं।
चूँकि रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $2, 1, 2$ के समानुपाती हैं:
$\frac{2\mu - a - \lambda}{2} = \frac{\mu - \lambda + a}{1} = \frac{\mu - \lambda}{2} = k$.
$\mu - \lambda = 2k$ रखने पर,दूसरे अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर $2k + a = k \implies k = -a$ प्राप्त होता है।
अतः $\mu - \lambda = -2a$ और $2\mu - \lambda = -a$।
इन समीकरणों को हल करने पर $\mu = a$ और $\lambda = 3a$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$P = (3a, 2a, 3a)$ और $Q = (a, a, a)$ प्राप्त होते हैं।

(D) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $O(0,0,0)$,$A(a,0,0)$,$B(0,a,0)$,$C(0,0,a)$,$E(a,a,0)$,$F(0,a,a)$,$G(a,0,a)$ और $D(a,a,a)$ हैं।
$(0,0,0)$ और $(a,a,a)$ को जोड़ने वाले विकर्ण $OD$ पर विचार करें। रेखा $OD$ का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ है।
इससे विषम (skew) किनारे पर विचार करें,उदाहरण के लिए,$(a,0,0)$ और $(a,a,0)$ को जोड़ने वाला किनारा $AE$। रेखा $AE$ का समीकरण $x=a, z=0$ है।
दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु को जोड़ने वाले सदिश का सामान्य लंब पर प्रक्षेप है।
वैकल्पिक रूप से,विकर्ण $OD$ के मध्यबिंदु $K$ के निर्देशांक $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ और किनारे $AE$ के मध्यबिंदु $L$ के निर्देशांक $(a, \frac{a}{2}, 0)$ का उपयोग करते हुए,दूरी $KL$ इस प्रकार है:
$KL = \sqrt{(a - \frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2} - \frac{a}{2})^2 + (0 - \frac{a}{2})^2}$
$KL = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + 0^2 + (-\frac{a}{2})^2}$
$KL = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

(A) रेखा $BC$ बिंदुओं $B(0, -11, 3)$ और $C(2, -3, -1)$ से होकर गुजरती है। $BC$ के दिक् अनुपात $(2-0, -3-(-11), -1-3) = (2, 8, -4)$ हैं।
रेखा $BC$ का समीकरण $\frac{x-0}{2} = \frac{y+11}{8} = \frac{z-3}{-4} = \lambda$ है।
रेखा $BC$ पर किसी भी बिंदु $D$ को $(2\lambda, 8\lambda-11, -4\lambda+3)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चूँकि $AD \perp BC$, $AD$ के दिक् अनुपात $(2\lambda-1, 8\lambda-11-8, -4\lambda+3-4) = (2\lambda-1, 8\lambda-19, -4\lambda-1)$ होंगे।
चूँकि $AD \perp BC$, उनके दिक् अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\lambda-1) + 8(8\lambda-19) - 4(-4\lambda-1) = 0$
$4\lambda - 2 + 64\lambda - 152 + 16\lambda + 4 = 0$
$84\lambda - 150 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{25}{14}$.
$\lambda = \frac{25}{14}$ को $D$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(\frac{25}{14}) = \frac{25}{7}$
$y = 8(\frac{25}{14}) - 11 = \frac{100}{7} - \frac{77}{7} = \frac{23}{7}$
$z = -4(\frac{25}{14}) + 3 = -\frac{50}{7} + \frac{21}{7} = -\frac{29}{7}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(D) माना बिंदु $P(-1, 3, 4)$ है और समतल $x - 2y = 0$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -2, 0)$ है।
माना $Q(x_1, y_1, z_1)$ समतल में $P$ का प्रतिबिंब है। रेखा $PQ$,$P$ से गुजरती है और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के समानांतर है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q(\lambda - 1, -2\lambda + 3, 4)$ है।
$PQ$ का मध्यबिंदु $R$,$\left( \frac{\lambda - 1 - 1}{2}, \frac{-2\lambda + 3 + 3}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 2}{2}, 3 - \lambda, 4 \right)$ है।
चूंकि $R$ समतल $x - 2y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\left( \frac{\lambda - 2}{2} \right) - 2(3 - \lambda) = 0$.
$\frac{\lambda - 2}{2} - 6 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda - 2 - 12 + 4\lambda = 0 \Rightarrow 5\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = \frac{14}{5}$.
प्रतिबिंब $Q$,$x_1 = \lambda - 1 = \frac{14}{5} - 1 = \frac{9}{5}$,$y_1 = -2\lambda + 3 = -2(\frac{14}{5}) + 3 = \frac{-28 + 15}{5} = -\frac{13}{5}$,और $z_1 = 4$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिबिंब $\left( \frac{9}{5}, -\frac{13}{5}, 4 \right)$ है। जो विकल्पों में नहीं दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) माना समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(-1, -2, -1)$,$C(2, 3, 2)$ और $D(x, y, z)$ हैं।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसका अर्थ है कि विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= (\frac{1+2}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{3+2}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{5}{2})$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= (\frac{-1+x}{2}, \frac{-2+y}{2}, \frac{-1+z}{2})$.
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{-1+x}{2} = \frac{3}{2} \implies -1+x = 3 \implies x = 4$.
$\frac{-2+y}{2} = \frac{5}{2} \implies -2+y = 5 \implies y = 7$.
$\frac{-1+z}{2} = \frac{5}{2} \implies -1+z = 5 \implies z = 6$.
अतः,चौथा शीर्ष $D$ का मान $(4, 7, 6)$ है।

(A) माना बिंदु $A$ $(2, 3, -4)$ है और बिंदु $P$ $( -1, 2, 6)$ है।
सदिश $\vec{AP} = (-1 - 2)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (6 - (-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AP}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (10)^2} = \sqrt{9 + 1 + 100} = \sqrt{110}$ है।
रेखा सदिश $\vec{v} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ के समांतर है।
रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2}} = \frac{6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{36 + 9 + 16}} = \frac{6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}}{\sqrt{61}}$ है।
रेखा पर $\vec{AP}$ का प्रक्षेप $AN = |\vec{AP} \cdot \hat{u}| = \left| \frac{(-3)(6) + (-1)(3) + (10)(-4)}{\sqrt{61}} \right| = \left| \frac{-18 - 3 - 40}{\sqrt{61}} \right| = \frac{61}{\sqrt{61}} = \sqrt{61}$ है।
बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी $PN = \sqrt{|\vec{AP}|^2 - AN^2}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$PN = \sqrt{110 - 61} = \sqrt{49} = 7$।

(A) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है। दिए गए बिंदु $A(4, 0, 0)$ और $B(-4, 0, 0)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$PA + PB = 10$.
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\sqrt{(x-4)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2} = 10$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{(x-4)^2 + y^2 + z^2} = 10 - \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-4)^2 + y^2 + z^2 = 100 + (x+4)^2 + y^2 + z^2 - 20\sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}$.
$x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 = 100 + x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2 - 20\sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}$.
$-16x - 100 = -20\sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}$.
$-4$ से विभाजित करने पर: $4x + 25 = 5\sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2}$.
पुनः वर्ग करने पर: $16x^2 + 200x + 625 = 25(x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2)$.
$16x^2 + 200x + 625 = 25x^2 + 200x + 400 + 25y^2 + 25z^2$.
$9x^2 + 25y^2 + 25z^2 - 225 = 0$.

(A) चूंकि बिंदु $P$,$XY$-समतल में स्थित है,इसलिए इसका $z$-निर्देशांक $0$ है। मान लीजिए कि बिंदु $P(x, y, 0)$ है।
यह दिया गया है कि $P$,$A(2, 0, 3)$,$B(0, 3, 2)$ और $C(0, 0, 1)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB = PC$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$ और $PB^2 = PC^2$।
सबसे पहले,$PA^2 = PB^2$:
$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (0 - 3)^2 = (x - 0)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 2)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 9 = x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4$
$-4x + 13 = -6y + 13$
$4x = 6y \implies 2x = 3y \quad (i)$
अब,$PB^2 = PC^2$:
$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (0 - 1)^2$
$x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4 = x^2 + y^2 + 1$
$-6y + 13 = 1$
$6y = 12 \implies y = 2$
समीकरण $(i)$ में $y = 2$ रखने पर:
$2x = 3(2) \implies 2x = 6 \implies x = 3$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, 2, 0)$ है।

(B) माना दिया गया बिंदु $P(1, 2, 3)$ है और $Q(x_1, y_1, z_1)$ रेखा में इसका प्रतिबिंब है। माना $L$,$P$ से रेखा पर डाले गए लंब का पाद है।
रेखा पर सामान्य बिंदु $L = (6 + 3\lambda, 7 + 2\lambda, 7 - 2\lambda)$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{PL} = (6 + 3\lambda - 1)\hat{i} + (7 + 2\lambda - 2)\hat{j} + (7 - 2\lambda - 3)\hat{k} = (3\lambda + 5)\hat{i} + (2\lambda + 5)\hat{j} + (4 - 2\lambda)\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PL}$,रेखा के सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(3\lambda + 5)(3) + (2\lambda + 5)(2) + (4 - 2\lambda)(-2) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 - 8 + 4\lambda = 0$
$17\lambda + 17 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $L$ के समीकरण में रखने पर,हमें $L = (6 - 3, 7 - 2, 7 + 2) = (3, 5, 9)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $L$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{1 + x_1}{2} = 3 \implies x_1 = 5$
$\frac{2 + y_1}{2} = 5 \implies y_1 = 8$
$\frac{3 + z_1}{2} = 9 \implies z_1 = 15$.
अतः,बिंदु $P(1, 2, 3)$ का प्रतिबिंब $(5, 8, 15)$ है।

(B) मान लीजिए $OA$ और $OB$ दो रेखाएं हैं जिनके दिक्कोज्या $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं। $OA = OB = 1$ लेने पर,$A$ और $B$ के निर्देशांक $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
मान लीजिए $OC$,$\angle AOB$ का आंतरिक द्विभाजक है। चूंकि $OA = OB$,$OC$,$\triangle OAB$ की माध्यिका है और $C$,$AB$ का मध्य बिंदु है।
$C$ के निर्देशांक $\left( \frac{l_1 + l_2}{2}, \frac{m_1 + m_2}{2}, \frac{n_1 + n_2}{2} \right)$ हैं।
$OC$ के दिक्-अनुपात $\left( \frac{l_1 + l_2}{2}, \frac{m_1 + m_2}{2}, \frac{n_1 + n_2}{2} \right)$ हैं।
अब,लंबाई $OC = \sqrt{\left( \frac{l_1 + l_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{m_1 + m_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{n_1 + n_2}{2} \right)^2}$.
$OC = \frac{1}{2} \sqrt{(l_1^2 + m_1^2 + n_1^2) + (l_2^2 + m_2^2 + n_2^2) + 2(l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2)}$.
चूंकि $l_i^2 + m_i^2 + n_i^2 = 1$ और $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \cos \theta$,हमारे पास है:
$OC = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 1 + 2 \cos \theta} = \frac{1}{2} \sqrt{2(1 + \cos \theta)} = \frac{1}{2} \sqrt{2(2 \cos^2(\theta/2))} = \cos(\theta/2)$.
$OC$ के दिक्कोज्या प्राप्त करने के लिए दिक्-अनुपातों को लंबाई $OC$ से विभाजित करने पर:
$\frac{l_1 + l_2}{2 \cos(\theta/2)}, \frac{m_1 + m_2}{2 \cos(\theta/2)}, \frac{n_1 + n_2}{2 \cos(\theta/2)}$.

(B) माना मोड़ने के बाद शीर्ष $D(0, 0, a)$,$C(a, 0, 0)$,$A(-a, 0, 0)$,और $B(0, -a, 0)$ हैं।
रेखा $DC$,$(0, 0, a)$ और $(a, 0, 0)$ से गुजरती है। इसका दिशा सदिश $(a, 0, -a)$ है,इसलिए समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z-a}{-1}$ है।
रेखा $AB$,$(-a, 0, 0)$ और $(0, -a, 0)$ से गुजरती है। इसका दिशा सदिश $(a, -a, 0)$ है,इसलिए समीकरण $\frac{x+a}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{0}$ है।
दो विषम रेखाओं $\frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}$ और $\frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) \cdot (l_1 \times l_2)|}{|l_1 \times l_2|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, a)$,$(x_2, y_2, z_2) = (-a, 0, 0)$ है।
सदिश $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (-a, 0, -a)$ है।
दिशा सदिश $v_1 = (1, 0, -1)$ और $v_2 = (1, -1, 0)$ हैं।
$v_1 \times v_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = i(-1) - j(1) + k(-1) = (-1, -1, -1)$ है।
$|v_1 \times v_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ है।
$d = \frac{|(-a, 0, -a) \cdot (-1, -1, -1)|}{\sqrt{3}} = \frac{|a + 0 + a|}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$।

(A) माना $P(2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k})$ दिया गया बिंदु है और $L$ रेखा $\vec{r} = (11\hat{i} - 2\hat{j} - 8\hat{k}) + \lambda(10\hat{i} - 4\hat{j} - 11\hat{k})$ पर $P$ से डाले गए लंब का पाद है।
रेखा पर किसी भी बिंदु $L$ का स्थिति सदिश $\vec{L} = (11 + 10\lambda)\hat{i} + (-2 - 4\lambda)\hat{j} + (-8 - 11\lambda)\hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{PL} = \vec{L} - \vec{P} = [(11 + 10\lambda) - 2]\hat{i} + [(-2 - 4\lambda) - (-1)]\hat{j} + [(-8 - 11\lambda) - 5]\hat{k}$.
$\vec{PL} = (9 + 10\lambda)\hat{i} + (-1 - 4\lambda)\hat{j} + (-13 - 11\lambda)\hat{k}$.
चूंकि $PL$ रेखा के लंबवत है,इसलिए यह रेखा के दिशा सदिश $\vec{b} = 10\hat{i} - 4\hat{j} - 11\hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{PL} \cdot \vec{b} = 0$.
$10(9 + 10\lambda) - 4(-1 - 4\lambda) - 11(-13 - 11\lambda) = 0$.
$90 + 100\lambda + 4 + 16\lambda + 143 + 121\lambda = 0$.
$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $\vec{L}$ के समीकरण में रखने पर,हमें लंब के पाद $L$ के निर्देशांक $(1, 2, 3)$ प्राप्त होते हैं,अर्थात $\vec{L} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब,$\vec{PL} = (1 - 2)\hat{i} + (2 - (-1))\hat{j} + (3 - 5)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
लंब की लंबाई $|\vec{PL}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

(C) माना समतल $\pi: x + y + z - 3 = 0$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ है।
माना $P'$ और $Q'$ बिंदुओं $P(0, 1, 0)$ और $Q(0, 0, 1)$ के समतल पर प्रक्षेप हैं।
सदिश $\vec{PQ} = Q - P = (0, -1, 1)$ है।
समतल पर रेखाखंड $PQ$ के प्रक्षेप की लंबाई $L' = \sqrt{|PQ|^2 - |PQ \cdot \hat{n}|^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\hat{n}$ समतल का इकाई अभिलंब सदिश है।
सबसे पहले,लंबाई $|PQ| = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$ की गणना करें।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ है।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{PQ} \cdot \hat{n} = (0, -1, 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{3}}(0 - 1 + 1) = 0$ की गणना करें।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,रेखाखंड $PQ$ समतल के समानांतर है।
इसलिए,प्रक्षेप की लंबाई $L'$ मूल रेखाखंड $|PQ|$ की लंबाई के बराबर है।
$L' = \sqrt{|PQ|^2 - 0^2} = |PQ| = \sqrt{2}$.

(B) मान लीजिए कि घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
घन के शीर्ष $(0,0,0), (a,0,0), (a,a,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,0,a), (a,a,a), (0,a,a)$ हैं।
मान लीजिए कि दो विकर्ण $OD$ और $BG$ हैं। निर्देशांक $O(0,0,0), D(a,a,a)$ और $B(0,a,0), G(a,0,a)$ हैं।
इन विकर्णों के दिशा सदिश $\vec{d_1} = (a-0, a-0, a-0) = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ और $\vec{d_2} = (a-0, 0-a, a-0) = a\hat{i} - a\hat{j} + a\hat{k}$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया गया है: $\cos \theta = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$।
$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(a) + (a)(-a) + (a)(a) = a^2 - a^2 + a^2 = a^2$।
$|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$ और $|\vec{d_2}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + a^2} = a\sqrt{3}$।
$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(1/3)$।

(A) माना शीर्ष $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\angle B$ ज्ञात करने के लिए,हमें सदिशों $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ के बीच का कोण ज्ञात करना होगा।
$\vec{BA} = (a - 0, 0 - b, 0 - 0) = (a, -b, 0)$.
$\vec{BC} = (0 - 0, 0 - b, c - 0) = (0, -b, c)$.
शीर्ष $B$ पर कोण $\theta$ का कोसाइन इस प्रकार दिया गया है:
$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (a)(0) + (-b)(-b) + (0)(c) = b^2$.
$|\vec{BA}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-b)^2 + c^2} = \sqrt{b^2 + c^2}$.
अतः,$\cos B = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{b^2 + c^2}}$.
इस प्रकार,$B = \cos^{-1} \left( \frac{b^2}{\sqrt{(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)}} \right)$.

(B) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $(0,0,0)$ और $(a,a,a)$ पर हैं। चार विकर्णों की दिशाएँ इस प्रकार हैं: $\vec{d_1} = (a,a,a)$,$\vec{d_2} = (a,a,-a)$,$\vec{d_3} = (a,-a,a)$,और $\vec{d_4} = (-a,a,a)$।
मान लीजिए कि रेखा की दिशा $\vec{l} = (x,y,z)$ है,जहाँ $x^2+y^2+z^2=1$ है।
रेखा और विकर्ण $\vec{d}$ के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $|\vec{l} \cdot \hat{d}|$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\cos \alpha = \frac{|x+y+z|}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = \frac{|x+y-z|}{\sqrt{3}}$,$\cos \gamma = \frac{|x-y+z|}{\sqrt{3}}$,और $\cos \delta = \frac{|-x+y+z|}{\sqrt{3}}$।
कोसाइन के वर्गों का योग:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{1}{3} [(x+y+z)^2 + (x+y-z)^2 + (x-y+z)^2 + (-x+y+z)^2]$
$= \frac{1}{3} [4(x^2+y^2+z^2)] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$।
चूँकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$,इसलिए:
$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$।

(A) माना कि दो दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y+a}{1} = \frac{z}{1} = \lambda$ और $L_2: \frac{x+a}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} = \mu$ हैं।
$L_1$ पर कोई भी बिंदु $P = (\lambda, \lambda - a, \lambda)$ है और $L_2$ पर कोई भी बिंदु $Q = (2\mu - a, \mu, \mu)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(2\mu - a - \lambda, \mu - (\lambda - a), \mu - \lambda)$ हैं,जो सरल होकर $(2\mu - a - \lambda, \mu - \lambda + a, \mu - \lambda)$ हो जाते हैं।
चूंकि रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $2, 1, 2$ के समानुपाती हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{2\mu - a - \lambda}{2} = \frac{\mu - \lambda + a}{1} = \frac{\mu - \lambda}{2}$.
$\frac{\mu - \lambda + a}{1} = \frac{\mu - \lambda}{2}$ से,हमें $2\mu - 2\lambda + 2a = \mu - \lambda$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\mu - \lambda = -2a$.
इसे $\frac{2\mu - a - \lambda}{2} = \frac{\mu - \lambda}{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\mu - a - \lambda = \mu - \lambda$ मिलता है,इसलिए $\mu = a$.
तब,$a - \lambda = -2a$,जिससे $\lambda = 3a$ प्राप्त होता है।
$P$ में $\lambda = 3a$ रखने पर,$P = (3a, 3a - a, 3a) = (3a, 2a, 3a)$ मिलता है।
$Q$ में $\mu = a$ रखने पर,$Q = (2a - a, a, a) = (a, a, a)$ मिलता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3a, 2a, 3a)$ और $(a, a, a)$ हैं।

(D) माना $P(1, 6, 3)$ दिया गया बिंदु है और $L$,$P$ से दी गई रेखा पर डाले गए लंब का पाद है।
दी गई रेखा पर सामान्य बिंदु $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3} = \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$L$ के निर्देशांक $(\lambda, 2\lambda + 1, 3\lambda + 2)$ हैं।
$PL$ के दिक अनुपात $(\lambda - 1, 2\lambda + 1 - 6, 3\lambda + 2 - 3)$ अर्थात $(\lambda - 1, 2\lambda - 5, 3\lambda - 1)$ हैं।
चूंकि $PL$,$(1, 2, 3)$ दिक अनुपात वाली रेखा के लंबवत है,इसलिए:
$1(\lambda - 1) + 2(2\lambda - 5) + 3(3\lambda - 1) = 0$
$\lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0$
$14\lambda - 14 = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को $L$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $L(1, 3, 5)$ प्राप्त होता है।
माना $Q(x_1, y_1, z_1)$,रेखा में $P(1, 6, 3)$ का प्रतिबिंब है। तो $L$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है।
$\frac{x_1 + 1}{2} = 1 \implies x_1 = 1$
$\frac{y_1 + 6}{2} = 3 \implies y_1 = 0$
$\frac{z_1 + 3}{2} = 5 \implies z_1 = 7$
अतः,दी गई रेखा में $P(1, 6, 3)$ का प्रतिबिंब $(1, 0, 7)$ है।

(B) माना बिंदु $P(2, -1, 3)$ है और समतल $3x - 2y - z = 9$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, -2, -1)$ है।
$P$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 3}{-1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $M(3\lambda + 2, -2\lambda - 1, -\lambda + 3)$ है।
चूंकि $M$ समतल पर स्थित है,इसलिए $3(3\lambda + 2) - 2(-2\lambda - 1) - (-\lambda + 3) = 9$ होगा।
$9\lambda + 6 + 4\lambda + 2 + \lambda - 3 = 9$।
$14\lambda + 5 = 9 \implies 14\lambda = 4 \implies \lambda = \frac{2}{7}$।
$M$ के निर्देशांक $M\left(3(\frac{2}{7}) + 2, -2(\frac{2}{7}) - 1, -(\frac{2}{7}) + 3\right) = M\left(\frac{20}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{19}{7}\right)$ हैं।
माना $P$ का प्रतिबिंब $P'(x', y', z')$ है। चूंकि $M$,$PP'$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\frac{x' + 2}{2} = \frac{20}{7} \implies x' = \frac{40}{7} - 2 = \frac{26}{7}$।
$\frac{y' - 1}{2} = -\frac{11}{7} \implies y' = -\frac{22}{7} + 1 = -\frac{15}{7}$।
$\frac{z' + 3}{2} = \frac{19}{7} \implies z' = \frac{38}{7} - 3 = \frac{17}{7}$।
अतः,प्रतिबिंब $\left( \frac{26}{7}, -\frac{15}{7}, \frac{17}{7} \right)$ है।

(D) माना रेखा पर स्थित बिंदु $Q = (2\lambda + 1, 4\lambda + 3, 3\lambda + 2)$ है।
चूँकि रेखा $PQ$ समतल $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ के समांतर है,इसलिए सदिश $\vec{PQ}$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, 2, -2)$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{PQ} = (2\lambda + 1 - 3, 4\lambda + 3 - 8, 3\lambda + 2 - 2) = (2\lambda - 2, 4\lambda - 5, 3\lambda)$।
$\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ होने के कारण:
$3(2\lambda - 2) + 2(4\lambda - 5) - 2(3\lambda) = 0$
$6\lambda - 6 + 8\lambda - 10 - 6\lambda = 0$
$8\lambda - 16 = 0 \implies \lambda = 2$।
$Q$ के निर्देशांकों में $\lambda = 2$ रखने पर,$Q = (2(2) + 1, 4(2) + 3, 3(2) + 2) = (5, 11, 8)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(5-3)^2 + (11-8)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$।

(C) मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है। शीर्षों के निर्देशांक $O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), L(a,a,a), M(a,0,a), N(0,a,a), P(a,a,0)$ हैं।
चार विकर्ण $OP, AN, BM, CL$ हैं। इन विकर्णों के दिशा सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{d_1} = (a, a, a) \implies \hat{u_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$
$\vec{d_2} = (-a, a, a) \implies \hat{u_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$
$\vec{d_3} = (a, -a, a) \implies \hat{u_3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$
$\vec{d_4} = (a, a, -a) \implies \hat{u_4} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$
मान लीजिए रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
रेखा और विकर्ण के बीच के कोण $\theta$ के लिए,$|\cos \theta| = |l u_x + m u_y + n u_z|$ होता है।
अतः,$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}(l+m+n)^2$,$\cos^2 \beta = \frac{1}{3}(-l+m+n)^2$,$\cos^2 \gamma = \frac{1}{3}(l-m+n)^2$,$\cos^2 \delta = \frac{1}{3}(l+m-n)^2$.
इनका योग करने पर:
$\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [(l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2]$
$= \frac{1}{3} [4(l^2+m^2+n^2)] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$.

(A) माना $Q$ दिए गए समतल में बिंदु $P(5, 4, 6)$ का प्रतिबिंब है। तब $PQ$ समतल के अभिलंब है। समतल $x + y + 2z - 15 = 0$ के अभिलंब के दिक अनुपात $1, 1, 2$ हैं।
चूंकि $PQ$,$P(5, 4, 6)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $1, 1, 2$ हैं,रेखा $PQ$ का समीकरण है:
$\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 6}{2} = r$
अतः,रेखा $PQ$ पर कोई भी बिंदु $(r + 5, r + 4, 2r + 6)$ है।
माना $Q = (r + 5, r + 4, 2r + 6)$ है। $PQ$ का मध्य बिंदु $R$ है:
$R = \left( \frac{r + 5 + 5}{2}, \frac{r + 4 + 4}{2}, \frac{2r + 6 + 6}{2} \right) = \left( \frac{r + 10}{2}, \frac{r + 8}{2}, r + 6 \right)$
चूंकि $R$ समतल $x + y + 2z - 15 = 0$ पर स्थित है:
$\frac{r + 10}{2} + \frac{r + 8}{2} + 2(r + 6) - 15 = 0$
$r + 10 + r + 8 + 4r + 24 - 30 = 0$
$6r + 12 = 0 \Rightarrow r = -2$
$Q$ के निर्देशांकों में $r = -2$ रखने पर:
$Q = (-2 + 5, -2 + 4, 2(-2) + 6) = (3, 2, 2)$
अतः,प्रतिबिंब बिंदु $(3, 2, 2)$ है।

(B) माना घन की भुजा $a$ है। शीर्षों के निर्देशांक $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a), (a,a,a)$ हैं।
घन के चार विकर्ण विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाली रेखाएं हैं। माना ये $d_1, d_2, d_3, d_4$ हैं।
इन विकर्णों के दिक्-अनुपात $(1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (-1,1,1)$ हैं।
माना दी गई रेखा के दिक्-कोज्या $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
दिक्-कोज्या $(l, m, n)$ वाली रेखा और दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ वाली रेखा के बीच के कोण $\theta$ का कोज्या $\cos \theta = \frac{|l a_1 + m b_1 + n c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चारों विकर्णों के लिए,कोण $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ इस प्रकार हैं:
$\cos \alpha = \frac{l+m+n}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = \frac{l+m-n}{\sqrt{3}}$,$\cos \gamma = \frac{l-m+n}{\sqrt{3}}$,$\cos \delta = \frac{-l+m+n}{\sqrt{3}}$.
इनका वर्ग करके जोड़ने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{1}{3} [(l+m+n)^2 + (l+m-n)^2 + (l-m+n)^2 + (-l+m+n)^2]$
$= \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ]$
चूंकि $l^2+m^2+n^2 = 1$,इसलिए योग $\frac{4}{3} \times 1 = \frac{4}{3}$ है।

(C) माना कि चौथे शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(0, \beta, 0)$ हैं क्योंकि यह $y$-अक्ष पर स्थित है।
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |\det(\vec{A}-\vec{D}, \vec{B}-\vec{D}, \vec{C}-\vec{D})|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\vec{A}-\vec{D} = (2, 1-\beta, -1)$,$\vec{B}-\vec{D} = (3, -\beta, 1)$,$\vec{C}-\vec{D} = (2, -1-\beta, 3)$.
आयतन $= \frac{1}{6} |\det \begin{bmatrix} 2 & 1-\beta & -1 \\ 3 & -\beta & 1 \\ 2 & -1-\beta & 3 \end{bmatrix}| = 5$.
$|\det \begin{bmatrix} 2 & 1-\beta & -1 \\ 3 & -\beta & 1 \\ 2 & -1-\beta & 3 \end{bmatrix}| = 30$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(-3\beta - (-1-\beta)) - (1-\beta)(9-2) + (-1)(-3(1+\beta) - (-2\beta)) = 30$.
$-4\beta + 2 - 7 + 7\beta + 3 + \beta = 30$.
$4\beta - 2 = 30$ या $4\beta - 2 = -30$.
$4\beta = 32 \Rightarrow \beta = 8$.
$4\beta = -28 \Rightarrow \beta = -7$.
कोटि $\beta$ के संभावित मान $8$ और $-7$ हैं।
कोटियों का योग $8 + (-7) = 1$ है।

(A) मान लीजिए कि आयताकार बक्से के आयाम $x, y, z$ अक्षों पर क्रमशः $2a, 2b, 2c$ हैं। केंद्र मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर है।
शीर्षों को $A(-a, b, c)$,$B(a, b, -c)$,और $C(-a, -b, -c)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
मूल बिंदु से सदिश $\vec{OB} = a\hat{i} + b\hat{j} - c\hat{k}$,$\vec{OC} = -a\hat{i} - b\hat{j} - c\hat{k}$,और $\vec{OA} = -a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ हैं।
इनका परिमाण $|OB| = |OC| = |OA| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ है।
डॉट प्रोडक्ट सूत्र $\cos \alpha = \frac{\vec{OB} \cdot \vec{OC}}{|OB||OC|}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \alpha = \frac{(a)(-a) + (b)(-b) + (-c)(-c)}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{-a^2 - b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2}$.
इसी प्रकार,$\cos \beta = \frac{\vec{OC} \cdot \vec{OA}}{|OC||OA|} = \frac{(-a)(-a) + (-b)(b) + (-c)(c)}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{a^2 - b^2 - c^2}{a^2 + b^2 + c^2}$.
और $\cos \gamma = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|OA||OB|} = \frac{(-a)(a) + (b)(b) + (c)(-c)}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{-a^2 + b^2 - c^2}{a^2 + b^2 + c^2}$.
इन मानों का योग करने पर:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{(-a^2 - b^2 + c^2) + (a^2 - b^2 - c^2) + (-a^2 + b^2 - c^2)}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{-a^2 - b^2 - c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = -1$.

(B) सबसे पहले,त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(3-2)^2 + (4-3)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$BC = \sqrt{(4-3)^2 + (2-4)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$CA = \sqrt{(2-4)^2 + (3-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
चूंकि $AB = BC = CA = \sqrt{6}$,त्रिभुज $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $a = \sqrt{6}$ है।
बिंदु $D$,$A, B,$ और $C$ से $\sqrt{6}$ की दूरी पर है,जिसका अर्थ है $DA = DB = DC = \sqrt{6}$।
अतः,$ABCD$ एक नियमित चतुष्फलक है जिसकी सभी भुजाएं $\sqrt{6}$ हैं।
भुजा $a$ वाले एक नियमित चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ होता है।
$a = \sqrt{6}$ रखने पर:
$V = \frac{(\sqrt{6})^3}{6\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$ घन इकाई।

(A) माना प्रत्येक गेंद की त्रिज्या $r = 2 \, cm$ है। नीचे की तीन गेंदों के केंद्र $4 \, cm$ भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ बनाते हैं।
माना $G$,$\Delta ABC$ का केंद्रक है। शीर्ष से केंद्रक की दूरी $AG = \frac{2}{3} \times (2r \sin 60^{\circ}) = \frac{2r}{\sqrt{3}}$ है।
चौथी गेंद का केंद्र $D$,केंद्रों $A, B, C$ के साथ एक नियमित चतुष्फलक बनाता है। $ABC$ के तल से $D$ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ समीकरण $h^2 + AG^2 = (2r)^2$ से प्राप्त होती है।
$h = 2r \sqrt{\frac{2}{3}}$।
मेज से चौथी गेंद के उच्चतम बिंदु की कुल ऊँचाई $H = h + 2r$ है।
$H = 2r \left( \sqrt{\frac{2}{3}} + 1 \right) = 4 \left( \sqrt{\frac{2}{3}} + 1 \right)$।

(B) दो विपरीत किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} abd \sin(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ किनारों की लंबाई हैं,$d$ उनके बीच की न्यूनतम दूरी है और $\theta$ उनके बीच का कोण है।
यहाँ $AB = 12$,$CD = 12$,$d = EF = 10$ और $\theta = 90^\circ$ है।
अतः,$V = \frac{1}{6} \times 12 \times 12 \times 10 \times \sin(90^\circ)$.
$V = \frac{1}{6} \times 144 \times 10 \times 1$.
$V = 24 \times 10 = 240$.

(D) $AC$ का मध्यबिंदु $M = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = (2, 1, 0)$ है।
चूंकि $G$,$BM$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है।
केंद्रक $G$ के निर्देशांक $\left( \frac{3+2+1}{3}, \frac{0+10+2}{3}, \frac{-1+6+1}{3} \right) = (2, 4, 2)$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{OG} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{OA} = 3\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल $\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OA} = (2)(3) + (4)(0) + (2)(-1) = 6 - 2 = 4$ है।
परिमाण $|\overrightarrow{OG}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।
परिमाण $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ है।
अतः,$\cos(\angle GOA) = \frac{\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OG}| |\overrightarrow{OA}|} = \frac{4}{(2\sqrt{6})(\sqrt{10})} = \frac{4}{2\sqrt{60}} = \frac{2}{2\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$।

(A) माना $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
बिंदु $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(4, 0, 0)$ और $(-4, 0, 0)$ हैं।
यह दिया गया है कि $PA + PB = 10$ है।
$\Rightarrow \sqrt{(x-4)^{2} + y^{2} + z^{2}} + \sqrt{(x+4)^{2} + y^{2} + z^{2}} = 10$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$9x^{2} + 25y^{2} + 25z^{2} - 225 = 0$.

(C) माना नियमित चतुष्फलक की भुजा की लंबाई $a$ है।
माना $G$ नियमित चतुष्फलक का केंद्र (केंद्रक) है और $A, B, C$ शीर्ष हैं।
$a$ भुजा वाले नियमित चतुष्फलक के केंद्र $G$ से किसी भी शीर्ष की दूरी $R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$ होती है।
केंद्र $G$ और $a$ लंबाई की एक कोर के दो शीर्षों $A$ और $B$ द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करें।
$\triangle GAB$ में,भुजाएँ $GA = GB = R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$ और $AB = a$ हैं।
कोण $\theta = \angle AGB$ के लिए $\triangle GAB$ में कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = \frac{GA^2 + GB^2 - AB^2}{2 \cdot GA \cdot GB}$
$\cos \theta = \frac{(\frac{\sqrt{6}}{4}a)^2 + (\frac{\sqrt{6}}{4}a)^2 - a^2}{2 \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4}a) \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4}a)}$
$\cos \theta = \frac{\frac{6}{16}a^2 + \frac{6}{16}a^2 - a^2}{2 \cdot \frac{6}{16}a^2}$
$\cos \theta = \frac{\frac{12}{16}a^2 - a^2}{\frac{12}{16}a^2} = \frac{\frac{3}{4}a^2 - a^2}{\frac{3}{4}a^2}$
$\cos \theta = \frac{-\frac{1}{4}a^2}{\frac{3}{4}a^2} = -\frac{1}{3}$
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)$।

(A) माना घनाभ की लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $l, b$ और $h$ है।
दिया गया है कि फलक विकर्णों की लंबाई $39, 40$ और $41$ है:
$l^2 + b^2 = 39^2$
$b^2 + h^2 = 40^2$
$h^2 + l^2 = 41^2$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(l^2 + b^2 + h^2) = 39^2 + 40^2 + 41^2$
$2(l^2 + b^2 + h^2) = 1521 + 1600 + 1681$
$2(l^2 + b^2 + h^2) = 4802$
$l^2 + b^2 + h^2 = 2401$
घनाभ के मुख्य विकर्ण की लंबाई $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ द्वारा दी जाती है।
लंबाई $= \sqrt{2401} = 49$.

(D) बिंदु $P(1,3,2)$ से गुजरने वाली और $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda+1, 2\lambda+3, \lambda+2)$ है।
चूंकि यह रेखा समतल $L_1: x-y+3z=6$ को $Q$ पर काटती है,इसलिए:
$(\lambda+1) - (2\lambda+3) + 3(\lambda+2) = 6$
$\lambda+1-2\lambda-3+3\lambda+6 = 6$
$2\lambda + 4 = 6 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,$Q = (1+1, 2(1)+3, 1+2) = (2,5,3)$.
लंबाई $PQ = \sqrt{(2-1)^2 + (5-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$. अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
$Q(2,5,3)$ से गुजरने वाली और $L_1: x-y+3z=6$ के लंबवत रेखा के दिशा अनुपात $(1, -1, 3)$ हैं।
इस रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-3}{3} = t$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(t+2, 5-t, 3t+3)$ है।
यह रेखा $L_2: 2x-y+z=-4$ को $R$ पर काटती है:
$2(t+2) - (5-t) + (3t+3) = -4$
$2t+4-5+t+3t+3 = -4$
$6t + 2 = -4 \Rightarrow 6t = -6 \Rightarrow t = -1$.
अतः,$R = (-1+2, 5-(-1), 3(-1)+3) = (1,6,0)$. अतः,$(B)$ $TRUE$ है।
$\triangle PQR$ का केंद्रक $\left(\frac{1+2+1}{3}, \frac{3+5+6}{3}, \frac{2+3+0}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}\right)$ है। अतः,$(C)$ $TRUE$ है।
परिमाप $PQ + QR + RP = \sqrt{6} + \sqrt{(1-2)^2 + (6-5)^2 + (0-3)^2} + \sqrt{(1-1)^2 + (6-3)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{6} + \sqrt{1+1+9} + \sqrt{0+9+4} = \sqrt{6} + \sqrt{11} + \sqrt{13}$. अतः,$(D)$ $TRUE$ है।

(C) मान लीजिए किनारों $AB, AC$ और $AD$ की लंबाई क्रमशः $c, b$ और $d$ है। चूंकि किनारे परस्पर लंबवत हैं,त्रिभुजों के क्षेत्रफल इस प्रकार हैं:
$Ar(\triangle ABC) = \frac{1}{2} bc = 5 \implies bc = 10$
$Ar(\triangle ACD) = \frac{1}{2} bd = 6 \implies bd = 12$
$Ar(\triangle ADB) = \frac{1}{2} cd = 7 \implies cd = 14$
समकोण कोने वाले चतुष्फलक के लिए,सम्मुख फलक का क्षेत्रफल इस प्रकार होता है:
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{(Ar(\triangle ABC))^2 + (Ar(\triangle ACD))^2 + (Ar(\triangle ADB))^2}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{5^2 + 6^2 + 7^2}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{25 + 36 + 49}$
$Ar(\triangle BCD) = \sqrt{110}$

(C) चतुष्फलक का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष $P(5, -7, 0)$,$Q(a, 5, 3)$,$R(4, -6, b)$ और $S(6, c, 2)$ हैं।
केंद्रक $\left(\frac{5+a+4+6}{4}, \frac{-7+5-6+c}{4}, \frac{0+3+b+2}{4}\right) = \left(\frac{15+a}{4}, \frac{-8+c}{4}, \frac{b+5}{4}\right)$ है।
इसे $(4, -3, 2)$ के बराबर रखने पर:
$\frac{15+a}{4} = 4 \Rightarrow a = 1$.
$\frac{-8+c}{4} = -3 \Rightarrow c = -4$.
$\frac{b+5}{4} = 2 \Rightarrow b = 3$.
अतः,$2a + 3b + c = 2(1) + 3(3) - 4 = 2 + 9 - 4 = 7$.

(B) माना शीर्ष $P(0,3,0)$,$Q(0,0,4)$ और $R(0,3,4)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$PQ = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2 + (4-0)^2} = 5$
$QR = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2 + (4-4)^2} = 3$
$PR = \sqrt{(0-0)^2 + (3-3)^2 + (4-0)^2} = 4$
अंतःकेंद्र $I(x,y,z)$ का सूत्र:
$I = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c} \right)$
यहाँ $a=3$,$b=4$,$c=5$ है।
$I = \left( \frac{3(0)+4(0)+5(0)}{12}, \frac{3(3)+4(0)+5(3)}{12}, \frac{3(0)+4(4)+5(4)}{12} \right)$
$I = (0, 2, 3)$

(C) माना शीर्ष $A(0,2,1)$,$B(-2,0,0)$ और $C(-2,0,2)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$a = BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = 2$
$b = AC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = 3$
$c = AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 1)^2} = 3$
अंतःकेंद्र $I = \frac{aA + bB + cC}{a + b + c}$ द्वारा दिया जाता है।
$I = \frac{2(0,2,1) + 3(-2,0,0) + 3(-2,0,2)}{2 + 3 + 3}$
$I = \frac{(-12, 4, 8)}{8} = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$.

(A) माना शीर्ष $A(0,2,1)$,$B(-2,0,0)$ और $C(-2,0,2)$ हैं।
सबसे पहले,त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$a = BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = 2$.
$b = AC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$c = AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अंतःकेंद्र $I$ के निर्देशांक $\left(\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}, \frac{az_A + bz_B + cz_C}{a+b+c}\right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
$I = \left(\frac{2(0) + 3(-2) + 3(-2)}{2+3+3}, \frac{2(2) + 3(0) + 3(0)}{2+3+3}, \frac{2(1) + 3(0) + 3(2)}{2+3+3}\right)$.
$I = \left(\frac{0 - 6 - 6}{8}, \frac{4 + 0 + 0}{8}, \frac{2 + 0 + 6}{8}\right)$.
$I = \left(-\frac{12}{8}, \frac{4}{8}, \frac{8}{8}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$.

(D) शीर्षों $A, B, C, D$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{a}-\vec{d}) \cdot ((\vec{b}-\vec{d}) \times (\vec{c}-\vec{d})))|$ द्वारा दिया जाता है।
वैकल्पिक रूप से,$V = \frac{1}{3} \times \text{Area}(\triangle ABC) \times h$,जहाँ $h$ बिंदु $D$ से शीर्षलंब है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB} = (2, -2, -3)$ और $\vec{AC} = (4, 0, 6)$ ज्ञात करें।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-12, -24, 8)$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{n}| = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 576 + 64} = 14$ वर्ग इकाई।
आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{AD}) \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC})|$। $\vec{AD} = (-7, -7, 7)$।
$V = \frac{1}{6} |(-7, -7, 7) \cdot (-12, -24, 8)| = \frac{308}{6} = \frac{154}{3}$।
$V = \frac{1}{3} \times 14 \times h = \frac{154}{3}$ का उपयोग करने पर,$14h = 154$,अतः $h = 11$ इकाई।

(C) माना $P = (x, y, z)$ है। दिया गया है $A = (2, 3, 4)$ और $B = (-2, 3, 4)$।
$PA + PB = 4$। चूँकि दूरी $AB = \sqrt{(-2-2)^2 + (3-3)^2 + (4-4)^2} = 4$ है,इसलिए $PA + PB = AB$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित है।
रेखाखंड $AB$ पर किसी भी बिंदु के लिए,$y=3$ और $z=4$ होता है।
अतः,बिंदुपथ $(y-3)^2 + (z-4)^2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $y^2+z^2-6y-8z+25=0$ है।

(A) दिया गया मूल समीकरण: $2x^2 + 3y^2 - z^2 - 8x + 18y + 2z + 9 = 0$ है। \\ अक्षों को बिंदु $(h, k, l) = (2, -3, 1)$ पर स्थानांतरित किया गया है। \\ रूपांतरण समीकरण $x = X + 2$,$y = Y - 3$,और $z = Z + 1$ हैं। \\ इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: \\ $2(X + 2)^2 + 3(Y - 3)^2 - (Z + 1)^2 - 8(X + 2) + 18(Y - 3) + 2(Z + 1) + 9 = 0$ \\ पदों का विस्तार करने पर: \\ $2(X^2 + 4X + 4) + 3(Y^2 - 6Y + 9) - (Z^2 + 2Z + 1) - 8X - 16 + 18Y - 54 + 2Z + 2 + 9 = 0$ \\ $2X^2 + 8X + 8 + 3Y^2 - 18Y + 27 - Z^2 - 2Z - 1 - 8X - 16 + 18Y - 54 + 2Z + 2 + 9 = 0$ \\ समान पदों को संयोजित करने पर: \\ $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 + (8X - 8X) + (-18Y + 18Y) + (-2Z + 2Z) + (8 + 27 - 1 - 16 - 54 + 2 + 9) = 0$ \\ $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 - 25 = 0$ \\ अतः,रूपांतरित समीकरण $2X^2 + 3Y^2 - Z^2 = 25$ है।

(D) माना शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 1)$ और $C(3, 1, 2)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{6}$.
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{6}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{6}$.
अतः,यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $(H)$,केंद्रक $(G)$,परिकेंद्र $(S)$ और अंतःकेंद्र $(I)$ एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
अतः,$H = G = S = I = \left(\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+3+1}{3}, \frac{3+1+2}{3}\right) = (2, 2, 2)$.
इसलिए,$H+G+S+I = (2, 2, 2) + (2, 2, 2) + (2, 2, 2) + (2, 2, 2) = (8, 8, 8)$.

(A) दिया गया है कि त्रिभुज के शीर्ष $A(2,3,5), B(\alpha, 3,3)$ और $C(7,5, \beta)$ हैं।
माना $D, BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{\alpha+7}{2}, 4, \frac{3+\beta}{2}\right)$ हैं।
माध्यिका $AD$ के दिक-अनुपात $\left(\frac{\alpha+3}{2}, 1, \frac{\beta-7}{2}\right)$ हैं।
चूंकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव पर है,इसलिए इसके दिक-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती होने चाहिए।
अतः,$\frac{\alpha+3}{2} = 1$ और $\frac{\beta-7}{2} = 1$.
इसे हल करने पर,$\alpha = -1$ और $\beta = 9$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\cos^{-1}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{9}\right)$.

(C) दिए गए बिंदु $A(2, 3, 4)$ और $B(-2, 3, 4)$ हैं।
दूरी $AB = 4$ है।
चूँकि $PA + PB = 4$ और $AB = 4$ है,इसलिए बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ पर स्थित है।
अतः,$y = 3$ और $z = 4$ होगा।
इससे $(y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $y^2 + z^2 - 6y - 8z + 25 = 0$ प्राप्त होता है।