Mix Examples-Co-ordinate Geometry of Three Dimensions Questions in Gujarati

(C) ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $A(3,2,4)$,$B(x_1, y_1, 0)$,$C(x_2, y_2, 0)$,અને $D(x_3, y_3, 0)$ છે.
ત્રિકોણ $BCD$ એ રેખાઓ $y=x$,$x+y=6$,અને $y=1$ ના છેદબિંદુઓથી બને છે.
છેદબિંદુઓ શોધતા:
$1$) $y=x$ અને $y=1 \Rightarrow x=1$. શિરોબિંદુ $B = (1,1,0)$.
$2$) $x+y=6$ અને $y=1 \Rightarrow x=5$. શિરોબિંદુ $D = (5,1,0)$.
$3$) $y=x$ અને $x+y=6 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=3$. શિરોબિંદુ $C = (3,3,0)$.
ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{\sum x_i}{4}, \frac{\sum y_i}{4}, \frac{\sum z_i}{4}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$G = \left(\frac{3+1+3+5}{4}, \frac{2+1+3+1}{4}, \frac{4+0+0+0}{4}\right) = \left(\frac{12}{4}, \frac{7}{4}, \frac{4}{4}\right) = \left(3, \frac{7}{4}, 1\right)$.

(C) ધારો કે $AD$ એ $\angle A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક છે જે $BC$ ને $D$ માં મળે છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$D$ એ બાજુ $BC$ ને બાજુઓ $AB:AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$AB = \sqrt{(2-4)^2 + (3-7)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = \sqrt{(2-4)^2 + (5-7)^2 + (7-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
ગુણોત્તર $AB:AC = 6:3 = 2:1$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ:
$D = \left( \frac{2(2) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(7) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{4+2}{3}, \frac{10+3}{3}, \frac{14+4}{3} \right) = \left( 2, \frac{13}{3}, 6 \right)$.
હવે,$AD$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$AD = \sqrt{(2-4)^2 + (\frac{13}{3} - 7)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-\frac{8}{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2\sqrt{34}}{3}$.

(B) ધારો કે ઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. ઘનને યામ પદ્ધતિમાં એવી રીતે મૂકો કે તેના શિરોબિંદુઓ $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ અને $(a,a,a)$ હોય.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી $(a,a,a)$ સુધીના ઘનના વિકર્ણને ધ્યાનમાં લો. આ વિકર્ણ દર્શાવતો સદિશ $\vec{d_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ છે.
તે જ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી $(a,a,0)$ સુધીના ફલકના વિકર્ણને ધ્યાનમાં લો. આ વિકર્ણ દર્શાવતો સદિશ $\vec{d_2} = a\hat{i} + a\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(a) + (a)(a) + (a)(0) = 2a^2$.
માનની ગણતરી: $|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$ અને $|\vec{d_2}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0} = a\sqrt{2}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{2a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
તેથી,$\theta = \operatorname{Cos}^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0,0,0)$,$B(3,4,0)$,અને $C(0,12,5)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામેની બાજુઓની લંબાઈ અનુક્રમે $a, b, c$ ગણીએ.
$a = BC = \sqrt{(0-3)^2 + (12-4)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 64 + 25} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (12-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.
$c = AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
અંતઃકેન્દ્ર $I(x, y, z)$ નો $x$-યામ સૂત્ર $x = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{(7\sqrt{2})(0) + (13)(3) + (5)(0)}{7\sqrt{2} + 13 + 5} = \frac{0 + 39 + 0}{18 + 7\sqrt{2}} = \frac{39}{18 + 7\sqrt{2}}$.

(A) સૌ પ્રથમ,$\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB^2 = (2-0)^2 + (-1-1)^2 + (3-2)^2 = 4 + 4 + 1 = 9 \implies AB = 3$.
$BC^2 = (1-2)^2 + (-3+1)^2 + (1-3)^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \implies BC = 3$.
$AC^2 = (1-0)^2 + (-3-1)^2 + (1-2)^2 = 1 + 16 + 1 = 18 \implies AC = 3\sqrt{2}$.
અહીં $AB^2 + BC^2 = 9 + 9 = 18 = AC^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં ખૂણો $B$ કાટખૂણો છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર $(H)$ એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે,તેથી $H = B(2,-1,3)$.
પરિકેન્દ્ર $(O)$ એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$O = \left( \frac{0+1}{2}, \frac{1-3}{2}, \frac{2+1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, -1, \frac{3}{2} \right)$.
અંતર $OH = \sqrt{(2 - 1/2)^2 + (-1 - (-1))^2 + (3 - 3/2)^2}$.
$OH = \sqrt{(3/2)^2 + 0^2 + (3/2)^2} = \sqrt{9/4 + 9/4} = \sqrt{18/4} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(A) $xy$-સમતલમાં બિંદુ $P(x, y, 0)$ ધારો.
બિંદુ $P$ એ $A(2, 0, 3)$,$B(0, 3, 2)$ અને $C(0, 0, 1)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2 = PC^2$ થાય.
$PA^2 = (x-2)^2 + (y-0)^2 + (0-3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 9 = x^2 + y^2 - 4x + 13$.
$PB^2 = (x-0)^2 + (y-3)^2 + (0-2)^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4 = x^2 + y^2 - 6y + 13$.
$PC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (0-1)^2 = x^2 + y^2 + 1$.
$PA^2 = PC^2$ લેતા: $x^2 + y^2 - 4x + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies -4x = -12 \implies x = 3$.
$PB^2 = PC^2$ લેતા: $x^2 + y^2 - 6y + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies -6y = -12 \implies y = 2$.
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(3, 2, 0)$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે. આપેલા બિંદુઓ $F_1(a, 0, 0)$ અને $F_2(-a, 0, 0)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$PF_1 + PF_2 = 2k$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x-a)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x+a)^2 + y^2 + z^2} = 2k$.
ધારો કે $d^2 = y^2 + z^2$. તો $\sqrt{(x-a)^2 + d^2} = 2k - \sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-a)^2 + d^2 = 4k^2 + (x+a)^2 + d^2 - 4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$x^2 - 2ax + a^2 = 4k^2 + x^2 + 2ax + a^2 - 4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$-4ax - 4k^2 = -4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$ax + k^2 = k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $a^2x^2 + 2axk^2 + k^4 = k^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2)$.
$a^2x^2 + 2axk^2 + k^4 = k^2x^2 + 2axk^2 + k^2a^2 + k^2(y^2 + z^2)$.
$x^2(a^2 - k^2) + k^2(y^2 + z^2) = k^2a^2 - k^4 = -k^2(k^2 - a^2)$.
$-k^2(k^2 - a^2)$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2(a^2 - k^2)}{-k^2(k^2 - a^2)} + \frac{k^2(y^2 + z^2)}{-k^2(k^2 - a^2)} = 1$.
$\frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2 + z^2}{k^2 - a^2} = 1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર $(S)$,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ અને લંબકેન્દ્ર $(O)$ સમરેખ હોય છે,અને મધ્યકેન્દ્ર એ પરિકેન્દ્ર અને લંબકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે પરિકેન્દ્ર $S(x, y, z)$ છે. આપેલ છે કે $O(-3, 5, 2)$ અને $G(3, 3, 4)$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ મળે છે:
$G = \left(\frac{1 \cdot O + 2 \cdot S}{1+2}\right) = \left(\frac{-3+2x}{3}, \frac{5+2y}{3}, \frac{2+2z}{3}\right)$
આને આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $(3, 3, 4)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{-3+2x}{3} = 3 \Rightarrow -3+2x = 9 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$
$\frac{5+2y}{3} = 3 \Rightarrow 5+2y = 9 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$
$\frac{2+2z}{3} = 4 \Rightarrow 2+2z = 12 \Rightarrow 2z = 10 \Rightarrow z = 5$
આમ,પરિકેન્દ્ર $(6, 2, 5)$ છે.

(A) ચતુષ્ફલક જેના શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ હોય તેનું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(3,2,-1), B(4,1,1), C(6,2,5), D(3,3,3)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $G$ છે:
$G = \left(\frac{3+4+6+3}{4}, \frac{2+1+2+3}{4}, \frac{-1+1+5+3}{4}\right) = \left(\frac{16}{4}, \frac{8}{4}, \frac{8}{4}\right) = (4, 2, 2)$.
ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુને સામેની બાજુના મધ્યકેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખાઓ ચતુષ્ફલકના મધ્યકેન્દ્ર પર સંગામી હોય છે.
આમ,રેખાઓ $AG_1, BG_2, CG_3$ અને $DG_4$ એ $(4, 2, 2)$ બિંદુ પર સંગામી છે.

(D) ધારો કે ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓના યામ $A(a_1-d, a_1, a_1+d)$,$B(a_2-d, a_2, a_2+d)$,$C(a_3-d, a_3, a_3+d)$,અને $D(a_4-d, a_4, a_4+d)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ શિરોબિંદુઓના યામની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$G = \left(\frac{\sum a_i - 4d}{4}, \frac{\sum a_i}{4}, \frac{\sum a_i + 4d}{4}\right) = (2, 3, k)$.
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$1) \frac{\sum a_i - 4d}{4} = 2 \implies \sum a_i - 4d = 8$
$2) \frac{\sum a_i}{4} = 3 \implies \sum a_i = 12$
$3) \frac{\sum a_i + 4d}{4} = k \implies \sum a_i + 4d = 4k$
પ્રથમ સમીકરણમાં $\sum a_i = 12$ મૂકતા: $12 - 4d = 8 \implies 4d = 4 \implies d = 1$.
ત્રીજા સમીકરણમાં $\sum a_i = 12$ અને $d = 1$ મૂકતા: $12 + 4(1) = 4k \implies 16 = 4k \implies k = 4$.
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(2, 3, 4)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $G$ નું અંતર $\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ થાય.

(D) ચતુષ્ફલક જેના શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ હોય તેનું મધ્યકેન્દ્ર $G = \frac{A+B+C+D}{4}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે $A(1,1,1), B(1,-4,3), C(2,-2,0), D(8,1,4)$.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{1+1+2+8}{4}, \frac{1-4-2+1}{4}, \frac{1+3+0+4}{4}\right) = \left(\frac{12}{4}, \frac{-4}{4}, \frac{8}{4}\right) = (3,-1,2)$.
એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે ચતુષ્ફલકના ફલકોના મધ્યકેન્દ્રો દ્વારા બનતા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ચતુષ્ફલકના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
તેથી,$G_1, G_2, G_3, G_4$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $(3,-1,2)$ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $O(5, 2, -6)$,મધ્યકેન્દ્ર $G(9, 6, -4)$ અને પરિકેન્દ્ર $C(x, y, z)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$G = \left( \frac{2x + 5}{3}, \frac{2y + 2}{3}, \frac{2z - 6}{3} \right) = (9, 6, -4)$.
યામોને સરખાવતા:
$9 = \frac{2x + 5}{3} \implies x = 11$.
$6 = \frac{2y + 2}{3} \implies y = 8$.
$-4 = \frac{2z - 6}{3} \implies z = -3$.
તેથી,પરિકેન્દ્ર $(11, 8, -3)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(-4, 9, k)$,$B(-1, 6, k)$,અને $C(0, 7, 10)$ છે.
બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના વર્ગની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = (-1 - (-4))^2 + (6 - 9)^2 + (k - k)^2 = 3^2 + (-3)^2 + 0^2 = 9 + 9 = 18$.
$BC^2 = (0 - (-1))^2 + (7 - 6)^2 + (10 - k)^2 = 1^2 + 1^2 + (10 - k)^2 = 2 + (10 - k)^2$.
$AC^2 = (0 - (-4))^2 + (7 - 9)^2 + (10 - k)^2 = 4^2 + (-2)^2 + (10 - k)^2 = 20 + (10 - k)^2$.
કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે,બે બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ અને પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પડવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $AB = BC$.
$18 = 2 + (10 - k)^2 \implies (10 - k)^2 = 16 \implies 10 - k = \pm 4 \implies k = 6$ અથવા $k = 14$.
જો $k = 6$,$AB^2 = 18$,$BC^2 = 18$,$AC^2 = 20 + 16 = 36$. $18 + 18 = 36$ હોવાથી,$AB^2 + BC^2 = AC^2$,તેથી તે કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
જો $k = 14$,$AB^2 = 18$,$BC^2 = 18$,$AC^2 = 20 + 16 = 36$. $18 + 18 = 36$ હોવાથી,તે કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
કિસ્સો $2$: $AB = AC$.
$18 = 20 + (10 - k)^2 \implies (10 - k)^2 = -2$,જે અશક્ય છે.
કિસ્સો $3$: $BC = AC$.
$2 + (10 - k)^2 = 20 + (10 - k)^2 \implies 2 = 20$,જે અશક્ય છે.
આમ,$k$ ના $2$ શક્ય મૂલ્યો છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે.
$XY$-સમતલથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $|z|$ છે.
$Z$-અક્ષથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$XY$-સમતલથી અંતર એ $Z$-અક્ષથી અંતર કરતા બમણું છે:
$|z| = 2 \sqrt{x^2 + y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$z^2 = 4(x^2 + y^2)$.
$z^2 = 4x^2 + 4y^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$4x^2 + 4y^2 - z^2 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$,અને $D(x_4, y_4, z_4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(-1, 4, 6)$,$C(0, -6, 4)$,અને $D(1, 1, 1)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{1-1+0+1}{4}, \frac{2+4-6+1}{4}, \frac{3+6+4+1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{14}{4}\right)$ છે.
બાજુ $BCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G_1 = \left(\frac{x_2+x_3+x_4}{3}, \frac{y_2+y_3+y_4}{3}, \frac{z_2+z_3+z_4}{3}\right) = \left(\frac{-1+0+1}{3}, \frac{4-6+1}{3}, \frac{6+4+1}{3}\right) = \left(0, -\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right)$ છે.
ચતુષ્ફલકમાં,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ શિરોબિંદુને સામેની બાજુના મધ્યકેન્દ્ર સાથે જોડતા રેખાખંડને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. ખાસ કરીને,$G$ એ મધ્યગા $AG_1$ પર આવેલું છે જેથી $AG : GG_1 = 3 : 1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $AG = \frac{3}{4} AG_1$,અથવા $\frac{AG_1}{AG} = \frac{4}{3}$.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G_1 = \left(\frac{1+2+0}{3}, \frac{2+0-2}{3}, \frac{0-1+3}{3}\right) = \left(1, 0, \frac{2}{3}\right)$ છે.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G_2 = \left(\frac{1+2+0-1}{4}, \frac{2+0-2+2}{4}, \frac{0-1+3-3}{4}\right) = \left(\frac{2}{4}, \frac{2}{4}, \frac{-1}{4}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $G_1G_2$ ને $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્ર $\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m=4, n=3$:
$x = \frac{4(1/2) + 3(1)}{4+3} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$.
$y = \frac{4(1/2) + 3(0)}{4+3} = \frac{2+0}{7} = \frac{2}{7}$.
$z = \frac{4(-1/4) + 3(2/3)}{4+3} = \frac{-1+2}{7} = \frac{1}{7}$.
આમ,$P = \left(\frac{5}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}\right)$.

(D) ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર જેના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3)$ અને $(x_4, y_4, z_4)$ હોય તેનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(a, 2, 1), (1, b, 4), (4, 0, c)$ અને $(1, 1, 7)$ છે.
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a+1+4+1}{4}, \frac{2+b+0+1}{4}, \frac{1+4+c+7}{4}\right) = \left(\frac{a+6}{4}, \frac{b+3}{4}, \frac{c+12}{4}\right)$ થશે.
આને આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{9}{4}, \frac{5}{4}, \frac{15}{4}\right)$ સાથે સરખાવતા:
$x$-યામ માટે: $\frac{a+6}{4} = \frac{9}{4} \Rightarrow a+6 = 9 \Rightarrow a = 3$.
$y$-યામ માટે: $\frac{b+3}{4} = \frac{5}{4} \Rightarrow b+3 = 5 \Rightarrow b = 2$.
$z$-યામ માટે: $\frac{c+12}{4} = \frac{15}{4} \Rightarrow c+12 = 15 \Rightarrow c = 3$.
આમ,$a=3, b=2, c=3$. આ કિંમતો સરખાવતા,આપણને $a=c=b+1$ મળે છે (કારણ કે $3=3=2+1$).

(C) બિંદુ $E$ એ બાજુ $ABC$ (જે ત્રિકોણ છે) નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
$\text{મધ્યકેન્દ્ર} = \left[\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right]$
$E = \left[\frac{2+(-3)+(-1)}{3}, \frac{3+3+4}{3}, \frac{-4+(-2)+2}{3}\right] = \left[\frac{-2}{3}, \frac{10}{3}, \frac{-4}{3}\right]$
બિંદુ $F$ એ બાજુ $ACD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
$F = \left[\frac{2+(-1)+3}{3}, \frac{3+4+5}{3}, \frac{-4+2+1}{3}\right] = \left[\frac{4}{3}, \frac{12}{3}, \frac{-1}{3}\right] = \left[\frac{4}{3}, 4, \frac{-1}{3}\right]$
બિંદુ $G$ એ બાજુ $ABD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
$G = \left[\frac{2+(-3)+3}{3}, \frac{3+3+5}{3}, \frac{-4+(-2)+1}{3}\right] = \left[\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, \frac{-5}{3}\right]$
હવે,$E, F, G$ એક ત્રિકોણ બનાવે છે. $\triangle EFG$ નું મધ્યકેન્દ્ર $E, F$ અને $G$ ના યામોની સરેરાશ દ્વારા મળે છે.
$\triangle EFG \text{ નું મધ્યકેન્દ્ર} = \left[\frac{\frac{-2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}{3}, \frac{\frac{10}{3}+4+\frac{11}{3}}{3}, \frac{\frac{-4}{3}+\left(\frac{-1}{3}\right)+\left(\frac{-5}{3}\right)}{3}\right]$
$= \left[\frac{\frac{4}{3}}{3}, \frac{\frac{10+12+11}{3}}{3}, \frac{\frac{-10}{3}}{3}\right] = \left[\frac{4}{9}, \frac{33}{9}, \frac{-10}{9}\right] = \left[\frac{4}{9}, \frac{11}{3}, \frac{-10}{9}\right]$

(C) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર એ લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $2: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $O(-1, 3, 2)$ છે અને પરિકેન્દ્ર $C(5, 3, 2)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ રેખાખંડ $OC$ નું $2: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G$ ના યામ:
$G = \left( \frac{2(5) + 1(-1)}{2+1}, \frac{2(3) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(2) + 1(2)}{2+1} \right)$
$G = \left( \frac{10-1}{3}, \frac{6+3}{3}, \frac{4+2}{3} \right)$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{9}{3}, \frac{6}{3} \right) = (3, 3, 2)$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે ગુણોત્તર $1: 2$ છે,જે ખોટું છે કારણ કે સાચો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.
તેથી,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ ખોટું છે.

(C) ધારો કે ઘનના શિરોબિંદુઓ $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a), (a,a,a)$ છે.
ઘનના બે વિકર્ણો ધ્યાનમાં લો,ઉદાહરણ તરીકે,સદિશો $\vec{d_1} = (a,a,a)$ અને $\vec{d_2} = (-a,a,a)$.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{-a^2+a^2+a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$ દ્વારા મળે છે.
હવે,ઘનનો એક વિકર્ણ $\vec{d_1} = (a,a,a)$ અને તેને છેદતો ફલકનો વિકર્ણ $\vec{f} = (a,a,0)$ ધ્યાનમાં લો.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ એ $\cos \beta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{f}}{|\vec{d_1}| |\vec{f}|} = \frac{a^2+a^2+0}{\sqrt{3a^2} \sqrt{2a^2}} = \frac{2a^2}{a^2\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$\cos^2 \beta = \frac{2}{3}$.
અંતે,$\cos \alpha + \cos^2 \beta = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$.

(A) બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $X$-અક્ષથી લંબ અંતર $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $YZ$-સમતલથી લંબ અંતર $d_2 = |x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો ગુણોત્તર $d_1 : d_2 = 2 : 3$ છે.
તેથી,$\frac{\sqrt{y^2 + z^2}}{|x|} = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{y^2 + z^2}{x^2} = \frac{4}{9}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$9(y^2 + z^2) = 4x^2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$4x^2 - 9y^2 - 9z^2 = 0$ મળે છે.

(D) બિંદુ $A$ ના યામ $(x, y, z) = (27, -243, 81)$ છે.
$XY$-સમતલની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, y, -z)$ છે. તેથી,$B = (27, -243, -81)$.
$YZ$-સમતલની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ $(-x, y, z)$ છે. તેથી,$C = (-27, -243, 81)$.
$ZX$-સમતલની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, -y, z)$ છે. તેથી,$D = (27, 243, 81)$.
ત્રિકોણ $BCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\alpha, \beta, \gamma)$ તેના શિરોબિંદુઓના યામની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$\alpha = \frac{27 - 27 + 27}{3} = \frac{27}{3} = 9$
$\beta = \frac{-243 - 243 + 243}{3} = \frac{-243}{3} = -81$
$\gamma = \frac{-81 + 81 + 81}{3} = \frac{81}{3} = 27$
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 9 - 81 + 27 = -45$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે. લંબચોરસ સમાંતરબાજુ ફલકના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$,$A(a, 0, 0)$,$E(0, b, 0)$,$D(0, 0, c)$ વગેરે છે.
$d_1$ એ $XY$-સમતલની એવી બાજુનો વિકર્ણ છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી. આ બાજુના શિરોબિંદુઓ $(0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (a, b, 0)$ છે. ઉગમબિંદુમાંથી પસાર ન થતો વિકર્ણ એ $(a, 0, 0)$ અને $(0, b, 0)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે,એટલે કે $AE$.
$d_1$ ની દિશાનો સદિશ $\vec{v_1} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$ છે.
$d_2$ એ સમતલ $\Pi_2$ (જે $b$ અંતરે $ZX$ સમતલને સમાંતર છે) નો વિકર્ણ છે જે $d_1$ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે. સમતલ $\Pi_2$ માં બિંદુઓ $(0, b, 0), (a, b, 0), (0, b, c), (a, b, c)$ નો સમાવેશ થાય છે. $d_1$ (જે $A(a, 0, 0)$ થી શરૂ થાય છે) સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવતો વિકર્ણ $AD$ છે,જ્યાં $D$ એ $(0, 0, c)$ છે.
આપેલ આકૃતિ મુજબ,$d_1$ એ $AE$ છે અને $d_2$ એ $AD$ છે.
સદિશ $\vec{AE} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$.
સદિશ $\vec{AD} = (0-a)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (c-0)\hat{k} = -a\hat{i} + c\hat{k}$.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}| |\vec{AD}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (-a)(-a) + (b)(0) + (0)(c) = a^2$.
$|\vec{AE}| = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2+b^2}$.
$|\vec{AD}| = \sqrt{(-a)^2 + c^2} = \sqrt{a^2+c^2}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}\right)$.