Types of Relations Questions in Gujarati

(A) સંબંધ $R$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર $\{(a, b) : |a - b| = 3\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a - b = 3$ અથવા $b - a = 3$.
જો $a - b = 3$ હોય,તો $a = b + 3$. $b = 1, 2, 3, \dots$ માટે,જોડીઓ $(4, 1), (5, 2), (6, 3), \dots$ મળે છે.
જો $b - a = 3$ હોય,તો $b = a + 3$. $a = 1, 2, 3, \dots$ માટે,જોડીઓ $(1, 4), (2, 5), (3, 6), \dots$ મળે છે.
આમ,સંપૂર્ણ સંબંધ $\{(1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3), \dots\}$ છે.

(B) સંબંધ $R$ એ $R = \{(a, b) : a = 2b, a, b \in \mathbb{N}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$R$ ના ઘટકો લખતા,આપણને $R = \{(2, 1), (4, 2), (6, 3), \dots\}$ મળે છે.
વ્યસ્ત સંબંધ $R^{-1}$ એ $R$ માં ક્રમયુક્ત જોડીઓના ઘટકોની અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે,જેથી $R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\}$ થાય.
તેથી,$R^{-1} = \{(1, 2), (2, 4), (3, 6), \dots\}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $1$. જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક છે. અહીં,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$ છે,તેથી $R$ સ્વવાચક છે.
$2$. જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સંમિત છે. અહીં,$(1, 2) \in R$ છે પણ $(2, 1) \notin R$ છે,તેથી $R$ સંમિત નથી.
$3$. જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ પરંપરિત છે. તમામ જોડીઓ તપાસતા: $(1, 2) \in R$ અને $(2, 3) \in R \implies (1, 3) \in R$. આ શરતનું પાલન થતું હોવાથી,$R$ પરંપરિત છે.
$4$. તેથી,$R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પણ સંમિત નથી.

(B) ધારો કે $R$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર વ્યાખ્યાયિત "થી નાનું" $( < )$ સંબંધ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: સંબંધ સ્વવાચક હોવા માટે,તમામ $x \in N$ માટે $xRx$ સાચું હોવું જોઈએ. કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $x$ માટે $x < x$ અસત્ય હોવાથી,આ સંબંધ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: સંબંધ સંમિત હોવા માટે,$xRy$ પરથી $yRx$ મળવું જોઈએ. જો $x < y$ હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $y < x$ (દા.ત.,$1 < 2$ પણ $2 \not < 1$). તેથી,આ સંબંધ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: સંબંધ પરંપરિત હોવા માટે,$xRy$ અને $yRz$ પરથી $xRz$ મળવું જોઈએ. જો $x < y$ અને $y < z$ હોય,તો હંમેશા $x < z$ સાચું જ હોય છે. તેથી,આ સંબંધ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: "થી નાનું" સંબંધ માત્ર પરંપરિત છે.

(B) કારણ કે $R$ એ ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ છે,તેથી તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
સ્વવાચક સંબંધની વ્યાખ્યા મુજબ,દરેક ઘટક $a \in A$ માટે,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, a)$ એ $R$ માં હોવી આવશ્યક છે.
ગણ $A$ માં $n$ ઘટકો હોવાથી,$R$ માં $(a, a)$ સ્વરૂપની ઓછામાં ઓછી $n$ ક્રમયુક્ત જોડો હશે.
તેથી,$R$ માં રહેલી કુલ ક્રમયુક્ત જોડોની સંખ્યા $n$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હશે.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in \mathbb{R}$ માટે,આપણી પાસે $x - x + \sqrt{2} = \sqrt{2}$ છે. કારણ કે $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $xRx$ સાચું છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $R$ સંમિત હોવા માટે,$xRy$ પરથી $yRx$ મળવું જોઈએ. ધારો કે $x = \sqrt{2}$ અને $y = 1$. તો $x - y + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 1$,જે અસંમેય છે. તેથી,$\sqrt{2}R1$ સાચું છે. જોકે,$yRx$ માટે,આપણે $y - x + \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 1$ તપાસીએ છીએ,જે સંમેય સંખ્યા છે. તેથી,$1\not R\sqrt{2}$. આમ,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,$xRy$ અને $yRz$ પરથી $xRz$ મળવું જોઈએ. જો આપણે $x = \sqrt{2}$,$y = 1$,અને $z = 1 + \sqrt{2}$ લઈએ,તો $xRy$ અસંમેય છે અને $yRz = 1 - (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 0$ છે,જે સંમેય છે. આમ,પરંપરિતતાનો ગુણધર્મ જળવાતો નથી. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.

(B) સંબંધ $R$ એ ગણોના કુટુંબ $X$ પર એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $A R B$ જો $A \cap B = \emptyset$ હોય.
$1$. સ્વવાચક: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $A \in X$ માટે $A R A$ સાચું હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $A \cap A = \emptyset$. આ ફક્ત ત્યારે જ સાચું છે જો $A = \emptyset$ હોય. કારણ કે આ દરેક $A \in X$ માટે સાચું નથી,તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: જો $A R B$ હોય,તો $A \cap B = \emptyset$. છેદગણ ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $B \cap A = \emptyset$,જેનો અર્થ છે કે $B R A$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $A R B$ અને $B R C$ હોય,તો $A \cap B = \emptyset$ અને $B \cap C = \emptyset$. આનો અર્થ એ નથી કે $A \cap C = \emptyset$ થાય જ. ઉદાહરણ તરીકે,ધારો કે $A = \{1\}$,$B = \{2\}$,અને $C = \{1\}$. અહીં $A \cap B = \emptyset$ અને $B \cap C = \emptyset$ છે,પરંતુ $A \cap C = \{1\} \neq \emptyset$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,આ સંબંધ સંમિત છે.

(D) સંબંધ $R$ એ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર $R = \{(x, y) : |x^2 - y^2| < 16\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે $A \times A$ માંથી એવી તમામ શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ ચકાસીએ છીએ જેના માટે $|x^2 - y^2| < 16$ થાય.
$x=1$ માટે: $|1-1|=0 < 16, |1-4|=3 < 16, |1-9|=8 < 16, |1-16|=15 < 16, |1-25|=24 > 16$. જોડીઓ: $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)$.
$x=2$ માટે: $|4-1|=3 < 16, |4-4|=0 < 16, |4-9|=5 < 16, |4-16|=12 < 16, |4-25|=21 > 16$. જોડીઓ: $(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)$.
$x=3$ માટે: $|9-1|=8 < 16, |9-4|=5 < 16, |9-9|=0 < 16, |9-16|=7 < 16, |9-25|=16 \not< 16$. જોડીઓ: $(3,1), (3,2), (3,3), (3,4)$.
$x=4$ માટે: $|16-1|=15 < 16, |16-4|=12 < 16, |16-9|=7 < 16, |16-16|=0 < 16, |16-25|=9 < 16$. જોડીઓ: $(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5)$.
$x=5$ માટે: $|25-1|=24 > 16, |25-4|=21 > 16, |25-9|=16 \not< 16, |25-16|=9 < 16, |25-25|=0 < 16$. જોડીઓ: $(5,4), (5,5)$.
ગણ $R$ માં વિકલ્પો $A, B,$ અથવા $C$ માં આપેલા ઘટકો કરતાં ઘણા વધારે ઘટકો છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ગણ $A$ પરના સંબંધ $R$ ને સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય.
ગણ $A$ પરનો તદેવ સંબંધ $I$ ને $I = \{(a, a) : a \in A\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સ્વવાચક સંબંધની વ્યાખ્યા મુજબ,$I$ માં રહેલા દરેક ઘટક $(a, a)$ એ $R$ માં પણ હોવા જોઈએ,તેથી $I \subseteq R$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય. અહીં $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \in R$ હોવાથી,સંબંધ સ્વવાચક છે.
સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ હોય. અહીં $(1, 2) \in R$ અને $(2, 1) \in R$,તેમજ $(3, 1) \in R$ અને $(1, 3) \in R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોય. અહીં $(3, 1) \in R$ અને $(1, 2) \in R$ છે,પરંતુ $(3, 2) \notin R$ છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R$ સ્વવાચક અને સંમિત છે પરંતુ પરંપરિત નથી,તેથી તે સામ્ય સંબંધ નથી. સાચો વિકલ્પ $A$ (સ્વવાચક) છે.

(B) ધારો કે સંબંધ $R$ એ પૂર્ણાંકોના ગણ $Z$ પર વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $(m, n) \in R$ જો $m$ એ $n$ નો ગુણક હોય,એટલે કે $n | m$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \in Z$ માટે,$n$ એ $n$ નો ગુણક છે (કારણ કે $n = n \times 1$). તેથી,બધા $n \in Z$ માટે $(n, n) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $m = 6$ અને $n = 2$ લો. અહીં,$6$ એ $2$ નો ગુણક છે,તેથી $(6, 2) \in R$. પરંતુ,$2$ એ $6$ નો ગુણક નથી. તેથી,$(2, 6) \notin R$. આમ,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(m, n) \in R$ અને $(n, p) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $n | m$ અને $p | n$. વિભાજ્યતાની વ્યાખ્યા મુજબ,$m = kn$ અને $n = lp$ કોઈ પૂર્ણાંકો $k, l$ માટે. $n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $m = k(lp) = (kl)p$ મળે છે. $kl$ એક પૂર્ણાંક હોવાથી,$m$ એ $p$ નો ગુણક છે,તેથી $(m, p) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: આ સંબંધ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે.

(D) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in N$ માટે,$a$ એ $a$ વડે વિભાજ્ય છે (કારણ કે $a = a \times 1$). તેથી,દરેક $a \in N$ માટે $aRa$ સત્ય છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $a=1$ અને $b=2$. અહીં,$1|2$ સત્ય છે,તેથી $1R2$ થાય છે. પરંતુ,$2|1$ અસત્ય છે,તેથી $2R1$ થતું નથી. આમ,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $aRb$ અને $bRc$. આનો અર્થ છે કે $a|b$ અને $b|c$. $a|b$ હોવાથી,કોઈ $k_1 \in N$ મળે જેથી $b = a \times k_1$. $b|c$ હોવાથી,કોઈ $k_2 \in N$ મળે જેથી $c = b \times k_2$. $b$ ની કિંમત મૂકતા,$c = (a \times k_1) \times k_2 = a \times (k_1 \times k_2)$. $k_1 \times k_2 \in N$ હોવાથી,$a|c$ સત્ય છે,તેથી $aRc$ થાય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: આ સંબંધ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો $(x, y) \in R \implies (y, x) \in R$ હોય. અહીં,$R = \{(a, a)\}$ છે. કારણ કે $(a, a) \in R$,તેથી તેનું ઉલટું $(a, a)$ પણ $R$ માં છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
સંબંધ $R$ પ્રતિસંમિત કહેવાય જો $(x, y) \in R$ અને $(y, x) \in R \implies x = y$ હોય. અહીં,જો $(a, a) \in R$ અને $(a, a) \in R$ હોય,તો $a = a$ થાય,જે સત્ય છે. આમ,$R$ પ્રતિસંમિત છે.
તેથી,$R$ એ સંમિત અને પ્રતિસંમિત બંને છે.

(B) સંબંધ $R$ ને $P(A)$ ના તમામ $A, B$ માટે $A R B$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો $A \subseteq B$ હોય.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $A \in P(A)$ માટે $A \subseteq A$ હોવાથી,સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. પ્રતિ-સંમિત: જો $A \subseteq B$ અને $B \subseteq A$ હોય,તો ગણ સમાનતાની વ્યાખ્યા મુજબ $A = B$ થાય. આમ,સંબંધ પ્રતિ-સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $A \subseteq B$ અને $B \subseteq C$ હોય,તો $A \subseteq C$ થાય. આમ,સંબંધ પરંપરિત છે.
આ સંબંધ સ્વવાચક,પ્રતિ-સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે આંશિક ક્રમનો સંબંધ છે,સામ્ય સંબંધ નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ગણ $A$ પરના સંબંધ $R$ ને પ્રતિસંમિત કહેવામાં આવે છે જો તમામ $a, b \in A$ માટે,$(a, b) \in R$ અને $(b, a) \in R$ હોય તો $a = b$ થાય.
આ વ્યાખ્યા તાર્કિક રીતે નીચેના વિધાનને સમકક્ષ છે: જો $a \neq b$ હોય,તો $(a, b) \in R$ અને $(b, a) \in R$ બંને એકસાથે શક્ય નથી.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,જો $a \neq b$ હોય,તો આપણે એકસાથે $(a, b) \in R$ અને $(b, a) \in R$ ધરાવી શકતા નથી.
આમ,વિકલ્પ $C$ પ્રતિસંમિતતા માટેની શરતનું યોગ્ય વર્ણન કરે છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ અને સંબંધ $R = \{(x, y) | x, y \in A, x < y\}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. કારણ કે કોઈપણ $x \in A$ માટે $x < x$ અસત્ય છે,તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. જો $x < y$ હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $y < x$. ઉદાહરણ તરીકે,$(1, 2) \in R$ પરંતુ $(2, 1) \notin R$. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ. જો $x < y$ અને $y < z$ હોય,તો અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ $x < z$ થાય. તેથી,$(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $R$ એ સંબંધ છે જ્યાં $xRy$ એટલે કે $x$ એ $y$ નો ભાઈ છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈ વ્યક્તિ પોતે પોતાનો ભાઈ હોઈ શકે નહીં. તેથી,$xRx$ ખોટું છે. આમ,તે સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: જો $x$ એ $y$ નો ભાઈ હોય,તો $y$ એ $x$ નો ભાઈ હોવો જરૂરી નથી (જો $y$ બહેન હોય તો). તેથી,તે સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $x$ એ $y$ નો ભાઈ હોય અને $y$ એ $z$ નો ભાઈ હોય,તો $x$ એ $z$ નો ભાઈ થાય.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,આ સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત કે સામ્ય સંબંધ નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય. અહીં,$(1, 1) \notin R$,તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ હોય. અહીં,$(1, 2) \in R$ પરંતુ $(2, 1) \notin R$,તેથી $R$ સંમિત નથી.
સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોય.
ઘટકો તપાસતા:
$(1, 2) \in R$ માટે,$(2, 2) \in R$ સિવાય બીજો કોઈ ઘટક $(2, c) \in R$ નથી. $(1, 2) \in R$ અને $(2, 2) \in R$ હોવાથી,$(1, 2) \in R$ હોવું જોઈએ,જે સત્ય છે.
બાકીની તમામ જોડીઓ $(2, 2), (3, 3), (4, 4)$ આ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$R$ પરંપરિત છે.

(B) ગણ $A$ પરનો ખાલી સંબંધ $R$ એ $R = \emptyset \subseteq A \times A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈ સંબંધ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. $R$ ખાલી હોવાથી,$(a, a) \notin R$,તેથી તે સ્વવાચક નથી.
જો $(a, b) \in R$ હોય તો $(b, a) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. $R$ માં કોઈ ઘટકો ન હોવાથી,આ શરત ખાલી રીતે (vacuously) સાચી છે.
જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય તો $(a, c) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. $R$ માં કોઈ ઘટકો ન હોવાથી,આ શરત પણ ખાલી રીતે સાચી છે.
તેથી,ખાલી સંબંધ એ સંમિત અને પરંપરિત છે.

(B) કોઈપણ $a \in R$ માટે,આપણી પાસે $a \ge a$ છે,તેથી $(a, a) \in R_1$. આમ,$R_1$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા માટે,ધારો કે $(2, 1) \in R_1$ કારણ કે $2 \ge 1$. જોકે,$(1, 2) \notin R_1$ કારણ કે $1 \not\ge 2$. આમ,$R_1$ સંમિત નથી.
પરંપરિતતા માટે,ધારો કે $(a, b) \in R_1$ અને $(b, c) \in R_1$. આનો અર્થ એ થાય કે $a \ge b$ અને $b \ge c$. અસમતાના પરંપરિત ગુણધર્મને કારણે,$a \ge c$,જેનો અર્થ છે કે $(a, c) \in R_1$. આમ,$R_1$ પરંપરિત છે.
તેથી,$R_1$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પણ સંમિત નથી.

(A) કોઈ સંબંધ $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે જો તે સ્વવાચક (reflexive),સંમિત (symmetric) અને પરંપરિત (transitive) હોય.
$R_1$ માટે: $a R_1 b \Leftrightarrow |a| = |b|$.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $a \in R$ માટે $|a| = |a|$ સત્ય છે,તેથી $(a, a) \in R_1$.
$2$. સંમિત: જો $|a| = |b|$ હોય,તો $|b| = |a|$ થાય,તેથી જો $(a, b) \in R_1$ હોય,તો $(b, a) \in R_1$.
$3$. પરંપરિત: જો $|a| = |b|$ અને $|b| = |c|$ હોય,તો $|a| = |c|$ થાય,તેથી જો $(a, b) \in R_1$ અને $(b, c) \in R_1$ હોય,તો $(a, c) \in R_1$.
આમ,$R_1$ ત્રણેય ગુણધર્મોનું પાલન કરે છે,તેથી તે એક સામ્ય સંબંધ છે.
$R_2$ સંમિત નથી ($2 \ge 1$ પણ $1 \not\ge 2$).
$R_3$ સંમિત નથી ($2$ એ $4$ ને ભાગે છે પણ $4$ એ $2$ ને ભાગતું નથી).
$R_4$ સ્વવાચક નથી ($a < a$ અસત્ય છે).

(B) આપેલ છે કે,$m R n$ જો અને માત્ર જો $mn \ge 0$.
સ્વવાચકતા:
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $m$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $m^2 \ge 0$.
કારણ કે $mm = m^2$,તેથી $mm \ge 0$,જે સૂચવે છે કે $m R m$.
આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા:
ધારો કે $m R n$ સત્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $mn \ge 0$.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $nm = mn \ge 0$.
આ સૂચવે છે કે $n R m$.
આમ,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા:
ધારો કે $m R n$ અને $n R p$ સત્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $mn \ge 0$ અને $np \ge 0$.
જો $n = 0$ હોય,તો $m R 0$ અને $0 R p$ હંમેશા સત્ય છે $(0 \ge 0)$,પરંતુ $m R p$ $(mp \ge 0)$ હંમેશા સત્ય હોતું નથી (દા.ત.,$m=1, n=0, p=-1$).
તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ:
$R$ સ્વવાચક અને સંમિત છે પરંતુ પરંપરિત નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સામ્ય સંબંધ કહેવાય છે જો અને માત્ર જો તે નીચેના ત્રણ ગુણધર્મોનું પાલન કરે:
$1$. સ્વવાચક (Reflexive): દરેક $a \in A$ માટે,$(a, a) \in R$.
$2$. સંમિત (Symmetric): જો $(a, b) \in R$ હોય,તો દરેક $a, b \in A$ માટે $(b, a) \in R$ થાય.
$3$. પરંપરિત (Transitive): જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો દરેક $a, b, c \in A$ માટે $(a, c) \in R$ થાય.
સામ્ય સંબંધ માટે ત્રણેય શરતોનું પાલન થવું જરૂરી હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
આપેલ છે કે $R$ અને $S$ એ ગણ $A$ પરના સામ્ય સંબંધો છે.
કારણ કે $R \subseteq A \times A$ અને $S \subseteq A \times A$,તેથી $R \cap S \subseteq A \times A$,એટલે કે $R \cap S$ એ $A$ પરનો સંબંધ છે.
$1.$ સ્વવાચકતા: ધારો કે $a \in A$. $R$ અને $S$ સ્વવાચક હોવાથી,$(a, a) \in R$ અને $(a, a) \in S$. તેથી,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R \cap S$. આમ,$R \cap S$ સ્વવાચક છે.
$2.$ સંમિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R \cap S$. તેથી $(a, b) \in R$ અને $(a, b) \in S$. $R$ અને $S$ સંમિત હોવાથી,$(b, a) \in R$ અને $(b, a) \in S$. તેથી,$(b, a) \in R \cap S$. આમ,$R \cap S$ સંમિત છે.
$3.$ પરંપરિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R \cap S$ અને $(b, c) \in R \cap S$. તેથી $(a, b) \in R, (b, c) \in R$ અને $(a, b) \in S, (b, c) \in S$. $R$ અને $S$ પરંપરિત હોવાથી,$(a, c) \in R$ અને $(a, c) \in S$. તેથી,$(a, c) \in R \cap S$. આમ,$R \cap S$ પરંપરિત છે.
$R \cap S$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ છે.

(B) સંબંધ $R$ એ સમતલની તમામ સીધી રેખાઓના ગણ $L$ પર $\alpha R\beta \Leftrightarrow \alpha \perp \beta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચક: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $\alpha \in L$ માટે $\alpha R\alpha$ સાચું હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ થાય કે $\alpha \perp \alpha$,જે ખોટું છે કારણ કે કોઈ રેખા પોતાની જાતને લંબ હોઈ શકે નહીં. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: $R$ સંમિત હોવા માટે,$\alpha R\beta$ પરથી $\beta R\alpha$ સાબિત થવું જોઈએ. જો $\alpha \perp \beta$ હોય,તો સ્પષ્ટપણે $\beta \perp \alpha$ થાય. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,$\alpha R\beta$ અને $\beta R\gamma$ પરથી $\alpha R\gamma$ સાબિત થવું જોઈએ. જો $\alpha \perp \beta$ અને $\beta \perp \gamma$ હોય,તો $\alpha$ અને $\gamma$ બંને $\beta$ ને લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \parallel \gamma$. તેથી,$\alpha R\gamma$ ખોટું છે. આમ,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ સંમિત છે.

(D) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $(a, b) \in N \times N$ માટે,આપણી પાસે $a + b = b + a$ છે,જે સૂચવે છે કે $(a, b)R(a, b)$. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $(a, b)R(c, d)$. તો $a + d = b + c$. આને $c + b = d + a$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જે સૂચવે છે કે $c + b = d + a$,તેથી $(c, d)R(a, b)$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(a, b)R(c, d)$ અને $(c, d)R(e, f)$. તો $a + d = b + c$ અને $c + f = d + e$. આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $a + d + c + f = b + c + d + e$ મળે છે. બંને બાજુથી $c + d$ ને દૂર કરતા,આપણને $a + f = b + e$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $(a, b)R(e, f)$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(D) પૂર્ણાંકોના ગણ $Z$ પર સંબંધ $R$ ને $aRb \Leftrightarrow n | (a - b)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $a \in Z$ માટે,$(a - a) = 0$ થાય. કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $n | 0$ હોવાથી,$aRa$ સત્ય છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $aRb$ હોય,તો $n | (a - b)$,જેનો અર્થ છે કે $(a - b) = nk$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તો $(b - a) = -(a - b) = -nk = n(-k)$ થાય. $-k$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$n | (b - a)$,તેથી $bRa$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $aRb$ અને $bRc$ હોય,તો $n | (a - b)$ અને $n | (b - c)$ થાય. આનો અર્થ છે કે $(a - b) = nk_1$ અને $(b - c) = nk_2$ કોઈ પૂર્ણાંક $k_1, k_2$ માટે. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$(a - c) = (a - b) + (b - c) = n(k_1 + k_2)$ મળે. $(k_1 + k_2)$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$n | (a - c)$,તેથી $aRc$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) $1$. સ્વવાચકતા માટે ચકાસણી: ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય. અહીં,$(3, 3), (6, 6), (9, 9), (12, 12) \in R$ છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા માટે ચકાસણી: સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ હોય. અહીં,$(3, 6) \in R$ છે,પરંતુ $(6, 3) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા માટે ચકાસણી: સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોય. જોડીઓ તપાસતા: $(3, 6) \in R$ અને $(6, 12) \in R \implies (3, 12) \in R$ (હાજર છે). આવી તમામ જોડીઓ શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: આ સંબંધ માત્ર સ્વવાચક અને પરંપરિત છે.

(B) ધારો કે સંબંધ $R$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પર $xRy \iff x^2 = xy$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in \mathbb{R}$ માટે,આપણે તપાસીએ કે $xRx$ સાચું છે કે નહીં. $xRx \iff x^2 = x \cdot x$,જે $x^2 = x^2$ છે. આ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચું છે. તેથી,આ સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $x, y \in \mathbb{R}$ માટે,જો $xRy$ હોય,તો $x^2 = xy$. શું આનો અર્થ એ થાય કે $yRx$,એટલે કે $y^2 = yx$? જો $x=0, y=1$ લઈએ,તો $0^2 = 0 \cdot 1$ એટલે કે $0=0$ (સાચું),પરંતુ $y^2 = yx$ એટલે કે $1^2 = 1 \cdot 0$ એટલે કે $1=0$ (ખોટું). તેથી,તે સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $xRy$ અને $yRz$ હોય,તો $x^2 = xy$ અને $y^2 = yz$. જો $x=2, y=2, z=4$ લઈએ,તો $2^2 = 2 \cdot 2$ (સાચું),પરંતુ $2^2 = 2 \cdot 4$ (ખોટું). તેથી,તે પરંપરિત નથી.
આમ,આ સંબંધ સ્વવાચક છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $R = \{(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)\}$.
$1$. સંબંધ $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(2, 3) \in R$ છે પરંતુ $(3, 2) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$2$. સંબંધ $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 1) \notin R$ હોવાથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$3$. સંબંધ $R$ વિધેય હોવા માટે,ગણ $A$ ના દરેક ઘટકનું અનન્ય પ્રતિબિંબ હોવું જોઈએ. અહીં,$2$ એ $4$ અને $3$ બંને સાથે જોડાયેલ છે (એટલે કે $(2, 4) \in R$ અને $(2, 3) \in R$),તેથી $R$ વિધેય નથી.
$4$. સંબંધ $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(1, 3) \in R$ અને $(3, 1) \in R$ છે,પરંતુ $(1, 1) \notin R$ છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે $R$ સંમિત નથી.

(D) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times A$ માં કુલ $n^2$ ક્રમયુક્ત જોડ હોય છે.
સંબંધ સ્વવાચક હોવા માટે,$(a, a)$ સ્વરૂપની તમામ $n$ જોડ સંબંધમાં હોવી આવશ્યક છે.
બાકીની $n^2 - n$ ક્રમયુક્ત જોડ સંબંધમાં હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે,તેથી કુલ $2^{n^2 - n}$ શક્યતાઓ મળે.
$n = 4$ ઘટકો ધરાવતા ગણ માટે,સ્વવાચક સંબંધોની સંખ્યા $2^{4^2 - 4} = 2^{16 - 4} = 2^{12}$ થાય.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in S$ માટે,આપણી પાસે $1 + a \cdot a = 1 + a^2$ છે. કારણ કે $a^2 \ge 0$,તેથી $1 + a^2 \ge 1 > 0$. આમ,તમામ $a \in S$ માટે $(a, a) \in R$ છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $1 + ab > 0$. કારણ કે $ab = ba$,તેથી $1 + ba > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $(b, a) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $a = 1$,$b = -1/2$,અને $c = -1$ લો.
$(a, b) = (1, -1/2)$ માટે,$1 + (1)(-1/2) = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$,તેથી $(1, -1/2) \in R$.
$(b, c) = (-1/2, -1)$ માટે,$1 + (-1/2)(-1) = 1 + 0.5 = 1.5 > 0$,તેથી $(-1/2, -1) \in R$.
જોકે,$(a, c) = (1, -1)$ માટે,$1 + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$,જે $> 0$ નથી. આમ,$(1, -1) \notin R$.
તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,$|a - a| = 0 \le 1$. આમ,દરેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $a \ R \ a$ સત્ય છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $a \ R \ b$ હોય,તો $|a - b| \le 1$. કારણ કે $|a - b| = |b - a|$,તેથી $|b - a| \le 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $b \ R \ a$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $a = 1, b = 2, c = 3$ લો. અહીં,$|1 - 2| = 1 \le 1$ અને $|2 - 3| = 1 \le 1$ છે,પરંતુ $|1 - 3| = 2 > 1$ છે. તેથી,$1 \ R \ 2$ અને $2 \ R \ 3$ હોવા છતાં $1 \ R \ 3$ નથી. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક અને સંમિત છે.

(D) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $n \in N$ માટે,$n$ એ $n$ નો અવયવ છે (કારણ કે $n = n \times 1$). તેથી,દરેક $n \in N$ માટે $nRn$ સત્ય છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $n=2$ અને $m=6$ લો. $2|6$ હોવાથી $2R6$ સત્ય છે. પરંતુ,$6$ એ $2$ નો અવયવ નથી $(6 \nmid 2)$,તેથી $6R2$ અસત્ય છે. આમ,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $nRm$ અને $mRp$ છે. આનો અર્થ છે કે $n|m$ અને $m|p$. વિભાજ્યતાની વ્યાખ્યા મુજબ,એવા પૂર્ણાંકો $k_1, k_2$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $m = nk_1$ અને $p = mk_2$ થાય. $m$ ની કિંમત મૂકતા,$p = (nk_1)k_2 = n(k_1k_2)$ મળે. $k_1k_2$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$n|p$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $nRp$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,પરંતુ સંમિત નથી.

(A) કયું વિધાન અસત્ય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક ગુણધર્મનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(a)$ ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$. $R = \{(1, 2)\}$ અને $S = \{(2, 3)\}$ લો. $R$ અને $S$ બંને પરંપરિત છે. જોકે,$R \cup S = \{(1, 2), (2, 3)\}$. અહીં $(1, 2) \in R \cup S$ અને $(2, 3) \in R \cup S$ છે,પરંતુ $(1, 3) \notin R \cup S$,તેથી $R \cup S$ પરંપરિત નથી. આમ,વિધાન $(a)$ અસત્ય છે.
$(b)$ જો $R$ અને $S$ પરંપરિત હોય,તો કોઈપણ $(x, y) \in R \cap S$ અને $(y, z) \in R \cap S$ માટે,$(x, z) \in R \cap S$ થાય છે. આ વિધાન સત્ય છે.
$(c)$ જો $R$ અને $S$ સંમિત હોય,તો તેમનો યોગગણ $R \cup S$ પણ સંમિત થાય છે. આ વિધાન સત્ય છે.
$(d)$ જો $R$ અને $S$ સ્વવાચક હોય,તો તેમનો છેદગણ $R \cap S$ પણ સ્વવાચક થાય છે. આ વિધાન સત્ય છે.
તેથી,અસત્ય વિધાન $(a)$ છે.

(D) સંબંધ $R$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર $R = \{(x, y) : x, y \in N, 2x + y = 41\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોય તે માટે,દરેક $x \in N$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ થાય કે $2x + x = 41$,એટલે કે $3x = 41$,જે $x = 41/3$ આપે છે. $41/3 \notin N$ હોવાથી,સંબંધ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: $R$ સંમિત હોય તે માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. આપણી પાસે $(1, 39) \in R$ છે કારણ કે $2(1) + 39 = 41$. જોકે,$(39, 1)$ માટે $R$ માં હોવા માટે $2(39) + 1 = 79$ થવું જોઈએ,જે $41$ નથી. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોય તે માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 39) \in R$ અને $(20, 1) \in R$ છે. પરંપરિતતા માટે,$(1, 1) \in R$ હોવું જોઈએ,પરંતુ $2(1) + 1 = 3 \neq 41$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R$ એ આપેલ પૈકી કોઈ પણ નથી.

(C) સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ ને ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ પર સ્વવાચક બનાવવા માટે,તેમાં $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ હોવા જોઈએ. આ જોડીઓ $R$ માં નથી,તેથી આપણે $3$ જોડીઓ ઉમેરવી પડશે.
$2$. સંમિતતા: $(1, 2) \in R$ આપેલ હોવાથી,આપણે $(2, 1)$ ઉમેરવું પડશે. $(2, 3) \in R$ આપેલ હોવાથી,આપણે $(3, 2)$ ઉમેરવું પડશે.
$3$. પરંપરિતતા: $(1, 2) \in R$ અને $(2, 3) \in R$ આપેલ હોવાથી,પરંપરિતતા માટે આપણે $(1, 3)$ ઉમેરવું પડશે. હવે જો $(1, 3) \in R$ હોય,તો સંમિતતાના નિયમ મુજબ આપણે $(3, 1)$ પણ ઉમેરવું પડશે.
આમ,ઉમેરવામાં આવતી કુલ જોડીઓ $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 2), (1, 3), (3, 1)\}$ છે.
તેથી,ઉમેરવામાં આવતી કુલ ક્રમયુક્ત જોડીઓની સંખ્યા $7$ છે.

(D) સંબંધ $R$ એ $N \times N$ પર $(a, b) R (c, d) \iff ad(b + c) = bc(a + d)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $(a, b) \in N \times N$ માટે,$ab(b + a) = ba(a + b)$ થાય,જે સત્ય છે. તેથી,$(a, b) R (a, b)$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: ધારો કે $(a, b) R (c, d)$. તો $ad(b + c) = bc(a + d)$. આનો અર્થ એ થાય કે $bc(a + d) = ad(b + c)$,જેને $cb(d + a) = da(c + b)$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$(c, d) R (a, b)$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $(a, b) R (c, d)$ અને $(c, d) R (e, f)$. તો $ad(b + c) = bc(a + d)$ અને $cf(d + e) = de(c + f)$.
અનુક્રમે $abcd$ અને $cdef$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{b+c}{bc} = \frac{a+d}{ad} \implies \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{d} + \frac{1}{a} \implies \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$ મળે.
તે જ રીતે,$\frac{1}{c} - \frac{1}{d} = \frac{1}{e} - \frac{1}{f}$.
તેથી,$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{e} - \frac{1}{f} \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{f} = \frac{1}{e} + \frac{1}{b} \implies \frac{a+f}{af} = \frac{b+e}{be} \implies af(b + e) = be(a + f)$.
આમ,$(a, b) R (e, f)$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
જેથી $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(D) સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક (reflexive),સંમિત (symmetric) અને પરંપરિત (transitive) હોવો જોઈએ.
$A = \{p, q, r\}$ પરના સંબંધ માટે સ્વવાચક હોવા માટે તેમાં $(p, p), (q, q),$ અને $(r, r)$ હોવા જરૂરી છે.
$R_1$ માં $(q, q)$ અને $(r, r)$ નથી,તેથી તે સ્વવાચક નથી.
$R_2$ માં $(p, p)$ નથી,તેથી તે સ્વવાચક નથી.
$R_3$ માં $(p, p), (q, q),$ અને $(r, r)$ છે,તેથી તે સ્વવાચક છે. પરંતુ તે સંમિત નથી કારણ કે $(p, q) \in R_3$ છે પણ $(q, p) \notin R_3$ છે.
તેથી,આપેલ કોઈ પણ સંબંધ સામ્ય સંબંધ નથી.

(D) સંબંધ $R$ ને $l_1 R l_2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો $l_1 \parallel l_2$ હોય.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ રેખા $l_1$ પોતાની જાતને સમાંતર હોય છે $(l_1 \parallel l_1)$,તેથી આ સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $l_1 \parallel l_2$ હોય,તો $l_2 \parallel l_1$ થાય. આમ,આ સંબંધ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $l_1 \parallel l_2$ અને $l_2 \parallel l_3$ હોય,તો $l_1 \parallel l_3$ થાય. આમ,આ સંબંધ પરંપરિત છે.
આમ,સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ (equivalence relation) છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) ગણ $A$ માં $n(A) = 3$ ઘટકો છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times A$ માં $n(A \times A) = n(A) \times n(A) = 3 \times 3 = 9$ ઘટકો હોય છે.
ગણ $A$ પરનો સંબંધ એ $A \times A$ નો કોઈપણ ઉપગણ છે.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે.
તેથી,$A$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{n(A \times A)} = 2^9 = 512$ થાય.

(C) સંબંધ $R$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર $R = \{(a, b) : a, b \in N, |a - b| = 3\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $b$ વચ્ચેનો તફાવત $3$ છે.
જો $b = 1$ હોય,તો $|a - 1| = 3 \implies a = 4$ (કારણ કે $a \in N$).
જો $b = 2$ હોય,તો $|a - 2| = 3 \implies a = 5$.
જો $b = 3$ હોય,તો $|a - 3| = 3 \implies a = 6$.
જો $a = 1$ હોય,તો $|1 - b| = 3 \implies b = 4$.
જો $a = 2$ હોય,તો $|2 - b| = 3 \implies b = 5$.
આમ,સંબંધ $R$ માં $(1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3), \dots$ જેવી જોડીઓનો સમાવેશ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(C) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સામ્ય સંબંધ ત્યારે જ કહેવાય જો તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોય.
$1$. સ્વવાચકતા માટે,$R$ માં $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ હોવા જોઈએ.
$2$. આપેલ $R = \{(1, 2), (2, 3)\}$ છે.
$3$. સંમિતતા માટે,$(1, 2) \in R$ હોવાથી $(2, 1)$ ઉમેરવું પડે. $(2, 3) \in R$ હોવાથી $(3, 2)$ ઉમેરવું પડે.
$4$. હવે,$R = \{(1, 2), (2, 3), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ થાય.
$5$. પરંપરિતતા માટે,$(1, 2) \in R$ અને $(2, 3) \in R$ હોવાથી $(1, 3) \in R$ હોવું જોઈએ. સંમિતતા જાળવવા માટે $(3, 1)$ પણ ઉમેરવું પડે.
$6$. અંતિમ સંબંધ $R$ એ ગણ $A$ પરનો સાર્વત્રિક સંબંધ બને છે,જે $A \times A = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)\}$ છે.
$7$. મૂળ સંબંધમાં $2$ ઘટકો હતા. સાર્વત્રિક સંબંધમાં $3^2 = 9$ ઘટકો છે.
$8$. ઉમેરવા પડતા ઘટકોની સંખ્યા = $9 - 2 = 7$.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કારણ કે $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$,તેથી સંબંધ $R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: આપણે જોઈએ છીએ કે $(1, 2) \in R$,પરંતુ $(2, 1) \notin R$. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: કોઈપણ $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે $(a, c) \in R$ છે કે નહીં.
- $(1, 2) \in R$ અને $(2, 3) \in R \implies (1, 3) \in R$ (જે સંબંધમાં છે).
- અન્ય તમામ જોડીઓ આ શરતનું પાલન કરે છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,પરંતુ સંમિત નથી.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,$|a - a| = 0 \le 1$. તેથી,$a \, R \, a$ એ બધા $a \in \mathbb{R}$ માટે સાચું છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $a \, R \, b$ હોય,તો $|a - b| \le 1$. કારણ કે $|a - b| = |b - a|$,તેથી $|b - a| \le 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $b \, R \, a$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $a = 1, b = 1.8, c = 2.6$. અહીં $|1 - 1.8| = 0.8 \le 1$ $(1 \, R \, 1.8)$ અને $|1.8 - 2.6| = 0.8 \le 1$ $(1.8 \, R \, 2.6)$ છે,પરંતુ $|1 - 2.6| = 1.6 > 1$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક અને સંમિત છે.

(B) ધારો કે $R$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર "થી નાનું" સંબંધ છે.
કોઈપણ $x, y, z \in N$ માટે,જો $x < y$ અને $y < z$ હોય,તો $x < z$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે જો $xRy$ અને $yRz$ હોય,તો $xRz$ થાય. તેથી,આ સંબંધ પરંપરિત છે.
કારણ કે $x < y$ હોવાથી $y < x$ સાચું નથી (દા.ત.,$1 < 2$ પણ $2 \not< 1$),તેથી આ સંબંધ સંમિત નથી.
કારણ કે કોઈપણ $x \in N$ માટે $x < x$ અસત્ય છે,તેથી આ સંબંધ સ્વવાચક નથી.
તેથી,આ સંબંધ માત્ર પરંપરિત છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{2, 4, 6, 8\}$ અને સંબંધ $R = \{(2, 4), (4, 2), (4, 6), (6, 4)\}$ છે.
કોઈ સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો દરેક $(a, b) \in R$ માટે,$(b, a) \in R$ હોય.
$R$ ના ઘટકો તપાસતા:
$1$. $(2, 4) \in R$ અને $(4, 2) \in R$.
$2$. $(4, 6) \in R$ અને $(6, 4) \in R$.
અહીં દરેક $(a, b) \in R$ માટે,અનુરૂપ $(b, a)$ પણ $R$ માં છે,તેથી આ સંબંધ સંમિત છે.

(B) સંબંધ $P$ સ્વવાચક છે જો દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $(x, x) \in P$ હોય. અહીં,$x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આ દરેક $x$ માટે સાચું નથી,તેથી $P$ સ્વવાચક નથી.
સંબંધ $P$ સંમિત છે જો $(x, y) \in P \Rightarrow (y, x) \in P$ હોય. આપેલ છે કે $x^2 + y^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $y^2 + x^2 = 1$. તેથી,જો $(x, y) \in P$ હોય,તો $(y, x) \in P$ થાય. આમ,$P$ સંમિત છે.
સંબંધ $P$ પરંપરિત છે જો $(x, y) \in P$ અને $(y, z) \in P \Rightarrow (x, z) \in P$ હોય. ધારો કે $(x, y) = (1, 0)$ અને $(y, z) = (0, 1)$. બંને $P$ માં છે કારણ કે $1^2 + 0^2 = 1$ અને $0^2 + 1^2 = 1$. જોકે,$(x, z) = (1, 1)$ એ $P$ માં નથી કારણ કે $1^2 + 1^2 = 2 \neq 1$. તેથી,$P$ પરંપરિત નથી.

(D) દરેક $n \in N$ માટે $n|n$ હોવાથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2|6$ છે પરંતુ $6$ એ $2$ નો અવયવ નથી,તેથી $R$ સંમિત નથી.
ધારો કે $nRm$ અને $mRp$. આનો અર્થ એ છે કે $n|m$ અને $m|p$. વિભાજ્યતાના ગુણધર્મ મુજબ $n|p$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $nRp$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,પરંતુ સંમિત નથી.

(B) કારણ કે $R$ એ ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ છે,તેથી તે સ્વવાચક હોવો જોઈએ.
સ્વવાચકતાની વ્યાખ્યા મુજબ,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ થાય.
ગણ $A$ માં $n$ ઘટકો હોવાથી,$R$ માં $(a, a)$ સ્વરૂપની ઓછામાં ઓછી $n$ ક્રમયુક્ત જોડીઓ હોવી જ જોઈએ.
તેથી,$R$ માં ક્રમયુક્ત જોડીઓની સંખ્યા $n$ કરતા વધારે અથવા તેના બરાબર હોય છે.