Types of Relations Questions in Gujarati

(D) $(a, b), (c, d) \in N \times N$ માટે,સંબંધ $(a, b) R (c, d) \iff ad(b + c) = bc(a + d)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ સ્વવાચક: કોઈપણ $(a, b) \in N \times N$ માટે,$ab(b + a) = ba(a + b)$ થાય છે. આ સૂચવે છે કે $(a, b) R (a, b)$. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2.$ સંમિત: ધારો કે $(a, b) R (c, d)$. તો $ad(b + c) = bc(a + d)$. આને $cb(d + a) = da(c + b)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જે સૂચવે છે કે $(c, d) R (a, b)$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3.$ પરંપરિત: ધારો કે $(a, b) R (c, d)$ અને $(c, d) R (e, f)$. તો $ad(b + c) = bc(a + d)$ અને $cf(d + e) = de(c + f)$.
અનુક્રમે $abcd$ અને $cdef$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\frac{b+c}{bc} = \frac{a+d}{ad} \implies \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{d} + \frac{1}{a} \implies \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{c} - \frac{1}{d} = \frac{1}{e} - \frac{1}{f}$.
તેથી,$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{e} - \frac{1}{f} \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{f} = \frac{1}{e} + \frac{1}{b} \implies \frac{a+f}{af} = \frac{e+b}{eb} \implies eb(a+f) = af(e+b)$.
આ સૂચવે છે કે $(a, b) R (e, f)$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.

(A) કોઈપણ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$x - x + \sqrt{2} = \sqrt{2}$,જે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $xRx$ સત્ય હોવાથી,$R$ એ સ્વવાચક છે.
$R$ સંમિત નથી કારણ કે જો $x = \sqrt{2}$ અને $y = 1$ લઈએ,તો $x - y + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 1$ જે અસંમેય છે,તેથી $\sqrt{2}R1$ સત્ય છે. પરંતુ $y - x + \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 1$ જે સંમેય સંખ્યા છે,તેથી $1R\sqrt{2}$ અસત્ય છે.
$R$ પરંપરિત નથી કારણ કે જો $x = \sqrt{2}, y = 1, z = 2\sqrt{2}$ લઈએ,તો $xRy$ સત્ય છે અને $yRz$ સત્ય છે,પરંતુ $xRz$ અસત્ય છે કારણ કે $x - z + \sqrt{2} = 0$ જે સંમેય છે.

(A) ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$. $R = \{(1, 2)\}$ અને $S = \{(2, 3)\}$ લો. $R$ અને $S$ બંને $A$ પરના પરંપરિત સંબંધો છે કારણ કે તેમાં એવી કોઈ જોડી $(a, b)$ અને $(b, c)$ નથી કે જેના માટે $(a, c)$ ગેરહાજર હોય.
હવે,$R \cup S = \{(1, 2), (2, 3)\}$.
$R \cup S$ પરંપરિત હોવા માટે,$(1, 2) \in R \cup S$ અને $(2, 3) \in R \cup S$ હોવાથી,$(1, 3) \in R \cup S$ હોવું જોઈએ. પરંતુ,$(1, 3) \notin R \cup S$.
આમ,$R \cup S$ હંમેશા પરંપરિત હોતું નથી. તેથી,વિધાન '$R$ અને $S$ પરંપરિત છે $\implies R \cup S$ પરંપરિત છે' અસત્ય છે.

(A) આપેલ છે કે $R$ એ ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ છે,જેને $R: A \to B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S$ એ ગણ $B$ થી ગણ $C$ પરનો સંબંધ છે,જેને $S: B \to C$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સંબંધોનું સંયોજન $S \circ R$ એ $R$ ના પ્રદેશથી $S$ ના સહ-પ્રદેશ સુધીના સંબંધ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
તેથી,$S \circ R$ એ ગણ $A$ થી ગણ $C$ પરનો સંબંધ છે,જેને $(S \circ R): A \to C$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક છે જો દરેક ઘટક $a \in A$ માટે,ક્રમયુક્ત જોડી $(a, a) \in R$ હોય.
ગણ $A$ માં $n$ ઘટકો હોવાથી,સ્વવાચક ગુણધર્મ સંતોષવા માટે $R$ માં $(a, a)$ સ્વરૂપની ઓછામાં ઓછી $n$ ક્રમયુક્ત જોડીઓ હોવી જોઈએ.
આ $n$ જોડીઓ $(a_1, a_1), (a_2, a_2), \dots, (a_n, a_n)$ છે.
તેથી,$R$ માં ક્રમયુક્ત જોડીઓની સંખ્યા $m$ એ $n$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
આમ,$m \ge n$.

(D) સંબંધ $R = \{(x, y) : x, y \in A \text{ અને } |x^2 - y^2| < 16\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ છીએ કે શું દરેક જોડી શરત $|x^2 - y^2| < 16$ નું પાલન કરે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે:
$|1^2 - 1^2| = 0 < 16$ (સાચું)
$|2^2 - 1^2| = 3 < 16$ (સાચું)
$|3^2 - 1^2| = 8 < 16$ (સાચું)
$|4^2 - 1^2| = 15 < 16$ (સાચું)
$|2^2 - 3^2| = 5 < 16$ (સાચું)
વિકલ્પ $A$ ની તમામ જોડીઓ શરતનું પાલન કરે છે. જોકે,$R$ એ $A \times A$ નો ઉપગણ છે અને તેમાં ઘણી વધુ જોડીઓનો સમાવેશ થાય છે (જેમ કે $(1, 2), (5, 5)$). આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સંપૂર્ણ સંબંધ $R$ દર્શાવતું નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,ગણ $A$ પરનો તદેવ સંબંધ $I$ એ $I = \{(a, a) : a \in A\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $R$ એ $A$ પરનો પરંપરિત સંબંધ છે,તેનો અર્થ એ નથી કે $R$ માં $I$ હોવું જ જોઈએ અથવા $R$ એ $I$ ની અંદર હોવો જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $A = \{1, 2\}$ હોય,તો ધારો કે $R = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2)\}$. અહીં,$R$ પરંપરિત છે અને $I = \{(1, 1), (2, 2)\}$. આ કિસ્સામાં,$I \subset R$ થાય છે.
જો કે,જો $R = \{(1, 1)\}$ હોય,તો $R$ પરંપરિત છે,પરંતુ $I \not\subset R$ અને $R \not\subset I$ થાય છે.
પરંપરિતતા સિવાય $R$ માટે કોઈ ચોક્કસ શરત (જેમ કે સ્વવાચકતા કે સંમિતતા) આપવામાં આવી ન હોવાથી,$R \subset I$,$I \subset R$,અથવા $R = I$ માંથી કોઈ પણ વિકલ્પ સાર્વત્રિક રીતે સાચો નથી.
તેથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) $1$. સ્વવાચક: ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય. અહીં,$(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \in R$ છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ હોય.
- $(1, 2) \in R$ અને $(2, 1) \in R$ છે.
- $(3, 1) \in R$ અને $(1, 3) \in R$ છે.
- બાકીના ઘટકો $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ પોતે જ સંમિત છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોય.
- $(3, 1) \in R$ અને $(1, 2) \in R$ લો. $R$ પરંપરિત હોવા માટે,$(3, 2)$ એ $R$ માં હોવું જોઈએ. પરંતુ,$(3, 2) \notin R$ છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R$ સ્વવાચક અને સંમિત બંને છે.

(B) ધારો કે $A$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. સંબંધ $R$ ને $m R n$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જો $m$ એ $n$ નો ગુણક હોય,એટલે કે $m = kn$,જ્યાં $k \in \mathbb{N}$.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $m \in A$ માટે,$m = 1 \times m$,તેથી $m$ એ $m$ નો ગુણક છે. આમ,$(m, m) \in R$. સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $(m, n) \in R$ હોય,તો $m = kn$. આનો અર્થ એ નથી કે $n = k'm$ થાય જ્યારે $m \neq n$. ઉદાહરણ તરીકે,$4$ એ $2$ નો ગુણક છે,પરંતુ $2$ એ $4$ નો ગુણક નથી. તેથી,સંબંધ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $(m, n) \in R$ અને $(n, p) \in R$ હોય,તો $m = kn$ અને $n = lp$,જ્યાં $k, l \in \mathbb{N}$. $n$ ની કિંમત મૂકતા,$m = k(lp) = (kl)p$. કારણ કે $kl \in \mathbb{N}$,$m$ એ $p$ નો ગુણક છે. તેથી,$(m, p) \in R$. સંબંધ પરંપરિત છે.
આમ,સંબંધ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in N$ માટે,$a$ એ $a$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,બધા $a \in N$ માટે $aRa$ સત્ય છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $aRb$. આનો અર્થ એ છે કે $b$ એ $a$ વડે વિભાજ્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે,$1R2$ સત્ય છે કારણ કે $2$ એ $1$ વડે વિભાજ્ય છે,પરંતુ $2R1$ સત્ય નથી કારણ કે $1$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $aRb$ અને $bRc$. આનો અર્થ એ છે કે $b = ka$ અને $c = mb$ જ્યાં $k, m \in N$. તો $c = m(ka) = (mk)a$. $mk$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$c$ એ $a$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$aRc$ સત્ય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,પરંતુ સંમિત નથી.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ એ સંમિત સંબંધ કહેવાય જો અને માત્ર જો પ્રત્યેક $a, b \in A$ માટે $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ થાય.
આ શરત વિધાન $R = R^{-1}$ ને સમતુલ્ય છે.
અહીં પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $R = R^{-1}$,તેથી તે સંમિત સંબંધની વ્યાખ્યાનું સીધું પાલન કરે છે.
આથી,$R$ એ સંમિત સંબંધ છે.

(C) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો તમામ $x, y \in A$ માટે $(x, y) \in R \implies (y, x) \in R$ થાય. અહીં,$R = \{(a, a)\}$ છે. કારણ કે $(a, a) \in R$,તેથી તેનું ઉલટું $(a, a)$ પણ $R$ માં છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ પ્રતિ-સંમિત કહેવાય જો તમામ $x, y \in A$ માટે $(x, y) \in R$ અને $(y, x) \in R \implies x = y$ થાય. અહીં,$(a, a) \in R$ અને $(a, a) \in R$ પરથી $a = a$ મળે છે,જે સત્ય છે. આમ,$R$ પ્રતિ-સંમિત છે.
તેથી,$R$ એ સંમિત અને પ્રતિ-સંમિત બંને છે.

(B) ધારો કે $P(A)$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R$ એવો છે કે $X R Y$ જો અને માત્ર જો $X \subseteq Y$,જ્યાં $X, Y \in P(A)$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $X \in P(A)$ માટે,$X \subseteq X$ હંમેશા સત્ય છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. પ્રતિ-સંમિતતા: જો $X \subseteq Y$ અને $Y \subseteq X$ હોય,તો ગણની સમાનતાની વ્યાખ્યા મુજબ $X = Y$ થાય. તેથી,$R$ પ્રતિ-સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $X \subseteq Y$ અને $Y \subseteq Z$ હોય,તો $X \subseteq Z$ થાય. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આ સંબંધ સ્વવાચક,પ્રતિ-સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે આંશિક ક્રમનો સંબંધ છે,સામ્ય સંબંધ નથી. તેથી,આ સંબંધ પ્રતિ-સંમિત છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,ગણ $A$ પરના સંબંધ $R$ ને પ્રતિ-સંમિત કહેવામાં આવે છે જો બધા $a, b \in A$ માટે,$(a, b) \in R$ અને $(b, a) \in R$ હોય તો $a = b$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે જો બે ભિન્ન ઘટકો $a$ અને $b$ હોય કે જેથી $a \neq b$,તો $(a, b)$ અને $(b, a)$ બંને એકસાથે $R$ માં હોઈ શકે નહીં.
તેથી,પ્રતિ-સંમિતતા માટેની શરત $a = b$ છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ અને સંબંધ $R = \{(x, y) | x, y \in A, x < y\}$ છે.
$1$. સ્વવાચક: જો દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય. અહીં,$x < x$ ક્યારેય સત્ય નથી,તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: જો $(x, y) \in R \implies (y, x) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. અહીં,$(1, 2) \in R$ કારણ કે $1 < 2$,પરંતુ $(2, 1) \notin R$ કારણ કે $2 \not< 1$. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R \implies (x, z) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. જો $x < y$ અને $y < z$ હોય,તો અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ $x < z$ થાય. આમ,$(x, z) \in R$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.

(C) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય. અહીં $A = \{1, 2, 3, 4\}$ છે. $R$ સ્વવાચક હોવા માટે $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ એ $R$ માં હોવા જોઈએ. અહીં $(1, 1) \notin R$ હોવાથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ હોય. અહીં $(1, 2) \in R$ છે,પરંતુ $(2, 1) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોય. અહીં $(1, 2) \in R$ અને $(2, 2) \in R$ છે. આનો અર્થ એ કે $(1, 2)$ એ $R$ માં હોવું જોઈએ,જે સાચું છે. અન્ય જોડીઓ તપાસતા,આપણે જોઈએ છીએ કે તમામ $(a, b), (b, c) \in R$ માટે,$(a, c) \in R$ શરતનું પાલન થાય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ગણ $A$ પરનો ખાલી સંબંધ $\phi$ એ $\phi = \emptyset \subseteq A \times A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા માટે,દરેક $a \in A$ માટે,$(a, a) \in \phi$ હોવું જોઈએ. $\phi$ ખાલી હોવાથી,તેમાં કોઈ ઘટક નથી,તેથી તે સ્વવાચક નથી (જો $A = \emptyset$ ન હોય તો).
$2$. સંમિતતા માટે,જો $(a, b) \in \phi$ હોય,તો $(b, a) \in \phi$ હોવું જોઈએ. $\phi$ માં કોઈ ઘટક ન હોવાથી,શરત $(a, b) \in \phi \implies (b, a) \in \phi$ એ ખાલી રીતે (vacuously) સત્ય છે. તેથી,તે સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા માટે,જો $(a, b) \in \phi$ અને $(b, c) \in \phi$ હોય,તો $(a, c) \in \phi$ હોવું જોઈએ. $\phi$ માં કોઈ ઘટક ન હોવાથી,આ શરત પણ ખાલી રીતે સત્ય છે. તેથી,તે પરંપરિત છે.
આમ,ખાલી સંબંધ એ સંમિત અને પરંપરિત છે.

(B) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in R$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $a \ge a$ હંમેશા સાચું છે. તેથી,દરેક $a \in R$ માટે $(a, a) \in R_1$ થાય. આમ,$R_1$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R_1$ હોય,તો $a \ge b$ થાય. આનો અર્થ એ નથી કે $b \ge a$ થાય (દા.ત.,$2 \ge 1$ સાચું છે,પરંતુ $1 \ge 2$ ખોટું છે). તેથી,$R_1$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R_1$ અને $(b, c) \in R_1$ હોય,તો $a \ge b$ અને $b \ge c$ થાય. અસમતાના પરંપરિત ગુણધર્મ મુજબ,$a \ge c$ થાય. તેથી,$(a, c) \in R_1$ થાય. આમ,$R_1$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $R_1$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,પરંતુ સંમિત નથી.

(D) ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ સ્વવાચક (reflexive),સંમિત (symmetric) અને પરંપરિત (transitive) હોવો જોઈએ.
સંબંધ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $x \in A$ માટે,$(x, x)$ સંબંધમાં હોવું જોઈએ.
અહીં,$A = \{p, q, r\}$. તેથી,$(p, p), (q, q),$ અને $(r, r)$ ત્રણેય સંબંધમાં હોવા જોઈએ.
$1$. $R_1$ માં,$(q, q)$ અને $(r, r)$ ગેરહાજર છે. તેથી,$R_1$ સ્વવાચક નથી.
$2$. $R_2$ માં,$(p, p)$ ગેરહાજર છે. તેથી,$R_2$ સ્વવાચક નથી.
$3$. $R_3$ માં,$(p, p), (q, q), (r, r)$ છે,પરંતુ તે સંમિત નથી કારણ કે $(p, q) \in R_3$ છે પણ $(q, p) \notin R_3$.
આમ,આપેલા તમામ સંબંધો સામ્ય સંબંધની શરતોનું પાલન કરતા નથી. તેથી,આપેલા તમામ વિકલ્પો સામ્ય સંબંધ નથી.

(A) કોઈ સંબંધ $R$ એ સામ્ય સંબંધ ત્યારે જ કહેવાય જો તે સ્વવાચક (reflexive),સંમિત (symmetric) અને પરંપરિત (transitive) હોય.
$1$. $R_1$ માટે: $a \, R_1 \, b \Leftrightarrow |a| = |b|$.
- સ્વવાચક: $|a| = |a|$ દરેક $a$ માટે સત્ય છે,તેથી $a \, R_1 \, a$.
- સંમિત: જો $|a| = |b|$ હોય,તો $|b| = |a|$ થાય,તેથી $b \, R_1 \, a$.
- પરંપરિત: જો $|a| = |b|$ અને $|b| = |c|$ હોય,તો $|a| = |c|$ થાય,તેથી $a \, R_1 \, c$.
આમ,$R_1$ એ સામ્ય સંબંધ છે.
$2$. $R_2$ $(a \ge b)$ એ સંમિત નથી (દા.ત.,$2 \ge 1$ પણ $1 \not\ge 2$).
$3$. $R_3$ ($a$ એ $b$ વડે વિભાજ્ય છે) એ સંમિત નથી (દા.ત.,$4$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,પણ $2$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી).
$4$. $R_4$ $(a < b)$ એ સ્વવાચક નથી $(a \not< a)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ $R$ ત્રણ ગુણધર્મોનું પાલન કરે છે:
$1$. સ્વવાચકતા: દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R$,તો $(b, a) \in R$.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$,તો $(a, c) \in R$.
હવે,$R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\}$ ધ્યાનમાં લો.
$1$. સ્વવાચકતા: કારણ કે $(a, a) \in R$,તેથી $(a, a) \in R^{-1}$. આમ,$R^{-1}$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R^{-1}$,તો $(b, a) \in R$. કારણ કે $R$ સંમિત છે,$(a, b) \in R$,જેનો અર્થ છે કે $(b, a) \in R^{-1}$. આમ,$R^{-1}$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R^{-1}$ અને $(b, c) \in R^{-1}$,તો $(b, a) \in R$ અને $(c, b) \in R$. કારણ કે $R$ પરંપરિત છે,$(c, a) \in R$,જેનો અર્થ છે કે $(a, c) \in R^{-1}$. આમ,$R^{-1}$ પરંપરિત છે.
$R^{-1}$ ત્રણેય ગુણધર્મોનું પાલન કરતું હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(B) વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પર સંબંધ $R$ એ $nm \ge 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $n \in \mathbb{R}$ માટે,$n \cdot n = n^2 \ge 0$. તેથી,$(n, n) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $(n, m) \in R$,તો $nm \ge 0$. કારણ કે $nm = mn$,તેથી $mn \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $(m, n) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $(n, m) \in R$ અને $(m, p) \in R$. આનો અર્થ છે કે $nm \ge 0$ અને $mp \ge 0$. જો આપણે $n=1, m=0, p=-1$ લઈએ,તો $1 \cdot 0 = 0 \ge 0$ અને $0 \cdot (-1) = 0 \ge 0$ થાય છે,પરંતુ $n \cdot p = 1 \cdot (-1) = -1 < 0$ થાય છે. તેથી $(1, 0) \in R$ અને $(0, -1) \in R$ હોવા છતાં $(1, -1) \notin R$,તેથી સંબંધ પરંપરિત નથી.
તેથી,$R$ એ સ્વવાચક અને સંમિત છે.

(D) ગણ $A$ પરના સંબંધ $R$ ને સામ્ય સંબંધ કહેવામાં આવે છે જો તે નીચેની ત્રણ શરતોનું પાલન કરે:
$1$. સ્વવાચક (Reflexive): દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$.
$2$. સંમિત (Symmetric): જો $(a, b) \in R$ હોય,તો દરેક $a, b \in A$ માટે $(b, a) \in R$.
$3$. પરંપરિત (Transitive): જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો દરેક $a, b, c \in A$ માટે $(a, c) \in R$.
આમ,સામ્ય સંબંધ માટે ત્રણેય શરતોનું પાલન થવું જરૂરી છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $R$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{Z}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ છે,જ્યાં $aRb$ જો અને માત્ર જો $a \equiv b \pmod{m}$,જેનો અર્થ છે કે $a - b$ એ $m$ વડે વિભાજ્ય છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{Z}$ માટે,$a - a = 0$,જે $m$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$aRa$ સત્ય છે.
$2$. સંમિતતા: જો $aRb$,તો $a - b = km$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તો $b - a = -(km) = (-k)m$. કારણ કે $-k$ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી $bRa$ સત્ય છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $aRb$ અને $bRc$,તો $a - b = km$ અને $b - c = lm$ કોઈ પૂર્ણાંક $k, l$ માટે. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$a - c = (k + l)m$. કારણ કે $k + l$ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી $aRc$ સત્ય છે.
આમ,સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(B) ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ ત્રણ ગુણધર્મો ધરાવે છે: સ્વવાચકતા,સંમિતતા અને પરંપરિતતા.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ અને $S$ સામ્ય સંબંધો હોવાથી,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ અને $(a, a) \in S$ થાય. તેથી,$(a, a) \in R \cap S$,એટલે કે $R \cap S$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R \cap S$,તો $(a, b) \in R$ અને $(a, b) \in S$. $R$ અને $S$ સંમિત હોવાથી,$(b, a) \in R$ અને $(b, a) \in S$. તેથી,$(b, a) \in R \cap S$,એટલે કે $R \cap S$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R \cap S$ અને $(b, c) \in R \cap S$,તો $(a, b) \in R, (b, c) \in R$ અને $(a, b) \in S, (b, c) \in S$. $R$ અને $S$ પરંપરિત હોવાથી,$(a, c) \in R$ અને $(a, c) \in S$. તેથી,$(a, c) \in R \cap S$,એટલે કે $R \cap S$ પરંપરિત છે.
આમ,$R \cap S$ એ $A$ પર સામ્ય સંબંધ છે.

(D) $1$. સંમિત: જો $R$ અને $S$ સંમિત હોય,તો $(x, y) \in R \implies (y, x) \in R$ અને $(x, y) \in S \implies (y, x) \in S$. જો $(x, y) \in R \cup S$ હોય,તો $(x, y) \in R$ અથવા $(x, y) \in S$. તેથી $(y, x) \in R$ અથવા $(y, x) \in S$,જેનો અર્થ છે કે $(y, x) \in R \cup S$. આમ $R \cup S$ સંમિત છે.
$2$. પરંપરિત: જો $R$ અને $S$ પરંપરિત હોય,તો ધારો કે $(x, y) \in R \cap S$ અને $(y, z) \in R \cap S$. તો $(x, y) \in R, (y, z) \in R \implies (x, z) \in R$ (કારણ કે $R$ પરંપરિત છે). તેવી જ રીતે,$(x, y) \in S, (y, z) \in S \implies (x, z) \in S$ (કારણ કે $S$ પરંપરિત છે). તેથી $(x, z) \in R \cap S$. આમ $R \cap S$ પરંપરિત છે.
$3$. સ્વવાચક: જો $R$ અને $S$ ગણ $A$ પર સ્વવાચક હોય,તો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ અને $(a, a) \in S$. તેથી દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R \cap S$. આમ $R \cap S$ સ્વવાચક છે.
તેથી,બધા જ વિધાનો સાચા છે.

(B) આપેલ છે કે $S = \{(2, 1), (3, 2), (2, 3)\}$.
સૌ પ્રથમ,$S$ માંની દરેક ક્રમયુક્ત જોડીના ઘટકોની અદલાબદલી કરીને વ્યસ્ત સંબંધ $S^{-1}$ શોધો:
$S^{-1} = \{(1, 2), (2, 3), (3, 2)\}$.
હવે,આપણે સંયોજન $R \circ S^{-1}$ શોધવાની જરૂર છે.
સંયોજન $R \circ S^{-1}$ માં એવી જોડીઓ $(x, z)$ નો સમાવેશ થાય છે કે જેથી કોઈ $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેમાં $(x, y) \in S^{-1}$ અને $(y, z) \in R$ હોય.
$1$. $(1, 2) \in S^{-1}$ માટે,આપણે $R$ માં $2$ થી શરૂ થતી જોડીઓ શોધીએ છીએ. આપણી પાસે $(2, 2) \in R$ છે. તેથી,$(1, 2) \in R \circ S^{-1}$.
$2$. $(2, 3) \in S^{-1}$ માટે,આપણે $R$ માં $3$ થી શરૂ થતી જોડીઓ શોધીએ છીએ. આપણી પાસે $(3, 2) \in R$ છે. તેથી,$(2, 2) \in R \circ S^{-1}$.
$3$. $(3, 2) \in S^{-1}$ માટે,આપણે $R$ માં $2$ થી શરૂ થતી જોડીઓ શોધીએ છીએ. આપણી પાસે $(2, 2) \in R$ છે. તેથી,$(3, 2) \in R \circ S^{-1}$.
આ બધાને જોડતા,$R \circ S^{-1} = \{(1, 2), (2, 2), (3, 2)\}$.

(D) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, y) | x, y \in N, 2x + y = 41\}$ છે.
$R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $x \in N$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $2x + x = 41$,એટલે કે $3x = 41$,જે $x = 41/3 \notin N$ આપે છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $(1, 39) \in R$ કારણ કે $2(1) + 39 = 41$. જોકે,$(39, 1) \notin R$ કારણ કે $2(39) + 1 = 79 \neq 41$. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $(1, 39) \in R$ અને $(39, z) \in R$. $(39, z) \in R$ માટે,$2(39) + z = 41$,જે $z = 41 - 78 = -37 \notin N$ આપે છે. આમ,કોઈ એવો $z \in N$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી,તેથી પરંપરિતતાની શરત સંતોષાતી નથી. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R$ એ આપેલ પૈકી કોઈ પણ નથી.

(B) ગણ $L$ પરનો સંબંધ $R$ એ $\alpha R \beta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે જો અને માત્ર જો $\alpha \perp \beta$ (રેખા $\alpha$ એ રેખા $\beta$ ને લંબ છે).
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $\alpha \in L$ માટે $\alpha R \alpha$ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ થાય કે $\alpha \perp \alpha$. કારણ કે કોઈ રેખા પોતાની જાતને લંબ હોઈ શકે નહીં,તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $\alpha R \beta$ હોય,તો $\beta R \alpha$ હોવું જોઈએ. જો $\alpha \perp \beta$ હોય,તો સ્પષ્ટપણે $\beta \perp \alpha$ થાય. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $\alpha R \beta$ અને $\beta R \gamma$ હોય,તો $\alpha R \gamma$ હોવું જોઈએ. જો $\alpha \perp \beta$ અને $\beta \perp \gamma$ હોય,તો $\alpha$ એ $\gamma$ ને સમાંતર છે $(\alpha \parallel \gamma)$,લંબ નથી. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,સંબંધ $R$ એ સંમિત છે.

(D) સમરૂપતા $(a \sim b)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે:
$1$. સ્વવાચક: દરેક ત્રિકોણ $a$ એ પોતાની જાતને સમરૂપ હોય છે $(a \sim a)$. તેથી,$aRa$ સાચું છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો ત્રિકોણ $a$ એ ત્રિકોણ $b$ ને સમરૂપ હોય $(a \sim b)$,તો ત્રિકોણ $b$ પણ ત્રિકોણ $a$ ને સમરૂપ હોય છે $(b \sim a)$. તેથી,$aRb \implies bRa$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો ત્રિકોણ $a$ એ ત્રિકોણ $b$ ને સમરૂપ હોય $(a \sim b)$ અને ત્રિકોણ $b$ એ ત્રિકોણ $c$ ને સમરૂપ હોય $(b \sim c)$,તો ત્રિકોણ $a$ એ ત્રિકોણ $c$ ને સમરૂપ હોય છે $(a \sim c)$. તેથી,$aRb$ અને $bRc \implies aRc$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
કારણ કે સંબંધ $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત છે,તેથી તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(B) ધારો કે $R$ એ સમતલના બિંદુઓના ગણ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ છે જેથી $(P, Q) \in R$ જો અને માત્ર જો $OP = OQ$ હોય.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,$OP = OP$ હંમેશા સાચું છે. તેથી,બધા $P$ માટે $(P, P) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(P, Q) \in R$ હોય,તો $OP = OQ$,જેનો અર્થ છે કે $OQ = OP$. તેથી,$(Q, P) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(P, Q) \in R$ અને $(Q, S) \in R$ હોય,તો $OP = OQ$ અને $OQ = OS$. આ સૂચવે છે કે $OP = OS$. તેથી,$(P, S) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(D) સંબંધ $r$ એ સામ્ય સંબંધ છે જો તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોય.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $(a, b) \in N \times N$ માટે,$a + b = b + a$ થાય. તેથી,$(a, b)r(a, b)$ સત્ય છે. આમ,$r$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $(a, b)r(c, d)$ હોય,તો $a + d = b + c$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે $c + b = d + a$,જેનો અર્થ છે કે $(c, d)r(a, b)$. આમ,$r$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $(a, b)r(c, d)$ અને $(c, d)r(e, f)$ હોય,તો $a + d = b + c$ અને $c + f = d + e$ થાય. આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $a + d + c + f = b + c + d + e$. સાદું રૂપ આપતા $a + f = b + e$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(a, b)r(e, f)$. આમ,$r$ પરંપરિત છે.
આમ,$r$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.

(D) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ રેખા $l_1$ હંમેશા પોતાની જાતને સમાંતર હોય છે,તેથી $(l_1, l_1) in R$. આથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $l_1$ એ $l_2$ ને સમાંતર હોય,તો $l_2$ પણ $l_1$ ને સમાંતર હોય છે. તેથી,જો $(l_1, l_2) in R$ હોય,તો $(l_2, l_1) in R$. આથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $l_1$ એ $l_2$ ને સમાંતર હોય અને $l_2$ એ $l_3$ ને સમાંતર હોય,તો $l_1$ એ $l_3$ ને સમાંતર હોય છે. તેથી,જો $(l_1, l_2) in R$ અને $(l_2, l_3) in R$ હોય,તો $(l_1, l_3) in R$. આથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,સંબંધ $R$ એ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત ત્રણેય છે.

(D) $1$. સ્વવાચકતા: દરેક $a \in Z$ માટે,$a - a = 0$ થાય. કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $n | 0$ સત્ય હોવાથી,$aRa$ મળે છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $aRb$ હોય,તો $n | (a - b)$,જેનો અર્થ છે કે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $a - b = nk$. તો $b - a = -(a - b) = n(-k)$,જે દર્શાવે છે કે $n | (b - a)$. તેથી,$bRa$ મળે છે,અને $R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $aRb$ અને $bRc$ હોય,તો $n | (a - b)$ અને $n | (b - c)$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે કોઈ પૂર્ણાંક $k_1, k_2$ માટે $a - b = nk_1$ અને $b - c = nk_2$. આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$(a - b) + (b - c) = a - c = n(k_1 + k_2)$. કારણ કે $n | (a - c)$,તેથી $aRc$ મળે છે,અને $R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત ત્રણેય હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in N$ માટે,$x$ ના ભાજકોમાં ઓછામાં ઓછા $1$ અને $x$ પોતે હોય છે (કારણ કે $x > 100$). તેથી,$x$ અને $x$ ઓછામાં ઓછા બે સામાન્ય ભાજકો ($1$ અને $x$) ધરાવે છે. આમ,$(x, x) \in R$. $R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $x$ અને $y$ ઓછામાં ઓછા બે સામાન્ય ભાજકો ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે $y$ અને $x$ પણ ઓછામાં ઓછા બે સામાન્ય ભાજકો ધરાવે છે. તેથી,$(y, x) \in R$. $R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $x, y$ ઓછામાં ઓછા બે ભાજકો ધરાવે છે અને $y, z$ ઓછામાં ઓછા બે ભાજકો ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$x = 105 (3 \times 5 \times 7), y = 110 (2 \times 5 \times 11), z = 143 (11 \times 13)$ લો. $(105, 110)$ ના સામાન્ય ભાજકો ${1, 5}$ છે. $(110, 143)$ ના સામાન્ય ભાજકો ${1, 11}$ છે. પરંતુ $(105, 143)$ ના સામાન્ય ભાજકો માત્ર ${1}$ છે. તેથી,$(105, 143) \notin R$. આમ,$R$ પરંપરિત નથી.

(B) સ્વવાચક: સંબંધ $r$ સ્વવાચક ત્યારે કહેવાય જો દરેક $a \in R$ માટે $(a, a) \in r$ હોય. આનો અર્થ એ કે દરેક $a \in R$ માટે $a \cdot a = a^2$ અસંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ. જો $a = 1$ લઈએ,તો $a^2 = 1$ થાય,જે સંમેય છે. તેથી,$r$ સ્વવાચક નથી.
સંમિત: સંબંધ $r$ સંમિત ત્યારે કહેવાય જો $(a, b) \in r \implies (b, a) \in r$ હોય. જો $ab$ અસંમેય સંખ્યા હોય,તો $ba$ પણ અસંમેય સંખ્યા જ થાય કારણ કે $R$ માં ગુણાકારના ક્રમનો નિયમ જળવાય છે. તેથી,$r$ સંમિત છે.
પરંપરિત: સંબંધ $r$ પરંપરિત ત્યારે કહેવાય જો $(a, b) \in r$ અને $(b, c) \in r \implies (a, c) \in r$ હોય. ધારો કે $a = 1, b = \sqrt{2}, c = 2$. અહીં,$ab = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ (અસંમેય) અને $bc = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}$ (અસંમેય) છે. પરંતુ,$ac = 1 \cdot 2 = 2$,જે સંમેય સંખ્યા છે. તેથી,$(1, \sqrt{2}) \in r$ અને $(\sqrt{2}, 2) \in r$ હોવા છતાં $(1, 2) \notin r$ છે. તેથી,$r$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $r$ માત્ર સંમિત છે.

(C) ગણ $A = \{3, 6, 9, 12\}$ પરના સંબંધ $R$ ને સ્વવાચક થવા માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(3, 3) \notin R$,તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
$R$ ને સંમિત થવા માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. આપણી પાસે $(6, 12) \in R$ અને $(12, 6) \in R$ છે. અન્ય તમામ ઘટકો જેવા કે $(6, 6), (9, 9), (12, 12)$ પોતે જ સંમિત છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
$R$ ને પરંપરિત થવા માટે,જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. જોડીઓ તપાસતા: $(6, 12) \in R$ અને $(12, 6) \in R \implies (6, 6) \in R$. $(12, 6) \in R$ અને $(6, 12) \in R \implies (12, 12) \in R$. તમામ શરતો સંતોષાય છે. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સંમિત અને પરંપરિત છે પરંતુ સ્વવાચક નથી.

(D) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ માટે,કુલ સંમિત સંબંધોની સંખ્યા $2^{n(n+1)/2}$ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી કુલ સંમિત સંબંધોની સંખ્યા $2^{3(4)/2} = 2^6 = 64$ છે.
સંમિત સંબંધમાં જો $(a, b)$ હોય તો $(b, a)$ હોવું આવશ્યક છે.
જોડી $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ પહેલેથી જ સંબંધમાં સામેલ છે.
બાકી રહેલી જોડીઓ પસંદ કરવાની રહે છે: $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ (જે $3$ વિકર્ણ ઘટકો છે) અને જોડીઓ ${(1, 3), (3, 1)}$ તથા ${(2, 3), (3, 2)}$ (જે $2$ બિન-વિકર્ણ જોડીઓ છે).
દરેક $3$ વિકર્ણ ઘટકો હાજર અથવા ગેરહાજર હોઈ શકે છે ($2^3$ રીતો).
દરેક $2$ બિન-વિકર્ણ જોડીઓ હાજર અથવા ગેરહાજર હોઈ શકે છે ($2^2$ રીતો).
$(1, 2)$ અને $(2, 1)$ ધરાવતા કુલ સંમિત સંબંધોની સંખ્યા $= 2^3 \times 2^2 = 8 \times 4 = 32$.

(A) સંબંધ $R = \{ (a, b) : 1 + ab > 0 \}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in S$ માટે,જો $1 + a^2 > 0$ હોય તો $(a, a) \in R$. કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $a$ માટે $a^2 \ge 0$ છે,તેથી $1 + a^2 \ge 1 > 0$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $1 + ab > 0$. કારણ કે $ab = ba$,તેથી $1 + ba > 0$,જેનો અર્થ છે કે $(b, a) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $a = -8, b = -2, c = 0.25$.
$1 + ab = 1 + (-8)(-2) = 17 > 0$.
$1 + bc = 1 + (-2)(0.25) = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$.
પરંતુ,$1 + ac = 1 + (-8)(0.25) = 1 - 2 = -1$,જે $> 0$ નથી.
તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: આ સંબંધ સ્વવાચક અને સંમિત છે,પરંતુ પરંપરિત નથી.

(A) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના સામ્ય સંબંધોની સંખ્યા તે ગણના વિભાજનની સંખ્યા જેટલી હોય છે,જેને બેલ નંબર $B_n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$n = 4$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ માટે,સામ્ય સંબંધોની સંખ્યા બેલ નંબર $B_4$ છે.
બેલ નંબરો પુનરાવર્તિત સંબંધ $B_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રથમ થોડા બેલ નંબરોની ગણતરી કરતા:
$B_0 = 1$
$B_1 = 1$
$B_2 = \binom{1}{0}B_0 + \binom{1}{1}B_1 = 1(1) + 1(1) = 2$
$B_3 = \binom{2}{0}B_0 + \binom{2}{1}B_1 + \binom{2}{2}B_2 = 1(1) + 2(1) + 1(2) = 5$
$B_4 = \binom{3}{0}B_0 + \binom{3}{1}B_1 + \binom{3}{2}B_2 + \binom{3}{3}B_3 = 1(1) + 3(1) + 3(2) + 1(5) = 1 + 3 + 6 + 5 = 15$.
આમ,$N = 15$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$14 \leq 15 \leq 20$ સાચું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ શ્રેણિક $A \in M$ માટે,$AA = AA$ સત્ય છે. તેથી,$(A, A) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(A, B) \in R$ હોય,તો $AB = BA$. આનો અર્થ એ થાય કે $BA = AB$,જેનો અર્થ છે કે $(B, A) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(A, B) \in R$ અને $(B, C) \in R$. આનો અર્થ છે કે $AB = BA$ અને $BC = CB$. શું $AC = CA$ થાય? શ્રેણિક ગુણાકાર સામાન્ય રીતે ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $A$ વિકર્ણ શ્રેણિક હોય,$B$ એવો શ્રેણિક હોય જે $A$ સાથે ક્રમનો નિયમ પાળે,અને $C$ એવો શ્રેણિક હોય જે $B$ સાથે ક્રમનો નિયમ પાળે,તો $A$ અને $C$ જરૂરી નથી કે ક્રમનો નિયમ પાળે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.

(D) સંબંધ $R$ ને $R = \{(a, b) \mid a \text{ એ } b \text{ ને ભાગે છે}, a \in A, b \in B\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
આપણે દરેક ઘટક $a \in A$ માટે તપાસીએ છીએ કે તે $B$ ના કયા ઘટક $b$ ને ભાગે છે:
$a = 2$ માટે: $2$ એ $6$ અને $10$ ને ભાગે છે,તેથી $(2, 6) \in R$ અને $(2, 10) \in R$.
$a = 3$ માટે: $3$ એ $3$ અને $6$ ને ભાગે છે,તેથી $(3, 3) \in R$ અને $(3, 6) \in R$.
$a = 4$ માટે: $4$ એ $B$ ના કોઈ પણ ઘટકને ભાગતું નથી.
$a = 5$ માટે: $5$ એ $10$ ને ભાગે છે,તેથી $(5, 10) \in R$.
આમ,$R = \{(2, 6), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (5, 10)\}$.
વ્યસ્ત સંબંધ $R^{-1}$ ને $R^{-1} = \{(b, a) \mid (a, b) \in R\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$R^{-1} = \{(6, 2), (10, 2), (3, 3), (6, 3), (10, 5)\}$.
$R^{-1}$ માં ઘટકોની સંખ્યા $R$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા જેટલી જ છે,જે $5$ છે.

(B) કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times A$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times A) = m \times m = m^2$ છે.
$A$ પરના સંબંધ $R$ ને સ્વવાચક (reflexive) બનવા માટે,તેમાં $A$ ના દરેક $a$ માટે $(a, a)$ સ્વરૂપના તમામ ઘટકો હોવા આવશ્યક છે.
આવા $m$ ઘટકો હોવાથી,આ $m$ ઘટકો $R$ માં હોવા જ જોઈએ.
$A \times A$ માં બાકી રહેલા ઘટકોની સંખ્યા $m^2 - m$ છે.
આ બાકી રહેલા $m^2 - m$ ઘટકોમાંથી દરેક ઘટક $R$ માં હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે.
તેથી,બાકીના ઘટકોને પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $2^{m^2 - m}$ છે.

(B) $R$ પરનો સંબંધ $r$ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત છે: $r = \{(a,b) \in R \times R \mid a - b + \sqrt{3} \in R \setminus Q \}$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in R$ માટે,$aRa \iff a - a + \sqrt{3} = \sqrt{3}$. કારણ કે $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી તમામ $a \in R$ માટે $aRa$ સત્ય છે. આમ,$r$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $r$ સંમિત હોવા માટે,$aRb \implies bRa$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $a = \sqrt{3}$ અને $b = 0$. તો $a - b + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 0 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$,જે અસંમેય છે. તેથી,$(\sqrt{3}, 0) \in r$. જોકે,$b - a + \sqrt{3} = 0 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 0$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે. તેથી,$(0, \sqrt{3}) \notin r$. આમ,$r$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: $r$ પરંપરિત હોવા માટે,$aRb$ અને $bRc \implies aRc$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $a = \sqrt{3}$,$b = 0$,અને $c = 2\sqrt{3}$.
$aRb \implies \sqrt{3} - 0 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ (અસંમેય).
$bRc \implies 0 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = -\sqrt{3}$ (અસંમેય).
$aRc \implies \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0$ (સંમેય).
કારણ કે $aRc$ અસંમેય નથી,તેથી $r$ પરંપરિત નથી.
તેથી,$r$ માત્ર સ્વવાચક છે.

(B) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના કુલ સ્વવાચક સંબંધોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $2^{n^{2}-n}$ છે.
અહીં,ઘટકોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
સ્વવાચક સંબંધોની સંખ્યા $= 2^{3^{2}-3}$
$= 2^{9-3}$
$= 2^{6}$.

(A) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો તમામ $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય.
આપેલ ગણ $A$ માં $m$ ઘટકો છે,તેથી કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times A$ માં $m^2$ ઘટકો હોય છે.
સંબંધ સ્વવાચક હોવા માટે,તેમાં $(1, 1), (2, 2), \dots, (m, m)$ સ્વરૂપના તમામ $m$ વિકર્ણ ઘટકો હોવા આવશ્યક છે.
$A \times A$ માં બાકી રહેલા ઘટકોની સંખ્યા $m^2 - m$ છે.
આ બાકીના $m^2 - m$ ઘટકોમાંથી દરેક ઘટક સંબંધમાં હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે.
તેથી,સ્વવાચક સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{m^2 - m}$ છે.

(D) સંબંધ $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે જો તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોય.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ ઘર $x \in H$ માટે,$x$ પોતાની જાત જેવી જ દિશામાં મુખ ધરાવે છે. તેથી,દરેક $x \in H$ માટે $(x, x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) \in R$,તો $x$ અને $y$ સમાન દિશામાં મુખ ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે $y$ અને $x$ પણ સમાન દિશામાં મુખ ધરાવે છે. તેથી,$(y, x) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$,તો $x$ અને $y$ સમાન દિશામાં મુખ ધરાવે છે,અને $y$ અને $z$ સમાન દિશામાં મુખ ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $z$ સમાન દિશામાં મુખ ધરાવે છે. તેથી,$(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
જેથી $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(B) સંબંધ $a R b \iff \log_2(a/b) = k$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$. આનો અર્થ છે કે $a/b = 2^k$,અથવા $a = b \cdot 2^k$ કોઈ અ-ઋણ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $a \in I$ માટે,$a/a = 1 = 2^0$. કારણ કે $0$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે,તેથી $(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: ધારો કે $(2, 1) \in R$ કારણ કે $\log_2(2/1) = 1$,જે અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. જોકે,$(1, 2) \notin R$ કારણ કે $\log_2(1/2) = -1$,જે અ-ઋણ પૂર્ણાંક નથી. આમ,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. તો $a = b \cdot 2^{k_1}$ અને $b = c \cdot 2^{k_2}$ કોઈ અ-ઋણ પૂર્ણાંક $k_1, k_2$ માટે. $b$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $a = (c \cdot 2^{k_2}) \cdot 2^{k_1} = c \cdot 2^{k_1+k_2}$ મળે છે. કારણ કે $k_1+k_2$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે,તેથી $(a, c) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
તેથી,$R$ એ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પણ સંમિત નથી.