Types of Relations Questions in Gujarati

(D) ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ $R$ એ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોય છે.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $a \in A$ માટે,$(a, a) \in R$. કારણ કે $(a, a) \in R$,તેથી $(a, a) \in R^{-1}$,એટલે કે $R^{-1}$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $(a, b) \in R$,તો $(b, a) \in R$. $R^{-1}$ માટે,જો $(a, b) \in R^{-1}$,તો $(b, a) \in R$. કારણ કે $R$ સંમિત છે,$(a, b) \in R$,તેથી $(b, a) \in R^{-1}$. આમ,$R^{-1}$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$,તો $(a, c) \in R$. $R^{-1}$ માટે,જો $(a, b) \in R^{-1}$ અને $(b, c) \in R^{-1}$,તો $(b, a) \in R$ અને $(c, b) \in R$. કારણ કે $R$ પરંપરિત છે,$(c, a) \in R$,જે સૂચવે છે કે $(a, c) \in R^{-1}$. આમ,$R^{-1}$ પરંપરિત છે.
આમ $R^{-1}$ એ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે. તેથી,એવું કહેવું ખોટું છે કે $R^{-1}$ આમાંથી કોઈ નથી.

(D) $1$. પરંપરિતતા: જો $R_1$ અને $R_2$ પરંપરિત હોય,તો $R_1 \cap R_2$ પરંપરિત છે. આ વિધાન સાચું છે.
$2$. સ્વવાચકતા: જો $R_1$ અને $R_2$ સ્વવાચક હોય,તો $R_1 \cup R_2$ સ્વવાચક છે. આ વિધાન સાચું છે.
$3$. સંમિતતા: જો $R_1$ અને $R_2$ સંમિત હોય,તો $R_1 \cap R_2$ સંમિત છે. આ વિધાન સાચું છે.
$4$. સામ્ય સંબંધ: જો $R_1$ અને $R_2$ સામ્ય સંબંધો હોય,તો તેમનો યોગગણ $R_1 \cup R_2$ હંમેશા સામ્ય સંબંધ હોતો નથી કારણ કે તે પરંપરિતતાના ગુણધર્મનું પાલન ન પણ કરે. ઉદાહરણ તરીકે,$A = \{1, 2, 3\}$ લો. $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ અને $R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2)\}$ બંને સામ્ય સંબંધો છે. પરંતુ $R_1 \cup R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)\}$. અહીં,$(1, 2) \in R_1 \cup R_2$ અને $(2, 3) \in R_1 \cup R_2$,પરંતુ $(1, 3) \notin R_1 \cup R_2$. તેથી,તે પરંપરિત નથી. આમ,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(C) સંબંધ $R$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર $R = \{(x, y) \in N \times N : 3x + 3y = 10\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા માટે: $R$ સ્વવાચક હોય તો દરેક $x \in N$ માટે $(x, x) \in R$ થવું જોઈએ. આનો અર્થ છે $3x + 3x = 10$,એટલે કે $6x = 10$,જે $x = 5/3$ આપે છે. $5/3 \notin N$ હોવાથી,સંબંધ સ્વવાચક નથી. વિધાન-$2$ એ $F$ છે.
$2$. સંમિતતા માટે: $R$ સંમિત હોય તો જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ થવું જોઈએ. જો $3x + 3y = 10$ હોય,તો $3y + 3x = 10$ પણ થાય. આમ,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ થાય. $N \times N$ માં એવા કોઈ ઘટકો નથી જે $3x + 3y = 10$ નું પાલન કરે,તેથી $R$ એ ખાલી ગણ $\phi$ છે. ખાલી સંબંધ હંમેશા સંમિત હોય છે. વિધાન-$1$ એ $T$ છે.
$3$. પરંપરિતતા માટે: $R$ પરંપરિત હોય તો જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ થવું જોઈએ. $R = \phi$ હોવાથી,એવી કોઈ જોડીઓ $(x, y)$ અને $(y, z)$ નથી જે આ શરતનું ઉલ્લંઘન કરે. તેથી,પરંપરિતતાની શરત ખાલી રીતે સંતોષાય છે. વિધાન-$3$ એ $T$ છે.
આમ,સાચો ક્રમ $TFT$ છે.

(A) પ્રથમ,સંમિતતા માટે તપાસો:
$R_1$ માટે: $(c, a) \in R_1$ અને $(a, c) \in R_1$. જોકે,$(b, c) \in R_1$ પરંતુ $(c, b) \notin R_1$. તેથી,$R_1$ સંમિત નથી.
$R_2$ માટે: $(a, b) \in R_2$ અને $(b, a) \in R_2$. $(a, c) \in R_2$ અને $(c, a) \in R_2$. $(c, a) \in R_2$ અને $(a, c) \in R_2$. તેથી,$R_2$ સંમિત છે.
ત્યારબાદ,પરંપરિતતા માટે તપાસો:
$R_1$ માટે: $(b, c) \in R_1$ અને $(c, a) \in R_1$,પરંતુ $(b, a) \notin R_1$. તેથી,$R_1$ પરંપરિત નથી.
$R_2$ માટે: $(b, a) \in R_2$ અને $(a, c) \in R_2$,પરંતુ $(b, c) \notin R_2$. તેથી,$R_2$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R_2$ સંમિત છે પરંતુ પરંપરિત નથી,અને $R_1$ સંમિત પણ નથી અને પરંપરિત પણ નથી.

(C) $N$ પર આપેલા સંબંધો:
$R_1 = \{(x,y) \in N \times N : 2x + y = 10\}$
$R_2 = \{(x,y) \in N \times N : x + 2y = 10\}$
$R_1$ માટે,$y = 10 - 2x$ ને $x, y \in N$ માટે ઉકેલતા:
જો $x=1, y=8$; જો $x=2, y=6$; જો $x=3, y=4$; જો $x=4, y=2$.
તેથી,$R_1 = \{(1,8), (2,6), (3,4), (4,2)\}$.
$R_1$ નો વિસ્તાર $\{2, 4, 6, 8\}$ છે. આમ,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
$R_1$ સંમિત નથી કારણ કે $(1,8) \in R_1$ પરંતુ $(8,1) \notin R_1$.
$R_1$ પરંપરિત નથી કારણ કે $(3,4) \in R_1$ અને $(4,2) \in R_1$,પરંતુ $(3,2) \notin R_1$.
$R_2$ માટે,$x = 10 - 2y$ ને $x, y \in N$ માટે ઉકેલતા:
જો $y=1, x=8$; જો $y=2, x=6$; જો $y=3, x=4$; જો $y=4, x=2$.
તેથી,$R_2 = \{(8,1), (6,2), (4,3), (2,4)\}$.
$R_2$ નો વિસ્તાર $\{1, 2, 3, 4\}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$R_2$ સંમિત નથી કારણ કે $(8,1) \in R_2$ પરંતુ $(1,8) \notin R_2$.
$R_2$ પરંપરિત નથી કારણ કે $(4,3) \in R_2$ અને $(3,y) \notin R_2$ (કારણ કે $R_2$ માં $x=3$ માટે કોઈ $y$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી).

(D) સંબંધ $P = \{(a,b) : \sec^2 a - \tan^2 b = 1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: જો $P$ સ્વવાચક હોય,તો તમામ $a \in \mathbb{R}$ માટે $(a,a) \in P$ હોવું જોઈએ.
$b=a$ મૂકતા,આપણને $\sec^2 a - \tan^2 a = 1$ મળે છે,જે પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan^2 a - \tan^2 a = 1$ છે. આમ,$1=1$ એ તમામ $a$ માટે સત્ય છે. તેથી,$P$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $P$ સંમિત હોય,તો જો $(a,b) \in P$ હોય,તો $(b,a) \in P$ હોવું જોઈએ.
જો $(a,b) \in P$,તો $\sec^2 a - \tan^2 b = 1$.
આપણે તપાસીએ કે $\sec^2 b - \tan^2 a = 1$ થાય છે કે નહીં.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sec^2 b - \tan^2 a = (1 + \tan^2 b) - (\sec^2 a - 1) = 2 + \tan^2 b - \sec^2 a = 2 - (\sec^2 a - \tan^2 b) = 2 - 1 = 1$.
આમ,$(b,a) \in P$. તેથી,$P$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $P$ પરંપરિત હોય,તો જો $(a,b) \in P$ અને $(b,c) \in P$ હોય,તો $(a,c) \in P$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $\sec^2 a - \tan^2 b = 1$ અને $\sec^2 b - \tan^2 c = 1$.
આપણે તપાસવું છે કે $\sec^2 a - \tan^2 c = 1$ થાય છે કે નહીં.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી,$\sec^2 a = 1 + \tan^2 b$. બીજામાંથી,$\tan^2 c = \sec^2 b - 1$.
તેથી $\sec^2 a - \tan^2 c = (1 + \tan^2 b) - (\sec^2 b - 1) = 2 + \tan^2 b - \sec^2 b = 2 - 1 = 1$.
આમ,$(a,c) \in P$. તેથી,$P$ પરંપરિત છે.
$P$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(D) આપેલ ગણ $A = \{3, 5, 9, 12\}$ અને સંબંધ $R = \{(3, 3), (5, 5), (9, 9), (12, 12), (5, 12), (3, 9), (3, 12), (3, 5)\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: જો $R$ સ્વવાચક હોય,તો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(3, 3), (5, 5), (9, 9), (12, 12) \in R$ હોવાથી,સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $R$ સંમિત હોય,તો જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(3, 5) \in R$ છે,પરંતુ $(5, 3) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $R$ પરંપરિત હોય,તો જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. જોડીઓ તપાસતા: $(3, 5) \in R$ અને $(5, 12) \in R$ માટે $(3, 12) \in R$ હોવું જોઈએ,જે હાજર છે. અન્ય તમામ જોડીઓ માટે પણ આ ગુણધર્મ સંતોષાય છે. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી.

(A) આપેલ છે $R = \{(x,y) : x,y \in N \text{ અને } x^2 - 4xy + 3y^2 = 0\}$.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 - 4xy + 3y^2 = (x - y)(x - 3y) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = y$ અથવા $x = 3y$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in N$ માટે,$x = x$ સત્ય છે,તેથી $(x,x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $(3,1) \in R$ કારણ કે $3 = 3(1)$. જોકે,$(1,3) \notin R$ કારણ કે $1 \neq 3$ અને $1 \neq 3(3)$. આમ,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(a,b) \in R$ અને $(b,c) \in R$. તો $(a=b \text{ અથવા } a=3b)$ અને $(b=c \text{ અથવા } b=3c)$.
જો આપણે $(9,3) \in R$ અને $(3,1) \in R$ લઈએ,તો $a=9, b=3, c=1$. અહીં $a=9c$ થાય છે. $9 \neq 1$ અને $9 \neq 3(1)$ હોવાથી,$(9,1) \notin R$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ માત્ર સ્વવાચક છે.

(B) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો તમામ $a, b \in A$ માટે $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ થાય.
પ્રથમ,આપણે ગણ $A$ ના ઘટકો ઓળખીએ: $A = \{3, 4, 6, 8, 9\}$. ઘટકોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
$A \times A$ માં ક્રમયુક્ત જોડીઓની કુલ સંખ્યા $n^2 = 5^2 = 25$ છે.
આ $25$ જોડીઓને નીચે મુજબ વર્ગીકૃત કરી શકાય:
$1$. $(a, a)$ સ્વરૂપની જોડીઓ: આવી $n = 5$ જોડીઓ છે: $(3, 3), (4, 4), (6, 6), (8, 8), (9, 9)$.
$2$. $(a, b)$ સ્વરૂપની જોડીઓ જ્યાં $a \neq b$: આવી $n^2 - n = 25 - 5 = 20$ જોડીઓ છે.
સંમિત સંબંધ માટે,જો $(a, b)$ નો સમાવેશ થાય,તો $(b, a)$ નો પણ સમાવેશ થવો જોઈએ. આ $20$ જોડીઓ $\{(a, b), (b, a)\}$ સ્વરૂપની $10$ જોડીઓ બનાવે છે.
દરેક $5$ વિકર્ણ જોડીઓ $(a, a)$ માટે,આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે (સમાવેશ કરવો અથવા ન કરવો).
દરેક $10$ જોડીઓ $\{(a, b), (b, a)\}$ માટે,આપણી પાસે $2$ વિકલ્પો છે (બંનેનો સમાવેશ કરવો અથવા બંનેને બાકાત રાખવા).
આમ,સંમિત સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^5 \times 2^{10} = 2^{5+10} = 2^{15}$ છે.

(N/A) શાળા છોકરાઓની હોવાથી,શાળાનો કોઈ પણ વિદ્યાર્થી શાળાના અન્ય કોઈ વિદ્યાર્થીની બહેન હોઈ શકે નહીં.
તેથી,$R = \phi$,જે દર્શાવે છે કે $R$ એ ખાલી સંબંધ છે.
તે પણ સ્પષ્ટ છે કે શાળાના કોઈપણ બે વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈનો તફાવત $3 \text{ મીટર}$ કરતા ઓછો જ હોય (કારણ કે મનુષ્યની મહત્તમ ઊંચાઈ સામાન્ય રીતે $3 \text{ મીટર}$ કરતા ઓછી હોય છે).
આ દર્શાવે છે કે $R^{\prime} = A \times A$,જે સાર્વત્રિક સંબંધ છે.

$R$ એ સ્વવાચક છે,કારણ કે દરેક ત્રિકોણ પોતાની જાતને એકરૂપ હોય છે.
વધુમાં,$(T_1, T_2) \in R \implies T_1 \text{ એ } T_2 \text{ ને એકરૂપ છે} \implies T_2 \text{ એ } T_1 \text{ ને એકરૂપ છે} \implies (T_2, T_1) \in R$.
આથી,$R$ એ સંમિત છે.
વધુમાં,$(T_1, T_2) \in R$ અને $(T_2, T_3) \in R \implies T_1 \text{ એ } T_2 \text{ ને એકરૂપ છે}$ અને $T_2 \text{ એ } T_3 \text{ ને એકરૂપ છે} \implies T_1 \text{ એ } T_3 \text{ ને એકરૂપ છે} \implies (T_1, T_3) \in R$.
તેથી,$R$ એ સામ્ય સંબંધ છે.

(N/A) $R$ સ્વવાચક નથી,કારણ કે રેખા $L_{1}$ પોતાની જાતને લંબ હોઈ શકે નહીં,એટલે કે,$(L_{1}, L_{1}) \notin R$ છે.
$R$ સંમિત છે કારણ કે $(L_{1}, L_{2}) \in R$
$\Rightarrow L_{1} \text{ એ } L_{2} \text{ ને લંબ છે}$
$\Rightarrow L_{2} \text{ એ } L_{1} \text{ ને લંબ છે}$
$\Rightarrow (L_{2}, L_{1}) \in R$
$R$ પરંપરિત નથી. ખરેખર,જો $L_{1}$ એ $L_{2}$ ને લંબ હોય અને $L_{2}$ એ $L_{3}$ ને લંબ હોય,તો $L_{1}$ ક્યારેય $L_{3}$ ને લંબ હોઈ શકે નહીં. વાસ્તવમાં,$L_{1}$ એ $L_{3}$ ને સમાંતર છે,એટલે કે,$(L_{1}, L_{2}) \in R, (L_{2}, L_{3}) \in R$ પરંતુ $(L_{1}, L_{3}) \notin R$ છે.

(N/A) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય. અહીં,$A = \{1, 2, 3\}$ છે. કારણ કે $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$ છે,તેથી સંબંધ $R$ સ્વવાચક છે.
સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય જો $(a, b) \in R$ હોય તો $(b, a) \in R$ હોય. અહીં,$(1, 2) \in R$ છે,પરંતુ $(2, 1) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય તો $(a, c) \in R$ હોય. અહીં,$(1, 2) \in R$ અને $(2, 3) \in R$ છે,પરંતુ $(1, 3) \notin R$ છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.

(N/A) સંબંધ $R$ સામ્ય સંબંધ ત્યારે જ કહેવાય જો તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોય.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $a \in Z$ માટે,$a - a = 0$. $2$ એ $0$ ને ભાગે છે,તેથી $(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: ધારો કે $(a, b) \in R$. આનો અર્થ છે કે $2$ એ $a - b$ ને ભાગે છે,તેથી $a - b = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તો $b - a = -(a - b) = -2k = 2(-k)$. $-k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$2$ એ $b - a$ ને ભાગે છે. તેથી $(b, a) \in R$,એટલે કે $R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. આનો અર્થ છે કે $a - b = 2k_1$ અને $b - c = 2k_2$ કોઈ પૂર્ણાંક $k_1, k_2$ માટે. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$(a - b) + (b - c) = 2k_1 + 2k_2$,જેનું સાદું રૂપ $a - c = 2(k_1 + k_2)$ થાય છે. $k_1 + k_2$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$2$ એ $a - c$ ને ભાગે છે. તેથી $(a, c) \in R$,એટલે કે $R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in A$ માટે,$a$ કાં તો એકી છે અથવા બેકી છે. તેથી,$(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $a$ અને $b$ બંને એકી અથવા બંને બેકી છે. આનો અર્થ એ છે કે $b$ અને $a$ પણ બંને એકી અથવા બંને બેકી છે,તેથી $(b, a) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $a, b$ સમાન પ્રકારના (એકી કે બેકી) છે અને $b, c$ સમાન પ્રકારના છે. તેથી,$a$ અને $c$ પણ સમાન પ્રકારના છે,તેથી $(a, c) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
કારણ કે $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત છે,તેથી તે સામ્ય સંબંધ છે.
$4$. ઉપગણ વિશ્લેષણ: $\{1, 3, 5, 7\}$ ના તમામ ઘટકો એકી છે,તેથી આ ગણની કોઈપણ જોડી $(a, b)$ શરતનું પાલન કરે છે,એટલે કે તેઓ સંબંધિત છે. તેવી જ રીતે,$\{2, 4, 6\}$ ના તમામ ઘટકો બેકી છે,તેથી તેઓ એકબીજા સાથે સંબંધિત છે. જોકે,એકી સંખ્યા અને બેકી સંખ્યા સંબંધિત હોઈ શકે નહીં,તેથી $\{1, 3, 5, 7\}$ નો કોઈ પણ ઘટક $\{2, 4, 6\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધિત નથી.

(N/A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, \ldots, 13, 14\}$ અને સંબંધ $R = \{(x, y) : 3x - y = 0\}$ છે.
આપણે શરતને $y = 3x$ તરીકે લખી શકીએ. $x, y \in A$ માટે,ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
$R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\}$.
$1$. સ્વવાચક: જો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય. અહીં,$(1, 1) \notin R$ છે કારણ કે $3(1) - 1 = 2 \neq 0$. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: જો $(a, b) \in R$ હોય અને તેના પરથી $(b, a) \in R$ મળે,તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. અહીં,$(1, 3) \in R$ છે,પરંતુ $(3, 1) \notin R$ છે કારણ કે $3(3) - 1 = 8 \neq 0$. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય અને તેના પરથી $(a, c) \in R$ મળે,તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. અહીં,$(1, 3) \in R$ અને $(3, 9) \in R$ છે,પરંતુ $(1, 9) \notin R$ છે કારણ કે $3(1) - 9 = -6 \neq 0$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R$ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(D) $R = \{(x, y) : y = x + 5 \text{ અને } x < 4\} = \{(1, 6), (2, 7), (3, 8)\}$
$1$. સ્વવાચકતા: જો $R$ સ્વવાચક હોય,તો દરેક $a \in N$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 1) \notin R$ હોવાથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $R$ સંમિત હોય,તો જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 6) \in R$ છે,પરંતુ $(6, 1) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $R$ પરંપરિત હોય,તો જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $R$ માં એવી કોઈ જોડી $(a, b)$ અને $(b, c)$ નથી કે જે આ શરતનું ઉલ્લંઘન કરે,પરંતુ પરંપરિતતાના નિયમ મુજબ તે પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ એ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(N/A) $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
$R = \{(x, y) : y \text{ એ } x \text{ વડે વિભાજ્ય છે}\}$
$1.$ સ્વવાચકતા:
કોઈપણ સંખ્યા $x$ એ પોતાની જાત વડે વિભાજ્ય હોય છે,તેથી દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ થાય.
તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2.$ સંમિતતા:
અહીં $(2, 4) \in R$ છે કારણ કે $4$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
પરંતુ,$(4, 2) \notin R$ છે કારણ કે $2$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3.$ પરંપરિતતા:
ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $y$ એ $x$ વડે વિભાજ્ય છે અને $z$ એ $y$ વડે વિભાજ્ય છે.
જો $y = kx$ અને $z = my$ હોય,તો $z = m(kx) = (mk)x$ થાય.
આમ,$z$ એ $x$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(x, z) \in R$.
તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી.

આપેલ છે $R = \{(x, y) : x - y \text{ એ પૂર્ણાંક છે}\}$ જ્યાં $x, y \in Z$.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $x \in Z$ માટે,$x - x = 0$,જે એક પૂર્ણાંક છે. તેથી,$(x, x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: ધારો કે $(x, y) \in R$. તો $x - y$ પૂર્ણાંક છે. આનો અર્થ એ છે કે $-(x - y) = y - x$ પણ પૂર્ણાંક છે. તેથી,$(y, x) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$. તો $x - y$ અને $y - z$ પૂર્ણાંકો છે. તેમનો સરવાળો $(x - y) + (y - z) = x - z$ પણ પૂર્ણાંક છે. તેથી,$(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત છે.

(N/A) $R = \{(x, y): x \text{ અને } y \text{ એક જ સ્થળે કામ કરે છે}\}$
$1. \text{સ્વવાચકતા:}$
કોઈપણ વ્યક્તિ $x \in A$ માટે,$x$ એ $x$ ની સાથે જ એક જ સ્થળે કામ કરે છે. તેથી,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ થાય. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2. \text{સંમિતતા:}$
ધારો કે $(x, y) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ એક જ સ્થળે કામ કરે છે. પરિણામે,$y$ અને $x$ પણ એક જ સ્થળે કામ કરે છે. તેથી,$(y, x) \in R$ થાય. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3. \text{પરંપરિતતા:}$
ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ એક જ સ્થળે કામ કરે છે,અને $y$ અને $z$ એક જ સ્થળે કામ કરે છે. આથી,$x$ અને $z$ પણ એક જ સ્થળે કામ કરે છે. તેથી,$(x, z) \in R$ થાય. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત છે.

(A) $R = \{(x, y) : x \text{ અને } y \text{ એક જ વિસ્તારમાં રહે છે}\}$
$1.$ સ્વવાચક: કોઈપણ મનુષ્ય $x \in A$ માટે,$x$ એ $x$ ની સાથે જ એક જ વિસ્તારમાં રહે છે. તેથી,$(x, x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2.$ સંમિત: ધારો કે $(x, y) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ એક જ વિસ્તારમાં રહે છે. આથી $y$ અને $x$ પણ એક જ વિસ્તારમાં રહે છે. તેથી,$(y, x) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3.$ પરંપરિત: ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ એક જ વિસ્તારમાં રહે છે,અને $y$ અને $z$ એક જ વિસ્તારમાં રહે છે. પરિણામે,$x$ અને $z$ પણ એક જ વિસ્તારમાં રહે છે. તેથી,$(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત છે.

(D) $R = \{(x, y) : x \text{ એ } y \text{ કરતા બરાબર } 7 \, cm \text{ વધારે ઊંચો છે}\}$
$1$. સ્વવાચકતા:
$(x, x) \notin R$ કારણ કે કોઈ પણ મનુષ્ય $x$ પોતે પોતાના કરતા $7 \, cm$ વધારે ઊંચો હોઈ શકે નહીં.
તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા:
ધારો કે $(x, y) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $x$ એ $y$ કરતા $7 \, cm$ વધારે ઊંચો છે.
તો $y$ એ $x$ કરતા $7 \, cm$ ટૂંકો હોય,જેનો અર્થ છે કે $(y, x) \notin R$.
તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા:
ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$.
આનો અર્થ છે કે $x = y + 7$ અને $y = z + 7$.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x = (z + 7) + 7 = z + 14$ મળે છે.
આમ,$x$ એ $z$ કરતા $14 \, cm$ વધારે ઊંચો છે,તેથી $(x, z) \notin R$.
તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R$ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(NONE) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, y) : x \text{ એ } y \text{ ની પત્ની છે}\}$.
$1$. સ્વવાચકતા:
કોઈપણ મનુષ્ય $x \in A$ માટે,$x$ પોતાની જાતની પત્ની હોઈ શકે નહીં. તેથી,કોઈપણ $x \in A$ માટે $(x, x) \notin R$.
આથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા:
ધારો કે $(x, y) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $x$ એ $y$ ની પત્ની છે. આનો અર્થ એ થાય કે $y$ એ $x$ નો પતિ હોવો જોઈએ. $y$ પતિ હોવાથી,$y$ એ $x$ ની પત્ની હોઈ શકે નહીં. તેથી,$(y, x) \notin R$.
આથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા:
ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $x$ એ $y$ ની પત્ની છે અને $y$ એ $z$ ની પત્ની છે. જો $y$ એ $z$ ની પત્ની હોય,તો $y$ સ્ત્રી હોવી જોઈએ. પરંતુ જો $x$ એ $y$ ની પત્ની હોય,તો $y$ પુરુષ હોવો જોઈએ. આ વિરોધાભાસ છે. તેથી,$(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ ની શરત ક્યારેય એકસાથે સંતોષાઈ શકે નહીં. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(NONE) $R = \{(x, y): x \text{ એ } y \text{ ના પિતા છે\}}$
$(x, x) \notin R$ કારણ કે કોઈ વ્યક્તિ પોતાના પિતા હોઈ શકે નહીં.
તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
હવે,ધારો કે $(x, y) \in R$.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ એ $y$ ના પિતા છે.
તો $y$ એ $x$ ના પિતા હોઈ શકે નહીં (કારણ કે $y$ એ $x$ નું સંતાન છે).
તેથી,$(y, x) \notin R$.
આમ,$R$ સંમિત નથી.
હવે,ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ એ $y$ ના પિતા છે અને $y$ એ $z$ ના પિતા છે.
તો $x$ એ $z$ ના દાદા થાય,પિતા નહીં.
તેથી,$(x, z) \notin R$.
આમ,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R$ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(N/A) $(i)$ સ્વવાચક: જો દરેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય.
ધારો કે $a = \frac{1}{2}$. અહીં $\frac{1}{2} > (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R$ થાય.
તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$(ii)$ સંમિત: જો $(a, b) \in R$ હોય અને તેના પરથી $(b, a) \in R$ મળે,તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય.
ધારો કે $(1, 4) \in R$ કારણ કે $1 \leq 4^2 = 16$. પરંતુ $4 \not\leq 1^2 = 1$ હોવાથી,$(4, 1) \notin R$ થાય.
તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$(iii)$ પરંપરિત: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $(3, 2) \in R$ (કારણ કે $3 \leq 2^2 = 4$) અને $(2, 1.5) \in R$ (કારણ કે $2 \leq 1.5^2 = 2.25$).
પરંતુ $3 \not\leq 1.5^2 = 2.25$ હોવાથી,$(3, 1.5) \notin R$ થાય.
તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R$ એ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(D) ધારો કે $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
સંબંધ $R$ એ ગણ $A$ પર આ રીતે વ્યાખ્યાયિત છે: $R = \{(a, b) : b = a + 1\}$.
$\therefore R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)\}$.
જો $R$ સ્વવાચક હોય,તો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. પરંતુ,$(1, 1) \notin R$,$(2, 2) \notin R$ વગેરે.
$\therefore R$ સ્વવાચક નથી.
જો $R$ સંમિત હોય,તો જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(1, 2) \in R$ છે,પરંતુ $(2, 1) \notin R$ છે.
$\therefore R$ સંમિત નથી.
જો $R$ પરંપરિત હોય,તો જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(1, 2) \in R$ અને $(2, 3) \in R$ છે,પરંતુ $(1, 3) \notin R$ છે.
$\therefore R$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R$ એ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(N/A) વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પર સંબંધ $R = \{(a, b) : a \leq b\}$ આપેલ છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $a \leq a$ હંમેશા સત્ય છે. તેથી,દરેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $(a, a) \in R$ થાય. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: ધારો કે $(2, 4) \in R$ કારણ કે $2 \leq 4$ છે. પરંતુ,$(4, 2) \notin R$ કારણ કે $4 \not\leq 2$ છે. કારણ કે $(a, b) \in R$ હોવા છતાં $(b, a) \in R$ થતું નથી,તેથી આ સંબંધ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $a \leq b$ અને $b \leq c$. અસમતાના પરંપરિત ગુણધર્મ મુજબ,$a \leq c$ થાય. તેથી,$(a, c) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી.

(D) સંબંધ $R = \{(a, b) : a \leq b^3\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: જો પ્રત્યેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ સ્વવાચક કહેવાય.
ધારો કે $a = \frac{1}{2}$. અહીં $\frac{1}{2} > (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ હોવાથી,$a \leq a^3$ ની શરત સંતોષાતી નથી.
તેથી,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R$. આમ,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R$ હોય ત્યારે $(b, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ સંમિત કહેવાય.
ધારો કે $(1, 2) \in R$ કારણ કે $1 \leq 2^3 = 8$.
પરંતુ $(2, 1)$ માટે,$2 \not\leq 1^3 = 1$. તેથી,$(2, 1) \notin R$.
આમ,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય ત્યારે $(a, c) \in R$ હોય,તો સંબંધ પરંપરિત કહેવાય.
ધારો કે $(3, \frac{3}{2})$ અને $(\frac{3}{2}, \frac{6}{5}) \in R$.
અહીં $3 \leq (\frac{3}{2})^3 = 3.375$ (સાચું) અને $\frac{3}{2} \leq (\frac{6}{5})^3 = 1.728$ (સાચું).
પરંતુ $(3, \frac{6}{5})$ માટે,$3 \not\leq (\frac{6}{5})^3 = 1.728$.
તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R$ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(N/A) ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$.
$A$ પરનો સંબંધ $R = \{(1, 2), (2, 1)\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: જો $R$ સ્વવાચક હોય,તો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $R$ સંમિત હોય,તો જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 2) \in R$ અને $(2, 1) \in R$ હોવાથી,આ શરતનું પાલન થાય છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $R$ પરંપરિત હોય,તો જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 2) \in R$ અને $(2, 1) \in R$ છે,પરંતુ $(1, 1) \notin R$ છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R$ સંમિત છે પરંતુ સ્વવાચક કે પરંપરિત નથી.

(N/A) ગણ $A$ એ કોલેજની લાઈબ્રેરીના તમામ પુસ્તકોનો ગણ છે.
$R = \{(x, y) : x \text{ અને } y \text{ ના પૃષ્ઠોની સંખ્યા સમાન છે} \}$
$1.$ સ્વવાચક: કોઈપણ પુસ્તક $x \in A$ માટે,$x$ ના પૃષ્ઠોની સંખ્યા તે પોતાની જેટલી જ હોય છે. તેથી,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2.$ સંમિત: ધારો કે $(x, y) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ ના પૃષ્ઠોની સંખ્યા સમાન છે. આથી,$y$ અને $x$ ના પૃષ્ઠોની સંખ્યા પણ સમાન જ હોય. તેથી,$(y, x) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3.$ પરંપરિત: ધારો કે $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ ના પૃષ્ઠોની સંખ્યા સમાન છે,અને $y$ અને $z$ ના પૃષ્ઠોની સંખ્યા સમાન છે. પરિણામે,$x$ અને $z$ ના પૃષ્ઠોની સંખ્યા પણ સમાન જ હોય. તેથી,$(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.

(N/A) $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ અને $R = \{(a, b) : |a - b| \text{ યુગ્મ છે}\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in A$ માટે,$|a - a| = 0$,જે યુગ્મ છે. તેથી,$(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$. તો $|a - b|$ યુગ્મ છે. કારણ કે $|a - b| = |b - a|$,તેથી $|b - a|$ પણ યુગ્મ છે. આમ,$(b, a) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. તો $|a - b|$ યુગ્મ છે અને $|b - c|$ યુગ્મ છે. ધારો કે $|a - b| = 2k$ અને $|b - c| = 2m$ કોઈ પૂર્ણાંક $k, m$ માટે. તો $(a - c) = (a - b) + (b - c) = \pm 2k \pm 2m = 2(\pm k \pm m)$,જે યુગ્મ છે. તેથી,$|a - c|$ યુગ્મ છે,એટલે કે $(a, c) \in R$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.
ઉપગણો માટે: $\{1, 3, 5\}$ ના તમામ ઘટકો એકી છે. બે એકી સંખ્યાઓનો તફાવત હંમેશા યુગ્મ હોય છે,તેથી તેઓ સંબંધિત છે. $\{2, 4\}$ ના તમામ ઘટકો બેકી છે. બે બેકી સંખ્યાઓનો તફાવત હંમેશા યુગ્મ હોય છે,તેથી તેઓ સંબંધિત છે. જોકે,એકી અને બેકી સંખ્યાનો તફાવત હંમેશા એકી હોય છે,તેથી $\{1, 3, 5\}$ નો કોઈ પણ ઘટક $\{2, 4\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધિત નથી.

(A) ગણ $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
$R = \{(a, b) : |a - b| \text{ એ } 4 \text{ નો ગુણક છે}\}$.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $a \in A$ માટે,$|a - a| = 0$,જે $4$ નો ગુણક છે. તેથી,$(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: ધારો કે $(a, b) \in R$. તો $|a - b|$ એ $4$ નો ગુણક છે. કારણ કે $|a - b| = |-(b - a)| = |b - a|$,તેથી $|b - a|$ પણ $4$ નો ગુણક છે. આમ,$(b, a) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. તો $|a - b| = 4k_1$ અને $|b - c| = 4k_2$ કોઈ પૂર્ણાંક $k_1, k_2$ માટે. તેથી $(a - b) = \pm 4k_1$ અને $(b - c) = \pm 4k_2$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$(a - c) = (a - b) + (b - c) = \pm 4k_1 \pm 4k_2 = 4(\pm k_1 \pm k_2)$,જે $4$ નો ગુણક છે. તેથી,$(a, c) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
$1$ સાથે સંબંધિત ઘટકોનો ગણ $\{x \in A : |x - 1| \text{ એ } 4 \text{ નો ગુણક છે}\}$.
$|x - 1| \in \{0, 4, 8, 12, \dots\}$.
જો $|x - 1| = 0$,તો $x = 1$.
જો $|x - 1| = 4$,તો $x - 1 = 4$ અથવા $x - 1 = -4$,તેથી $x = 5$ અથવા $x = -3$ ($A$ માં નથી).
જો $|x - 1| = 8$,તો $x - 1 = 8$ અથવા $x - 1 = -8$,તેથી $x = 9$ અથવા $x = -7$ ($A$ માં નથી).
આમ,$1$ સાથે સંબંધિત ઘટકોનો ગણ $\{1, 5, 9\}$ છે.

(A) સંબંધ $R = \{(a, b) : a = b\}$ એ ગણ $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ ઘટક $a \in A$ માટે,$(a, a) \in R$ કારણ કે $a = a$. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R.$ આનો અર્થ છે કે $a = b,$ જે સૂચવે છે કે $b = a.$ તેથી,$(b, a) \in R.$ આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R.$ આનો અર્થ છે કે $a = b$ અને $b = c.$ પરિણામે,$a = c,$ જેનો અર્થ છે કે $(a, c) \in R.$ આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
$1$ સાથે સંબંધિત તમામ ઘટકોનો ગણ એવા તમામ $x \in A$ નો ગણ છે જેના માટે $(x, 1) \in R.$ કારણ કે $x = 1,$ તેથી માત્ર એક જ ઘટક $1$ મળે છે. તેથી,માંગેલ ગણ $\{1\}$ છે.

(A) ધારો કે $A = \{5, 6, 7\}$ છે.
ગણ $A$ પર એક સંબંધ $R = \{(5, 6), (6, 5)\}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
$1$. સ્વવાચકતા: જો પ્રત્યેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય. અહીં $(5, 5) \notin R$,$(6, 6) \notin R$ અને $(7, 7) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R$ હોય અને તેના પરથી $(b, a) \in R$ મળે,તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. અહીં $(5, 6) \in R$ છે અને તેનું ઉલટું $(6, 5) \in R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય અને તેના પરથી $(a, c) \in R$ મળે,તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. અહીં $(5, 6) \in R$ અને $(6, 5) \in R$ છે,પરંતુ $(5, 5) \notin R$ છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R = \{(5, 6), (6, 5)\}$ સંમિત છે પરંતુ સ્વવાચક કે પરંપરિત નથી.

(N/A) વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R$ ધ્યાનમાં લો:
$R = \{(a, b) : a < b \}$
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,$(a, a) \notin R$ કારણ કે $a$ એ $a$ કરતા નાનો હોઈ શકે નહીં. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: $(1, 2) \in R$ ધ્યાનમાં લો કારણ કે $1 < 2$. જોકે,$2 \not< 1$,તેથી $(2, 1) \notin R$. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. આનો અર્થ છે કે $a < b$ અને $b < c$. અસમતાના પરંપરિત ગુણધર્મ મુજબ,$a < c$. તેથી,$(a, c) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R = \{(a, b) : a < b \}$ એ પરંપરિત છે પરંતુ સ્વવાચક કે સંમિત નથી.

(N/A) ધારો કે $A = \{4, 6, 8\}$.
$A$ પર એક સંબંધ $R$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરો:
$R = \{(4, 4), (6, 6), (8, 8), (4, 6), (6, 4), (6, 8), (8, 6)\}$.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $a \in A$ માટે,$(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(4, 4), (6, 6), (8, 8) \in R$ હોવાથી,સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: દરેક $(a, b) \in R$ માટે,$(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(4, 6) \in R$ અને $(6, 4) \in R$ છે,તેમજ $(6, 8) \in R$ અને $(8, 6) \in R$ છે. તેથી,સંબંધ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત નથી: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(4, 6) \in R$ અને $(6, 8) \in R$ છે,પરંતુ $(4, 8) \notin R$ છે. તેથી,આ સંબંધ પરંપરિત નથી.
આમ,સંબંધ $R$ સ્વવાચક અને સંમિત છે પરંતુ પરંપરિત નથી.

(N/A) વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પર એક સંબંધ $R$ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો:
$R = \{(a, b) : a^3 \geq b^3\}$
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in \mathbb{R}$ માટે,$a^3 = a^3$,તેથી $(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $(2, 1) \in R$ કારણ કે $2^3 = 8 \geq 1^3 = 1$. પરંતુ,$(1, 2) \notin R$ કારણ કે $1^3 = 1 < 2^3 = 8$. આમ,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^3 \geq b^3$ અને $b^3 \geq c^3$.
અસમતાના પરંપરિત ગુણધર્મ મુજબ,$a^3 \geq c^3$.
તેથી,$(a, c) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી.

(N/A) ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$ અને સંબંધ $R = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: જો $R$ સ્વવાચક હોય,તો $(3, 3) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(3, 3) \notin R$,તેથી સંબંધ $R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(1, 2) \in R$ અને $(2, 1) \in R$ છે,તેમજ $(1, 1)$ અને $(2, 2)$ માટે પણ આ શરતનું પાલન થાય છે. તેથી $R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં તમામ શક્ય જોડીઓ માટે આ શરતનું પાલન થાય છે. તેથી $R$ પરંપરિત છે.

(N/A) $R = \{(P, Q) : \text{બિંદુ } P \text{ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ બિંદુ } Q \text{ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું જ છે}\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ બિંદુ $P \in A$ માટે,$P$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $P$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું જ હોય. તેથી,$(P, P) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $(P, Q) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $P$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $Q$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું છે. આ સૂચવે છે કે $Q$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $P$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું છે. તેથી,$(Q, P) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(P, Q) \in R$ અને $(Q, S) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $P$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $Q$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું છે,અને $Q$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $S$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું છે. પરિણામે,$P$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $S$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું થાય. તેથી,$(P, S) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
બીજા ભાગ માટે,$P \neq (0, 0)$ સાથે સંબંધિત તમામ બિંદુઓનો ગણ એવા તમામ બિંદુઓ $Q$ નો બનેલો છે જેનું ઉગમબિંદુથી અંતર એ $P$ ના ઉગમબિંદુથી અંતર જેટલું હોય. ધારો કે $OP = k$. તો આવા તમામ બિંદુઓ $Q$ ઉગમબિંદુથી $k$ જેટલા અચળ અંતરે આવેલા છે. આ ઉગમબિંદુને કેન્દ્ર અને $k$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળની વ્યાખ્યા છે,જે $P$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) સંબંધ $R = \{(T_{1}, T_{2}) : T_{1} \text{ એ } T_{2} \text{ ને સમરૂપ છે}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: દરેક ત્રિકોણ $T_{1}$ પોતાની જાતને સમરૂપ હોય છે. તેથી,$(T_{1}, T_{1}) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(T_{1}, T_{2}) \in R$,તો $T_{1}$ એ $T_{2}$ ને સમરૂપ છે. આનો અર્થ એ છે કે $T_{2}$ એ $T_{1}$ ને સમરૂપ છે. તેથી,$(T_{2}, T_{1}) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(T_{1}, T_{2}) \in R$ અને $(T_{2}, T_{3}) \in R$,તો $T_{1}$ એ $T_{2}$ ને સમરૂપ છે અને $T_{2}$ એ $T_{3}$ ને સમરૂપ છે. આનો અર્થ એ છે કે $T_{1}$ એ $T_{3}$ ને સમરૂપ છે. તેથી,$(T_{1}, T_{3}) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
ત્રિકોણો માટે:
$T_{1}$ (બાજુઓ $3, 4, 5$) અને $T_{3}$ (બાજુઓ $6, 8, 10$) માટે:
$\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$T_{1}$ એ $T_{3}$ ને સમરૂપ છે.
તેથી,$T_{1}$ અને $T_{3}$ સંબંધિત છે.

(A) સંબંધ $R = \{(P_{1}, P_{2}) : P_{1} \text{ અને } P_{2} \text{ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ સ્વવાચકતા: કોઈપણ બહુકોણ $P_{1} \in A$ માટે,$(P_{1}, P_{1}) \in R$ કારણ કે $P_{1}$ ની બાજુઓની સંખ્યા તેની પોતાની બાજુઓની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2.$ સંમિતતા: ધારો કે $(P_{1}, P_{2}) \in R$. આનો અર્થ છે કે $P_{1}$ અને $P_{2}$ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે. પરિણામે,$P_{2}$ અને $P_{1}$ ની બાજુઓની સંખ્યા પણ સમાન થાય,તેથી $(P_{2}, P_{1}) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3.$ પરંપરિતતા: ધારો કે $(P_{1}, P_{2}) \in R$ અને $(P_{2}, P_{3}) \in R$. આનો અર્થ છે કે $P_{1}$ અને $P_{2}$ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે,અને $P_{2}$ અને $P_{3}$ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે. તેથી,$P_{1}$ અને $P_{3}$ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન થાય,તેથી $(P_{1}, P_{3}) \in R$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
જેમ કે $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત છે,તેથી તે એક સામ્ય સંબંધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $T$ સાથે સંબંધિત $A$ ના તમામ ઘટકોનો ગણ એવા તમામ બહુકોણનો બનેલો છે જેની બાજુઓની સંખ્યા $T$ જેટલી જ હોય. $T$ ને $3$ બાજુઓ હોવાથી,આ ગણ $A$ માં રહેલા તમામ ત્રિકોણોનો બનેલો છે.

(D) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ રેખા $L_1 \in L$ માટે,$L_1$ પોતાની જાતને સમાંતર હોય છે. તેથી,$(L_1, L_1) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $(L_1, L_2) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $L_1$ એ $L_2$ ને સમાંતર છે. કારણ કે $L_1 \parallel L_2$ નો અર્થ $L_2 \parallel L_1$ થાય છે,તેથી $(L_2, L_1) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(L_1, L_2) \in R$ અને $(L_2, L_3) \in R$. આનો અર્થ એ છે કે $L_1 \parallel L_2$ અને $L_2 \parallel L_3$. કારણ કે $L_1 \parallel L_2$ અને $L_2 \parallel L_3$ નો અર્થ $L_1 \parallel L_3$ થાય છે,તેથી $(L_1, L_3) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
$4$. રેખાઓનો ગણ: $y = 2x + 4$ સાથે સંબંધિત તમામ રેખાઓનો ગણ એ તેને સમાંતર તમામ રેખાઓ છે. સમાંતર રેખાઓનો ઢાળ સમાન હોય છે. $y = 2x + 4$ નો ઢાળ $m = 2$ છે. તેથી,તેને સમાંતર કોઈપણ રેખા $y = 2x + c$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $c \in \mathbb{R}$.

(B) ગણ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ પરનો સંબંધ $R = \{(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)\}$ આપેલ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: જો પ્રત્યેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો $R$ સ્વવાચક છે. અહીં $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \in R$ છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) \in R$ હોય ત્યારે $(b, a) \in R$ હોય,તો $R$ સંમિત છે. અહીં $(1, 2) \in R$ છે,પરંતુ $(2, 1) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય ત્યારે $(a, c) \in R$ હોય,તો $R$ પરંપરિત છે. તમામ જોડીઓ તપાસતા,આ શરતનું પાલન થાય છે. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી. સાચો જવાબ $B$ છે.

(C) સંબંધ $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ માટે $R$ માં હોવા માટે,તેણે બે શરતો સંતોષવી જોઈએ: $a = b - 2$ અને $b > 6$.
વિકલ્પ $A$ તપાસો: $(2, 4)$. અહીં $b = 4$,જે $6$ કરતા મોટું નથી. તેથી,$(2, 4) \notin R$.
વિકલ્પ $B$ તપાસો: $(3, 8)$. અહીં $b = 8 > 6$. પરંતુ,$a = b - 2 = 8 - 2 = 6$. $3 \neq 6$ હોવાથી,$(3, 8) \notin R$.
વિકલ્પ $C$ તપાસો: $(6, 8)$. અહીં $b = 8 > 6$. ઉપરાંત,$a = b - 2 = 8 - 2 = 6$. $6 = 6$ હોવાથી,$(6, 8) \in R$.
વિકલ્પ $D$ તપાસો: $(8, 7)$. અહીં $b = 7 > 6$. પરંતુ,$a = b - 2 = 7 - 2 = 5$. $8 \neq 5$ હોવાથી,$(8, 7) \notin R$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(N/A) કારણ કે $R_{1}$ અને $R_{2}$ સામ્ય સંબંધો છે,તેથી દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R_{1}$ અને $(a, a) \in R_{2}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R_{1} \cap R_{2}$,જે દર્શાવે છે કે $R_{1} \cap R_{2}$ સ્વવાચક છે.
વધુમાં,જો $(a, b) \in R_{1} \cap R_{2}$ હોય,તો $(a, b) \in R_{1}$ અને $(a, b) \in R_{2}$ થાય.
$R_{1}$ અને $R_{2}$ સંમિત હોવાથી,$(b, a) \in R_{1}$ અને $(b, a) \in R_{2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $(b, a) \in R_{1} \cap R_{2}$. આમ,$R_{1} \cap R_{2}$ સંમિત છે.
અંતે,જો $(a, b) \in R_{1} \cap R_{2}$ અને $(b, c) \in R_{1} \cap R_{2}$ હોય,તો $(a, b) \in R_{1}, (b, c) \in R_{1}$ અને $(a, b) \in R_{2}, (b, c) \in R_{2}$ થાય.
$R_{1}$ અને $R_{2}$ પરંપરિત હોવાથી,$(a, c) \in R_{1}$ અને $(a, c) \in R_{2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $(a, c) \in R_{1} \cap R_{2}$.
આ દર્શાવે છે કે $R_{1} \cap R_{2}$ પરંપરિત છે.
આમ,$R_{1} \cap R_{2}$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $(x, y) \in A$ માટે,આપણી પાસે $xy = yx$ છે,જે સૂચવે છે કે $(x, y) R (x, y)$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) R (u, v)$ હોય,તો $xv = yu$. આનો અર્થ એ થાય કે $uy = vx$,જે $(u, v) R (x, y)$ ને સમાન છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(x, y) R (u, v)$ અને $(u, v) R (a, b)$. તો $xv = yu$ અને $ub = va$. $xv = yu$ પરથી,આપણને $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$ મળે છે,અને $ub = va$ પરથી,આપણને $\frac{u}{v} = \frac{a}{b}$ મળે છે. તેથી,$\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$,જે સૂચવે છે કે $xb = ya$. આમ,$(x, y) R (a, b)$,અને $R$ પરંપરિત છે.
કારણ કે $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત છે,તેથી તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(N/A) ગણ $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે ત્રણ ઉપગણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: $S_{1} = \{1, 4, 7\}$,$S_{2} = \{2, 5, 8\}$,અને $S_{3} = \{3, 6, 9\}$.
કોઈપણ $x, y \in X$ માટે,$x - y$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો $x$ અને $y$ સમાન ઉપગણ $S_{i}$ (જ્યાં $i \in \{1, 2, 3\}$) માં હોય.
જો $(x, y) \in R_{1}$ હોય,તો $x - y$ એ $3$ નો ગુણક છે,જેનો અર્થ છે કે $x$ અને $y$ ને $3$ વડે ભાગતા સમાન શેષ મળે છે. તેથી,$\{x, y\} \subset S_{1}$ અથવા $\{x, y\} \subset S_{2}$ અથવા $\{x, y\} \subset S_{3}$,જેનો અર્થ છે કે $(x, y) \in R_{2}$. આમ,$R_{1} \subset R_{2}$.
તેનાથી ઉલટું,જો $(x, y) \in R_{2}$ હોય,તો $\{x, y\}$ એ $S_{1}$,$S_{2}$,અથવા $S_{3}$ નો ઉપગણ છે. આ દરેક કિસ્સામાં,તફાવત $x - y$ એ $3$ નો ગુણક છે,તેથી $(x, y) \in R_{1}$. આમ,$R_{2} \subset R_{1}$.
કારણ કે $R_{1} \subset R_{2}$ અને $R_{2} \subset R_{1}$ છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $R_{1} = R_{2}$.

(A) $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તપાસવું પડશે કે તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત છે કે નહીં.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $a \in X$ માટે,આપણી પાસે $f(a) = f(a)$ છે,જે સૂચવે છે કે $(a, a) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: ધારો કે $(a, b) \in R$. તો $f(a) = f(b)$,જેનો અર્થ છે કે $f(b) = f(a)$. તેથી,$(b, a) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$. તો $f(a) = f(b)$ અને $f(b) = f(c)$. સમાનતાના પરંપરિત ગુણધર્મને કારણે,$f(a) = f(c)$,જે સૂચવે છે કે $(a, c) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
જેથી $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(C) ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$. $A$ પરનો સંબંધ $R$ સ્વવાચક છે જો $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$ હોય.
આપેલ છે કે $R$ માં $(1, 2)$ અને $(2, 3)$ છે,તેથી પરંપરિતતાના નિયમ મુજબ તેમાં $(1, 3)$ હોવું જોઈએ.
આમ,$(1, 2)$ અને $(2, 3)$ ધરાવતો સૌથી નાનો સ્વવાચક અને પરંપરિત સંબંધ $R_0 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)\}$ છે.
આ સંબંધ $R_0$ સંમિત નથી કારણ કે $(2, 1) \notin R_0$.
આપણે $R_0$ માં અન્ય ઘટકો ઉમેરી શકીએ છીએ જે સ્વવાચકતા અને પરંપરિતતા જાળવી રાખે:
$1$. $R_1 = R_0 \cup \{(2, 1)\}$: આ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,પરંતુ સંમિત નથી.
$2$. $R_2 = R_0 \cup \{(3, 2)\}$: આ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,પરંતુ સંમિત નથી.
$3$. $R_3 = R_0 \cup \{(2, 1), (3, 2), (3, 1)\}$: આ સંબંધ પણ સંમિત નથી.
આમ,કુલ $3$ સંબંધો મળે છે.

(B) ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$. સામ્ય સંબંધ $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$R$ માં $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ હોવાથી,સંમિતતાના ગુણધર્મને કારણે $(1, 1)$ અને $(2, 2)$ હોવા જરૂરી છે અને સ્વવાચકતા માટે $(3, 3)$ નો સમાવેશ કરવો પડે.
આમ,$(1, 2)$ અને $(2, 1)$ ધરાવતો સૌથી નાનો સામ્ય સંબંધ $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ છે.
બીજો સામ્ય સંબંધ બનાવવા માટે,આપણે પરંપરિતતા જાળવી રાખીને નવા ઘટકો ઉમેરવા પડે. જો આપણે $(2, 3)$ ઉમેરીએ,તો સંમિતતા માટે $(3, 2)$ ઉમેરવું પડે. પરંપરિતતા માટે,$(1, 2) \in R$ અને $(2, 3) \in R$ હોવાથી,$(1, 3) \in R$ હોવું જોઈએ. સંમિતતા માટે $(3, 1) \in R$ પણ હોવું જોઈએ.
આ ઘટકો ઉમેરતા આપણને સાર્વત્રિક સંબંધ $R_2 = A \times A = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)\}$ મળે છે.
આમ,આવા કુલ $2$ સામ્ય સંબંધો મળે છે.