Type of Functions based on Mapping Questions in Gujarati

(D) પ્રદેશ $N$ ને $n$ ના સ્વરૂપના આધારે ત્રણ અલગ-અલગ ગણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
$1$. $n = 2k$ (બેકી સંખ્યાઓ): $f(n) = 2(2k) = 4k$
$2$. $n = 4k-1$ ($4k-1$ સ્વરૂપની સંખ્યાઓ): $f(n) = (4k-1)-1 = 4k-2$
$3$. $n = 4k-3$ ($4k-3$ સ્વરૂપની સંખ્યાઓ): $f(n) = \frac{(4k-3)+1}{2} = 2k-1$
કોઈપણ $y \in N$ માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું એવું અનન્ય $n$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(n) = y$ થાય:
- જો $y$ એ $4k$ સ્વરૂપનું હોય,તો $n = 2k$ એ અનન્ય પૂર્વ-પ્રતિબિંબ છે.
- જો $y$ એ $4k-2$ સ્વરૂપનું હોય,તો $n = 4k-1$ એ અનન્ય પૂર્વ-પ્રતિબિંબ છે.
- જો $y$ એ $2k-1$ (એકી સંખ્યાઓ) સ્વરૂપનું હોય,તો $n = 4k-3$ એ અનન્ય પૂર્વ-પ્રતિબિંબ છે.
દરેક $y \in N$ માટે અનન્ય પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $n \in N$ હોવાથી,વિધેય $f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(B) પ્રદેશ ગણ $A = \{1, 3, 5, \ldots, 99\}$ માં $50$ ઘટકો છે. સહ-પ્રદેશ ગણ $B = \{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ માં પણ $50$ ઘટકો છે.
વિધેય $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી,તે $50$ ઘટકોનું ક્રમચય (permutation) છે.
આપેલ શરત $f(3) \geq f(9) \geq f(15) \geq \ldots \geq f(99)$ છે.
વિધેય એક-એક હોવાથી,બધા મૂલ્યો ભિન્ન હોવા જોઈએ,તેથી શરત $f(3) > f(9) > f(15) > \ldots > f(99)$ બને છે.
શ્રેણી $3, 9, 15, \ldots, 99$ માં $17$ ઘટકો છે $(99 = 3 + (n-1)6 \implies n = 17)$.
આ $17$ ઘટકો માટે સહ-પ્રદેશના $50$ મૂલ્યોમાંથી $17$ મૂલ્યો પસંદ કરવાની રીત $^{50}C_{17}$ છે.
એકવાર પસંદ કર્યા પછી,તેમને ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવાની માત્ર $1$ રીત છે.
બાકીના $50 - 17 = 33$ ઘટકોને બાકીના $33$ મૂલ્યો સાથે $33!$ રીતે જોડી શકાય છે.
તેથી,આવા વિધેયોની કુલ સંખ્યા $^{50}C_{17} \times 33! = \frac{50!}{17! \times 33!} \times 33! = \frac{50!}{17!} = ^{50}P_{33}$ થાય.

(A) પ્રથમ,અસમતા $x^{2}-10x+9 \leq 0$ ઉકેલીને ગણ $A$ શોધો.
$(x-1)(x-9) \leq 0$,તેથી $x \in [1, 9]$. $x \in N$ હોવાથી,$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
હવે,$f(x) \in B = \{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \dots\}$ માટે $f(x) \leq (x-3)^{2}+1$ થાય તેવી પસંદગીઓની સંખ્યા નક્કી કરો:
$x=1$ માટે: $f(1) \leq 5 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}$ ($2$ વિકલ્પો).
$x=2$ માટે: $f(2) \leq 2 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ વિકલ્પ).
$x=3$ માટે: $f(3) \leq 1 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ વિકલ્પ).
$x=4$ માટે: $f(4) \leq 2 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ વિકલ્પ).
$x=5$ માટે: $f(5) \leq 5 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}$ ($2$ વિકલ્પો).
$x=6$ માટે: $f(6) \leq 10 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}$ ($3$ વિકલ્પો).
$x=7$ માટે: $f(7) \leq 17 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}$ ($4$ વિકલ્પો).
$x=8$ માટે: $f(8) \leq 26 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}$ ($5$ વિકલ્પો).
$x=9$ માટે: $f(9) \leq 37 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2}$ ($6$ વિકલ્પો).
કુલ વિધેયોની સંખ્યા = $2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 1440$.

(D) આપેલ છે કે $f(a) = \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ અવિભાજ્ય $p$ ની મહત્તમ ઘાત છે જે $a$ ને ભાગે છે.
ધારો કે $h(a) = (f + g)(a) = f(a) + a + 1$.
કેટલાક $a \in N - \{1\}$ માટે કિંમતો ગણો:
$h(2) = f(2) + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$
$h(3) = f(3) + 3 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$
$h(4) = f(4) + 4 + 1 = 2 + 4 + 1 = 7$
$h(5) = f(5) + 5 + 1 = 1 + 5 + 1 = 7$
અહીં $h(4) = h(5) = 7$ છે,જ્યાં $4 \neq 5$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વધુમાં,$h(a)$ નો વિસ્તાર $1, 2, 3, 6, \dots$ નો સમાવેશ કરતું નથી (દા.ત.,$a \ge 2$ માટે $h(a) \ge 4$),તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક કે વ્યાપ્ત નથી.

(C) આપેલ છે કે તમામ $x, y \in R$ માટે $|f(x) - f(y)| \geq |x - y|$.
પ્રથમ,આપણે દર્શાવીએ કે $f$ એક-એક છે. ધારો કે કોઈ $x_1, x_2 \in R$ માટે $f(x_1) = f(x_2)$ છે. તો $|f(x_1) - f(x_2)| = 0$. આપેલ અસમતા પરથી,$0 \geq |x_1 - x_2|$,જેનો અર્થ છે કે $|x_1 - x_2| = 0$,તેથી $x_1 = x_2$. આમ,$f$ એક-એક છે.
આગળ,આપણે દર્શાવીએ કે $f$ વ્યાપ્ત છે. $f$ સતત અને એક-એક હોવાથી,$f$ ચુસ્તપણે એકવિધ (strictly monotonic) હોવું જોઈએ. જો $f$ ચુસ્તપણે વધતું વિધેય હોય,તો $x > y$ માટે $f(x) - f(y) \geq x - y$ થાય. જેમ $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,અને જેમ $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$. જો $f$ ચુસ્તપણે ઘટતું વિધેય હોય,તો $x > y$ માટે $f(y) - f(x) \geq x - y$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f(x) - f(y) \leq -(x - y)$. જેમ $x \to \infty$,$f(x) \to -\infty$,અને જેમ $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$. બંને કિસ્સાઓમાં,$f$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty) = R$ છે. આમ,$f$ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{જ્યારે } x \neq 0 \\ 1 & \text{જ્યારે } x = 0 \end{cases}$ છે.
આપણે ગણ $A = \{x \in \mathbb{R} : f(x) = 1\}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$ હોય,તો $f(0) = 1$. આમ,$0 \in A$.
કિસ્સો $2$: જો $x \neq 0$ હોય,તો આપણે $x \sin \left(\frac{1}{x}\right) = 1$ ઉકેલીએ,જેનો અર્થ છે $\sin \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}$.
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$. તો સમીકરણ $\sin(t) = t$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $t \neq 0$ માટે,$|\sin(t)| < |t|$.
ખાસ કરીને,જો $t > 0$ હોય,તો $\sin(t) < t$,અને જો $t < 0$ હોય,તો $\sin(t) > t$.
તેથી,સમીકરણ $\sin(t) = t$ નો માત્ર એક જ ઉકેલ $t = 0$ આગળ મળે છે.
જોકે,આપણી ધારણા $t = \frac{1}{x}$ હતી,અને $x \neq 0$ હોવાથી $t$ ક્યારેય $0$ હોઈ શકે નહીં.
આમ,$x \neq 0$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
પરિણામે,ગણ $A$ માં માત્ર એક જ ઘટક ${0}$ છે.
તેથી,$A$ માં માત્ર એક જ ઘટક છે.

(B) આપેલ શરત $|f(x)-f(y)|=|x-y|$ છે,જ્યાં $x, y \in [0,1]$.
આનો અર્થ એ છે કે વિધેય $f$ નો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $f'(x) = 1$ અથવા $f'(x) = -1$.
કિસ્સો $1$: જો $f'(x) = 1$,તો $f(x) = x + c$. સહપ્રદેશ $[0,1]$ હોવાથી,$f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ માટે $f(0) \ge 0$ અને $f(1) \le 1$ હોવું જોઈએ. તેથી,$0+c \ge 0$ અને $1+c \le 1$,જે $c=0$ આપે છે. આમ,$f(x) = x$.
કિસ્સો $2$: જો $f'(x) = -1$,તો $f(x) = -x + c$. $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ માટે $f(0) \le 1$ અને $f(1) \ge 0$ હોવું જોઈએ. તેથી,$0+c \le 1$ અને $-1+c \ge 0$,જે $c=1$ આપે છે. આમ,$f(x) = 1-x$.
તેથી,આવા બરાબર $2$ વિધેયો છે: $f(x) = x$ અને $f(x) = 1-x$.

(B) ધારો કે $h(x) = g(f(x))$. આપણને આપેલ છે કે $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ વ્યાપ્ત છે.
$h$ વ્યાપ્ત હોવાથી,$h$ નો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $[0,2]$ જેટલો થાય છે.
$h(x) = g(f(x))$ હોવાથી,$h$ નો વિસ્તાર એ $g$ ના વિસ્તારનો ઉપગણ છે.
આમ,$g$ નો વિસ્તાર $[0,2]$ સમાવવો જોઈએ.
જોકે,$g$ નો સહ-પ્રદેશ $[0,2]$ છે,તેથી $g$ નો વિસ્તાર ચોક્કસપણે $[0,2]$ જ હોવો જોઈએ.
આ સૂચવે છે કે $g$ વ્યાપ્ત છે.
$g$ એક-એક આપેલ છે અને હવે તે વ્યાપ્ત સાબિત થયું છે,તેથી $g$ એ બાયજેક્ટિવ વિધેય છે.
$h = g \circ f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,$f$ નું વ્યાપ્ત હોવું અનિવાર્ય છે.
જો $f$ વ્યાપ્ત ન હોય,તો $[-1,1]$ માં કોઈ એવો $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે જે $f$ ના વિસ્તારમાં ન હોય.
$g$ બાયજેક્ટિવ હોવાથી,$g(y)$ એ $g \circ f$ ના વિસ્તારમાં ન હોય,જે $h$ ની વ્યાપ્તતાનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત હોવું જ જોઈએ.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$.
$I.$ કોઈપણ $x \in R$ માટે,ધારો કે $n = [x]$,તો $x = n + \{x\}$ જ્યાં $0 \le \{x\} < 1$. તેથી $f(x) = \frac{\{x\}}{1+n^2}$. કારણ કે $0 \le \{x\} < 1$ અને $1+n^2 \ge 1$,તેથી વિસ્તાર $[0, 1)$ છે. આ સંવૃત અંતરાલ નથી. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
$II.$ $x = n$ (પૂર્ણાંક) પર,$\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} \frac{x-[x]}{1+[x]^2} = \frac{n-(n-1)}{1+(n-1)^2} = \frac{1}{1+(n-1)^2}$,જ્યારે $f(n) = \frac{n-n}{1+n^2} = 0$. લક્ષનું મૂલ્ય પૂર્ણાંકો પર વિધેયના મૂલ્ય જેટલું ન હોવાથી,$f$ તમામ પૂર્ણાંકો પર અસતત છે. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
$III.$ નોંધો કે $f(0) = \frac{0}{1+0^2} = 0$ અને $f(1) = \frac{1-1}{1+1^2} = 0$. $f(0) = f(1)$ છે પરંતુ $0 \neq 1$,તેથી $f$ એક-એક વિધેય નથી. તેથી,વિધાન $III$ ખોટું છે.
આમ,આપેલ વિધાનોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x-1}$.
તેથી $f(-x) = \frac{1}{1-e^x}$.
$g(x) = f(-x) - f(x) = \frac{1}{1-e^x} - \frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{1-e^x} + \frac{e^x}{1-e^x} = \frac{1+e^x}{1-e^x}$.
હવે,$g'(x) = \frac{(1-e^x)(e^x) - (1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \frac{e^x - e^{2x} + e^x + e^{2x}}{(1-e^x)^2} = \frac{2e^x}{(1-e^x)^2}$.
દરેક $x \in (0,1)$ માટે $e^x > 0$ અને $(1-e^x)^2 > 0$ હોવાથી,$g'(x) > 0$ થાય છે.
તેથી,$g(x)$ એ $(0,1)$ માં વધતું વિધેય છે.
$g(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોવાથી,તે $(0,1)$ માં એક-એક વિધેય પણ છે.
આમ,બંને વિધાનો $(I)$ અને $(II)$ સાચા છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2+1} = \frac{(x^2+1) + 2x}{x^2+1} = 1 + \frac{2x}{x^2+1}$.
એક-એક કે અનેક-એક ચકાસવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{2x}{x^2+1} \right) = \frac{(x^2+1)(2) - (2x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
$x \in (1, \infty)$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું છે અને આમ $[1, \infty)$ માં એક-એક છે.
$x \in (-1, 1)$ માટે,$f'(x) > 0$,તેથી વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું છે.
$x \in (-\infty, -1)$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું છે.
વિધેય $(-\infty, -1)$ અને $(1, \infty)$ માં ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોવાથી અને $(-1, 1)$ માં ચુસ્ત રીતે વધતું હોવાથી,તે આ અંતરાલોમાં એક-એક છે. જોકે,તે $(-\infty, \infty)$ માં એક-એક નથી કારણ કે $f(x)$ અલગ અલગ બિંદુઓ પર સમાન કિંમતો લે છે (દા.ત.,$f(0) = 1$ અને $f(\infty) = 1$).
આમ,$f(x)$ એ $[1, \infty)$ માં એક-એક છે પરંતુ $(-\infty, \infty)$ માં નથી.

(D) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. આપણે એવા એક-એક વિધેયો $f: S \rightarrow P(S)$ ની સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ કે જેથી $f(1) \subset f(2) \subset f(3) \subset f(4) \subset f(5) \subset f(6)$ થાય.
આ $S$ ના $6$ ભિન્ન ઉપગણોની સાંકળ પસંદ કરવા સમાન છે,જ્યાં $A_i = f(i)$.
$S$ માં $6$ ઘટકો હોવાથી,$6$ ભિન્ન ઉપગણોની સાંકળ મેળવવાનો એકમાત્ર રસ્તો એ છે કે ઉપગણોનું કદ $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ હોય.
આપણે $7$ શક્ય કદમાંથી $6$ કદ પસંદ કરવાના છે. શક્ય કદના ક્રમ નીચે મુજબ છે:
$1$. $(0, 1, 2, 3, 4, 5)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 720$ રીતો.
$2$. $(0, 1, 2, 3, 4, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} = 360$ રીતો.
$3$. $(0, 1, 2, 3, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = 360$ રીતો.
$4$. $(0, 1, 2, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ રીતો.
$5$. $(0, 1, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ રીતો.
$6$. $(0, 2, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{0} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 360$ રીતો.
$7$. $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$: $\binom{6}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 720$ રીતો.
કુલ $= 720 + 360 + 360 + 360 + 360 + 360 + 720 = 3240$.

(A) $n=5$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી $m=4$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના કુલ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $m! \times S_2(n, m)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $S_2(n, m)$ એ બીજા પ્રકારની સ્ટર્લિંગ સંખ્યા છે.
કુલ વ્યાપ્ત વિધેયો = $4! \times S_2(5, 4) = 24 \times \binom{5}{2} = 24 \times 10 = 240$.
હવે,આપણે $f(a) = 1$ હોય તેવા વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધીએ. જો $f(a) = 1$ હોય,તો બાકીના $4$ ઘટકો ${b, c, d, e}$ એ ${1, 2, 3, 4}$ પર એવી રીતે વિધેય બનાવે કે જેથી તે વ્યાપ્ત રહે.
કિસ્સો $1$: $f(a)=1$ અને વિસ્તાર ${1, 2, 3, 4}$ હોય. બાકીના $4$ ઘટકો ${1, 2, 3, 4}$ પર વ્યાપ્ત વિધેય બનાવે તેની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
કિસ્સો $2$: $f(a)=1$ અને વિસ્તાર ${2, 3, 4}$ હોય. બાકીના $4$ ઘટકો ${2, 3, 4}$ પર વ્યાપ્ત વિધેય બનાવે તેની સંખ્યા $3! \times S_2(4, 3) = 6 \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36$ છે.
$f(a) = 1$ હોય તેવા કુલ વિધેયો $24 + 36 = 60$ છે.
તેથી,$f(a) \neq 1$ હોય તેવા વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $240 - 60 = 180$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f: N-\{1\} \rightarrow N$ છે,જ્યાં $f(n)$ એ $n$ નો સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ છે.
એક-એક માટે ચકાસણી:
$f(2) = 2$ (કારણ કે $2$ નો અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે)
$f(4) = 2$ (કારણ કે $4 = 2^2$ નો અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે)
અહીં $f(2) = f(4)$ છે પરંતુ $2 \neq 4$,તેથી વિધેય એક-એક નથી (તે અનેક-એક છે).
વ્યાપ્ત માટે ચકાસણી:
વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો તેનો વિસ્તાર સહપ્રદેશ $N$ જેટલો હોય. $f$ નો વિસ્તાર માત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો બનેલો છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$4 \in N$ (સહપ્રદેશ),પરંતુ એવો કોઈ $n \in N-\{1\}$ નથી કે જેના માટે $f(n) = 4$ થાય,કારણ કે જો $f(n) = 4$ હોય,તો $4$ એ $n$ નો અવિભાજ્ય અવયવ હોવો જોઈએ,જે અશક્ય છે કારણ કે $4$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
આમ,વિસ્તાર એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ઉપગણ છે,જે $N$ ને સમાન નથી.
તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી (તે અંતઃક્ષેપી છે).
નિષ્કર્ષ: વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) ગણ $A$ માં $7$ ઘટકો છે,તેથી ઘાતગણ $P(A)$ માં $2^7 = 128$ ઘટકો છે.
દરેક ઘટક $a \in A$ માટે,આપણે એવો ઉપગણ $f(a) \subseteq A$ પસંદ કરવો પડે કે જેથી $a \in f(a)$ થાય.
$A$ ના એવા ઉપગણોની સંખ્યા જેમાં ચોક્કસ ઘટક $a$ હોય તે $2^{7-1} = 2^6 = 64$ છે.
$A$ માં $7$ ઘટકો હોવાથી,દરેક ઘટક $a$ માટે $f(a)$ પસંદ કરવાના $2^6$ વિકલ્પો છે,તેથી આવા કુલ વિધેયોની સંખ્યા $(2^6)^7 = 2^{42}$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે વિધેયોની સંખ્યા $m^n$ છે જ્યાં $m$ ન્યૂનતમ છે.
$2^{42} = 2^{42}$ હોવાથી,ન્યૂનતમ આધાર $m = 2$ અને $n = 42$ મળે.
તેથી,$m + n = 2 + 42 = 44$.

(D) આપેલ ગણ $A=\{1,3,7,9,11\}$ અને $B=\{2,4,5,7,8,10,12\}$ છે.
આપણે $f(1)+f(3)=14$ થાય તેવા એક-એક વિધેયો $f: A \rightarrow B$ ની સંખ્યા શોધવાની છે.
ગણ $B$ માંથી એવી જોડીઓ $(f(1), f(3))$ જેનો સરવાળો $14$ થાય તે નીચે મુજબ છે:
$(i) (2, 12)$
$(ii) (12, 2)$
$(iii) (4, 10)$
$(iv) (10, 4)$
આવી કુલ $4$ જોડીઓ શક્ય છે.
દરેક જોડી માટે,આપણે ગણ $A$ ના $2$ ઘટકો ($1$ અને $3$) ના પ્રતિબિંબ નક્કી કર્યા છે.
હવે,આપણે ગણ $A$ ના બાકીના $3$ ઘટકો (એટલે કે ${7, 9, 11}$) ને ગણ $B$ ના બાકીના $5$ ઘટકો સાથે જોડવાના છે (કારણ કે $B$ માં $7-2=5$ ઘટકો બાકી રહે છે).
આ $3$ ઘટકોને એક-એક રીતે જોડવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,એક-એક વિધેયોની કુલ સંખ્યા $4 \times 60 = 240$ થાય.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^2+2x-15}{x^2-4x+9}$.
પ્રથમ,એક-એક ગુણધર્મ માટે તપાસીએ:
$f(-5) = \frac{(-5)^2+2(-5)-15}{(-5)^2-4(-5)+9} = \frac{25-10-15}{25+20+9} = 0$.
$f(3) = \frac{(3)^2+2(3)-15}{(3)^2-4(3)+9} = \frac{9+6-15}{9-12+9} = 0$.
અહીં $f(-5) = f(3) = 0$ પરંતુ $-5 \neq 3$ હોવાથી,વિધેય અનેક-એક છે.
હવે,વ્યાપ્ત ગુણધર્મ (વિસ્તાર) માટે તપાસીએ:
ધારો કે $y = \frac{x^2+2x-15}{x^2-4x+9}$.
$y(x^2-4x+9) = x^2+2x-15$
$x^2(y-1) - x(4y+2) + (9y+15) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (4y+2)^2 - 4(y-1)(9y+15) \geq 0$
$4(2y+1)^2 - 4(9y^2+15y-9y-15) \geq 0$
$(4y^2+4y+1) - (9y^2+6y-15) \geq 0$
$-5y^2 - 2y + 16 \geq 0$
$5y^2 + 2y - 16 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $5y^2 + 2y - 16 = 0$ ઉકેલતા:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(5)(-16)}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 320}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{10} = \frac{-2 \pm 18}{10}$.
$y_1 = \frac{16}{10} = 1.6 = \frac{8}{5}$ અને $y_2 = \frac{-20}{10} = -2$.
તેથી,વિસ્તાર $[-2, 8/5]$ છે.
અહીં વિસ્તાર $[-2, 8/5] \neq R$ (સહ-પ્રદેશ) હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) પ્રથમ,$2310$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો:
$2310 = 231 \times 10 = 3 \times 7 \times 11 \times 2 \times 5$.
તેથી,ગણ $A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ છે.
હવે,દરેક $x \in A$ માટે $f(x)$ ની કિંમતો ગણો:
$f(2) = [\log_2(2^2 + [2^3/5])] = [\log_2(4 + [1.6])] = [\log_2(5)] = 2$.
$f(3) = [\log_2(3^2 + [3^3/5])] = [\log_2(9 + [5.4])] = [\log_2(14)] = 3$.
$f(5) = [\log_2(5^2 + [5^3/5])] = [\log_2(25 + 25)] = [\log_2(50)] = 5$.
$f(7) = [\log_2(7^2 + [7^3/5])] = [\log_2(49 + [68.6])] = [\log_2(117)] = 6$.
$f(11) = [\log_2(11^2 + [11^3/5])] = [\log_2(121 + [266.2])] = [\log_2(387)] = 8$.
$f$ નો વિસ્તાર $B = \{2, 3, 5, 6, 8\}$ છે.
ગણ $A$ માં $5$ ઘટકો છે અને ગણ $B$ માં $5$ ઘટકો છે,તેથી $A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $5! = 120$ થશે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} -a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
પ્રથમ,આપણે $f(|x|)$ શોધીએ:
$x \in [-a, 0]$ માટે,$|x| \in [0, a]$,તેથી $f(|x|) = |x| + a = -x + a$.
$x \in (0, a]$ માટે,$|x| \in (0, a]$,તેથી $f(|x|) = |x| + a = x + a$.
આમ,$f(|x|) = \begin{cases} -x+a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
આગળ,આપણે $|f(x)|$ શોધીએ:
$x \in [-a, 0]$ માટે,$f(x) = -a$,તેથી $|f(x)| = |-a| = a$.
$x \in (0, a]$ માટે,$f(x) = x+a$,તેથી $|f(x)| = |x+a| = x+a$.
આમ,$|f(x)| = \begin{cases} a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
હવે,$g(x) = \frac{f(|x|) - |f(x)|}{2}$:
$x \in [-a, 0]$ માટે,$g(x) = \frac{(-x+a) - a}{2} = \frac{-x}{2}$.
$x \in (0, a]$ માટે,$g(x) = \frac{(x+a) - (x+a)}{2} = 0$.
તેથી,$g(x) = \begin{cases} -x/2 & -a \leq x \leq 0 \\ 0 & 0 < x \leq a \end{cases}$.
$g(x)$ નું વિશ્લેષણ:
$1$. એક-એક: $x \in (0, a]$ માટે,$g(x) = 0$. કારણ કે $g(0.1) = 0$ અને $g(0.2) = 0$,તેથી તે એક-એક નથી.
$2$. વ્યાપ્ત: $g(x)$ નો વિસ્તાર $[0, a/2]$ છે. સહપ્રદેશ $[-a, a]$ હોવાથી,વિસ્તાર સહપ્રદેશ જેટલો નથી,તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$g(x)$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x + 3y = 23$ છે જ્યાં $x, y \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ).
આપણે $(x, y)$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધીએ:
જો $x = 1$,$2(1) + 3y = 23 \implies 3y = 21 \implies y = 7$. તેથી,$(1, 7) \in A$.
જો $x = 4$,$2(4) + 3y = 23 \implies 3y = 15 \implies y = 5$. તેથી,$(4, 5) \in A$.
જો $x = 7$,$2(7) + 3y = 23 \implies 3y = 9 \implies y = 3$. તેથી,$(7, 3) \in A$.
જો $x = 10$,$2(10) + 3y = 23 \implies 3y = 3 \implies y = 1$. તેથી,$(10, 1) \in A$.
આમ,$A = \{(1, 7), (4, 5), (7, 3), (10, 1)\}$. $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.
ગણ $B$ એ $A$ ના ઘટકોના $x$-યામોનો બનેલો છે,તેથી $B = \{1, 4, 7, 10\}$. $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 4$ છે.
$4$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી બીજા $4$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા એ ઘટકોના ક્રમચય જેટલી હોય છે,જે $4!$ દ્વારા મળે છે.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$,જ્યાં $x \in [0, 3]$.
પગલું $1$: એક-એક વિધેય માટે તપાસો.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x-2)(x-3)$.
અંતરાલ $[0, 3]$ માં $x=2$ આગળ $f'(x)$ ની નિશાની બદલાય છે,તેથી વિધેય એકવિધ નથી. એટલે કે,$f(x)$ એ $[0, 2]$ પર વધે છે,$[2, 3]$ પર ઘટે છે. તેથી,તે એક-એક નથી (અનેક-એક છે).
પગલું $2$: વ્યાપ્ત વિધેય માટે તપાસો.
$[0, 3]$ પર $f(x)$ નો વિસ્તાર મેળવો.
$f(0) = 2(0)^3 - 15(0)^2 + 36(0) + 1 = 1$.
$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 1 = 16 - 60 + 72 + 1 = 29$.
$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 1 = 54 - 135 + 108 + 1 = 28$.
વિધેય $[0, 3]$ પર સતત હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $[min(f(0), f(2), f(3)), max(f(0), f(2), f(3))] = [1, 29]$ છે.
અહીં વિસ્તાર $[1, 29]$ એ સહપ્રદેશ $[1, 29]$ જેટલો હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(B) ગણ $X$ $(|X|=5)$ થી ગણ $Y$ $(|Y|=7)$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $\alpha$ એ $P(7, 5) = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ દ્વારા મળે છે.
ગણ $Y$ $(|Y|=7)$ થી ગણ $X$ $(|X|=5)$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $\beta$ એ $5! \times S(7, 5)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $S(7, 5)$ એ બીજા પ્રકારના સ્ટર્લિંગ નંબર છે.
$S(7, 5) = \frac{1}{5!} \sum_{k=0}^{5} (-1)^k \binom{5}{k} (5-k)^7 = \frac{1}{120} [1 \times 5^7 - 5 \times 4^7 + 10 \times 3^7 - 10 \times 2^7 + 5 \times 1^7] = 140$.
તેથી,$\beta = 120 \times 140 = 16800$.
આપણે $\frac{1}{5!} (\beta - \alpha) = \frac{16800 - 2520}{120} = \frac{14280}{120} = 119$ ની ગણતરી કરવાની છે.

(A) ગણ $X$ $(|X|=5)$ થી ગણ $Y$ $(|Y|=7)$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $\alpha = P(7, 5) = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\alpha = {}^{7}C_{5} \times 5! = 21 \times 120 = 2520$.
ગણ $Y$ $(|Y|=7)$ થી ગણ $X$ $(|X|=5)$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $\beta$ માટે,આપણે વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યાનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ: $m! \times S(n, m)$,જ્યાં $S(n, m)$ એ બીજા પ્રકારના સ્ટર્લિંગ નંબર છે.
$\beta = 5! \times S(7, 5) = 120 \times \frac{1}{2!} \sum_{k=0}^{5} (-1)^{5-k} {}^{5}C_{k} k^{7} = 120 \times 140 = 16800$.
હવે,$\frac{1}{5!}(\beta - \alpha) = \frac{16800 - 2520}{120} = \frac{14280}{120} = 119$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = |x|(x - \sin x)$.
કારણ કે $f(-x) = |-x|(-x - \sin(-x)) = |x|(-x + \sin x) = -|x|(x - \sin x) = -f(x)$,તેથી આ વિધેય અયુગ્મ વિધેય છે.
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = x^2 - x \sin x$. $x < 0$ માટે,$f(x) = -x^2 + x \sin x$.
જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $f(x) = x^2(1 - \frac{\sin x}{x}) \rightarrow \infty$. જ્યારે $x \rightarrow -\infty$,ત્યારે $f(x) \rightarrow -\infty$. વિધેય $f$ સતત હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $R$ છે,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
$x > 0$ માટે,$f'(x) = 2x - \sin x - x \cos x = x(1 - \cos x) + (x - \sin x)$. $x > 0$ માટે $x > \sin x$ અને $1 - \cos x \geq 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ થાય.
$x < 0$ માટે,$f'(x) = -2x + \sin x + x \cos x = -[2x - \sin x - x \cos x] > 0$ (અયુગ્મ વિધેયની સંમિતિ દ્વારા).
બધા $x \neq 0$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી અને $f$ સતત હોવાથી,$f$ એ $R$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f$ એક-એક છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x^2}\right)$ જ્યારે $x \neq 0$ અને $f(0) = 0$.
$f(x) = 0$ ના ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે $x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x^2}\right) = 0$ લઈએ છીએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 0$ અથવા $\sin \left(\frac{\pi}{x^2}\right) = 0$.
તેથી,$\frac{\pi}{x^2} = n\pi$ જ્યાં $n \in \mathbb{N}$,જે $x^2 = \frac{1}{n}$ આપે છે,અથવા $x = \pm \frac{1}{\sqrt{n}}$.
વિકલ્પ-$A$ તપાસતા: $x \in \left[\frac{1}{10^{10}}, \infty\right)$ માટે,આપણી પાસે $\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{10^{10}} \implies \sqrt{n} \leq 10^{10} \implies n \leq 10^{20}$. આ ઉકેલોની સંખ્યા શાંત છે.
વિકલ્પ-$B$ તપાસતા: $x \in \left(\frac{1}{\pi}, \infty\right)$ માટે,આપણી પાસે $\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\pi} \implies \sqrt{n} < \pi \implies n < \pi^2 \approx 9.86$. તેથી $n \in \{1, 2, \dots, 9\}$. અહીં $9$ ઉકેલો છે,તેથી તે ખાલી નથી.
વિકલ્પ-$C$ તપાસતા: $x \in \left(0, \frac{1}{10^{10}}\right)$ માટે,આપણી પાસે $0 < \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{10^{10}} \implies \sqrt{n} > 10^{10} \implies n > 10^{20}$. આવા અનંત $n$ શક્ય છે,તેથી ઉકેલોનો ગણ અનંત છે.
વિકલ્પ-$D$ તપાસતા: $x \in \left(\frac{1}{\pi^2}, \frac{1}{\pi}\right)$ માટે,આપણી પાસે $\frac{1}{\pi^2} < \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{\pi} \implies \pi < \sqrt{n} < \pi^2 \implies \pi^2 < n < \pi^4$. કારણ કે $\pi^2 \approx 9.86$ અને $\pi^4 \approx 97.4$,$n$ ની કિંમતો $10$ થી $97$ સુધી હોઈ શકે છે. ઉકેલોની સંખ્યા $97 - 10 + 1 = 88$ છે,જે $25$ કરતા વધારે છે. તેથી,વિકલ્પ-$D$ $TRUE$ (સાચું) છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$.
અંશ અને છેદને $2^x$ વડે ગુણતા,આપણને $f(x) = \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$ મળે છે.
આને $f(x) = \frac{(2^{2x} + 1) - 2}{2^{2x} + 1} = 1 - \frac{2}{2^{2x} + 1}$ તરીકે લખી શકાય.
એક-એક ચકાસવા માટે,આપણે વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - 2(2^{2x} + 1)^{-1}) = 0 - 2(-1)(2^{2x} + 1)^{-2} \cdot (2^{2x} \cdot \ln 2 \cdot 2) = \frac{4 \cdot 2^{2x} \cdot \ln 2}{(2^{2x} + 1)^2}$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી તે એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે,આપણે વિસ્તાર મેળવીએ: જેમ $x \rightarrow -\infty$,$2^{2x} \rightarrow 0$,તેથી $f(x) \rightarrow 1 - \frac{2}{0+1} = -1$. જેમ $x \rightarrow \infty$,$2^{2x} \rightarrow \infty$,તેથી $f(x) \rightarrow 1 - 0 = 1$.
$f(x)$ નો વિસ્તાર $(-1, 1)$ છે.
વિસ્તાર $(-1, 1)$ એ સહ-પ્રદેશ $(-\infty, \infty)$ જેટલો ન હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(A) આપણે એવા વિધેયો $f: \{1, 2, \ldots, 100\} \rightarrow \{0, 1\}$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં ગણ $\{1, 2, \ldots, 98\}$ માંથી બરાબર એક ઘટક $1$ પર મેપ થાય.
$1$. પ્રથમ,આપણે ગણ $\{1, 2, \ldots, 98\}$ માંથી બરાબર એક ઘટક પસંદ કરીએ છીએ જેને $1$ પર મેપ કરવાનો છે. આ કરવા માટે $\binom{98}{1} = 98$ રીતો છે.
$2$. ગણ $\{1, 2, \ldots, 98\}$ ના બાકીના $97$ ઘટકોને $0$ પર મેપ કરવાના રહેશે. આ માટે માત્ર $1$ રીત છે.
$3$. ઘટક $99$ ને $0$ અથવા $1$ પર મેપ કરી શકાય છે. આ માટે $2$ વિકલ્પો છે.
$4$. ઘટક $100$ ને $0$ અથવા $1$ પર મેપ કરી શકાય છે. આ માટે $2$ વિકલ્પો છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,આવા કુલ વિધેયોની સંખ્યા $98 \times 1 \times 2 \times 2 = 392$ છે.

(C) આપેલ ગણ:
$A: x^2 + y^2 = 25$
$B: x^2 + 9y^2 = 144$
$C: \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : x^2 + y^2 \leq 4\}$
$D = A \cap B$ શોધવા માટે,આપણે $A$ અને $B$ ના સમીકરણો ઉકેલીએ:
$x^2 = 25 - y^2$
$B$ માં કિંમત મૂકતા: $(25 - y^2) + 9y^2 = 144$
$8y^2 = 119 \Rightarrow y^2 = \frac{119}{8} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{119}{8}}$
$x^2 = 25 - \frac{119}{8} = \frac{200 - 119}{8} = \frac{81}{8} \Rightarrow x = \pm \frac{9}{2\sqrt{2}}$
આમ,$D$ માં $4$ બિંદુઓ છે: $\left(\pm \frac{9}{2\sqrt{2}}, \pm \sqrt{\frac{119}{8}}\right)$. તેથી,$|D| = 4$.
હવે,$C$ ના ઘટકો શોધો જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}$ અને $x^2 + y^2 \leq 4$:
શક્ય પૂર્ણાંક જોડીઓ $(x, y)$ છે:
$(0, 0), (0, 1), (0, -1), (0, 2), (0, -2), (1, 0), (-1, 0), (2, 0), (-2, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$.
આ ગણતરી કરતા,આપણને $|C| = 13$ મળે છે.
$D$ થી $C$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = |C| = 13$ અને $r = |D| = 4$.
વિધેયોની સંખ્યા $= 13 \times 12 \times 11 \times 10 = 17160$.

(C) મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ ને $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો $x$ પૂર્ણાંક હોય,તો $[x] = x$,જે સૂચવે છે કે $[x] + 1 = x + 1 > x$.
જો $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,તો $[x] < x < [x] + 1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,આપણને $[x] + 1 > x$ મળે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$ છે.
વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે ચકાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{-(-x)}}{e^{-x} - e^{-(-x)}}$
$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{e^{-x} - e^{x}}$
છેદમાંથી ઋણ ચિહ્ન સામાન્ય કાઢતા:
$f(-x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{-(e^{x} - e^{-x})}$
$f(-x) = -\left( \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} \right)$
$f(-x) = -f(x)$
આમ,$f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.

(C) એક-એક ચકાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{2x_1+3}{3x_1+4} = \frac{2x_2+3}{3x_2+4}$
$(2x_1+3)(3x_2+4) = (2x_2+3)(3x_1+4)$
$6x_1x_2 + 8x_1 + 9x_2 + 12 = 6x_1x_2 + 8x_2 + 9x_1 + 12$
$8x_1 + 9x_2 = 8x_2 + 9x_1$
$x_1 = x_2$. આમ,વિધેય એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: ધારો કે $y = \frac{2x+3}{3x+4}$.
$y(3x+4) = 2x+3$
$3xy + 4y = 2x+3$
$x(3y-2) = 3-4y$
$x = \frac{3-4y}{3y-2}$.
$x$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે $3y-2 \neq 0$,તેથી $y \neq \frac{2}{3}$.
વિધેયનો વિસ્તાર $\mathbb{R} - \{\frac{2}{3}\}$ છે,જે સહપ્રદેશ છે. તેથી,$y \neq \frac{2}{3}$ માટે વિધેય વ્યાપ્ત છે.

(B) વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = |x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય એક-એક (injective) હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળવું જોઈએ.
અહીં,$f(-1) = |-1| = 1$ અને $f(1) = |1| = 1$ છે.
$f(-1) = f(1)$ છે પરંતુ $-1 \neq 1$ હોવાથી,વિધેય એક-એક નથી.
વિધેય વ્યાપ્ત (surjective) હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ જેટલો હોવો જોઈએ.
અહીં સહપ્રદેશ $R$ (તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ) છે,પરંતુ $f(x) = |x|$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે.
વિસ્તાર $[0, \infty) \neq R$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,આ વિધેય એક-એક કે વ્યાપ્ત નથી.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{2x}{x-1}$.
એક-એક વિધેય ચકાસવા માટે,વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = \frac{(x-1)(2) - 2x(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.
દરેક $x \in A$ માટે $f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $f$ સતત ઘટતું વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે $f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત વિધેય ચકાસવા માટે,ધારો કે $f(x) = y$. તો $y = \frac{2x}{x-1} \Rightarrow yx - y = 2x \Rightarrow x(y-2) = y \Rightarrow x = \frac{y}{y-2}$.
જો $f$ વ્યાપ્ત હોય,તો દરેક $y \in R$ માટે,$A$ માં એવો $x$ હોવો જોઈએ કે જેથી $f(x) = y$.
જો $y = 2$ લઈએ,તો $x = \frac{2}{0}$ મળે જે અવ્યાખ્યાયિત છે. આમ,$2$ નું $A$ માં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી.
વળી,જો $y = 4$ લઈએ,તો $x = \frac{4}{4-2} = 2$. પરંતુ $2$ એ ધન પૂર્ણાંક છે,તેથી $2 \notin A$.
સહ-પ્રદેશ $R$ માં એવા ઘટકો છે જેનું $A$ માં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી,તેથી $f$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(B) આપેલ છે,$f: R \rightarrow R$ જ્યાં $f(x) = x|x|$.
આપણે વિધેયને નીચે મુજબ ફરીથી વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases}$
$1$. એક-એક ચકાસણી: $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે (કારણ કે $f'(x) = 2|x| \ge 0$ તમામ $x \in R$ માટે અને $x \neq 0$ માટે $f'(x) > 0$),તેથી તે એક-એક વિધેય છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $f(x) \rightarrow \infty$ અને જેમ $x \rightarrow -\infty$,તેમ $f(x) \rightarrow -\infty$. વિધેયનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ જેટલો જ છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્ટિવ) છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = [8x] - 3$ છે.
$f(\pi)$ શોધવા માટે,આપણે વિધેયમાં $x = \pi$ મૂકીશું.
કારણ કે $\pi \approx 3.14159$,તેથી $8\pi \approx 8 \times 3.14159 = 25.1327$ થાય.
તેથી,$f(\pi) = [8\pi] - 3 = [25.1327] - 3$.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[25.1327]$ ની કિંમત $25$ છે.
આમ,$f(\pi) = 25 - 3 = 22$.

(B) પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{Z}$ પર $f(x) = x^3 + 2$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
$1$. એક-એક ચકાસણી: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. તો $x_1^3 + 2 = x_2^3 + 2$,જેનો અર્થ થાય છે $x_1^3 = x_2^3$. ઘન વિધેય વધતું વિધેય હોવાથી,$x_1 = x_2$ મળે. આમ,$f$ એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: $f$ વ્યાપ્ત હોય તે માટે,દરેક $y \in \mathbb{Z}$ માટે,એવો $x \in \mathbb{Z}$ મળવો જોઈએ કે જેથી $y = x^3 + 2$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે $x^3 = y - 2$,અથવા $x = \sqrt[3]{y - 2}$. $x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$y - 2$ એ પૂર્ણઘન હોવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે,જો $y = 3$ હોય,તો $x^3 = 3 - 2 = 1$,તેથી $x = 1 \in \mathbb{Z}$. જોકે,જો $y = 0$ હોય,તો $x^3 = 0 - 2 = -2$. $-2$ એ કોઈ પણ પૂર્ણાંકનો પૂર્ણઘન નથી,તેથી એવો કોઈ $x \in \mathbb{Z}$ નથી કે જેથી $f(x) = 0$ થાય. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
નિષ્કર્ષ: $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(D) વિધેય $f: A \to A$ એક-એક ત્યારે કહેવાય જો પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય.
અહીં ગણ $A$ માં $n = 4$ ઘટકો છે,તેથી $A$ થી $A$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $n$ ઘટકોના ક્રમચય જેટલી એટલે કે $n!$ થાય.
અહીં $n = 4$ હોવાથી,એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $h(x) = (f+g)(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$x + \frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ થાય.
આ અંતરાલમાં,સાઈન વિધેય એકવિધ નથી (તે વધે છે અને પછી ઘટે છે),તેથી $f+g$ એક-એક નથી.
ધારો કે $k(x) = (fg)(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$2x \in [0, \pi]$ થાય.
આ અંતરાલમાં,સાઈન વિધેય એકવિધ નથી (તે વધે છે અને પછી ઘટે છે),તેથી $fg$ એક-એક નથી.
આમ,$f+g$ અને $fg$ બંને એક-એક નથી.

(A) $f(x) = x^3$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે:
$1$. એક-એક માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$,તો $x_1^3 = x_2^3$. બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે. તેથી,વિધેય એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત માટે: કોઈપણ $y \in R$ (સહ-પ્રદેશ) માટે,આપણે $x \in R$ (પ્રદેશ) શોધવાની જરૂર છે જેથી $f(x) = y$ થાય. $x^3 = y$ હોવાથી,$x = y^{1/3}$ મળે છે. દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $y$ માટે $y^{1/3}$ વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,દરેક $y \in R$ માટે $x = y^{1/3} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(C) વિધેય $f(x) = x^2 + 3x + 4$ એક-એક છે કે વ્યાપ્ત તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. એક-એક ચકાસણી: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 + 3x_1 + 4 = x_2^2 + 3x_2 + 4$. આનું સાદું રૂપ $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 3) = 0$ થાય છે. અહીં $x_1 = - (x_2 + 3)$ શક્ય હોવાથી,વિધેય અનેક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: દ્વિઘાત વિધેય $f(x) = x^2 + 3x + 4$ નો વિસ્તાર $[-\frac{D}{4a}, \infty)$ છે. અહીં $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$. તેથી,વિસ્તાર $[-\frac{-7}{4}, \infty) = [1.75, \infty)$ છે. વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $R$ જેટલો ન હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય અનેક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(C) વિધેય $f: N \rightarrow Z$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનું નિરૂપણ જોઈએ:
$1$. એક-એક ચકાસણી:
જો $n$ યુગ્મ હોય,તો $f(n) = \frac{n}{2}$. $n \in \{2, 4, 6, \dots\}$ માટે,કિંમતો $f(2)=1, f(4)=2, f(6)=3, \dots$ મળે છે,જે ધન પૂર્ણાંકોના ગણ $\{1, 2, 3, \dots\}$ પર જાય છે.
જો $n$ અયુગ્મ હોય,તો $f(n) = -\left(\frac{n-1}{2}\right)$. $n \in \{1, 3, 5, \dots\}$ માટે,કિંમતો $f(1)=0, f(3)=-1, f(5)=-2, \dots$ મળે છે,જે અ-ધન પૂર્ણાંકોના ગણ $\{0, -1, -2, \dots\}$ પર જાય છે.
દરેક ભિન્ન ઇનપુટ $n \in N$ માટે $Z$ માં ભિન્ન આઉટપુટ મળે છે,તેથી વિધેય એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી:
કોઈપણ પૂર્ણાંક $y \in Z$ માટે,જો $y > 0$ હોય,તો આપણે $n = 2y$ (જે યુગ્મ છે) લઈ શકીએ,જેથી $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$. જો $y \le 0$ હોય,તો આપણે $n = -2y + 1$ (જે અયુગ્મ છે) લઈ શકીએ,જેથી $f(-2y+1) = -\left(\frac{-2y+1-1}{2}\right) = -(-y) = y$. દરેક $y \in Z$ માટે $N$ માં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(C) $f$ એક-એક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
જો $x_1$ અયુગ્મ અને $x_2$ યુગ્મ હોય,તો $x_1+1 = x_2-1$,તેથી $x_2 - x_1 = 2$. $x_1$ અયુગ્મ હોવાથી $x_1+1$ યુગ્મ થાય અને $x_2$ યુગ્મ હોવાથી $x_2-1$ અયુગ્મ થાય. આ $f(x_1) = f(x_2)$ સાથે વિરોધાભાસ છે.
જો બંને અયુગ્મ હોય,તો $x_1+1 = x_2+1 \implies x_1 = x_2$.
જો બંને યુગ્મ હોય,તો $x_1-1 = x_2-1 \implies x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એક-એક છે.
$f$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
કોઈપણ $y \in N$ માટે,જો $y$ અયુગ્મ હોય,તો આપણે $x = y+1$ (જે યુગ્મ છે) લઈ શકીએ,જેથી $f(y+1) = (y+1)-1 = y$.
જો $y$ યુગ્મ હોય,તો આપણે $x = y-1$ (જે અયુગ્મ છે) લઈ શકીએ,જેથી $f(y-1) = (y-1)+1 = y$.
દરેક $y \in N$ માટે,એવો $x \in N$ મળે છે કે જેથી $f(x) = y$,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(C) આપેલ છે કે $f: N \rightarrow N$ એ $f(x) = x^6$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. એક-એક માટે તપાસ:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$ જ્યાં $x_1, x_2 \in N$.
તેથી $x_1^6 = x_2^6$.
$x_1, x_2 \in N$ હોવાથી (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ધન હોય છે),આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે.
આમ,$f$ એ એક-એક વિધેય છે.
$2$. વ્યાપ્ત માટે તપાસ:
વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો તેનો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $(N)$ જેટલો હોય.
$f(x) = x^6$ માટે,વિસ્તાર ${1^6, 2^6, 3^6, \dots} = {1, 64, 729, \dots}$ છે.
અહીં વિસ્તાર એ સહ-પ્રદેશ $N$ જેટલો નથી (દા.ત.,$2 \in N$ છે પરંતુ કોઈ એવું $x \in N$ નથી કે જેથી $x^6 = 2$),તેથી $f$ એ વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(B) $f: N \rightarrow N$ માટે $f(x) = x^3$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
$1$. એક-એક ચકાસણી: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. તેથી $x_1^3 = x_2^3$. $x_1, x_2 \in N$ હોવાથી,આ સૂચવે છે કે $x_1 = x_2$. આમ,વિધેય એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર સહ-પ્રદેશ $(N)$ જેટલો હોવો જોઈએ. જો $y = 2 \in N$ (સહ-પ્રદેશ) લઈએ,તો એવો કોઈ $x \in N$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $x^3 = 2$ થાય (કારણ કે $\sqrt[3]{2} \notin N$). આમ,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,આ વિધેય એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(C) વિધેય $f: A \to A$ એક-એક ત્યારે જ કહેવાય જો પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહપ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ માટે,તે ગણ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $n!$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ છે,તેથી $n = 5$.
એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $f: N \times N \rightarrow N$ વિધેય $f(m, n) = mn$ માટે:
$1$. એક-એક ચકાસણી:
ધારો કે $f(1, 4) = 1 \times 4 = 4$ અને $f(2, 2) = 2 \times 2 = 4$.
અહીં $f(1, 4) = f(2, 2)$ છે પરંતુ $(1, 4) \neq (2, 2)$,તેથી વિધેય એક-એક નથી. એટલે કે તે અનેક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી:
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,પ્રત્યેક $n \in N$ માટે,એવું $(m, k) \in N \times N$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ કે જેથી $f(m, k) = mk = n$.
કોઈપણ $n \in N$ માટે,આપણે હંમેશા $(1, n) \in N \times N$ પસંદ કરી શકીએ છીએ જેથી $f(1, n) = 1 \times n = n$.
આમ,સહ-પ્રદેશ $N$ ના દરેક ઘટક $n$ માટે પ્રદેશ $N \times N$ માં ઓછામાં ઓછું એક પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $(1, n)$ મળે છે. તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય અનેક-એક અને વ્યાપ્ત છે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sin([\pi^2]x) - \sin([-\pi^2]x)$.
$\pi^2 \approx 9.869$ હોવાથી,$[\pi^2] = 9$.
$-\pi^2 \approx -9.869$ હોવાથી,$[-\pi^2] = -10$.
તેથી,$f(x) = \sin(9x) + \sin(10x)$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) f(0) = 0$ (સત્ય).
$B) f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{9\pi}{2}) + \sin(5\pi) = 1 + 0 = 1$ (સત્ય).
$C) f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{9\pi}{4}) + \sin(\frac{5\pi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$ (સત્ય).
$D) f(\pi) = \sin(9\pi) + \sin(10\pi) = 0$. તેથી $f(\pi) = -1$ એ અસત્ય છે.

(A) આપેલ વિધેય:
$f(x) = \begin{cases} 2x; & x > 3 \\ x^2; & 1 < x \leq 3 \\ 3x; & x \leq 1 \end{cases}$
$f(-1) + f(2) + f(4)$ શોધવા માટે,આપણે દરેક પદની અલગથી ગણતરી કરીએ:
$1$. $f(-1)$ માટે: કારણ કે $-1 \leq 1$,આપણે ત્રીજી શરત $f(x) = 3x$ નો ઉપયોગ કરીશું. તેથી,$f(-1) = 3(-1) = -3$.
$2$. $f(2)$ માટે: કારણ કે $1 < 2 \leq 3$,આપણે બીજી શરત $f(x) = x^2$ નો ઉપયોગ કરીશું. તેથી,$f(2) = (2)^2 = 4$.
$3$. $f(4)$ માટે: કારણ કે $4 > 3$,આપણે પ્રથમ શરત $f(x) = 2x$ નો ઉપયોગ કરીશું. તેથી,$f(4) = 2(4) = 8$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$f(-1) + f(2) + f(4) = -3 + 4 + 8 = 9$.

(A) $[0, \frac{\pi}{2}]$ પર $f(x) = \sin x$ માટે,વિધેય ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી તે એક-એક છે.
$[0, \frac{\pi}{2}]$ પર $g(x) = \cos x$ માટે,વિધેય ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે,તેથી તે એક-એક છે.
આમ,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
હવે,$(f+g)(x) = \sin x + \cos x$ ધ્યાનમાં લો.
અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયનું મૂલ્ય તપાસીએ:
$(f+g)(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
$(f+g)(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1$.
અહીં $(f+g)(0) = (f+g)(\frac{\pi}{2})$ છે પરંતુ $0 \neq \frac{\pi}{2}$,તેથી વિધેય $f+g$ એક-એક નથી.
આમ,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{2x}{x-1}$ છે,જ્યાં $A = \{x \in R : x \neq 1, 2, 3, \dots\}$.
એક-એક વિધેય ચકાસવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(x-1)(2) - 2x(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.
બધા $x \in A$ માટે $f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે $f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત વિધેય ચકાસવા માટે,ધારો કે $y = \frac{2x}{x-1}$.
$y(x-1) = 2x \implies yx - y = 2x \implies x(y-2) = y \implies x = \frac{y}{y-2}$.
$f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,દરેક $y \in R$ માટે $x \in A$ હોવું જોઈએ. જો $y = 2$ હોય,તો $x$ અવ્યાખ્યાયિત છે. વધુમાં,આપણે ખાતરી કરવી જોઈએ કે $x$ ધન પૂર્ણાંક ન હોય. જો આપણે $y$ એવી રીતે પસંદ કરીએ કે જેથી $x$ ધન પૂર્ણાંક બને (દા.ત.,જો $x=2$,તો $y = \frac{2(2)}{2-1} = 4$),તો $y=4$ માટે પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $x=2$ મળે છે,પરંતુ $2 \notin A$. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.