Type of Functions based on Mapping Questions in Gujarati

(C) વિધેય $f(x) = \cos(ax)$ નું આવર્તમાન $T = \frac{2\pi}{|a|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $f(x) = \cos(\sqrt{P}x)$ હોવાથી,તેનું આવર્તમાન $T = \frac{2\pi}{\sqrt{P}}$ થશે.
આપણને આપેલ છે કે આવર્તમાન $\pi$ છે,તેથી $\frac{2\pi}{\sqrt{P}} = \pi$.
આના પરથી $\sqrt{P} = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $P = 4$.
આપેલ છે કે $P = [\lambda]$,તેથી $[\lambda] = 4$.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$[\lambda] = 4$ નો અર્થ છે કે $4 \le \lambda < 5$.
તેથી,$\lambda \in [4, 5)$.

(A) $f(x)$ એક-એક હોવા માટે,વિધેય ચુસ્તપણે એકવિધ (strictly monotonic) હોવું જોઈએ અથવા બંને ભાગોના વિસ્તાર અલગ હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $x \leq 0$ માટે,$f(x) = x^2 + 2mx - 1$. આ પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -m$ પર છે. $(-\infty, 0]$ પર વિધેય એક-એક હોવા માટે,શિરોબિંદુ $x \geq 0$ પર હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $-m \geq 0$,એટલે કે $m \leq 0$.
કિસ્સો $2$: $x > 0$ માટે,$f(x) = mx - 1$. આ એક-એક હોવા માટે,$m \geq 0$ હોવું જોઈએ. જો $m > 0$ હોય,તો $x > 0$ માટે $f(x)$ નો વિસ્તાર $(-1, \infty)$ થાય છે. $x \leq 0$ માટે $f(x)$ નો વિસ્તાર $[-1-m^2, \infty)$ થાય છે. આ વિસ્તારો એકબીજા પર વ્યાપ્ત થાય છે,તેથી વિધેય એક-એક રહેશે નહીં.
કિસ્સો $3$: જો $m < 0$ હોય,તો $x > 0$ માટે $f(x) = mx - 1$ એ ઘટતું વિધેય છે જેનો વિસ્તાર $(-\infty, -1)$ છે. $x \leq 0$ માટે,$f(x) = x^2 + 2mx - 1$ એ $(-\infty, -m]$ પર ઘટતું વિધેય છે. કારણ કે $-m > 0$,વિધેય $(-\infty, 0]$ પર ઘટતું છે. $x \leq 0$ માટે વિસ્તાર $[-1-m^2, \infty)$ છે. $m < 0$ માટે વિસ્તારો $(-1, -\infty)$ અને $[-1-m^2, \infty)$ એકબીજા પર વ્યાપ્ત થતા નથી,તેથી વિધેય એક-એક છે.
આમ,$m \in (-\infty, 0)$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x - 5[\frac{x}{5}]$ છે.
એક-એક ચકાસવા માટે: $f(1) = 1 - 5[1/5] = 1 - 5(0) = 1$ અને $f(6) = 6 - 5[6/5] = 6 - 5(1) = 1$ મેળવીએ.
અહીં $f(1) = f(6) = 1$ છે પરંતુ $1 \neq 6$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: સહ-પ્રદેશ $N = \{1, 2, 3, ...\}$ છે.
$f(5) = 5 - 5[5/5] = 5 - 5(1) = 0$ મેળવીએ.
અહીં $0 \notin N$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(A) અહીં $A = \{x_1, \dots, x_7\}$ અને $B = \{y_1, y_2, y_3\}$ આપેલ છે.
આપણે એવા વ્યાપ્ત વિધેયો $f: A \to B$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં $A$ ના બરાબર $3$ ઘટકો $y_2$ પર જાય.
સૌ પ્રથમ,$A$ માંથી $3$ ઘટકો પસંદ કરવાની રીત ${}^7C_3$ છે.
હવે,$A$ ના બાકીના $4$ ઘટકોએ $B$ ના બાકીના $2$ ઘટકો $\{y_1, y_3\}$ પર જવું પડે.
વિધેય વ્યાપ્ત બને તે માટે,$4$ ઘટકોએ $\{y_1, y_3\}$ ને આવરી લેવા જોઈએ.
આ $4$ ઘટકોથી $\{y_1, y_3\}$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
વિધેય વ્યાપ્ત રહે તે માટે આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડે જેમાં બધા $4$ ઘટકો માત્ર $y_1$ અથવા માત્ર $y_3$ પર જાય.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $2^4 - 2 = 16 - 2 = 14$ થશે.
આમ,કુલ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા ${}^7C_3 \times 14 = 14 \times {}^7C_3$ થાય.

(B) આપેલ છે $f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x - 1$.
$f(x) = 0$ લેતા,આપણને મળે $(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$.
આ સમીકરણ $3^x + 4^x = 5^x$ ને ઉકેલવા જેવું છે.
બંને બાજુ $5^x$ વડે ભાગતા: $(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$.
ધારો કે $g(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$.
કારણ કે $(\frac{3}{5})^x$ અને $(\frac{4}{5})^x$ બંને $x \in R$ માટે ઘટતા વિધેયો છે,તેથી તેમનો સરવાળો $g(x)$ પણ એક ઘટતું વિધેય છે.
એક ઘટતું વિધેય આડી રેખા $y = 1$ ને વધુમાં વધુ એક વાર છેદી શકે છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 2$ માટે,આપણને મળે $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
આમ,$x = 2$ એ અનન્ય ઉકેલ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.
વિધેય એક-એક હોવા માટે,જો $f(x_1) = f(x_2)$ હોય,તો $x_1 = x_2$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$:
$\frac{|x_1| - 1}{|x_1| + 1} = \frac{|x_2| - 1}{|x_2| + 1}$
$(|x_1| - 1)(|x_2| + 1) = (|x_2| - 1)(|x_1| + 1)$
$|x_1||x_2| + |x_1| - |x_2| - 1 = |x_1||x_2| - |x_1| + |x_2| - 1$
$2|x_1| = 2|x_2| \implies |x_1| = |x_2|$
આનો અર્થ એ છે કે $x_1 = x_2$ અથવા $x_1 = -x_2$. કારણ કે $f(1) = f(-1) = 0$,તેથી વિધેય એક-એક નથી (તે અનેક-એક છે).
વ્યાપ્ત માટે: ધારો કે $y = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.
$y(|x| + 1) = |x| - 1 \implies y|x| + y = |x| - 1 \implies |x|(y - 1) = -1 - y \implies |x| = \frac{1 + y}{1 - y}$.
કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $\frac{1 + y}{1 - y} \ge 0$ હોવું જોઈએ. આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $y \in [-1, 1)$ મળે છે.
$f$ નો વિસ્તાર $[-1, 1)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.

(C) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને સંબંધ $R = \{ (1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 2) \}$ છે.
પ્રથમ,આપણે ચકાસીએ કે $R$ વિધેય છે કે નહીં. પ્રદેશ $A$ ના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશ $A$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોવાથી,$R$ એક વિધેય છે.
ત્યારબાદ,આપણે ચકાસીએ કે $R$ એક-એક છે કે નહીં. પ્રતિબિંબો $\{1, 3, 4, 2\}$ છે. બધા પ્રતિબિંબો અલગ હોવાથી,$R$ એક-એક વિધેય છે.
અંતે,આપણે ચકાસીએ કે $R$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં. $R$ નો વિસ્તાર $\{1, 2, 3, 4\}$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $A$ જેટલો જ છે.
વિસ્તાર અને સહ-પ્રદેશ સમાન હોવાથી,$R$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે $R$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(C) આપેલ ગણ $S = \{ 1, 2, 3 \}$ છે.
$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(S) = 3$ છે.
$P(S)$ એ $S$ નો ઘાતગણ છે,જે $S$ ના તમામ ઉપગણોનો ગણ છે.
ઘાતગણમાં ઘટકોની સંખ્યા $n(P(S)) = 2^{n(S)} = 2^3 = 8$ થાય.
વિધેય $f: S \to P(S)$ એક-એક (injective) ત્યારે કહેવાય જો $S$ નો દરેક ઘટક $P(S)$ ના અનન્ય ઘટક સાથે જોડાયેલ હોય.
$m$ ઘટકોવાળા ગણથી $n$ ઘટકોવાળા ગણ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!}$ છે.
અહીં,$m = n(S) = 3$ અને $n = n(P(S)) = 8$ છે.
તેથી,એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $^8P_3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ થાય.

(D) વિધેય $f : A \to B$ એક-વ્યાપ્ત (bijective) ત્યારે કહેવાય જ્યારે તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને હોય.
વિધાન $1$ જણાવે છે કે $f$ એક વ્યાપ્ત વિધેય છે,જે એક-વ્યાપ્ત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ સાચું છે.
વિધાન $2$ જણાવે છે કે એવું વિધેય $g : B \to A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ g = I_B$ થાય. કારણ કે $f$ એક-વ્યાપ્ત છે,તે વ્યસ્ત વિધેય ધરાવે છે,એટલે કે એવું પ્રતિવિધેય $f^{-1} : B \to A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ f^{-1} = I_B$ થાય. આમ,$g = f^{-1}$ શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,વિધાન $2$ પણ સાચું છે.
જોકે,વિધાન $2$ એ એક-વ્યાપ્તતાથી મળતા વ્યસ્તતાના ગુણધર્મને દર્શાવે છે,જ્યારે વિધાન $1$ એ એક-વ્યાપ્તતાના એક ભાગની વ્યાખ્યા છે. વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ નું કારણ નથી; બંને $f$ ના એક-વ્યાપ્ત હોવાના પરિણામો છે. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{2x}{x - 1}$,જ્યાં $x \in A$ અને $A = R \setminus \{1, 2, 3, \dots\}$.
એક-એક (injective) ચકાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{2x_1}{x_1 - 1} = \frac{2x_2}{x_2 - 1}$
$x_1(x_2 - 1) = x_2(x_1 - 1)$
$x_1x_2 - x_1 = x_2x_1 - x_2$
$-x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એ એક-એક (injective) છે.
વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસવા માટે: ધારો કે $y = \frac{2x}{x - 1}$.
$y(x - 1) = 2x$
$yx - y = 2x$
$x(y - 2) = y$
$x = \frac{y}{y - 2}$.
જો $y = 4$ લઈએ,તો $x = \frac{4}{4 - 2} = 2$. પરંતુ $2 \notin A$ હોવાથી,એવો કોઈ $x \in A$ મળતો નથી કે જેથી $f(x) = 4$ થાય.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત નથી.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = |1 - \frac{1}{x}|$ જ્યાં $x \in (0, \infty)$.
એક-એક (injective) ચકાસવા માટે: $f(x) = y$ લો. $y \in (0, 1)$ માટે,$x$ ના બે મૂલ્યો મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $y = 0.5$ હોય,તો $|1 - \frac{1}{x}| = 0.5$,જે આપે છે $1 - \frac{1}{x} = 0.5 \implies \frac{1}{x} = 0.5 \implies x = 2$,અને $1 - \frac{1}{x} = -0.5 \implies \frac{1}{x} = 1.5 \implies x = \frac{2}{3}$. અહીં $f(2) = f(\frac{2}{3}) = 0.5$ હોવાથી,વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસવા માટે: સહ-પ્રદેશ $(0, \infty)$ છે. $x \in (0, \infty)$ માટે $f(x) = |1 - \frac{1}{x}|$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે. વિસ્તાર $[0, \infty)$ એ સહ-પ્રદેશ $(0, \infty)$ ને સમાન નથી (કારણ કે $0$ વિસ્તારમાં છે પણ સહ-પ્રદેશમાં નથી),તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$. $S$ માં $4$ ના ગુણકો $K = \{4, 8, 12, 16, 20\}$ છે. આવા $5$ ઘટકો છે.
$k \in K$ માટે,$f(k)$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $S$ માં $3$ ના ગુણકો $M = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ છે. આવા $6$ ઘટકો છે.
વિધેય $f$ વ્યાપ્ત હોવાથી,$K$ ના $5$ ઘટકો $M$ ના $5$ ભિન્ન ઘટકો પર મેપ થવા જોઈએ. આ રીતે પસંદ કરવા અને ગોઠવવાની રીતો $^6P_5 = \frac{6!}{1!} = 6!$ છે.
બાકીના $15$ ઘટકો $S \setminus K$ ને બાકીના $15$ ઘટકો $S \setminus f(K)$ પર એક-એક અને વ્યાપ્ત રીતે મેપ કરવાના રહે,જે $15!$ રીતે થઈ શકે.
તેથી,કુલ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $6! \times 15!$ છે.

(N/A) $1$. એક-એક વિધેય માટે: ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ ગણ $A$ ના બે અલગ-અલગ વિદ્યાર્થીઓ છે. કોઈપણ બે અલગ વિદ્યાર્થીઓનો રોલ નંબર સમાન હોઈ શકે નહીં,તેથી $f(x_1) \neq f(x_2)$. આમ,$f$ એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત વિધેય માટે: $f$ નો સહપ્રદેશ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $N = \{1, 2, 3, ...\}$ છે. $f$ નો વિસ્તાર એ $50$ વિદ્યાર્થીઓને ફાળવવામાં આવેલા રોલ નંબરનો ગણ છે,જે $\{1, 2, 3, ..., 50\}$ છે.
$3$. કારણ કે વિસ્તાર $\{1, 2, 3, ..., 50\}$ એ સહપ્રદેશ $N$ નો ઉચિત ઉપગણ છે (દા.ત.,$51 \in N$ પરંતુ $51$ વિસ્તારમાં નથી),તેથી $N$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઘટક એવો છે જેનું $A$ માં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી.
$4$. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.

(N/A) $1$. વિધેય એક-એક છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: ધારો કે $x_{1}, x_{2} \in N$ માટે $f(x_{1}) = f(x_{2})$.
તેથી,$2x_{1} = 2x_{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x_{1} = x_{2}$.
આમ,$f(x_{1}) = f(x_{2})$ પરથી $x_{1} = x_{2}$ મળે છે,તેથી વિધેય $f$ એક-એક છે.
$2$. વિધેય વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો દરેક $y \in N$ (સહ-પ્રદેશ) માટે,કોઈ $x \in N$ (પ્રદેશ) અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $f(x) = y$.
અહીં,$f(x) = 2x$. જો આપણે $y = 1 \in N$ લઈએ,તો $2x = 1$,જે આપણને $x = 1/2$ આપે છે.
કારણ કે $1/2 \notin N$,તેથી એવું કોઈ $x \in N$ નથી કે જેથી $f(x) = 1$.
તેથી,વિધેય $f$ વ્યાપ્ત નથી.

(N/A) $f$ એક-એક છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે ધારીએ કે કોઈપણ $x_1, x_2 \in R$ માટે $f(x_1) = f(x_2)$ છે.
$2x_1 = 2x_2$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે.
જેથી $f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળે છે,તેથી વિધેય $f$ એક-એક છે.
$f$ વ્યાપ્ત છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે કોઈપણ ઘટક $y \in R$ (સહ-પ્રદેશ) લઈએ.
આપણે એવો $x \in R$ (પ્રદેશ) શોધવો પડશે કે જેથી $f(x) = y$ થાય.
$2x = y \Rightarrow x = \frac{y}{2}$.
કારણ કે $y \in R$,તેથી $\frac{y}{2}$ પણ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે,એટલે કે $\frac{y}{2} \in R$.
દરેક $y \in R$ માટે,એવો $x = \frac{y}{2} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) = f(\frac{y}{2}) = 2(\frac{y}{2}) = y$ થાય.
આમ,$f$ વ્યાપ્ત છે.

(N/A) $f$ એક-એક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
વિધેય $f$ એક-એક ત્યારે કહેવાય જો $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ થાય.
અહીં,$f(1) = 1$ અને $f(2) = 1$ છે.
કારણ કે $f(1) = f(2)$ છે પરંતુ $1 \neq 2$ છે,તેથી વિધેય $f$ એક-એક નથી.
$f$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
વિધેય $f: N \rightarrow N$ વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો દરેક $y \in N$ માટે,કોઈ એવો $x \in N$ મળે કે જેથી $f(x) = y$ થાય.
કિસ્સો $1$: જો $y = 1$ હોય,તો $f(1) = 1$ મળે છે. આમ,$1$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
કિસ્સો $2$: જો $y > 1$ હોય,તો $y+1 > 2$ થાય. આપણે $x = y+1$ પસંદ કરી શકીએ. તેથી $f(x) = f(y+1) = (y+1) - 1 = y$ મળે છે.
દરેક $y \in N$ માટે $N$ માં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવાથી,વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે.

(N/A) એક-એક વિધેય માટે: જો $f(x_{1}) = f(x_{2})$ હોય અને તેનાથી $x_{1} = x_{2}$ મળે,તો વિધેય એક-એક કહેવાય.
અહીં,$f(1) = (1)^{2} = 1$ અને $f(-1) = (-1)^{2} = 1$ છે.
અહીં $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$ હોવાથી,વિધેય $f$ એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત વિધેય માટે: વિધેય $f: R \rightarrow R$ વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો પ્રત્યેક $y \in R$ (સહ-પ્રદેશ) માટે,પ્રદેશ $R$ માં એવો $x$ મળે કે જેથી $f(x) = y$ થાય.
અહીં,$f(x) = x^{2}$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ નો ઉપગણ છે.
ઉદાહરણ તરીકે,સહ-પ્રદેશ $R$ માં $y = -2$ લો. કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ એવી નથી કે જેના માટે $x^{2} = -2$ થાય,કારણ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ (non-negative) હોય છે.
તેથી,વિધેય $f$ વ્યાપ્ત નથી.

(A) ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
જો $x_1$ એકી હોય અને $x_2$ બેકી હોય,તો $x_1+1 = x_2-1$,જેનો અર્થ છે કે $x_2-x_1 = 2$. બેકી અને એકી સંખ્યાનો તફાવત હંમેશા એકી હોય છે,તેથી $x_2-x_1 = 2$ શક્ય નથી.
તે જ રીતે,જો $x_1$ બેકી હોય અને $x_2$ એકી હોય,તો $x_1-1 = x_2+1$,એટલે કે $x_1-x_2 = 2$,જે પણ અશક્ય છે.
તેથી,$x_1$ અને $x_2$ બંને એકી અથવા બંને બેકી હોવા જોઈએ.
જો બંને એકી હોય,તો $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1+1 = x_2+1 \Rightarrow x_1 = x_2$.
જો બંને બેકી હોય,તો $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1-1 = x_2-1 \Rightarrow x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે,કોઈપણ $y \in N$ લો. જો $y$ એકી હોય,તો $y = 2r+1$ કોઈ $r \ge 0$ માટે. તો $f(2r+2) = (2r+2)-1 = 2r+1 = y$. જો $y$ બેકી હોય,તો $y = 2r$ કોઈ $r \ge 1$ માટે. તો $f(2r-1) = (2r-1)+1 = 2r = y$. દરેક $y \in N$ માટે $N$ માં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવાથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.

(A) ધારો કે $f: A \rightarrow A$ એક વિધેય છે જ્યાં $A = \{1, 2, 3\}$.
ધારો કે $f$ એક-એક નથી. તો પ્રદેશ $A$ માં ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન ઘટકો એવા મળે કે જેનું સહ-પ્રદેશ $A$ માં પ્રતિબિંબ સમાન હોય.
પ્રદેશમાં $3$ ઘટકો હોવાથી,જો $f$ એક-એક ન હોય,તો વધુમાં વધુ $2$ ભિન્ન ઘટકો સહ-પ્રદેશમાં પ્રતિબિંબિત થઈ શકે.
ચોક્કસ રીતે,જો $x_1 \neq x_2$ માટે $f(x_1) = f(x_2) = y$ હોય,તો $f$ નો વિસ્તાર વધુમાં વધુ $2$ ઘટકો ધરાવી શકે (પ્રતિબિંબ $y$ અને ત્રીજા ઘટકનું પ્રતિબિંબ).
જોકે,$f$ વ્યાપ્ત હોય તે માટે,વિસ્તાર સહ-પ્રદેશ જેટલો હોવો જોઈએ,જેમાં $3$ ઘટકો છે.
વિસ્તારમાં વધુમાં વધુ $2$ ઘટકો હોવાથી,તે સહ-પ્રદેશ $\{1, 2, 3\}$ જેટલો હોઈ શકે નહીં.
આ ધારણા કે $f$ વ્યાપ્ત છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$f$ એક-એક હોવું જ જોઈએ.

(N/A) ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$. વિધેય $f: A \rightarrow A$ એક-એક છે.
એક-એક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રદેશ $A$ ના ભિન્ન ઘટકો સહ-પ્રદેશ $A$ ના ભિન્ન ઘટકો સાથે સંકળાયેલા હોવા જોઈએ.
પ્રદેશ $A$ માં $3$ ઘટકો હોવાથી,તેમના પ્રતિબિંબો $f(1), f(2),$ અને $f(3)$ એ સહ-પ્રદેશ $A$ ના $3$ ભિન્ન ઘટકો હોવા જોઈએ.
સહ-પ્રદેશ $A$ માં પણ બરાબર $3$ ઘટકો હોવાથી,પ્રતિબિંબોનો ગણ ${f(1), f(2), f(3)}$ એ આખા સહ-પ્રદેશ $A$ જેટલો જ થાય.
તેથી,સહ-પ્રદેશના દરેક ઘટક માટે પ્રદેશમાં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જે વ્યાપ્ત વિધેયની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.
આમ,$f$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $f: R_* \rightarrow R_*$ એ $f(x) = \frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક માટે:
ધારો કે $x, y \in R_*$ માટે $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{y}$
$\Rightarrow x = y$.
તેથી,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે:
કોઈપણ $y \in R_*$ માટે,$x = \frac{1}{y} \in R_*$ (કારણ કે $y \neq 0$) અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f(x) = \frac{1}{(1/y)} = y$.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
હવે,$g: N \rightarrow R_*$ વિધેય ધ્યાનમાં લો જ્યાં $g(x) = \frac{1}{x}$.
એક-એક માટે:
$g(x_1) = g(x_2) \Rightarrow \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \Rightarrow x_1 = x_2$.
તેથી,$g$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે:
$g$ વ્યાપ્ત નથી કારણ કે $y = 1.2 \in R_*$ માટે,$N$ માં એવો કોઈ $x$ નથી કે જેથી $g(x) = \frac{1}{x} = 1.2$ થાય (કારણ કે $x = \frac{1}{1.2} = \frac{5}{6} \notin N$).
તેથી,$g$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(A) વિધેય $f: N \rightarrow N$ એ $f(x) = x^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક (injectivity) માટે:
ધારો કે $x, y \in N$ માટે $f(x) = f(y)$.
તેથી $x^{2} = y^{2}$.
અહીં $x, y \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ધન હોય છે),તેથી $x = y$ મળે.
આમ,$f$ એ એક-એક વિધેય છે.
વ્યાપ્ત (surjectivity) માટે:
વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો દરેક $y \in N$ માટે કોઈક $x \in N$ એવું મળે કે જેથી $f(x) = y$.
ધારો કે $y = 2 \in N$.
તો $x^{2} = 2$,જેનો અર્થ થાય કે $x = \sqrt{2}$.
પરંતુ $\sqrt{2} \notin N$,તેથી એવું કોઈ $x \in N$ નથી કે જેના માટે $f(x) = 2$.
આમ,$f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય નથી.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(C) વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ એ $f(x) = x^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક (injectivity) માટે:
ધારો કે $f(-1) = (-1)^{2} = 1$ અને $f(1) = (1)^{2} = 1$.
અહીં $f(-1) = f(1)$ છે પરંતુ $-1 \neq 1$ હોવાથી,વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત (surjectivity) માટે:
સહપ્રદેશ $Z$ નો વિચાર કરો. કોઈપણ ઋણ પૂર્ણાંક,જેમ કે $-2 \in Z$ માટે,એવો કોઈ $x \in Z$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = x^{2} = -2$ થાય,કારણ કે કોઈપણ પૂર્ણાંકનો વર્ગ હંમેશા અઋણ હોય છે.
આમ,$f$ નો વિસ્તાર ${0, 1, 4, 9, ...}$ છે,જે સહપ્રદેશ $Z$ જેટલો નથી.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(NONE) વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક વિધેય માટે:
ધારો કે $f(-1) = (-1)^2 = 1$ અને $f(1) = (1)^2 = 1$.
અહીં $f(-1) = f(1)$ છે પરંતુ $-1 \neq 1$ હોવાથી,આ વિધેય એક-એક (injective) નથી.
વ્યાપ્ત વિધેય માટે:
વિધેય $f$ નો સહ-પ્રદેશ $R$ (બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ) છે.
કોઈપણ $x \in R$ માટે,$x^2 \geq 0$ થાય છે. તેથી,સહ-પ્રદેશમાં રહેલી ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે પ્રદેશમાં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ મળતું નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,$-2 \in R$ છે,પરંતુ એવો કોઈ $x \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = -2$ થાય (કારણ કે $x^2 = -2$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
તેથી,આ વિધેય વ્યાપ્ત (surjective) નથી.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(N/A) આપેલ વિધેય $f : N \rightarrow N$ છે,જે $f(x) = x^{3}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક (injective) માટે:
ધારો કે $x, y \in N$ માટે $f(x) = f(y)$.
તેથી $x^{3} = y^{3}$.
અહીં $x$ અને $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોવાથી,બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા $x = y$ મળે છે.
તેથી,$f$ એ એક-એક વિધેય છે.
વ્યાપ્ત (surjective) માટે:
વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો દરેક $y \in N$ માટે કોઈક $x \in N$ એવું મળે કે જેથી $f(x) = y$.
ધારો કે $y = 2 \in N$.
આપણે $x^{3} = 2$ ઉકેલવું પડે,જેનો અર્થ છે કે $x = \sqrt[3]{2}$.
અહીં $\sqrt[3]{2}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી $(\sqrt[3]{2} \notin N)$,તેથી એવું કોઈ $x \in N$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી કે જેથી $f(x) = 2$.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય નથી.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક છે પરંતુ વ્યાપ્ત નથી.

(A) વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ એ $f(x) = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
એક-એક માટે: ધારો કે $x, y \in Z$ માટે $f(x) = f(y)$.
તેથી $x^{3} = y^{3}$. ઘનમૂળ વિધેય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$x^{3} = y^{3} \implies x = y$.
તેથી,$f$ એ એક-એક (injective) છે.
વ્યાપ્ત માટે: વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો દરેક $y \in Z$ માટે,કોઈ એવો $x \in Z$ મળે કે જેથી $f(x) = y$.
ધારો કે $y = 2 \in Z$. આપણે $x^{3} = 2$ જોઈએ છે,જેનો અર્થ થાય કે $x = \sqrt[3]{2}$.
પરંતુ $\sqrt[3]{2} \notin Z$,તેથી એવો કોઈ $x \in Z$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = 2$.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત (surjective) નથી.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(N/A) વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = [x]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક વિધેય માટે:
ધારો કે $f(1.2) = [1.2] = 1$ અને $f(1.9) = [1.9] = 1$.
અહીં $f(1.2) = f(1.9)$ છે પરંતુ $1.2 \neq 1.9$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત વિધેય માટે:
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયનો વિસ્તાર એ તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ $Z$ છે.
અહીં સહ-પ્રદેશ $R$ છે અને વિસ્તાર $Z \subset R$ છે,તેથી સહ-પ્રદેશમાં એવા ઘટકો (દા.ત.,$0.7$) અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેનું પ્રદેશમાં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,એવો કોઈ $x \in R$ નથી કે જેના માટે $f(x) = 0.7$ થાય,કારણ કે $[x]$ હંમેશા પૂર્ણાંક જ હોય છે.
તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(N/A) વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{જો } x \ge 0 \\ -x & \text{જો } x < 0 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f$ એક-એક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
$f(-1) = |-1| = 1$ અને $f(1) = |1| = 1$ લો.
અહીં $f(-1) = f(1)$ છે પરંતુ $-1 \neq 1$ હોવાથી,વિધેય $f$ એક-એક નથી.
$f$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
સહ-પ્રદેશ $R$ નો વિચાર કરો. કોઈપણ ઋણ કિંમત,જેમ કે $-1 \in R$ માટે,પ્રદેશ $R$ માં એવો કોઈ $x$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = |x| = -1$ થાય,કારણ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનું માનાંક હંમેશા અ-ઋણ $(|x| \ge 0)$ હોય છે.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,માનાંક વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(N/A) આપેલ $f: R \rightarrow R$ માટે $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{જો } x > 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \\ -1, & \text{જો } x < 0 \end{cases}$.
$1$. એક-એક (one-one) માટે ચકાસણી:
ધારો કે $x_1 = 1$ અને $x_2 = 2$. બંને $1 > 0$ અને $2 > 0$ હોવાથી,$f(1) = 1$ અને $f(2) = 1$ મળે છે.
અહીં $f(1) = f(2)$ છે પરંતુ $1 \neq 2$ હોવાથી,આ વિધેય એક-એક નથી.
$2$. વ્યાપ્ત (onto) માટે ચકાસણી:
વિધેય $f$ નો વિસ્તાર $\{ -1, 0, 1 \}$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ નો ઉપગણ છે.
કોઈપણ ઘટક $y \in R$ માટે જ્યાં $y \notin \{ -1, 0, 1 \}$ (દા.ત.,$y = 2$),પ્રદેશ $R$ માં એવો કોઈ $x$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = y$ થાય.
આથી,આ વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,સિગ્નમ વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(N/A) આપેલ છે કે $A=\{1,2,3\}$ અને $B=\{4,5,6,7\}$.
વિધેય $f: A \rightarrow B$ એ ક્રમયુક્ત જોડીઓના ગણ $f = \{(1,4), (2,5), (3,6)\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેયની વ્યાખ્યા પરથી,આપણી પાસે છે:
$f(1) = 4$
$f(2) = 5$
$f(3) = 6$
વિધેય $f: A \rightarrow B$ ને એક-એક (injective) કહેવાય છે જો $A$ ના ભિન્ન ઘટકોના પ્રતિબિંબ $B$ માં ભિન્ન હોય. એટલે કે,તમામ $x_1, x_2 \in A$ માટે $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
અહીં,$1, 2, 3$ ના પ્રતિબિંબ અનુક્રમે $4, 5, 6$ છે,જે તમામ ભિન્ન છે.
કારણ કે $f(1) \neq f(2)$,$f(2) \neq f(3)$,અને $f(1) \neq f(3)$,તેથી સાબિત થાય છે કે વિધેય $f$ એક-એક છે.

(D) આપેલ છે કે $f : R \rightarrow R$ એ $f(x) = 3 - 4x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ એક-એક (one-one) માટે તપાસ:
ધારો કે $x_1, x_2 \in R$ એવા છે કે જેથી $f(x_1) = f(x_2)$.
તેથી,$3 - 4x_1 = 3 - 4x_2$.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $-4x_1 = -4x_2$ મળે છે.
$-4$ વડે ભાગતા,આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે.
જેથી $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$,તેથી વિધેય $f$ એક-એક છે.
$2.$ વ્યાપ્ત (onto) માટે તપાસ:
ધારો કે $y \in R$ એ સહપ્રદેશનો કોઈ પણ ઘટક છે.
આપણે એવો $x \in R$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી $f(x) = y$.
$3 - 4x = y \implies 4x = 3 - y \implies x = \frac{3 - y}{4}$.
કારણ કે $y \in R$,તેથી $\frac{3 - y}{4}$ પણ એક વાસ્તવિક સંખ્યા $(R)$ છે.
આમ,દરેક $y \in R$ માટે,$x = \frac{3 - y}{4} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) = 3 - 4(\frac{3 - y}{4}) = 3 - (3 - y) = y$.
વિધેયનો વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $R$ જેટલો હોવાથી,વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ:
વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,તે બાયજેક્ટિવ (bijective) છે.

(D) વિધેય $f : R \rightarrow R$ એ $f(x) = 1 + x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક (one-one) ચકાસવા માટે:
ધારો કે $x_1, x_2 \in R$ એવા છે કે જેથી $f(x_1) = f(x_2)$.
$\Rightarrow 1 + x_1^2 = 1 + x_2^2$
$\Rightarrow x_1^2 = x_2^2$
$\Rightarrow x_1 = \pm x_2$.
અહીં $f(1) = 1 + (1)^2 = 2$ અને $f(-1) = 1 + (-1)^2 = 2$ મળે છે,તેથી $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$.
તેથી,$f$ એ એક-એક વિધેય નથી.
વ્યાપ્ત (onto) ચકાસવા માટે:
સહ-પ્રદેશ $R$ માં એક ઘટક $-2$ લો.
કોઈપણ $x \in R$ માટે $x^2 \geq 0$ હોવાથી,$f(x) = 1 + x^2 \geq 1$ થાય.
આમ,પ્રદેશ $R$ માં એવો કોઈ $x$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = -2$ થાય.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય નથી.
નિષ્કર્ષ:
આમ,વિધેય $f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,તેથી તે બાયજેક્ટિવ નથી.

(N/A) વિધેય $f: A \times B \rightarrow B \times A$ ને $f(a, b) = (b, a)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે.
$1.$ $f$ એક-એક (one-one) છે તે દર્શાવવા માટે:
ધારો કે $(a_1, b_1), (a_2, b_2) \in A \times B$ માટે $f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2)$ છે.
આથી $(b_1, a_1) = (b_2, a_2)$ મળે.
ઘટકોને સરખાવતા,$b_1 = b_2$ અને $a_1 = a_2$ મળે છે.
તેથી,$(a_1, b_1) = (a_2, b_2)$.
આમ,$f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \Rightarrow (a_1, b_1) = (a_2, b_2)$ હોવાથી,$f$ એક-એક વિધેય છે.
$2.$ $f$ વ્યાપ્ત (onto) છે તે દર્શાવવા માટે:
ધારો કે $(b, a) \in B \times A$ એ સહપ્રદેશનો કોઈ પણ ઘટક છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$b \in B$ અને $a \in A$ છે,જેનો અર્થ છે કે $(a, b) \in A \times B$.
આ $(a, b) \in A \times B$ માટે,આપણને $f(a, b) = (b, a)$ મળે છે.
સહપ્રદેશ $B \times A$ ના દરેક ઘટક માટે પ્રદેશ $A \times B$ માં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $f$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
આમ,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,તે એક-વ્યાપ્ત (bijective) વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f : N \rightarrow N$ એ $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2}, & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \\ \frac{n}{2}, & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે શું $f$ એક-એક છે:
$f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$ અને $f(2) = \frac{2}{2} = 1$.
અહીં $f(1) = f(2)$ છે પરંતુ $1 \neq 2$ હોવાથી,વિધેય $f$ એક-એક નથી.
હવે,આપણે તપાસીએ કે શું $f$ વ્યાપ્ત છે:
કોઈપણ $n \in N$ (સહ-પ્રદેશ) માટે,આપણે એવું $x \in N$ શોધવું પડે કે જેથી $f(x) = n$ થાય.
કિસ્સો $I$: જો $n$ એકી હોય,તો ધારો કે $n = 2r - 1$ કોઈ $r \in N$ માટે. તો $f(4r - 3) = \frac{(4r - 3) + 1}{2} = 2r - 1 = n$.
કિસ્સો $II$: જો $n$ બેકી હોય,તો ધારો કે $n = 2r$ કોઈ $r \in N$ માટે. તો $f(4r) = \frac{4r}{2} = 2r = n$.
દરેક $n \in N$ માટે પ્રદેશમાં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ: $f$ એક-એક ન હોવાથી,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) વિધેય નથી.

(A) આપેલ છે કે $A = R - \{3\}$,$B = R - \{1\}$ અને $f: A \rightarrow B$ એ $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક માટે:
ધારો કે $x, y \in A$ એવા છે કે જેથી $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow \frac{x-2}{x-3} = \frac{y-2}{y-3}$
$\Rightarrow (x-2)(y-3) = (y-2)(x-3)$
$\Rightarrow xy - 3x - 2y + 6 = xy - 3y - 2x + 6$
$\Rightarrow -3x - 2y = -3y - 2x$
$\Rightarrow x = y$.
કારણ કે $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$,તેથી $f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે:
ધારો કે $y \in B = R - \{1\}$. તો $y \neq 1$.
આપણે એવો $x \in A$ શોધવો છે કે જેથી $f(x) = y$.
$\frac{x-2}{x-3} = y$
$\Rightarrow x - 2 = y(x - 3)$
$\Rightarrow x - 2 = xy - 3y$
$\Rightarrow x - xy = 2 - 3y$
$\Rightarrow x(1 - y) = 2 - 3y$
$\Rightarrow x = \frac{2 - 3y}{1 - y}$.
કારણ કે $y \neq 1$,$x$ સુવ્યાખ્યાયિત છે. વળી,$x \neq 3$ કારણ કે જો $\frac{2 - 3y}{1 - y} = 3$ હોય,તો $2 - 3y = 3 - 3y$,જેનો અર્થ છે કે $2 = 3$,જે વિરોધાભાસ છે. આમ $x \in A$.
દરેક $y \in B$ માટે,એવો $x \in A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) = y$,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(C) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = x^{4}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક (one-one) ચકાસવા માટે:
ધારો કે $x, y \in R$ માટે $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow x^{4} = y^{4}$
$\Rightarrow x = \pm y$.
અહીં $f(1) = 1^{4} = 1$ અને $f(-1) = (-1)^{4} = 1$ મળે છે,તેથી $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$.
તેથી,$f$ એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત (onto) ચકાસવા માટે:
જો વિધેયનો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ જેટલો હોય,તો તે વ્યાપ્ત કહેવાય. અહીં સહ-પ્રદેશ $R$ છે.
બધા $x \in R$ માટે $x^{4} \geq 0$ હોવાથી,$f$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે.
વિસ્તાર $[0, \infty) \neq R$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,એવો કોઈ $x \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = -2$ થાય.
આમ,$f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.
સાચો જવાબ $C$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=3x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
પગલું $1$: એક-એક (injective) માટે તપાસો.
ધારો કે $x_1, x_2 \in R$ માટે $f(x_1) = f(x_2)$.
$3x_1 = 3x_2$
$x_1 = x_2$
તેથી,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ હોવાથી,વિધેય $f$ એક-એક છે.
પગલું $2$: વ્યાપ્ત (surjective) માટે તપાસો.
ધારો કે $y \in R$ એ સહ-પ્રદેશનો કોઈપણ ઘટક છે.
આપણે એવો $x \in R$ શોધવો છે કે જેથી $f(x) = y$.
$3x = y \implies x = \frac{y}{3}$.
$y \in R$ હોવાથી,$\frac{y}{3}$ પણ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી $x \in R$.
દરેક $y \in R$ માટે,એવો $x = \frac{y}{3} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) = 3(\frac{y}{3}) = y$.
આમ,વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) બંને છે.
સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) જો $g \circ f$ વ્યાપ્ત હોય,તો $g$ વ્યાપ્ત હોવું જરૂરી છે,પરંતુ $f$ નું વ્યાપ્ત હોવું જરૂરી નથી.
ધારો કે $f: \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4\}$ અને $g: \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 3$
$g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 3$
અહીં,$g \circ f$ નો વિસ્તાર $\{1, 2, 3\}$ છે,જે $g$ ના સહપ્રદેશ જેટલો છે,તેથી $g \circ f$ વ્યાપ્ત છે.
જોકે,$f$ નો વિસ્તાર $\{1, 2, 3\}$ છે,જે તેના સહપ્રદેશ $\{1, 2, 3, 4\}$ જેટલો નથી.
આમ,$f$ વ્યાપ્ત નથી.

(B) જ્યારે ગણ શાંત હોય ત્યારે ગણ $A$ થી તે જ ગણ પરનું એક-એક વિધેય એ વ્યાપ્ત વિધેય પણ હોય છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ માટે,$A$ થી $A$ પરના એક-એક વિધેયોની કુલ સંખ્યા $n!$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ માં $n = 3$ ઘટકો છે.
તેથી,એક-એક વિધેયોની કુલ સંખ્યા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ થાય.

(N/A) તદેવ વિધેય $I_{N}: N \rightarrow N$ એ $I_{N}(x) = x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. કોઈપણ $y \in N$ માટે,$x = y \in N$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $I_{N}(x) = y$,તેથી $I_{N}$ વ્યાપ્ત છે.
હવે,વિધેય $f(x) = (I_{N} + I_{N})(x) = 2x$ ધ્યાનમાં લો. આ વિધેયનો વિસ્તાર એ તમામ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,એટલે કે $\{2, 4, 6, \dots\}$.
સહ-પ્રદેશ $N = \{1, 2, 3, \dots\}$ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $3 \in N$ જેવો ઘટક પ્રદેશ $N$ માં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ ધરાવતો નથી,કારણ કે $2x = 3$ નો અર્થ $x = 1.5$ થાય છે,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
તેથી,$I_{N} + I_{N}$ વ્યાપ્ત નથી.

(N/A) કોઈપણ બે ભિન્ન ઘટકો $x_1, x_2 \in [0, \frac{\pi}{2}]$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન વિધેય આ અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી $\sin x_1 \neq \sin x_2$. આમ,$f$ એક-એક વિધેય છે.
તે જ રીતે,કોસાઈન વિધેય $[0, \frac{\pi}{2}]$ પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે,તેથી $\cos x_1 \neq \cos x_2$. આમ,$g$ એક-એક વિધેય છે.
હવે,વિધેય $h(x) = (f + g)(x) = \sin x + \cos x$ ને ધ્યાનમાં લો.
આપણે $h(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$ મેળવીએ છીએ.
આપણે $h(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$ મેળવીએ છીએ.
અહીં $h(0) = h(\frac{\pi}{2})$ છે પરંતુ $0 \neq \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,વિધેય $f + g$ એક-એક વિધેય નથી.

(A) આપેલ છે કે $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ જ્યાં $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.
એક-એક માટે:
ધારો કે $x, y \in R$ માટે $f(x) = f(y)$.
જો $x$ અને $y$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય,જેમ કે $x > 0$ અને $y < 0$,તો $f(x) = \frac{x}{1+x} > 0$ અને $f(y) = \frac{y}{1-y} < 0$. તેથી $f(x) \neq f(y)$.
જો $x, y \geq 0$ હોય,તો $\frac{x}{1+x} = \frac{y}{1+y} \Rightarrow x + xy = y + xy \Rightarrow x = y$.
જો $x, y < 0$ હોય,તો $\frac{x}{1-x} = \frac{y}{1-y} \Rightarrow x - xy = y - xy \Rightarrow x = y$.
આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે:
ધારો કે $y \in (-1, 1)$. આપણે એવો $x \in R$ શોધવો છે કે જેથી $f(x) = y$.
જો $y \geq 0$ હોય,તો $x = \frac{y}{1-y}$ લો. $0 \leq y < 1$ હોવાથી,$x \geq 0$. તેથી $f(x) = \frac{\frac{y}{1-y}}{1 + \frac{y}{1-y}} = \frac{y}{1-y+y} = y$.
જો $y < 0$ હોય,તો $x = \frac{y}{1+y}$ લો. $-1 < y < 0$ હોવાથી,$x < 0$. તેથી $f(x) = \frac{\frac{y}{1+y}}{1 - \frac{y}{1+y}} = \frac{y}{1+y-y} = y$.
દરેક $y \in (-1, 1)$ માટે એવો $x \in R$ મળે છે કે જેથી $f(x) = y$,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(N/A) વિધેય $f(x) = x^{3}$ એક-એક (injective) છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે ધારીએ કે $f(x_1) = f(x_2)$ જ્યાં $x_1, x_2 \in R$ છે.
$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1^{3} = x_2^{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે.
આમ,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ સાબિત થાય છે,તેથી વિધેય $f$ એક-એક (injective) છે.

(A) એક શાંત ગણ $A$ થી તે જ ગણ પરનું વ્યાપ્ત વિધેય (surjective function),જ્યાં $|A| = n$ હોય,તે એવું વિધેય છે જેમાં સહ-પ્રદેશના દરેક ઘટક માટે પ્રદેશમાં ઓછામાં ઓછું એક પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોય.
કારણ કે પ્રદેશ અને સહ-પ્રદેશમાં ઘટકોની સંખ્યા સમાન $(n)$ છે,તેથી વ્યાપ્ત વિધેય એક-એક (injective) પણ હોવું જોઈએ.
જે વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોય તેને બાયજેક્શન અથવા ક્રમચય (permutation) કહેવામાં આવે છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $n!$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ થી તે જ ગણ પરના કુલ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $n!$ છે.

(D) આપેલ છે $f(n+1) = f(n) + f(1)$. આ એક સુરેખ પુનરાવર્તિત સંબંધ છે.
$n=1$ માટે,$f(2) = f(1) + f(1) = 2f(1)$.
$n=2$ માટે,$f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1)$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$f(n) = n f(1)$.
કારણ કે $f: N \rightarrow N$,$f(1)$ એ ધન પૂર્ણાંક $k \in N$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$f(n) = kn$. કારણ કે $k \geq 1$,$f(n_1) = f(n_2) \Rightarrow kn_1 = kn_2 \Rightarrow n_1 = n_2$,તેથી $f$ એક-એક છે. વિધાન $C$ સત્ય છે.
જો $fog$ એક-એક હોય,તો $f(g(x_1)) = f(g(x_2)) \Rightarrow g(x_1) = g(x_2)$ કારણ કે $f$ એક-એક છે. $fog$ એક-એક હોવાથી,$x_1 = x_2$. તેથી $g$ એક-એક છે. વિધાન $A$ સત્ય છે.
જો $f$ વ્યાપ્ત હોય,તો કોઈપણ $y \in N$ માટે,એવો $n \in N$ મળે કે જેથી $f(n) = y$,એટલે કે $kn = y$. આ ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જો $k=1$,તેથી $f(n) = n$. વિધાન $B$ સત્ય છે.
જો $g$ વ્યાપ્ત હોય,તો $fog$ એક-એક હોય તે જરૂરી નથી. જો $g$ એક-એક ન હોય,તો $fog$ એક-એક ન હોઈ શકે. તેથી,વિધાન $D$ સત્ય $\text{નથી}$.

(B) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી $m$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $(m \ge n)$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $P(m, n) = \frac{m!}{(m-n)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ માટે,ગણ $A$ માં $3$ ઘટકો છે અને ગણ $B$ માં $5$ ઘટકો છે. તેથી,$x = P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
$y$ માટે,ગણ $A$ માં $3$ ઘટકો છે અને ગણ $A \times B$ માં $3 \times 5 = 15$ ઘટકો છે. તેથી,$y = P(15, 3) = 15 \times 14 \times 13 = 2730$.
હવે,આપણે $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરીએ:
$x = 60$
$y = 2730$
ગુણોત્તર $\frac{y}{x} = \frac{2730}{60} = \frac{273}{6} = \frac{91}{2}$ ગણતા.
તેથી,$2y = 91x$.

(A) $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ પરના કુલ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $6! = 720$ છે.
શરત $g(3) = 2g(1)$ માટે શક્ય જોડ $(g(1), g(3))$ એ $(1, 2), (2, 4),$ અને $(3, 6)$ છે. આમ,$3$ શક્યતાઓ છે.
દરેક જોડ માટે,બાકીના $4$ ઘટકોને બાકીના $4$ ઘટકો પર વ્યાપ્ત રીતે ગોઠવવાના પ્રકાર $4! = 24$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $3 \times 4! = 72$ છે.
માગેલ સંભાવના $\frac{3 \times 4!}{6!} = \frac{72}{720} = \frac{1}{10}$ છે.

(C) આપેલ શરત $f(1) + f(2) = 3 - f(3)$ ને $f(1) + f(2) + f(3) = 3$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $f$ એ $A$ થી $A$ પરનું એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે,તેથી $f(1), f(2), f(3)$ એ ગણ $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ના ભિન્ન ઘટકો હોવા જોઈએ.
$3$ નો સરવાળો આપતા માત્ર ત્રણ ભિન્ન અઋણ પૂર્ણાંકો $0, 1$ અને $2$ છે.
તેથી,$\{f(1), f(2), f(3)\}$ નો ગણ $\{0, 1, 2\}$ હોવો જોઈએ.
આ $3$ કિંમતોને $f(1), f(2)$ અને $f(3)$ ને આપવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
પ્રદેશના બાકીના $5$ ઘટકો $\{0, 4, 5, 6, 7\}$ ને સહપ્રદેશના બાકીના $5$ ઘટકો $\{3, 4, 5, 6, 7\}$ સાથે જોડવા પડે.
આ જોડાણ કરવાની રીતોની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
તેથી,કુલ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $3! \times 5! = 6 \times 120 = 720$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $g(3n+1)=3n+2$,$g(3n+2)=3n+3$,અને $g(3n+3)=3n+1$,જ્યાં $n \geq 0$.
પ્રથમ,આપણે $g \circ g \circ g(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$x = 3n+1$ માટે,$g(g(g(3n+1))) = g(g(3n+2)) = g(3n+3) = 3n+1$.
તે જ રીતે,$g(g(g(3n+2))) = 3n+2$ અને $g(g(g(3n+3))) = 3n+3$.
આમ,તમામ $x \in N$ માટે $g \circ g \circ g(x) = x$ થાય છે.
હવે,શરત $f(g(x)) = f(x)$ ધ્યાનમાં લો.
જો $f$ એ અચળ વિધેય હોય,તો $f(g(x)) = f(x)$ થાય,પરંતુ અચળ વિધેય $N$ પર વ્યાપ્ત નથી.
જો આપણે $f$ ને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે તે $g$ ના સમાન ચક્રના તમામ ઘટકોને સમાન મૂલ્ય પર મેપ કરે,તો $f$ એ $f(g(x)) = f(x)$ નું પાલન કરશે.
ઉદાહરણ તરીકે,$f(3n+1) = f(3n+2) = f(3n+3) = n+1$ લો. આ વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે કારણ કે કોઈપણ $y \in N$ માટે,આપણે $n = y-1$ પસંદ કરી શકીએ જેથી $f(3(y-1)+1) = y$.
આમ,એવું વ્યાપ્ત વિધેય $f$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ g = f$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2f(a) + 3f(c) = f(b) - f(d)$ છે.
ધારો કે $S = \{0, 1, 2, \dots, 10\}$. આપણે એવા એક-એક વિધેયો $f$ ની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેના માટે $f(b) - f(d) = 2f(a) + 3f(c)$ થાય.
વિધેય $f$ એક-એક હોવાથી,$f(a), f(b), f(c), f(d)$ એ $S$ ના ભિન્ન ઘટકો હોવા જોઈએ.
$X = 2f(a) + 3f(c)$ લો. $f(a), f(c) \in S$ અને $f(a) \neq f(c)$ હોવાથી,$X$ માટે શક્ય કિંમતો ગણતા,દરેક જોડી $(f(a), f(c))$ માટે આપણે એવા ભિન્ન $f(b), f(d) \in S \setminus \{f(a), f(c)\}$ શોધવા પડે કે જેથી $f(b) - f(d) = X$ થાય.
આ તમામ શક્યતાઓનો સરવાળો કરતા કુલ $31$ એક-એક વિધેયો મળે છે.